沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第08讲反比例函数综合(2大考点)(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第08讲反比例函数综合(2大考点)(原卷版+解析)，共50页。
第08讲 反比例函数综合（2大考点）考点考向一、正反比例函数图像和性质考点精讲题型一：实际问题与反比例函数一、单选题1．（2022·上海·八年级开学考试）下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（   ）A．人的身高与年龄B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度C．正方形的面积与它的边长D．圆的周长与它的半径2．（2022·上海·八年级期末）已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（    ）A． B． C． D．二、解答题3．（2021·上海·八年级期中）某蓄水池的排水管道每小时排水8 ,6 h可将满池水全部排空．（1）蓄水池的容积是多少？（2）如果增加排水管道，使 每小时的排水量达到Q()，将满池水排空所需时间为t(h)，求Q与t之间的函数关系式．（3）如果准备在5h内将满池水排空，那第每小时排水量到少为多少？（4）已知排水管的最大排水量为每小时12 ，那么最少多长时间可将满池水全部排空？4．（2022·上海·八年级期末）为了预防流感，某学校在休息日用药熏消毒法对教室进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间t（h）成正比；药物释放完毕后，y与t之间的函数解析式为y=（a为常数），如图所示. 根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从释放药物开始，y与t之间的两个函数解析式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时，学生方可进入教室，那么药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能进入教室？5．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度（微克/毫升）与服药后时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当血液中药物浓度上升（）时，满足，下降时，y与x成反比．（1）直接写出a的取值，并求当时，y与x的函数表达式；（2）若血液中药物浓度不低于3微克/毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，请问研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？题型二：正反比例函数综合一、单选题1．（2022·上海·八年级开学考试）已知正比例函数和反比例函数在同一坐标系内的大致图像是(    )A．(1)或(3) B．(1)或(4) C．(2)或(3) D．(3)或(4)二、填空题2．（2022·上海·八年级期末）正比例函数的图像和反比例函数的图像相交于、两点，点在第二象限，点的横坐标为，作轴，垂足为，为坐标原点，. 若轴上有点，且，则点坐标为______三、解答题3．（2022·上海·八年级期末）已知点A(2,1)是正比例函数ykx(其中k0)和反比例函数y(其中t0)的图像在第一象限的交点，点B是这两个函数图像的另一个交点，点C是x轴上一点．（1）求这两个函数的解析式并直接写出点B的坐标；（2）求当ABC为等腰三角形时,点C的坐标．4．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与x+2成正比例，并且当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝13．求：y关于x的函数解析式．5．（2022·上海·八年级期末）如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线上有一动点C（m，n）, .过点A作轴垂线，垂足为B，过点C作轴垂线，垂足为D，联结OC．（1）求的值；（2）设的重合部分的面积为S，求S与m的函数关系；（3）联结AC，当第（2）问中S的值为1时，求的面积．6．（2022·上海浦东新·八年级期末）如图，在平面直角坐标系内，双曲线上有A，B两点，且与直线交于第一象限内的点A，点A的坐标为，点B的坐标为，过点B作y轴的平行线，交x轴于点C，交直线与点D．（1）求：点D的坐标；（2）求：的面积；（3）在x轴正半轴上是否存在点P，使是以OA为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P的坐标．7．（2022·上海·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中, 直线l∶与双曲线交于点．(1)求和值；(2)过轴的点作平行于轴的直线，分别于直线与双曲线交于点P、Q，求△OPQ面积；(3)根据图像，写出正比例函数值大于反比例函数值的的取值范围．8．（2022·上海·八年级期末）如图,已知直角坐标平面内的两点A(3,2),点B (6,0)过点B作Y轴的平行线交直线OA于点C（1）求直线OA所对应的函数解析式（2）若某一个反比例函数的图像经过点A,且交BC于点D,联结AD,求△ACD的面积.巩固提升一、单选题1．（2022·上海徐汇·八年级期末）如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为（3，-4），那么另一个交点的坐标为（   ）A．（-3，-4） B．（3，4） C．（−3，4） D．（-4，3）2．（2018·上海浦东新·八年级期末）已知矩形的面积为10，它的长y与宽x之间的关系用图象大致可以表示为（     ）.A． B． C． D．3．（2019·上海市南洋模范中学八年级阶段练习）甲乙两地相距100千米,某人开车从甲地到乙地,则他的平均速度y(千米/小时)与时间x(时)之间的关系用图像大致可表示为（     ）A． B． C． D．二、填空题4．（2022·上海·八年级期中）一次函数的图象与反比例函数相交于点和点，若，则x的取值范围是______．5．（2022·上海·上外附中八年级期末）正比例函数与反比例函数的一个交点为 ，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 的取值范围是_____________三、解答题6．（2022·上海·八年级期末）在平面直角坐标系中（如图），点为直线和双曲线的一个交点，(1)求、的值；(2)若点，在直线上有一点，使得，请求出点的坐标；(3)在双曲线是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在请说明理由．7．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）已知正比例函数y＝mx与反比例函数y＝交于点（3，2）和点（3a﹣1，2﹣b）．(1)求正比例函数和反比例函数的解析式．(2)求a、b的值．8．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy内，正比例函数y＝4x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象的公共点A的纵坐标为4(1)求点A的坐标和反比例函数的解析式；(2)正比例函数y＝4x的图象上有一点B，AB＝OA（点B不与点O重合），过点B作直线BC∥y轴交双曲线y＝于点C，求△ABC的面积．9．（2020·上海市浦东模范中学八年级期末）已知点P(m，4)在反比例函数的图像上，正比例函数的图像经过点P和点Q(6，n)．(1)求正比例函数的解析式；(2)求P、Q两点之间的距离．(3)如果点M在y轴上，且MP＝MQ，求点M的坐标．10．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，﹣2）．(1)求a，n的值；(2)若双曲线的上点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．11．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）已知直线与双曲线交于、两点，且点的纵坐标为4，第一象限的双曲线上有一点，过点作轴交直线于点，点到的距离为2．(1)直接写出的值及点的坐标；(2)求线段的长；(3)如果在双曲线上一点，且满足的面积为9，求点的坐标．12．（2021·上海虹口·八年级期末）如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线（k＞0）交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2）．（1）求a和k的值；（2）求点B的坐标；（3）y轴上有一点C，联结BC，如果线段BC的垂直平分线恰好经过点A，求点C的坐标．13．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）．（1）求反比例函数解析式；（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标．正比例函数反比例函数定义形如的函数，其中k是比例系数形如的函数，其中k是比例系数定义域一切实数不等于零的一切实数图像经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线；双曲线，它有两支性质当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；y的值随x的值增大而增大； 当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；y的值随x的值增大而减小。当时，反比例函数的图像经过第一、三象限；在每一个象限内，y的值随x的值增大而减小； 当时，反比例函数的图像经过第二、四象限；在每一个象限内，y的值随x的值增大而增大。图像与两支无限接近坐标轴，但不相交.第08讲 反比例函数综合（2大考点）考点考向一、正反比例函数图像和性质考点精讲题型一：实际问题与反比例函数一、单选题1．（2022·上海·八年级开学考试）下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（   ）A．人的身高与年龄B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度C．正方形的面积与它的边长D．圆的周长与它的半径【答案】D【分析】根据正比例函数的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：、人的身高与年龄不成比例，故此选项不符合题意；、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意；、正方形的面积与它的边长的平方成正比例，故此选项不符合题意；、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握形如（ 为常数） 的函数叫正比例函数是解题的关键．2．（2022·上海·八年级期末）已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先写出三角形底边a上的高h与底边a之间的函数关系，再根据反比例函数的图象特点得出．【详解】解：已知三角形的面积s一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为S=ah，即；该函数是反比例函数，且2s＞0，h＞0；故其图象只在第一象限．故选D．【点睛】本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数的图象是双曲线，与坐标轴无交点，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．二、解答题3．（2021·上海·八年级期中）某蓄水池的排水管道每小时排水8 ,6 h可将满池水全部排空．（1）蓄水池的容积是多少？（2）如果增加排水管道，使 每小时的排水量达到Q()，将满池水排空所需时间为t(h)，求Q与t之间的函数关系式．（3）如果准备在5h内将满池水排空，那第每小时排水量到少为多少？（4）已知排水管的最大排水量为每小时12 ，那么最少多长时间可将满池水全部排空？【答案】（1）48（2）（3）9.6（4）最少需5h可将满池水全部排空【详解】解：(1)蓄水池的容积是：8×6=48()； (2)Q与t之间的关系式为；(3)∵ ，解不等式得,Q9.6，即每小时的排水量至少为9.6；(4)当Q=12时，由Q×t=48，得t=4，即最少用4h可将满池水全部排空.4．（2022·上海·八年级期末）为了预防流感，某学校在休息日用药熏消毒法对教室进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间t（h）成正比；药物释放完毕后，y与t之间的函数解析式为y=（a为常数），如图所示. 根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从释放药物开始，y与t之间的两个函数解析式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时，学生方可进入教室，那么药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能进入教室？【答案】(1)y＝t（0≤t≤） (2)6小时【详解】(1) 将点代入函数关系式, 解得, 有将代入, 得, 所以所求反比例函数关系式为;再将代入, 得,所以所求正比例函数关系式为.(2) 解不等式, 解得,所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室.5．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度（微克/毫升）与服药后时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当血液中药物浓度上升（）时，满足，下降时，y与x成反比．（1）直接写出a的取值，并求当时，y与x的函数表达式；（2）若血液中药物浓度不低于3微克/毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，请问研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？【答案】（1）3，；（2）抗菌新药可以作为有效药物投入生产，见解析【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；（2）把y＝3分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案．【详解】（1）由图象知，；∵当时，y与x成反比，∴设，由图象可知，当时，，∴；∴；（2）把分别代入和得，和，∵，∴抗菌新药可以作为有效药物投入生产．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用以及待定系数法求函数解析式，读懂题意是解题关键．题型二：正反比例函数综合一、单选题1．（2022·上海·八年级开学考试）已知正比例函数和反比例函数在同一坐标系内的大致图像是(    )A．(1)或(3) B．(1)或(4) C．(2)或(3) D．(3)或(4)【答案】B【详解】解：当k＞0时，正比例函数图象位于第一、三象限，反比例函数的图象位于二、四象限，故（4）正确；当k＜0时，正比例函数图象位于第二、四象限，反比例函数的图象位于一、三象限，故（1）正确．故选B．二、填空题2．（2022·上海·八年级期末）正比例函数的图像和反比例函数的图像相交于、两点，点在第二象限，点的横坐标为，作轴，垂足为，为坐标原点，. 若轴上有点，且，则点坐标为______.【答案】或【分析】利用正比例函数与反比例函数图像关于原点对称求得A与B的坐标，然后根据即可求得C的坐标【详解】设反比例函数为：，正比例函数为：∵二者图像关于原点对称∴A与B这两点亦关于原点对称如图通过图像关系可以得知：AD就是A的纵坐标y，而AD边的高就是A与B两点横坐标的距离2∴A的坐标为（﹣1,2），B的坐标为（1，﹣2）设C的坐标为（m，0）∵∴解得m=2∴C的坐标为（2,0）或（﹣2,0）【点睛】本题主要考查了反比例函数与正比例函数图像关于原点的对称性，掌握其对称性的特点以及合理的求出各点坐标是关键三、解答题3．（2022·上海·八年级期末）已知点A(2,1)是正比例函数ykx(其中k0)和反比例函数y(其中t0)的图像在第一象限的交点，点B是这两个函数图像的另一个交点，点C是x轴上一点．（1）求这两个函数的解析式并直接写出点B的坐标；（2）求当ABC为等腰三角形时,点C的坐标．【答案】（1），，；（2）【分析】（1）将点A坐标代入正比例函数ykx和反比例函数y中求解即可，联立两函数解析式可得点B坐标；（2）设的坐标为，由两点间距离公式可表示出线段AB、BC、AC长，再根据题意分，，情况列出关于x的方程，求解即可.【详解】（1）    将点A（2,1）代入ykx得，解得，将点A（2,1）代入y得，解得，所以正比例函数的解析式为，反比例函数解析式为，联立得 ，解得或，所以B点坐标为； （2）    设的坐标为，由两点间距离公式可得，，当ABC为等腰三角形时①    ，即，化简得，解得，所以C点坐标为或；②    ，即，化简得，解得，所以C点坐标为或；③    ，即，化简得，解得，此时点C的坐标为（0,0），点A、B、C在一条直线上，构不成等腰三角形.综合上述当ABC为等腰三角形时,点C的坐标可能为或或或.【点睛】本题考查了反比例函数与等腰三角形的综合，涉及了正比例与反比例函数的解析式、两点间的距离公式、等腰三角形的判定，确定等腰三角形时注意分类讨论，灵活利用待定系数法及两点间的距离公式是解题的关键，4．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与x+2成正比例，并且当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝13．求：y关于x的函数解析式．【答案】y＝+2x+4【分析】设y1＝，y2＝b（x+2），由y＝y1+y2，可得y＝+b（x+2），把x＝1，y＝3和x＝3，y＝13代入得出方程组，求出方程组的解即可．【详解】解：设y1＝，y2＝b（x+2），∵y＝y1+y2，∴y＝+b（x+2），把x＝1，y＝3和x＝3，y＝13代入得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式是：y＝+2x+4．【点睛】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的图象和性质，利用待定系数解答是解题的关键．5．（2022·上海·八年级期末）如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线上有一动点C（m，n）, .过点A作轴垂线，垂足为B，过点C作轴垂线，垂足为D，联结OC．（1）求的值；（2）设的重合部分的面积为S，求S与m的函数关系；（3）联结AC，当第（2）问中S的值为1时，求的面积．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由题意列出关于k的方程，求出k的值，即可解决问题．（2）借助函数解析式，运用字母m表示DE、OD的长度，即可解决问题．（3）首先求出m的值，求出△COD，△AOB的面积；求出梯形ABDC的面积，即可解决问题．【详解】（1）设A点的坐标为（4，）；由题意得：，解得：k=8，即k的值为8．（2）如图，设C点的坐标为C（m，n）．则n=m，即DE=m；而OD=m，∴S=OD•DE=m×m=m2，即S关于m的函数解析式是S=m2．（3）当S=1时，m2=1，解得m=2或-2（舍去），∵点C在函数y=的图象上，∴CD==4；由（1）知：OB=4，AB=2；BD=4-2=2；∴S梯形ABDC＝ (4+2)×2=6，S△AOB＝×4×2＝4，S△COD＝×2×4=4；∴S△AOC=S梯形ABDC+S△COD-S△AOB=6+4-4=6．【点睛】该题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题；解题的关键是数形结合，灵活运用方程、函数等知识来分析、判断、求解或证明．6．（2022·上海浦东新·八年级期末）如图，在平面直角坐标系内，双曲线上有A，B两点，且与直线交于第一象限内的点A，点A的坐标为，点B的坐标为，过点B作y轴的平行线，交x轴于点C，交直线与点D．（1）求：点D的坐标；（2）求：的面积；（3）在x轴正半轴上是否存在点P，使是以OA为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P的坐标．【答案】（1）点D坐标为；（2）；（3）存在，，．【分析】（1）根据点的坐标求得直线解析式，进而根据点的坐标代入反比例函数即可求得点的横坐标，进而根据的横坐标和的横坐标相等，代入直线解析式即可求得点的坐标；（2）联结AB、OB，过A作．根据题意可得点C坐标为，，,，根据即可求得；（3）根据等腰三角形的定义分类讨论，①当时，②当时，即可求得的坐标【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点，∴．∴直线OA函数解析式为．∵点在双曲线上，∴．∵过点B的直线CD平行于y轴，∴点C，点D的横坐标都是8．代入∴可得点D坐标为．（2）如图，联结AB、OB，过A作． 根据题意可得点C坐标为，，,，，，，．（3）由是以OA为腰的等腰三角形，①当时，即②当时,综上所述的坐标为或【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的性质，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．7．（2022·上海·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中, 直线l∶与双曲线交于点．(1)求和值；(2)过轴的点作平行于轴的直线，分别于直线与双曲线交于点P、Q，求△OPQ面积；(3)根据图像，写出正比例函数值大于反比例函数值的的取值范围．【答案】(1)m=4，k=4；(2)16；(3)或【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）△OPQ面积=PQ•OD=××3=16；（3）观察函数图象即可求解．（1）将点C的坐标代入反比例函数表达式得：m==4，故点C（1，4），将点C的坐标代入直线l的表达式得，4=k×1，解得k=4，故直线的表达式为y=4x，答：m和k值分别为4，4；（2）当x=3时，y=4x=12，即点P（3，12），当x=3时，y==，∴故点Q（3，），则PQ=12-=，∴△OPQ面积=PQ•OD=××3=16；；（3）根据函数的对称性知，两个函数在第三象限的交点坐标为（-1，-4），观察函数图象知，正比例函数值大于反比例函数值的x的取值范围为x＞1或-1＜x＜0．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．8．（2022·上海·八年级期末）如图,已知直角坐标平面内的两点A(3,2),点B (6,0)过点B作Y轴的平行线交直线OA于点C（1）求直线OA所对应的函数解析式（2）若某一个反比例函数的图像经过点A,且交BC于点D,联结AD,求△ACD的面积.【答案】（1）；（2）【分析】（1）设直线OA的解析式为y=kx(k≠0)，把A点坐标代入解析式，求出k的值即可；（2）过A作AE⊥x轴于点E，连接AD，根据S△ACD=S△CBO-S△AEO-S梯形ADBE求解即可.【详解】（1）设直线OA的解析式为y=kx(k≠0)，∵A(3,2)在直线OA上，∴2=3k解得，k=,∴直线OA的解析式为;（2）过A作AE⊥x轴于点E，连接AD，如图所示，∵A（3，2）∴OE=3，AE=2，设反比例函数解析式为：，∵A（3，2） ∴k=2×3=6∴，∵B(6,0)∴D(6,1)，C（6，4）∴OB=6，BE=OB-OE=3，BD=1，BC=4，∴S△ACD=S△CBO-S△AEO-S梯形ADBE= ==.【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式以及三角形面积公式的运用.巩固提升一、单选题1．（2022·上海徐汇·八年级期末）如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为（3，-4），那么另一个交点的坐标为（   ）A．（-3，-4） B．（3，4） C．（−3，4） D．（-4，3）【答案】C【分析】根据两交点关于原点对称求解．【详解】设正比例函数解析式为，反比例函数解析式为∴联立得，解得，或∴正比例函数和反比例函数交点关于原点对称∴如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为（3，-4），那么另一个交点的坐标为（−3，4）故选：C【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，也是基本的方法，需熟练掌握，另外，利用对称性求解更简单，且不容易出错．2．（2018·上海浦东新·八年级期末）已知矩形的面积为10，它的长y与宽x之间的关系用图象大致可以表示为（     ）.A． B． C． D．【答案】D【分析】已知矩形的面积为，由矩形的面积公式即可得出它的长y与宽x之间的函数关系式，然后根据函数的图象性质解答即可．【详解】由矩形的面积10=xy，可知它的长y与宽x之间的函数关系式为y=（x＞0），是反比例函数图象，且其图象在第一象限．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．3．（2019·上海市南洋模范中学八年级阶段练习）甲乙两地相距100千米,某人开车从甲地到乙地,则他的平均速度y(千米/小时)与时间x(时)之间的关系用图像大致可表示为（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据公式“”列出等式为：，即，这是一个反比例函数，由反比例函数图象的性质即可得.【详解】由题意可得：即这是一个反比例函数，根据反比例函数图象的性质即可得故答案为：B.【点睛】本题考查了反比例函数图象，根据题意列出关系等式是解题关键.二、填空题4．（2022·上海·八年级期中）一次函数的图象与反比例函数相交于点和点，若，则x的取值范围是______．【答案】或##或【分析】利用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，根据函数的单调性，结合图象写出不等式的解集．【详解】解：将点，代入一次函数，得，解得，∴一次函数解析式为，∴随着x的增大而增大，将点代入反比例函数，得k＝4×2＝8，∴反比例函数解析式为，∴当时，且y随x的增大而减小，当时，且y随x的增大而减小，∴由图可知：当时，或．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，重点是能够用待定系数法确定直线与双曲线的表达式，应用函数性质分析比较一次函数值与反比例函数值的大小，并结合图象找出不等式的解集.5．（2022·上海·上外附中八年级期末）正比例函数与反比例函数的一个交点为 ，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 的取值范围是_____________【答案】或【分析】先运用待定系数法先求出正比例函数与反比例函数解析式，再根据反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质列方程求出自变量x的取值范即可．【详解】解：由正比例函数与反比例函数图象都经过点，即正比例函数为反比例函数为 当正比例函数图象在反比例函数图象上方时，即＞，解得或．故答案是或．【点睛】主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，正确求出它们的解析式成为解答本题的关键．三、解答题6．（2022·上海·八年级期末）在平面直角坐标系中（如图），点为直线和双曲线的一个交点，(1)求、的值；(2)若点，在直线上有一点，使得，请求出点的坐标；(3)在双曲线是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在请说明理由．【答案】(1)k=-，m=-4；(2)点P的坐标为（4，-1）或（-12，3）(3)M（，）【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）如图1中，设直线y=-x与反比例函数y=-的另一个交点为C（4，-1）．由对称性可知：OA=OC，推出当点P与C重合时，S△ABP=2S△ABO，此时P（4，-1）．当点P在OA的延长线上时，P′A=AC时，S△ABP=2S△ABO，再利用中点坐标公式求解即可．（3）如图2中，将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，则A′（1．4），取AA′的中点D，作直线OD在第二象限交反比例函数于M．此时∠AOM=45°，求出直线OD的解析式，再构建方程组确定点M的坐标．（1）∵点A（-4，1）在直线y=kx和双曲线y=的图象上，∴k=-，m=-4．（2）如图1中，设直线y=-x与反比例函数y=-的另一个交点为C（4，-1）．由对称性可知：OA=OC，∴当点P与C重合时，S△ABP=2S△ABO，此时P（4，-1）．当点P在OA的延长线上时，P′A=AC时，S△ABP=2S△ABO，此时P′（-12，3），综上所述，满足条件的点P的坐标为（4，-1）或（-12，3）．（3）如图2中，将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，则A′（1．4），取AA′的中点D，作直线OD在第二象限交反比例函数于M．此时∠AOM=45°，∵D（-），∴直线OD的解析式为y=-x，由 ，解得 或 ，∵点M在第二象限，∴M（，）．【点睛】此题考查反比例函数综合题，一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．7．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）已知正比例函数y＝mx与反比例函数y＝交于点（3，2）和点（3a﹣1，2﹣b）．(1)求正比例函数和反比例函数的解析式．(2)求a、b的值．【答案】(1)正比例函数为： 反比例函数为：(2)【分析】（1）把点（3，2）代入两个函数解析式，利用待定系数法求解解析式即可；（2）由正比例函数y＝mx与反比例函数y＝交于点（3，2）和点（3a﹣1，2﹣b），可得关于原点成中心对称，再列方程组解方程即可得到答案.（1）解： 正比例函数y＝mx与反比例函数y＝交于点（3，2）， 解得： 所以正比例函数为： 反比例函数为：（2）解： 正比例函数y＝mx与反比例函数y＝交于点（3，2）和点（3a﹣1，2﹣b），关于原点成中心对称， 解得：，【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数与反比例函数的解析式，反比例函数的中心对称性，掌握“正比例函数y＝mx与反比例函数y＝的交点关于原点成中心对称”是解本题的关键.8．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy内，正比例函数y＝4x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象的公共点A的纵坐标为4(1)求点A的坐标和反比例函数的解析式；(2)正比例函数y＝4x的图象上有一点B，AB＝OA（点B不与点O重合），过点B作直线BC∥y轴交双曲线y＝于点C，求△ABC的面积．【答案】(1)点A的坐标为（1，4）；(2)3【分析】（1）先由点纵坐标为4，点在直线上可确定点的坐标为，然后利用待定系数法确定反比例函数的解析式；（2）根据中点坐标公式求出点的坐标为，由轴，且点在反比例函数的图象上，得到点坐标为，然后根据三角形面积公式计算的面积．（1）解：设点坐标为，点在函数的图象上，，解得，点的坐标为；点在函数的图象上，，反比例函数解析式是；（2）解：，为中点，，．轴，且点在反比例函数的图象上，，．过点作于，则，．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两个函数的解析式；也考查了待定系数法求函数图象的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．9．（2020·上海市浦东模范中学八年级期末）已知点P(m，4)在反比例函数的图像上，正比例函数的图像经过点P和点Q(6，n)．(1)求正比例函数的解析式；(2)求P、Q两点之间的距离．(3)如果点M在y轴上，且MP＝MQ，求点M的坐标．【答案】(1)(2)5(3)【分析】（1）先将点的坐标代入反比例函数解析式求得的值，再待定系数法求正比例函数解析式即可；（2）根据正比例函数解析式求得点的坐标，进而两点距离公式求解即可；（3）根据题意作的垂直平分线，设，勾股定理建立方程，解方程求解即可．（1）解：∵点P(m，4)在反比例函数的图像上，∴解得设正比例函数为将点代入得正比例函数为（2）将点Q(6，n)代入，得（3）如图，设的中点为，过点作交轴于点，设则，即是直角三角形即解得【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，勾股定理求两点之间的距离，垂直平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．10．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，﹣2）．(1)求a，n的值；(2)若双曲线的上点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．【答案】(1)，(2)15【分析】（1）先将点代入直线的解析式可得的值，再根据求出反比例函数的解析式，然后将点代入反比例函数的解析式即可得的值；（2）先求出点的坐标，再过点作轴的垂线交直线于点，根据直线的解析式求出点的坐标，然后根据的面积等于与的面积之和即可得．（1）解：将点代入得：，解得，将点代入得：，则反比例函数的解析式为，将点代入得：；（2）解：对于函数，当时，，即，如图，过点作轴的垂线交直线于点，则点的横坐标为1，由（1）可知，直线的解析式为，当时，，即，，，的边上的高为1，的边上的高为，则的面积为．【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．11．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）已知直线与双曲线交于、两点，且点的纵坐标为4，第一象限的双曲线上有一点，过点作轴交直线于点，点到的距离为2．(1)直接写出的值及点的坐标；(2)求线段的长；(3)如果在双曲线上一点，且满足的面积为9，求点的坐标．【答案】(1)，(2)当点时，；当点时，(3)，，，【分析】（1）先求得点坐标，再代入抛物线解析式可求得的值，根据对称性可求得点坐标；（2）由反比例函数解析式可求得点坐标，由直线解析式可求得点坐标，可求得的长；（3）可设坐标为，分当点时，，分点在第一象限或第三象限上两种情况，分别表示出的面积，可求得的值；当点时，，分点在第一象限或第三象限上两种情况，分别表示出的面积，可求得的值，共有四种情况．（1）解：在直线上，且的纵坐标为4，坐标为，代入直线，可得，解得，又、关于原点对称，点的坐标为．（2）解：点到的距离为2，点的纵坐标为或6，有两种情况，如下：代入，可得点的坐标为或．轴，且点在直线上，可设点的坐标为或．代入，得点的坐标为或．或，当点时，；当点时，；（3）解：当点时，，分两种情况讨论，设点的坐标为．①当点在第一象限中时，，解得：．点的坐标为．②当点在第三象限中时，，解得：．点的坐标为．当点时，，分两种情况讨论，设点的坐标为．③当点在第一象限中时，，解得：．点的坐标为．④当点在第三象限中时，，解得：．点的坐标为．综上所述：点的坐标为，，，．【点睛】本题主要考查函数的交点问题、一次函数与反比例函数综合题，解题的关键是掌握函数图象的交点坐标满足每个函数的解析式．12．（2021·上海虹口·八年级期末）如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线（k＞0）交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2）．（1）求a和k的值；（2）求点B的坐标；（3）y轴上有一点C，联结BC，如果线段BC的垂直平分线恰好经过点A，求点C的坐标．【答案】（1）a＝，k＝8；（2）B（﹣4，﹣2）；（3）C（0，﹣6）或（0，10）【分析】（1）根据待定系数法即可求得a和k的值；（2）联立直线和双曲线解析式，即可得到点B坐标；（3）由垂直平分线的性质可知AC＝AB，利用两点间距离公式建立等式，求解即可．【详解】解：（1）直线y＝ax（a＞0）过点A（4，2），∴4a＝2，∴a＝，∵双曲线（k＞0）过点A，∴k＝2×4＝8．∴a＝，k＝8．（2）令x＝，解得x＝±4，∴当x＝﹣4时，y＝﹣2，∴B（﹣4，﹣2）．（3）设点C（0，y），由点A，B，C的坐标可知，AB＝4，AC＝，∵线段BC的垂直平分线恰好经过点A，∴AB＝AC，即4＝，解得y＝﹣6，或y＝10．∴C（0，﹣6）或（0，10）．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得C的坐标是解题的关键．13．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）．（1）求反比例函数解析式；（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标．【答案】（1）反比例函数解析式；（2）P点坐标为（2，0）或（8，0）或（，0）【分析】（1）根据一次函数解析式求出A点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）若使△AOP是等腰三角形，分OA＝OP，OA＝AP，OP＝AP三种情况讨论分别求出P点的坐标即可．【详解】解：（1）∵A点是一次函数和反比例函数图象的交点，∴m＝×4，解得m＝2，即A（4，2），把A点坐标代入反比例函数得，，解得k＝8，∴反比例函数的解析式为；（2）设P点的坐标为（n，0），若使△AOP是等腰三角形，分以下三种情况：①当OA＝OP时，由（1）知，A（4，2），∴n＝，即P（，0）；②当OA＝AP时，作AH⊥OP于H，∵A（4，2），∴OH＝4，∵OA＝AP，∴OP＝2OH＝2×4＝8，即P（8，0）；③当OP＝AP时，∵A（4，2），∴n＝，即n2＝（4﹣n）2+22，解得n＝，即P（，0），综上，符合条件的P点坐标为（2，0）或（8，0）或（，0）．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式以及分类讨论思想是解题的关键．正比例函数反比例函数定义形如的函数，其中k是比例系数形如的函数，其中k是比例系数定义域一切实数不等于零的一切实数图像经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线；双曲线，它有两支性质当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；y的值随x的值增大而增大； 当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；y的值随x的值增大而减小。当时，反比例函数的图像经过第一、三象限；在每一个象限内，y的值随x的值增大而减小； 当时，反比例函数的图像经过第二、四象限；在每一个象限内，y的值随x的值增大而增大。图像与两支无限接近坐标轴，但不相交.