河南省焦作市博爱县第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

这是一份河南省焦作市博爱县第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题，共17页。试卷主要包含了已知复数满足，，已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数的定义域为，且，记，则（ ）
A.B.
C.D.
2.若函数，则函数的值域为（ ）
A.B.C.D.
3.有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是（ ）
A.B.C.D.
4.如图，四边形是一个角为且边长为的菱形，把沿折起，得到三棱锥.若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
5.已知O为的内心，角A为锐角，，若，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.
6.已知复数满足，（其中是虚数单位），则的最小值为（ ）
A.2B.6C.D.
7.鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝PA＝2，D，E分别是棱AB，PC的中点，点F是线段DE的中点，则点F到直线AC的距离是( )
A.eq \f(3,8) B.eq \f(\r(6),4) C.eq \f(11,8) D.eq \f(\r(22),4)
8.设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
B.直线是图象的一条对称轴
C.在上单调递减
D.的图象关于点对称
10.双曲线C 的两个焦点为F1,F2 ,以C 的实轴为直径的圆记为D ,过F1 作D 的切线与C 交于M,N 两点,且cs∠F1NF2=35 ,则C 的离心率为（ ）
A.52 B.32
C.132 D.172
11.已知函数的定义域为，且对任意的，都有，若，则下列说法正确的是（ ）
A.B.的图象关于y轴对称
C.D.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为 .
13.如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是 .
14.已知实数、、、满足，，，则 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数.
(1)求的解析式，并判断的单调性；
(2)已知，，且，求的取值范围.
16.（15分）在某项比赛中，7位专业评委和7位观众评委分别给选手打分.针对某位选手，下面是两组评委的打分：
(1)选择一个可以度量每一组评分相似性的量，据此判断哪一组分数更可能是专业评委打的分数；
(2)现从组评委所打分数中随机抽取2个分数，记为，，从组评委所打分数中随机抽取2个分数，记为，.记事件，中有一个数据为48，事件或，判断事件与事件是否相互独立
17.（15分）已知.
(1)求的单调增区间和对称中心；
(2)在锐角 中，A，B，C的对边分别是..求的值域.
18.（17分）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，平面平面，点是棱的中点，平面与棱交于点.
(1)求证：平面；
(2)为平面内一动点，为线段上一点；
①求证：；
②当最小时，求的值.
19.（17分）如图，已知圆M：，点为直线l：上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B.
(1)时，求PA、PB方程（点A在点B上方）；
(2)求线段AB中点的轨迹方程；
(3)若两条切线PA，PB与y轴分别交于S，T两点，求的最小值.
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】A
【解析】由可得，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即，
由可得，
显然可得.
故选A.
2.【答案】D
【解析】函数在上单调递增，，
令，
而函数在上单调递增，则，
所以函数的值域为.
故选：D
3.【答案】B
【解析】解：随机逐个面试共有种可能的顺序，而任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的顺序可以分为5类：
①男男男女女女，此时有种；
②男男女男女女，此时有种；
③男男女女男女，此时有种；
④男女男男女女，此时有种；
⑤男女男女男女，此时有种；
故共有种，所以概率为
故选：B.
4.【答案】D
【解析】取中点，连接，
因为四边形是一个角为且边长为的菱形，
所以，
所以为等边三角形，故,，
又因为，即，所以，
因为平面，平面，
所以平面，平面，所以.
设为的重心， 过作平面，
且点为三棱锥的外接球球心，外接球半径为，
过作，交于，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，，所以四边形为矩形.
所以，
设，则，
在中，，
在中，，
解得，,
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选D.
5.【答案】C
【解析】点O是内心的充要条件是：，其中，，，
理由如下：若，则，
整理得，
所以，即点在的角平分线上，
同理可证，点在，的角平分线上，即点为的内心.
故，
故.
因为角A为锐角，，
所以.由定理得到，
故.
又因为（当且仅当时取等号），
所以，所以，
故，
故选：C.
6.【答案】B
【解析】设，（其中，是虚数单位），在复平面的对应点
则
即点的轨迹表示为焦点分别在，的椭圆，且该椭圆的长轴为直线，短轴为直线.长半轴长为，半焦距，短半轴长为.
因为
所以
设在复平面的对应点.
即点的轨迹表示为射线上的点.
若使得最小，则需取得最小值，即点为第一象限内的短轴端点，点为射线的端点时，最小.
故选：B
7.【答案】B
【解析】因为AB＝BC，且△ABC是直角三角形，所以AB⊥BC.以B为原点，分别以eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为AB＝BC＝PA＝2，所以A(0,2,0)，C(2,0,0)，D(0,1,0)，P(0,2,2)，E(1,1,1)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，\f(1,2)))，则eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，－2,0)，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1，\f(1,2))).故点F到直线AC的距离d＝eq \r(|\(AF,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AF,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))2)＝eq \r(\f(1,4)＋1＋\f(1,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2\r(2))))2)＝eq \f(\r(6),4).
8.【答案】C
【解析】恰有两个极值点，则恰有两个不同的解，求出可确定是它的一个解，另一个解由方程确定，令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.
【解析】由题意知函数的定义域为，
.
因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.
令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是.
故选：C
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.【答案】BCD
【解析】对于A，的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
故A错误.
对于B，，故B正确.
对于C，当时，，故C正确.
对于D，，故D正确.
故选BCD.
10.【答案】AC
【解析】由双曲线的对称性,不妨令双曲线C :x2a2- y2b2 =1(a＞0,b ＞0),左、右焦点分别为F1-c,0,F2c,0 ,圆D :x2+y2=a2. ①当点M,N 分别在双曲线两支上时,如图所示,设直线MN 与圆D 的切点为A ,连接OA ,则OA⊥MN ,且|OA |=a. 又|OF1 |=c ,则|AF1 |=c2-a2=b. 过F2 作F2B⊥MN 于点B ,则F2B ∥OA ,又|OF1 |=|OF2 |,所以|F2B |=2|OA |=2a ,|AB |=|AF1 |=b. 因为cs∠F1NF2=35 ,所以sin∠F1NF2=45,tan∠F1NF2= 43 ,所以|NB |=|F2B|tan∠F1NF2= 3a2 ,|F2N |=|F2B|sin∠F1NF2= 5a2 ,所以|F1N |=2b+3a2. 由双曲线的定义可知,|F1N |-|F2N |=2b+3a2- 5a2=2b-a=2a ,所以ba= 32 ,所以双曲线的离心率为e=ca= 1+b2a2= 132 ,故选C
.
②当点M,N 在双曲线的同一支上时,如图所示,此时仍有|F2B |=2|OA |=2a ,|AB |=|AF1 |=b ,所以|NB |=|F2B|tan∠F1NF2= 3a2 ,|F2N |=|F2B|sin∠F1NF2= 5a2 ,所以|F1N |=3a2-2b. 由双曲线的定义可知,|F2N |-|F1N |=5a2- 3a2+2b=a+2b=2a ,所以ba= 12 ,所以双曲线的离心率为e=ca= 1+b2a2= 52 ,故选A.
11.【答案】AC
【解析】因为，且函数的定义域为，
对于选项A：令，可得，解得，故A正确；
对于选项B：令，可得，解得，
令，可得，
所以的图象不关于y轴对称，故B错误；
对于选项CD：若，可得，
令，可得，
可知数列是以首项，公差为1的等差数列，
可得，
则，
所以，
故C正确，D错误；
故选：AC.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【解析】延长CM交AB于点I，因为平面ABD，
由线面平行性质定理可知，设，
因为三棱锥的所有棱长均为2，
所以，且E为线段BC的中点，
所以AE平分∠BAC，由角平分线定理可知，
所以，
因为F为线段AD的中点，所以，
由余弦定理可知，
所以，
令，，化简可得，
因为，所以，
则在时取得最小值，
所以，
综上当，即时MN取得最小值.
故答案为：.
13.【答案】
【解析】如图所示为圆柱的轴截面图，过作容器壁的垂线，垂足为，
因为平行于地面，可得，
椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，所以，
在直角中，，即圆柱的底面半径为，
所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为的圆柱体积的一半，
即为容器内液体的体积为.
故答案为：.
14.【答案】1
【解析】因为设,
因为设,
所以可得，
因为,所以,
所以.
故答案为：1.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）【答案】(1)，在上单调递增； (2)
【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，为偶函数，
令，则，
故，所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，
综上，，在上单调递增.
（2）因为是定义在上的奇函数，且在上单调递增，
因为，且，
所以，即，则，
当时，，则，即，故；
当时，，则，即，则；
综上，的取值范围为.
16.（15分）【答案】(1)更可能是专业评委打的分数
(2)事件与事件不独立.
【解析】（1）可以用方差来度量每一组评委打分的相似性，方差越小，相似程度越高.
，
，
所以组数据的方差是
，
组数据的方差是
，
因为专业评委给分更符合专业规则，所以相似程度更高，因此组分数更可能是专业评委打的分数.
（2），
，
，各有两种，
所以，
事件：当时， 可以任意，有种，
当，中有一个数据为48，另一个不是52时，则，有种，
所以，
，则事件与事件不独立.
17.（15分）【答案】(1)；；
(2).
【解析】（1）由
.
由解得，，
即的单调增区间为；
由解得，，故的对称中心为.
（2）由可得，，
因是锐角三角形，故则，
故，解得，，
由，设，由正弦定理可得，,
由解得，，则,,故有.
于是，，
而在上单调递减，在上单调递增，且 ，
则的值域为.
18.（17分）【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②.
【解析】（1）证明：因为平面平面
所以平面，
又平面，平面平面
所以.
又平面平面，
所以平面.
（2）解：①由平面平面又平面平面，
所以平面，所以，由（1），，故，
又是棱的中点，则为棱中点，为正三角形，
所以平面，
所以平面，且平面，
所以.
②因为.且为棱中点，
所以，
所以
当为与平面的交点时，，
故当最小时，取得最小值，此时，
因为，
所以，
同理，
当时，可得为中点，取中点，连接，如图：
则有且，
有，
所以.
19.（17分）【答案】(1)PA：；PB：
(2)
(3)
【解析】（1）圆，即，
则圆的圆心，半径，
当时，，设过点的直线方程为，即，
又过点P引圆M的两条切线，则，解得：或，
因为点A在点B上方，
即直线的方程为：，直线的方程为：，
故的方程为；直线的方程为：.
（2）由（1）知：，圆的半径，
又，则，，
即，
故以P为圆心，为半径的圆P的方程为，
显然线段AB为圆P和圆M的公共弦，
则直线AB的方程为，即，
由，所以直线AB过定点；
设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，如图所示：
当不重合时，则HF始终垂直于FM，所以F点的轨迹为以HM为直径的圆（除去点M），
又，，
故该圆圆心为，半径，且不经过.
∴点F的轨迹方程为；
故线段AB中点的轨迹方程.
（3）设切线方程为，即，
故到直线的距离，即，
则，
设PA，PB的斜率分别为，，则，，
把代入，得，
则，
故当时，取得最小值为.
组
42
45
48
53
52
47
49
组
48
52
70
66
77
49
51