人教版九年级数学上册《知识解读•题型专练》专题07二次函数与一元二次方程(五大类型)(题型专练)(原卷版+解析)

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专题07 二次函数与一元二次方程（五大类型）【题型1：二次函数与x轴交点问题】【题型2: 图像法确定一元二次方程的根】【题型3： 已知函数值y求X的取值范围】【题型4： 二次函数与不等式的关系】【题型5:二次函数综合】【题型1：二次函数与x轴交点问题】1．（2023•南充模拟）针对抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴公共点的情况，下列说法正确的是（　　）A．有两个公共点 B．有一个公共点 C．一定有公共点 D．可能无公共点2.（2023•许昌二模）若抛物线y＝x2+4x+c与x轴没有交点，则c的值可以是（　　）A．﹣4 B．0 C．4 D．83.（2023•南充模拟）针对抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴公共点的情况，下列说法正确的是（　　）A．有两个公共点 B．有一个公共点 C．一定有公共点 D．可能无公共点4．（2023春•梅江区校级月考）二次函数y＝x2﹣2x﹣1与x轴交点个数情况为（　　）A．有两个不同的交点 B．只有一个交点 C．没有交点 D．无法确定5．（2022秋•集贤县期末）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为（　　）A．m＝0或 B． C．m＝1或 D．m＝1或m＝06．（2022秋•阜宁县期末）抛物线y＝x2﹣bx﹣1与x轴交点的个数为（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对7．（2022秋•新城区期末）二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与x轴的交点个数是（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定8．（2023•三江县校级一模）若二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）A．x1＝﹣2，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝1，x2＝3【题型2: 图像法确定一元二次方程的根】9．（2022秋•林州市期末）根据如表中代数式ax2+bx的取值情况，可知方程ax2+bx﹣6＝0的根是（　　）A．x1＝0，x2＝1 B．x2＝﹣1，x1＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝410.（2023•澄城县一模）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（2，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）A．x1＝﹣1，x2＝2 B．x1＝﹣2，x2＝1 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣211.（2022秋•宛城区期末）根据下表中代数式ax2+bx的取值情况，可知方程ax2+bx﹣6＝0的根是（　　）A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝4【题型3： 已知函数值y求X的取值范围】12．（2022秋•长春期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　）A．x＞﹣3 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＜113．（2022秋•合肥月考）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞514．（2022•泸县校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是（　　）A．x≤2 B．x≤0 C．﹣3≤x≤0 D．x≤﹣3或x≥015．（2022秋•萧山区月考）已知抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝3，则关于x的不等式x2+bx＜﹣8的取值范围是（　　）A．1＜x＜5 B．2＜x＜4 C．0＜x＜6 D．﹣1＜x＜716．（2022秋•泰山区校级月考）二次函数y＝a2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）A．x＞﹣3 B．x＜1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞117.（2023•泸县校级一模）二次函数y＝x2﹣2x﹣3．若y＞﹣3，则自变量x的取值范围是（　　）A．x＜0或x＞2 B．x＜1或x＞3 C．0＜x＜2 D．1＜x＜318．（2022秋•金东区期末）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c经过点A（0，2）、B（4，2），则不等式﹣3x2+bx+c＜2的解集是 　 　．【题型4： 二次函数与不等式的关系】19.（2022秋•同江市期末）如图，已知y1＝ax2+bx+c（a≠0）与y2＝kx+b（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（﹣4，3）两点，则y1＞y2的x的取值范围是（　　）A．x＜﹣4 B．﹣4＜x＜﹣1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣4或 x＞﹣120.（2023•娄底模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（　　）A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞121．（2022秋•保定期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点．则关，于x的不等式ax2+bx+c≤kx+m的解集是 　 　．22．（2022秋•番禺区校级期末）如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝x2﹣3x+2都经过点A（1，0）和B（3，2），则不等式x﹣1＞x2﹣3x+2的解集是 　 　．23．（2022秋•市中区期末）如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣1，3），B（4，2）．如图所示，则能使y1＜y2成立的x的取值范围是 　 ．【题型5:二次函数综合】24．（2022秋•武城县月考）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c恰好经过x轴上A，B两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．25．（2021秋•天津期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）求△ABC的面积；（3）点P是抛物线对称轴1上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．26．（2022秋•青龙县月考）如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象交直线l：y＝x+1于A，B两点，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AD，BD，求△ADB的面积；（3）若抛物线的对称轴上存在一动点E，使EA+ED的值最小，求点E的坐标．27．（2022秋•黔东南州月考）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在上点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点P坐标若不存在，请说明理由．28．（2022秋•越秀区校级月考）抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线在x轴上方部分一动点，过点M作直线MH⊥y轴于H．（1）如图1，当HM＝3时，求△ABM的面积；（2）如图2，若△MCO是以CO为底的等腰三角形，求点M的坐标．29．（2022秋•平桂区 期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+5的图象经过点（1，8），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A（﹣1，0），M为抛物线的顶点．（1）求二次函数的解析式；（2）求△MCB的面积；（3）在坐标轴上是否存在点N，使得△BCN为直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2022秋•萧山区期中）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m2﹣2．（1）若m＝2，则该抛物线的对称轴为 　 ；若A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）两点在该二次函数图象上，则y1与y2的大小关系为 　　；（2）若该函数图象的顶点到x轴的距离等于2，试求m的值；（3）若抛物线在1≤x≤3时，对应的函数有最大值3，求m的值．31．（2022秋•汉川市期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于O，A两点，过点A的直线与y轴交于点C，交抛物线于点D．（1）直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图1，点B是直线AC上方第一象限内抛物线上的动点，连接AB和BD，求△ABD面积的最大值；（3）如图2，若点M在抛物线上，点N在x轴上，当以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．专题07 二次函数与一元二次方程（五大类型）【题型1：二次函数与x轴交点问题】【题型2: 图像法确定一元二次方程的根】【题型3： 已知函数值y求X的取值范围】【题型4： 二次函数与不等式的关系】【题型5:二次函数综合】【题型1：二次函数与x轴交点问题】1．（2023•南充模拟）针对抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴公共点的情况，下列说法正确的是（　　）A．有两个公共点 B．有一个公共点 C．一定有公共点 D．可能无公共点【答案】C【解答】解：∵Δ＝[﹣（a+1）]2﹣4a＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0，所以抛物线与x轴一定有公共点，故选：C．2.（2023•许昌二模）若抛物线y＝x2+4x+c与x轴没有交点，则c的值可以是（　　）A．﹣4 B．0 C．4 D．8【答案】D【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x+c与x轴没有交点，∴x2+4x+c＝0无解，∴Δ＝16﹣4c＜0，解得c＞4，故选：D．3.（2023•南充模拟）针对抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴公共点的情况，下列说法正确的是（　　）A．有两个公共点 B．有一个公共点 C．一定有公共点 D．可能无公共点【答案】C【解答】解：∵Δ＝[﹣（a+1）]2﹣4a＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0，所以抛物线与x轴一定有公共点，故选：C．4．（2023春•梅江区校级月考）二次函数y＝x2﹣2x﹣1与x轴交点个数情况为（　　）A．有两个不同的交点 B．只有一个交点 C．没有交点 D．无法确定【答案】A【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝4+4＝8＞0，∴二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个不同的交点，故选：A．5．（2022秋•集贤县期末）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为（　　）A．m＝0或 B． C．m＝1或 D．m＝1或m＝0【答案】C【解答】解：函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则m≠0，两种情况讨论：①对称轴为直线，当函数图象经过坐标原点时，则有m﹣1＝0，解得m＝1；②当与x轴、y轴各有一个交点时，则该函数图象与x轴只有一个交点，即：mx2+3mx+m﹣1＝0，Δ＝0，且m≠0，∴（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，解得：m＝0（舍去）或m＝﹣，综上所述，实数m的值为1或﹣，故选：C．6．（2022秋•阜宁县期末）抛物线y＝x2﹣bx﹣1与x轴交点的个数为（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对【答案】C【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣bx﹣1，∴当y＝0时，则0＝x2﹣bx﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣b）2+4＞0，∴方程有2个不相等的实数根，∴抛物线y＝x2﹣bx﹣1与x轴交点的个数为2个．故选：C．7．（2022秋•新城区期末）二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与x轴的交点个数是（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定【答案】B【解答】解：判断二次函数图象与x轴的交点个数，就是当y＝0时，方程x2﹣2x+1＝0解的个数，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴此方程有两个相同的根，∴二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与x轴有一个交点．故选：B．8．（2023•三江县校级一模）若二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）A．x1＝﹣2，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝1，x2＝3【答案】B【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），所以抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），即x＝﹣1或3时，函数值y＝0，所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝3，x2＝﹣1．故选：B【题型2: 图像法确定一元二次方程的根】9．（2022秋•林州市期末）根据如表中代数式ax2+bx的取值情况，可知方程ax2+bx﹣6＝0的根是（　　）A．x1＝0，x2＝1 B．x2＝﹣1，x1＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝4【答案】C【解答】解：从表格看，当x＝﹣2或3时，ax2+bx﹣6＝0，故方程ax2+bx﹣6＝0的根为x＝﹣2或3，故选：C．10.（2023•澄城县一模）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（2，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）A．x1＝﹣1，x2＝2 B．x1＝﹣2，x2＝1 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2【答案】A【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（2，0），∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝2．故选：A．11.（2022秋•宛城区期末）根据下表中代数式ax2+bx的取值情况，可知方程ax2+bx﹣6＝0的根是（　　）A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝4【答案】C【解答】解：由表知当x＝﹣2和x＝3时，ax2+bx＝6，∴ax2+bx﹣6＝0的根x1＝﹣2，x2＝3，故选：C【题型3： 已知函数值y求X的取值范围】12．（2022秋•长春期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　）A．x＞﹣3 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＜1【答案】B【解答】解：由题意得：二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，经过（﹣3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）．∵抛物线在x轴的上方部分y＞0，∴当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故选：B．13．（2022秋•合肥月考）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5【答案】D【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴交于（5，0），∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣1，0），∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5，故选：D．14．（2022•泸县校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是（　　）A．x≤2 B．x≤0 C．﹣3≤x≤0 D．x≤﹣3或x≥0【答案】C【解答】解：由图象可知函数的对称轴为直线x＝﹣，当x＝0时，y＝2，∴当y＝2时，x＝0或x＝﹣3，∴ax2+bx+c≥2的解集是﹣3≤x≤0，故选：C．15．（2022秋•萧山区月考）已知抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝3，则关于x的不等式x2+bx＜﹣8的取值范围是（　　）A．1＜x＜5 B．2＜x＜4 C．0＜x＜6 D．﹣1＜x＜7【答案】B【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝3，∴﹣＝3，∴b＝﹣6，∴y＝x2﹣6x，令y＝﹣8，则x2﹣6x＝﹣8，解得x＝2或x＝4，∴抛物线与直线y＝﹣8的交点为（2，﹣8），（4，﹣8），∵y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴抛物线开口向上，函数有最小值为﹣9，由图象可知，不等式x2﹣6x＜﹣8的取值范围是2＜x＜4，故选：B．16．（2022秋•泰山区校级月考）二次函数y＝a2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）A．x＞﹣3 B．x＜1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1【答案】C【解答】解：根据图象得二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（﹣3，0）、（1，0），由图象可知当﹣3＜x＜1时，y＜0，故不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣3＜x＜1．故选：C．17.（2023•泸县校级一模）二次函数y＝x2﹣2x﹣3．若y＞﹣3，则自变量x的取值范围是（　　）A．x＜0或x＞2 B．x＜1或x＞3 C．0＜x＜2 D．1＜x＜3【答案】A【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，令x＝0，则y＝﹣3，∴抛物线与y轴的交点是（0，﹣3），∴点（0，﹣3）关于对称轴的对称点为（2，﹣3），∴当y＞﹣3时，自变量x的取值范围是x＜0或x＞2．故选：A．18．（2022秋•金东区期末）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c经过点A（0，2）、B（4，2），则不等式﹣3x2+bx+c＜2的解集是 　x＞4或x＜0　．【答案】x＞4或x＜0．【解答】解：∵二次函数y＝﹣3x2+bx+c的图象经过点A（0，2），B（4，2），如图所示：∴不等式﹣3x2+bx+c＜2的解集为：x＞4或x＜0，故答案为：x＞4或x＜0．【题型4： 二次函数与不等式的关系】19.（2022秋•同江市期末）如图，已知y1＝ax2+bx+c（a≠0）与y2＝kx+b（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（﹣4，3）两点，则y1＞y2的x的取值范围是（　　）A．x＜﹣4 B．﹣4＜x＜﹣1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣4或 x＞﹣1【答案】D【解答】解：观察图象可知：抛物线y1与直线y2的交点横坐标是﹣4，﹣1，故当x＜﹣4或x＞﹣1时，y1＞y2．故选：D．20.（2023•娄底模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（　　）A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1【答案】C【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），∴﹣1＜x＜3时，直线在抛物线上方，即﹣1＜x＜3时，ax2+c＜mx+n，∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣1＜x＜3．故选：C．21．（2022秋•保定期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点．则关，于x的不等式ax2+bx+c≤kx+m的解集是 　x≤﹣3或x≥0　．【答案】x≤﹣3或x≥0．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点，∴不等式ax2+bx+c≤kx+m的解集是x≤﹣3或x≥0．故答案为：x≤﹣3或x≥0．22．（2022秋•番禺区校级期末）如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝x2﹣3x+2都经过点A（1，0）和B（3，2），则不等式x﹣1＞x2﹣3x+2的解集是 　1＜x＜3　．【答案】1＜x＜3．【解答】解：直线y＝x﹣1与抛物线y＝x2﹣3x+2都经过点A（1，0）和B（3，2），由图象得：不等式x﹣1＞x2﹣3x+2的解集是1＜x＜3．故答案为：1＜x＜3．23．（2022秋•市中区期末）如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣1，3），B（4，2）．如图所示，则能使y1＜y2成立的x的取值范围是 　﹣1＜x＜4　．【答案】﹣1＜x＜4．【解答】解：∵两函数图象的交点坐标为A（﹣1，3），B（4，2），∴能使y1＜y2成立的x的取值范围是﹣1＜x＜4．故答案为：﹣1＜x＜4．【题型5:二次函数综合】24．（2022秋•武城县月考）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c恰好经过x轴上A，B两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由抛物线的对称性可知AE＝BE．∴△AOD≌△BEC．∴OA＝EB＝EA．设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，m2+（）2＝（2m）2，解得m＝1．∴DC＝2，OA＝1，OB＝3．∴A，B，C三点的坐标分别为（1，0），（3，0），（2，）．（2）解法一：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+，代入A的坐标（1，0），得a＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+．解法二：设这个抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由已知抛物线经过A（1，0），B（3，0），C（2，）三点，得解这个方程组，得∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3．25．（2021秋•天津期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）求△ABC的面积；（3）点P是抛物线对称轴1上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．【答案】（1）2；（1，4）；（2）6；（3）（1，2）．【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3得：0＝﹣32+3m+3，解得：m＝2，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）点B的坐标为（3，0），由（1）知y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，∴A（﹣1，0），令x＝0，则C（0，3），∴S△ABC＝AB•OC＝（3+1）•3＝6．（3）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y＝kx+b，∵点C（0，3），点B（3，0），∴，解得：．∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．26．（2022秋•青龙县月考）如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象交直线l：y＝x+1于A，B两点，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AD，BD，求△ADB的面积；（3）若抛物线的对称轴上存在一动点E，使EA+ED的值最小，求点E的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）6；（3）点E（2，2）．【解答】解：（1）对于y＝x+1，令y＝x+1＝0①，解得：x＝﹣2，即点A（﹣2，0），将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a+8a+3，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3②；（2）联立①②并解得：，则点B（4，3）；设直线l交y轴于点H，则点H（0，1），由抛物线的表达式知，点D（0，3），则DH＝3﹣1＝2，则△ADB的面积＝S△DHA+S△DHB＝×DH×（xB﹣xA）＝（4+2）＝6；（3）由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设AB交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时EA+ED的值最小，理由：由点B、D关于抛物线的对称轴对称，则ED＝EB，则EA+ED＝EA+EB＝AB为最小，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝2，当x＝2时，y＝x+1＝2，即点E（2，2）．27．（2022秋•黔东南州月考）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在上点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点P坐标若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，﹣4）或（﹣1，2）．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）对于y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，即点C（0，﹣3），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设点P（﹣1，m），由勾股定理得：AC2＝32+32＝18；AP2＝22+m2，PC2＝1+（m+3）2，当AC是斜边时，则18＝AP2＝22+m2+1+（m+3）2，解得：m＝；当AP是斜边时，则18+1+（m+3）2＝22+m2，解得：m＝﹣4；当CP是斜边时，则18+22+m2＝1+（m+3）2，解得：m＝2，即点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，﹣4）或（﹣1，2）．28．（2022秋•越秀区校级月考）抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线在x轴上方部分一动点，过点M作直线MH⊥y轴于H．（1）如图1，当HM＝3时，求△ABM的面积；（2）如图2，若△MCO是以CO为底的等腰三角形，求点M的坐标．【答案】（1）△ABM的面积为15；（2）点M的坐标是（1+，4）或（1﹣，4）．【解答】解：（1）当y＝0时，0＝﹣x2+2x+8，解得x1＝4，x1＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（4，0），∴AB＝6，∵HM＝3，即M的横坐标为3，∴y＝﹣9+6+8＝5，∴M（3，5），∴△ABM中，AB边上的高为5，∴S△ABM＝AB•|5|＝×6×5＝15，∴△ABM的面积为15；（2）在y＝﹣x2+2x+8中，当x＝0时，y＝8，∴C（0，8），∴CO＝8，∵△MCO是以CO为底的等腰三角形，∴MC＝MO，∵HM⊥CO，∴CH＝HO＝4，在y＝﹣x2+2x+8中，当y＝4时，﹣x2+2x+8＝4，解得x＝1+或x＝1﹣，∴点M的坐标是（1+，4）或（1﹣，4）．29．（2022秋•平桂区 期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+5的图象经过点（1，8），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A（﹣1，0），M为抛物线的顶点．（1）求二次函数的解析式；（2）求△MCB的面积；（3）在坐标轴上是否存在点N，使得△BCN为直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）15；（3）存在，点N的坐标为（﹣5，0）或（0，﹣5）或（0，0）．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，当x＝2时，y＝﹣x2+4x+5＝9，即点M（2，9），过点M作MH∥y轴交BC于点H，设直线BC的表达式为：y＝mx+n，则，解得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣x+5，当x＝2时，y＝﹣x+5＝3，即点H（2，3），则MH＝9﹣3＝6，则△MCB的面积＝S△MHB+S△MHC＝×MH×OB＝＝15；（3）存在，理由：如上图，由点B、C的坐标知，OB＝OC＝5，则∠BCO＝∠CBO＝45°，①当∠NCB为直角时，∵∠NCB＝90°，则△NBC为等腰直角三角形，则∠CNB＝45°，则NA＝CO＝5，即点N（﹣5，0）；②当∠N′BC为直角时，同理可得，△OBN′为等腰直角三角形，则ON′＝BO＝5，即点N′（0，﹣5）；③当∠BNC为直角时，则点N与点O重合，即点N（0，0）；综上，点N的坐标为（﹣5，0）或（0，﹣5）或（0，0）．30．（2022秋•萧山区期中）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m2﹣2．（1）若m＝2，则该抛物线的对称轴为 　直线x＝2　；若A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）两点在该二次函数图象上，则y1与y2的大小关系为 　y1＞y2　；（2）若该函数图象的顶点到x轴的距离等于2，试求m的值；（3）若抛物线在1≤x≤3时，对应的函数有最大值3，求m的值．【答案】（1）直线x＝2；y1＞y2．（2）m＝±2或m＝0．（3）1或2．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+2m2﹣2＝（x﹣m）2+m2﹣2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，当m＝2时，抛物线对称轴为直线x＝2，∵m﹣（﹣2）＞m+1﹣m，∴点A到对称轴距离大于点B到对称轴距离，∴y1＞y2．故答案为：直线x＝2；y1＞y2．（2）∵抛物线顶点坐标为（m，m2﹣2），∴图象顶点到x轴距离为2时，m2﹣2＝2或m2﹣2＝﹣2，解得m＝±2或m＝0．（3）当x＝1，函数取最大值时，将x＝1代入y＝x2﹣2mx+2m2﹣2得y＝1﹣2m+2m2﹣2＝3，解得m＝﹣1或m＝2，当m＝﹣1时，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，x＝3时函数取最大值，不符合题意．当m＝2时，抛物线对称轴为直线x＝2，x＝1时函数取最大值，符合题意．当x＝3，函数取最大值时，将x＝3代入y＝x2﹣2mx+2m2﹣2得y＝9﹣6m+2m2﹣2＝3，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，抛物线对称轴为直线x＝1，x＝3时函数取最大值，符合题意．当m＝2时，抛物线对称轴为直线x＝2，x＝3时函数取最大值，符合题意．综上所述，m＝1或2．31．（2022秋•汉川市期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于O，A两点，过点A的直线与y轴交于点C，交抛物线于点D．（1）直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图1，点B是直线AC上方第一象限内抛物线上的动点，连接AB和BD，求△ABD面积的最大值；（3）如图2，若点M在抛物线上，点N在x轴上，当以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．【答案】（1）A（4，0），C（0，3），；（2）；（3）N1（2，0），N2（6，0），，．【解答】解：（1）当y＝0时，，解得：x1＝0，x2＝4，∴A（4，0）；，当x＝0时：y＝3，∴C（0，3）；联立二次函数和一次函数解析式，得：，整理得：，解得：x1＝1，x2＝4，当x＝1时，，∴；（2）如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，交AC于点E，过点D作DH⊥y轴于点H，交BF于点G，设，则，∴，∴＝＝＝，当时，S△ABD有最大值为；（3）①当点M在x轴上方时，如图2，以A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，则DM∥AN，DM＝AN，由对称性得到，即DM＝2，故AN＝2，∴N1（6，0），N2（2，0）；②当点M在x轴下方时，如图3：过点M作MP⊥x轴于点P，过点D作DQ⊥x轴于点Q，则：∠AQD＝∠NPM＝90°，∵以A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，∴AD∥MN，AD＝MN，∴∠PNM＝∠QAD，∴△ADQ≌△NMP（AAS），∴NP＝AQ＝3，，将代入抛物线解析式得：，解得：或，∴或，∴，．符合条件的N点有：N1（2，0），N2（6，0），，．x……﹣3﹣2﹣10123……ax2+bx……12620026……x…﹣3﹣2﹣10123…ax2+bx…12620026…x……﹣3﹣2﹣10123……ax2+bx……12620026……x…﹣3﹣2﹣10123…ax2+bx…12620026…