2024年浙江省余姚市兰江中学数学九上开学教学质量检测试题【含答案】

这是一份2024年浙江省余姚市兰江中学数学九上开学教学质量检测试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）把一元二次方程化为一般形式，正确的是( )
A．B．C．D．
2、（4分）如图，已知一次函数，随着的增大而增大，且，则在直角坐标系中它的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）给出下列命题，其中假命题的个数是（ ）
四条边相等的四边形是正方形；
两组邻边分别相等的四边形是平行四边形；
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
矩形、平行四边形都是轴对称图形.
A．B．C．D．
4、（4分）已知一次函数y＝（2m﹣1）x+3，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围为（ ）
A．m＜2B．C．D．m＞0
5、（4分）已知△ABC中,AB=8,BC=15,AC=17,则下列结论无法判断的是( )
A．△ABC是直角三角形,且AC为斜边
B．△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°
C．△ABC的面积为60
D．△ABC是直角三角形,且∠A=60°
6、（4分）估计5﹣的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
7、（4分）函数y＝k(x＋1)和y＝(k≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )
A．B．C．D．
8、（4分）如图，已知点A(0，9)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC使点C在第一象限，∠BAC＝90°.设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y则表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）方程x2＝2x的解是__________．
10、（4分）观察分析下列数据：0，，，-3，，，，…，根据数据排列的规律得到第10个数据应是__________．
11、（4分）分解因式：2a3﹣8a=________．
12、（4分）如图，在中，角是边上的一点，作垂直, 垂直,垂足分别为,则的最小值是______．
13、（4分）如图,已知矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,AE⊥BD于E,若AB=6,AD=8,则AE=______
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）解方程：x2－ 4x= 1．
15、（8分）为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少3万元．
（1）求a，b的值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1880吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
16、（8分）如图，在平面直角坐标系中有△ABC，其中A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1）．把△ABC绕原点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1．再把△A1B1C1向左平移2个单位，向下平移5个单位得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2．
（2）直接写出点B1、B2坐标．
（3）P（a，b）是△ABC的AC边上任意一点，△ABC经旋转平移后P对应的点分别为P1、P2，请直接写出点P1、P2的坐标．
17、（10分）阅读以下例题：解不等式：(x  4) (x 1)  1
解：①当 x  4  1 ，则 x 1  1
即可以写成：
解不等式组得：
②当若 x  4  1 ，则 x 1  1
即可以写成：
解不等式组得：
综合以上两种情况：不等式解集： x  1或.
（以上解法依据：若ab  1 ，则a，b 同号）请你模仿例题的解法，解不等式：
（1） (x 1)(x  2)  1；
（2） (x  2)(x  3)  1．
18、（10分）某中学积极开展跳绳锻炼,一次体育測试后,体育委员统计了全班同学单位时间的跳绳次数,列出了频数分布表和頻数分布直方图,如图：
(1)补全频数分布表和频数分布直方图；
(2)表中组距是 次,组数是 组；
(3)跳绳次数在范围的学生有 人,全班共有 人；
(4)若规定跳绳次数不低于140次为优秀,求全班同学跳绳的优秀率是多少?
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，S△ABC＝4，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK＋QK的最小值为_______
20、（4分）有5张正面分别标有数字-2,0,2,4,6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，先将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为,则使关于的分式方程有正实数解的概率为________.
21、（4分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交边AC于点D，且∠DBC=15°，则∠A的度数是_______.
22、（4分）若分式 的值为零，则x=________．
23、（4分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若，则=___.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）求下列分式的值：，并从x＝0，﹣1，﹣2中选一个适当的值，计算分式的值．
25、（10分）如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

26、（12分）如图，中，，，．动点、均从顶点同时出发，点在边上运动，点在边上运动．已知点的运动速度是．当运动停止时，由，，构成的三角形恰好与相似．
（1）试求点的运动速度；
（2）求出此时、两点间的距离．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），首先把方程左边的两式相乘，再移项使方程右边变为0，然后合并同类项即可．
【详解】
由得
故选：D
本题考查了一元二次方程的一般形式．去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
2、A
【解析】
首先根据一次函数的增减性确定k的符号，然后根据确定b的符号，从而根据一次函数的性质确定其图形的位置即可．
【详解】
∵随的增大而增大，
∴．
又∵，
∴，
∴一次函数过第一、三、四象限，
故选A．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知函数y＝kx＋b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时函数的图象在一、三、四象限是解答此题的关键．
3、C
【解析】
根据平行四边形、矩形、正方形的判定以及轴对称的性质可知．
【详解】
解：①四条边相等的四边形是菱形，故原命题是假命题；
②两组邻边分别相等的四边形无法确定形状，故原命题是假命题；
③有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故原命题是真命题；
④矩形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，故原命题是假命题．
故选C.
本题主要考查平行四边形、矩形、正方形的判定以及轴对称的性质.
4、C
【解析】
根据一次函数的性质，当函数值y随自变量x的增大而减小时，那么k＜0，由此可得不等式2m﹣1＜0，解不等式即可求得m的取值范围．
【详解】
∵函数值y随自变量x的增大而减小，
∴2m﹣1＜0，
∴m＜．
故选C．
本题考查了一次函数的性质，熟练运用一次函数的性质是解决问题的关键.
5、D
【解析】
试题解析：∵AB=8，BC=15，CA=17，
∴AB2=64，BC2=225，CA2=289，
∴AB2+BC2=CA2，
∴△ABC是直角三角形，因为∠B的对边为17最大，所以AC为斜边，∠ABC=90°，
∴△ABC的面积是×8×15=60，
故错误的选项是D.
故选D．
6、D
【解析】
先合并后，再根据无理数的估计解答即可．
【详解】
5−＝5−2＝3＝，
∵7＜＜8，
∴5−的值应在7和8之间，
故选D．
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出无理数的大小．
7、D
【解析】
【分析】分两种情况分析：当k>0或当k<0时.
【详解】当k>0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线在第一、三象限；
当k<0时，直线经过第二、三、四象限，双曲线在第二、四象限.
故选：D
【点睛】本题考核知识点：一次函数和反比例函数的图象. 解题关键点：理解两种函数的性质.
8、A
【解析】
过点C作CD⊥y轴于点D，证明△CDA≌△AOB(AAS)，则AD＝OB＝x，y＝OA+AD＝9+x，即可求解．
【详解】
解：过点C作CD⊥y轴于点D，
∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OAB+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
∵∠CDA＝∠AOB＝90°，AB＝AC，
∴△CDA≌△AOB(AAS)，
∴AD＝OB＝x，
y＝OA+AD＝9+x，
故选：A．
本题主要考查全等三角形的性质及一次函数的图象，掌握一次函数的图象及全等三角形的性质是解题的关键
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、x1＝0， x2＝2
【解析】
利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】
解：原方程化为：
所以：
所以： 或
解得：
故答案为：
本题考查的是一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是关键．
10、1
【解析】
通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，…，可以得到第13个的答案．
【详解】
解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，，…，
∴第13个答案为：．
故答案为：1．
此题主要考查了二次根式的运算以及学生的分析、总结、归纳的能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．
11、2a（a+2）（a﹣2）
【解析】
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
．
12、
【解析】
根据已知条件得出四边形AEPF为矩形，得出EF=AP,要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可.
【详解】
连接AP,
四边形AFPE是矩形，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过点A作于P，此时AP最小，
在直角三角形中，
由勾股定理得：BC=5，
由三角形面积公式得：
,
即，
故答案为：.
本题是矩形的判定与性质和直角三角形结合考查的题型，找出与EF相等的线段，结合垂线段最短的性质是解题的关键.
13、4.8.
【解析】
矩形各内角为直角，在直角△ABD中，已知AB、AD，根据勾股定理即可求BD的值，根据面积法即可计算AE的长．
【详解】
矩形各内角为直角，∴△ABD为直角三角形
在直角△ABD中，AB=6，AD=8
则BD= =10，
∵△ABD的面积S=AB⋅AD=BD⋅AE，
∴AE= =4.8.
故答案为4.8.
此题考查矩形的性质，解题关键在于运用勾股定理进行计算
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、x1=2+，x2=2-
【解析】
试题分析：方程两边都加上一次项系数一半的平方，进行配方，两边直接开平方即可求得方程的解．
试题解析：x2-4x=1
x2-4x+4=1+4
（x-2）2=5
x-2=
即：x1=2+，x2=2-
考点：解一元二次方程---配方法．
15、（1）；（2）有四种购买方案：①A型设备0台，B型设备10台；②A型设备1台，B型设备9台；③A型设备2台，B型设备8台；④A型设备1台，B型设备7台；（1）为了节约资金，应选购A型设备2台，B型设备8台．
【解析】
（1）购买A型的价格是a万元，购买B型的设备b万元，根据购买一台A型号设备比购买一台B型号设备多1万元，购买2台A型设备比购买1台B型号设备少1万元，可列方程组求解． （2）设购买A型号设备x台，则B型为（10-x）台，根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，进而得出不等式． （1）利用每月要求处理污水量不低于1880吨，可列不等式求解．
【详解】
解：（1）根据题意得：，
解得：；
（2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10-x）台，根据题意得，
12x+9（10-x）≤100，
∴x≤，
∵x取非负整数，
∴x=0，1，2，1
∴10-x=10，9，8，7
∴有四种购买方案：
①A型设备0台，B型设备10台；
②A型设备1台，B型设备9台；
③A型设备2台，B型设备8台．
④A型设备1台，B型设备7台；
（1）由题意：220x+180（10-x）≥1880，
∴x≥2，
又∵x≤，
∴x为2，1．
当x=2时，购买资金为12×2+9×8=96（万元），
当x=1时，购买资金为12×1+9×7=99（万元），
∴为了节约资金，应选购A型设备2台，B型设备8台．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据购买一台A型号设备比购买一台B型号设备多1万元，购买2台A型设备比购买1台B型号设备少1万元和根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，若每月要求处理洋澜湖的污水量不低于1880吨，等量关系和不等量关系分别列出方程组和不等式求解．
16、（1）见解析；（2）B1（2，4）、B2（0，﹣1）；（3）P1（b，﹣a），P2（b﹣2，﹣a﹣5）．
【解析】
（1）根据△ABC绕原点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，△A1B1C1向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到△A2B2C2．
（2）根据图形得出对应点的坐标即可；
（3）根据旋转和平移后的点P的位置，即可得出点P1、P2的坐标．
【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求：
（2）点B1坐标为（2，4）、B2坐标为（0，﹣1）；
（3）由题意知点P1坐标为（b，﹣a），点P2的坐标为（b﹣2，﹣a﹣5）．
考查了利用平移变换以及旋转变换进行作图，解题时注意：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．决定旋转后图形位置的因素为：旋转角度、旋转方向、旋转中心．
17、（1）x＞2或 x＜-1；（2）-2＜x＜2．
【解析】
（1）根据例题可得：此题分两个不等式组和，分别解出两个不等式组即可；
（2）根据两数相乘，异号得负可得此题也分两种情况和解出不等式组即可．
【详解】
解：（1）当x+1＞1时，x-2＞1，可以写成，
解得：x＞2；
当x+1＜1时，x-2＜1，可以写成，
解得：x＜-1，
综上：不等式解集：x＞2或 x＜-1；
（2）当x+2＞1时，x-2＜1，可以写成，
解得-2＜x＜2；
当x+2＜1时，x-2＞1，可以写成，
解得：无解，
综上：不等式解集：-2＜x＜2．
此题主要考查了不等式的解法，关键是正确理解例题的解题根据，然后再进行计算．
18、（1）见解析，（2）表中组距是20次,组数是7组；（3）31人,50人；（4）26%
【解析】
（1）利用分布表和频数分布直方图可得到成绩在60≤x≤80的人数为2人，，成绩在160≤x≤180的人数为4人，然后补全补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）利用频数分布表和频数分布直方图求解；
（3）把和的频数相加可得到跳绳次数在100≤x＜140范围的学生数，把全部7组的频数相加可得到全班人数；
（4）用后三组的频数和除以全班人数可得到全班同学跳绳的优秀率．
【详解】
解：（1）如图，成绩在的人数为2人，成绩在的人数为4人，
（2）观察图表即可得：表中组距是20次，组数是7组；
（3）∵的人数为18人，的人数为13人，
∴跳绳次数在范围的学生有18+13=31(人)，
全班人数为 (人)
（4）跳绳次数不低于140次的人数为，
所以全班同学跳绳的优秀率.
本题考查了频（数）率分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、2
【解析】
试题解析：：如图，过A作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵AB=CB=4，S△ABC=4，
∴AH=2，
∴cs∠HAB=，
∴∠HAB=30°，
∴∠ABH=60°，
∴∠ABC=120°，
∵∠BAC=∠C=30°，
作点P关于直线AC的对称点P′，
过P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，
则P′Q 的长度=PK+QK的最小值，
∴∠P′AK=∠BAC=30°，
∴∠HAP′=90°，
∴∠H=∠HAP′=∠P′QH=90°，
∴四边形AP′QH是矩形，
∴P′Q=AH=2，
即PK+QK的最小值为2．
本题考查了轴对称确定最短路线问题，矩形的性质，解直角三角形，熟记利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．
20、.
【解析】
解分式方程，得到解，并让解大于零，然后根据概率公式求解.
【详解】
解：解分式方程
得：且x≠2
令＞0 且不等于2，则符合题意得卡片上的数字有：-2,0 ,4；
∴方程的解为正实数的概率为： ，故答案为.
本题考查了概率公式和分式方程的求解，其关键是确定满足题意卡片上的数字..
21、1．
【解析】
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【详解】
解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=1°．
故答案为1°
22、2
【解析】
分式的值为1的条件是：（1）分子=1；（2）分母≠1．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【详解】
依题意得x2-x-2=1，解得x=2或-1，
∵x+1≠1，即x≠-1，
∴x=2．
此题考查的是对分式的值为1的条件的理解和因式分解的方法的运用，该类型的题易忽略分母不为1这个条件．
23、
【解析】
根据等边三角形的性质就可以得出△AEC≌△BDC，就可以得出AE=BD，∠E=∠BDC，由等腰直角三角形的性质就可以得出∠ADB=90°，由勾股定理就可以得出：，再设AE=k，则AD=3k，BD=k，求出BC=k，进而得到
的值．
【详解】
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°,
∠E=∠ADC=∠CAB=45°,EC=DC,AC=BC,
∴，∠ECD−∠ACD=∠ACB−∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD.
在△AEC和△BDC中，
，
∴△AEC≌△BDC(SAS)，
∴AE=BD，∠E=∠BDC，
∴∠BDC=45°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，
即∠ADB=90°.
∴.
∵，
∴可设AE=k，则AD=3k，BD=k，
∴，
∴BC=，
∴.
故答案为：.
此题考查勾股定理、等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质，解题关键在于“设k法”列出比例式即可.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、-1
【解析】
根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子,然后从0,-1,-1中选一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题
【详解】
解：
＝
＝（x+1）+（x﹣1）
＝x+1+x﹣1
＝1x，
当x＝﹣1时，原式＝1×（﹣1）＝﹣1．
此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键
25、 (1)证明见解析；(2)见解析.
【解析】
（1）根据“矩形的定义”证明结论；
（2）连结AP．当AP⊥BC时AP最短，结合矩形的两对角线相等和面积法来求GH的值．
【详解】
（1）证明∵AC=9 AB=12 BC=15，
∴AC2=81，AB2=144，BC2=225，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠A=90°．
∵PG⊥AC，PH⊥AB，
∴∠AGP=∠AHP=90°，
∴四边形AGPH是矩形；
（2）存在．理由如下：
连结AP．
∵四边形AGPH是矩形，
∴GH=AP．
∵当AP⊥BC时AP最短．
∴9×12=15•AP．
∴AP=．
本题考查了矩形的判定与性质．解答（2）题时，注意“矩形的对角线相等”和“面积法”的正确应用．
26、（1）；（2）D、E两点间的距离为或1．
【解析】
（1）如图，设等E的运动速度为xcm/s．由题意AD＝4cm，AE＝2x．分两种情形分别构建方程即可解决问题．
（2）分两种情形利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：（1）如图，设等E的运动速度为xcm/s．由题意AD＝4cm，AE＝2x．

①当时，△ADE∽△ABC，
∴，
解得x＝，
∴点E的运动速度为cm/s．
②当，△ADE∽△ACB，
∴，
∴x＝，
∴点E的是的为cm/s．
（2）当△ADE∽△ABC时，，
∴，
∴DE＝，
当△ADE∽△ACB时，，
∴，
∴DE＝1，
综上所述，D、E两点间的距离为或1．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分

A型
B型
价格（万元/台）
a
b
处理污水量（吨/月）
220
180
次数
频数
4
18
13
8
1