高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式学案及答案，共64页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3等内容，欢迎下载使用。

知识点一：一元二次不等式的有关概念
1、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：
①（其中均为常数）
②（其中均为常数）
③（其中均为常数）
④（其中均为常数）
2、一元二次不等式的解与解集
使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.
知识点二：四个二次的关系
2.1一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．
2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
知识点三：一元二次不等式的解法
1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
2：写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；
②时，求根；
③时，方程无解
3：根据不等式，写出解集.
【即学即练1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）解下列一元二次不等式：
(1)；
(2)．
知识点四：解分式不等式
4.11、分式不等式
4.1.1定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。
4.1.2分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
【即学即练2】（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．或D．或
【即学即练3】（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）关于的不等式：的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
题型01一元二次不等式（不含参）的求解
【典例1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）不等式的解集为（ ）
A．或B．或
C．D．或
【典例2】（23-24高一上·新疆·期末）解下列不等式；
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式1】（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）不等式的解是（ ）
A．或B．或
C．D．
【变式2】（23-24高一上·北京·期中）解下列不等式：
(1)
(2)
题型02一元二次不等式（含参）的求解
【典例1】（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高一上·广西桂林·阶段练习）（1）解关于x的不等式；
（2）解关于x的不等式．
【典例3】（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知关于不等式的解集为．
(1)求实数；
(2)解关于不等式．
【变式1】（23-24高一上·江苏南京·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为．
(1)求和的值；
(2)求不等式的解集．
【变式3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）当时，解关于的不等式.
题型03一元二次不等式与对应函数、方程的关系
【典例1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．或B．或
C．D．
【典例2】（多选）（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．B．关于x的不等式的解集是
C．D．关于x的不等式的解集为或
【变式1】（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（多选）（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（ ）
A．且B．
C．不等式的解集为D．不等式的解集为
题型04分式不等式的解法
【典例1】（2024·全国·模拟预测）设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．8B．7C．32D．31
【典例2】（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）解不等式：．
【变式1】（23-24高一下·安徽·阶段练习）不等式的解集为（ ）
A．或B．C．或D．
【变式2】（23-24高一下·河南许昌·开学考试）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高一上·新疆喀什·期末）不等式的解集是 .
题型05一元二次方程的实根分布问题
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高一上·贵州·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是 ．
【变式1】（23-24高一上·贵州·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是 ．
【变式2】（23-24高一上·贵州·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是 ．
【变式3】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 .
【变式4】（2024高一·上海·专题练习）方程在区间上有一根，求实数的取值范围．
题型06一元二次不等式的实际问题
【典例1】（23-24高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米．
(1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米?
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价．
【典例2】（23-24高一上·广西南宁·期中）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【典例3】（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）2018年9月，习近平总书记在东北三省考察并明确提出“新时代东北振兴，是全面振兴、全方位振兴”.吉林省有着丰富的资源，其中“世界人参看中国，中国人参看吉林”.吉林是中国人参的核心产区，有着1500多年的野山参采挖史和和450多年的人参人工栽培史.而抚松县万良镇是全球最大的人参交易集散地，这里也被称为“中国人参之乡”.在落实党中央决策部署，持续解放思想、深化经济改革，以新气象新担当新作为推进东北全面振兴的过程中抚松县万良镇的居民走在了经济致富的前沿，现有一微型企业生产制作人参产品每月的成本t（单位：元）由两部分构成：①固定成本（与生产产品的数量无关）：20万元；②生产所需材料成本：（单位：元），x为每月生产产品的套数.
(1)该企业每月产量x套为何值时，平均每套的成本最低，每套的最低成本为多少？
(2)若每月生产x套产品，每套售价为：（单位：元），假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于4万元？
【变式1】（23-24高一上·重庆·期末）2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x%．
(1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；
(2)在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值．
【变式2】（23-24高一上·上海青浦·期中）第六届中国国际进口博览会将于2023年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举行，主题为“新时代共享未来”，届时将有很多展客商参与.为了解路况，现经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：.
(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?（保留分数形式）
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内?
题型07重点方法之一元二次不等式的恒成立与有解问题方法一：判别法
【典例1】（多选）（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）若命题“，”是假命题，则k的值可能为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【典例2】（23-24高一上·河北承德·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 .
【变式1】（23-24高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 .
【变式3】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若是假命题，则实数的取值范围为 ．
题型08重点方法之一元二次不等式的恒成立与有解问题方法二：变量分离法
【典例1】（23-24高三上·山东滨州·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（多选）（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）当时，不等式恒成立，则的范围可以是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（23-24高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于的不等式.
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
C．D．
3．（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A．B．
C．D．
4．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）若不等式的解集是，则的值是（ ）
A．B．1C．D．12
5．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）不等式对任意实数恒成立，则参数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（22-23高一上·云南保山·阶段练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．的解集是
D．的解集是或
B能力提升
1．（23-24高一下·江苏·开学考试）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·重庆·期末）对一切恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
3．（2024·福建厦门·二模）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024高一·全国）设集合、，且，求实数k的取值范围.
5．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数
(1)解关于的不等式；
(2)若方程有两个正实数根，求的最小值.
C新定义题型
1．（23-24高一上·辽宁大连·期中）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点.
(1)求二次函数的不动点；
(2)若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值.
(3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围.
课程标准
学习目标
①理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。
②掌握一元二次方程的求解方法, 掌握一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的分布情况。
③掌握图象法解一元二次不等式，会解简单的能转化为一元二次不等式的分式不等式。
通过本节课的复习与学习，会解一元二次方程、一元二次方程根的情况的处理、一元二次方程根与系数的关系；二次函数的图象与性质；会解一元二次不等式、含有参数的一元二次不等式、与一元二次不等式有关的存在与恒成立问题的处理；会解能转化为一元二次不等式的分式不等式；理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，能处理与三者之间有关的问题。
判别式
二次函数(的图象
一元二次方程
()的根
有两个不相等的实数根，()
有两个相等的实数根
没有实数根
()的解集
()的解集
第03讲 2.3二次函数与一元二次方程、不等式
知识点一：一元二次不等式的有关概念
1、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：
①（其中均为常数）
②（其中均为常数）
③（其中均为常数）
④（其中均为常数）
2、一元二次不等式的解与解集
使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.
知识点二：四个二次的关系
2.1一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．
2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
知识点三：一元二次不等式的解法
1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
2：写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；
②时，求根；
③时，方程无解
3：根据不等式，写出解集.
【即学即练1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）解下列一元二次不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）由，得，
即，所以，
所以不等式得解集为；
（2）由，得，无解，
所以不等式的解集为.
知识点四：解分式不等式
4.11、分式不等式
4.1.1定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。
4.1.2分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
【即学即练2】（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【分析】化分式不等式为一元二次不等式求解即得.
【详解】不等式化为：，解得，
所以不等式的解集是.
故选：B
【即学即练3】（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）关于的不等式：的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可解.
【详解】由得，
其解集等价于，
解得.
故选：B
题型01一元二次不等式（不含参）的求解
【典例1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）不等式的解集为（ ）
A．或B．或
C．D．或
【答案】B
【分析】解一元二次不等式即可得解.
【详解】因为，所以或，
故不等式的解集为或.
故选：B.
【典例2】（23-24高一上·新疆·期末）解下列不等式；
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)或
(2)
(3)
(4)
【分析】利用一元二次不等式的解法解原不等式，即可得出诸不等式的解集.
【详解】（1）解：由可得，解得或，
故原不等式的解集为或.
（2）解：由可得，即，解得，
故原不等式的解集为.
（3）解：由可得，解得或，
故原不等式的解集为.
（4）解：由可得，，故原不等式的解集为.
【变式1】（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）不等式的解是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得方程的解，结合不等式的解法，即可求解.
【详解】由方程，即，解得或，
不等式，可得，解得，
即不等式的解集为.
故选：D.
【变式2】（23-24高一上·北京·期中）解下列不等式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将不等式左边分解因式，结合二次函数的图象即得其解集；
（2）将不等式等价转化，计算对应方程的根的判别式，结合二次函数的图象即得其解集.
【详解】（1）由可得，解得，故不等式的解集为；
（2）由可得，因方程的根的判别式为，方程的根为，故不等式的解集为.
题型02一元二次不等式（含参）的求解
【典例1】（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，直接求解不等式即可.
【详解】由，得，解不等式，得，
所以不等式的解集是.
故选：A
【典例2】（23-24高一上·广西桂林·阶段练习）（1）解关于x的不等式；
（2）解关于x的不等式．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）解一元二次不等式即可得解.
（2）分类讨论求解一元二次不等式.
【详解】（1）不等式化为：，解得或，
所以原不等式的解集为.
（2）不等式化为：，
当时，，
当时，解得或，
当时，解得或，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
【典例3】（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知关于不等式的解集为．
(1)求实数；
(2)解关于不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据不等式的解集，结合根与系数的关系列出方程即可得到结果；
（2）由题意得到不等式对应的方程的两根，然后根据两根的大小讨论即可得到结果.
【详解】（1）不等式的解集为，
方程的根为，
，解得．
（2）由（Ⅰ）原不等式可化为，即，
原不等式对应的方程的根为，
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
【变式1】（23-24高一上·江苏南京·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分类讨论解不等式，判断不可能的解集.
【详解】关于的不等式，
若，不等式为，解得，此时解集为；
若，方程，解得或，
时，不等式解得或，此时解集为；
时，，不等式解得，此时解集为；
时，，不等式解集为，
时，，不等式解得，此时解集为；
所以不等式的解集不可能是.
故选：B
【变式2】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为．
(1)求和的值；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）依题意和是方程的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】（1）由题意知和是方程的两个根且，
由根与系数的关系得，解得；
（2）由、，不等式可化为，
即，则该不等式对应方程的实数根为和．
当时，，解得，即不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为空集，
当时，，解得，即不等式的解集为，
综上：当时，解集为，
当时，解集为空集，
当时，解集为．
【变式3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）当时，解关于的不等式.
【答案】答案见解析
【分析】根据、和分类讨论解不等式即可.
【详解】当时，代入不等式可得，解得；
当时，化简不等式可得即，
由得不等式的解为，
当时，化简不等式可得即，
由得不等式的解为或，
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
题型03一元二次不等式与对应函数、方程的关系
【典例1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得且方程的解为，利用韦达定理将用表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为，
所以且方程的解为，
所以，所以，
则不等式，即为不等式，
则，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
【典例2】（多选）（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．B．关于x的不等式的解集是
C．D．关于x的不等式的解集为或
【答案】ABD
【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；用一元二次方程根与系数的关系，用表示，，代入不等式，从而判断BCD.
【详解】由关于x的不等式的解集为或，
知和3是方程的两个实根，且，故A正确；
根据根与系数的关系知：，
所以，
选项B：不等式化简为，解得：，
即不等式的解集是，故B正确；
选项C：由于，故，故C不正确；
选项D：不等式化简为：，
解得：或，故D正确；
故选：ABD.
【变式1】（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定一元二次不等式的解集求出，再代入解不等式即可.
【详解】不等式的解集为，则是方程的两个根，且，
于是，解得，则不等式为，
解得或，所以不等式的解集为或.
故选：D
【变式2】（多选）（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（ ）
A．且B．
C．不等式的解集为D．不等式的解集为
【答案】AC
【分析】利用一元二次不等式、二次函数、一元二次的关系求参数一一判定选项即可.
【详解】由题意可知，所以且，，故A正确，B错误；
不等式，故C正确；
不等式，
即，所以或，故D错误.
故选：AC
题型04分式不等式的解法
【典例1】（2024·全国·模拟预测）设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．8B．7C．32D．31
【答案】B
【分析】根据不等式的解法，求得集合，结合集合真子集的求法，即可求解.
【详解】由不等式，解得，
因为，所以，
所以集合M的真子集个数为.
故选：B．
【典例2】（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）解不等式：．
【答案】
【分析】利用化商为积的思想将其转化为一元二次不等式求解即得.(注意分母不为0)
【详解】
由可得：或，又，则得： ：或，
即不等式的解集为：.
【变式1】（23-24高一下·安徽·阶段练习）不等式的解集为（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】A
【分析】移项、通分，再转化为等价的一元二次不等式，解得即可.
【详解】不等式，即，等价于，解得或，
所以原不等式的解集为或.
故选：A
【变式2】（23-24高一下·河南许昌·开学考试）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将不等式移项，通分，转化为，等价于，利用一元二次不等式的求法，即可得出结果.
【详解】不等式可以转化为.
等价于，∴，
∴，
∴不等式的解集为.
故选：A
【变式3】（23-24高一上·新疆喀什·期末）不等式的解集是 .
【答案】
【分析】利用分式不等式的解法做即可.
【详解】
……①
……②
由①②可得的解集为：.
故答案为：.
题型05一元二次方程的实根分布问题
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】说明时，不合题意，从而将化为，令，结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.
【详解】当时，即为，不符合题意；
故，即为，
令，
由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，
则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，
故时，，即，解得，故，
故选：D
【典例2】（23-24高一上·贵州·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】对和分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解.
【详解】当时，方程为，有一个负根，
当时，为一元二次方程，
关于的方程至少有一个负根，设根为，，
当时，即时，方程为，解得，满足题意，
当，即时，且时，
若有一个负根，则，解得，
若有两个负根，则，解得，
综上所述，则实数的取值范围是
故答案为
【变式1】（23-24高一上·贵州·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】对和分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解.
【详解】当时，方程为，有一个负根，
当时，为一元二次方程，
关于的方程至少有一个负根，设根为，，
当时，即时，方程为，解得，满足题意，
当，即时，且时，
若有一个负根，则，解得，
若有两个负根，则，解得，
综上所述，则实数的取值范围是
故答案为
【变式2】（23-24高一上·贵州·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】对和分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解.
【详解】当时，方程为，有一个负根，
当时，为一元二次方程，
关于的方程至少有一个负根，设根为，，
当时，即时，方程为，解得，满足题意，
当，即时，且时，
若有一个负根，则，解得，
若有两个负根，则，解得，
综上所述，则实数的取值范围是
故答案为
【变式3】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 .
【答案】
【分析】设，结合题意，得到，即可求解.
【详解】设，
因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2，
则满足，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【变式4】（2024高一·上海·专题练习）方程在区间上有一根，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】先分析得出，可探求出一个根为，再根据求解即可．
【详解】令，
当时，，即，
其根为不符合条件，故，
因为，所以有一个根为，
所以可转化为，
所以方程另一根为，
因为方程在区间上有一根，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
题型06一元二次不等式的实际问题
【典例1】（23-24高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米．
(1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米?
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价．
【答案】(1)40
(2)102万平方米，30欧元/平方米
【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米，根据条件建立不等关系，即可解决问题；
（2）根据条件建立不等关系，整理得到，再利用基本不等式即可解决问题.
【详解】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米，
由题知，即，解得，
所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米.
（2）由题意得，整理得，
两边同除以得，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，故该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到102万平方米时，才可能使 年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和，此时的售价为欧元/平方米.
【典例2】（23-24高一上·广西南宁·期中）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【答案】(1)当千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；
(2)大于千米/小时且小于千米/小时．
【分析】（1）根据题意将表达式整理可得，利用基本不等式即可求得当千米/小时时，车流量最大约为千辆/时；
（2）将不等式整理可得，解得.
【详解】（1）依题意，由于，
所以
当且仅当，即时，上式等号成立，
此时（千辆/时）．
当千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；
（2）由条件得，
整理得，即，
解得．
所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于千米/小时且小于千米/小时．
【典例3】（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）2018年9月，习近平总书记在东北三省考察并明确提出“新时代东北振兴，是全面振兴、全方位振兴”.吉林省有着丰富的资源，其中“世界人参看中国，中国人参看吉林”.吉林是中国人参的核心产区，有着1500多年的野山参采挖史和和450多年的人参人工栽培史.而抚松县万良镇是全球最大的人参交易集散地，这里也被称为“中国人参之乡”.在落实党中央决策部署，持续解放思想、深化经济改革，以新气象新担当新作为推进东北全面振兴的过程中抚松县万良镇的居民走在了经济致富的前沿，现有一微型企业生产制作人参产品每月的成本t（单位：元）由两部分构成：①固定成本（与生产产品的数量无关）：20万元；②生产所需材料成本：（单位：元），x为每月生产产品的套数.
(1)该企业每月产量x套为何值时，平均每套的成本最低，每套的最低成本为多少？
(2)若每月生产x套产品，每套售价为：（单位：元），假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于4万元？
【答案】(1)该企业每月产量套时，平均每套的成本最低，每套的最低成本为元
(2)该企业每月至少生产件产品，才能确保该设备每月的利润不低于4万元
【分析】（1）根据题意平均每套所需的成本费，再利用基本不等式即可得解；
（2）由题意知月利润，解一元二次不等式即可.
【详解】（1）设平均每套所需的成本费用为元，
则有，
当且仅当，即时取等号，
所以该企业每月产量套时，平均每套的成本最低，每套的最低成本为元；
（2）设月利润为元，
则有，
解得（舍去）或，
所以该企业每月至少生产件产品，才能确保该设备每月的利润不低于4万元.
【变式1】（23-24高一上·重庆·期末）2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x%．
(1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；
(2)在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值．
【答案】(1)
(2)22
【分析】（1）依题意列出不等式，解一元二次不等式即可求得x的取值范围为；
（2）化简表达式并利用基本不等式即可求出a的最大值为22.
【详解】（1）根据题意可知，需满足，
化简为，解得，
故x的取值范围为
（2）由题意得
整理可得，
因为，
当且仅当时，取到最小值10；所以，
即a的最大值为22
【变式2】（23-24高一上·上海青浦·期中）第六届中国国际进口博览会将于2023年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举行，主题为“新时代共享未来”，届时将有很多展客商参与.为了解路况，现经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：.
(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?（保留分数形式）
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内?
【答案】(1)当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；
(2)汽车的平均速度应大于且小于.
【分析】（1）化简得，再利用基本不等式求解；
（2）解不等式即得解.
【详解】（1）解：依题得.
当且仅当，即时，等号成立，
（千辆/时）.
当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；
（2）由条件得，因为，
所以整理得，即，解得.
如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于.
题型07重点方法之一元二次不等式的恒成立与有解问题方法一：判别法
【典例1】（多选）（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）若命题“，”是假命题，则k的值可能为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】AB
【分析】根据条件，将问题转化成恒成立问题，再分和两种情况讨论，即可求出结果.
【详解】由题知，是真命题，
当，即时，恒成立，时，不恒成立；
当时，，解得，综上得，
故选：AB.
【典例2】（23-24高一上·河北承德·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】分，和三种情况讨论不等式，列式求解.
【详解】当时，，不等式成立.
当时，二次函数的图象开口向上，不等式不可能恒成立.
当时，二次函数的图象开口向下，若不等式对一切实数都成立，则，解得.
综上，的取值范围为.
故答案为：
【变式1】（23-24高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先对的取值进行分类讨论，在时，需结合二次函数的图象分析，得到与之等价的不等式组，求解即得.
【详解】因不等式对任意的实数x恒成立，则
①当时，不等式为，恒成立，符合题意；
②当时，不等式在R上恒成立等价于，解得：.
综上可得：实数k的取值范围为.
故选：C.
【变式2】（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由一元二次不等式的解集为，可知二次函数开口向上，判别式小于0，解得即可.
【详解】当时，，，不满足题意；
当时，,所以，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
【变式3】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若是假命题，则实数的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】根据给定，利用一元二次不等式恒成立求出的范围，再求其补集得解.
【详解】若原命题为真，由，即，得，解得，
所以该命题为假，故实数的取值范围是或.
故答案为：或
题型08重点方法之一元二次不等式的恒成立与有解问题方法二：变量分离法
【典例1】（23-24高三上·山东滨州·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得.
【详解】不等式对任意恒成立，则，成立，
而，当且仅当，即时取等号，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：B
【典例2】（多选）（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）当时，不等式恒成立，则的范围可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】先参变分离得到在上恒成立，由对勾函数得到函数单调性，从而得到，求出，得到答案.
【详解】时，变形为，
故在上恒成立，
其中为对勾函数，在上单调递减，
故，故，
故，其中ABD满足要求，C不满足要求.
故选：ABD
【典例3】（23-24高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于的不等式.
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）.
【分析】（1）分类讨论解含参的不等式即得.
（2）根据给定条件，分离参数，借助恒成立求出的范围.
【详解】（1）不等式化为：，
当时，解得；当时，不等式无解；当时，解得，
所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
（2）当时，恒成立，则，
当时，不等式，
依题意，，，而最大值为2，因此，
所以实数的取值范围是.
【变式1】（23-24高一上·天津·期中）若命题“”为假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得命题“”为真命题，根据二次函数的性质只需即可.
【详解】因为命题“”为假命题，
所以命题“”为真命题，
因为函数在上单调递减，
所以只需，解得，
即的取值范围为.
故选：A
【变式2】（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为
【答案】
【分析】参变分离可得，使恒成立，由二次函数的性质求出，即可得解.
【详解】因为，使恒成立，
所以，使恒成立，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
即的取值范围为.
故答案为：
题型09 数学思想方法（分类讨论）
【典例1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）解关于的不等式.
【答案】（1）答案见解析
【分析】（1）根据题意，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）①当时，原不等式化为，解集为；
②当时，原不等式化为，解集为；
③当时，原不等式化为；
当时，，原不等式的解集为空集；
当时，，原不等式的解集为；
当时，，原不等式的解集为.
【典例2】（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数.
(1)求不等式的解集.
【答案】1)答案见解析
【分析】（1）首先因式分解二次式，进一步分类讨论即可求解.
【详解】（1）由题意，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.
【变式1】（23-24高一上·天津·期末）已知函数
(1)若的解集为，求实数的值；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，求关于的不等式的解集.
【答案】(1)；
(2)；
(3)详见解析.
【分析】（1）根据题意，得到和3为方程的两根，根据韦达定理，即可得出结果；
（2）根据题意，得到恒成立，分别讨论和两种情况，即可得出结果；
（3）分，，，四种情况讨论结合二次不等式解法可得.
【详解】（1）因为的解集为，
所以且和3为方程的两根，所以，
解得；
（2）对恒成立，
①当时，，符合题意；
②当时，，解得，
综上，实数a的取值范围是；
（3）由，得，
即，
当时，，即，
当时，，
当时，，解得，
当时，，
解得，或，
当时，，
解得，或，
综上：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为 ，或
当时，原不等式的解集为，或
题型10 易错题篇（忽略了首项系数化正）
【典例1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）解下列关于x的不等式：
(1)；
【答案】(1)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；
【详解】（1）由，得，
即，所以，
所以不等式的解集为；
【典例2】（23-24高二上·宁夏石嘴山·期中）解关于x的不等式
(1)
【答案】(1)或
【分析】（1）通过因式分解求出不等式的解集即可；
【详解】（1）∵，
∴，∴，
解得：或，
故不等式的解集是或；
【变式1】（23-24高一上·北京·期中）解下列不等式：
【答案】
分析】将不等式等价转化，计算对应方程的根的判别式，结合二次函数的图象即得其解集.
【详解】（1）由可得，因方程的根的判别式为，方程的根为，故不等式的解集为.
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（2024高二上·福建·学业考试）不等式的解集是（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得.
【详解】不等式，解得或，
所以不等式的解集为或.
故选：A
2．（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用二次不等式的解法求解即可.
【详解】因为，
所以，解得，
则不等式的解集为.
故选：B.
3．（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的 解集可得到，，，把结果代入到所求不等式中即可求解.
【详解】根据题意可知，，，则，，
所求的不等式可化为：，即，解得：或.
故选：C
4．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）若不等式的解集是，则的值是（ ）
A．B．1C．D．12
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式的解、根与系数关系求得正确答案.
【详解】由于不等式的解集是，
所以.
故选：C
5．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解绝对值不等式和分式不等式，得到解集，由真包含关系得到答案.
【详解】，
，
等价于，解得，
其中为的真子集，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
6．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）不等式对任意实数恒成立，则参数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由一元二次不等式任意恒成立结论可得结果.
【详解】不等式对任意实数恒成立，即恒成立，
故判别式，解得，
故选：A.
7．（22-23高一上·云南保山·阶段练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分和两种情况讨论，结合根的判别式即可得解.
【详解】当，即时，恒成立，
当，即时，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
8．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的对应关系求出参数，再解另一个不等式即可.
【详解】由题设知方程有两根2和3，故由韦达定理得则，
因此，解得．
故选：A．
二、多选题
9．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．的解集是
D．的解集是或
【答案】CD
【分析】由题意可得1和5是方程的两根，且，利用韦达定理可得与的关系，然后逐项判断可得答案.
【详解】由题意可得和5是方程的两根，且，
由韦达定理可得，得，
对于A，因为，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，不等式，即，即，得，
∴不等式的解集是，故C正确；
对于D，由不等式，得，即，
则，得或，即解集为或，故D正确.
故选：CD.
10．（23-24高一上·广东·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】CD
【分析】解不等式得到，根据充分不必要条件得到，得到答案.
【详解】，则，若“”是“”的充分不必要条件，
则，CD满足.
故选：CD.
三、填空题
11．（23-24高二下·天津·阶段练习）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可知恒成立，分、两种情况讨论，结合判别式即可求出.
【详解】因为的解集为，
即恒成立，
当时，即，解得，不符合题意；
当时，则’解得；
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：
12．（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】将不等式转化为对恒成立，利用基本不等式求解最值即可.
【详解】，不等式恒成立，即，
由于函数，当且仅当，即时等号成立，
故，即，则，
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
当时，则，即，解得，
综上：
故选：B.
3．（2024·福建厦门·二模）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当时，，得，与题意矛盾，
当时，则，解得，
综上所述，，
所以不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是A选项.
故选：A.
4．（2024高一·全国）设集合、，且，求实数k的取值范围.
【答案】或
【分析】
由一元二次不等式分和解出集合，再利用交集的运算求出取值范围.
【详解】或，
令，即，所以，，
当时，，，
由得或，解得；
当时，，，
由得或，解得；
综上，或.
5．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数
(1)解关于的不等式；
(2)若方程有两个正实数根，求的最小值.
成立，则称为二次函数的不动点.
(1)求二次函数的不动点；
(2)若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值.
(3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围.
【答案】(1)和3
(2)8
(3)
【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可；
（2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可；
（3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解.
【详解】（1）由题意知，即，则，
解得，，所以不动点为和3.
（2）依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
所以
，
因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.
（3）由题知：，
所以，由于函数恒有不动点，
所以，即，
又因为是任意实数，所以，
即，解得，所以的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义，解题关键是把握不动点的定义，转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数、判别式来求解.
课程标准
学习目标
①理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。
②掌握一元二次方程的求解方法, 掌握一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的分布情况。
③掌握图象法解一元二次不等式，会解简单的能转化为一元二次不等式的分式不等式。
通过本节课的复习与学习，会解一元二次方程、一元二次方程根的情况的处理、一元二次方程根与系数的关系；二次函数的图象与性质；会解一元二次不等式、含有参数的一元二次不等式、与一元二次不等式有关的存在与恒成立问题的处理；会解能转化为一元二次不等式的分式不等式；理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，能处理与三者之间有关的问题。
判别式
二次函数(的图象
一元二次方程
()的根
有两个不相等的实数根，()
有两个相等的实数根
没有实数根
()的解集
()的解集