沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第19章几何证明【单元提升卷】(沪教版)(原卷版+解析)

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第19章几何证明【单元提升卷】（沪教版）（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、单选题1．下列命题是真命题的是（    ）．A．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C．相等的两个角是对顶角D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离2．如图，是等腰直角三角形，点在边上，且，则是（    ）．A． B． C． D．3．下列命题的逆命题正确的是(     )A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等4．下列说法正确的是（   ）A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题5．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（    ）．A．6、8、10 B．1、1、C．2、6、 D．7、24、256．如图，是的中线，，将沿直线翻折，点落在点的位置上，如果，求的长为（    ）．A．10 B．5 C． D．二、填空题7．“等角的补角相等”的条件是_____，结论是_____．8．如图，在与中，，，，若，则的度数为________．9．如果等腰三角形腰上的高是腰长的一半，那么它顶角的度数是_____．10．命题：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，其逆命题是_____________．11．到定点的跑离为的点的轨迹是______．12．将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为_________________．13．如图，已知△ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线DE交AC于点E，D为垂足，若∠ABE：∠EBC=2：1，则∠A=__________．14．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“_____”．15．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD=1，则点P到射线OB的距离为____．16．已知点、，则线段的长为______．17．如果一个三角形的三条边长分别为、、，那么这个三角形的面积为______．18．如图，绕定点逆时针旋转后，得到，这时点恰好落在上，则____．三、解答题19．如图，AD是ΔABC的中线，DE⊥AB，DF⊥AC，且BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线．20．如图，已知，．求证：．21．如图，在中，，点、分别是边、的中点，点在边上．若，，，求四边形的周长．22．如图，这是美国第20届总统加菲尔德的构图，其中Rt△ADE和Rt△BEC是完全相同的，请你试用此图形验证勾股定理的正确性．23．如图，笔直的公路上A、两点相距，、为两村庄，于点A，于点，已知，，现在要在公路的段上建一个土特产品收购站，使得、两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离A点多远处？24．如图，已知：大风把一颗大树刮断，折断的一端恰好落在地面上的A处，量得BC=3米，AC=4米，试计算这棵大树的高度．25．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．  (1)求证：∠FAD=∠FDA；    (2)若∠B=50°，求∠CAF的度数．第19章几何证明【单元提升卷】（沪教版）（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、单选题1．下列命题是真命题的是（    ）．A．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C．相等的两个角是对顶角D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离【答案】A【分析】利用平行线的性质、对顶角的性质及点到直线的距离的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题；B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误，是假命题；C、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题；D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故错误，是假命题；故选A．【点睛】此题考查命题与定理，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的性质及点到直线的距离的定义等知识，难度不大．2．如图，是等腰直角三角形，点在边上，且，则是（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等腰直角三角形和直角三角形的性质进行解答即可.【详解】∵是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=90°，∵，∴∠ABD=30°，∴=∠ABC-∠ABD=15°，故选C.【点睛】此题考查含30度角的直角三角形，等腰直角三角形，解题关键在于掌握运算法则.3．下列命题的逆命题正确的是(     )A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等【答案】B【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确．【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题；B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题；C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题；D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题； 故选：B．【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单．4．下列说法正确的是（   ）A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题【答案】A【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．5．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（    ）．A．6、8、10 B．1、1、C．2、6、 D．7、24、25【答案】C【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．【详解】A、∵62+82=102，∴能构成直角三角形，故此选项错误．B、∵12+12=（）2，∴能构成直角三角形，故此选项错误；C、∵（）2+22≠62，∴不能构成直角三角形，故此选项正确；D、∵72+242=252，∴能构成直角三角形，故此选项错误．故选C．【点睛】此题考查勾股定理逆定理．解题关键在于在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．6．如图，是的中线，，将沿直线翻折，点落在点的位置上，如果，求的长为（    ）．A．10 B．5 C． D．【答案】C【分析】首先根据折叠的性质可得：∠ADC=∠ADC′=45°，即DC′⊥DC，且DC=DC′=BD，由此可得△BDC′是个直角边为5的等腰直角三角形，由此得解．【详解】∵把△ABC沿直线AD折过来，点C落在点C′的位置，∴△ADC≌△ADC′，∴∠ADC=∠ADC′=45°，DC=DC′=BD，∴△BDC′是等腰直角三角形，且直角边为5，那么斜边BC′=．故选C．【点睛】此题考查图形的翻折变换，能够判断出△BDC′的形状是解题的关键．二、填空题7．“等角的补角相等”的条件是_____，结论是_____．【答案】     如果两个角都是某一个角的补角     那么这两个角相等【分析】首先把命题改写成“如果…那么…” 的形式, 然后根据以如果开始的部分是题设, 以那么开始的部分是结论, 得出结果.【详解】等角的补角相等的条件是如果两个角都是某一个角的补角，结论是那么这两个角相等．故答案为如果两个角都是某一个角的补角，那么这两个角相等．【点睛】本题主要考查命题的题设与结论的知识，熟练掌握命题的形式是解题的关键.8．如图，在与中，，，，若，则的度数为________．【答案】40°【分析】先利用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，得出∠D的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出的度数．【详解】解：在Rt△ABC与Rt△DEF中，∵∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）∴∠D=∠A=50°，∴∠DFE=90°-∠D=90°-50°=40°．故答案为：40°．【点睛】此题主要考查直角三角形全等的HL定理．理解斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等是解题关键．9．如果等腰三角形腰上的高是腰长的一半，那么它顶角的度数是_____．【答案】30°或150°．【分析】利用等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，分三角形是锐角三角形和钝角三角形，两种情况，即可求解．【详解】解：①如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB且CD＝AB，∵△ABC中，CD⊥AB且CD＝AB，AB＝AC，∴CD＝AC，∴∠A＝30°．②如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥BA的延长线于点D，且CD＝AB，∵∠CDA＝90°，CD＝AB，AB＝AC，∴CD＝AC，∴∠DAC＝30°，∴∠A＝150°．故答案为30°或150°．【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，注意要分三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况.10．命题：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，其逆命题是_____________．【答案】如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【分析】命题都是由条件和结论两部分组成，逆命题是把原命题的条件和结论对调即可，先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【详解】解：因为原命题的题设是“一个三角形是直角三角形”，结论是“两条直角边的平方和等于斜边的平方”，所以“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是“如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”．【点睛】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．11．到定点的跑离为的点的轨迹是______．【答案】以点为圆心，为半径的圆【分析】根据到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆，据此即可解答．【详解】到定点A的距离为9cm的点的轨迹是：以A为圆心，以9cm为半径的圆．故答案是：以A为圆心，以9cm为半径的圆．【点睛】此题考查点的轨迹，正确理解圆的定义是解题关键．12．将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为_________________．【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.【分析】每一个命题都是基于条件的一个判断，只要把条件部分和判断部分分开即可.【详解】解：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.13．如图，已知△ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线DE交AC于点E，D为垂足，若∠ABE：∠EBC=2：1，则∠A=__________．【答案】45°【详解】∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵E在线段AB的垂直平分线上，∴EA=EB，∴∠ABE=∠A=2∠EBC，∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=∠A+∠A，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+2(∠A+∠A)=180°，∴∠A=45°，故答案为45°.14．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“_____”．【答案】HL【分析】需证△BCD和△CBE是直角三角形，可证的依据是HL.【详解】解: ∵BE、CD是△ABC的高，∴，在Rt△BCD和Rt△CBE中，BD=EC，BC=CB，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），故答案为：HL.【点睛】本题考查全等三角形判定定理中的判定直角三角形全等的HL定理.15．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD=1，则点P到射线OB的距离为____．【答案】1【详解】由角平分线的性质定理，可得，则点P到射线OB的距离为1.16．已知点、，则线段的长为______．【答案】10【分析】直接利用两点间的距离公式计算即可．【详解】线段PQ的长= =10．故答案为10．【点睛】此题考查坐标与图形性质，利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．解题的关键是记住两点间的距离公式．17．如果一个三角形的三条边长分别为、、，那么这个三角形的面积为______．【答案】30【分析】首先根据勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，然后在计算三角形的面积．【详解】∵52+122=132，∴此三角形是直角三角形，∴×5×12=30，故答案为30．【点睛】此题考查勾股定理逆定理，解题关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．18．如图，绕定点逆时针旋转后，得到，这时点恰好落在上，则____．【答案】30【分析】根据旋转的性质得∠EAC=30°，∠E=∠C，然后根据三角形内角和可得到∠EDC=∠EAC=30°．【详解】∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，其中点D恰好落在BC边上，∴∠EAC=30°，∠E=∠C，∠AOE=∠DOC（对顶角）∴∠EDC=∠EAC=30°，故答案为30°．【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．三、解答题19．如图，AD是ΔABC的中线，DE⊥AB，DF⊥AC，且BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线．【答案】见详解【分析】先证明Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），再证明Rt△ADE≌Rt△ADF（（HL），即可得证．【详解】∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DEA=∠DFC=∠DFA=90°，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∵BE=CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF，又∵AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴∠DAE=∠DAF，∴AD平分∠BAC．【点睛】本题主要考查了全等三角形判定与性质、角平分线的定义，掌握直角三角形的全等判定方法是解答本题的关键．20．如图，已知，．求证：．【答案】详见解析【分析】先连接，根据等腰三角形的现在，即可解答．【详解】连接，∵，∴△DBC为等腰三角形，∴．∵，∴．∴．【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质，解题关键在于需要熟练掌握判定定理．21．如图，在中，，点、分别是边、的中点，点在边上．若，，，求四边形的周长．【答案】【分析】先由SSS证明△ADE≌△ADF，得出∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，再由等腰三角形的三线合一性质得出BD=CD=BC=3，AD⊥BC，根据勾股定理求出AB，由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=AB，DF=AC，证出AE=AF=DE=DF，即可求出结果．【详解】∵点E，F分别是边AB，AC的中点，∴AE=BE=AB，AF=CF=AC，∵AB=AC，∴AE=AF，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（SSS），∴∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，∴BD=CD=BC=3，AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴，∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，E，F分别是边AB，AC的中点，∴DE=AB，DF=AC，∴AE=AF=DE=DF，∴四边形AEDF的周长=4AE=2AB=．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．22．如图，这是美国第20届总统加菲尔德的构图，其中Rt△ADE和Rt△BEC是完全相同的，请你试用此图形验证勾股定理的正确性．【答案】见解析【分析】此梯形的面积有三部分组成，利用梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．【详解】证明：∵S梯形 ，又∵S梯形，，∴，∴c2=a2+b2．【点睛】此题考查勾股定理的证明，此类证明要转化成同一个图形的两种表示方法，从而得出等式达到证明的结果．23．如图，笔直的公路上A、两点相距，、为两村庄，于点A，于点，已知，，现在要在公路的段上建一个土特产品收购站，使得、两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离A点多远处？【答案】收购站E应建在离A点10km处【分析】先根据“C，D两村到E站的距离相等”得出DE=CE，再根据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等．∴DE=CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，∴，，∴，设AE=x km，则BE=AB-AE=（25-x）km．∵DA=15km，CB=10km，∴，即解得：x=10，∴AE=10km，∴收购站E应建在离A点10km处．【点睛】本题考查了勾股定理的应用及解一元一次方程，解题的关键是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来．24．如图，已知：大风把一颗大树刮断，折断的一端恰好落在地面上的A处，量得BC=3米，AC=4米，试计算这棵大树的高度．【答案】这棵大树高8米.【分析】该大树折断后，折断部分与地面、原来的树干恰好构成一直角三角形，设大树折断部分AB高为x米，由勾股定理可得出方程：32+42=x2，解该方程可得出AB的长，进而可得大树原来的高．【详解】设大树断掉的部分AB长为x米．∵∠BCA=90°，∴BC2+CA2=AB2，∴32+42=x2，解得：x=5（米），∴大树原高为：3+5=8（米），答：大树的高为8米．【点睛】本题考查了利用勾股定理解应用题，关键在于把折断部分、大树原来部分和地面看作一个直角三角形，利用勾股定理列出方程求解．25．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．  (1)求证：∠FAD=∠FDA；    (2)若∠B=50°，求∠CAF的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠CAF＝50°.【分析】（1）根据EF垂直平分AD，则可得AF=DF，根据等腰三角形的性质可得结论；（2）由AD是∠BAC的平分线，可得∠BAD＝∠DAC.根据∠FDA＝∠BAD＋∠B，∠FAD＝∠DAC＋∠CAF，可证∠B＝∠CAF，从而可求出结论.【详解】(1)证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF.∴∠FAD＝∠FDA.(2)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠FDA＝∠BAD＋∠B，∠FAD＝∠DAC＋∠CAF，由(1)知∠FAD＝∠FDA，∴∠B＝∠CAF.∵∠B＝50°，∴∠CAF＝50°.【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义及外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及及外角的性质是解答本题的关键.