人教版九年级数学上册第05讲直线与圆的位置关系及切线的判定与性质(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版+解析)

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第05讲 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质了解直线与圆的三种位置关系；了解圆的切线的概念；掌握直线与圆位置关系的性质。知识点1 直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；知识点2 切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。知识点3 切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线 ∴；平分知识点4 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。注意：内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B OA D C【题型1 直线与圆的位置关系的判定】【典例1】（2023•滨江区二模）已知⊙O的直径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O（　　）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【变式1-1】（2022秋•江汉区校级期末）已知⊙O半径为4cm，若直线上一点P与圆心O距离为4cm，那么直线与圆的位置关系是（　　）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【变式1-2】（2022秋•洪山区校级期末）圆的半径是6.5cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（　　）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切【变式1-3】（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　）A．0 B．1 C．2 D．无法确定【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】【典例2】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（　　）A．2 B．4 C． D．【变式2-1】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（　　）​A．2 B．4 C． D．【变式2-2】（2023•九龙坡区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA＝2，则BD的长为（　　）​A．2 B．2 C．3 D．3【变式2-3】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，，则线段AB的长是（　　）A． B． C．3 D．6【典例3】（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以AD为直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C的度数为（　　）A．42° B．45° C．46° D．48°【变式3-1】（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°【变式3-2】（2023•浙江二模）如图，AC与⊙O相切于点A，B为⊙O上一点，BC经过圆心O，若∠B＝25°，则∠C的大小等于（　　）A．20° B．40° C．25° D．50°【变式3-3】（2023•泰安三模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠E＝40°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠CDB等于（　　）​A．25° B．30° C．35° D．40°【题型3切线的判定】【典例4】（2023•东莞市校级模拟）如图，∠AOB＝60°，以OB为半径的⊙O交OA于点C，且OC＝CA，求证：AB是⊙O的切线．【变式4-1】（新疆期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°以AB为直径的⊙O与BC相交于点E．在AC上取一点D，使得DE＝AD．求证：DE是⊙O的切线．【变式4-2】（昭通期末）如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【变式4-3】（大名县期末）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．求证：CD是⊙O的切线．【题型4 切线的性质与判定的综合运用】【典例5】（2023•牧野区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．【变式5-1】（2023•广西）如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求PA的长．【变式5-2】（2023•金寨县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．【变式5-3】（2023•德庆县二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的圆交边AC于点D，交边AB于点E，且BC＝BE．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）若AE＝24，BE＝15，求⊙O的半径．​【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】【典例6】（2022秋•金东区期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（　　）A．7 B．8 C．9 D．16【变式6-1】（2022秋•凤台县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　）A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化【变式6-2】（2022秋•林州市期中）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　）A．5 B．7 C．12 D．10【变式6-3】2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　）A．8 B．12 C．16 D．20【题型6 三角形的内切圆与内心】【典例7-1】（2023•炎陵县模拟）如图，已知圆O是△ABC的内切圆，且∠A＝70°，则∠BOC的度数是（　　）​A．140° B．135° C．125° D．110°【典例7-2】（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（　　）A．3步 B．5步 C．6步 D．8步【变式7-1】（2023•娄底一模）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（　　）A．36° B．53° C．74° D．128°【变式7-2】（2022秋•丰宁县校级期末）如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为（　　）（结果保留π）A．π B．2π C．3π D．4π【变式7-3】（2022秋•南开区校级期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝10，CA＝8，则⊙O的半径是（　　）A．1 B． C．2 D．21．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（　　）A．25° B．35° C．40° D．45°2．（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°3．（2022•河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（　　）A．25° B．35° C．40° D．50°4．（2023•滨州）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 　 ．5．（2023•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为 　　．6．（2023•浙江）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 　　．7．（2023•金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．（1）求证：四边形ABOH为矩形．（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．8．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求证：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．9．（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，得复制发布日期：2023/6/26 15:16:；用户：gaga；邮箱：18376708956；学：189077131．（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　）A．0 B．1 C．2 D．无法确定2．（2022秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（　　）A．点B在⊙A内 B．直线BC与⊙A相离 C．点C在⊙A上 D．直线BC与⊙A相切3．（2023•绿园区校级模拟）将一个含有30°的直角三角板按如图所示的位置摆放，一个顶点O与⊙O的圆心重合，一条直角边AB与⊙O相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．则∠OCB为（　　）A．60° B．65° C．85° D．90°4．（2023•船营区一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC＝PC，则∠P的度数是（　　）A．15° B．20° C．30° D．45°5．（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆的半径r是（　　）A．2 B．3 C．4 D．无法判断6．（2022秋•聊城期末）如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（　　）A．100° B．160° C．80° D．130°7．（2023•婺城区模拟）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　）A．13cm B．8cm C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化8．（2022秋•南沙区校级期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 　 ．9．（2022•南安市一模）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于　　．10．（2022秋•越秀区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．求证：DE是⊙O的切线．11．（2022秋•魏都区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC边于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．求证：EF是⊙O的切线．12．（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．13．（2023•零陵区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上，BE平分∠ABC，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，AE＝4，求⊙O的半径长．14．（2023•新抚区模拟）如图，AC为⊙O的直径，CB是⊙O的切线，CB＞AC，D为AB的中点，E在BC上，CE＜BE，连接DE，DE＝BC．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若CE＝2，EB＝8，求⊙O的半径．​第05讲 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质了解直线与圆的三种位置关系；了解圆的切线的概念；掌握直线与圆位置关系的性质。知识点1 直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；知识点2 切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。知识点3 切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线 ∴；平分知识点4 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。注意：内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B OA D C【题型1 直线与圆的位置关系的判定】【典例1】（2023•滨江区二模）已知⊙O的直径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O（　　）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】B【解答】解：∵⊙O的直径为4，∴⊙O的半径为2，∵点O到直线l的距离为2，∴d＝r∴l与⊙O的位置关系相切．故选：B．【变式1-1】（2022秋•江汉区校级期末）已知⊙O半径为4cm，若直线上一点P与圆心O距离为4cm，那么直线与圆的位置关系是（　　）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】D【解答】解：⊙O半径为4cm，若直线上一点P与圆心O距离为4cm，那么直线与圆的位置关系是无法确定，故选：D．【变式1-2】（2022秋•洪山区校级期末）圆的半径是6.5cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（　　）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切【答案】D【解答】解：∵圆的半径为6.5cm，圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，∴圆的半径≥圆心到直线的距离，∴直线于圆相切或相交，故选：D．【变式1-3】（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　）A．0 B．1 C．2 D．无法确定【答案】C【解答】解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，即圆心O到直线l的距离小于圆的半径，∴直线l和⊙O相交，∴直线l与⊙O有2个公共点．故选：C．【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】【典例2】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（　　）A．2 B．4 C． D．【答案】D【解答】解：如图：连接OB，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝4，由勾股定理得，BD＝＝2，故选：D．【变式2-1】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（　　）​A．2 B．4 C． D．【答案】D【解答】解：连接OB，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝4，由勾股定理得，BD＝＝2，故选：D．【变式2-2】（2023•九龙坡区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA＝2，则BD的长为（　　）​A．2 B．2 C．3 D．3【答案】B【解答】解：∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∵∠C＝30°，∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝60°，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OA＝2，∴AB＝4，∴BD＝AB•sin60°＝4×＝2，故选：B．【变式2-3】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，，则线段AB的长是（　　）A． B． C．3 D．6【答案】D【解答】解：连接OD，∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥AC，∵OD＝OB，∴OBD＝ODB，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴BC⊥AC，∴∠ADO＝∠C＝90°，∵∠A＝30°，∴AO＝2OD，设OD＝OB＝x，则AO＝2x，AB＝3x，∴AD＝x，AC＝x，∴CD＝AC﹣AD＝x﹣x＝，∴x＝2，∴AB＝3x＝6．故选：D．【典例3】（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以AD为直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C的度数为（　　）A．42° B．45° C．46° D．48°【答案】D【解答】解：连接OB，∵CB与⊙O相切于B，∴半径OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∵∠CBD＝21°，∴∠OBD＝∠OBC﹣∠CBD＝69°，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD＝69°，∵∠ODB＝∠C+∠CBD，∴∠C＝∠ODB﹣∠CBD＝69°﹣21°＝48°． 故选：D．【变式3-1】（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【解答】解：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∵∠ACD＝50°，∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠ACO＝40°，故选：B．【变式3-2】（2023•浙江二模）如图，AC与⊙O相切于点A，B为⊙O上一点，BC经过圆心O，若∠B＝25°，则∠C的大小等于（　　）A．20° B．40° C．25° D．50°【答案】B【解答】解：连接OA，∵AC与⊙O相切于点A，∴AC⊥OA，∴∠OAC＝90°，∵∠B＝25°，∴∠AOC＝2∠B＝2×25°＝50°，∴∠C＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故选：B．【变式3-3】（2023•泰安三模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠E＝40°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠CDB等于（　　）​A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】A【解答】解：连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∵∠E＝40°，∴∠COE＝90°﹣40°＝50°，∴∠CDB＝∠COE＝25°．故选：A．【题型3切线的判定】【典例4】（2023•东莞市校级模拟）如图，∠AOB＝60°，以OB为半径的⊙O交OA于点C，且OC＝CA，求证：AB是⊙O的切线．【答案】见解析．【解答】证明：连接BC，∵∠AOB＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，∵OC＝CA，∠OCB＝∠CAB+∠CBA＝60°，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∴∠OBA＝∠OBC+∠CBA＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．【变式4-1】（新疆期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°以AB为直径的⊙O与BC相交于点E．在AC上取一点D，使得DE＝AD．求证：DE是⊙O的切线．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：如图，连接OE、OD，在△OED和△OAD中，，∴△OED≌△OAD（SAS），∴∠OED＝∠BAC＝90°，∴OE⊥DE，∵OE是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【变式4-2】（昭通期末）如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【答案】见解答．【解答】证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵BD＝2AD＝8，∴AD＝4，在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2＝42+82＝80，在Rt△ADC中，AC2＝AD2+CD2＝42+22＝20，∵BC2＝（2+8）2＝10，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵AB为直径，∴AC是⊙O的切线．【变式4-3】（大名县期末）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．求证：CD是⊙O的切线．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵AE平分∠BAF，∴∠OAE＝∠DAE，∴∠OEA＝∠EAD，∴OE∥AD，∵ED⊥AF，∴OE⊥DE，∵OE是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．【题型4 切线的性质与判定的综合运用】【典例5】（2023•牧野区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OA，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵DA平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA，∴∠OAD＝∠EDA，∴EC∥OA，∵AE⊥CD，∴OA⊥AE，∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，∴四边形AOFE是矩形，∴OF＝AE＝4cm，又∵OF⊥CD，∴DF＝CD＝3cm，在Rt△ODF中，OD＝＝5cm，即⊙O的半径为5cm．【变式5-1】（2023•广西）如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求PA的长．【答案】（1）证明见解答；（2）PA的长是12．【解答】（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A，且OA是⊙O的半径，∴PA⊥OA，∵PO平分∠APD，OB⊥PD于点B，OA⊥PA于点A，∴OB＝OA，∴点B在⊙O上，∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．（2）解：∵OA＝OB＝4，OC＝5，∴AC＝OA+OC＝4+5＝9，∵∠OBC＝90°，∴BC＝＝＝3，∵∠A＝90°，∴＝＝tan∠ACP＝，∴PA＝AC＝×9＝12，∴PA的长是12．【变式5-2】（2023•金寨县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2.8．【解答】（1）证明：连接OD，连接OC交BD于M，∵CD＝CB，∴＝，∴∠COD＝∠COB，∵OD＝OB，∴OC⊥BD，DM＝BM，∵CF∥BD，∴半径OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线；（2）解：设OM＝x，∵OC＝AB＝5，∴MC＝5﹣x，∵BM2＝BC2﹣CM2＝OB2﹣OM2，∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，∴x＝1.4，∵AO＝OB，DM＝BM，∴OM是△BAD的中位线，∴AD＝2OM＝2x＝2.8．【变式5-3】（2023•德庆县二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的圆交边AC于点D，交边AB于点E，且BC＝BE．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）若AE＝24，BE＝15，求⊙O的半径．​【答案】（1）见解答；（2）10．【解答】（1）证明：如图1，连接OE，连接BO，在△OBC和△OBE中，，∴△BOE≌△BOC（SSS），∴∠BEO＝∠BCO，∵∠BCO＝90°，∴∠BEO＝90°，∵OE是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OE，∵BE＝15，AE＝24，∴BC＝BE＝15，AB＝BE+AE＝15+24＝39，∴AC＝＝＝36，设⊙O的半径为r，则OE＝OC＝r，OA＝36﹣r，∵OA2＝OE2+AE2，∴（36﹣r）2＝r2+242，解得：r＝10，∴⊙O的半径为10．【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】【典例6】（2022秋•金东区期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（　　）A．7 B．8 C．9 D．16【答案】A【解答】解：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，∴BI＝BG，CI＝CH，DG＝DF，EF＝EH．∴BG+CH＝BI+CI＝BC＝9，∴C△ADE＝AD+AE+DE＝AD+AE+DF+EF＝AD+DG+EH+AE＝AG+AH＝C△ABC﹣（BG+EH+BC）＝25﹣2×9＝7．故选：A．【变式6-1】（2022秋•凤台县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　）A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化【答案】B【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，故DM＝MF，FN＝EN，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故选：B．【变式6-2】（2022秋•林州市期中）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　）A．5 B．7 C．12 D．10【答案】C【解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，PA＝6，∴PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE，∴△PCD的周长＝PC+CE+PD+DE＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝12，故选：C．【变式6-3】2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周长为16．故选：C．【题型6 三角形的内切圆与内心】【典例7-1】（2023•炎陵县模拟）如图，已知圆O是△ABC的内切圆，且∠A＝70°，则∠BOC的度数是（　　）​A．140° B．135° C．125° D．110°【答案】C【解答】解：∵圆O是△ABC的内切圆，∴点O为三角形的内心，即点O为△ABC三个内角平分线的交点，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝．∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°．∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°．∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．故选：C．【典例7-2】（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（　　）A．3步 B．5步 C．6步 D．8步【答案】C【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°，∴AB＝＝17，∴S△ABC＝AC•BC＝×8×15＝60，设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA、OB、OC，设内切圆的半径为r，∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×r（AB+BC+AC）＝20r，∴20r＝60，解得r＝3，∴内切圆的直径为6步，故选：C．【变式7-1】（2023•娄底一模）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（　　）A．36° B．53° C．74° D．128°【答案】C【解答】解：连接OD、OF，∵⊙O分别与AB、AC相切于点D、点F，∴AB⊥OD，AC⊥OF，∴∠ODA＝∠OFA＝90°，∵∠DEF＝53°，∵∠DOF＝2∠DEF＝2×53°＝106°，∴∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OFA﹣∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣106°＝74°，故选：C．【变式7-2】（2022秋•丰宁县校级期末）如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为（　　）（结果保留π）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】A【解答】解：连接OE、OF，∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴AB＝5，∵⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，∴FB＝DB，CE＝CF，AD＝AF，OE⊥BC，OF⊥AC，又∵∠C＝90°，OF＝OE，∴四边形ECFO为正方形，∴设OE＝OF＝CF＝CE＝x，∴BE＝4﹣x，FA＝3﹣x；∴DB＝4﹣x，AD＝3﹣x，∴3﹣x+4﹣x＝5，解得：x＝1，则⊙O的面积为：π．故选：A．【变式7-3】（2022秋•南开区校级期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝10，CA＝8，则⊙O的半径是（　　）A．1 B． C．2 D．2【答案】见试题解答内容【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，BC＝10，CA＝8，∴AB＝＝6，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD＝BE，AD＝AF，CF＝CE，如图，连接OD，OF，∵OD⊥AB，OF⊥AC，OD＝OF，∴∠ODC＝∠A＝∠OFA＝90°，∴四边形ADOF是正方形，设OD＝OF＝AF＝AD＝x，则CE＝CF＝8﹣x，BD＝BE＝6﹣x，∵BE+CE＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，∴x＝2，则圆O的半径为2．故选：C．1．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（　　）A．25° B．35° C．40° D．45°【答案】C【解答】解：连接OB，∵AB切⊙O于B，∴半径OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵BD∥OA，∴∠D＝∠OCD＝25°，∴∠O＝2∠D＝50°，∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．故选：C．2．（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【解答】解：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∵∠ACD＝50°，∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠ACO＝40°，故选：B．3．（2022•河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（　　）A．25° B．35° C．40° D．50°【答案】C【解答】解：∵∠ABC＝25°，∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥AB，∴∠PAO＝90°，∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，故选：C．4．（2023•滨州）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 　62°或118°　．【答案】62°或118°．【解答】解：如图，连接CA，BC，∵PA、PB切⊙O于点A、B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB，∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°，由圆周角定理知，∠ACB＝∠AOB＝62°．当点C在劣弧AB上时，由圆内接四边形的性质得∠ACB＝118°，故答案为：62°或118°．5．（2023•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为 　　．【答案】．【解答】解：设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，∵CD是⊙C的半径，AB与⊙C相切于点D，∴AB⊥CD，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵AB•CD＝AC•BC＝S△AOB，∴×10CD＝×8×6，解得CD＝，∴r＝CD＝，故答案为：．6．（2023•浙江）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 　65°　．【答案】65°．【解答】解：连接OC，OB，∵AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，∴∠ACO＝∠ABO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，∴∠D＝，故答案为：65°．7．（2023•金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．（1）求证：四边形ABOH为矩形．（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．【答案】（1）见解析；（2）6．【解答】（1）证明：∵⊙A与x轴相切于点B，∴AB⊥x轴又∵AH⊥CD，HO⊥OB，∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，∴四边形AHOB是矩形；（2）解：连接AD，∵四边形AHOB是矩形，∴AH＝OB＝，∵AD＝AB＝4，∴DH＝＝＝3，∵AH⊥CD，∴CD＝2DH＝6．8．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求证：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答；（3）BF＝2．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．（2）证明：∵线段AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等边三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2．9．（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OD，如图：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ACB＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，即PE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线；（2）解：连接AD，连接OD，如图：∵DE⊥AC，∴∠AEP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠PAE＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∵⊙O的半径为6，∴BC＝AB＝12，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝CD＝BC＝6，在Rt△CDE中，CE＝CD•cosC＝6×cos60°＝3，答：CE的长是3．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，得复制发布日期：2023/6/26 15:16:；用户：gaga；邮箱：18376708956；学：189077131．（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　）A．0 B．1 C．2 D．无法确定【答案】C【解答】解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，即圆心O到直线l的距离小于圆的半径，∴直线l和⊙O相交，∴直线l与⊙O有2个公共点．故选：C．2．（2022秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（　　）A．点B在⊙A内 B．直线BC与⊙A相离 C．点C在⊙A上 D．直线BC与⊙A相切【答案】D【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，∵AB＝AC，∴BH＝CH＝BC＝4，在Rt△ABH中，AH＝＝＝3，∵AB＝5＞3，∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；∵AC＝5＞3，∴C点在⊙A外，所以C选项不符合题意；∴AH＝3，AH⊥BC，∴直线BC与⊙A相切，所以D选项符合题意，B选项不符合题意．故选：D．3．（2023•绿园区校级模拟）将一个含有30°的直角三角板按如图所示的位置摆放，一个顶点O与⊙O的圆心重合，一条直角边AB与⊙O相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．则∠OCB为（　　）A．60° B．65° C．85° D．90°【答案】D【解答】解：∵将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B'，∴BO′＝BO＝OO′，∴△BOO′为等边三角形，∴∠OBO′＝60°，∴∠CBO＝90°﹣∠OBO′＝90°﹣60°＝30°，∵∠AOB＝60°，∴∠A′OC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠OCB＝180°﹣60°﹣30°＝90°．故选：D．4．（2023•船营区一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC＝PC，则∠P的度数是（　　）A．15° B．20° C．30° D．45°【答案】C【解答】解：如图，连结OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠OCA，∵AC＝PC，∴∠P＝∠A，设∠A＝∠OCA＝∠P＝x°，在△APC中，∠A+∠P+∠PCA＝180°，∴x+x+90+x＝180，∴x＝30，∴∠P＝30°．故选：C．5．（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆的半径r是（　　）A．2 B．3 C．4 D．无法判断【答案】A【解答】解：如图，⊙O切AC于E，切BC于F，切AB于G，连OE，OF，∴OE⊥AC，OF⊥BC，∴四边形CEOF为正方形，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，设⊙O的半径为r，则CE＝CF＝r，∴AE＝AG＝6﹣r，BF＝BG＝8﹣r，∴AB＝AG+BG＝AE+BF，即6﹣r+8﹣r＝10，∴r＝2．故选：A．6．（2022秋•聊城期末）如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（　　）A．100° B．160° C．80° D．130°【答案】D【解答】解：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．故选：D．7．（2023•婺城区模拟）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　）A．13cm B．8cm C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化【答案】B【解答】解：由切线长定理得，BD＝BG，CP＝CG，MH＝MD，NH＝NP，∴BD+CP＝BG+CG＝5，∴AD+AP＝18﹣10＝8，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+MD+AN+NP＝AD+AP＝8，故选：B．8．（2022秋•南沙区校级期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 　46　．【答案】46．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，如下图，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD+BC＝AB+CD＝23，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝23+23＝46，故答案为：46．9．（2022•南安市一模）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于　1　．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，∴∠APO＝∠BPO＝∠APB，∠PAO＝90°∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°，∵PO＝2，∴AO＝1．故答案为：1．10．（2022秋•越秀区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．求证：DE是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】证明：如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，∵∠CDE＝∠BAC．∴∠CDE＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵∠ADO+∠ODC＝90°，∴∠ODC+∠CDE＝90°，∴∠ODE＝90°，又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．11．（2022秋•魏都区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC边于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．求证：EF是⊙O的切线．【答案】答案见解析．【解答】证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODBC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．12．（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OE、OD，在△AOD和△EOD中，，∴△AOD≌△EOD（SSS），∴∠OED＝∠BAC＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵△AOD≌△EOD，∴∠AOD＝∠EOD，∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，∵∠AOE＝∠B+∠OEB，∴∠BEO＝∠EOD，∴OD∥BC，又AO＝BO，∴OD＝BC＝5，由勾股定理得，AO＝＝3，则⊙O的半径为3．13．（2023•零陵区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上，BE平分∠ABC，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，AE＝4，求⊙O的半径长．【答案】（1）见解析；（2）3．【解答】（1）证明：连接OE．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE．又OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠CBE＝∠OEB，∴BC∥OE，∴∠OEA＝∠C＝90°．又点E在⊙O上，∴AC是⊙O的切线．（2）设⊙O的半径为r，∵∠OEA＝90°，∴AO2＝AE2+OE2，即（r+2）2＝42+r2，解得r＝3，∴⊙O的半径为3．14．（2023•新抚区模拟）如图，AC为⊙O的直径，CB是⊙O的切线，CB＞AC，D为AB的中点，E在BC上，CE＜BE，连接DE，DE＝BC．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若CE＝2，EB＝8，求⊙O的半径．​【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解答】（1）证明：连接OD，作OM⊥DE于M，作EH⊥OD于H，∵O是AC中点，D是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，OD＝BC，∵DE＝BC，∴OD＝DE，∵∠OMD＝∠EHD＝90°，∠ODM＝∠EDH，∴△ODM≌△EDH（AAS），∴OM＝HE，∵BC切圆于C，∴半径OC⊥CE，∵OH∥CE，EH⊥OD，∴四边形OCEH是矩形，∴HE＝OC，OH＝CE＝2，∴OM＝OC，∴DE为⊙O的切线；（2）解：∵CE＝2，BE＝8，∴BC＝CE+BE＝10，由（1）知OD＝BC＝5，∴DH＝OD﹣OH＝5﹣2＝3，∵DE＝BC＝5，∴HE＝＝4，∴OC＝HE＝4，∴⊙O的半径是4．