2024年浙江省嘉兴市南湖区北师大南湖附校九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份2024年浙江省嘉兴市南湖区北师大南湖附校九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点，若OE=3cm，则AB的长为（ ）
A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm
2、（4分）已知x1,x2是方程的两个根，则的值为（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
3、（4分）某校在“我运动，我快乐”的技能比赛培训活动中，在相同条件下，对甲、乙两名同学的“单手运球”项目进行了5次测试，测试成绩（单位：分）如下：根据右图判断正确的是（ ）
A．甲成绩的平均分低于乙成绩的平均分；
B．甲成绩的中位数高于乙成绩的中位数；
C．甲成绩的众数高于乙成绩的众数；
D．甲成绩的方差低于乙成绩的方差．
4、（4分）估计﹣÷2的运算结果在哪两个整数之间（ ）
A．0和1B．1和2C．2和3D．3和4
5、（4分）已知a为整数，且＜＜，则a等于（）
A．1B．2C．3D．4
6、（4分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1.5小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，t＝或t＝，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7、（4分）九（2）班“环保小组”的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，16，16。这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A．16，16B．10，16C．8，8D．8，16
8、（4分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（2，﹣3）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，已知等边三角形ABC的边长为7，点D为AB上一点，点E在BC的延长线上，且CE=AD，连接DE交AC于点F，作DH⊥AC于点H，则线段HF的长为 ____________.
10、（4分）已知，则________．
11、（4分）直线与坐标轴围成的图形的面积为________.
12、（4分）如图，将矩形沿对角线折叠，使点翻折到点处，如果，那么______.
13、（4分）当x_____时，二次根式有意义．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：
（1）按国家政策，农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴．农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的政府补贴？
（2）为满足农民需求，商场决定用不超过85000元采购冰箱、彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的．
①请你帮助该商场设计相应的进货方案；
②哪种进货方案商场获得利润最大（利润=售价-进价），最大利润是多少？
15、（8分）（1）计算：；
（2）当时，求代数式的值
16、（8分）已知一次函数的图象过点，．
（1）求此函数的表达式；
（2）若点在此函数的图象上，求的值．
17、（10分）定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点．
（1）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，以点为圆心，5为半径作圆，交轴的负半轴于点，求过点的圆 的切线的解析式；
（2）若抛物线（）与直线（）相切于点，求直线的解析式；
（3）若函数的图象与直线相切，且当时，的最小值为，求的值．
18、（10分）近年来，萧山区大力发展旅游业，跨湖桥遗址、湘湖二期三期、宋城千古情、河上民俗、大美进化……这些名词，相信同学们都耳熟能详了，因此近年来，我区的年游客接待量呈逐年稳步上升，2015年接待1800万人次，2015——2017年这三年累计接待游客高达5958万人次.
(1)求萧山区2015——2017年年游客接待量的年平均增长率.
(2)若继续呈该趋势增长，请预测2018年年游客接待量（近似到万人次）.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为_______．
20、（4分）将二次函数化成的形式，则__________．
21、（4分）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD=2，AE=3，则正方形ODCE的边长等于________.

22、（4分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ADP为等腰三角形时，点P的坐标为_______________________________．
23、（4分）如图，函数y= (x>0)的图象与矩形OABC的边BC交于点D，分别过点A，D作AF∥DE，交直线y=k2x(k2<0)于点F，E.若OE=OF，BD=2CD，四边形ADEF的面积为12，则k1的值为________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）（1）分解因式：x（x﹣y）﹣y（y﹣x）
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
25、（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）x（2﹣x）＝x2﹣2
（2）（2x+5）2﹣3（2x+5）+2＝0
26、（12分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S矩形ABCD＝3S△PAB，则PA+PB的最小值为_____．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据平行四边形对角线互相平分的性质可得OA=OC，又因点E是BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，再由三角形的中位线定理可得AB的值．
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
∴OA=OC
∴点O是AC的中点
又∵点E是BC的中点
∴OE是△ABC的中位线
∴AB=2OE=6cm
故选：B
本体考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理，掌握平行四边形的性质,三角形的中位线定理是解题的关键．
2、B
【解析】
直接利用根与系数的关系可求得答案．
【详解】
∵x1、x2是方程的两个根，
∴x1+x2=-1，
故选：B．
此题考查根与系数的关系，掌握方程两根之和等于-是解题的关键．
3、D
【解析】
通过计算甲、乙的平均数可对A进行判断；利用中位数的定义对B进行判断；利用众数的定义对C进行判断；根据方差公式计算出甲、乙的方差，则可对D进行判断.
【详解】
甲的平均数= （分），乙的平均数= =8 (分) ，所以A选项错误；
甲的中位数是8分，乙的中位数是9分，故B选项错误；
甲的众数是8分，乙的众数是10分，故C选项错误；
甲的方差=，乙的方差=，故D选项正确，
故选：D.
此题考查数据的统计计算，正确掌握平均数的计算公式，众数、中位数的计算方法，方差的计算公式是解题的关键.
4、D
【解析】
先估算出的大致范围，然后再计算出÷2的大小，从而得到问题的答案．
【详解】
25＜32＜31，∴5＜＜1．
原式=﹣2÷2=﹣2，∴3＜﹣÷2＜2．
故选D．
本题主要考查的是二次根式的混合运算，估算无理数的大小，利用夹逼法估算出的大小是解题的关键．
5、D
【解析】
根据实数的估算即可求解.
【详解】
∵＜＜，=4
∴a=4
故选D.
此题主要考查实数的估算，解题的关键是熟知实数的性质.
6、A
【解析】
由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为40，可求得t，可得出答案．
【详解】
由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，故①正确；
甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故②错误；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
把y＝150代入y甲＝60t，可得：t＝2.5，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，
把（1，0）和（2.5，150）代入可得，解得，
∴y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③错误；
令|y甲﹣y乙|＝40，可得|60t﹣100t+100|＝40，即|100﹣40t|＝40，
当100﹣40t＝40时，可解得t＝，
当100﹣40t＝﹣40时，可解得t＝，
又当t＝时，y甲＝40，此时乙还没出发，
当t＝时，乙到达B城，y甲＝260；
综上可知当t的值为或或或t＝时，两车相距40千米，故④不正确；
故选A．
本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
7、D
【解析】
根据众数和中位数的定义求解．找出次数最多的数为众数；把5个数按大小排列，位于中间位置的为中位数．
【详解】
解：在这一组数据中16是出现次数最多的，故众数是16；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是1，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是1．
故选：D．
本题考查统计知识中的中位数和众数的定义．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
8、A
【解析】
根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】
解：点P（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），
故选：A．
此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
证明：（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，
∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∠FDG=∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADG=∠AGD=60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD=DG
∵AD=CE，
∴DG=CE，
在△DFG与△EFC中
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴GF=FC=GC
又∵ DH⊥AC，
∴AH=HG=AG，
∴HF=HG+GF=AG+GC=AC=
故答案为：
此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题
10、
【解析】
由，即成比例的数的问题中，设出辅助参量表示另外两个量代入求值即可，
【详解】
解：因为，设 则
所以．
故答案为：
本题考查以成比例的数为条件求分式的值是常规题，掌握辅助参量法是解题关键．
11、1
【解析】
由一次函数的解析式求得与坐标轴的交点，然后利用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
由一次函数y=x+4可知：一次函数与x轴的交点为（-4，0），与y轴的交点为（0，4），
∴其图象与两坐标轴围成的图形面积=×4×4=1．
故答案为：1．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
12、
【解析】
根据折叠的性质及相似三角形的判定与性质及勾股定理即可求解.
【详解】
∵将矩形沿对角线折叠，使点翻折到点处，
∴∠BCA=∠ECA，AE=AB=CD，EC=BC=AD，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠ECA=∠DAC，
设AD与CE相交于F，则AF=CF，
∴AD-AF=CE-CF,即DF=EF，
∴
又∠AFC=∠DFE，
∴△ACF∽△DEF，
∴
设DF=x,则AF=FC=3x,
在Rt△CDF中，CD=
又BC=AD=AF+DF=4x，
∴
此题主要考查相似三角形与矩形的应用，解题的关键是熟知勾股定理、矩形的性质及相似三角形的判定与性质.
13、x≥
【解析】
分析：根据二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，列不等式解答.
详解：由题意得
2x-3≥0,
∴x≥.
故答案为x≥.
点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，明确被开方式大于且等于零是二次根式成立的条件是解答本题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）572元；（2）①见解析；②3620元.
【解析】
（1）总售价（冰箱总售价+彩电总售价），根据此关系计算即可；
（2）冰箱总价+彩电总价，冰箱的数量彩电数量的，先根据此不等式求得的取值范围.总利润为：冰箱总利润+彩电总利润，然后根据自变量的取值选取即可.
【详解】
（1），
答：可以享受政府572元的补贴；
（2）①设冰箱采购x台，则彩电购买（40-x）台，
，
解得，
为正整数
、、，
该商场共有3种进货方案.
方案一：冰箱购买台，彩电购买台；
方案二：冰箱购买台，彩电购买台；
方案三：冰箱购买台，彩电 购买台.
②设商场获得总利润元，根据题意得
，
，
随的增大而增大，
当时，元
答：方案三商场获得利润最大，最大利润是元.
解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系，及符合题意的不等关系式.要学会利用函数的单调性结合自变量的取值范围求得利润的最大值.
15、（1）；（2）
【解析】
（1）根据题意先化简二次根式，再计算乘法，最后合并同类二次根式即可得；
（2）由题意分别将x、y的值代入原式=（x+y）（x-y）+xy计算即可求出答案．
【详解】
解：
当时，
可得.
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
16、（1）y=x+3；（2）a=4；
【解析】
（1）把A、B两点坐标代入y=kx+b中得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k、b即可得到一次函数解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，把（a，6）代入一次函数解析式中可求出a的值；
【详解】
（1）把A（0，3），B（-4，0）代入y=kx+b得 ，解得 ．
所以一次函数解析式为y=x+3；
（2）把（a，6）代入y=x+3得a+3=6，解得a=4；
此题考查待定系数法求一次函数解析式，解题关键在于先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
17、（1）；（2）；（3）1或
【解析】
（1）连接，由、可求，即．因为过点的切线，故有，再加公共角，可证，由对应边成比例可求的长，进而得点坐标，即可求直线解析式．
（2）分别把点代入抛物线和直线解析式，求得抛物线解析式为，直线解析式可消去得．由于直线与抛物线相切（只有一个交点），故联立解析式得到关于的方程有两个相等的实数根，即△，即求得的值．
（3）因为二次函数图象与直线相切，所以把二次函数和直线解析式联立，得到关于的方程有两个相等是实数根，即△，整理得式子，可看作关于的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线．分类讨论对称轴在左侧、中间、右侧三种情况，画出图形得：①当对称轴在左侧即时，由图象可知时随的增大而增大，所以时取得最小值，把、代入得到关于的方程，方程无解；②当对称轴在范围内时，时即取得最小值，得方程，解得：；③当对称轴在2的右侧即时，由图象可知时随的增大而减小，所以时取得最小值，把、代入即求得的值．
【详解】
解：（1）如图1，连接，记过点的切线交轴于点
，
，
，
设直线解析式为：
，解得：
过点的的切线的解析式为;
（2）抛物线经过点
，解得：
抛物线解析式：
直线经过点
，可得：
直线解析式为：
直线与抛物线相切
关于的方程有两个相等的实数根
方程整理得：
△
解得：
直线解析式为；
（3）函数的图象与直线相切
关于的方程有两个相等的实数根
方程整理得：
△
整理得：，可看作关于的二次函数，
对应抛物线开口向上，对称轴为直线
当时，的最小值为
①如图2，当时，在时随的增大而增大
时，取得最小值
，方程无解；
②如图3，当时，时，取得最小值
，解得：；
③如图4，当时，在时随的增大而减小
时，取得最小值
，解得：，（舍去）
综上所述，的值为1或．
本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法及根与系数的关系，二次函数的图象与性质．第（3）题的解题关键是根据相切列得方程并得到含、的等式，转化为关于的二次函数，再根据画图讨论抛物线对称轴情况进行解题．
18、（1）年平均增长率为10% ；（2）.
【解析】
设萧山区从2015——2017年年游客接待量的年平均增长率为x，根据这三年累计接待游客高达5958万人次即可得出关于x的一元二次方程，解出取其正值即可得出结论；
（2）运用（1）的结论进行预测即可.
【详解】
（1）解：设年平均增长率为x得：
由题意得：x＞0，∴（舍去）即年平均增长率为10%
（2）
∴若继续呈该趋势增长，预测2018年年游客接待量约为2396万人次.
本题考查了一元二次方程的应用，解题珠关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
先根据勾股定理求出BD，进而判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积．
【详解】
如图，连接BD，
在Rt△ABD中，AB=3，DA=4，
根据勾股定理得，BD=5，
在△BCD中，BC=12，CD=13，BD=5，
∴BC2+BD2=122+52=132=CD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
=AB∙AD+BC∙BD
=×3×4+×12×5
=1
故答案为：1．
此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出△BCD是直角三角形．
20、
【解析】
利用配方法，加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．
【详解】
解：，
，
．
故答案为：．
本题考查了二次函数的三种形式：一般式：，顶点式：；两根式：．正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
21、1
【解析】
设正方形ODCE的边长为x，则CD=CE=x，根据全等三角形的性质得到AF=AE，BF=BD，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：设正方形ODCE的边长为x，
则CD=CE=x，
∵△AFO≌△AEO，△BDO≌△BFO，
∴AF=AE，BF=BD，
∴AB=2+3=5，
∵AC2+BC2=AB2，
∴（3+x）2+（2+x）2=52，
∴x=1，
∴正方形ODCE的边长等于1，
故答案为：1．
本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22、 (2，4)，(8，4)，(7，4)，(7.5，4)
【解析】
分PD=DA，AD=PA，DP=PA三种情况讨论，再根据勾股定理求P点坐标
【详解】
当PD=DA
如图：以D为圆心AD长为半径作圆，与BD交P点，P'点，过P点作PE⊥OA于E点，过P'点作P'F⊥OA于F点，
∵四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），
∴AD=PD=5，PE=P'F=4
∴根据勾股定理得：DE=DF=
∴P（2，4），P'（8，4）
若AD=AP=5，同理可得：P（7，4）
若PD=PA，则P在AD的垂直平分线上，
∴P（7.5，4）
故答案为：（2，4），（8，4），（7，4），（7.5，4）
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类思想解决问题是本题的关键．
23、2
【解析】
如图，连接OD，过O作OM∥ED交AD于M，可以得出S△AOD=S四边形ADEF，进而得到S矩形OACB的值．作DH⊥OA于H，可得S矩形OCDH，从而得到结论．
【详解】
解：如图，连接OD，过O作OM∥ED交AD于M．
S△AOD=S△AOM+S△DOM=OM×h1+OM×h2==OM（h1+h2），S四边形ADEF=（AF+ED）h．
又∵OM=（AF+ED），h1+h2=h，故S△AOD=S四边形ADEF=×12=1．
∵△AOD和矩形OACB同底等高，故S矩形OACB=12，作DH⊥OA于H．
∵ BD=2CD ，BC=3CD，故S矩形OCDH=×12=2，即CD×DH=xy=k1=2．
故答案为：2．
本题考查了反比例函数与几何综合．求出S△AOD的值是解答本题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）（x﹣y）（x+y）；（2）﹣2＜x≤1
【解析】
分析：（1）根据提公因式法，可分解因式；
（2）根据解不等式，可得每个不等式的解集，根据不等式组的解集是不等式的公共部分，可得答案．
解：（1）原式=（x﹣y）（x+y）；
（2）解不等式①1，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤1，
把不等式①②在数轴上表示如图
，
不等式组的解集是﹣2＜x≤1．
【点评】本题考查了因式分解，确定公因式（x﹣y）是解题关键．
25、（1）x1＝，x1＝；（1）x1＝﹣，x1＝﹣1．
【解析】
（1）整理后求出b1﹣4ac的值，再代入公式求出即可；
（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
（1）x（1﹣x）＝x1﹣1，整理得：x1﹣x﹣1＝0，△＝b1﹣4ac＝（﹣1）1﹣4×1×（﹣1）＝5，x，∴x1，x1；
（1）（1x+5）1﹣3（1x+5）+1＝0，（1x+5﹣1）（1x+5﹣1）＝0，1x+5﹣1＝0，1x+5﹣1＝0，∴x1，x1＝﹣1．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解答此题的关键．
26、4
【解析】
首先由S矩形ABCD=3S△PAB，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
【详解】
设△ABP中AB边上的高是h．
∵S矩形ABCD=3S△PAB，
∴AB•h=AB•AD，
∴h= AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，
∴BE=，
即PA+PB的最小值为4．
故答案为：4．
本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人