沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第05讲一元二次方程的应用(3大考点)(原卷版+解析)

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第05讲一元二次方程的应用（3大考点）考点考向一、二次三项式在实数范围内因式分解1、二次三项式的因式分解（1）形如的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：．二、列一元二次方程解应用题 （1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；③传播、比赛问题：④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.三、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)考点精讲一、二次三项式在实数范围内因式分解1.在实数范围内不能分解因式的是（ ）A． B．C． D．2.方程的两个实数根是，则把这个二次三项式进行因式分解的结果是________________________．3.将在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ）A． B．C． D．4.若二次三项式在实数范围内可分解因式为，则一元二次方程的值分别为________________．5.在实数范围内分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）．6.在实数范围内分解因式：（1）； （2）．7.在实数范围内分解因式：（1）； （2）．8.在实数范围内分解因式：（1）； （2）；（3）．9.在实数范围内分解因式：（1）； （2）．二．由实际问题抽象出一元二次方程（共10小题）1．（2022春•静安区校级期中）某商品经过三次连续涨价，每件售价由原来的35元涨到了55元．设平均每次涨价的百分率为x，那么可得方程是 　 　．2．（2021秋•浦东新区期末）随着网络购物的兴起，增加了快递公司的业务量．一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件，若该公司每月投送的快递件数的平均增长率是x，由题意列出关于x的方程：　 　．3．（2022春•浦东新区校级期中）某服装店一月份营业额为10万元，一季度的营业额共48万元，若平均每月营业额的增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）A．10（1+x）2＝48 B．10（1+2x）＝48 C．10（1+3x）＝48 D．10[1+（1+x）+（1+x）2]＝484．（2022春•杨浦区校级期中）某企业的年产值从2006年的2亿元增长到2009年的7亿元，如果这三年的年平均增长率相同，均为x，那么可以列出方程为 　 　．5．（2022春•上海期中）某件商品连续两次降价后，零售价由原来的500元降为405元，设此商品平均每次降价的百分率为x，则根据题意列出的方程是 　 　．6．（2021秋•松江区期末）某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x．则由题意可列方程为（　　）A．300（1+x）2＝2100 B．300+300（1+x）2＝2100 C．300（1+x）+300（1+x）2＝2100 D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝21007．（2022春•长宁区校级期中）某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x，那么可列方程是 　 　．8．（2021秋•普陀区期末）如图，阴影部分是一块长方形的草坪，草坪的长是8米，宽是5米，在草坪的四周准备修建等宽的道路，道路和草坪的总面积为70平方米．如果设道路的宽为x米，那么根据题意可列方程为 　 　．9．（2022•黄浦区二模）一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二，三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元，如果设这辆车第二、三年的年折旧率为x，那么根据题意，列出的方程为　 　．10．（2022春•嘉定区校级期中）某超市去年12月份的销售额为100万元，今年2月份的销售额为121万元．若去年12月份到今年2月份销售额的增长百分率x相同，则根据题意可列方程　 　．三．一元二次方程的应用（共9小题）11．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 　 　．12．（2021秋•徐汇区校级期末）某商品由于连续两次降低成本，使成本比原来降低了36%，则平均每次降低成本 　 　（填百分数）．13．（2022春•浦东新区校级期中）某商品经过两次涨价后，价格由原来的64元增至100元，如果每次商品价格的增长率相同，那么这个增长率是　 　．14．（2022•嘉定区校级模拟）某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是　 　．15．（2022春•浦东新区校级期中）一件衬衫原价200元，经过连续两次降价后售价为162元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为　 　．16．（2022春•闵行区期末）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息如表：（1）每台A型空气净化器的销售利润是 　 　元；每台B型空气净化器的销售利润是 　 　元；（2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共80台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该商场销售完这80台空气净化器后的总利润最大，那么应该购进A型空气净化器 　 　台；B型空气净化器 　 　台．（3）已知A型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为300m2，室内墙高3m．该场地负责人计划购买7台空气净化器，每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，他至少要购买A型空气净化器多少台？17．（2022春•长宁区校级期中）某商店销售某种产品，平均每天可卖出30件，每件盈利50元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，经市场调查发现：如果这种产品每降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想半均每天在销售这种产品上盈利2000元，那么每件产品应降价多少元？18．（2021秋•徐汇区期末）某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加10%，11月份的营业额达到633.6万元，求9月份到11月份营业额的月平均增长率．19．（2022春•金山区校级期中）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．（1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是　 　吨；（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？巩固提升一、填空题1．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学八年级期中）某小组每人给他人送一张照片，全组共送出132张，那么这个小组共有___________人．2．（2022·上海市静安区教育学院附属学校八年级期中）某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的35元涨到了55元．设平均每次涨价的百分率为x，那么可得方程是__________．3．（2022·上海·八年级期末）在美丽乡村建设中，某村2017年新增绿化面积为20000平方米，计划到2019年新增绿化面积要达到28800平方米．如果每年新增绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是________．4．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）某城市楼盘计划以每平方米12000元的均价对外销售，由于新政调控，房产商对价格两次下调后，最终以每平方米9800元的均价开盘销售.设每次下调的百分率相同且记为x，根据题意可以列出方程__.5．（2022·上海·八年级开学考试）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___．6．（2022·上海·八年级专题练习）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 __队参赛．二、解答题7.在实数范围内分解因式：（1）； （2）；（3）．8.二次三项式，当a取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）能分解成两个相同的因式；（3）不能因式分解 ．9．（2022·上海·八年级期中）一张画片长20厘米、宽16厘米，要在画片的外面镶上一条同样宽的金色纸条，使金色纸条的面积是画片面积的，求金色纸条的宽．10．（2022·上海·八年级专题练习）某公司市场营销部的某营销员的个人月收入与该营销员每月的销售量的关系如表格所示．根据以上表格提供的信息，解答下列问题：如果两个月内该营销员的销售量从2万件猛增到5万件，月收入两个月大幅度增长，且连续两个月的月收入的增长率是相同的，试求这个增长率（取1.41）．11．（2022·上海·八年级期末）某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加10%，11月份的营业额达到633.6万元，求9月份到11月份营业额的月平均增长率．12．（2022·上海·八年级期中）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？13．（2022·上海·八年级专题练习）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．    （1）若参加聚会的人数为6，则共握手 次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手 次；    （2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；    （3）小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A、B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．14．（2022·上海·八年级期中）劳技课上某小组的同学们要用40厘米长的铝合金材料加工成长方形的框架．分别在下列条件下，求相邻两边的长．(1)面积为36平方厘米；(2)面积为100平方厘米；(3)面积为120平方厘米．15．（2022·上海·八年级专题练习）某产品5月份时每件200元，在6、7月进行了两次提价，且每次提价的百分率相同，此时售价为288元，后因产品销售问题，8月选择降价，降价的百分率与之前每次提价的百分率相同，求8月份该产品的售价？16．（2022·上海·八年级专题练习）如图，某农场有一道长16米的围墙，计划用40米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的长方形养鸡场，为了方便饲养又用围栏隔出一个储物间，在墙的对面开了两个1米宽的门，求围成长方形养鸡场宽AB的长度．17．（2022·上海·八年级期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可以卖出（350﹣10a）件；但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，如果商店计划要赚400元，那么每件商品售价是多少元？18．（2022·上海·八年级专题练习）每年的3月8日是国际劳动妇女节，是世界各国妇女争取和平、平等、发展的节日，沙坪坝某商店抓住这一机会，将A、B两种巧克力进行降价促销活动，在这一天前来购买这两种巧克力的顾客共有400名，每名顾客均购买了一盒巧克力，其中A、B两种的巧克力的销售单价分别为90元和50元．(1)若选择购买B种巧克力的人数不超过购买A种巧克力数的0.6倍．求至少有多少人选择购买A种巧克力？(2)“七夕”节是中国的情人节，该商店估计当天购买巧克力的人会比较多，于是提高了A种巧克力的售价，结果发现“七夕”节当天前来购买巧克力的顾客人数出现了下降，经统计发现与（1）问中选择A种巧克力的人数最少时相比，A种巧克力每上涨3元，购买A种巧克力的人数会下降5人，同时购买B种巧克力的人数也下降3人，但是B种巧克力的售价没变，最终“七夕”节期间两种巧克力的总销售额与（1）问中选择A种巧克力的顾客最少时的两种巧克力的总销售额持平，求“七夕”节当天A种巧克力的售价．19．（2022·上海·八年级专题练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？A型销售数量（台）B型销售数量（台）总利润（元）51025001052750个人月收入（元）16002400320040004800…每月销售量（万件）12345…第05讲一元二次方程的应用（3大考点）考点考向一、二次三项式在实数范围内因式分解1、二次三项式的因式分解（1）形如的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：．二、列一元二次方程解应用题 （1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；③传播、比赛问题：④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.三、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)考点精讲一、二次三项式在实数范围内因式分解1.在实数范围内不能分解因式的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式与 0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式， A：；B：； C：；D：； 只有C选项小于0 ，故选C．【总结】考查二次三项式是否可因式分解，判断方程是否有实数根即可．2.方程的两个实数根是，则把这个二次三项式进行因式分解的结果是________________________．【答案】．【解析】，即得该式可分解为 ．【总结】考查二次三项式的因式分解，方程有实数根的前提下进行分解．3.将在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】关于的一元二次方程的根为，， 由此对应的二次三项式分解为， 即为，故选C．【总结】考查二次三项式的因式分解，当做方程进行解题即可．4.若二次三项式在实数范围内可分解因式为，则一元二次方程的值分别为________________．【答案】，【解析】，∴，．【总结】考查二次三项式的因式分解，也可以利用韦达定理进行求解．5.在实数范围内分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）； （4）．【解析】（1）原式；原式，令， 解得：，，即得；原式；原式．【总结】考查二次三项式的因式分解，十字相乘法即可，在实数范围内可分解为．6.在实数范围内分解因式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）令，解得：，， 即该式可分解为； （2）令，解得：，， 即该式可分解为．【总结】考查二次项系数为1的二次三项式的因式分解，即为．7.在实数范围内分解因式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）令，解得：，， 即该式可分解为； （2）令，解得：，， 即该式可分解为．【总结】考查二次三项式的因式分解，．8.在实数范围内分解因式：（1）； （2）；（3）．【难度】★★【答案】（1）；（2）； （3）．【解析】（1）令，该方程即为，解得：，， ∴该式可分解为；令，解得：，，∴该式可分解为； （3）令，该方程即为，解得：，， ∴该式可分解为．【总结】考虑分解因式中整体思想，利用换元灵活变化应用．9.在实数范围内分解因式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原式； （2）原式为．【总结】考查分解因式中的整体思想，注意分解要彻底．二．由实际问题抽象出一元二次方程（共10小题）1．（2022春•静安区校级期中）某商品经过三次连续涨价，每件售价由原来的35元涨到了55元．设平均每次涨价的百分率为x，那么可得方程是 　35（1+x）3＝55　．【分析】设平均每次涨价的百分比为x，根据原价为35元，表示出第一次涨价后的价钱为35（1+x）元，然后再根据价钱为35（1+x）元，表示出第二次涨价的价钱为35（1+x）2元，根据两次涨价后的价钱为55元，列出关于x的方程．【解答】解：设平均每次涨价的百分比为x，那么可列方程：35（1+x）3＝55．故答案为：35（1+x）3＝55．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握平均增长率问题一般情况下等量关系：设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为2，增长后的量为b，则有表达式a（1+x）2＝b是解决问题的关键．2．（2021秋•浦东新区期末）随着网络购物的兴起，增加了快递公司的业务量．一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件，若该公司每月投送的快递件数的平均增长率是x，由题意列出关于x的方程：　20（1+x）2＝24.2　．【分析】利用11月份完成投送的快递件数＝9月份完成投送的快递件数×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：20（1+x）2＝24.2．故答案为：20（1+x）2＝24.2．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2022春•浦东新区校级期中）某服装店一月份营业额为10万元，一季度的营业额共48万元，若平均每月营业额的增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）A．10（1+x）2＝48 B．10（1+2x）＝48 C．10（1+3x）＝48 D．10[1+（1+x）+（1+x）2]＝48【分析】可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额×（1+增长率）＝三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝48，把相应数值代入即可求解．【解答】解：二月份的营业额为10（1+x），三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加x，为10（1+x）×（1+x），则列出的方程是10+10（1+x）+10（1+x）2＝48，即：10[1+（1+x）+（1+x）2]＝48．故选：D．【点评】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键；注意本题的等量关系为3个月的营业额之和．4．（2022春•杨浦区校级期中）某企业的年产值从2006年的2亿元增长到2009年的7亿元，如果这三年的年平均增长率相同，均为x，那么可以列出方程为 　2（1+x）3＝7　．【分析】若设平均每年的增长率为x，则2007年的产值是2（1+x），2008年在2007年的基础上，产值是2（1+x）（1+x）根据2009年产值是7亿元，即可列方程求解．【解答】解：设平均每年的增长率为x，由题意得，2007年的产值为2（1+x），2008年的产值为：2（1+x）2．2009年的产值为：2（1+x）3＝7．故答案为：2（1+x）3＝7．【点评】此题主要考查一元二次方程应用中的增长率问题．解此类题目常常要先列出前一年量，再根据题意列出所求年份的产量．5．（2022春•上海期中）某件商品连续两次降价后，零售价由原来的500元降为405元，设此商品平均每次降价的百分率为x，则根据题意列出的方程是 　500（1﹣x）2＝405　．【分析】设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后售价为500（1﹣x），第二次降价后售价为500（1﹣x）2，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可．【解答】解：根据题意得500（1﹣x）2＝405．故答案为：500（1﹣x）2＝405．【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，要注意题意指明的是降价，应该是（1﹣x）而不是（1+x）．6．（2021秋•松江区期末）某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x．则由题意可列方程为（　　）A．300（1+x）2＝2100 B．300+300（1+x）2＝2100 C．300（1+x）+300（1+x）2＝2100 D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100【分析】首先表示出各年栽种果树棵数，进而得出方程即可．【解答】解：设这个百分数为x，根据题意得出：300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100，故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，分别表示出各年的栽种数量是解题关键．7．（2022春•长宁区校级期中）某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x，那么可列方程是 　100（1+x）2＝200．　．【分析】设平均每月的增长率为x，根据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，分别表示出11、12月的营业额，即可列出方程．【解答】解：设平均每月的增长率为x，根据题意可得：100（1+x）2＝200．故答案为：100（1+x）2＝200．【点评】本题考查的是一个增长率问题，关键是知道10月份的钱数和增长两个月后12月份的钱数，列出方程．8．（2021秋•普陀区期末）如图，阴影部分是一块长方形的草坪，草坪的长是8米，宽是5米，在草坪的四周准备修建等宽的道路，道路和草坪的总面积为70平方米．如果设道路的宽为x米，那么根据题意可列方程为 　（8+2x）（5+2x）＝70　．【分析】设道路的宽为x米，利用“道路和草坪的总面积为70平方米”作为相等关系可列方程（8+2x）（5+2x）＝70．【解答】解：设道路的宽为x米，根据题意得（8+2x）（5+2x）＝70．故答案是：（8+2x）（5+2x）＝70．【点评】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．9．（2022•黄浦区二模）一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二，三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元，如果设这辆车第二、三年的年折旧率为x，那么根据题意，列出的方程为　20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56　．【分析】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为20（1﹣20%）（1﹣x）元，第三年折旧后的而价格为20（1﹣20%）（1﹣x）2元，与第三年折旧后的价格为11.56万元建立方程．【解答】解：设这辆车第二、三年的年折旧率为x，由题意，得20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．故答案是：20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．【点评】一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为11.56万元建立方程是关键．10．（2022春•嘉定区校级期中）某超市去年12月份的销售额为100万元，今年2月份的销售额为121万元．若去年12月份到今年2月份销售额的增长百分率x相同，则根据题意可列方程　100（1+x）2＝121　．【分析】设这两个月平均每月增长的百分率是x，12月份是100万元，1月份是：100（1+x），2月份是：100（1+x）（1+x），由此列方程求解．【解答】解：设这两个月平均每月增长的百分率是x，依题意．得100（1+x）2＝121，故答案为：100（1+x）2＝121．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解此类题目时常常要先解出前一个月份的销售额，再列出所求月份的销售额的方程，令其等于已知的条件即可．三．一元二次方程的应用（共9小题）11．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 　20%　．【分析】设平均每月的增长率为x，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答．【解答】解：设平均每月的增长率为x，由题意得25（1+x）2＝36，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）所以平均每月的增长率为20%．故答案为：20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．12．（2021秋•徐汇区校级期末）某商品由于连续两次降低成本，使成本比原来降低了36%，则平均每次降低成本 　20%　（填百分数）．【分析】利用等量关系成本×（1﹣降低率）2＝1﹣36%，设出未知数，把相关数值代入即可求解．【解答】解：设原来的成本为1，平均每次降低x，由题意得：（1﹣x）2＝1﹣36%，解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意，舍去），答：平均每次降低成本的20%．故答案为：20%．【点评】本题考查一元二次方程的实际运用，掌握平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b是解决本题的关键．13．（2022春•浦东新区校级期中）某商品经过两次涨价后，价格由原来的64元增至100元，如果每次商品价格的增长率相同，那么这个增长率是　25%　．【分析】设这个增长率为x，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这个增长率为x，依题意，得：64（1+x）2＝100，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．故答案为：25%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．（2022•嘉定区校级模拟）某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是　20%　．【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为x，根据题意即可列出方程．【解答】解：设平均增长率为x，根据题意可列出方程为：2000（1+x）2＝2880，（1+x）2＝1.44．1+x＝±1.2．所以x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）．故x＝0.2＝20%．即：这个增长率为20%．故答案是：20%．【点评】此题考查了一元二次方程的应用．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a（1+x）2＝b（a＜b）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a（1﹣x）2＝b（a＞b）．15．（2022春•浦东新区校级期中）一件衬衫原价200元，经过连续两次降价后售价为162元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为　10%　．【分析】解答此题利用的数量关系是：衬衫原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2＝现在价格，设出未知数，列方程解答即可．【解答】解：设这种衬衫平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，200×（1﹣x）2＝162，解得x1＝0.1，x2＝﹣1.9（不合题意，舍去）；答：这种衬衫平均每次降价的百分率为10%．故答案为：10%．【点评】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，此题列方程得依据是：衬衫原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2＝现在价格．16．（2022春•闵行区期末）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息如表：（1）每台A型空气净化器的销售利润是 　200　元；每台B型空气净化器的销售利润是 　150　元；（2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共80台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该商场销售完这80台空气净化器后的总利润最大，那么应该购进A型空气净化器 　26　台；B型空气净化器 　54　台．（3）已知A型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为300m2，室内墙高3m．该场地负责人计划购买7台空气净化器，每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，他至少要购买A型空气净化器多少台？【分析】（1）根据题意列方程组求解；（2）根据题意列函数关系式，再利用函数的性质求最值；（3）根据题意列不等式求解．【解答】解：（1）设每台A型空气净化器的销售利润是x元，每台B型空气净化器的销售利润是 y元，根据题意得：，解得：故答案为：200，150；（2）设购进a台A型空气净化器，总利润为w元，则：w＝200a+150（80﹣a）＝50a+12000，∵80﹣a≥2a，∴a≤26，∴a的最大值为：26，∵w随a的增大而增大，∴当a＝26时，w有最大值，此时．80﹣a＝54，故答案为：26，54；（3）设要购买A型空气净化器a台，由题意得：150a+100（7﹣a）≥300×3，解得：a≥4，所以a的最小值为：4，答：至少要购买A型空气净化器4台．【点评】本题考查了方程组的应用，一次函数的应用及不等式的应用，理解题意是解题的关键．17．（2022春•长宁区校级期中）某商店销售某种产品，平均每天可卖出30件，每件盈利50元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，经市场调查发现：如果这种产品每降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想半均每天在销售这种产品上盈利2000元，那么每件产品应降价多少元？【分析】设每件产品应降价x元，根据每天在销售这种产品上盈利2000元，得（50﹣x）（30+2x）＝2000，解方程求出x，再根据尽快减少库存，即可确定答案．【解答】解：设每件产品应降价x元，根据题意，得（50﹣x）（30+2x）＝2000，解方程，得x1＝10（不合题意，舍去），x2＝25，答：每件产品应降价25元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用题，理解题意并根据题意建立方程是解题的关键．18．（2021秋•徐汇区期末）某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加10%，11月份的营业额达到633.6万元，求9月份到11月份营业额的月平均增长率．【分析】设9月份到11月份营业额的月平均增长率为x，利用11月份的营业额＝9月份的营业额×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设9月份到11月份营业额的月平均增长率为x，依题意得：400（1+10%）（1+x）2＝633.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．答：9月份到11月份营业额的月平均增长率为20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19．（2022春•金山区校级期中）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．（1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是　60　吨；（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨．（2）设当售价定为每吨x元时，根据当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，且该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元作为等量关系可列出方程求解．【解答】解：（1）45+×7.5＝60；（2分）（2）设当售价定为每吨x元时，由题意，可列方程（x﹣100）（45+×7.5）＝9000．（2分）化简得x2﹣420x+44000＝0．解得x1＝200，x2＝220．（6分）当售价定为每吨200元时，销量更大，所以售价应定为每吨200元．【点评】本题考查理解题意能力，关键是找出降价10元，却多销售7.5吨的关系，从而列方程求解．巩固提升一、填空题1．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学八年级期中）某小组每人给他人送一张照片，全组共送出132张，那么这个小组共有___________人．【答案】12【分析】先找出题目中的等量关系为：人数×（人数-1）=132，通过列一元二次方程计算求得正数解即可．【详解】解：设这个小组共有x人．x（x-1）=132，解得x1=12，x2=-11（不合题意，舍去）．故答案为: 12．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，得到照片总张数的等量关系是解决本题的关键，重点是理解2个人之间要互送出2张照片．2．（2022·上海市静安区教育学院附属学校八年级期中）某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的35元涨到了55元．设平均每次涨价的百分率为x，那么可得方程是__________．【答案】【分析】设平均每次涨价的百分率为x，根据“商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的35元涨到了55元．”列出方程，即可求解．【详解】解：设平均每次涨价的百分率为x，根据题意得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．3．（2022·上海·八年级期末）在美丽乡村建设中，某村2017年新增绿化面积为20000平方米，计划到2019年新增绿化面积要达到28800平方米．如果每年新增绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是________．【答案】20%【分析】设这个增长率为x，根据“2017年新增绿化面积为20000平方米，计划到2019年新增绿化面积要达到28800平方米”列出方程，即可求解．【详解】解：设这个增长率为x，由题意得20000(1+x)2=28800，即(1+x)2=1.44，∴1+x=±1.2，∴x1=0.2，x2=-2.2（舍去），故x=0.2=20%．答∶ 这个增长率是20%．故答案是：20%【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．4．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）某城市楼盘计划以每平方米12000元的均价对外销售，由于新政调控，房产商对价格两次下调后，最终以每平方米9800元的均价开盘销售.设每次下调的百分率相同且记为x，根据题意可以列出方程__.【答案】12000（1-x）2=9800【分析】设出平均每次下调的百分率为x，利用“楼盘对外销售每平方米的均价×（1-每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格”列方程即可．【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，12000（1-x）2=9800．故答案为：12000（1-x）2=9800．【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，发现数量关系“楼盘对外销售每平方米的均价×（1-每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格”是解答本题的关键．5．（2022·上海·八年级开学考试）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___．【答案】84【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可．【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4解得：x1＝8，x2＝1.5（舍），∴x﹣4＝4，∴10x+（x﹣4）＝84．答：这个两位数为84．故答案为：84【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．6．（2022·上海·八年级专题练习）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 __队参赛．【答案】8【分析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，则每个队参加（x－1）场比赛，共有场比赛，可列出一个一元二次方程，再进行求解即可得出答案.【详解】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，∴共7×4＝28场比赛．设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为：＝28．解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去），所以比赛组织者应邀请8队参赛．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了一元二次方程，解此题的要点在于可以把实际问题转换成数学问题．二、解答题7.在实数范围内分解因式：（1）； （2）；（3）．【答案】（1）；（2）； （3）．【解析】（1）令，解得：，， 则原式可分解为；（2）令，解得：，，则原式可分解为；令，该方程即为，解得：，，则原式可分解为．【总结】主元法的思想，把一个字母当做未知数，另一个当做常数．8.二次三项式，当a取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）能分解成两个相同的因式；（3）不能因式分解 ．【答案】（1）且；（2）；（3）．【解析】原式是二次三项是，可知二次项系数，得：， 令，得，（1）原式可分解因式，则有，得：且；（2）原式可分解为两个相同的式子，则有，得：；（3）原式不能分解因式，则有，得：．【总结】考查二次三项式的因式分解与方程根的情况之间的关系，注意区分开各种情形之间的区别和联系．9．（2022·上海·八年级期中）一张画片长20厘米、宽16厘米，要在画片的外面镶上一条同样宽的金色纸条，使金色纸条的面积是画片面积的，求金色纸条的宽．【答案】1厘米【分析】设金色纸边的宽度为x厘米，则挂图的长为（20＋2x）厘米，宽就为（16＋2x）厘米，根据题目条件列出方程即可．【详解】解：设金色纸条的宽为x厘米根据题意可列方程（20＋2x）（16＋2x）＝20×16×（1＋），整理得x2＋18x﹣19＝0，解得x1＝1，x2＝﹣19，但x2＝﹣19不符合题意，舍去，答：金色纸条的宽为1厘米．【点睛】本题考查了根据矩形的面积公式列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是正确表示出新图形的边长．10．（2022·上海·八年级专题练习）某公司市场营销部的某营销员的个人月收入与该营销员每月的销售量的关系如表格所示．根据以上表格提供的信息，解答下列问题：如果两个月内该营销员的销售量从2万件猛增到5万件，月收入两个月大幅度增长，且连续两个月的月收入的增长率是相同的，试求这个增长率（取1.41）．【答案】连续两个月的月收入的增长率约为41%【分析】设连续两个月的月收入的增长率为x，利用两个月后的月收入＝月收入×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出这个增长率约为41%．【详解】解：设连续两个月的月收入的增长率为x，依题意得：2400（1+x）2＝4800，解得：x1＝≈1.41﹣1＝0.41＝41%，x2＝≈﹣1.41﹣1＝﹣2.41（不合题意，舍去）．答：连续两个月的月收入的增长率约为41%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．（2022·上海·八年级期末）某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加10%，11月份的营业额达到633.6万元，求9月份到11月份营业额的月平均增长率．【答案】20%【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设9月份到11月份营业额的月平均增长率为x，则10月份的营业额是400（1+10%）（1+x），11月份的营业额是400（1+10%）（1+x）2，据此即可列方程求解．【详解】解：设9月份到11月份营业额的月平均增长率为x，依题意得：400（1+10%）（1+x）2＝633.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．答：9月份到11月份营业额的月平均增长率为20%．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用--增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），根据题意找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．12．（2022·上海·八年级期中）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？【答案】20棵【分析】每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，所以多种x棵树每棵桃树的产量就会减少2x个（即是平均产1000﹣2x个），桃树的总共有(100＋x)棵，所以总产量是（100＋x）（1000﹣2x）个，要使产量增加15．2%，达到100×1000×（1＋15．2%）个．【详解】解：设应多种x棵桃树，则由题意可得：（100＋x）（1000﹣2x）＝100×1000×（1＋15．2%）整理，得：x2﹣400x＋7600＝0，即（x﹣20）（x﹣380）＝0，解得：x1＝20，x2＝380，      因为所种桃树要少于原有桃树，所以x＝380不符合题意，应舍去，取x＝20，答：应多种20棵桃树．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找出桃树的增加量与桃子总产量的关系．13．（2022·上海·八年级专题练习）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．    （1）若参加聚会的人数为6，则共握手 次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手 次；    （2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；    （3）小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A、B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．【答案】（1）15，；（2）参加聚会的人数为9人；（3）线段数为【分析】（1）根据题意，每个人要与他自己以外的人握手一次，当两人只握手一次，所以握手次数为：×聚会人数×（聚会人数－1），故可进行计算求解；（2）根据（1）中的公式列一元二次方程，求解即可；（3）线段AB上共有m个点，相当于聚会人数有个，则根据公式列方程求解即可．【详解】解：（1）根据题意，每个人与他自己以外的人握手一次，当两人握手一次，总的握手次数为：×聚会人数×（聚会人数－1）参加聚会的人数为6，则共握手次，当聚会人数为n时，共握手次，故答案为15，；（2）由题意得：，∴解得：，（不合题意，舍去），答：参加聚会的人数为9人．（3）由线段AB上共有m个点（不含端点A、B），则相当于聚会人数为m+2，∴线段数为．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行求解．14．（2022·上海·八年级期中）劳技课上某小组的同学们要用40厘米长的铝合金材料加工成长方形的框架．分别在下列条件下，求相邻两边的长．(1)面积为36平方厘米；(2)面积为100平方厘米；(3)面积为120平方厘米．【答案】(1)2厘米，18厘米(2)均为10厘米(3)不存在【分析】设长方形框架的一边长为x厘米，则另一边长为（20﹣x）厘米．（1）根据矩形的面积公式得到方程x（20﹣x）＝36，通过解该方程求得x的值，然后求（20﹣x）的值即可；（2）根据矩形的面积公式得到方程x（20﹣x）＝100，通过解该方程求得x的值，然后求（20﹣x）的值即可；（3）根据矩形的面积公式得到方程x（20﹣x）＝120，结合根的判别式进行解答．(1)设长方形框架的一边长为x厘米，则另一边长为（20﹣x）厘米．根据题意，得方程x（20﹣x）＝36，整理，得x2﹣20x＋36＝0，解得x1＝18，x2＝2，经检验，x1、x2都符合实际意义．当x＝18时，20﹣x＝2；当x＝2时，20﹣x＝18．答：长方形的邻边长为2厘米，18厘米；(2)设长方形框架的一边长为x厘米，则另一边长为（20﹣x）厘米．根据题意，得方程x（20﹣x）＝100，整理，得x2﹣20x＋100＝0，解得x1＝x2＝10，经检验，x＝10符合实际意义．当x＝10时，20﹣x＝10，答：长方形的邻边长均为10厘米；(3)设长方形框架的一边长为x厘米，则另一边长为（20﹣x）厘米．根据题意，得方程x（20﹣x）＝120，整理，得x2﹣20x＋120＝0，∵∆＝400﹣480＝﹣80＜0，∴此方程无实数根．答：用40厘米长的材料加工成长方形框架，面积不可能120平方厘米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．15．（2022·上海·八年级专题练习）某产品5月份时每件200元，在6、7月进行了两次提价，且每次提价的百分率相同，此时售价为288元，后因产品销售问题，8月选择降价，降价的百分率与之前每次提价的百分率相同，求8月份该产品的售价？【答案】230.4元【分析】设每次提价的百分率为x，由连续两次提价，且每次提价的百分率相同，此时售价为288元，列一元二次方程200（1﹣x）2＝288，再由直接开平方解答．【详解】解：设每次提价的百分率为x，依题意得：200（1﹣x）2＝288，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝2.2（不合题意，舍去），∴288×（1﹣20%）＝230.4（元）．答：8月份该产品的售价为230.4元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．16．（2022·上海·八年级专题练习）如图，某农场有一道长16米的围墙，计划用40米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的长方形养鸡场，为了方便饲养又用围栏隔出一个储物间，在墙的对面开了两个1米宽的门，求围成长方形养鸡场宽AB的长度．【答案】10米【分析】设长方形养鸡场AB边的长度为x米，则BC边的长度为（42﹣3x）米，根据长方形面积公式列方程得x（42﹣3x）＝120，解方程得x1＝4，x2＝10，根据围墙的长为16米得到关于x的不等式，确定x的取值范围，进而确定x的值，问题得解．【详解】解：设长方形养鸡场AB边的长度为x米，则BC边的长度为（42﹣3x）米，由题意得：x（42﹣3x）＝120，整理，得：x1＝4，x2＝10．∵42﹣3x≤16，∴x≥，∴x＝10．答：围成长方形养鸡场AB边的长度为10米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键，注意要根据墙长对x的值进行取舍．17．（2022·上海·八年级期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可以卖出（350﹣10a）件；但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，如果商店计划要赚400元，那么每件商品售价是多少元？【答案】25元【分析】本题的等量关系是商品的单件利润＝售价﹣进价．然后根据商品的单价利润×销售的件数＝总利润，设商品的售价为a，列出方程求出未知数的值后，根据“物价局限定每次商品加价不能超过进价的20%”将不合题意的舍去，进而求出卖的商品的件数．【详解】解：设每件商品售价是x元，由题意，得（x﹣21）（350﹣10x）＝400；化简，得x2﹣56x＋775＝0；解得 x1＝25，x2＝31；又21×（1＋0.2）＝25.2，∴x＝31不合题意，舍去．答：每件商品售价是25元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．18．（2022·上海·八年级专题练习）每年的3月8日是国际劳动妇女节，是世界各国妇女争取和平、平等、发展的节日，沙坪坝某商店抓住这一机会，将A、B两种巧克力进行降价促销活动，在这一天前来购买这两种巧克力的顾客共有400名，每名顾客均购买了一盒巧克力，其中A、B两种的巧克力的销售单价分别为90元和50元．(1)若选择购买B种巧克力的人数不超过购买A种巧克力数的0.6倍．求至少有多少人选择购买A种巧克力？(2)“七夕”节是中国的情人节，该商店估计当天购买巧克力的人会比较多，于是提高了A种巧克力的售价，结果发现“七夕”节当天前来购买巧克力的顾客人数出现了下降，经统计发现与（1）问中选择A种巧克力的人数最少时相比，A种巧克力每上涨3元，购买A种巧克力的人数会下降5人，同时购买B种巧克力的人数也下降3人，但是B种巧克力的售价没变，最终“七夕”节期间两种巧克力的总销售额与（1）问中选择A种巧克力的顾客最少时的两种巧克力的总销售额持平，求“七夕”节当天A种巧克力的售价．【答案】(1)250人(2)120元【分析】（1）设购买A、B两种巧克力的人数分别为x、y，则y＝400﹣x≤0.6x，即可求解；（2）“七夕”节当天A种巧克力涨价m元，由题意得：购买甲乙巧克力的人数分别为250人、150人，则（250﹣）（90+m）+（150﹣）×50＝250×90+150×50，即可求解．(1)解：设购买A、B两种巧克力的人数分别为x、y，则，选择购买B种巧克力的人数不超过购买A种巧克力数的0.6倍，则y＝400﹣x≤0.6x，解得：x≥250，答：至少有250人选择购买A种巧克力；(2)解：“七夕”节当天A种巧克力涨价m元，由题意得：购买甲乙巧克力的人数分别为250人、150人，则（250﹣）（90+m）+（150﹣）×50＝250×90+150×50，解得：m＝30或0（不合题意，舍去），A种巧克力的售价为（元），答：“七夕”节当天A种巧克力的售价为120元．【点睛】本题考查利用方程与不等式解决实际应用题，根据利润＝单个的利润×销售总量建立函数关系式是解决问题的关键．19．（2022·上海·八年级专题练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？【答案】36元【分析】设每件衬衫应降价x元，根据平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，可列方程求解．【详解】解：设每件衬衫应降价x元，则销售量为（20+5x）件，每件利润为（44﹣x）元，依题意，得（20+5x）（44﹣x）＝1600，整理，得x2﹣40x+144＝0，解得x＝36或x＝4（为了减少库存，不符合题意舍去）．∴每件衬衫应降价36元，答：每件衬衫应降价36元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，关键是看到降价和销售量的关系，以利润作为等量关系列方程求解．A型销售数量（台）B型销售数量（台）总利润（元）51025001052750个人月收入（元）16002400320040004800…每月销售量（万件）12345…