人教版九年级数学上册专题05直线与圆的位置关系及切线的判定与性质(6个考点六大类型)(题型专练)(原卷版+解析)

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专题05 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质（6个考点六大类型）【题型1 直线与圆的位置关系的判定】【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】【题型3切线的判定】【题型4 切线的性质与判定的综合运用】【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】【题型6 三角形的内切圆与内心】【题型1 直线与圆的位置关系的判定】1.（2023•淮阴区一模）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2个公共点，则点O到直线l的距离可能是（　　）2.（2023春•市南区校级月考）如果一个圆的直径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（　　）A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定3.（2022秋•青山湖区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（　　）A．与x轴相离，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离4．（2022秋•顺平县期末）如图，若圆O的半径为3，点O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（　　）A．l1 B．l2 C．l3 D．l45．（2023春•青山区校级月考）已知⊙O的直径为12，点O到直线l上一点的距离为，则直线l与⊙O的位置关系（　　）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定6．（2022秋•宜兴市期末）已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定7．（2022秋•高邑县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离8．（2023春•宁远县期中）已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定9．（2022秋•莱州市期末）若∠OAB＝30°，OA＝10cm，则以O为圆心，4cm为半径的圆与直线AB的位置关系是（　　）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定10．（2022秋•海珠区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣3，2）为圆心，3为半径的圆与y轴的位置关系为 　相切　．11．（2023•前郭县二模）如图，平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 　 ．【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】12．（2023•松原四模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO与⊙O相交于点C，若AB＝8，AC＝4，则⊙O的半径为（　　）A．4 B．5 C．6 D．813．（2023•重庆模拟）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，AC⊥AB交⊙O于点C，连接OC、BC，若∠OCB＝60°，OC＝6，则AC等于（　　）​A．3 B．2 C． D．14．（2023•北碚区自主招生）如图，线段AC经过圆心O，交⊙O于点A、B，CD是⊙O的切线，点D为切点．若∠ACD＝30°，CD＝2，则线段BC的长度是（　　）A．1 B．2 C．3 D．15．（2023•西湖区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，若BC＝1，，则AC的长为（　　）A．3 B．2 C． D．116.（2023•平房区三模）如图，PE、PG为⊙O的两条切线，E、G为切点，点F为⊙O上一点．连接OE、OG、EF、FG，若∠EFG＝52°，则∠P的度数为（　　）​A．52° B．56° C．66° D．76°17.（2023•邵阳模拟）如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过点C的切线与AB的延长线交于点P，则∠P的度数是（　　）A．​24° B．25° C．28° D．31°18.（2023•原平市模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E．若∠E＝40°，则∠ABC的度数为（　　）A．110° B．115° C．120° D．125°19．（2023•宽城区二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AD垂直于过点C的切线，垂足为点D．若∠CAD＝37°，则∠CAB的大小为（　　）A．37° B．53° C．63° D．74°20．（2023•通榆县模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD＝48° 则∠AOC的度数为（　　）​A．42° B．48° C．84° D．106°21．（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以AD为直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C的度数为（　　）A．42° B．45° C．46° D．48°【题型3切线的判定】22.（2022秋•自贡期末）如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的直线DE⊥AD于点D，AC平分∠DAB．求证：CE是⊙O的切线．23.（2022秋•黄埔区期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，AC平分∠DAB．求证：DC为⊙O的切线．24.（2022秋•宽城区校级期末）如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且点E是的中点．求证：AC是⊙O的切线．25．（2022秋•长乐区期中）如图，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的半径为3．求证：AB是⊙O的切线．26．（2022秋•云龙区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．求证：DP是⊙O的切线．27．（2022秋•平潭县校级期中）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O．求证：AC是⊙O的切线．【题型4 切线的性质与判定的综合运用】28.（2022秋•任城区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．29.（2023•龙游县校级一模）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．30.（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．31．（2023•枣庄二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径．32．（2023•官渡区二模）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB＝13，AC＝5，求CE的长．33．（2023•兰州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AE＝3，EF＝1，求⊙O的半径．34．（2023•开江县二模）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，求线段CF的长．35．（2023•碑林区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，半径为2，⊙O交BC于点D，且D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若∠C＝30°，求BC的长．36.（2023•庐阳区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝6，求CE的值．【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】37．（2023•西城区校级三模）如图，PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB＝60°，⊙O的半径为3，则线段PO的长度为（　　）A． B．6 C．8 D．1038．（2023•平房区三模）如图，PE、PG为⊙O的两条切线，E、G为切点，点F为⊙O上一点．连接OE、OG、EF、FG，若∠EFG＝52°，则∠P的度数为（　　）​A．52° B．56° C．66° D．76°39．（2023•大同模拟）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在AB上，若四边形ACBO为菱形，则∠APB为（　　）A．30° B．45° C．60° D．90°40．（2023•阳谷县二模）已知PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（　　）A．125° B．120° 或60° C．125°或55° D．130°41．（2023•蒙阴县二模）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠P＝80°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数是（　　）A．110° B．120° C．125° D．130°42．（2023•新华区校级二模）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则瞬间与空竹接触的细绳的长为（　　）A．4πcm B．4cm C．2πcm D．2cm43.（2022秋•新会区校级期末）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（　　）A．12 B．6 C．8 D．444.（2022秋•东莞市校级期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝4，AC＝3，则BD的长是（　　）A．2.5 B．2 C．1.5 D．145.（2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　）A．8 B．12 C．16 D．2046．（沧州期末）如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（　　）A．9 B．7 C．11 D．847．（2022秋•仙居县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，则圆心O到顶点A的距离是（　　）A． B．3 C． D．48．（2022秋•路北区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD•DB＝24，则AB的长（　　）A．11 B．10 C．9 D．849．（2022秋•平泉市校级期末）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．（1）若△PDE的周长为10，则PA的长为　　；（2）连接CA、CB，若∠P＝50°，则∠BCA的度数为　　度．50．（2023•青海一模）如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为　　．51．（2021秋•原州区期末）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为　　．【题型6 三角形的内切圆与内心】52.（2022秋•绵阳期末）如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC＝90°，CM＝2，AM＝3，则⊙O的半径为（　　）A． B． C．1 D．253.（2023•龙川县校级开学）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝50°，则∠A的度数是（　　）A．50° B．100° C．90° D．80°54.（2023•恩施市模拟）如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝125°，则∠C等于（　　）A．65° B．70° C．75° D．80°55．（2022秋•辛集市期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（　　）A．5步 B．6步 C．8步 D．10步专题05 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质（6个考点六大类型）【题型1 直线与圆的位置关系的判定】【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】【题型3切线的判定】【题型4 切线的性质与判定的综合运用】【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】【题型6 三角形的内切圆与内心】【题型1 直线与圆的位置关系的判定】1.（2023•淮阴区一模）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2个公共点，则点O到直线l的距离可能是（　　）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】A【解答】解：∵直线l与⊙O有2个公共点，∴直线l与⊙O相交，∵⊙O的半径为5，∴点O到直线l的距离＜5，故选：A．2.（2023春•市南区校级月考）如果一个圆的直径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（　　）A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定【答案】A【解答】解：∵圆的直径为8cm，∴圆的半径为4cm，∵圆心到直线的距离8cm，∴圆的半径＜圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，故选：A．3.（2022秋•青山湖区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（　　）A．与x轴相离，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离【答案】A【解答】解：点（﹣3，4）到x轴为4，大于半径3，点（﹣3，4）到y轴的距离为3，等于半径3，故该圆与x轴相离，与y轴相切，故选：A．4．（2022秋•顺平县期末）如图，若圆O的半径为3，点O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（　　）A．l1 B．l2 C．l3 D．l4【答案】A【解答】解：∵⊙O的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，3＝3，∴直线l与⊙O相切．故选：A．5．（2023春•青山区校级月考）已知⊙O的直径为12，点O到直线l上一点的距离为，则直线l与⊙O的位置关系（　　）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】D【解答】解：∵⊙O的直径为12，∴⊙O的半径为6，∵点O到直线l上一点的距离为，无法确定点O到直线l的距离，∴不能确定直线l与⊙O的位置关系，故选：D．6．（2022秋•宜兴市期末）已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】C【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为7cm，6＜7，∴直线l与⊙O相离．故选：C．7．（2022秋•高邑县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离【答案】B【解答】解：作CD⊥AB于点D．∵∠B＝30°，BC＝4cm，∴CD＝BC＝2cm，即CD等于圆的半径．∵CD⊥AB，∴AB与⊙C相切．故答案为：B．8．（2023春•宁远县期中）已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定【答案】A【解答】解：∵⊙O的半径为10，圆心O到直线l的距离是13，而10＜13，∴点O到直线l的距离大于半径，∴直线l与⊙O相离．故选：A．9．（2022秋•莱州市期末）若∠OAB＝30°，OA＝10cm，则以O为圆心，4cm为半径的圆与直线AB的位置关系是（　　）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，作OD⊥AB，垂足为D，∵∠OAB＝30°，OA＝10cm，∴OD＝5cm，∵d＝5cm＞r＝4cm，∴直线AB与圆O相离．故选：C．10．（2022秋•海珠区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣3，2）为圆心，3为半径的圆与y轴的位置关系为 　相切　．【答案】相切．【解答】解：∵点（﹣3，2）到y轴的距离为3，且以点（﹣3，2）为圆心的圆的半径为3，∴点（﹣3，2）到y轴的距离等于圆的半径，∴该圆与y轴的位置关系是相切，故答案为：相切．11．（2023•前郭县二模）如图，平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 　1＜d＜5　．【答案】见试题解答内容【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故平移的距离d的取值范围是1＜d＜5．故答案为：1＜d＜5．【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】12．（2023•松原四模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO与⊙O相交于点C，若AB＝8，AC＝4，则⊙O的半径为（　　）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解答】解：∵AB切⊙O于B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，设⊙O的半径长为r，由勾股定理得：r2+82＝（4+r）2，解得r＝6故选：C．13．（2023•重庆模拟）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，AC⊥AB交⊙O于点C，连接OC、BC，若∠OCB＝60°，OC＝6，则AC等于（　　）​A．3 B．2 C． D．【答案】A【解答】解：∵AB为⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵AC⊥AB，∴∠A＝90°，∵∠OCB＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝60°，BC＝OC＝6，∴∠ABC＝30°，∴AC＝BC＝3．故选：A．14．（2023•北碚区自主招生）如图，线段AC经过圆心O，交⊙O于点A、B，CD是⊙O的切线，点D为切点．若∠ACD＝30°，CD＝2，则线段BC的长度是（　　）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【解答】解：连接OD，∵CD切⊙O于D，∴半径OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，∵∠ACD＝30°，CD＝2，∴tanC＝＝＝，∴OD＝2，∴OC＝2OD＝4，∴BC＝OC﹣OB＝OC﹣OD＝4﹣2＝2．故选：B．15．（2023•西湖区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，若BC＝1，，则AC的长为（　　）A．3 B．2 C． D．1【答案】A【解答】解：∵BC与⊙O相切于点B，∴∠ABC＝90°， OB＝，AB是⊙O的直径，∴AB＝，∵BC＝1，∴AC＝＝3． 故选：A．16.（2023•平房区三模）如图，PE、PG为⊙O的两条切线，E、G为切点，点F为⊙O上一点．连接OE、OG、EF、FG，若∠EFG＝52°，则∠P的度数为（　　）​A．52° B．56° C．66° D．76°【答案】D【解答】解：∵PE、PG为⊙O的两条切线，∴OE⊥PE，OG⊥PG，∴∠OEP＝∠OGP＝90°，∵∠∠EFG＝52°，∴∠O＝2∠EFG＝104°，∵∠P+∠OEP+∠OGP+∠O＝360°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣104°＝76°．故选：D．17.（2023•邵阳模拟）如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过点C的切线与AB的延长线交于点P，则∠P的度数是（　　）A．​24° B．25° C．28° D．31°【答案】C【解答】解：∵PC为⊙O的切线，连接OC，∴∠PCO＝90°，∵OA＝OC，则∠ACO＝∠PAC＝31°，在△ACP中，∠P＝180°﹣31°﹣31°﹣90°＝28°．故选：C．18.（2023•原平市模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E．若∠E＝40°，则∠ABC的度数为（　　）A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】B【解答】解：连接OC、DC，则OC＝OD，∵CE与⊙O相切于点C，∴CE⊥OC，∴∠OCE＝90°，∵∠E＝40°，∴∠COE＝90°﹣∠E＝90°﹣40°＝50°，∴∠ADC＝∠OCD＝×（180°﹣50°）＝65°，∴ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，故选：B．19．（2023•宽城区二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AD垂直于过点C的切线，垂足为点D．若∠CAD＝37°，则∠CAB的大小为（　　）A．37° B．53° C．63° D．74°【答案】A【解答】解：如图，连接OC．由题意可知CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠CAD＝37°．∵AO＝CO，∴∠CAB＝∠ACO＝37°．故选：A．20．（2023•通榆县模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD＝48° 则∠AOC的度数为（　　）​A．42° B．48° C．84° D．106°【答案】C【解答】解：在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，∴∠OCD＝90°，∵∠BCD＝48°，∴∠OCB＝42°，∴∠AOC＝84°，故选：C．21．（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以AD为直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C的度数为（　　）A．42° B．45° C．46° D．48°【答案】D【解答】解：连接OB，∵CB与⊙O相切于B，∴半径OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∵∠CBD＝21°，∴∠OBD＝∠OBC﹣∠CBD＝69°，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD＝69°，∵∠ODB＝∠C+∠CBD，∴∠C＝∠ODB﹣∠CBD＝69°﹣21°＝48°． 故选：D．【题型3切线的判定】22.（2022秋•自贡期末）如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的直线DE⊥AD于点D，AC平分∠DAB．求证：CE是⊙O的切线．【答案】证明过程见解答．【解答】证明：连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，∴OC∥AD，∵AD⊥DE，∴∠ADE＝90°，∴∠OCE＝∠ADE＝90°，∴OC⊥DE，∵OC为圆的半径，则CE是⊙O的切线．23.（2022秋•黄埔区期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，AC平分∠DAB．求证：DC为⊙O的切线．【答案】见解析．【解答】证明：如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∵C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．24.（2022秋•宽城区校级期末）如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且点E是的中点．求证：AC是⊙O的切线．【答案】证明见解析．【解答】证明：连接OE，∵E是的中点，∴∠OBE＝∠CBE．∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE．∴∠OEB＝∠CBE．∴OE∥BC．∵BC⊥AC，∴∠C＝90°．∴∠AEO＝∠C＝90°，∴DE⊥AC．又∵OE为半圆O的半径，∴AC是⊙O的切线．25．（2022秋•长乐区期中）如图，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的半径为3．求证：AB是⊙O的切线．【答案】证明见解析．【解答】证明：如图，过O作OC⊥AB于C，∵OA＝OB，AB＝8，∴AC＝AB＝4，在Rt△OAC中，OC＝＝＝3，∵⊙O的半径为3，∴OC为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．26．（2022秋•云龙区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．求证：DP是⊙O的切线．【答案】见解析．【解答】证明：∵∠ACD＝60°，∴∠AOD＝120°，∴∠BOD＝60°，∵∠APD＝30°，∴∠ODP＝90°，即PD⊥OD，∵OD是半径，∴PD是⊙O的切线．27．（2022秋•平潭县校级期中）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O．求证：AC是⊙O的切线．【答案】见解析．【解答】证明：连接OA，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，∴OF＝OD，∴AC是⊙O的切线．【题型4 切线的性质与判定的综合运用】28.（2022秋•任城区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°．∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°．∴∠EDC＝30°．∴∠ODE＝90°．∴DE⊥OD于点D．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，BF，∵AB为⊙O直径，∴∠AFB＝∠ADB＝90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．∵△ABC是等边三角形，∴，．∵∠EDC＝30°，∴．∴FE＝FC﹣EC＝1．29.（2023•龙游县校级一模）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OP＝OB，∴∠B＝∠OPB，∴∠OPB＝∠C，∴OP∥AC，∵PD⊥AC，∴OP⊥PD，∴PD是⊙O的切线；（2）解：连接AP，如图，∵AB为直径，∴∠APB＝90°，∴BP＝CP，∵∠CAB＝120°，∴∠BAP＝60°，在Rt△BAP中，AB＝6，∠B＝30°，∴AP＝AB＝3，∴BP＝AP＝3，∴BC＝2BP＝6．30.（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，且BC＝6，∴CD＝BD＝BC＝3，在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，根据勾股定理得：，又S△ACD＝AC•ED＝AD•CD，即×5×ED＝×4×3，∴．31．（2023•枣庄二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解答过程；（2）15．【解答】解：（1）连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即∠AEO+∠OEB＝90°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠EAB＝∠AEO，∵∠BEF＝∠CAE，∴∠BEF＝∠AEO，∴∠BEF+∠OEB＝90°，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．（2）设⊙O的半径为x，则有OE＝OB＝x，在Rt△OEF中，OE2+EF2＝OF2，∴x2+202＝（x+10）2，解得x＝15．∴⊙O的半径为15．32．（2023•官渡区二模）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB＝13，AC＝5，求CE的长．【答案】（1）见解答；（2）4．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠EAD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠EAD，∴OD∥AE，∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，∴EF是⊙O的切线；（2）连接BC，交OD于H，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝13，AC＝5，∴BC＝＝＝12，∵∠E＝∠ACB＝90°，∴BC∥EF，∴∠OHB＝∠ODF＝90°，∴OD⊥BC，∴CH＝BC＝6，∵CH＝BH，OA＝OB，∴OH＝AC＝2.5，∴DH＝6.5﹣2.5＝4，∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，∴四边形ECHD是矩形，∴ED＝CH＝6，CE＝DH＝4．33．（2023•兰州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AE＝3，EF＝1，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解答过程；（2）⊙O的半径是．【解答】（1）证明：连接OD，AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴点D是BC的中点，∵点O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠ODF+∠AFD＝180°．∵∠AFD＝90°，∴∠ODF＝90°，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的半径；（2）解：连接DE，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠AED＝180°，∵∠DEC+∠AED＝180°，∴∠DEC＝∠B．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴DE＝CD，∵DF⊥AC，∴EF＝CF＝1，∴AC＝AE+EF+CF＝5，∴AB＝5，∴⊙O的半径是．34．（2023•开江县二模）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，求线段CF的长．【答案】（1）见解答；（2）4．【解答】（1）证明：连接OC，∵OD⊥AC，∴AD＝CD，∴PA＝PC，在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP＝∠OAP，∴∠OAP＝90°．∴∠OCP＝90°，∴PC是⊙O的切线．（2）解：由题意得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵AB＝8，∴OC＝4，由（1）知∠OCF＝90°，∴CF＝OC•tan∠COB＝4．35．（2023•碑林区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，半径为2，⊙O交BC于点D，且D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若∠C＝30°，求BC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵D是BC的中点，∴BD＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△BCA的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵D是BC的中点，∴AD为BC的垂直平分线，∴AC＝AB，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB是⊙O的直径，半径为2，∴AB＝4．在Rt△ADB中，AD＝AB＝2．∴BD＝，∴BC＝2BD＝4．36.（2023•庐阳区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝6，求CE的值．【答案】（1）见解答；（2）2．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠EAD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠EAD，∴OD∥AE，∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，∴EF是⊙O的切线；（2）连接BC，交OD于H，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵∠E＝∠ACB＝90°，∴BC∥EF，∴∠OHB＝∠ODF＝90°，∴OD⊥BC，∴CH＝BC＝4，∵CH＝BH，OA＝OB，∴OH＝AC＝3，∴DH＝5﹣3＝2，∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，∴四边形ECHD是矩形，∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2．【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】37．（2023•西城区校级三模）如图，PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB＝60°，⊙O的半径为3，则线段PO的长度为（　　）A． B．6 C．8 D．10【答案】B【解答】解：连接OP，∵PA、PB切⊙O于A、B，∴PA⊥OA，∠OPA＝∠OPB＝∠APB，∴∠OAB＝90°，∵∠APB＝60°，⊙O的半径为3，∴∠OPA＝×60°＝30°，OA＝3，∴OP＝2OA＝2×3＝6，故选：B．38．（2023•平房区三模）如图，PE、PG为⊙O的两条切线，E、G为切点，点F为⊙O上一点．连接OE、OG、EF、FG，若∠EFG＝52°，则∠P的度数为（　　）​A．52° B．56° C．66° D．76°【答案】D【解答】解：∵PE、PG为⊙O的两条切线，∴OE⊥PE，OG⊥PG，∴∠OEP＝∠OGP＝90°，∵∠∠EFG＝52°，∴∠O＝2∠EFG＝104°，∵∠P+∠OEP+∠OGP+∠O＝360°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣104°＝76°．故选：D．39．（2023•大同模拟）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在AB上，若四边形ACBO为菱形，则∠APB为（　　）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解答】解：连接CO，∵四边形ACBO为菱形，∴OA＝OB＝BC＝AC＝OC，∴△OBC与△OAC是等边三角形，∴∠BOC＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴∠P＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO＝60°，故选：C．40．（2023•阳谷县二模）已知PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（　　）A．125° B．120° 或60° C．125°或55° D．130°【答案】A【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵AP、BP是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠ADB＝AOB＝55°，又∵圆内接四边形的对角互补，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．故选：A．41．（2023•蒙阴县二模）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠P＝80°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数是（　　）A．110° B．120° C．125° D．130°【答案】D【解答】解：连接OA、OB，AB所在的优弧上找一点E，连接EA、EB，∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝80°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝100°，∴∠AEB＝50°，∵四边形ACBE是⊙O内接四边形，∴∠E+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝130°，故选：D．42．（2023•新华区校级二模）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则瞬间与空竹接触的细绳的长为（　　）A．4πcm B．4cm C．2πcm D．2cm【答案】C【解答】解：连接OC，OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，∴∠OCP＝∠ODP＝90°，∵∠P＝120°，∴∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠P＝60°，∴的长＝＝2π（cm），∴瞬间与空竹接触的细绳的长为2πcm，故选：C．43.（2022秋•新会区校级期末）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（　　）A．12 B．6 C．8 D．4【答案】B【解答】解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，∴PA＝PB，∵DE是⊙O的切线，∴DA＝DC，EB＝EC，∵△PDE的周长为12，即PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+AD+EB+PE＝PA+PB＝2PA＝12，∴PA＝6．故选：B．44.（2022秋•东莞市校级期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝4，AC＝3，则BD的长是（　　）A．2.5 B．2 C．1.5 D．1【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AP、AC是⊙O的切线，∴AP＝AC＝3，∵AB＝4，∴PB＝AB﹣AP＝4﹣3＝1，∵BP、BD是⊙O的切线，∴BD＝BP＝1，故选：D．45.（2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周长为16．故选：C．46．（沧州期末）如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（　　）A．9 B．7 C．11 D．8【答案】C【解答】解：设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝x，根据切线长定理，得CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．则有9﹣x+10﹣x＝8，解得：x＝5.5．所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．故选：C．47．（2022秋•仙居县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，则圆心O到顶点A的距离是（　　）A． B．3 C． D．【答案】C【解答】解：如图，连结OD，OE，OF，设⊙O半径为r，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，，∴AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，∴四边形OECF是正方形，∴CE＝CD＝OD＝r，∴AD＝AF＝AC﹣CD＝4﹣r，BF＝BE＝BC﹣CE＝3﹣r，∵AF+BF＝AB＝5，∴3﹣r+4﹣r＝5，∴r＝1．∴OD＝CD＝1，∴AD＝3．∴AO＝＝，故选：C．48．（2022秋•路北区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD•DB＝24，则AB的长（　　）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【解答】解：如图连接OE、OF．则由题意可知四边形ECFO是正方形，边长为2．∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∴可以假设AD＝AF＝a，BD＝BE＝b，则AC＝a+2，BC＝b+2，AB＝a+b，∵AC2+BC2＝AB2，∴（a+2）2+（b+2）2＝（a+b）2，∴4a+4b+8＝2ab，∴4（a+b）＝48﹣8，∴a+b＝10，∴AB＝10．故选：B．49．（2022秋•平泉市校级期末）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．（1）若△PDE的周长为10，则PA的长为　5　；（2）连接CA、CB，若∠P＝50°，则∠BCA的度数为　115　度．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10；∴PA＝PB＝5；（2）连接OA、OB、AC、BC，在⊙O上取一点F，连接AF、BF，∵PA、PB分别切⊙O 于A、B；∴∠PAO＝∠PRO＝90°∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°；∴∠AFB＝∠AOB＝65°，∵∠AFB+∠BCA＝180°∴∠BCA＝180°﹣65°＝115°；故答案是：5，115°．50．（2023•青海一模）如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为　7　．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．51．（2021秋•原州区期末）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为　16cm　．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝8+8＝16cm；∴△PDE的周长为16cm．故答案为16cm．【题型6 三角形的内切圆与内心】52.（2022秋•绵阳期末）如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC＝90°，CM＝2，AM＝3，则⊙O的半径为（　　）A． B． C．1 D．2【答案】C【解答】解：连接OM、ON、OQ，根据切线长定理可得，AN＝AM＝3、CQ＝CM＝2，∠ONB＝∠OQB＝90°，又∵ON＝OQ＝r，∠ABC＝90°，∴四边形ONBQ为正方形，即QB＝BN＝r，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∵CM＝2，AM＝3，∴AB＝3+r，BC＝2+r，AC＝2+3＝5∴（3+r）2+（2+r）2＝52，解得r1＝1，r2＝﹣6（舍去），∴⊙O的半径为1，故选：C．53.（2023•龙川县校级开学）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝50°，则∠A的度数是（　　）A．50° B．100° C．90° D．80°【答案】D【解答】解：连接OD、OF，如图：∵∠DEF＝50°，∵∠DOF＝2∠DEF＝100°，∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、CA分别相切于点D、F，∴OD⊥AB，OF⊥AC，∴∠ADO＝∠AFO＝90°，∴∠A+∠DOF＝180°，∴∠A＝180°﹣100°＝80°．故选：D．54.（2023•恩施市模拟）如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝125°，则∠C等于（　　）A．65° B．70° C．75° D．80°【答案】B【解答】解：∵∠AIB＝125°，∴∠IAB+∠IBA＝55°，∵点I是△ABC的内心，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠ABC，∴∠CAB+∠ABC＝110°，∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝70°，故选：B．55．（2022秋•辛集市期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（　　）A．5步 B．6步 C．8步 D．10步【答案】B【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°，∴AB＝＝17，∴S△ABC＝AC•BC＝×8×15＝60，设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA、OB、OC，设内切圆的半径为r，∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×r（AB+BC+AC）＝20r，∴20r＝60，解得r＝3，∴内切圆的直径为6步，故选：B．