2024年浙江省杭州市萧山区万向中学数学九年级第一学期开学联考模拟试题【含答案】

这是一份2024年浙江省杭州市萧山区万向中学数学九年级第一学期开学联考模拟试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）分式有意义的条件是（ ）
A．B．C．且D．或
2、（4分）下列变形是因式分解的是（ ）
A．x（x+1）＝x2+xB．m2n+2n＝n（m+2）
C．x2+x+1＝x（x+1）+1D．x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）
3、（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AC，AB上．若∠B=∠ADE，则下列结论正确的是（ ）
A．∠A和∠B互为补角B．∠B和∠ADE互为补角
C．∠A和∠ADE互为余角D．∠AED和∠DEB互为余角
4、（4分）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=﹣x图象上的两点，则下列判断正确的是（ ）
A．y1＞y2
B．y1＜y2
C．当x1＜x2时，y1＞y2
D．当x1＜x2时，y1＜y2
5、（4分）在一个直角三角形中，如果斜边长是10，一条直角边长是6，那么另一条直角边长是（ ）．
A．6B．7C．8D．9
6、（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，则四边形AODE一定是（ ）
A．正方形B．矩形C．菱形D．不能确定
7、（4分）从、、、这四个代数式中任意抽取一个，下列事件中为确定事件的是（ ）
A．抽到的是单项式B．抽到的是整式
C．抽到的是分式D．抽到的是二次根式
8、（4分）如图，∠BAC＝90°，四边形ADEB、BFGC、CHIA均为正方形，若 S四边形ADEB＝6，S四边形BFGC=18，四边形CHIA的周长为( )
A．4B．8C．12D．8
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是_____
10、（4分）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，已知，连接，则__________．
11、（4分）一组数据3，2，3，4，的平均数是3，则它的众数是________．
12、（4分）如图，中，，，，点是边上一定点，且，点是线段上一动点，连接，以为斜边在的右侧作等腰直角．当点从点出发运动至点停止时，点的运动的路径长为_________．
13、（4分）函数y＝（k+1）x﹣7中，当k满足_____时，它是一次函数．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）解下列方程:
（1）
（2）
15、（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AD＝3，E是AB上的一点，F是AD上的一点，连接BO和FO．
（1）当点E为AB中点时，求EO的长度；
（2）求线段AO的取值范围；
（3）当EO⊥FO时，连接EF．求证：BE+DF＞EF．
16、（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点.求证：CD＝EF．
17、（10分） “五一”期间，小丽一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．现有甲、乙两家租车公司，租车费用如下：甲公司按日收取固定租金80元，另外再按租车时间计费；乙公司无固定租金，直接按租车时间计费，每小时租费是30元．
（1）设租用时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，其图象如图所示，分别求出y1， y2关于x的函数解析式；
（2）请你帮助小丽计算，租用哪家新能源汽车自驾出游更合算？
18、（10分）问题：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
探究：要研究上面的问题，我们不妨先从最简单的情形入手，进而找到一般性规律.
探究一：将边长为2的正三角形的三条边分别二等分，连接各边中点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
如图①，连接边长为2的正三角形三条边的中点，从上往下看：
边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，共有个；
边长为2的正三角形一共有1个.
探究二：将边长为3的正三角形的三条边分别三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
如图②，连接边长为3的正三角形三条边的对应三等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，共有个；边长为2的正三角形共有个.
探究三：将边长为4的正三角形的三条边分别四等分（图③），连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
（仿照上述方法，写出探究过程）
结论：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
（仿照上述方法，写出探究过程）
应用：将一个边长为25的正三角形的三条边分别25等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形有______个和边长为2的正三角形有______个.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图甲，在所给方格纸中，每个小正方形的边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形（顶点在格点处）请将图乙中的▱ABCD分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．
20、（4分）若关于有增根，则_____；
21、（4分）如图，在单位为1的方格纸上，……，都是斜边在轴上，斜边长分别为2,4,6……的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为__________．
22、（4分）如图，函数和的图象相交于点A（，3），则不等式的解集为___________.
23、（4分）已知：等腰三角形ABC的面积为30，AB=AC= 10，则底边BC的长度为_________ m.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）八年级(1)班开展了为期一周的“孝敬父母，帮做家务”社会活动，并根据学生帮家长做家务的时间来评价学生在活动中的表现，把结果划分成A，B，C，D，E五个等级．老师通过家长调查了全班50名学生在这次活动中帮父母做家务的时间，制作成如下的频数分布表和扇形统计图．
(1)求a，b的值；
(2)根据频数分布表估计该班学生在这次社会活动中帮父母做家务的平均时间；
(3)该班的小明同学这一周帮父母做家务2小时，他认为自己帮父母做家务的时间比班级里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计量说明理由．
25、（10分）如图所示，已知一次函数的图像直线AB经过点(0,6)和点(-2,0).
（1）求这个函数的解析式;
（2）直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积.
26、（12分）一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完.假设每分钟的进水量和出水量保持不变，容器内水量（单位：）与时间（单位：）的部分函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）求出水管的出水速度；
（2）求时容器内的水量；
（3）从关闭进水管起多少分钟时，该容器内的水恰好放完？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：x-2≠0，
∴x≠2
故选：B．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
2、D
【解析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【详解】
A、是整式的乘法，故A错误；
B、等式不成立，故B错误；
C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D正确；
故选：D．
此题考查因式分解的意义，解题关键在于掌握其定义
3、C
【解析】
试题分析：根据余角的定义，即可解答．
解：∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠B=∠ADE，
∴∠A+∠ADE=90°，
∴∠A和∠ADE互为余角．
故选C．
考点：余角和补角．
4、C
【解析】
试题分析：根据正比例函数图象的性质可知．
解：根据k＜0，得y随x的增大而减小．
①当x1＜x1时，y1＞y1，
②当x1＞x1时，y1＜y1．
故选C．
考点：正比例函数的性质．
5、C
【解析】
本题直接根据勾股定理求解即可．
【详解】
由勾股定理的变形公式可得：另一直角边长==1．
故选C．
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6、B
【解析】
根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD=90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；
【详解】
证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOD=90°，
∴四边形AODE是矩形.
故选B.
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解决问题的关键．
7、D
【解析】
根据题意找出下列事件中为确定事件，掌握单项式、整式、分式、二次根式的定义以此分析选项，采用排除法得出最终正确选项.
【详解】
A. 不是单项式，错误；
B. 不是整式，错误；
C．、、不是分式，错误；
D. 、、、都是二次根式，正确.
故选D.
此题考查单项式、整式、分式、二次根式，解题关键在于掌握单项式、整式、分式、二次根式的定义.
8、B
【解析】
外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．
【详解】
解：根据勾股定理我们可以得出：
AB2+AC2=BC2
S正方形ADEB= AB2＝6，S正方形BFGC= BC2=18，
S正方形CHIA= AC2＝18-6=12，
∴AC=，
∴四边形CHIA的周长为==8
故选：B．
本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用．只要搞清楚直角三角形的斜边和直角边本题就容易多了．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1.2
【解析】分析: 先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算即可．
详解: ∵数据10，9，a，12，9的平均数是10，
∴(10+9+a+12+9)÷5=10，
解得：a=10，
∴这组数据的方差是15[(10−10) ² +(9−10) ² +(10−10) ² +(12−10) ² +(9−10) ²]=1.2.
故选B.
点睛: 本题考查方差和平均数，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
10、75°
【解析】
【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案．
【详解】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，
∴∠EBG=∠EGB，
∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，
又∵AD∥BC，
∴∠AGB=∠GBC，
∴∠AGB=∠BGH，
∵∠DGH=30°，
∴∠AGH=150°，
∴∠AGB=∠AGH=75°，
故答案为：75°．
【点睛】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
11、1
【解析】
由于数据2、1、1、4、x的平均数是1，由此利用平均数的计算公式可以求出x，再根据众数的定义求出这组数的众数即可．
【详解】
∵数据2、1、1、4、x的平均数是1，
∴2+1+1+4+x=1×5，
∴x=1，
则这组数据的众数即出现最多的数为1．
故答案为：1．
此题考查平均数和众数的概念．解题关键在于注意一组数据的众数可能不只一个．
12、
【解析】
如图，连接CF，作FM⊥BC于M，FN⊥AC于N．证明△FNA≌△FME（AAS），推出FM=FM，AN=EM，推出四边形CMFN是正方形，推出点F在射线CF上运动（CF是∠ACB的角平分线），求出两种特殊位置CF的长即可解决问题．
【详解】
如图，连接CF，作FM⊥BC于M，FN⊥AC于N．
∵∠FNC=∠MCN=∠FMC=90°，
∴四边形CMFN是矩形，
∴∠MFN=∠AFE=90°，
∴∠AFN=∠MFE，
∵AF=FE，∠FNA=∠FME=90°，
∴△FNA≌△FME（AAS），
∴FM=FM，AN=EM，
∴四边形CMFN是正方形，
∴CN=CM，CF=CM，∠FCN=∠FCM=45°，
∵AC+CE=CN+AN+CM-EM=2CM，
∴CF= （AC+CE）．
∴点F在射线CF上运动（CF是∠ACB的角平分线），
当点E与D重合时，CF=（AC+CD）=2，
当点E与B重合时，CF=（AC+CB）=，
∵-2= ，
∴点F的运动的路径长为．
故答案为：．
此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题关键在于灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．
13、k≠﹣1．
【解析】
根据一次函数的定义即可解答.
【详解】
根据一次函数定义得，k+1≠0，
解得k≠﹣1．
故答案为：k≠﹣1．
本题考查了一次函数的定义，熟知形如y=kx+b（k≠0）的函数是一次函数是解决问题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、解:(1)(2)
【解析】
（1）把左边配成完全平方式，右边化为常数；
（2）因方程公因式很明显故用因式分解法求解．
【详解】
(1)把方程的常数项移得，
x2−4x=−1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方得，
x2−4x+4=−1+4，
配方得，(x−2)2=3，
解得：x1=2+，x2=2−
(2)先提取公因式5x+4得，
(5x+4)(x−1)=0，
解得x1=1，x2=−
15、（1）；（2）1＜AO＜4；（3）见解析.
【解析】
（1） O是中点,E是中点，所以OE＝BC＝;
（2） 在△ACD中利用三角形的第三边长小于两边之和，大于两边只差;
（3） 延长FO交BC于G点，就可以将BE,FD,EF放在一个三角形中，利用三角形两边之和大于第三边即可.
【详解】
（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝3，OA＝OC，
∵点E为AB中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝；
（2）解：在△ABC中，∵AB﹣BC＜AC＜AB+BC，
而OA＝OC，
∴5﹣3＜2AO＜5+3，
∴1＜AO＜4；
（3）证明：延长FO交BC于G点，连接EG，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，BC∥AD，
∴∠OBG＝∠ODF，
在△OBG和△ODF中
，
∴△OBG≌△ODF，
∴BG＝DF，OG＝OF，
∵EO⊥OF，
∴EG＝EF，
在△BEG中，BE+BG＞EG，
∴BE+FD＞EF．
本题主要考查中位线的性质，以及通过构造新的全等三角形，应用三角形两边之和大于第三边性质来比较线段的关系.
16、根据直角三角形的性质可得，再根据中位线定理可得，问题得证.
【解析】
根据直角三角形斜边中中线等于斜边的一半可得，再根据中位线定理可得，从而可以得到
17、（1）y1=15x+80（x≥0），y2=30x（x≥0）；（2）当租车时间为小时，选择甲乙公司一样；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．
【解析】
（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y1，y2关于x的函数表达式即可；
（2）当y1=y2时，15x+80=30x，当y1＞y2时，15x+80＞30x，当y1＜y2时，15x+80＜30x，分求得x的取值范围即可得出方案．
【详解】
（1）由题意设y1=k1x+80，把点（1，95）代入得95=k1+80
解得k1=15，
∴y1=15x+80（x≥0），
设y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2
即k2=30，
∴y2=30x（x≥0）；
（2）当y1=y2时，15x+80=30x，解得x=；
当y1＞y2时，15x+80＞30x解得x＜；
当y1＜y2时，15x+80＞30x解得x＞；
答：当租车时间为小时，选择甲乙公司一样；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．
本题为函数实际应用问题，综合考察了待定系数法、一元一次方程和不等式和通过临界点比较函数值大小．
18、探究三：16,6；结论：n², ;应用：625，300.
【解析】
探究三：模仿探究一、二即可解决问题；
结论：由探究一、二、三可得：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，边长为1的正三角形共有个；边长为2的正三角形共有 个；
应用：根据结论即可解决问题.
【详解】
解：探究三：
如图3，连接边长为4的正三角形三条边的对应四等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，共有个；
边长为2的正三角形有个.
结论：
连接边长为的正三角形三条边的对应等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，……，第层有个，共有个；
边长为2的正三角形，共有个.
应用：
边长为1的正三角形有=625（个），
边长为2的正三角形有 （个）.
故答案为探究三：16,6；结论：n², ;应用：625，300.
本题考查规律型问题，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、详见解析
【解析】
直接利用网格结合全等三角形的判定方法得出答案．
【详解】
解：如图所示：③与④全等；②与⑥全等；⑤与①全等．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确应用网格是解题关键．
20、1
【解析】
方程两边都乘以最简公分母（x –1），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出a的值．
【详解】
解：方程两边都乘（x﹣1），得
1－ax+3x=3x﹣3，
∵原方程有增根
∴最简公分母x﹣1=0，即增根为x=1，
把x=1代入整式方程，得a=1．
此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程的增根不适合原方程，但适合去分母后的整式方程，这是求字母系数的重要思想方法．
21、
【解析】
根据A3，A5，A7，A9等点的坐标，可以找到角标为奇数点都在x轴上，且正负半轴的点角标以4为周期，横坐标相差相同，从而得到结果.
【详解】
解:∵A3是第一与第二个等腰直角三角形的公共点,
A5(4,0)是第二与第三个等腰直角三角形的公共点,
A7（-2,0）是第三与第四个等腰直角三角形的公共点,
A9（6,0）是第四与第五个等腰直角三角形的公共点,
A11（-4,0）是第五与第六个等腰直角三角形的公共点,
2019=1009+1
∴是第1009个与第1010个等腰直角三角形的公共点,
∵A3，A7（-2,0），A11（-4,0）
2019=505×4-1
∴在x轴负半轴…，
∴的横坐标为(505-1)×(-2)=-1008
∴（-1008,0）
本题考查的是规律，熟练掌握三角形的性质是解题的关键.
22、x≥1．5
【解析】
试题分析：首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式2x＞ax+4的解集即可．
解：∵函数y=2x过点A（m，3），
∴2m=3，
解得：m=，
∴A（，3），
∴不等式2x＞ax+4的解集为x＞．
故答案为x＞．
考点：一次函数与一元一次不等式．
23、或
【解析】
作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由三角形的面积求出CD，由勾股定理求出AD；分两种情况：①等腰△ABC为锐角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可；②等腰△ABC为钝角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可．
【详解】
作CD⊥AB于D，
则∠ADC=∠BDC=90°,△ABC的面积=AB⋅CD=×10×CD=30，
解得：CD=6，
∴AD==8m；
分两种情况：
①等腰△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
BD=AB−AD=2m,
∴BC==；
②等腰△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
BD=AB+AD=18m，
∴BC==；
综上所述：BC的长为或.
故答案为：或.
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，分情况讨论等腰三角形.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)a=20，b=15；(2)该班学生这一周帮助父母做家务时间的平均数约为1.68小时；(3)符合实际，理由见解析.
【解析】
（1）读图可知：C等级的频率为40%，总人数为50人，可求出a，则b也可得到；
（2）借助求出的a b的值，可估计出该班学生在这次社会活动中帮父母做家务的平均时间；
（3）求得中位数后，根据中位数的意义分析．
【详解】
(1)a=50×40%=20，b=50-2-10-20-3=15；
(2)由“中值法”可知，＝1.68(小时)，
答：该班学生这一周帮助父母做家务时间的平均数约为1.68小时；
(3)符合实际．
设中位数为m，根据题意，m的取值范围是1.5≤m＜2，因为小明帮父母做家务的时间大于中位数．所以他帮父母做家务的时间比班级中一半以上的同学多．
本题考查读频数分布直方图、扇形图的能力和利用统计图获取信息的能力，加权平均数的计算以及中位数的应用．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.
25、 (1)一次函数的解析式为：y=3x+6；(2)△AOB的面积=×6×2=6.
【解析】
（1）设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），再把点(0,6)和点(-2,0)代入求出k、b的值即可；
（2）求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
(1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵一次函数的图象经过点点(0,6)和点(-2,0)，
∴,
解得，
∴一次函数的解析式为：y=3x+6；
(2)∵一次函数的解析式为y=3x+6，
∴与坐标轴的交点为(0,6)和(-2,0)，
∴△AOB的面积=×6×2=6.
本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式.
26、（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）设出水管的出水速度为，根据10分钟内的进水量-10分钟内的出水量=20升列方程求解即可；
（2）设当时，与的函数解析式为，用待定系数法求出函数解析式，再令x=8计算即可；
（3）用容器的储水量30升除以（1）中求出的出水速度即可．
【详解】
解：（1）设出水管的出水速度为.
，
解得.
答：出水管的出水速度为.
（2）设当时，与的函数解析式为.
将点，代入，得，解得.
∴.
∴当时，.
答：时容器内的水量为.
（3）.
答：从关闭进水管起时，该容器内的水恰好放完.
本题考查利用函数的图象解决实际问题和用一元一次方程求出水管的出水量的运用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人