2024年云南省红河州九上数学开学统考试题【含答案】

这是一份2024年云南省红河州九上数学开学统考试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由元降为元。已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为 ，根据题意列方程得（ ）
A．B．
C．D．
2、（4分）下列命题中正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3、（4分）如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为（ ）
A．48B．96C．80D．192
4、（4分）如果一次函数y＝kx+不经过第三象限，那么k的取值范围是( )
A．k＜0B．k＞0C．k≤0D．k≥0
5、（4分）一组数中，无理数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
6、（4分）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）如图，先将矩形ABCD沿三等分线折叠后得到折痕PQ，再将纸片折叠，使得点A落在折痕PQ上E点处，此时折痕为BF，且AB＝1．则AF的长为（ ）
A．4B．C．D．
8、（4分）已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是( )
A．2n﹣2B．2n﹣1C．2nD．2n+1
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在参加“森林重庆”的植树活动中，某班六个绿化小组植树的棵数分别是：10，1，1，10，11，1．则这组数据的众数是____________．
10、（4分）已知分式方程+=，设，那么原方程可以变形为__________
11、（4分）计算_________.
12、（4分）函数y＝的自变量x的取值范围为_____．
13、（4分）把长为20，宽为a的长方形纸片(10＜a＜20)，如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形宽度的正方形(称为第一次操作)；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形(称为第二次操作)；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的长方形为正方形，则操作停止．当n=3时，a的值为________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）计算：
（1）
（2）
（3）先化简：再求值．，其中
15、（8分）如图，O是矩形ABCD对角线的交点，作，，DE，CE相交于点E，求证：四边形OCED是菱形．
16、（8分）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（2，0），点D（0，3），点C在第一象限．
（1）求直线AD的解析式；
（2）若E为y轴上的点，求△EBC周长的最小值；
（3）若点Q在平面直角坐标系内，点P在直线AD上，是否存在以DP，DB为邻边的菱形DBQP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17、（10分）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东60°方向走了m 到达点B，然后再沿北偏西30°方向走了50m到达目的地C。
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）确定目的地C在营地A的北偏东多少度方向。
18、（10分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请我帮他算一算，该田有___亩（1亩＝240平方步）．
20、（4分）如图，点，是的边，上的点，已知，，分别是，，中点，连接BE，FH，若BD=8，CE=6，，∠FGH=90°，则FH长为_______.
21、（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在x轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标_____．
22、（4分）矩形（非正方形）四个内角的平分线围成的四边形是__________形.（埴特殊四边形）
23、（4分）若反比例函数y＝的图象在二、四象限，则常数a的值可以是_____．(写出一个即可)
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）中国古代有着辉煌的数学成就，《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献.
（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，求他选中《九章算术》的概率；
（2）小聪拟从这4部数学名著中选择2部作为假课外拓展学习内容，用列表或树状图求选中的名著恰好是《九章算术》和《周牌算经》的概率.
25、（10分）如图，直线l1交x轴于A（3，0），交y轴于B（0，﹣2）
（1）求直线l1的表达式；
（2）将l1向上平移到C（0，3），得到直线l2，写出l2的表达式；
（3）过点A作直线l3⊥x轴，交l2于点D，求四边形ABCD的面积．
26、（12分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：四边形ABCD
求作：点P，使∠PBC＝∠PCB，且点P到AD和DC的距离相等．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
设每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设每次降价的百分率为x，
根据题意得：168（1-x）2=1．
故选：D．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2、C
【解析】
要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
【详解】
A. 应为两组对边平行的四边形是平行四边形；
B. 有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；
C. 符合菱形定义；
D. 应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
故选：C.
此题考查命题与定理，解题关键在于掌握各性质定理.
3、B
【解析】
根据菱形的性质利用勾股定理求得OB的长，从而得到BD的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC，
在Rt△AOB中，BO==6，
则BD=2BO=12，
故S菱形ABCD=AC×BD=1．
故选：B．
此题考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．
4、A
【解析】
根据一次函数y=kx+b的图象与k、b之间的关系，即可得出k的取值范围.
【详解】
∵一次函数y＝kx+的图象不经过第三象限，
∴一次函数y＝kx+的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜1．
故选：A．
本题考查了一次函数的图象与系数k,b的关系，熟练掌握一次函数的图象的性质是解题的关键.
5、B
【解析】
先将二次根式换成最简二次根式，再根据无限不循环小数是无理数的定义进行判断选择即可.
【详解】
因为，所以是无理数，共有3个，故答案选B.
本题考查的是无理数的定义，能够将二次根式化简是解题的关键.
6、D
【解析】
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使各函数在实数范围内有意义，必须：
A、分式有意义，x﹣1≠0，解得：x≠1；B、二次根式和分式有意义，x﹣1＞0，解得x＞1；
C、函数式为整式，x是任意实数；D、二次根式有意义，x﹣1≥0，解得x≥1．故选D．
7、C
【解析】
作EM⊥AD于M，交BC于N．只要证明△EMB∽△BNE，可得BE：EF=BN：EM，由此即可解决问题.
【详解】
解：作EM⊥AD于M，交BC于N．
在Rt△BEN中，BE＝AB＝1，EN＝6，
∴BN＝，
∵∠FEM+∠BEN＝10°，∠BEN+∠EBN＝10°，
∴∠FEM＝∠EBN，∵∠FME＝∠ENB＝10°，
∴△EMB∽△BNE，
∴BE：EF＝BN：EM，
∴1：EF＝3：3，
∴EF＝，
∴AF＝EF＝．
故选C．
本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
8、A
【解析】
连续使用勾股定理求直角边和斜边，然后再求面积，观察发现规律，即可正确作答.
【详解】
解：∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形
，
∴

∴第n个等腰直角三角形的面积是 ，
故答案为A.
本题的难点是运用勾股定理求直角三角形的直角边，同时观察、发现也是解答本题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
众数是一组数据中出现次数最多的数据，有时众数可以不止一个．
【详解】
解：在这一组数据中1是出现次数最多的，故众数是1；
故答案为1．
10、=
【解析】
【分析】运用整体换元法可得到结果.
【详解】设，则分式方程+=，可以变形为=
故答案为：=
【点睛】本题考核知识点：分式方程.解题关键点：掌握整体换元方法.
11、19+6
【解析】
根据完全平方公式展开计算即可。
【详解】
解：18+6+1=19+6
本题考查了用完全平方公式进行实数的计算，理解和掌握乘法公式是关键。
12、x≠1．
【解析】
根据分式有意义的条件，即可快速作答。
【详解】
解：根据分式有意义的条件，得：x-1≠0，即x≠1；故答案为：x≠1。
本题考查了函数自变量的取值范围，但分式有意义的条件是解题的关键。
13、12或2
【解析】
根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽．当10＜a＜1时，矩形的长为1，宽为a，所以第一次操作时所得正方形的边长为a，剩下的矩形相邻的两边分别为1-a，a．由1-a＜a可知，第二次操作时所得正方形的边长为1-a，剩下的矩形相邻的两边分别为1-a，a-（1-a）=2a-1．由于（1-a）-（2a-1）=40-3a，所以（1-a）与（2a-1）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论．又因为可以进行三次操作，故分两种情况：①1-a＞2a-1；②1-a＜2a-1．对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出a的值．
【详解】
由题意，可知当10＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1-a，所以第二次操作时正方形的边长为1-a，
第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1-a，2a-1．此时，分两种情况：
①如果1-a＞2a-1，即a＜，那么第三次操作时正方形的边长为2a-1．
∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形，
∴矩形的宽等于1-a，
即2a-1=（1-a）-（2a-1），
解得a=12；
②如果1-a＜2a-1，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为1-a．
则1-a=（2a-1）-（1-a），
解得a=2．
故答案为：12或2.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（2）9；（3）.
【解析】
（1）根据二次根式的加减法和除法可以解答本题；
（2）根据完全平方公式和多项式乘多项式可以解答本题；
（3）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：（1）
=
=3-+2
=4；
（2）（−1）2+（+2）2-2（−1）（+2）
=3-2+1+3+4+4-2（3+-2）
=3-2+1+3+4+4-2-2
=9；
（3）

=
=
=
=
，
当时，原式=．
本题考查分式的化简求值、二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
15、见解析
【解析】
首先判断出四边形OCED是平行四边形，而四边形ABCD是矩形，由OC、OD是矩形对角线的一半，知OC=OD，从而得出四边形OCED是菱形．
【详解】
证明：∵DE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OC=OA=AC，OB=OD=BD，
∴OC=OD，
∴平行四边形OCED是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
16、（1）;（2）△EBC周长的最小值为;（1）满足条件的点P坐标为（﹣2，0）或（2，6）.
【解析】
（1）设直线AD的解析式为y＝kx+b，把A、D两点坐标代入，把问题转化为解方程组即可；
（2）因为A、B关于y轴对称，连接AC交y轴于E，此时△BEC的周长最小；
（1）分两种情形分别讨论求解即可解决问题；
【详解】
.解：（1）设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣2，0），D（0，1）代入y＝kx+b，得到 ，
解得 ，
∴直线AD的解析式为y＝x+1．
（2）如图1中，∵A（﹣2，0），B（2，0），
∴A、B关于y轴对称，
连接AC交y轴于E，此时△BEC的周长最小，
周长的最小值＝EB+EC+BC＝EA+EC+BC＝AC+BC，
∵A（﹣2，0），C（4，1），B（2，0），
∴AC＝ ，
∴△EBC周长的最小值为: ．
（1）如图2中，
①当点P与A重合时，四边形DPQB是菱形，此时P（﹣2，0），
②当点P′在AD的延长线上时，DP′＝AD，此时四边形BDP′Q是菱形，此时P′（2，6）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣2，0）或（2，6）；
本题考查一次函数综合题、平行四边形的性质、菱形的判定和性质、轴对称最短问题、待定系数法等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
17、（1）100；（2）目的地C在营地A的北偏东30°的方向上
【解析】
（1）根据所走的方向判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解.
（2）求出的度数，即可求出方向.
【详解】
(1)如图，过点B作BE//AD.
∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∠CBA=90°
AC==100(m).
(2)在Rt△ABC中，∵BC=50m,AC=100m,
CAB=30°.
∵∠DAB=60°,
DAC=30°，
即目的地C在营地A的北偏东30°的方向上
本题考查勾股定理的应用，先确定直角三角形，根据各边长用勾股定理可求出AC的长，且求出的度数，进而可求出点C在A点的什么方向上.
18、解集为-4＜x＜2，不等式组的整数解是：﹣3，﹣2，﹣1、1．
【解析】
分别解出两个不等式，然后得到公共解集，再找出整数解即可
【详解】
，
∵解不等式①得：x＞﹣4，
解不等式②得：x＜1，
∴原不等式组的解集为：﹣4＜x＜2，
∴不等式组的整数解是：﹣3，﹣2，﹣1、1．
本题主要考查求不等式组的整数解，关键在于解出不等式组的解
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1．
【解析】
根据矩形的性质、勾股定理求得长方形的宽，然后由矩形的面积公式解答．
【详解】
设该矩形的宽为x步，则对角线为（50﹣x）步，
由勾股定理，得301+x1＝（50﹣x）1，
解得x＝16
故该矩形的面积＝30×16＝480（平方步），
480平方步＝1亩．
故答案是：1．
考查了勾股定理的应用，此题利用方程思想求得矩形的宽．
20、
【解析】
利用三角形中位线求得线段FG、GH；再利用勾股定理即可求出FH的长.
【详解】
解：∵，，分别是，，中点
∴
∵∠FGH=90°
∴为直角三角形
根据勾股定理得：
故答案为：5
本题考查了三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解答本题的关键.
21、（3，0）或（﹣3，0）
【解析】
试题解析：设点C到原点O的距离为a，
∵AC+BC=6，
∴a-+a+=6，
解得a=3，
∴点C的坐标为（3，0）或（-3，0）．
22、正方
【解析】
此类题根据矩形性质，三角形内角和定理及角平分线定义得到所求的四边形的各个角为90°，进而求解．
【详解】
∵AF，BE是矩形的内角平分线．
∴∠ABF=∠BAF-90°．
故∠1=∠2=90°．
同理可证四边形GMON四个内角都是90°，则四边形GMON为矩形．
又∵有矩形ABCD且AF、BE、DK、CJ为矩形ABCD四角的平分线，
∴有等腰直角△DOC，等腰直角△AMD，等腰直角△BNC，AD=BC．
∴OD=OC，△AMD≌△BNC，
∴NC=DM，
∴NC-OC=DM-OD，
即OM=ON，
∴矩形GMON为正方形，
故答案为正方．
本题考查的是矩形性质，角平分线定义，联系三角形内角和的知识可求解．
23、2(答案不唯一)．
【解析】
由反比例函数y=的图象在二、四象限，可知a-3<0，据此可求出a的取值范围.
【详解】
∵反比例函数y=的图象在二、四象限，
∴a-3<0，
∴a<3,
∴a可以取2.
故答案为2.
本题考查了反比例函数的图像与性质，对于反比例函数(k是常数，k≠0)，当k＞0,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小；当 k＜0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式解答即可；
（2）拟使用列表法求解，见解析．
【详解】
解：（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，他选中《九章算术》的概率为；
（2）将四部名著《周牌算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《周牌算经》为事件M，用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：
由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即AB，BA，
∴P（M）= .
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25、（1）直线l1的表达式为：y＝x﹣2；（2）直线l2的表达式为：y＝x+3；（3）四边形ABCD的面积＝1．
【解析】
（1）利用待定系数法求直线l1 的表达式
（2）根据一次函数沿着y轴向上平移的规律求解
（3）根据题意可知四边形为平行四边形，又各点的坐标，可直接求解
【详解】
（1）设直线l1的表达式为：y＝kx+b，
由题意可得： ，
解得： ，
所以，直线l1的表达式为：y＝ x﹣2；
（2）将l1向上平移到C（0，3）可知，向上平移了5个单位长度，由几何变换可得：直线l2的表达式为：y＝ x﹣2+5=x+3；
（3）根据题意可知AB∥CD,CB∥DA,可得四边形ABCD为平行四边形
∵已知B（0，﹣2）C（0，3）A（3，0）
∴BC＝5，OA＝3，
∴四边形ABCD的面积＝5×3＝1．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图形与几何变换，平行四边形的面积，解题关键在于利用待定系数法求出k,b的值
26、图形见解析.
【解析】
作∠ADC的平分线和BC的垂直平分线便可.
【详解】
解：如图所示，点P即为所求．
考查线段垂直平分线和角平分线的作图运用.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
第1部
第2部
A
B
C
D
A
BA
CA
DA
B
AB
CB
DB
C
AC
BC
DC
D
AD
BD
CD