浙教版七年级数学上册同步精品讲义第33课余角和补角(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第33课余角和补角(学生版+解析)，共32页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 余角和补角的概念
1.如果两个锐角的和为直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角.
2.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角.
知识点02 余角与补角的性质
余角与补角性质：同角或等角的余角相等； 同角或等角的补角相等.
能力拓展
考点01 余角和补角的概念
【典例1】已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3为（ ）
A．120°B．60°C．30°D．150°
【即学即练1】已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，且∠1＝55°21'，则∠3＝ ．
考点02 余角与补角的性质
【典例2】若∠α+∠β＝90°，∠β+∠γ＝90°，则∠α与∠γ的关系是（ ）
A．互余B．互补C．相等D．∠α＝90°+∠γ
【即学即练2】如图，因为∠1+∠2＝180°，∠3+∠2＝180°，所以∠1＝∠3，这是根据（ ）
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
分层提分
题组A 基础过关练
1.若∠α＝60°32'，则∠α的余角是（ ）
A．29°68'B．29°28'C．119°68'D．119°28'
2.若一个角的余角为65°，则这个角的补角度数为（ ）
A．105°B．155°C．115°D．125°
3.将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β不一定相等的是（ ）
A． B．C．D．
4.一个角的余角的3倍比这个角的4倍大18°，则这个角等于（ ）
A．36°B．40°C．50°D．54°
5.已知一个锐角的度数为71.52°，则这个角的余角为 ．（结果用度、分、秒来表示）
6.一个角的补角比它的余角的3倍少20°，这个角的度数是
7.若∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，则∠1与∠3的关系是 ，理由是 ．
8.如图，已知A、O、E三点在同一直线上，∠1＝∠2，且∠1和∠4互为余角．
（1）∠2与∠3互余吗？
（2）∠3和∠4有什么关系，为什么？
（3）∠3的补角是 ．
9.已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB与∠BOC互补时，求∠COD的度数；
（2）如图2，当∠AOB与∠BOC互余时，求∠COD的度数．
10.如图，将两块直角三角尺的顶点叠放在一起．
（1）若∠DCE＝25°，求∠ACB的度数．
（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数．
（3）猜想∠ACB与∠DCE的关系，并说明理由．
题组B 能力提升练
11.已知∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°（∠α≠0°，∠β≠0°），下列式子表示的角：①90°﹣∠β；②30°+∠α；③∠α+∠β；④2∠α+∠β中，其中是∠β的余角的是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
12.下列说法正确的是（ ）
A．90°的角叫余角，180°的角叫补角 B．如果∠1+∠2+∠3＝180°，那么∠1、∠2与∠3互补
C．如果两个角相等，那么它们的补角相等D．如果∠α＞∠β，那么∠α的补角比∠β的补角大
13.如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，那么下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余C．∠AOD与∠1互补D．∠AOE与∠COD互余
14.如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，下列表达式：①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③（∠β+∠α）；④（∠β﹣∠α）中，等于∠α的余角的式子有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15.如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的关系是（ ）
A．∠1＝90°+∠3B．∠3＝90°+∠1C．∠1＝∠3D．∠1＝180°﹣∠3
16.如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠DOE＝90°，图中互余的角有几对？（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
17.一个角的补角是36°35'，这个角是 ；一个锐角的余角比这个角的补角小 度．
18.如图，已知直线AB上一点O，∠AOC＝∠DOE＝90°，∠DOC＝∠EOB．
（1）求证：∠AOD＝∠COE
证明（法1）：∵∠AOC＝∠DOE＝90°（已知）
∴∠AOD+∠COD＝90°
∠COE+∠COD＝90°
∴∠AOD＝∠COE（ ）
（法2）∵∠AOC＝90°（已知）
∴∠COB＝90°
∴∠AOD+∠DOC＝90°
∠COE+∠EOB＝90°
∵∠DOC＝∠EOB（已知）
∴∠AOD＝∠COE（ ）
（2）若∠COE＝∠BOD，求∠AOE、∠COD的度数．
题组C 培优拔尖练
19.若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：
①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的是（ ）
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
20.下列语句中，正确的个数是（ ）
①直线AB和直线BA是两条直线；②射线AB和射线BA是两条射线；③若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1、∠2、∠3互余；④一个角的余角比这个角的补角小；⑤一条射线就是一个周角；⑥两点之间，线段最短．
A．1个B．2个C．3个D．4个
21. 如图，射线OC，OD在∠AOB内，∠AOB和∠BOC互为补角，．若∠COD比∠BOD大m°（m＜30），则∠AOC＝ °．（用含m的式子表示）
22.如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD．
（1）若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度数．
（2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度数．
（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，当α为多少度时，∠AOD和∠BOC互余？并说明理由．
23.已知∠AOB与∠COD互补，射线OE平分∠COD，设∠AOC＝α，∠BOD＝β．
（1）如图1，∠COD在∠AOB的内部，
①当∠COD＝45°时，求α+β的值．
②当α＝3β时，求∠BOE的度数．
（2）如图2，∠COD在∠AOB的外部，∠BOE＝45°，求α与β满足的等量关系．
学习目标
1.了解补角和余角的概念.
2.理解等角的余角相等,等角的补角相等.
3.了解角在解决实际问题中的一些简单应用.
第33课 余角和补角
目标导航
知识精讲
知识点01 余角和补角的概念
1.如果两个锐角的和为直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角.
2.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角.
知识点02 余角与补角的性质
余角与补角性质：同角或等角的余角相等； 同角或等角的补角相等.
能力拓展
考点01 余角和补角的概念
【典例1】已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3为（ ）
A．120°B．60°C．30°D．150°
【思路点拨】根据∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，求得∠2的度数，然后根据∠2与∠3互补，得出∠3＝180°﹣∠2．
【解析】解：∵∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°，
∵∠2与∠3互补，
∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
【点睛】本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°．
【即学即练1】已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，且∠1＝55°21'，则∠3＝ 145°21′ ．
【思路点拨】根据互为余角的两个角的和等于90°，先求出∠2，再根据互为补角的两个角的和等于180°，列式计算即可求出∠3的度数．也可以根据同角的补角比余角大90°进行计算．
【解析】解：（方法1）∵∠1与∠2互余，∠1＝55°21'，
∴∠2＝90°﹣55°21′＝34°39′，
∵∠2与∠3互补，
∴∠3＝180°﹣34°39′＝145°21′．
（方法2）∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，
∴∠3＝∠1+90°，
∵∠1＝55°21′，
∴∠3＝90°+55°21′＝145°21′．
故答案为：145°21′．
【点睛】本题考查了余角和补角，互余的两个角的和等于90°，互补的两个角的和等于180°，熟练掌握性质概念是解题的关键．
考点02 余角与补角的性质
【典例2】若∠α+∠β＝90°，∠β+∠γ＝90°，则∠α与∠γ的关系是（ ）
A．互余B．互补C．相等D．∠α＝90°+∠γ
【思路点拨】两式组成方程计算即可．
【解析】解：已知∠α+∠β＝90°（1），
∠β+∠γ＝90°（2），
（1）﹣（2）得，∠α＝∠γ．
故选：C．
【点睛】主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180°．解此题的关键是能准确的从题意中找出这两个角之间的数量关系，从而判断出两角之间的关系．
【即学即练2】如图，因为∠1+∠2＝180°，∠3+∠2＝180°，所以∠1＝∠3，这是根据（ ）
A．同角的余角相等B．等角的余角相等
C．同角的补角相等D．等角的补角相等
【思路点拨】根据题意知∠1与∠3都是∠2的补角，根据同角的补角相等，得出∠1＝∠3．
【解析】解：∵∠1与∠3都是∠2的补角，
∴∠1＝∠3（同角的补角相等）．
故选：C．
【点睛】本题考查了补角的知识，注意同角或等角的补角相等，在本题中要注意判断是“同角”还是“等角”．
分层提分
题组A 基础过关练
1.若∠α＝60°32'，则∠α的余角是（ ）
A．29°68'B．29°28'C．119°68'D．119°28'
【思路点拨】根据余角的定义解答即可．
【解析】解：若∠α＝60°32'，则∠α的余角是90°﹣60°32'＝29°28'．
故选：B．
【点睛】本题考查余角的定义．掌握和为90°的两角互为余角是解题的关键．
2.若一个角的余角为65°，则这个角的补角度数为（ ）
A．105°B．155°C．115°D．125°
【思路点拨】根据互为余角的两个角的和等于90°求出这个角，再根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
【解析】解：∵一个角的余角是65°，
∴这个角是90°﹣65°＝25°，
∴这个角的补角为180°﹣25°＝155°．
故选：B．
【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记余角和补角的概念是解题的关键．
3.将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β不一定相等的是（ ）
A． B．C．D．
【思路点拨】A、由图形可分别求出∠α＝∠β＝45°，即可做出判断；
B、由图形可得两角互余，即可做出判断；
C、由对顶角相等可得∠α＝∠β，即可做出判断；
D、根据同角的余角相等，即可做出判断．
【解析】解：A、由图形可得∠β＝45°，∠α＝∠90°﹣45°＝45°，则∠α＝∠β＝45°，故A不符合题意；
B、由图形可得∠α+∠β＝90°，故B符合题意；
C、由对顶角相等得：∠α＝∠β，故C不符合题意；
D、根据同角的余角相等，得：∠α＝∠β，故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查余角，解答的关键是对余角的定义的掌握．
4.一个角的余角的3倍比这个角的4倍大18°，则这个角等于（ ）
A．36°B．40°C．50°D．54°
【思路点拨】根据互为余角的两角和等于90°，用这个角表示出它的余角，然后根据题意列出方程求解即可．
【解析】解：设这个角是x，则它的余角是90°﹣x，
根据题意得，3（90°﹣x）﹣4x＝18°，
去括号，得270°﹣3x﹣4x＝18°，
移项、合并，得7x＝252°，
系数化为1，得x＝36°．
故这个角的度数36°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了余角与补角，根据题意列出方程是解题的关键．
5.已知一个锐角的度数为71.52°，则这个角的余角为 18°28′48″ ．（结果用度、分、秒来表示）
【思路点拨】根据互余的两角之和为90°，可得这个角的余角．
【解析】解：90°﹣71.52°＝18.48°＝18°28′48″，
∴这个角的余角是18°28′48″．
故答案为：18°28′48″．
【点睛】本题考查了余角的知识，度分秒的换算，关键是掌握互余的两角之和为90°．
6.一个角的补角比它的余角的3倍少20°，这个角的度数是 35°
【思路点拨】设这个角为x度．根据一个角的补角比它的余角的3倍少20°，构建方程即可解决问题．
【解析】解：设这个角为x度．
则180°﹣x＝3（90°﹣x）﹣20°，
解得：x＝35°．
答：这个角的度数是35°．
故答案为：35°．
【点睛】本题考查余角、补角的定义，一元一次方程等知识，解题的关键是学会与方程分思想思考问题，属于中考常考题型．
7.若∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，则∠1与∠3的关系是 ∠1＝∠3 ，理由是 同角的余角相等 ．
【思路点拨】根据同角的余角相等的性质即可求解．
【解析】解：若∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，则∠1与∠3的关系是∠1＝∠3，理由是同角的余角相等．
故答案为：∠1＝∠3；同角的余角相等．
【点睛】考查了余角和补角的性质：同角的补角相等．同角的余角相等．
8.如图，已知A、O、E三点在同一直线上，∠1＝∠2，且∠1和∠4互为余角．
（1）∠2与∠3互余吗？
（2）∠3和∠4有什么关系，为什么？
（3）∠3的补角是 ∠AOD ．
【思路点拨】（1）根据∠1+∠2+∠3+∠4＝180°和∠1+∠4＝90°推出即可；
（2）根据等角的余角相等得出即可；
（3）根据等角的补角相等得出即可．
【解析】解：（1）∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
又∵∠1和∠4互为余角，
∴∠1+∠4＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
即∠2与∠3互余；
（2）∠3＝∠4，
理由是：∵∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4；
（3）∵∠3＝∠4，∠4的补角是∠AOE，
∴∠3的补角是∠AOD，
故答案为：∠AOD．
【点睛】本题考查了对互余和互补的定义的应用，注意：①如果∠1和∠2互余，则∠1+∠2＝90°，②如果∠1和∠2互补，则∠1+∠2＝180°．
9.已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB与∠BOC互补时，求∠COD的度数；
（2）如图2，当∠AOB与∠BOC互余时，求∠COD的度数．
【思路点拨】（1）根据互补的意义得到∠AOB+∠BOC＝180°，则可计算出∠BOC＝180°﹣∠AOB＝140°，然后根据角平分线的定义可得到∠COD的度数；
（2）根据互余的意义得到∠AOB+∠BOC＝90°，则可计算出∠BOC＝90°﹣∠AOB＝50°，然后根据角平分线的定义可得到∠COD的度数．
【解析】解：（1）∵∠AOB与∠BOC互补，
∴∠AOB+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠COD＝∠BOC＝70°；
（2））∵∠AOB与∠BOC互余，
∴∠AOB+∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣40°＝50°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠COD＝∠BOC＝25°．
【点睛】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角；等角的补角相等．等角的余角相等．
10.如图，将两块直角三角尺的顶点叠放在一起．
（1）若∠DCE＝25°，求∠ACB的度数．
（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数．
（3）猜想∠ACB与∠DCE的关系，并说明理由．
【思路点拨】（1）由于是两直角三角形板重叠，重叠的部分就比90°+90°减少的部分，所以若∠DCE＝25°，则∠ACB的度数为180°﹣25°＝155°；
（2）与（1）同理，由∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为180°﹣∠ACB＝40°；
（3）由于∠ACD＝∠ECB＝90°，重叠的度数就是∠ECD的度数，所以∠ACB+∠DCE＝180°．
【解析】解：（1）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝25°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB
＝∠ACD+∠ECB﹣∠DCE
＝180°﹣25°
＝155°；
（2）由（1）知∠ACB＝180°﹣∠ECD，
∴∠ECD＝180°﹣∠ACB＝40°；
（3）∠ACB+∠DCE＝180°，
理由：∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+90°﹣∠DCE．
∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB与∠DCE互补．
【点睛】本题题主要考查了旋转的性质和互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠．
题组B 能力提升练
11.已知∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°（∠α≠0°，∠β≠0°），下列式子表示的角：①90°﹣∠β；②30°+∠α；③∠α+∠β；④2∠α+∠β中，其中是∠β的余角的是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【思路点拨】根据3∠β＝180°﹣2∠α求出∠β＝60°﹣∠α，求出∠β的余角是90°﹣∠β，求出∠β的余角＝90°﹣（60∠α）＝30°+∠α，再逐个判断即可．
【解析】解：∠β的余角是90°﹣∠β，故①正确；
∵∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°，
∴3∠β＝180°﹣2∠α，
∴∠β＝60°﹣∠α，
∴∠β的余角是90°﹣（60∠α）＝30°+∠α，故②错误；
∵∠α+β＝∠α+（60°﹣∠α）＝∠α+30°﹣＝30°+∠α，
∴∠α+∠β是∠β的余角，故③正确；
∵2∠α+∠β＝2∠α+60°﹣∠α＝60°+∠α≠30°+∠α，故④错误；
即正确的是①③，
故选：B．
【点睛】本题考查了余角与补角，能求出∠β的余角＝90°﹣∠β＝30°+∠α是解此题的关键．
12.下列说法正确的是（ ）
A．90°的角叫余角，180°的角叫补角 B．如果∠1+∠2+∠3＝180°，那么∠1、∠2与∠3互补
C．如果两个角相等，那么它们的补角相等D．如果∠α＞∠β，那么∠α的补角比∠β的补角大
【思路点拨】根据余角和补角的概念进行判断即可．
【解析】解：两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补，A错误；
两个角的和等于180°，则这两个角互补，B错误；
如果两个角相等，那么它们的补角相等，C正确；
如果∠α＞∠β，那么∠α的补角比∠β的补角小，D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查的是余角和补角的概念，两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
13.如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，那么下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余C．∠AOD与∠1互补D．∠AOE与∠COD互余
【思路点拨】根据余角和补角的定义逐一判断即可得解．
【解析】解：∵∠COB＝∠EOD＝90°，
∴∠1+∠COD＝∠2+∠COD＝90°，
∴∠1＝∠2，故A选项正确；
∵∠AOE+∠1＝90°，
∴∠AOE+∠2＝90°，即∠AOE与∠2互余，故B选项正确；
∵∠COB＝90°，
∵∠AOD+∠2＝180°，
∵∠1＝∠2，
∴∠AOD+∠1＝180°，即∠AOD与∠1互补，故C选项正确；
无法判断∠AOE与∠COD是否互余，D选项错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查余角和补角，余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
14.如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，下列表达式：①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③（∠β+∠α）；④（∠β﹣∠α）中，等于∠α的余角的式子有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】根据余角和补角定义得出∠β＝180°﹣∠α，∠α的余角是90°﹣α，分别代入，进行化简，再判断即可．
【解析】解：∵∠α和∠β互补，
∴∠β＝180°﹣∠α，
∠α的余角是90°﹣α，
∠β﹣90°＝180°﹣∠α﹣90°＝90°﹣∠α，
（∠β+∠α）＝（180°﹣∠α+∠α）＝90°
（∠β﹣∠α）＝（180°﹣∠α﹣∠α）＝90°﹣∠α，
即①②④，3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了余角和补角的定义，能知道∠α的余角＝90°﹣∠α和∠α的补角＝180°﹣∠α是解此题的关键．
15.如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的关系是（ ）
A．∠1＝90°+∠3B．∠3＝90°+∠1C．∠1＝∠3D．∠1＝180°﹣∠3
【思路点拨】根据∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，先把∠1、∠3都用∠2来表示，再进行运算．
【解析】解：∵∠1+∠2＝180°
∴∠1＝180°﹣∠2
又∵∠2+∠3＝90°
∴∠3＝90°﹣∠2
∴∠1﹣∠3＝90°，即∠1＝90°+∠3．
故选：A．
【点睛】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．
16.如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠DOE＝90°，图中互余的角有几对？（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【思路点拨】根据余角的和等于90°，结合图形找出和等于90°的两个角，然后再计算对数．
【解析】解：∵∠AOC＝∠DOE＝90°，
∴∠AOE+∠COE＝90°，∠AOE+∠BOD＝90°，∠COD+∠COE＝90°，∠COD+∠BOD＝90°，
∴互余的角有4对．
故选：C．
【点睛】本题结合图形考查了余角的和等于90°的性质，找出和等于90°的两个角是解题的关键．
17.一个角的补角是36°35'，这个角是 143ﾟ25' ；一个锐角的余角比这个角的补角小 90 度．
【思路点拨】根据互为补角、互为余角的概念求解即可．
【解析】解：这个角为：180°﹣36°35′＝143°25′；
设这个锐角为x，它的余角为：（90﹣x）°，它的补角为：（180﹣x）°，
∵180﹣x﹣（90﹣x）＝90°，
∴一个锐角的余角比这个角的补角小90度；
故答案为：143°25′；90．
【点睛】此题考查了余角、补角，熟练掌握余角、补角的概念是解题的关键．
18.如图，已知直线AB上一点O，∠AOC＝∠DOE＝90°，∠DOC＝∠EOB．
（1）求证：∠AOD＝∠COE
证明（法1）：∵∠AOC＝∠DOE＝90°（已知）
∴∠AOD+∠COD＝90°
∠COE+∠COD＝90°
∴∠AOD＝∠COE（ 同角的余角相等 ）
（法2）∵∠AOC＝90°（已知）
∴∠COB＝90°
∴∠AOD+∠DOC＝90°
∠COE+∠EOB＝90°
∵∠DOC＝∠EOB（已知）
∴∠AOD＝∠COE（ 等角的余角相等 ）
（2）若∠COE＝∠BOD，求∠AOE、∠COD的度数．
【思路点拨】（1）根据同角的余角相等以及等角的余角相等解答即可；
（2）设∠BOD＝5x，∠AOD＝x，根据题意列方程解答即可．
【解析】解：（1）证明（法1）：∵∠AOC＝∠DOE＝90°（已知）
∴∠AOD+∠COD＝90°
∠COE+∠COD＝90°
∴∠AOD＝∠COE（同角的余角相等）
（法2）∵∠AOC＝90°（已知）
∴∠COB＝90°
∴∠AOD+∠DOC＝90°
∠COE+∠EOB＝90°
∵∠DOC＝∠EOB（已知）
∴∠AOD＝∠COE（等角的余角相等）．
故答案为：同角的余角相等；等角的余角相等
（2）设∠BOD＝5x，∠AOD＝x，
∴5x+x＝180°，
解得x＝30°，
∴∠BOD＝150°，
∠COD＝90°﹣0°＝60°，
∠BOE＝∠COD＝60°，
∠AOE＝120°．
【点睛】本题结合图形考查了余角的和等于90°的性质，找出和等于90°的两个角是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
19.若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：
①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的是（ ）
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
【思路点拨】根据题意得：①（1）∠1+∠2＝90°，（2）∠1+∠3＝180°，（2）﹣（1）得出结果进行判断；
②（1）+（2）得出结果进行判断；
③（2）﹣（1）×2得出结果进行判断；
④先把（1）等式两边乘2得2（∠1+∠2）＝180°，把（2）变形后代入2（∠1+∠2）＝180°，得出结果进行判断．
【解析】解：根据题意得：（1）∠1+∠2＝90°，（2）∠1+∠3＝180°，
∴（2）﹣（1）得，∠3﹣∠2＝90°，
∴①正确；
（1）+（2）得，∠1+∠2+∠1+∠3＝270°，
∴∠3+∠2＝270°﹣2∠1，
∴②正确；
（2）﹣（1）×2得，∠3﹣∠1＝2∠2，
∴③正确；
∵（1）∠1+∠2＝90°，（2）∠1+∠3＝180°，
∴2（∠1+∠2）＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1
＝2（∠1+∠2）﹣∠1
＝∠1+2∠2，
∴∠3＞∠1+∠2，
∴④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查余角和补角，掌握余角和补角的定义，根据题目的要求对两个等式进行不同的计算是解题关键．
20.下列语句中，正确的个数是（ ）
①直线AB和直线BA是两条直线；②射线AB和射线BA是两条射线；③若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1、∠2、∠3互余；④一个角的余角比这个角的补角小；⑤一条射线就是一个周角；⑥两点之间，线段最短．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】根据射线、直线的定义，余角与补角，周角的定义，以及线段的性质即可求解．
【解析】解：①直线AB和直线BA是一条直线，原来的说法是错误的；
②射线AB和射线BA是两条射线是正确的；
③互余是指的两个角的关系，原来的说法是错误的；
④一个角的余角比这个角的补角小是正确的；
⑤周角的特点是两条边重合成射线．但不能说成周角是一条射线，原来的说法是错误的；
⑥两点之间，线段最短是正确的．
故正确的个数是3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了射线、直线的定义，余角与补角，周角的定义，以及线段的性质，是基础题，熟记相关概念与性质是解题的关键．
21. 如图，射线OC，OD在∠AOB内，∠AOB和∠BOC互为补角，．若∠COD比∠BOD大m°（m＜30），则∠AOC＝ °．（用含m的式子表示）
【思路点拨】根据补角的定义可求解∴∠COD+4∠BOD＝180°，结合已知条件可得∠COD﹣∠BOD＝m°，进而可求解∠BOC，∠AOB的度数，利用∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC可求解．
【解析】解：∵∠AOB和∠BOC互为补角，
∴∠AOB+∠BOC＝180°，
∵∠BOD＝，
∴3∠BOD+∠BOC＝180°，
即∠BOC＝180°﹣3∠BOD，
∵∠COD+∠BOD＝∠BOC，
∴180°﹣3∠BOD＝∠COD+∠BOD，
∴∠COD+4∠BOD＝180°，
∵∠COD比∠BOD大m°（m＜30），
∴∠COD﹣∠BOD＝m°，
∴∠BOD＝（）°，∠COD＝（）°
∴∠BOC＝（）°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝（108﹣）°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝（108﹣）°﹣（）°＝（36﹣m）°．
故答案为（36﹣m）．
【点睛】本题主要考查角的计算，补角的定义，利用角度的和，差，倍，分知识可求解．
22.如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD．
（1）若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度数．
（2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度数．
（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，当α为多少度时，∠AOD和∠BOC互余？并说明理由．
【思路点拨】（1）根据互余的意义，即可求出答案；
（2）设出未知数，利用题目条件，表示出∠AOB、∠BOC，进而列方程求解即可；
（3）利用角度的和与差，反推得出结论，再利用互余得出答案．
【解析】解：（1）∵∠AOC＝90°，∠BOD＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°；
（2）设∠COD＝x°，则∠BOC＝100°﹣x°，
∵∠AOC＝110°，
∴∠AOB＝110°﹣（100°﹣x°）＝x°+10°，
∵∠AOD＝∠BOC+70°，
∴100°+10°+x°＝100°﹣x°+70°，
解得：x＝30
即，∠COD＝30°；
（3）当α＝45°时，∠AOD与∠BOC互余；
理由是：
要使∠AOD与∠BOC互余，即∠AOD+∠BOC＝90°，
∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC＝90°，
即∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD＝α，
∴∠AOC＝∠BOD＝45°，
即α＝45°，
∴当α＝45°时，∠AOD与∠BOC互余．
【点睛】考查互为余角的意义，通过图形直观得出角度的和或差，以及各个角之间的关系是得出正确答案的前提．
23.已知∠AOB与∠COD互补，射线OE平分∠COD，设∠AOC＝α，∠BOD＝β．
（1）如图1，∠COD在∠AOB的内部，
①当∠COD＝45°时，求α+β的值．
②当α＝3β时，求∠BOE的度数．
（2）如图2，∠COD在∠AOB的外部，∠BOE＝45°，求α与β满足的等量关系．
【思路点拨】（1）①根据补角的定义以及角的和差关系解答即可；②结合①的结论求出3β，再根据角的和差关系解答即可；
（2）根据角平分线的定义以及补角的定义求解即可．
【解析】解：（1）①∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB+∠COD＝180°，
∵∠COD＝45°，
∴∠AOB＝135°，
∵∠AOC+∠BOD+∠COD＝135°，
∴α+β+45°＝135°，
∴α+β＝90°；
②设∠DOE＝∠x，
∵∠AOB与∠COD互补，且∠α＝3∠β，
∴4∠β+4∠x＝180°，
即∠β+∠x＝45°，
∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝∠β+∠x＝45°；
（2）∵∠BOE＝45°，
∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝β﹣45°，
∵射线OE平分∠COD，
∴∠COD＝2∠DOE＝2β﹣90°，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB+∠COD＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠COD＝270°﹣2β，
∵∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝β﹣（2β﹣90°）＝90°﹣β，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝270°﹣2β+90°﹣β＝360°﹣3β，
∴α＝360°﹣3β，
∴α+3β＝360°．
【点睛】本题考查了余角和补角以及角平分线的定义，角的计算，正确的识别图形是解题的关键．学习目标
1.了解补角和余角的概念.
2.理解等角的余角相等,等角的补角相等.
3.了解角在解决实际问题中的一些简单应用.