高中(人教A版数学必修一册)精品同步讲义第一章第06讲第1章集合与常用逻辑用语拓展提升(学生版+解析)

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第06讲 第一章集合与常用逻辑用语拓展提升题型01集合的概念【典例1】（多选）（23-24高二上·安徽·阶段练习）设集合中至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则；则集合可以是（    ）A． B．C． D．【典例2】（多选）（23-24高一上·辽宁·阶段练习）设集合，若，则（    ）A． B． C． D．【典例3】（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝ .【典例4】（2024高一上·全国·专题练习）集合任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为 ．【典例5】（2024高一上·江苏·专题练习）已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则．(1)若，求出A中其他所有元素．(2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数，再求出A中的元素．(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？【典例6】（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知集合.(1)求；(2)若集合，且“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.题型04集合新定义题【典例1】（多选）（23-24高一上·江苏苏州·期中）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（   ）．A．；B．；C．“”是“”的必要不充分条件；D．若，则【典例2】（2024·辽宁·模拟预测）若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列” .【典例3】（23-24高三下·重庆·阶段练习）集合，将集合A中的元素按由小到大的顺序排列成数列，即，，数列的前n项和为．(1)求，，；(2)判断672，2024是否是中的项；(3)求，．题型05充分条件与必要条件【典例1】（23-24高三下·天津南开·阶段练习）“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【典例2】（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知命题对于成立，命题关于k的不等式成立．(1)若命题p为真命题，求实数k的取值范围；(2)若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【典例3】（23-24高一下·福建宁德·开学考试）在，，设全集，并回答下列问题.(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【典例4】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知集合(1)判断8，9，10是否属于集合A；(2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；(3)写出所有满足集合A的偶数.【典例5】（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．(1)若，求；(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．题型06全称量词与存在量词 【典例1】（多选）（23-24高一上·广东江门·期中）若命题“，”是假命题，则的值可能为（    ）A． B．1 C．3 D．7【典例2】（多选）（23-24高一上·广东汕尾·阶段练习）使命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ）A． B．C． D．【典例3】（23-24高一上·重庆北碚·期中）已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 .【典例4】（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知命题：R，使为假命题．(1)求实数的取值集合；(2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．第06讲 第一章集合与常用逻辑用语拓展提升题型01集合的概念【典例1】（多选）（23-24高二上·安徽·阶段练习）设集合中至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则；则集合可以是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】对选项逐个进行判断，出现矛盾的可排除，正确的可以证明.【详解】对于A，易知，所以应有，矛盾，即A错误；对于B，易知，且，则可取满足题意，即B正确；对于C，易知，所以应有，矛盾，即C错误；对于D，易知，且，，则可取满足题意，即D正确；故选：BD.【典例2】（多选）（23-24高一上·辽宁·阶段练习）设集合，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】设，再逐一验证即可.【详解】由题意可设，则，A正确.，当或时，，B错误，，C正确，，D正确.故选：ACD.【典例3】（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝ .【答案】－4或0【分析】根据集合元素属性特征，通过解方程分类讨论求解即可.【详解】当时，当时，则，当时，则，即当时，；当时，；所以，当时，；当时，，所以，因此有；当时，当时，则，当时，则，即当时，；当时，；所以，当时，；当时，，所以，因此有，当时，同理可得无解，综上所述：实数t的值为－4或0，故答案为：－4或0【点睛】关键点睛：根据区间取特殊值分类讨论进行求解是解题的关键.【典例4】（2024高一上·全国·专题练习）集合任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为 ．【答案】7【分析】假设且集合有4个正项，结合已知条件得到矛盾，即可确定集合中正项的个数，同理推出负项个数，即可确定的最大值.【详解】不妨假设若集合中的正数个数大于等于，故为正项，则和均大于于是有从而矛盾！所以集合中至多有3个正数，同理集合中最多有个负数，取满足题意，所以的最大值为．故答案为：7【典例5】（2024高一上·江苏·专题练习）已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则．(1)若，求出A中其他所有元素．(2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数，再求出A中的元素．(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？【答案】(1)A中其他所有元素为，，2(2)0不是A中的元素，答案见解析(3)A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．【分析】（1）把代入，得出数值后再代入，直至出现重复数即可求解.（2）假设，计算并导出矛盾得0不是的元素，取，求出集合中元素即可.（3）由（2）可观察出中不能取的数，分析（1）（2）中的四个值的特点得出结论，进而由“若，则”推证即可.【详解】（1）由题意，可知，则，，，，所以A中其他所有元素为，，2．（2）假设，则，而当时，不存在，假设不成立，所以0不是A中的元素．取，则，，，，所以当时，A中的元素是3，，，．（3）猜想：A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．由（2）知0，，若，则，与矛盾，则有，即，0，1都不在集合A中．若实数，则，，，．结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素，，，且，．显然，否则，即，无实数解．同理，，即A中有4个元素．所以A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．题型02集合间的基本关系【典例1】（2024高一·全国）已知集合的子集B满足：对任意，有，则集合B中元素个数的最大值是（    ）．A．1005 B．1006 C．1007 D．1008【答案】B【分析】假设B中元素最大是2012，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解.【详解】假设B中元素最大是2012，将其余元素分组：共1005组，一定不包含，若B中元素多于1006个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两数和为2012，与已知矛盾，所以B中元素最多为1006个，同理可知，当B中最大元素小于2012时，元素个数不超过1006个，又满足题意，元素个数为1006个．所以B中元素个数的最大值为1006．故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于对不等关系进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此题解法不唯一，可以讨论极限情况，可以分类列举观察规律.【典例2】（多选）（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ）A． B． C．0 D．2【答案】ABC【分析】空集是任何一个集合的子集，由，分别对和进行分类讨论求实数的值.【详解】解得，则.当时，方程无解，则；当时，方程有解，则且，因为，所以，因此，即或，即.综上所述，时,的值为.故选：ABC.【典例3】（2024高一·全国）已知集合，且，给出下列命题：①满足的集合的个数为；②满足⫋的集合的个数为；③满足⫋的集合的个数为；④满足⫋⫋的集合的个数为．其中正确的是 ．（填上你认为正确的所有命题序号）【答案】①③【分析】由包含和真包含的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】①满足的集合的个数为的子集的个数，即； ②满足⫋的集合的个数为的非空子集的个数，即；③满足⫋的集合的个数为的真子集的个数，即；④满足⫋⫋的集合的个数为的非空真子集的个数，即．故答案为：①③.【典例4】（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）（1）已知集合，求实数的值；（2）已知集合，若集合有四个子集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）且.【分析】（1）根据，讨论集合A中元素，列式求解，即得答案；（2）根据集合有四个子集，可得A中有2个元素，结合一元二次方程的判别式求得答案.【详解】（1）解：由题知因为，故，又因为，则或，①当时，即，此时，集合中的元素不满足互异性，故舍；②当时，即，解得或（舍），此时，集合中的元素满足互异性，综上所述，；（2）由题因为集合有四个子集，所以集合中有两个元素，所以，且，即且，所以且.【典例5】（23-24高二下·北京朝阳·期中）设为全集，集合，.(1)若，求，；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）先求出集合，，然后结合集合的交集及补集运算即可求解；（2）由已知结合集合的包含关系对集合是否为空集进行分类讨论即可求解.【详解】（1）（1）由题意可得，当时，，所以，因为，所以（2）由(1)知，，若，即，解得，此时满足；若，要使，则，解得，综上，若，所求实数的取值范围为题型03集合的基本运算【典例1】（23-24高一上·上海·期中）设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 .【答案】12【分析】正面求解复杂，先求集合的子集的个数即可【详解】按题意，集合是的子集，且与的交集不为空集集合的子集有个其中与的交集为空集的子集，即的子集，有个故满足题意的集合的个数为故答案为：12【典例2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）函数的最大值记为M，最小值记为m，其中为负常数，若，则 ，T的最小值为 ．【答案】 9 【分析】根据题意可得，，进而可得的值；不等式为，解得k的取值范围，不等式可化为对任意恒成立，即可得出答案．【详解】因为函数为开口向下，对称轴为，所以，，所以，不等式即，所以，令，因为为负常数，所以，由，得到，则，即，解得，因为，所以，由，即，即对恒成立，所以，即，所以最小值为.故答案为：9；【典例3】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知，.(1)若，求；(2)已知全集，若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求集合，再结合集合的交集运算求解即可；（2）根据题意分析可知，结合子集的性质进行求解即可.【详解】（1）由题意可得：，，当时，因为，所以.（2）由（1）可得：，，因为，则，可知，则或，解得或，所以实数a的取值范围为.【典例4】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，．(1)命题p：，命题q：，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；(2)若，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求解可得，再根据充分与必要条件的性质可得可得集合区间端点的关系列式即可；（2）由题意，，恒成立，再根据二次函数的性质求解最值即可.【详解】（1）解不等式，即，解得，所以，．由于p是q的必要非充分条件，则是的真子集，所以，解得，因此，实数的取值范围是；（2）由，都有，得，，令，，当时，y取最大值为，所以，．因此，实数m的取值范围是．【典例5】（2024高二·全国）设，若．求实数的取值范围．【答案】【分析】求出集合，对集合，对分类讨论，结合满足时可得结果.【详解】因为，，①若，则，与矛盾．舍去；②若，欲使，易知，，不论与哪一个大，都需，∴，．所以.【典例6】（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知集合.(1)求；(2)若集合，且“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）解一元二次不等式求解A，解绝对值不等式求解B，进而根据交集的运算求解；（2）根据已知可推得A是C的真子集，根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】（1）由题意得，，,所以.（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合A是集合C的真子集，所以，解得，所以实数m的取值范围是.题型04集合新定义题【典例1】（多选）（23-24高一上·江苏苏州·期中）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（   ）．A．；B．；C．“”是“”的必要不充分条件；D．若，则【答案】AD【分析】根据集合新定义结合一元二次方程逐个分析即可.【详解】对于A，当时，，此时，故A正确；对于B，当时，，此时，故B错误；对于C，当时，，所以，，所以，所以；当时，因为，所以或，若，满足，解得；若，因为方程的两个根都不是方程的根，所以需满足，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误；对于D，因为，要得，所以或，由C可知：或，所以，所以，故D正确；故选：AD【典例2】（2024·辽宁·模拟预测）若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列” .【答案】960【分析】结合韦恩图，根据题意先选择3个元素均分给，，三个位置，在排剩余元素，结合组合数和分步乘法计数原理运算求解.【详解】因为，，均只有一个元素，且，作出韦恩图，  则从的5个元素中选择3个元素均分给，，三个位置，共有种不同排法，剩余2个元素，每个均有4个位置可以排，共有有种不同排法；所以“有序子集列”共有个.故答案为：960.【点睛】关键点点睛：本题关键是将集合问题转化为元素分配问题，先排重叠部分，再排剩余元素即可.【典例3】（23-24高三下·重庆·阶段练习）集合，将集合A中的元素按由小到大的顺序排列成数列，即，，数列的前n项和为．(1)求，，；(2)判断672，2024是否是中的项；(3)求，．【答案】(1)，，(2)672是数列的项，2024不是中的项(3)，【分析】（1）直接对a,b,c赋值求值即可；（2）直接利用集合A中元素的意义验证即可；（3）先确定集合A中元素个数，再确定中最大项是（），最小项是可求出，再利用求和求得.【详解】（1），，．（2），故，则672是数列的项；．令，则，故，故2024不是中的项．（3）当时在集合A中有个元素，当时在集合A中有个元素，……当时在集合A中有个元素，则集合A一共有个元素， 故有项，当时在集合A中的个元素中最小的元素是，最大元素是（），故的元素在中最大项是（），最小项是；令，则共有项， 则恰好是的元素在中的最大项，则； 令，则一共有项，记表示集合A中的元素之和，则，因为集合A中的元素有个，这些元素中含的个数是，含的个数都是， 故，则：，，，，，故．故，．【点睛】关键点点睛：本题考查结数列新定义，关键是利用集合A中元素意义确定数列的项，确定项的个数解决第3问.【典例4】（23-24高一上·北京延庆·期末）已知集合A为非空数集.定义：(1)若集合，直接写出集合S，T；(2)若集合且．求证：；(3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值.【答案】(1)，(2)证明见解析(3)1350.【分析】（1）根据新定义直接求出；（2）首先根据定义得出，然后由，得出结论，再验证也是中元素即得；（3）设满足题意，其中利用最大的和最小的构造也中至少含有的元素，以及中至多含有的元素，得，然后由利用，得，再由中最小的元素0与最大的元素得到，然后构造一个集合，由得出的范围，求得中元素个数可以为1350，从而得出结论．【详解】（1）由已知，则，；（2）由于集合且，所以T中也只包含四个元素，因为即且，即，又，所以，从而，此时满足题意，所以；（3）设满足题意，其中，2，，∵，∴，又中最小的元素为0，最大的元素为，则设，，则，因为，可得，即，故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多，即时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350.【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合中元素进行排序，即设满足题意，其中，利用集合中的最大元素和最小元素确定的最小值，的最小值，确定的范围，然后构造出一个集合，使得能取得范围内的最大值．【典例5】（23-24高一上·上海·期中）对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是．(1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素；(2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过；(3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是．【答案】(1)、(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据“协同子集”的定义直接写出另外两个元素；（2）若为的一个“协同子集”，考虑元素，进行判断证明即可；（3）根据“协同子集”的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论.【详解】（1）解：由题意可知，中两个元素分别为和，这两个元素第个分量都是，故中另外两个元素分别为、.（2）解：对于，考虑元素；显然，、、，对于任意的，、、不可能都为，可得、不可能都在“协同子集”中．又因为取定，则一定存在且唯一，而且，由的定义知道，，，，这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为，所以中元素个数不超过．（3）证明：，，定义元素、的乘积为，显然．我们证明“对任意的，都有.”假设存在、使得，则由（2）知，．此时，对于任意的，、、不可能同时为，矛盾，所以．因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道，显然这个元素的分量不能都为，不妨设，根据的定义，可以知道中所有元素的第个分量都为．下面再证明的唯一性：若还有，即中所有元素的第个分量都为，此时由（2）可知集合中元素个数至多为个，矛盾．所以结论成立．【点睛】方法点睛：解决集合新定义问题的方法：（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．（2）用“协同子集”的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用“协同子集”的性质．题型05充分条件与必要条件【典例1】（23-24高三下·天津南开·阶段练习）“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据绝对值的定义和分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方(3)【分析】（1）由，即可证，若，而，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A.（2）由，结合集合A的描述知，由（1），而，即可证结论；（3）由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数.【详解】（1），，故，，假设，，则，且，由，得或，显然均无整数解，∴，综上，有：，，；（2）集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于A，即，则必有；又，而，即，推不出，∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；（3）集合，，①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数；②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数，综上，所有满足集合A的偶数为．【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集.【典例5】（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．(1)若，求；(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案；（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解.【详解】（1）当时，集合，集合，所以；【典例2】（多选）（23-24高一上·广东汕尾·阶段练习）使命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由存在量词命题为真命题，求出参数的取值范围，判断其成立的充分不必要条件即可.【详解】由于命题“”是真命题，令，则.，故，所以，则的充分不必要条件，即的真子集可以是，.故选：AB.【典例3】（23-24高一上·重庆北碚·期中）已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 .【答案】【分析】根据题意，将命题等价转化为命题“”为真命题，根据命题的真假得出关于的不等式恒成立，进而求解即可.【详解】因为命题“”为假命题，所以命题“”为真命题，因为集合，当时，集合，符合；当时，因为，所以由对，可得对任意的恒成立，所以，综上所述：实数的取值范围为，故答案为：.【典例4】（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知命题：R，使为假命题．(1)求实数的取值集合；(2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由条件可得关于的方程无解，然后分两种情况讨论即可；（2）首先由为非空集合可得，然后由条件是的充分不必要条件,分析集合大小，建立不等式求解.【详解】（1）因为命题，R，使为假命题，所以关于的方程无解，当时，有解，故时不成立，当时，解得或，所以（2）因为为非空集合，所以即因为若是的充分不必要条件，所以,所以或即或综上，实数的取值范围为或.