湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷

这是一份湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知是奇函数，，则是成立的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．若锐角满足，则（ ）
A．B．C．或D．或
5．某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（ ）
A．理科男生多于文科女生B．文科女生多于文科男生
C．理科女生多于文科男生D．理科女生多于理科男生
6．如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm，上底面的直径为8cm，高为4cm，已知点是上底面圆周上不与直径端点重合的一点，且为上底面圆的圆心，则与平面所成的角的正切值为（ ）
A．2B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
8．设函数，若，则a的最小值为（ ）
A．B．C．2D．1
二、多选题
9．已知，且，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布
10．已知函数的最大值为2，其部分图象如图所示，则（ ）

A．
B．函数为偶函数
C．满足条件的正实数存在且唯一
D．是周期函数，且最小正周期为
11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）
A．的斜率为
B．是锐角三角形
C．四边形的面积是
D．
三、填空题
12．在中，是边上的高，若，则 ．
13．已知定义在R上的函数满足，则曲线y=fx在点处的切线方程为 .
14．小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将中的1颗糖放入中，否则将中的1颗糖放入中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时中没有糖的概率是 ．
四、解答题
15．已知数列中，，且为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
16．如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若为线段上一点，且，求二面角的余弦值.
17．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对于任意的，都有恒成立，求a的取值范围．
18．已知双曲线的左､右焦点分别为的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于，两点，且的周长为16.
(1)求的方程；
(2)为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求的取值范围.
19．对于集合，定义运算符“”两式恰有一式成立}，表示集合中元素的个数．
(1)设，求；
(2)对于有限集，证明，并求出固定后使该式取等号的的数量；（用含的式子表示）
(3)若有限集满足，则称有序三元组为“联合对”，定义，．
①设，求满足的“联合对”的数量；（用含的式子表示）
②根据（2）及（3）①的结果，求中“联合对”的数量．
参考答案：
1．D
【分析】解绝对值不等式与指数不等式可化简集合，再利用交集的定义求解即可.
【详解】，
由指数函数的性质可得，
所以.
故选：D.
2．D
【分析】利用表示以0,1为圆心，为半径的圆，表示圆上的点到原点的距离可得答案.
【详解】因为在复平面内，
表示到点0,1距离为1的所有复数对应的点，
即表示以0,1为圆心，为半径的圆，
表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为，
最长距离为，
则的取值范围是0,2.
故选：D.
3．A
【分析】当成立，判断是否成立，再由成立时，判断是否成立，即可知是成立何种条件.
【详解】由是奇函数，则，即，解得，
所以，
当时，，，
，所以是奇函数，
所以，
所以是的充要条件.
故选：A.
4．B
【分析】先利用辅助角公式求出，再利用角的变换，结合诱导公式和二倍角公式求解即可.
【详解】由题意可得，解得，
因为是锐角，所以，，
所以
.
故选：B.
5．C
【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.
【详解】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人，
文科女生有人，文科男生有人；
根据题意可知，，
根据异向不等式可减的性质有，
即有，所以理科女生多于文科男生，C正确.其他选项没有足够证据论证.
故选：C.
6．A
【分析】作出直线与平面所成的角，通过解直角三角形来求得直线与平面所成的角的正切值.
【详解】设为下底面圆的圆心，连接和，
因为，所以，
又因为平面，所以平面，
因为是该圆台的一条母线，所以四点共面，且，
又平面，所以平面平面，
又因为平面平面，所以点在平面的射影在直线上，
则与平面所成的角即为，
过点作于点，因为，
所以.
故选：A
7．D
【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论.
【详解】根据题意可得直线恒过点，该点在已知园内，
圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示：
易知圆心到直线的距离为，所以，
又，可得；
因此可得，
所以的面积为.
故选：D
8．B
【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.
【详解】函数定义域为，而，，，
要使，则二次函数，在上，在上，
所以为该二次函数的一个零点，易得，
则，且开口向上，
所以，只需，故a的最小值为.
故选：B
9．BC
【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断AB；利用二项分布的概率公式计算判断C；利用二项分布与超几何分布的关系判断D.
【详解】对于A，由，得，则，A正确；
对于B，由，得，则，B错误；
对于C，由，得，故，C错误；
对于D，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D正确.
故选：BC
10．ACD
【分析】根据题意，求得函数，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数，且，
因为函数的最大值为，可得，解得，
又因为，所以，所以A正确；
因为，且函数在的附近单调递减，
所以，所以，
又因为，可得，所以，解得，所以，
此时，其最小正周期为，所以C、D正确；
设，
，所以Fx为奇函数，
即函数为奇函数，所以B不正确.
故选：ACD.
11．ABD
【分析】根据题意分析可知为等边三角形，即可得直线的倾斜角和斜率，进而判断A；可知直线的方程，联立方程求点的坐标，求相应长度，结合长度判断BD；根据面积关系判断C.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即，

设，
则，可得，
因为，即，
可知为等边三角形，即，
且∥x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确；
则直线，
联立方程，解得或，
即，，则，
可得，
在中，，且，
可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确；
四边形的面积为，故C错误；
因为，所以，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；
（2）面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；
（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．
12．
【分析】设，表达出，根据垂直关系得到方程，求出，进而得到答案.
【详解】设，
则，
由得，
解得，故，所以.
故答案为：.
13．
【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程.
【详解】因为，所以，
联立可解得，所以，
所以.
所以曲线在点处的切线方程为，
故所求的切线方程为.
故答案为：.
14．
【分析】设最初在A中有k颗糖，B中有颗糖时，游戏结束时B中没有糖的概率为，归纳找出递推关系，利用方程得出，再由递推关系求.
【详解】设A中有k颗糖，B中有颗糖，游戏结束时B中没有糖的概率为.
显然，，
可得，则，
，
同理，
，解得
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于建立统一的一个6颗糖果放入2个盒子不同情况的模型，找到统一的递推关系，利用递推关系建立方程求出，即可得出这一统一模型的答案.
15．(1)
(2)
【分析】(1)求出，可求出通项公式，即可求得an的通项公式；
(2) 求出，再讨论为奇、偶数，利用裂项相消法即可求数列的前项和.
【详解】（1）根据题意知①，又因②，
①式除②式可得，
所以可得是以为首项，为公差的等差数列，
则，所以，
，当时也满足该式，
所以.
（2）由(1)结论可知，所以，
设的前项和为，则当为偶数时，
则当为奇数时，
所以.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂直判定定理得出平面，由平面进而得出面面垂直；
（2）由面面垂直建立空间直角坐标系，分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值.
【详解】（1）证明：在平面内，过做垂直于交于点，
由为等腰梯形，且，则
又，所以，
连接，由，可知且，
所以在三角形中，，
从而，
又平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面
（2）由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，
所以，
由图可以看出二面角为锐角，故二面角的余弦值为.
17．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对求导，可得，再分类讨论的取值，得出导数的正负即可得出单调区间；
（2）对进行分类讨论，根据导数的正负求得的最小值，判断是否满足，即可求解．
【详解】（1）对求导，可得，
令，即，即，
当时，f′x>0恒成立，在上单调递增；
当时，，
当时，在上单调递减；
当时， f′x>0，在上单调递增；
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）因为对于任意的，都有恒成立，
对求导，可得，
令，即，即，
①当时，f′x>0，则在0,+∞单调递增，，符合题意；
②当时，，则，
则，在0,+∞单调递增，，符合题意；
③当时，，则，
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以，
令，则，
所以在1,+∞上单调递减，所以，不合题意；
综上所述，．
18．(1)；
(2).
【分析】（1）将代入曲线E得，故得，从而结合双曲线定义以及题意得，解出即可得解.
（2）设，联立双曲线方程求得中点坐标，再结合弦长公式求得的正切值，进而得范围，从而由即可得解.
【详解】（1）将代入，得，
所以，所以，
所以由题得，，
所以双曲线的方程为.
（2）由题意可知直线斜率存在且，
设，Ax1,y1,Bx2,y2,设的中点为.
由消去y并整理得，，
则，即，
，，，
于是点为，，.
由中垂线知，所以，解得：.
所以由在双曲线的右支上可得：
，
且，
且或，
综上即，
又，
所以
.
因为，所以，故，所以，
所以.
所以.
19．(1)
(2)
(3)①②
【分析】（1）根据新定义，对区间逐一分析即可得解；
（2）利用韦恩图及新定义，求出不等式等号成立的条件，利用集合的性质转化为求子集个数；
（3）①分别求出,取法的种数，再由分步乘法计数原理得解②结合（2）及（3）①的结果，利用二项式定理求解.
【详解】（1）对于，故；
对于，故；
对于，故；
对于，故，
即.
（2）画出Venn图，如图，将划分成7个集合，
则，，
故不等式成立，当且仅当时取等号，
等价于，等价于，故当且仅当取等号.
设，其中集合与无交集，
由于，故有，
即为的某一子集，有种，从而使上式取等的有个.
（3）①设，有，故有种取法，
对于每一个，知中每一个元素有两种情形：或，
且中每一个元素有两种情形：或，
故共有两种选择，也就是这样的有种，
对于每一个，由（2）知B有种取法.
故由乘法原理，这样的“联合对”有个.
②由①知，中“联合对”的数量为(二项式定理)，
故中“联合对”的数量为.
【点睛】关键点点睛：集合新定义问题的关键在于理解所给新定义，会抽象的利用集合的知识，分步乘法计数原理，二项式定理推理运算，此类问题难度大.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
A
B
C
A
D
B
BC
ACD
题号
11









答案
ABD