河北省衡水市武邑中学2025届高三上学期第一次调研考试数学试题

这是一份河北省衡水市武邑中学2025届高三上学期第一次调研考试数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，则函数在处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列函数中，在区间上单调递减的函数是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知且满足，则以下是真命题的有（ ）
A．B．
C．D．
11．已知，则（）
A．B．在上单调递增
C．，使D．，使
三、填空题
12．若函数的部分图象如图所示，则的值是
13．已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则 ．
14．若存在实数m，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时， ．
四、解答题
15．已知定义在上的奇函数．
(1)求实数的值：
(2)若在上的值域为，求实数的值．
16．已知，，，，求：
(1)的值；
(2)的值.
17．在锐角中，三个内角所对的边分别为，若，
(1)若，求的大小.
(2)若，求的取值范围.
18．已知函数，.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若的最大值为1，求实数的值；
(3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围.
19．给出以下三个材料：
①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，；
②若，定义；
③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式.
例如在点处的泰勒展开式为
根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出在点处的泰勒展开式；
(2)用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位；
(3)现已知，试求的值.
参考答案：
1．D
【分析】可求出集合，，然后进行交集的运算即可．
【详解】解：，
，，
．
故选：．
2．C
【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】当时，或，推不出；
当时，必有，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：C
3．A
【分析】首先过呢据条件化简得到，法一，根据基本不等式，即可求解；法二，根据条件等式，变形得，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】，
法一：，当且仅当时，上式等号成立，
又，可得时，的最小值为.
故选：A.
法二：，当且仅当时，上式等号成立，
又，可得时，的最小值为.
故选：A.
4．B
【分析】对求导，注意是常数，令代入导函数中，可求得，进而可求，可得在处的切线方程.
【详解】，令，可得，
，
所以在处的切线方程为.
故选：B
5．A
【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式即可求解.
【详解】∵，∴，，
又，则，所以，
故选：A
6．D
【分析】令，构造函数并求出最小值即可得解.
【详解】令，则，，
令，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，.
故选：D
7．A
【分析】先由平方差公式化简已知条件并结合二倍角的余弦公式得，进而得，从而结合二倍角正弦公式即可计算求解.
【详解】因为，
所以，
所以 ，即，
所以由得，
所以.
故选：A.
8．C
【分析】转化和，设，根据导数求出的单调性，比较和的大小，转化和，设，求出，令，利用导数求出的单调性，利用导数求出的单调性，比较和的大小.
【详解】，
设，则，
当时，在1,+∞上单调递增，
，即，
，又，
设，
则，
令，
则，
在1,+∞上单调递减，
当时，，
在上单调递减，
，，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过所比较值的变形，构造函数和进行大小比较.
9．AC
【分析】根据函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，对于，
由，得，
所以在区间上单调递减的函数，A选项正确.
B选项，对于，
由，得，不符合题意.
C选项，由，得，
且，
所以在区间上单调递减的函数，C选项正确.
D选项，对于，
由，得，不符合题意.
故选：AC
10．BCD
【分析】运用基本不等式分析AB即可，利用已知条件消去一个参数，将CD转化为一元函数处理即可.
【详解】易知，，
故由基本不等式得，当且仅当时取等，
又，
故，即，故A错误；
易得，
当且仅当，即时取等，故B正确；
结合，故，解得，
则，
由二次函数性质得在单调递减，在单调递增，
故，，，
可得，即，故C正确;
由已知得，，，
故，
由二次函数性质得在单调递减，在单调递增，
故，故D正确.
故选：BCD
11．AD
【分析】对于A，代入化简即可；对于B，利用导数研究函数的单调性即可；对于C，D利用基本不等式求解即可，要注意等号是否能取到.
【详解】对于A，，，故A正确.
对于的定义域为，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以1即，
在单调递减，故B错误；
对于，当时，，此时不存在，使；
当x>0时，，
由B知，，等号取不到，故不存在，使，故C错误；
对于D，当x>0时，，此时不存在，使；
当时，，
，则在上恒成立，
所以在上单调递增，因为，
所以，使得即，
所以存在，使，故D正确.
故答案为：AD.
12．/
【分析】由图象可得，，结合诱导公式和五点法，可得关于的方程，解方程可得的值.
【详解】根据函数的部分图象，
可得，即的图象关于点对称，
的最小正周期，
又，
，
又，
，
.
故答案为：.
13．4
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出，再利用齐次式法计算即得.
【详解】函数，求导得，依题意，，
所以.
故答案为：4
14．
【分析】以为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得，解不等式结合题意得，由此可得答案.
【详解】因为恒成立，
即恒成立，
若存在实数，使得上式成立，则，
则，
可得，可得，
解得，
由，
则取得最大值时，
此时.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以为变量，转化为存在性问题分析求解.
15．(1)；
(2)
【分析】（1）根据函数为奇函数，得到，，求出的值；
（2）根据函数的单调性解不等式，结合函数定义域得到.
【详解】（1）由题意，，故，
，由为奇函数得
，
故，解得或(舍)，
故；
（2），故，
又，解得，
故.
16．(1)
(2)
【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则由利用两角差的余弦公式可求得，
（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以，
，
所以
.
（2）因为，，
所以，
所以，
所以.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理，化简求得，结合，得到，即可求解；
（2）由，得到，且，根据为锐角三角形，求得，结合正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）解：由，
可得，
所以，即
因为，可得，
又因为，可得，所以或，所以或，
当时，因为，此时（舍去）；
当时，因为，此时，符合题意，
综上可得，的大小为.
（2）由（1）得，则或，
当时，，与矛盾；
当时，且，
又因为为锐角三角形，可得，解得，
由正弦定理得，
所以的取值范围为.
18．(1)
(2)答案见解析；
(3)
【分析】（1）代入后配方，结合二次函数的性质和余弦函数的值域求解即可；
（2）配方后再根据对称轴的情况分类讨论即可；
（3）令，利用对勾函数的单调性求出最值即可；
【详解】（1）当时，，
因为，
所以当时，函数有最小值，最小值为，
（2）因为，
当，即时，
则当时，函数的最大值为，
解得（舍去），或；
当即时，则当时，函数有最大值，即，解得；
当时，即时，则当时，函数有最大值，
即，解得.
（3）因为，
令，由，得，
则，
因为都成立，
所以都成立，
所以在上恒成立，
姐在恒成立，
设，
由对勾函数的性质易知函数在上为减函数，
所以，
所以.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用阶泰勒展开式的定义，可求，
（2）由（1）可求；
（3）由（1）可得，进而可得，结合已知可得结论.
【详解】（1），，，，
所以，，，，
由
所以
（2）由（1）可得
（3）因为①，
对，
两边求导可得：，
所以，
所以②，
比较①②中的系数，可得：
，
所以.
【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；第三问关键在于用阶泰勒展开式表示.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
B
A
D
A
C
AC
BCD
题号
11









答案
AD