沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第02讲二次根式的运算(2大考点6种解题方法)(原卷版+解析)

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第02讲 二次根式的运算（2大考点6种解题方法）考点考向1.二次根式的运算2.分母有理化考点精讲一、二次根式的加减法1.计算：= .2.计算:3．（2021秋•奉贤区校级期中）计算：1336x+2x4−4x1x．二．二次根式的乘除法（共7小题）1．（2021秋•浦东新区期中）化简：8a2b÷2ab×ab．2．（2021秋•金山区校级期中）化简：8x2xy÷12x3y×3y2x（x＞0）．3．（2021秋•松江区期中）计算：12a2b3÷4a3b⋅a3b．三．分母有理化（共6小题）1．（2020秋•浦东新区校级期末）x−3的有理化因式是 　　 ．2．（2022春•徐汇区校级月考）计算：12−1=　　 ．3．（2021秋•松江区期末）不等式3x−1＜2x的解集是　　 ．4．（2021秋•浦东新区校级月考）已知：x=3−23+2，y=3+23−2，求代数式20x2+55xy+20y2的值．四．二次根式的混合运算（共2小题）1．（2022春•杨浦区校级期中）计算：235−1210+13×(−5+610)．2．（2021春•徐汇区期中）6−33×(3+2)．五．二次根式的化简求值（共2小题）1．（2021秋•金山区校级期中）已知x＝2−2，那么（x﹣2）2﹣x的值为 　　．六．二次根式的应用（共4小题）1．（2021秋•普陀区期中）不等式3x﹣1＞2x的解集是 　　 ．2．（2022春•浦东新区校级期中）已知方程组2x−3y=24x−9y=12，那么2x+3y的值是 　　．3．（2022春•静安区期中）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（π≈3.14，结果精确到0.1）4.化简求值：．5.若等式成立，化简：．6.的值．巩固提升一、填空题1．（2022·上海·八年级期末）计算：=___________．2．（2022·上海·八年级期末）计算：＝_________．3．（2022·上海·八年级期末）化简：=________．4．（2022·上海·八年级期末）已知，则___________5．（2022·上海·八年级期末）已知求的值=_____.6．（2022·上海·八年级期末）写出的一个有理化因式___________．7．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）分母有理化_______．8．（2021·上海·八年级期中）计算=_________．9．（2022·上海·八年级期末）已知，是实数，且，问，之间有怎样的关系：________________．10．（2022·上海·八年级期末）已知，则__________11．（2022·上海·八年级期末）已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2的值也是整数，那么称（a,b）是2的一个“理想数对”．如（1，1）使得2=4，（4，4）使得2所以（1,1）和（4，4）都是2的“理想数对”，请你再写出一个2的“理想数对”：___________ .12．（2022·上海·八年级期末）若实数满足，则的值是_________13．（2022·上海松江·八年级期末）不等式的解集是___________．14．（2022·上海·八年级期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为______．二、解答题15．（2021·上海·八年级期中）计算：16．（2021·上海·八年级期中）计算：．17．（2022·上海·八年级期末）计算：．18．（2022·上海·八年级期末）计算：．19．（2022·上海·八年级期末）计算：．20．（2022·上海·八年级期末）解不等式：21．（2021·上海·八年级期中）计算：(1)﹣+（3﹣）（1+） (2)3÷（3﹣2）22．（2022·上海·八年级期末）已知x=，y=，且19x2+123xy+19y2=1985．试求正整数n．23．（2022·上海·八年级期末）判断下面各式是否成立（1）            （2）        （3）探究：①你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想：②用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明24．（2022·上海·八年级期末）已知实数满足求代数式的值．25．（2022·上海·八年级期末）先化简：，再求当时的值.26．（2022·上海·八年级期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．请你利用公式解答下列问题．（1）在中，已知，，，求的面积；（2）计算（1）中的边上的高．27．（2022·上海·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；(3)化简：．28．（2022·上海·八年级期末）阅读，并回答下列问题：公元3世纪，我国古代数学家刘徵就能利用近似公式得到的近似值.（1）他的算法是：先将看成，利用近似公式得到，再将看成，由近似公式得到___________≈______________；依次算法，所得的近似值会越来越精确.（2）按照上述取近似值的方法，当取近似值时，求近似公式中的和的值.29.（2019上外10月考26）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0．运用上述知识，解决下列问题：（1）如果，其中a、b为有理数，那么a＝　 　，b＝　 　；（2）如果，其中a、b为有理数，求a+2b的值．第02讲 二次根式的运算（2大考点6种解题方法）考点考向1.二次根式的运算2.分母有理化考点精讲一、二次根式的加减法1.计算：= .【答案】；【解析】解：原式=.2.计算:【答案】；【解析】解：原式===.3．（2021秋•奉贤区校级期中）计算：1336x+2x4−4x1x．【分析】各式化简为最简二次根式，合并即可得到结果．【解答】解：原式=13•6x+2•12x−4x•xx＝2x+x−4x=−x．【点评】此题考查了二次根式的加减法，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二．二次根式的乘除法（共7小题）1．（2021秋•浦东新区期中）化简：8a2b÷2ab×ab．【分析】根据二次根式的乘除法法则进行解答即可．【解答】解：8a2b÷2ab×ab=4a×ab=4abb．【点评】此题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．2．（2021秋•金山区校级期中）化简：8x2xy÷12x3y×3y2x（x＞0）．【分析】根据二次根式有意义的条件和x的取值范围，确定y的取值范围，再根据二次根式的性质和乘除法的法则进行计算即可．【解答】解：∵x＞0，xy有意义，∴y＞0，∴原式＝8x2xy÷12xyxy×3yxx=2xy3×3yxx ＝2y2x．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质和乘除法的计算法则是正确计算的前提．3．（2021秋•松江区期中）计算：12a2b3÷4a3b⋅a3b．【分析】根据二次根式的乘除运算法则，从左往右依次计算．【解答】解：12a2b3÷4a3b⋅a3b=3a2b3a3b⋅a3b =3b2a⋅a3b =3b2a⋅a3b =3a2b．＝3ab．【点评】本题主要考查二次根式的乘除运算、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质是解决本题的关键．三．分母有理化（共6小题）1．（2020秋•浦东新区校级期末）x−3的有理化因式是 　x−3（答案不唯一）　．【分析】找出已知二次根式的有理化因式即可．【解答】解：x−3的有理化因式是x−3（答案不唯一）．故答案为：x−3（答案不唯一）．【点评】此题考查了分母有理化，弄清有理化因式的找法是解本题的关键．2．（2022春•徐汇区校级月考）计算：12−1=　2+1　．【分析】直接利用分母有理化将原式化简即可．【解答】解：12−1=2+1(2+1)(2−1)=2+1．故答案为：2+1．【点评】本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握平方差公式．3．（2021秋•松江区期末）不等式3x−1＜2x的解集是　x＜3+2　．【分析】利用不等式的基本性质，将不等式两边先移项再合并同类项，不等式两边同乘以（3+2）可系数为1．即可求出不等式的解集．【解答】解：移项、合并同类项得，（3−2）x＜1，不等式两边同乘以（3+2）得，x＜3+2．【点评】解不等式应依据不等式的基本性质，确定未知数系数的有理化因式．4．（2021秋•浦东新区校级月考）已知：x=3−23+2，y=3+23−2，求代数式20x2+55xy+20y2的值．【分析】直接利用分母有理化将原式化简，再将多项式变形进而代入得出答案．【解答】解：∵x=3−23+2=（3−2）2＝5﹣26，y=3+23−2=（3+2）2＝5+26，∴原式＝20x2+40xy+20y2+15xy＝20（x2+2xy+y2）+15xy＝20（x+y）2+15xy＝20×（5﹣26+5+26）2+15×（5﹣26）（5+26）＝20×102+15×（25﹣24）＝2000+15＝2015．【点评】此题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键．四．二次根式的混合运算（共2小题）1．（2022春•杨浦区校级期中）计算：235−1210+13×(−5+610)．【分析】根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=253−1210−53+210=53+3102．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．2．（2021春•徐汇区期中）6−33×(3+2)．【分析】根据二次根式的乘除运算法则以及平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式=(2−3)(3+2)＝2﹣3＝﹣1．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．五．二次根式的化简求值（共2小题）1．（2021秋•金山区校级期中）已知x＝2−2，那么（x﹣2）2﹣x的值为 　2　．【分析】先把x的值代入（x﹣2）2﹣x中，然后利用二次根式的性质计算．【解答】解：∵x＝2−2，∴（x﹣2）2﹣x＝（2−2−2）2﹣（2−2）＝2﹣2+2=2．故答案为2．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，根据已知条件的特点，把x的值直接代入计算比较简便．六．二次根式的应用（共4小题）1．（2021秋•普陀区期中）不等式3x﹣1＞2x的解集是 　x＜−3−2　．【分析】按照解一元一次不等式的步骤计算即可．【解答】解：3x﹣1＞2x，（3−2）x＞1，x＜13−2，x＜−3−2．【点评】本题考查二次根式的计算，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．2．（2022春•浦东新区校级期中）已知方程组2x−3y=24x−9y=12，那么2x+3y的值是 　6　．【分析】把第二个方程左边因式分解得到（2x+3y）（2x−3y）＝12，把第一个方程代入即可．【解答】解：2x−3y=2①4x−9y=12②，由②得（2x+3y）（2x−3y）＝12③，把①代入③得2（2x+3y）＝12，∴（2x+3y）＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查了二次根式的应用和解二元一次方程组，把第二个方程左边因式分解得到（2x+3y）（2x−3y）＝12是解决问题的关键．3．（2022春•静安区期中）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（π≈3.14，结果精确到0.1）【分析】先求出正方形的边长，进一步得到半圆的半径，再用正方形的面积减去半圆的面积即可求解．【解答】解：由题意得，正方形的边长为2米，则半圆的半径为r=22米，则剩下的木料的面积＝2−12πr2≈2−12×3.14×（22）2＝2﹣0.785＝1.215≈1.2（平方米）．答：剩下的木料的面积约为1.2平方米．【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是熟练掌握正方形和圆的面积公式．4.化简求值：．【难度】★★★【答案】．【解析】原式===； 把代入，得：原式=．【总结】本题主要考查了二次根式的化简和分母有理化．5.若等式成立，化简：．【难度】★★★【答案】．【解析】由题意得：， 解得：． ∴原式===．【总结】本题主要考查二次根式的概念、化简以及求值．6.的值．【难度】★★★【答案】．【解析】∵， ∴． ∴原式= = =．【总结】本题综合性较强，一方面考查了二次根式的化简求值运算，另一方面考查了利用将次思想以及整体代入思想进行求值．巩固提升一、填空题1．（2022·上海·八年级期末）计算：=___________．【答案】【分析】根据二次根式的除法法则，即可求解．【详解】原式=故答案是：．【点睛】本题主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法法则，是解题的关键．2．（2022·上海·八年级期末）计算：＝_________．【答案】20【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．3．（2022·上海·八年级期末）化简：=________．【答案】【详解】根据二次根式的化简的性质可知：===.故答案为：考点：二次根式的化简4．（2022·上海·八年级期末）已知，则___________【答案】【分析】根据二次根式的性质知，则，代入求出y的值，即可求解.【详解】根据二次根式的性质知，则，代入得，则.【点睛】本题是对二次根式计算的考查，熟练掌握二次根式的非负性和二次根式化简是解决本题的关键.5．（2022·上海·八年级期末）已知求的值=_____.【答案】26【分析】先把两等式相乘和相加可得ab＝240，ab（a＋b）＝8160，则可计算出a＋b＝34，再根据完全平方公式变形得到＝，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵a2b＝2400，ab2＝5760，∴a3b3＝2400×57600＝2403，a2b＋ab2＝2400＋5760，∴ab＝240，ab（a＋b）＝8160，∴a＋b＝＝34，∴＝＝故填：26.【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形及整式的运算法则.6．（2022·上海·八年级期末）写出的一个有理化因式___________．【答案】【分析】根据平方差公式，即可得到答案．【详解】∵，∴是的一个有理化因式，故答案是：．【点睛】本题主要考查二次根式的有理化，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．7．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）分母有理化_______．【答案】【分析】分子，分母同乘以，利用平方差公式化简解题．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查分母有理化，涉及平方差公式，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．8．（2021·上海·八年级期中）计算=_________．【答案】【分析】先把二次根式有理化，再计算即可．【详解】解：======故答案为：．【点睛】此题考查了二次根式的除法，解题的关键是把分母有理化，注意平方差公式．9．（2022·上海·八年级期末）已知，是实数，且，问，之间有怎样的关系：________________．【答案】【分析】找每一个括号部分的有理化因式，两边相乘，得出两个等式，把两式相加即可．【详解】a、b之间的关系是：a+b=0．理由：原等式两边乘以，得=，原等式两边乘以，得 =，两式相加，得a+b=-a-b，故a=-b．故答案为a=-b．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值的运用，关键点是每一个括号部分的有理化因式与它互为倒数．10．（2022·上海·八年级期末）已知，则__________【答案】【分析】根据题意可知a＞0，b＞0，整理得出a，b的关系，代入即可求出.【详解】根据题意可知a＞0，b＞0，∵，∴即，则，显然，则，即a=4b，将a=4b代入中，∴原式====【点睛】本题是对二次根式的综合考查，熟练掌握二次根式化简运算是解决本题的关键，难度相对较大.11．（2022·上海·八年级期末）已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2的值也是整数，那么称（a,b）是2的一个“理想数对”．如（1，1）使得2=4，（4，4）使得2所以（1,1）和（4，4）都是2的“理想数对”，请你再写出一个2的“理想数对”：___________ .【答案】（1，4）（此题答案不唯一，见详解）【分析】因为2的值也是整数，所以要使、开的尽，所以a、b必须是一个整数的平方，因为2的值也是整数， 的化简结果应无分母或者分母为2.【详解】当a=1，b=4时，2故成立，所以答案可以是：（1，4）.此题答案也可以为（4，1）.【点睛】此题考查的是材料题，需要读懂材料在解决问题.12．（2022·上海·八年级期末）若实数满足，则的值是_________【答案】【分析】把已知条件化为两个完全平方式，可知两个非负数相加为0，则每个式子都为0，从而列方程求出x和y，代入即可解答．【详解】解：∵∴∴∴∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了非负数的性质以及二次根式的混合运算，两非负数之和等于0，则两数均为0，求得x、y值．本题中把变形得是解题的关键．13．（2022·上海松江·八年级期末）不等式的解集是___________．【答案】【分析】按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可．【详解】解：，，，，∴．故答案为．【点睛】本题考查了不等式的解法以及二次根式的分母有理化，根据不等式的性质，确定未知系数的有理化因式是解题的关键．14．（2022·上海·八年级期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为______．【答案】1【分析】把题中的三角形三边长代入公式求解.【详解】∵S=，∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：S==1，故答案为1．【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．二、解答题15．（2021·上海·八年级期中）计算：【答案】【分析】根据二次根式混合运算的法则计算即可【详解】解：原式=【点睛】本题考查了次根式的混合运算，熟练掌握相关的知识是解题的关键16．（2021·上海·八年级期中）计算：．【答案】【分析】分别根据分母有理化、二次根式的乘法和二次根式的性质化简与计算，再合并同类二次根式即可．【详解】解：==．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则是解题的关键．17．（2022·上海·八年级期末）计算：．【答案】．【分析】先去括号和分母，再进行二次根式的加减运算即可．【详解】原式 ．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确化简二次根式是计算本题的关键．18．（2022·上海·八年级期末）计算：．【答案】5【分析】先逐项化简，再算加减即可．【详解】解：原式===5．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则以及零指数幂、立方根的意义是解答本题的关键．19．（2022·上海·八年级期末）计算：．【答案】【分析】由平方差公式、以及积的乘方的逆运算进行化简，即可求出答案．【详解】解：，=，=，=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握平方差公式、以及积的乘方的逆运算进行化简．20．（2022·上海·八年级期末）解不等式：【答案】【分析】根据解不等式的步骤解不等式即可．【详解】解：去括号，得，移项、合并同类项，得， 系数化为1，得，即．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法和分母有理化，本题的易错点是易忽略．21．（2021·上海·八年级期中）计算：(1)﹣+（3﹣）（1+）(2)3÷（3﹣2）【答案】(1)-5，(2)-6【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后化简后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．(1)解：原式=4﹣（4+4+3）+（-1）•=4﹣7﹣4+3﹣1=﹣5(2)原式=6÷（﹣2）=6÷（﹣）=﹣6．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．22．（2022·上海·八年级期末）已知x=，y=，且19x2+123xy+19y2=1985．试求正整数n．【答案】2试题分析：首先化简x与y，可得：x=（）2=2n+1-2，y=2n+1+2，所以x+y=4n+2，xy=1；将所得结果看作整体代入方程，化简即可求得．试题解析：化简x与y得：x=（）2，y=（）2，∴x+y=4n+2，xy=1，∴将xy=1代入方程，化简得：x2+y2=98，∴（x+y）2=x2+y2+2xy=98+2×1=100，∴x+y=10．∴4n+2=10，解得n=2．23．（2022·上海·八年级期末）判断下面各式是否成立（1）            （2）        （3）探究：①你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想：②用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明【答案】都正确①②，证明见解析．【分析】（1）①利用已知即可得出命题正确，同理即可得出其他正确性，猜想可得出；②利用①的方法，可以得出规律，并加以证明即可．【详解】解：①上面三题都正确，，==；，==；，==；∴；②上面规律：，证明：=.【点睛】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键．24．（2022·上海·八年级期末）已知实数满足求代数式的值．【答案】【分析】首先化简已知条件的等式，得出，代入所求代数式中即可得解.【详解】解：由已知条件，等式可化为，即为解得 ，（舍去）将其代入，即得原式=，故答案为.【点睛】此题主要考查二次根式的化简求值，熟练运用即可解题.25．（2022·上海·八年级期末）先化简：，再求当时的值.【答案】xy；1【分析】分子中先提出公因式进行因式分解，分子分母约去公因式后再利用二次根式乘法进行化简，然后代入数值进行求解即可.【详解】===，当时，原式==1.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确确定运算顺序以及运算方法是解题的关键.26．（2022·上海·八年级期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．请你利用公式解答下列问题．（1）在中，已知，，，求的面积；（2）计算（1）中的边上的高．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解；（2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解．【详解】解：（1），所以，答：的面积是．（2）边上的高，答：边的高是．故答案为（1）；（2）．【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值．27．（2022·上海·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；(3)化简：．【答案】(1)，(2)28或12，(3)【分析】（1）根据完全平方公式展开，即可用m、n表示出a、b；（2）利用完全平方公式展开可得到，6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由分别计算即可；（3）令，两边平方并整理得，然后利用（1）中的结论化简得到，从而可求出t的值，即为原式化简的结果．(1)∵，∴，∴．故答案为：，；(2)∵，∴，6=2mn，∴mn=3．∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=3或m=3，n=1．当m=1，n=3时，；当m=3，n=1时，．∴a的值为28或12；(3)令，则∴．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．28．（2022·上海·八年级期末）阅读，并回答下列问题：公元3世纪，我国古代数学家刘徵就能利用近似公式得到的近似值.（1）他的算法是：先将看成，利用近似公式得到，再将看成，由近似公式得到___________≈______________；依次算法，所得的近似值会越来越精确.（2）按照上述取近似值的方法，当取近似值时，求近似公式中的和的值.【答案】（1）；（2）或 ；或【分析】根据近似公式计算出近似值的过程和方法计算的近似值和确定a和r的值.【详解】（1）根据近似公式可知：≈故答案为；（2）∵ ∴ ∴ ∴ 整理， 解得： 或 ∴或 故答案为或 ；或【点睛】本题考查二次根式的估算，审清题意，根据题目所给的近似公式计算是解题关键.29.（2019上外10月考26）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0．运用上述知识，解决下列问题：（1）如果，其中a、b为有理数，那么a＝　 　，b＝　 　；（2）如果，其中a、b为有理数，求a+2b的值．【答案】（1）；（2）；【解析】解：（1）因为中，（a-2）与（b+3）均是有理数，故根据结论“如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0”，可知：，所以；（2）整理得，∵a、b为有理数，故，解之得，所以.