高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质学案，共33页。学案主要包含了考查意图等内容，欢迎下载使用。

知识点一：不等式的概念
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.
知识点二：实数大小的比较
1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.
2、作差法比大小：①；②；③
3、不等式性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
知识点三：不等式的探究
一般地，，有，当且仅当时，等号成立.
知识点四：不等式的性质
题型01由已知条件判断所给不等式是否正确
【典例1】（23-24高一上·北京·期中）对于任意实数，命题①若，，则；②若，则；
③若，则 ；④若，则；⑤若，，则．
其中真命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（多选）（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知是实数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式1】（多选）（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）若，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式2】（多选）（23-24高一上·云南德宏·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若，且，则
C．若，则
D．若，，则
题型02由不等式的性质比较数（式）大小
【典例1】（2024高二上·福建）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
【变式2】（2024高二下·湖南娄底）若，则下列各式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（多选）（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（ ）
A．B．C．D．
题型03作差法比大小
【典例1】（23-24高一上·重庆长寿·期末）设，为正数，且，记，，则（ ）
A．B．
C．D．，大小关系不确定
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：.
【变式1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（ ）
A．B．
C．D．与的大小与的取值有关
【变式2】（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（ ）
A．B．
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ）
A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低
C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较
8．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高一上·山东日照·期末）若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2024高一上·安徽·竞赛）若实数，满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（2024高一上·全国·专题练习）已知且满足，则的取值范围是 .
12．（23-24高一上·全国·期末）已知，，则的取值范围是 .
四、解答题
13．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）比较下列各题中两个代数式值的大小.
(1)与；
(2)与.
是 .
5．（23-24高一上·吉林·阶段练习）阅读材料：
（1）如图图片中为初中化学实验试题，请用数学中不等式知识解释题中“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，用a代替溶质，b代替溶液，c代替添加的溶质并证明.

在氯化钠能全部溶解的情况下：氯化钠加的越多，溶液越咸
（2）结合（1）中的不等式关系与，，则有的不等式性质．
解答问题：
已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
C新定义题型
1．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由课程标准
学习目标
①会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质。
②会利用不等式性质比较大小。
③会利用不等式的性质进行简易的求范围与证明。
1通过本节课的学习，能做到用不等式表示不等关系，能利用等式及不等式的相关性质进行大小的比较、不等关系的证明、求解相应代数式的取值范围.
自然语言
大于
小于
大于或等于
小于或等于
至多
至少
不少于
不多于
符号语言
性质
性质内容
特别提醒
对称性
（等价于）
传递性
（推出）
可加性
（等价于
可乘性
注意的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
，同为正数
可开方性
第01讲 2.1等式性质与不等式性质

知识点一：不等式的概念
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.
知识点二：实数大小的比较
1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.
2、作差法比大小：①；②；③
3、不等式性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
知识点三：不等式的探究
一般地，，有，当且仅当时，等号成立.
知识点四：不等式的性质
题型01由已知条件判断所给不等式是否正确
【典例1】（23-24高一上·北京·期中）对于任意实数，命题①若，，则；②若，则；
③若，则 ；④若，则；⑤若，，则．
其中真命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质判断即可.
【详解】命题①，若，当时，，当时，，故①错误；
命题②，若，当时，，当时，，，故②错误；
命题③，若，则，，故，故③正确；
命题④，若，当，或时，，当时，，故④错误；
命题⑤，若，当时，，当时，和大小不确定，当时，，故⑤错误；
故选：A
【典例2】（多选）（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知是实数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质以及特殊值检验求解.
【详解】对于选项，当时，，故A错误；
对于选项B，当时，两边同乘得，则B正确；
对于选项，当，则，显然成立，则C正确；
对于选项，若，当，所以，则D错误．
故选：.
【变式1】（多选）（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）若，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【分析】
根据题意，举出反例即可判断ABC，由作差法即可判断D
【详解】令，满足，但是，故A错误；
令，满足，但是，故B错误；
令，满足，但是，故C错误；
因为，所以，故D正确；
故选：ABC
【变式2】（多选）（23-24高一上·云南德宏·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若，且，则
C．若，则
D．若，，则
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质，差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若，则，所以A选项错误.
B选项，若，，则，
则，所以B选项正确.
C选项，若，则，
所以，所以C选项正确.
D选项，若，，如，
则，所以D选项错误.
故选：BC
题型02由不等式的性质比较数（式）大小
【典例1】（2024高二上·福建）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D.
【详解】对于A，当，时，满足，但是，故A错误；
对于B，当，时，满足，但是，故B错误；
对于C，当，时，满足，但是，故C错误；
对于D，因为，所以，即，故D正确.
故选：D
【典例2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】B
【分析】利用特殊值判断A、C、D，利用不等式的性质判断B.
【详解】对于A：当时，，若，则，故A错误；
对于B：因为，所以，即，所以，故B正确；
对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误；
对于D：当时，，故D错误.
故选：B
【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可.
【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误.
对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确；
对于C：取，时，则，，，则，故C错误；
对于D：当，时，，，则，故D错误；
故选：B.
【变式2】（2024高二下·湖南娄底）若，则下列各式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质以及反例即可求解.
【详解】对于A，因为，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，
所以，故A正确；
对于B，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个小于的整式，不等号方向改变，
所以，故B错误；
对于C，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，
所以，故C错误；
对于D，若，，此时，故D错误.
故选：A.
【变式3】（多选）（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误.
【详解】对于A，由和不等式性质可得，故A正确；
对于B，因，若取，，，，
则，，所以，故B错误；
对于C，因，若取，，，，
则，，所以，故C错误；
对于D，因为，则，又因则，
由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确．
故选：AD．
题型03作差法比大小
【典例1】（23-24高一上·重庆长寿·期末）设，为正数，且，记，，则（ ）
A．B．
C．D．，大小关系不确定
【答案】C
【分析】利用作差法判断即可.
【详解】，
∵，为正数，且，，则，
∴，
∴，
故选：C
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：.
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证.
【详解】证明：因为，
又因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以.
【变式1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（ ）
A．B．
C．D．与的大小与的取值有关
【答案】A
【分析】根据题意通过作差比较大小，得出的大小关系，从而判断出正确答案.
【详解】由，且，即，
可得，即，
故选：A.
【变式2】（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．无法确定
【答案】A
【分析】利用作差法分析判断.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为 ．
【答案】a＜b
【详解】
解析：因为b－a＝2（x＋2）2－（x＋1）（x＋3）＝2x2＋8x＋8－（x2＋4x＋3）＝x2＋4x＋5＝（x＋2）2＋1＞0，所以a＜b.
【考查意图】
作差比较法比较大小．
题型04利用不等式求值或取值范围
【典例1】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围．
【详解】设，
所以，解得，即可得，
因为，，
所以，
故选：A．
【典例2】（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则ab的最大值为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【分析】用已知式子表示，并利用不等式的性质求的范围，验证最大值取到即可.
【详解】，
由不等式的性质，，所以
所以，所以，
当且仅当时，且已知，解得，
即的最大值为.
故选：A.
【变式1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用和范围求出，然后利用不等式的性质求解即可
【详解】由，，
得，即，
，
所以，即，
故选：D
【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】解：设，
所以，解得，
因为，，
则，
因此，.
故答案为：.
【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由已知条件推导出，，，再分别由与求得的取值范围，从而得解.
【详解】因为，，
则，且，即，，，
由得，则，即，即，
又，则，
因此的取值范围是.
故答案为：.
题型05用不等式表示不等关系
【典例1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下：
优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%；
优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；
优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.
如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是 元.
【答案】201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可）
【分析】设购买的商品的标价为元，根据题意列出不等式即可得到答案．
【详解】设购买的商品的标价为元，，
使用优惠券1时减免元；使用优惠券2时减免20元；使用优惠券3时减免元，
由题意，且，解得．
故答案为：201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可）
【典例2】（23-24高一上·福建福州·期中）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220，则这所公寓的地板面积至多为 平方米；若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是 （填写“变好了”或者“变坏了”）
【答案】 200 变好了
【分析】设这所公寓的地板面积为，则这所公寓窗户面积为（），然后根据题意列不等式可求出的范围，设窗户面积与地板面积分别为，（），设同时增加相同的面积为（），然后作差判断.
【详解】设这所公寓的地板面积为，则这所公寓窗户面积为（），
所以，解得，
所以这所公寓的地板面积至多为200平方米，
设窗户面积与地板面积分别为，（），设同时增加相同的面积为（），则
，
所以，
所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了，
故答案为：200，变好了
【变式1】（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米．
【答案】
【分析】根据已知条件列不等式，从而求得正确答案.
【详解】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，，
依题意，即，
所以改造前的窗户面积最大为平方米.
故答案为：
【变式2】（23-24高三上·河南洛阳·阶段练习）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为 .
【答案】
【分析】根据已知条件列出不等式.
【详解】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为万本，
则提价后销售的总收入为万元，
所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为：
.
故答案为：
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质或反例可得选项.
【详解】因为，所以，D正确；
当时，满足，但是，A,C不正确；
当时，满足，但是，B不正确；
故选：D
2．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.
【详解】对于ABD，取，满足，
显然，，，ABD错误；
对于C，，则，C正确.
故选：C
3．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用作差法，得出的等价条件，再分析充分性和必要性，即可得出结论.
【详解】由于，则成立，等价于成立，
充分性：若，且，则，则，
所以成立，满足充分性；
必要性：若，则成立，
其中，且，
则可得成立，即成立，满足必要性；
故选：C.
4．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用不等式的性质判断A，举反例排除BCD，从而得解.
【详解】对于A，因为，，所以，故A正确；
对于B，取，，则，故B错误；
对于C，取，则，故C错误；
对于D，取，，则， 故D错误.
故选：A.
5．（2024·山东聊城·三模）“，且”是“，且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立；
当，满足，且，但是，故充分性不成立，
所以“，且”是“，且”的必要不充分条件.
故选：B
6．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可结论.
【详解】对于A，当，则，故A不正确；
对于B，当时，由可得，故B不正确；
对于C，当时，，故C不正确；
对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确.
故选：D.
7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ）
A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低
C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较
【答案】A
【分析】
根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可.
【详解】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且，
则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为元/千克，
小港两次均购买50元葡萄，平均价格为元．
因为，
所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低．
故选：A.
8．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的性质即可得解.
【详解】因为，所以，，
所以.
故选：D.
二、多选题
9．（23-24高一上·山东日照·期末）若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】对于AD，举例判断，对于B，利用不等式的性质分析判断，对于C，利用作差法分析判断
【详解】对于A，若，则，所以A错误，
对于B，因为，所以，因为，所以，所以B正确，
对于C，因为，，，所以，，
所以，
所以，所以C正确，
对于D，若，则，所以D错误，
故选：BC
10．（2024高一上·安徽·竞赛）若实数，满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】A选项，举出反例；B选项，由同向可加性得到结果；CD选项，由不等式性质得到.
【详解】A选项，当时，，故A错误；
B选项，因为，根据同向可加性可知，故B正确；
CD选项，因为，所以，，
则，故C错误，D正确.
故选：BD.
三、填空题
11．（2024高一上·全国·专题练习）已知且满足，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用待定系数法得到，再结合同向不等式的可加性求解即可.
【详解】设，可得，
解得，，
因为可得，
所以.
故答案为：.
12．（23-24高一上·全国·期末）已知，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，设，由相等关系列方程组求出，再利用不等式的性质求解即可.
【详解】设，
则，
所以，解得，
于是.
又，，
所以，即.
故答案为：.
四、解答题
13．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）比较下列各题中两个代数式值的大小.
(1)与；
(2)与.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）利用作差法，化简后和0比较，即可判断大小关系.
所以甲最远能深入沙漠公里数为810.
故选：C
【点睛】方法点睛：分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.
3．（23-24高一上·天津·期中）已知表示不超过的最大整数，例如，则关于的方程的解集为（ ）
A．B．，或
C．D．，或
【答案】D
【分析】根据题意先对进行化简后，然后解不等式后进行求解.
【详解】由题意得，从而可知：，
化简得：，解之得：或，
故解集为：，故D项正确.
故选：D
4．（23-24高一上·上海·期中）已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求解含绝对值的不等式，再结合恰有3个整数解可得不等式组，解不等式组可得答案.
【详解】因为，所以，即，
由于不等式恰有3个整数解，则这三个整数解分别是2，3，4，
所以，解得，
故答案为：.
5．（23-24高一上·吉林·阶段练习）阅读材料：
（1）如图图片中为初中化学实验试题，请用数学中不等式知识解释题中“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，用a代替溶质，b代替溶液，c代替添加的溶质并证明.
(3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由
【答案】(1)“上位点”，“下位点”（答案不唯一）
(2)“下位点”，证明见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标.
（2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”.
（3）依题意可得，从而得到，即可得解.
【详解】（1）因为，
根据题设中的定义可得点的一个 “上位点坐标”和一个“下位点”坐标分别为和，
即“上位点”，“下位点”（答案不唯一）；
（2）点是点的“下位点”.
证明：点是点的“上位点”，
，
又均大于，
，
，
，即，
所以点是点的“下位点”.
（3）若点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”；
即；
所以对任意的都有，
，
所以当时，对任意的存在，
使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”.
【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键.
课程标准
学习目标
①会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质。
②会利用不等式性质比较大小。
③会利用不等式的性质进行简易的求范围与证明。
1通过本节课的学习，能做到用不等式表示不等关系，能利用等式及不等式的相关性质进行大小的比较、不等关系的证明、求解相应代数式的取值范围.
自然语言
大于
小于
大于或等于
小于或等于
至多
至少
不少于
不多于
符号语言
性质
性质内容
特别提醒
对称性
（等价于）
传递性
（推出）
可加性
（等价于
可乘性
注意的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
，同为正数
可开方性