浙教版七年级数学上册同步精品讲义第32课角的和差(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第32课角的和差(学生版+解析)，共41页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
目标导航
知识精讲
知识点01 角的和差
如果一个角的度数是另两个角度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；
如果一个角的度数是另两个角度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差.
知识点02 角的平分线
角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
能力拓展
考点01 角的和差
【典例1】下面是初一（2）班马小虎同学解的一道数学题．
题目（原题中没有图形）：在同一平面上，若∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数．
解：根据题意画出图形，如图所示，
∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC
＝70°﹣15°
＝55°
∴∠AOC＝55°
若你是老师，会判马小虎满分吗？若会，说明理由；若不会，请指出错误之处，并给出你认为正确的解法．
【即学即练1】从O点引三条射线OA、OB、OC，已知∠AOB＝70°，∠BOC＝60°，则∠AOC的度数是多少？（画出图形并解答）．
考点02 角的平分线
【典例2】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，已知0°＜∠AOC＜90°，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠DOE．
（1）求∠DOE的度数；
（2）求∠FOB+∠DOC的度数．
【即学即练2】如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50°B．60°C．65°D．70°
分层提分
题组A 基础过关练
1.如图，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（ ）
A．20°B．30°C．35°D．45°
2.如图，若∠BOD＝2∠AOB，OC是∠AOD的平分线，则①∠BOC＝；②∠DOC＝2∠BOC；③；④∠COD＝3∠BOC．正确的是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．①④
3.如图，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝150°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
4.已知∠AOB＝60°，∠AOC＝18°，则∠BOC的度数为（ ）
A．78°B．42°C．78°或42°D．102°或48°
5.计算：35°49'+44°26'＝ ．
6.以∠AOB的顶点O为端点引射线OP，使∠AOP：∠BOP＝3：2，若∠AOB＝17°，∠AOP的度数为 ．
7.如图所示，点O在直线AB上，∠BOC＝∠BOD，∠DOE＝2∠AOE．
（1）求∠COE的度数；
（2）若∠BOC＝20°，求∠AOD的度数．
8.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，已知0°＜∠AOC＜90°，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠DOE．
（1）求∠DOE的度数；
（2）求∠FOB+∠DOC的度数．
题组B 能力提升练
9.如图，∠AOB＝∠COD，若∠AOD＝110°，∠BOC＝70°，则以下结论正确的个数为（ ）
①∠AOC＝∠BOD＝90°；②∠AOB＝20°；③∠AOB＝∠AOD﹣∠AOC；④∠AOB＝∠BOD．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10.已知∠1：∠2：∠3＝2：3：6，且∠3比∠1大60°，则∠2＝（ ）
A．10°B．60°C．45°D．80°
11. 已知三条射线OA、OB、OC，∠AOB＝60°，若∠AOC＝2∠BOC，则∠AOC＝ 度．
12.将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF，GF为两条折痕，若∠1＝51°，∠2＝20°，∠3的度数 ．
13.如图是一副三角尺拼成的图案，其中∠ACB＝∠EBD＝90°，∠A＝30°，∠ABC＝60°，∠E＝∠EDB＝45°．若∠EBC＝4∠ABD，则∠ABD的度数为 ．
14.如图，A，O，B是同一直线上的三点，OC，OD，OE是从O点引出的三条射线，且∠1：∠2：∠3：∠4＝1：2：3：4，则∠5＝ 度．
15. 如图，已知OA⊥OD，∠FOD＝2∠COD，OB平分∠AOC，OE平分∠COF．
（1）若∠COD＝30°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOE＝85°，求∠COD的度数．（提示：设∠COD＝x°）
16.如图，已知∠AOB＝75°，OC是∠AOB内部的一条射线，过点O作射线OD，使得∠COD＝∠AOB．
（1）若∠AOD＝120°，则∠BOC＝ °；
（2）若∠AOD＝5∠BOC，则∠BOD＝ °；
（3）当∠COD绕着点O旋转时，∠AOD+∠BOC是否变化？若不变，求出其大小；若变化，说明理由．
题组C 培优拔尖练
17.如图用一副三角板可以画出15°的角，用它们还可以画出其它一些特殊角，不能利用这副三角板直接画出的角度是（ ）
A．55°B．75°C．105°D．135°
18.α，β都是钝角，有四名同学分别计算（α+β），却得到了四个不同的结果，分别为26°，50°，72°，90°，老师判作业时发现其中有正确的结果，那么计算正确的结果是（ ）
A．26°B．50°C．72°D．90°
19.已知∠AOB＝70°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC（∠BOC＜45°），则∠BOC的度数是 ．
20.如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN＝75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为 ．
21.定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．
（1）如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．
（2）点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．
①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．
②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．
22.有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．
（1）如图，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．
（2）当∠A′EB′＝∠B′EB时，设∠A′EB′＝x．
①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．
②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．
23.已知∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD的内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系，并说明理由．
（2）如图2，当射线OA，OB都在∠COD的外部时，过点O作射线OE，OF，满足∠BOE＝∠BOC，∠DOF＝∠AOD，求∠EOF的度数．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝3：7？若存在，求出∠GOF的度数；若不存在，请说明理由．
学习目标
1.了解角的和差的概念。
2.会表示两个角的和、差,会在图形中辨认角的和差，会用量角器作两个角的和差.
3.理解角平分线的概念,会用量角器画一个角的平分线.
4.会进行有关的角的和差、倍分的简单计算.
第32课 角的和差
目标导航
知识精讲
知识点01 角的和差
如果一个角的度数是另两个角度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；
如果一个角的度数是另两个角度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差.
知识点02 角的平分线
角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
能力拓展
考点01 角的和差
【典例1】下面是初一（2）班马小虎同学解的一道数学题．
题目（原题中没有图形）：在同一平面上，若∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数．
解：根据题意画出图形，如图所示，
∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC
＝70°﹣15°
＝55°
∴∠AOC＝55°
若你是老师，会判马小虎满分吗？若会，说明理由；若不会，请指出错误之处，并给出你认为正确的解法．
【思路点拨】根据题意画图形，应考虑两种情况：∠BOC在∠AOB的内部，∠BOC在∠AOB的外部．
【解析】解：不能给满分，
他只解答了一种情况，∠BOC在∠AOB的内部，
而忽略了∠BOC在∠AOB的外部，如图所示：
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC
＝70°+15°
＝85°
∴∠AOC＝85°，
∴∠AOC＝55°或∠AOC＝85°．
【点睛】在题干不配图时，注意考虑两种情况：∠BOC在∠AOB的内部，∠BOC在∠AOB的外部．
【即学即练1】从O点引三条射线OA、OB、OC，已知∠AOB＝70°，∠BOC＝60°，则∠AOC的度数是多少？（画出图形并解答）．
【思路点拨】因为两角的位置关系不明确，所以分∠BOC在∠AOB的内部和外部两种情况讨论求解．
【解析】解：如图，∵∠AOB＝70°，∠BOC＝60°，
∴（1）当∠BOC在∠AOB的内部时，
∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC
＝70°﹣60°
＝10°，
（2）当∠BOC在∠AOB的外部时，
∠AOC＝∠AOB+∠BOC
＝70°+60°
＝130°；
故∠AOC的度数为10°或130°．
【点睛】根据射线OC的位置不明确，所以本题难点在于要分两种情况讨论．
考点02 角的平分线
【典例2】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，已知0°＜∠AOC＜90°，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠DOE．
（1）求∠DOE的度数；
（2）求∠FOB+∠DOC的度数．
【思路点拨】（1）根据射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，判断出∠AOD＝∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOE＝∠BOC，即可求出∠DOE的度数是多少即可．
（2）根据射线OF平分∠DOE，可得∠DOF＝∠EOF＝∠DOE＝45°，据此求出∠FOB+∠DOC的度数是多少即可．
【解析】解：（1）∵射线OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC；
∵射线OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE＝∠BOC；
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC
＝∠AOC+∠BOC
＝（∠AOC+∠BOC）
＝×180°
＝90°
（2）∵射线OF平分∠DOE，
∴∠DOF＝∠EOF＝∠DOE＝45°，
∴∠FOB+∠DOC
＝∠BOF+∠AOD
＝180°﹣∠DOF
＝180°﹣45°
＝135°
【点睛】此题主要考查了角的计算，以及角的平分线的性质和应用，要熟练掌握．
【即学即练2】如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50°B．60°C．65°D．70°
【思路点拨】先根据OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB＝40°，∠COE＝60°求出∠BOC与∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠BOC+∠COD即可得出结论．
【解析】解：∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB＝40°，∠COE＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB＝40°，∠COD＝∠COE＝×60°＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°+30°＝70°．
故选：D．
【点睛】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义是解答此题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1.如图，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（ ）
A．20°B．30°C．35°D．45°
【思路点拨】由∠AOB：∠BOC＝2：3，可得∠AOB＝∠AOC进而求出答案，做出选择．
【解析】解：∵∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，
∴∠AOB＝∠AOC＝×75°＝30°，
故选：B．
【点睛】本题考查角的有关计算，按比例分配转化为∠AOB＝∠AOC是解答的关键．
2.如图，若∠BOD＝2∠AOB，OC是∠AOD的平分线，则①∠BOC＝；②∠DOC＝2∠BOC；③；④∠COD＝3∠BOC．正确的是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．①④
【思路点拨】设∠AOB＝α，由∠BOD＝2∠AOB，OC是∠AOD的平分线，可得∠BOD＝2α，∠AOC＝∠COD＝α，故能判断出选项中各角大小关系．
【解析】解：设∠AOB＝α，
∵∠BOD＝2∠AOB，OC是∠AOD的平分线，
∴∠BOD＝2α，∠AOC＝∠COD＝α，
∴，∠COD＝3∠BOC，
故选：B．
【点睛】本题主要考查角的比较与运算这一知识点，比较简单．
3.如图，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝150°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【思路点拨】由∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝150°，可求出∠BOC的度数，再根据角与角之间的关系求解．
【解析】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝150°，
∴∠BOC＝∠AOC+∠BOD﹣∠AOD
＝180°﹣150°＝30°，
故选：A．
【点睛】此题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和∠BOC相比，多加了∠BOC一次．
4.已知∠AOB＝60°，∠AOC＝18°，则∠BOC的度数为（ ）
A．78°B．42°C．78°或42°D．102°或48°
【思路点拨】分类讨论：当OC在∠AOB的内部时，利用∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC进行计算；当OC在∠AOB的外部，利用∠BOC＝∠AOB+∠AOC进行计算．
【解析】解；当OC在∠AOB的内部，如图，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝60°﹣18°＝42°，
当OC在∠AOB的外部，如图，
∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝60°+18°＝78°，
综上所述，∠BOC的度数为42°或78°，
故选：C．
【点睛】本题考查角度的计算，解题关键是分类讨论两种情况．
5.计算：35°49'+44°26'＝ 80°15′ ．
【思路点拨】根据角的单位换算计算即可．
【解析】解：35°49'+44°26'＝79°75′＝80°15′．
故答案为：80°15′．
【点睛】此题主要考查了角的计算以及度分秒的换算，关键是掌握将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．
6.以∠AOB的顶点O为端点引射线OP，使∠AOP：∠BOP＝3：2，若∠AOB＝17°，∠AOP的度数为 10.2°或51° ．
【思路点拨】分射线OP在∠AOB的内部和外部两种情况进行讨论求解即可．
【解析】解：如图1，当射线OP在∠AOB的内部时，设∠AOP＝3x，则∠BOP＝2x，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝5x＝17°，
解得：x＝3.4°，
则∠AOP＝10.2°；
如图2，当射线OP在∠AOB的外部时，设∠AOP＝3x，则∠BOP＝2x，
∵∠AOP＝∠AOB+∠BOP，
又∵∠AOB＝17°，
∴3x＝17°+2x，
解得：x＝17°，
则∠AOP＝51°．
故∠AOP的度数为10.2°或51°．
故答案为：10.2°或51°．
【点睛】本题考查了角的计算，关键是分两种情况进行讨论．
7.如图所示，点O在直线AB上，∠BOC＝∠BOD，∠DOE＝2∠AOE．
（1）求∠COE的度数；
（2）若∠BOC＝20°，求∠AOD的度数．
【思路点拨】（1）根据∠BOD与∠AOD互补，平角的定义，可得出∠BOD+∠AOD＝180°，再根据∠BOC＝∠BOD，∠DOE＝2∠AOE．求出∠EOC；
（2）根据∠BOC＝∠BOD，∠BOC＝20°，得出∠BOD＝60°，进而求出答案．
【解析】解：（1）因为点O在直线AB上，，∠DOE＝2∠AOE，
所以，．
因为∠BOD+∠AOD＝180°，
所以；
（2）因为，∠BOC＝20°，
所以∠BOD＝60°．
所以∠AOD＝180°﹣60°＝120°．
【点睛】考查互为补角的定义，根据各个角之间的关系进行等量代换和列方程是常用的方法．
8.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，已知0°＜∠AOC＜90°，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠DOE．
（1）求∠DOE的度数；
（2）求∠FOB+∠DOC的度数．
【思路点拨】（1）根据射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，判断出∠AOD＝∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOE＝∠BOC，即可求出∠DOE的度数是多少即可．
（2）根据射线OF平分∠DOE，可得∠DOF＝∠EOF＝∠DOE＝45°，据此求出∠FOB+∠DOC的度数是多少即可．
【解析】解：（1）∵射线OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC；
∵射线OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE＝∠BOC；
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC
＝∠AOC+∠BOC
＝（∠AOC+∠BOC）
＝×180°
＝90°
（2）∵射线OF平分∠DOE，
∴∠DOF＝∠EOF＝∠DOE＝45°，
∴∠FOB+∠DOC
＝∠BOF+∠AOD
＝180°﹣∠DOF
＝180°﹣45°
＝135°
【点睛】此题主要考查了角的计算，以及角的平分线的性质和应用，要熟练掌握．
题组B 能力提升练
9.如图，∠AOB＝∠COD，若∠AOD＝110°，∠BOC＝70°，则以下结论正确的个数为（ ）
①∠AOC＝∠BOD＝90°；②∠AOB＝20°；③∠AOB＝∠AOD﹣∠AOC；④∠AOB＝∠BOD．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】根据已知条件和图形可以得到：∠AOD＝∠BOC+2∠COD＝110°，则∠AOB＝∠COD＝20°，由此可以对以下选项通过计算可以做出正确的判定．
【解析】解：如图，∵∠AOB＝∠COD，∠AOD＝110°，∠BOC＝70°，
∴∠AOD＝∠BOC+2∠COD＝70°+2∠COD＝110°，则∠AOB＝∠COD＝20°．
①∵∠AOB＝∠COD，
∴∠BOC+∠AOB＝∠BOC+∠COD＝90°，即∠AOC＝∠BOD＝90°，故①正确；
②∠AOB＝∠COD＝20°．故②正确；
③由①知，∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝∠AOD﹣∠AOC，
故③正确；
④∵∠AOB＝20°，∠BOD＝90°，
∴∠AOB＝∠BOD．
故④错误．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了角的计算．解题时利用了“数形结合”的数学思想．
10.已知∠1：∠2：∠3＝2：3：6，且∠3比∠1大60°，则∠2＝（ ）
A．10°B．60°C．45°D．80°
【思路点拨】先设∠1＝2x，∠2＝3x，∠3＝6x，根据∠3比∠1大60°列出算式，求出x得值，再根据∠2＝3x，即可得出∠2的度数．
【解析】解：设∠1＝2x，∠2＝3x，∠3＝6x，根据题意得：
6x﹣2x＝60°，
解得：x＝15°，
则∠2＝3x＝3×15＝45°．
故选：C．
【点睛】此题考查了角的计算，解题的关键是设出∠1＝2x，∠2＝3x，∠3＝6x，根据∠3比∠1大60°列出算式，求出x的值．
11. 已知三条射线OA、OB、OC，∠AOB＝60°，若∠AOC＝2∠BOC，则∠AOC＝ 40或120 度．
【思路点拨】直接根据题意画出图形，进而结合分类讨论得出符合题意的答案．
【解析】解：如图1所示：
∵∠AOB＝60°，且∠AOC＝2∠BOC，
∴∠AOC＝2∠BOC＝40°；
如图2所示：
∵∠AOB＝60°，且∠AOC＝2∠BOC，
∴∠AOC＝2∠BOC＝120°．
故答案为：40或120
【点睛】此题主要考查了角的计算，正确利用分类讨论分析是解题关键．
12.将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF，GF为两条折痕，若∠1＝51°，∠2＝20°，∠3的度数 49° ．
【思路点拨】由折叠的性质可知，∠1＝∠EFB′，∠3＝∠C′FG，再由图形观察可知，∠2＝2∠1+2∠3﹣180°，代入角度的度数即可．
【解析】解：由折叠的性质可知，∠1＝∠EFB′，∠3＝∠C′FG，
∵∠1＝51°，∠2＝20°，∠2＝2∠1+2∠3﹣180°
∴20°＝2×51°+2∠3﹣180°，
解得∠3＝49°．
故答案为：49°．
【点睛】考查折叠轴对称的性质，角度的和差运算，根据折叠得到相等的角是关键．
13.如图是一副三角尺拼成的图案，其中∠ACB＝∠EBD＝90°，∠A＝30°，∠ABC＝60°，∠E＝∠EDB＝45°．若∠EBC＝4∠ABD，则∠ABD的度数为 30° ．
【思路点拨】设∠ABD＝x，则∠EBC＝4x，根据题意列方程即可得到结论．
【解析】解：∵∠EBC＝4∠ABD，
∴设∠ABD＝x，则∠EBC＝4x．
∵∠DBE＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝60°﹣x，
∴∠EBC＝90°+60°﹣x＝150°﹣x，
∴150°﹣x＝4x，
∴x＝30°，
即∠ABD＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查了角的计算，数形结合是解答此题的关键．
14.如图，A，O，B是同一直线上的三点，OC，OD，OE是从O点引出的三条射线，且∠1：∠2：∠3：∠4＝1：2：3：4，则∠5＝ 60 度．
【思路点拨】利用平角和角的比例关系即可求出．
【解析】解：A，O，B是同一直线上的三点，即∠AOB＝180°
∠1：∠2：∠3＝1：2：3，可知∠1＝30°∠2＝60°∠3＝90°；
∠1：∠2：∠3：∠4＝1：2：3：4，
∠4＝120°，
∠5＝180°﹣120°＝60°．
故填60．
【点睛】此题是对角进行度的比例计算，相对比较简单，但要准确求出各角大小是本题的难点．另外此题答案不能带单位．
15. 如图，已知OA⊥OD，∠FOD＝2∠COD，OB平分∠AOC，OE平分∠COF．
（1）若∠COD＝30°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOE＝85°，求∠COD的度数．（提示：设∠COD＝x°）
【思路点拨】（1）根据∠COD＝30°，OA⊥OD，可求出∠AOC，根据OB平分∠AOC和∠FOD＝2∠COD，可求出∠FOD，再根据OE平分∠COF，求出∠COE，即可求出∠BOE；
（2）设∠COD＝x°，根据已知条件可得∠BOC＝，∠COE＝，然后列方程，解方程即可求出答案．
【解析】解：（1）∵∠COD＝30°，OA⊥OD，∴∠AOC＝60°，
∵OB平分∠AOC，∴∠BOC＝30°，
∵∠FOD＝2∠COD，∴∠FOD＝60°，
∵OE平分∠COF，∴∠COE＝45°，
∴∠BOE＝30+45＝75°；
（2）设∠COD＝x°，由已知可得：
∠BOC＝，∠COE＝，
∴+＝85，解之x＝40
答：∠COD＝40°．
【点睛】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，此题涉及到方程思想，有一定拔高难度，属于中档题．
16.如图，已知∠AOB＝75°，OC是∠AOB内部的一条射线，过点O作射线OD，使得∠COD＝∠AOB．
（1）若∠AOD＝120°，则∠BOC＝ 30 °；
（2）若∠AOD＝5∠BOC，则∠BOD＝ 50 °；
（3）当∠COD绕着点O旋转时，∠AOD+∠BOC是否变化？若不变，求出其大小；若变化，说明理由．
【思路点拨】（1）根据等式的性质可得∠AOC＝∠BOD，根据∠AOD＝120°，∠AOB＝75°，求出∠AOC＝∠BOD＝45°，进而求出∠BOC即可；
（2）设未知数，根据∠AOD＝5∠BOC列方程求解即可；
（3）由题意可得∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝2∠AOB．
【解析】解：（1）∵∠COD＝∠AOB，
∴∠AOC+∠BOC＝∠BOC+∠BOD，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵∠AOD＝120°，∠AOB＝75°，
∴∠AOC＝∠BOD＝120°﹣75°＝45°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝75°﹣45°＝30°，
故答案为：30，
（2）设∠BOD＝x°，由（1）得∠AOC＝∠BOD＝x°，则∠BOC＝（75﹣x）°，
由∠AOD＝5∠BOC得，75°+x°＝5（75﹣x）°，
解得x＝50，
即：∠BOD＝50°，
故答案为：50；
（3）不变，理由如下：
∵∠COD＝∠AOB＝75°，∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝75°×2＝150°，
答：当∠COD绕着点O旋转时，∠AOD+∠BOC＝150°，其值不变．
【点睛】考查角的相关计算，通过图形直观，得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键．
题组C 培优拔尖练
17.如图用一副三角板可以画出15°的角，用它们还可以画出其它一些特殊角，不能利用这副三角板直接画出的角度是（ ）
A．55°B．75°C．105°D．135°
【思路点拨】利用角的和差关系，通过计算得结论．
【解析】解：因为一副三角板有30°、45°、60°、90°的角，
又∵45°﹣30°＝15°，45°+30°＝75°，
45°+60°＝105°，45°+90°＝135°．
所以用一副三角板可以画出75°、105°、135°等特殊的角．
故选：A．
【点睛】本题考查了角的和差及角的计算．能够熟练计算角的和差度数，是解决本题的关键．
18.α，β都是钝角，有四名同学分别计算（α+β），却得到了四个不同的结果，分别为26°，50°，72°，90°，老师判作业时发现其中有正确的结果，那么计算正确的结果是（ ）
A．26°B．50°C．72°D．90°
【思路点拨】根据钝角的取值范围，得到两个钝角和的取值范围，除以6后看所给的哪个角在这个范围内即可．
【解析】解：∵α、β都是钝角，
∴90°＜α＜180°，90°＜β＜180°，
∴180°＜α+β＜360°，
∴30°＜（α+β）＜60°，
∴计算正确的结果是50°．
故选：B．
【点睛】本题考查了角的有关计算问题．解题的关键是求（α+β）的范围．
19.已知∠AOB＝70°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC（∠BOC＜45°），则∠BOC的度数是 10°或14°或30°或42° ．
【思路点拨】①当射线OC在∠AOB内部时，此时射线OD的位置只有两种可能：i）若射线OD在∠AOC内部，ii）若射线OD在∠AOB外部，
②当射线OC在∠AOB外部时，i）若射线CO在∠AOB内部，ii）若射线OC在∠AOB外部分别求出即可．
【解析】解：设∠BOC＝α，
∴∠BOD＝3∠BOC＝3α，
依据题意，分两种情况：
①当射线OC在∠AOB内部时，此时射线OD的位置只有两种可能：
i）若射线OD在∠AOC内部，如图1，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝2α，
∵∠AOD＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝2α，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2α+3α＝5α＝70°，
∴α＝14°，
∴∠BOC＝14°；
ii）若射线OD在∠AOB外部，如图2，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝2α，
∵∠AOD＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝α，
∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD＝3α﹣α＝α＝70°，
∴α＝30°，
∴∠BOC＝30°；
②当射线OC在∠AOB外部时，
依据题意，此时射线OC靠近射线OB，
∵∠BOC＜45°，∠AOD＝∠AOC，
∴射线OD的位置也只有两种可能：
i）若射线DO在∠AOB内部，如图3，
则∠COD＝∠BOC+∠BOD＝4α，
∵∠AOD＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝4α，
∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝4α，
∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝3α+4α＝7α＝70°，
∴α＝10°，
∴∠BOC＝10°
ii）若射线OD在∠AOB外部，如图4，
则∠COD＝∠BOC+∠DOB＝4α，
∵∠AOD＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝α，
∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD＝3α﹣α＝α＝70°，
∴α＝42°，
∴∠BOC＝42°，
综上所述：∠BOC的度数分别是10°，14°，30°，42°．
故答案为：10°或14°或30°或42°
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及分类讨论思想的应用，根据已知正确分射线OD在∠AOB外部或内部得出是解题关键．
20.如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN＝75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为 3或或 ．
【思路点拨】分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．
【解析】解：当∠NPQ＝∠MPN时，
15t＝（75+5t），
解得t＝3；
当∠NPQ＝∠MPN时，
15t＝（75+5t），
解得t＝．
当∠NPQ＝∠MPN时，
15t＝（75+5t），
解得t＝．
故t的值为3或或．
故答案为：3或或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“巧分线”的定义是解题的关键．
21.定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．
（1）如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．
（2）点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．
①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．
②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．
【思路点拨】（1）分两种情况讨论，分别计算．
（2）作出图形，用t表示图中的各个角，列出t的方程求解．注意t的取值范围，对解出的结果需要验证和取舍．
【解析】解：（1）依题意，∠AOC+∠COB＝120°，
且2∠AOC＝∠COB，或∠AOC＝2∠COB．
当2∠AOC＝∠COB时，∠AOC＝∠AOB＝40°；
当∠AOC＝2∠COB时，∠AOC＝∠AOB＝80°．
（2）∵5t＜180°，
∴t＜36°．
①当∠AOC＝2∠COD时，∠AOC＝∠AOD，
即3t＝（180°﹣5t），
解得t＝．
当2∠AOC＝∠COD时，∠AOC＝∠AOD，
即3t＝（180°﹣5t），
解得t＝．
②当∠BOC＝2∠COD时，∠BOC＝∠BOD，
即180°﹣3t＝×5t，
解得t＝．
∴∠BOD＝5t＝．
当2∠BOC＝∠COD时，∠BOC＝∠BOD，
即180°﹣3t＝×5t，
解得t＝＞36°，不合题意舍去．
【点睛】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论．
22.有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．
（1）如图，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．
（2）当∠A′EB′＝∠B′EB时，设∠A′EB′＝x．
①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．
②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．
【思路点拨】（1）利用翻折变换的性质和角的计算即可；
（2）①根据已知条件，通过角的和差计算即可；
②假设EB′能平分∠FEG，通过角平分线的性质和①计算即可．
【解析】解：（1）猜想：∠FEG＝90°．
∵∠AEA'+∠A'EB＝180°，
∵折叠
∴∠AEF＝∠A'EF，∠B'EG＝∠GEB，
∴∠FEA'+∠A'EG＝∠FEG＝90°；
（2）①当点B落在∠AEG内部时，
′
∠B'EG＝x，
∴∠FEA'＝∠AEA'＝90°﹣2x，
∴∠FEG＝∠FAA'+∠A'EB'+∠B'EG＝90°﹣2x+x+x，
∴∠FEG＝90°+x；
如图2，当点B落在∠A'EF内部时，
∠A'EB'＝x，∠A'EB'＝∠B′EB，
∴∠B'EB＝3x，
∴AEA'＝180°﹣A'EB＝180°﹣（∠B'EB﹣∠A'EB）＝180°﹣2x，
∴∠BEG＝∠BEB'＝，∠AEF＝∠AEA'＝90°﹣x，
∴∠FEG＝180°﹣∠BEG﹣∠AEF＝90°﹣．
综上所述，当点B落在∠A'EG内部时，∠FEG＝90°+，当点B落在∠A'EF内部时，∠FEG＝90°﹣；
②可能．
当点B落在∠AEG内部时，
若EB'平分∠FEG，此时，
∠GEB'＝∠FEA'+∠GEA'＝∠FEB'，
∴45°+x＝x，
解得：x＝36°，
∴∠FEG＝108°，
此时∠B'EG＝54°，∠FEA'＝18°，在正方形ABCD中可以实现，
因此，∠FEG＝108°．
当点B落在∠A′EF内部时，∠FEG＝90°﹣，
∵EB平分∠FEG，
∴∠B'EG＝FEG＝45°﹣，
又∵∠B'EG＝∠BEB′＝，
∴45°﹣＝，
解得x＝（）°，
此时∠FEG＝90°﹣＝（）°，
综上所述，当点B落在∠A'EG内部时，∠FEG＝108°；当点B落在∠A'EF内部时，∠FEG＝（）°．
23.已知∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD的内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系，并说明理由．
（2）如图2，当射线OA，OB都在∠COD的外部时，过点O作射线OE，OF，满足∠BOE＝∠BOC，∠DOF＝∠AOD，求∠EOF的度数．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝3：7？若存在，求出∠GOF的度数；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据已知条件，∠AOB和∠COD是直角，可得出∠BOD和∠AOC与∠BOC的关系式，再根据∠AOC与∠AOB和∠BOD列出等量关系，即可得出答案；
（2）根据已知条件∠BOE＝∠BOC，可设∠BOE＝a，则∠BOC＝4a，再根据周角的关系可得到∠AOD的等量关系，再根据∠DOF＝∠AOD，可得到∠AOF的等量关系式，由∠BOE、∠AOB和∠AOF可列出等量关系，即可得到答案；
（3）分三种情况，①当射线OG在∠EOF内部时，由∠GOF：∠GOE＝3：7，可得出结果，当射线OG在∠EOF外部时，由∠GOF：∠GOE＝3：7，③当OG在∠EOF外部且在直线OE上方的时，可得出结果．
【解析】（1）∠AOD+∠BOC＝180°．
证明：∵∠AOB和∠COD是直角，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠BOD+∠BOC＝∠COD，
∴∠BOD＝90°﹣∠BOC，
同理：∠AOC＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+90°﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC＝180°；
（2）解：设∠BOE＝a，则∠BOC＝4a，
∵∠BOE+∠EOC＝∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE＝3a，
∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB＝360°，
∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB
＝360°﹣90°﹣4a﹣90°
＝180°﹣4a，
∵∠DOF＝∠AOD，
∴∠DOF＝（180°﹣4a）＝135°﹣3a，
∴∠AOF＝∠AOD＝（180°﹣4a）＝45°﹣a，
∴∠EOF＝∠BOE+∠AOB+∠AOF＝a+90°+45°﹣a＝135°，
∠EOF的度数为135°；
（3）①当射线OG在∠EOF内部时，
∴∠GOF：∠GOE＝3：7，
∴∠GOF＝（∠GOF+∠GOE）＝∠EOF＝×135°＝40.5°；
②当射线OG在∠EOF外部时，
∵∠GOF：∠GOE＝3：7，
∴∠GOF＝（∠GOE+∠GOF）
＝∠EOF
＝（∠DOF+∠COD+∠EOC）
＝ （135°﹣3a+90°+3a）
＝67.5°．
③当OG在∠EOF外部且在直线OE上方的时候求得的∠GOE超过180度，不合题意舍去．
综上所述，∠GOF 的度数是40.5°或67.5°．
【点睛】本题主要考查角的计算，根据题意列出相应的等量关系是解决本题的关键．学习目标
1.了解角的和差的概念。
2.会表示两个角的和、差,会在图形中辨认角的和差，会用量角器作两个角的和差.
3.理解角平分线的概念,会用量角器画一个角的平分线.
4.会进行有关的角的和差、倍分的简单计算.