浙教版七年级数学上册同步精品讲义第29课线段的和差(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第29课线段的和差(学生版+解析)，共37页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
A．B．C．D．
知识点01 线段的和差
1.线段的和差
线段的和：如果一条线段的长度是另外两条线段长度的和，那么这条线段叫做另两条线段的和
线段的差：如果一条线段的长度是另外两条线段长度的差，那么这条线段叫做另两条线段的差
注：两条线段的和或差仍是一条线段
A．B．C．D．
知识点02 线段的中点
线段的中点：点C 把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C叫做线段AB的中点.
若点C是线段AB的中点，则AC=BC=AB，AB=2AC=2BC
能力拓展
考点01 线段的和差
【典例1】如图，点C、D、E是线段AB上的三个点，下列能表示线段CE的式子为（ ）
A．CE＝CD+BDB．CE＝BC﹣CD
C．CE＝AD+BD﹣ACD．CE＝AE+BC﹣AB
【即学即练1】如图，已知线段a，b（a＞b）．
（1）画一条线段c，使它的长度等于a+b；
（2）画一条线段d，使它的长度等于a﹣b．
考点02 线段的中点
【典例2】已知点C在线段AB上，下列各式中：①AC+CB＝AB；②AC＝CB；③AB＝2AC；④BC＝AB．能说明点C是线段AB中点的有（ ）
A．①B．①②C．②③D．②③④
【即学即练2】如图，线段AB＝10，C为AB延长线上的一点，D是线段AC中点，且点D不与点B重合．
（1）当BC＝6时，求线段BD的长．
（2）若线段BD＝4，求线段BC的长．
分层提分
题组A 基础过关练
1. 如图：A、B、C、D四点在一条直线上，若AB＝CD，下列各式表示线段AC错误的是（ ）
A．AC＝AD﹣CDB．AC＝AB+BCC．AC＝BD﹣ABD．AC＝AD﹣AB
2.点M在线段AB上，现有四个等式：
（1）AM＝BM；（2）BM＝AB；（3）AB＝2AM；（4）AM+BM＝AB．
其中能表示M是线段AB中点的等式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3.如图，点B是线段AD的中点，点C在线段BD上，且AB＝a，CD＝b，则下列结论中错误的是（ ）
A．AD＝2aB．BC＝a﹣bC．AC＝2a﹣bD．
4.如图，已知线段AB＝12．点C在线段AB上，BC＝AB，点D是AB的中点，则CD的长度为（ ）
A．2B．4C．6D．8
5.如图，已知直线上顺次三个点A、B、C，已知AB＝10cm，BC＝4cm．D是AC的中点，M是AB的中点，那么MD＝（ ）cm
A．4B．3C．2D．1
6.已知：线段a，b．
求作：线段AB，使AB＝a﹣2b．
7.已知点C，D为线段AB上两点，AB＝22，CD＝8．
（1）如图1，若点C是线段AB中点，求BD的长；
（2）如图2，若点M，N分别是AC，BD的中点，求MN的长．
8.如图，A、B、C三点在一条直线上，根据右边的图形填空：
（1）AC＝ + + ；
（2）AB＝AC﹣ ；
（3）DB+BC＝ ﹣AD
（4）若AC＝8cm，D是线段AC中点，B是线段DC中点，求线段AB的长．
题组B 能力提升练
9.点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1．若点B到点C的距离为6，则点A到点C的距离等于（ ）
A．3B．6C．3或9D．2或10
10.如图，点C，点D在线段AB上，若AC＝3BC，点D是AC的中点，则（ ）
A．2AD＝3BCB．3AD＝5BDC．AC+BD＝3DCD．AC﹣BD＝2DC
11.已知线段AB＝12cm，AB所在的直线上有一点C，且BC＝6cm，D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．3cmB．9cmC．3cm或6cmD．3cm或9cm
12.已知线段AB＝24cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C，且CD＝3BC，则线段CD＝ cm．
13.在直线l上取A，B两点，使AB＝4cm，再在直线l上取一点C，使AC＝6cm，点M、N分别是AB，AC的中点，则MN的长为 ．
14.如图，C，D，E是线段AB上的三个点，下面关于线段CE的表示：
①CE＝CD+DE；②CE＝BC﹣EB；③CE＝CD+BD﹣AC； ④CE＝AE+BC﹣AB．其中正确的是 （填序号）．
15.已知点M是AB的中点，点C在直线AB上．
（1）若点C在线段AB的延长线上，AC＝7，BC＝5，则线段MC的长度为 ；
（2）若AC＝a，BC＝b，且a＜b，则线段MC的长度为 ．（用含a，b的代数式表示）
16.已知线段AB，根据下列步骤作图，然后回答：
（1）延长AB至C，使BC＝AB；
（2）再反向延长线段AB至D，使AD＝AB；
（3）线段CD是线段AD的多少倍？
17.已知：如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，
（1）若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣16|+（b﹣4）2＝0，求a+b的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE的长；
（3）如图2，若AB＝17，AD＝2BE，求线段CE的长．
18.如图所示，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长．
（2）若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？并说明理由．
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣CB＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
题组C 培优拔尖练
19.如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：
①若AD＝BM，则AB＝3BD；②AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CD．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
20.如图，点A，B是直线l上的两点，点C，D在直线l上且点C在点D的左侧，点D在点B的右侧．AC：CB＝2：1，BD：AB＝3：2．若CD＝11，则AB＝ ．
21.如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，当点P运动到点B时，两点同时停止运动，运动时间为t（s），M为BP的中点，N为MQ的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当BP＝BQ时，t＝12；④M，N两点之间的距离是定值．其中正确的结论 （填写序号）
22.作图题：已知线段a、b、c（a＞b＞c）
画出满足下列条件的线段：
（1）a﹣b+c；
（2）2a﹣b﹣c；
（3）2（a﹣b）+3（b﹣c）．
23．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．
（1）若AP＝8cm，
①运动1s后，求CD的长；
②当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；
（2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值．
24.已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝ ．学习目标
1.理解线段的和差的意义.
2.会用直尺和圆规作两条线段的和与差.
3.理解线段的中点的概念会用刻度尺二等分一条线段.
4.会进行有关线段的和、差、倍分的简单计算.
第29课 线段的和差
目标导航
知识精讲
A．B．C．D．
知识点01 线段的和差
1.线段的和差
线段的和：如果一条线段的长度是另外两条线段长度的和，那么这条线段叫做另两条线段的和
线段的差：如果一条线段的长度是另外两条线段长度的差，那么这条线段叫做另两条线段的差
注：两条线段的和或差仍是一条线段
A．B．C．D．
知识点02 线段的中点
线段的中点：点C 把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C叫做线段AB的中点.
若点C是线段AB的中点，则AC=BC=AB，AB=2AC=2BC
能力拓展
考点01 线段的和差
【典例1】如图，点C、D、E是线段AB上的三个点，下列能表示线段CE的式子为（ ）
A．CE＝CD+BDB．CE＝BC﹣CD
C．CE＝AD+BD﹣ACD．CE＝AE+BC﹣AB
【思路点拨】根据线段和差的计算方法逐项进行计算，即可得出答案．
【解析】解：A．因为CE＝CD+DE，所以A选项不正确，故A选项不符合题意；
B．因为CE＝BC﹣BE，所以B选项不正确，故B选项不符合题意；
C．因为AD+BD﹣AC＝BC≠CE，所以所以C选项不正确，故C选项不符合题意；
D因为AE+BC＝AE+BE+CE，AE+BE＝AB，则AE+BC﹣AB＝AE+BE+CE﹣AB＝CE，所以所以D选项正确，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了线段的和差，熟练掌握线段的和差算的方法进行计算是解决本题的关键．
【即学即练1】如图，已知线段a，b（a＞b）．
（1）画一条线段c，使它的长度等于a+b；
（2）画一条线段d，使它的长度等于a﹣b．
【思路点拨】（1）首先画射线AM，在射线上依次截取AB＝a，BC＝b，则AC＝a+b＝c；
（2）首先画射线，在射线上截取AB＝a，再在AB上截取BC＝b，则AC＝a﹣b＝c．
【解析】解：（1）如图1所示：AC＝c；
（2）如图2所示：AC＝c．
【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握画一条线段等于已知线段的方法．
考点02 线段的中点
【典例2】已知点C在线段AB上，下列各式中：①AC+CB＝AB；②AC＝CB；③AB＝2AC；④BC＝AB．能说明点C是线段AB中点的有（ ）
A．①B．①②C．②③D．②③④
【思路点拨】如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点，依据线段中点的概念进行判断即可．
【解析】解：∵点C在线段AB上，
∴当②AC＝CB或③AB＝2AC或④BC＝AB时，点C是线段AB中点；
当①AC+CB＝AB时，点C不一定是线段AB中点；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点．
【即学即练2】如图，线段AB＝10，C为AB延长线上的一点，D是线段AC中点，且点D不与点B重合．
（1）当BC＝6时，求线段BD的长．
（2）若线段BD＝4，求线段BC的长．
【思路点拨】（1）如图1，根据线段的和差得到AC＝AB+BC＝16，根据线段中点的定义即可得到结论；
（2）当点D在B的右侧时，如图2，AD＝AB+BD＝10+4＝14，当点D在B的左侧时，如图3，AD＝AB﹣BD＝10﹣4＝6，根据线段中点的定义即可得到结论．
【解析】解：（1）如图1，
∵AB＝10，BC＝6，
∴AC＝AB+BC＝16，
∵D是线段AC中点，
∴AD＝AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣8＝2；
（2）当点D在B的右侧时，如图2，AD＝AB+BD＝10+4＝14，
∵D是线段AC中点，
∴AD＝CD＝14，
∴BC＝BD+CD＝4+14＝18；
当点D在B的左侧时，如图3，AD＝AB﹣BD＝10﹣4＝6，
∵D是线段AC中点，
∴AD＝CD＝6，
∴BC＝CD﹣BD＝6﹣4＝2，
综上所述，线段BC的长为18或2．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
分层提分
题组A 基础过关练
1. 如图：A、B、C、D四点在一条直线上，若AB＝CD，下列各式表示线段AC错误的是（ ）
A．AC＝AD﹣CDB．AC＝AB+BCC．AC＝BD﹣ABD．AC＝AD﹣AB
【思路点拨】根据线段的和差即可得到结论．
【解析】解：∵A、B、C、D四点在一条直线上，AB＝CD，
∴AC＝AD﹣CD＝AD﹣AB＝AB+BC，
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离以及线段的和差．
2.点M在线段AB上，现有四个等式：
（1）AM＝BM；（2）BM＝AB；（3）AB＝2AM；（4）AM+BM＝AB．
其中能表示M是线段AB中点的等式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】根据线段中点的定义可求解．
【解析】解：若点M在线段AB上，则AM＝BM，BM＝AB，AB＝2AM均可表示M是AB的中点，
故能表示M是AB的中点的等式有（1）（2）（3）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，掌握中点的定义是解题的关键．
3.如图，点B是线段AD的中点，点C在线段BD上，且AB＝a，CD＝b，则下列结论中错误的是（ ）
A．AD＝2aB．BC＝a﹣bC．AC＝2a﹣bD．
【思路点拨】根据线段中点的定义与线段的和差逐项分析可得答案．
【解析】解：∵点B是线段AD的中点，AB＝a，
∴AD＝2AB＝2a，故A正确，不符合题意；
∵BD＝AB＝a，
∴BC＝BD﹣CD＝a﹣b，故B正确，不符合题意；
∵AC＝2AB＝2a，CD＝b，
∴AC＝AD﹣CD＝2a﹣b，故C正确，不符合题意；
∵点C不是CD的四等分点，
∴BC≠b，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查线段中点的定义与相等的和差，熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键．
4.如图，已知线段AB＝12．点C在线段AB上，BC＝AB，点D是AB的中点，则CD的长度为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【思路点拨】根据已知条件得到BC＝4，根据线段中点的定义得到BD＝AB＝6，于是得到CD＝BD﹣BC＝2．
【解析】解：∵BC＝AB，AB＝12，
∴BC＝4，
∵D是线段AB的中点，
∴BD＝AB＝6，
∴CD＝BD﹣BC＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查了两点间的距离：两点之间的连线段长叫这两点间的距离．也考查了线段中点的定义．
5.如图，已知直线上顺次三个点A、B、C，已知AB＝10cm，BC＝4cm．D是AC的中点，M是AB的中点，那么MD＝（ ）cm
A．4B．3C．2D．1
【思路点拨】由AB＝10cm，BC＝4cm．于是得到AC＝AB+BC＝14cm，根据线段中点的定义由D是AC的中点，得到AD，根据线段的和差得到MD＝AD﹣AM，于是得到结论．
【解析】解：∵AB＝10cm，BC＝4cm．
∴AC＝AB+BC＝14cm，
∵D是AC的中点，
∴AD＝AC＝7cm；
∵M是AB的中点，
∴AM＝AB＝5cm，
∴DM＝AD﹣AM＝2cm．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了两点之间的距离，线段的和差、线段的中点的定义，利用线段差及中点性质是解题的关键．
6.已知：线段a，b．
求作：线段AB，使AB＝a﹣2b．
【思路点拨】作射线AM，在射线AM上截取AC＝a，在线段CA上截取CB＝2b，线段AB即为所求．
【解析】解：如图线段AB即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
7.已知点C，D为线段AB上两点，AB＝22，CD＝8．
（1）如图1，若点C是线段AB中点，求BD的长；
（2）如图2，若点M，N分别是AC，BD的中点，求MN的长．
【思路点拨】（1）由已知条件AB＝22，C是AB中点，可得BC的长度，由 CD＝8，BD＝BC﹣CD代入计算即可得出答案；
（2））由已知条件AB＝22，CD＝8，可得AC+BD的长度，根据M，N分别是AC，BD的中点，可得CM+DN的长度，再由MN＝CM+DN+CD代入计算即可得出答案．
【解析】解：（1）∵AB＝22，C是AB中点，
∴BC＝＝＝11，
∵CD＝8，
∴BD＝BC﹣CD＝11﹣8＝3；
（2）∵AB＝22，CD＝8，
∴AC+BD＝14，
又∵M，N分别是AC，BD的中点，
∴CM+DN＝7．
∴MN＝CM+DN+CD＝15．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离及线段的和差，熟练掌握两点的距离计及线段的和差算的方法进行计算是解决本题的关键．
8.如图，A、B、C三点在一条直线上，根据右边的图形填空：
（1）AC＝ AD + DB + BC ；
（2）AB＝AC﹣ BC ；
（3）DB+BC＝ AC ﹣AD
（4）若AC＝8cm，D是线段AC中点，B是线段DC中点，求线段AB的长．
【思路点拨】（1）（2）（3）可根据图形直观的得到各线段之间的关系．
（4）AD和CD的长度相等并且都等于AC的一半，DB的长度为CD长度的一半即为AC长度的四分之一．AB的长度等于AD加上DB，从而可求出AB的长度．
【解析】解：（1）AC＝AD+DB+BC；
（2）AB＝AC﹣BC；
（3）DB+BC＝AC﹣AD
（4）∵D是AC的中点，AC＝8，
∴AD＝DC＝4，
∵B是DC的中点，
∴DB＝＝2，
∴AB＝AD+DB，
＝4+2，
＝6（cm）．
∴线段AB的长为6cm．
故答案为：AD，DB，BC；BC；AC．
【点睛】本题重点是根据题干中的图形得出各线段之间的关系，在第四问中考查了线段中点的性质．线段的中点将线段分成两个长度相等的线段．
题组B 能力提升练
9.点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1．若点B到点C的距离为6，则点A到点C的距离等于（ ）
A．3B．6C．3或9D．2或10
【思路点拨】根据点C在数轴上的位置，利用分类讨论得出答案．
【解析】解：∵点A、B表示的数分别为﹣3、1，若点B到点C的距离为6，
∴当C在B的左侧时，点C表示的数是1﹣6＝﹣5，
当C在B的右侧时，点C表示的数是1+6＝7，
点A与点C的距离是﹣3﹣（﹣5）＝2或7﹣（﹣3）＝10．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了数轴，分情况讨论得到点C表示的数是解题关键．
10.如图，点C，点D在线段AB上，若AC＝3BC，点D是AC的中点，则（ ）
A．2AD＝3BCB．3AD＝5BDC．AC+BD＝3DCD．AC﹣BD＝2DC
【思路点拨】由已知条件可得：2AD＝2DC＝AC，再结合图形进行分析即可得出结果．
【解析】解：∵点D是AC的中点，
∴2AD＝2DC＝AC，
∵AC＝3BC，
∴2AD＝3BC，故A选项正确；
∵BD＝DC+BC，
∴5BD＝5（DC+BC）
＝5DC+5BC
＝5AC+5BC，
故B选项错误；
∵AC+BD
＝2DC+DC+BC
＝3DC+BC，
∴C选项错误；
∵AC﹣BD
＝2DC﹣DC﹣BC
＝DC﹣BC，
∴D选项错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查两点间距离，解答的关键是结合图形分析清楚各线段之间的关系
11.已知线段AB＝12cm，AB所在的直线上有一点C，且BC＝6cm，D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．3cmB．9cmC．3cm或6cmD．3cm或9cm
【思路点拨】分类讨论：当C点在线段AB上，先利用AC＝AB﹣BC计算出AC＝6cm，然后利用线段的中点计算AD；当C点在线段AB的延长线上，先利用AC＝AB+BC计算出AC＝6cm，然后利用线段的中点计算AD．
【解析】解：当C点在线段AB上，如图1，
∵AB＝12cm，BC＝6cm，
∴AC＝AB﹣BC＝6（cm），
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝AC＝3（cm）；
当C点在线段AB的延长线上，如图2，
∵AB＝12cm，BC＝6cm，
∴AC＝AB+BC＝18（cm），
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝AC＝9（cm）．
故线段AD的长为3cm或9cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
12.已知线段AB＝24cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C，且CD＝3BC，则线段CD＝ 9或18 cm．
【思路点拨】根据线段中点的性质，可得BD的长，设BC＝x，根据线段的和差列出方程解答便可．
【解析】解：∵AB＝24cm，点D是线段AB的中点，
∴BD＝12cm，
设BC＝xcm，则CD＝3BC＝3xcm，
当C点在B、D之间时，DC＝BD﹣BC，
即3x＝12﹣x，
解得x＝3，
∴CD＝9（cm）；
当C点在DB的延长线上时，DC＝DB+BC，
即3x＝12+x，
解得x＝6，
∴CD＝18（cm）；
故答案为：9或18．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论以防遗漏．
13.在直线l上取A，B两点，使AB＝4cm，再在直线l上取一点C，使AC＝6cm，点M、N分别是AB，AC的中点，则MN的长为 1cm或5cm ．
【思路点拨】根据中点的定义求出AM、AN的长度，然后根据点C的位置不明确，分①点C在线段AB上，②点C不在线段AB上两种情况进行讨论求解．
【解析】解：∵AB＝4cm，AC＝6cm，点M、点N分别是AB、AC中点，
∴AM＝×4＝2cm，
AN＝×6＝3cm，
①点C在线段AB上时，
MN＝AM﹣AN＝3﹣2＝1cm；
②点C不在线段AB上时，
MN＝AM+AN＝2+3＝5cm，
综上所述，MN的长度为1cm或5cm．
故答案为：1cm或5cm．
【点睛】本题考查了两点间的距离，因为点C的位置不明确，所以要分情况进行讨论，避免漏解而导致出错．
14.如图，C，D，E是线段AB上的三个点，下面关于线段CE的表示：
①CE＝CD+DE；②CE＝BC﹣EB；③CE＝CD+BD﹣AC； ④CE＝AE+BC﹣AB．其中正确的是 ①②④ （填序号）．
【思路点拨】根据图示可以找到线段间的和差关系．
【解析】解：如图，①CE＝CD+DE，故①正确；
②CE＝BC﹣EB，故②正确；
③CE＝CD+BD﹣BE，故③错误；
④∵AE+BC＝AB+CE，
∴CE＝AE+BC﹣AB＝AB+CE﹣AB＝CE，故④正确；
故答案是：①②④．
【点睛】本题考查了两点间的距离．连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
15.已知点M是AB的中点，点C在直线AB上．
（1）若点C在线段AB的延长线上，AC＝7，BC＝5，则线段MC的长度为 6 ；
（2）若AC＝a，BC＝b，且a＜b，则线段MC的长度为 （b﹣a）或（a+b） ．（用含a，b的代数式表示）
【思路点拨】（1）由AC＝7，BC＝5，得到AB＝2，由M是AB的中点，得到BM＝1，于是得到结论；
（2）①C在线段AB上，求得CM＝（b﹣a），②点C在线段BA的延长线上，求得CM＝AC+AM＝a+（b﹣a）＝（a+b）．
【解析】解：（1）∵AC＝7，BC＝5，
∴AB＝2，
∵M是AB的中点，
∴BM＝1，
∴CM＝6，
故答案为：6；
（2）①C在线段AB上，
∵AC＝a，BC＝b，
∴AB＝AC+BC＝a+b，
∵点M是AB的中点，
∴BM＝AB＝（a+b），
∴CM＝（b﹣a），
②点C在线段BA的延长线上，
∵AC＝a，BC＝b，且a＜b，
∴AB＝b﹣a，
∵点M是AB的中点，
∴AM＝（b﹣a），
∴CM＝AC+AM＝a+（b﹣a）＝（a+b），
故答案为：（b﹣a）或（a+b）．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．
16.已知线段AB，根据下列步骤作图，然后回答：
（1）延长AB至C，使BC＝AB；
（2）再反向延长线段AB至D，使AD＝AB；
（3）线段CD是线段AD的多少倍？
【思路点拨】设AB＝x，根据题意表示出CD的长度继而可得出答案．
【解析】解：设AB＝x，则BC＝x，AD＝x，
∴CD＝AD+AB+BC＝3x，
∴线段CD是线段AD的6倍．
【点睛】本题考查比较线段的长短，比较简单，注意正确理解题意．
17.已知：如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，
（1）若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣16|+（b﹣4）2＝0，求a+b的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE的长；
（3）如图2，若AB＝17，AD＝2BE，求线段CE的长．
【思路点拨】（1）由|a﹣16|+（b﹣4）2＝0，根据非负数的性质即可推出a、b的值，代入计算即可；
（2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC＝8，然后由AE＝AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度；
（3）首先设BE＝x，根据线段中点的性质推出AD、DE关于x的表达式，即DE＝AD＝2x，由图形推出AD+DE+BE＝17，即可得方程：x+2x+2x＝17，通过解方程推出x＝，即BE＝，最后由BC＝8.5，即可求出CE的长度．
【解析】解：（1）∵|a﹣16|+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣16＝0，b﹣4＝0，
∴a＝16，b＝4，
∴a+b＝16+4＝20；
（2）∵点C为线段AB的中点，AB＝16，CE＝4，
∴AC＝AB＝8，
∴AE＝AC+CE＝12，
∵点D为线段AE的中点，
∴DE＝AE＝6，
（3）设BE＝x，则AD＝2BE＝2x，
∵点D为线段AE的中点，
∴DE＝AD＝2x，
∵AB＝17，
∴AD+DE+BE＝17，
∴x+2x+2x＝17，
解方程得：x＝，即BE＝，
∵AB＝17，C为AB中点，
∴BC＝AB＝，
∴CE＝BC﹣BE＝﹣＝．
【点睛】本题主要考查线段中点的性质，解题的关键在于正确的进行计算，熟练运用数形结合的思想推出相关线段之间的数量关系．
18.如图所示，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长．
（2）若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？并说明理由．
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣CB＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【思路点拨】（1）根据线段中点的定义得到MC＝AC＝4cm，NC＝BC＝3cm，然后利用MN＝MC+NC进行计算；
（2）根据线段中点的定义得到MC＝AC，NC＝BC，然后利用MN＝MC+NC得到MN＝acm；
（3）先画图，再根据线段中点的定义得MC＝AC，NC＝BC，然后利用MN＝MC﹣NC得到MN＝bcm．
【解析】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝AC＝×8cm＝4cm，NC＝BC＝×6cm＝3cm，
∴MN＝MC+NC＝4cm+3cm＝7cm；
（2）MN＝acm．理由如下：
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝AC，NC＝BC，
∴MN＝MC+NC＝AC+BC＝AB＝acm；
（3）解：如图，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝AC，NC＝BC，
∴MN＝MC﹣NC＝AC﹣BC＝（AC﹣BC）＝bcm．
【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
题组C 培优拔尖练
19.如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：
①若AD＝BM，则AB＝3BD；②AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CD．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
【思路点拨】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形进行分析．
【解析】解：如图
∵AD＝BM，
∴AD＝MD+BD，
∴AD＝AD+BD，
∴AD＝2BD，
∴AD+BD＝2BD+BD，即AB＝3BD，故①正确；
∵AC＝BD，
∴AD＝BC，
∴AD＝BC，
∵M、N分别是线段AD、BC的中点，
∴AM＝BN，故②正确；
∵AC﹣BD＝AD﹣BC，
∴AC﹣BD＝2MD﹣2CN＝2（MC﹣DN），故③正确；
∵2MN＝2MC+2CN，MC＝MD﹣CD，
∴2MN＝2（MD﹣CD）+2CN，
∵MD＝AD，CN＝BC，
∴2MN＝2（AD+BC﹣CD）＝AD﹣CD+BC﹣CD＝AB﹣CD，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了两点间的距离，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键．
20.如图，点A，B是直线l上的两点，点C，D在直线l上且点C在点D的左侧，点D在点B的右侧．AC：CB＝2：1，BD：AB＝3：2．若CD＝11，则AB＝ 6或22 ．
【思路点拨】根据两点间的距离的性质和已知条件，分情况讨论C点的位置即可求解．
【解析】解：对C点的位置分情况讨论如下：
①C点在B点的左边，
∵AC：CB＝2：1，BD：AB＝3：2，
假设AB＝3k，
则BC＝k，BD＝4.5k，
∴CD＝k+4.5k＝11，
∴k＝2，
∴AB＝6；
②C点在B点的右边，
∵AC：CB＝2：1，BD：AB＝3：2，
假设AB＝2k，
则BC＝2k，BD＝3k，
∴CD＝3k﹣2k＝11，
∴k＝11，
∴AB＝22；
∴综上所述，AB＝6或22．
故答案为：6或22．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，中点的定义，线段的计算，熟练掌握线段中点的定义是解本题的关键．
21.如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，当点P运动到点B时，两点同时停止运动，运动时间为t（s），M为BP的中点，N为MQ的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当BP＝BQ时，t＝12；④M，N两点之间的距离是定值．其中正确的结论 ①②③④ （填写序号）
【思路点拨】根据线段中点的定义和线段的和差关系即可得到结论．
【解析】解：∵AB＝30，AC比BC的多5，
∴BC＝20，AC＝10，
∴BC＝2AC；故①正确；
∵P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度，
∴BP＝30﹣2t，BQ＝t，
∵M为BP的中点，N为MQ的中点，
∴PM＝BP＝15﹣t，MQ＝MB+BQ＝15，NQ＝MQ＝7.5，
∴AB＝4NQ；故②正确；
∵，
∴，解得：t＝12，故③正确，
∵BP＝30﹣2t，BQ＝t，
∴BM＝PB＝15﹣t，
∴MQ＝BM+BQ＝15﹣t+t＝15，
∴MN＝MQ＝，
∴MN的值与t无关是定值，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是求出P到达B点时的时间，以及点P与Q重合时的时间，涉及分类讨论的思想．
22.作图题：已知线段a、b、c（a＞b＞c）
画出满足下列条件的线段：
（1）a﹣b+c；
（2）2a﹣b﹣c；
（3）2（a﹣b）+3（b﹣c）．
【思路点拨】（1）作线段a，后在a上截去一线段使其等于b，后延长作一线段使其等于线段c；
（2）先作线段a后延长再作一线段a，再在所得的线段上截去线段b和c．
（3）原式＝2a+b﹣3c，其作法和（1）和（2）同．
【解析】解：所画图形如下所示：其中线段AB即为所求．
（1）；
（2）
（3）
【点睛】本题考查了比较线段长短的知识，属于基础题，注意掌握常规作图是解题的关键．
23．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．
（1）若AP＝8cm，
①运动1s后，求CD的长；
②当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；
（2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值．
【思路点拨】（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD＝CP+PB﹣DB即可求出答案；
②用t表示出AC、DP、CD的长度即可求证AC＝2CD；
（2）当t＝2时，求出CP、DB的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论．
【解析】解：（1）①由题意可知：CP＝2×1＝2cm，DB＝3×1＝3cm，
∵AP＝8cm，AB＝12cm，
∴PB＝AB﹣AP＝4cm，
∴CD＝CP+PB﹣DB＝2+4﹣3＝3cm；
②∵AP＝8cm，AB＝12cm，
∴BP＝4cm，AC＝（8﹣2t）cm，
∴DP＝（4﹣3t）cm，
∴CD＝DP+CP＝2t+4﹣3t＝（4﹣t）cm，
∴AC＝2CD；
（2）当t＝2s时，
CP＝2×2＝4cm，DB＝3×2＝6cm，
当点D在C的右边时，如图所示：
由于CD＝1cm，
∴CB＝CD+DB＝7cm，
∴AC＝AB﹣CB＝5cm，
∴AP＝AC+CP＝9cm，
当点D在C的左边时，如图所示：
∴AD＝AB﹣DB＝6cm，
∴AP＝AD+CD+CP＝11cm，
综上所述，AP＝9cm或11cm．
【点睛】本题考查两点间的距离，涉及列代数式，注意分类讨论是解题关键．
24.已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝ ．
【思路点拨】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，
①由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；
②当点C线段DE的三等分点时，可求得CE＝DE＝，则CD＝，由线段的和差即可得到结论；
（2）当点E在线段BC之间时，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论．
【解析】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，
∴BC＝6，AC＝12，
①∵E为BC中点，
∴CE＝3，
∵DE＝8，
∴CD＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；
②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，
∴当点C靠近E点时，CE＝DE＝，
∴CD＝，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝；
当点C靠近点D时，DC＝DE＝，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝；
（2）当点E在线段BC之间时，如图，
设BC＝x，
则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，
∴DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，
∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵，
∴，
∴y＝x，
∴CD＝1.5x﹣x＝x，
∴；
当点E在点A的左侧，如图，
设BC＝x，则DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，
∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵，BE＝EC+BC＝x+y，
∴，
∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，
∴，
当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，
综上所述的值为或．
另一解法：可设AB＝6，则AC＝4，CB＝2，DE＝3，
以A为原点，以AB的方向为正方向建立数轴，则A表示0，C表示4，B表示6，如图，
设D表示的数为x，则E表示x+3，
可得AD＝|x|，EC＝|x+3﹣4|＝|x﹣1|，BE＝|x+3﹣6|＝|x﹣3|，CD＝|x﹣4|，
，
①当x＜0或x≥3时，上式可化为：，解得x＝﹣7，则；
②1≤x＜3时，上式化为：，解得：x＝，则；
③0≤x＜1时，上式化为：，解得：x＝（舍去）．
综上所述的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，解答的关系是在（2）中分类讨论DE的位置．学习目标
1.理解线段的和差的意义.
2.会用直尺和圆规作两条线段的和与差.
3.理解线段的中点的概念会用刻度尺二等分一条线段.
4.会进行有关线段的和、差、倍分的简单计算.