【高二】信阳高中北湖校区2024-2025学年高二上学期开学考数学

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数学试题
命题人：杨立雅 审题人：龚宏伟
一、单选题
1．如图，平行四边形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O A  4 ，
OC  ， AOC  30 ，则原图形OA与 BC 间的距离为
2
A．1 B． 2 C．2 2 D．4
A．x|1 x  2 B．x|1 x  5
4．直线l1 :ax  y 1  0 与 2 :3 ( 2) 4 0
l x  a  y  a   平行，则实数 a 的值是
2
A．-1 或 3 B．-1 C．-3 或 1 D．3
6．已知m,n是两条不同的直线， ， 是两个不重合的平面，则有下列命题
①m/ / ，n / / ， / /  m / /n；
②   ，m  ，n    m  n；
1 司2．为了得到函数 y  2sin 3x 的图象，只要把函数
 π 
y  2sin3x  
图象上所有的点
 
5
A．向左平移
π
5
个单位长度 B．向右平移
π
5
个单位长度
π
C．向左平移
15
π
个单位长度 D．向右平移
15
个单位长度
3．已知函数 f 2x 1的定义域为1，2，则函数
y 
f x
 
x 1
的定义域为
 1
C． x|1 x 
 
 
2
D．{x | 1 x  5}

5．已知a

，b

，c
是三个非零平面向量，则下列叙述正确的是
   
A．若|a ||b |，则a  b
   
 
B．若| a  b || a  b |，则a  b
 
C．若ab  ac ，则b  c
     
D．若a / /b，则ab | a || b |
③m// n，m  ，n       ；
④   ，m   m   .
其中正确命题的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
则三棱锥 P  AMN 和三棱锥 P  ABC 的体积之比为
二、多选题
8．已知i 为虚数单位，则
B．若 x, y C，则 x  yi 1 i 的充要条件是 x  y 1
9．已知a  0，b  0，且a b  4 ，则
A．a  2b  4 B．a 1b 1 1
C．lg2 a lg2 b  2 D．2 4 8
a  b 
10．下列说法不正确的有
A．若两条直线2x  ay 5  0与ax  2y 5  0 互相平行，则实数 a 的值为2
B．若直线 y  kx b不经过第三象限，则点(k,b) 在第二象限
C．过点(2,3) 且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程为 x  y  5
D．已知直线kx  y  k 1 0 和以M (3,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则实数 k
11．V ABC 中，角A ， B ，C 所对的边为a ，b ，c ，下列叙述正确的是
A．若acsB  bcsA，则V ABC 是等腰三角形
C．若 A  B ，则csA  csB
2 司7．在三棱锥 P  ABC 中，点 M,N 分别在棱 PC,PB 上，且
1 2
PM  PC ，PN  PB ，
3 3
1
9
A．
B．
1
3
C．
2
9
D．
4
9
A．若复数 z 的共轭复数为 z ，则
2 2
z  z  z  z
C．若复数 z  z ，则
1 2
z ， z2 R
1
D．若复数
z 
3i
2 i
，则 3 5
z 
5
3
的取值范围为k  或
2
k  
1
2
B．若
a b c
  ，则V ABC 一定是等边三角形
csA csB csC
 π
D．若2b  a  c ，则  
B 0,
 
3
12．阳马和鳖臑［biē nà］是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下
图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图 2，图 3），称为堑堵．再沿堑堵
的一顶点与相对的棱剖开（图 4），得四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，有
一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图 5）．余下的三棱锥是由四个直角三角
形组成的四面体，称为鳖臑（图 6）．若图 1 中的长方体是棱长为 4 的正方体，
则下列结论正确的是
A．鳖臑中只有一个面不是直角三角形 B．鳖臑的外接球半径为2 3
 π  1
14．若     ，则sin cs  ．
0, , tan  
2 2
15．已知一组数据 x1, x2 ,, xn 的平均数 x  6 ，方差 s2  21，去掉一个数据之后，剩
余数据的平均数没有变，方差变为 24，则这组数据的个数n  .
16．在三棱锥 P  ABC 中，V ABC 是等边三角形，PA 平面 ABC ，PA  4 ，AB  2 2 ，
D 是 AC 的中点，球O为三棱锥 P  ABD 的外接球，G 是球O上的一点，则三棱锥
G  PDC 体积的最大值是 .
3 司C．鳖臑的体积为正方体的
1
4 D．鳖臑内切球半径为2 2  2
三、填空题
 
13．正方形 ABCD 的边长是2,E是 AB 的中点，则 EC  ED 
.
四、解答题
   
17．已知点 A(2, 0, 2) ， B(1,1, 2) ，C(3, 0, 4) ，设a  AB ，b  AC
．
 
（1）求a ，b 夹角的余弦值．
   
（2）若向量ka b，ka 2b垂直，求k 的值．
18．某城市医保局为了对该城市多层次医疗保障体系建设加强监管，随机选取了
100 名参保群众，就该城市多层次医疗保障体系建设的推行情况进行问卷调查，
并将这 100 人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照[50,60),[60,70),,[90,100]
分成 5 组，制成如图所示频率分布直方图.
（1）求图中 x 的值；
（2）求这组数据的中位数；
（3）已知满意度评分值在[80,90)内的男生数与女生数的比为3: 2 ，若在满意度评
分值为[80,90)的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取 5 人，并分别依次进行座
谈，求前 2 人均为男生的概率.
19．已知圆 C 和直线l1 ：x  y 1 0 ，l2 ：2x  y  2  0，若圆 C 的圆心为2,1且经
过直线l 和l 的交点.
1 2
（1）求圆 C 的标准方程；
（2）直线 l：kx  y  2  0与圆 C 交于 M，N 两点，且 MN  2 6 ，求直线 l 的方
程.
4 司 
（3）若向量a b
 
，a b
平行，求 的值．
B
20．在ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是a,b,c ，且bsinC  3csin .
2
（1）求角 B 的大小；
21．如图，三棱锥 A BCD中， DA  DB  DC ， BD  CD ，ADB  ADC  60 ，E
为 BC 的中点．
（1）证明： BC  DA ；
 
（2）点 F 满足 EF  DA，求二面角 D  AB  F 的正弦值．
22．作为世界乒坛本赛季收官战，首届WTT( 世界乒乓球职业大联盟) 世界杯总决
赛2021年12月7 日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢
家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、
乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2 个球者获胜，通过分析甲、
球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
（1）求该局打4 个球甲赢的概率；
（2）求该局打5个球结束的概率．
5 司（2）若b  6，且V ABC 的面积为
7 3
2
，求 AC 边上的中线长.
乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为
2
3
，乙发球甲赢的概率为
1
4
，不同
河南省信阳高级中学北湖校区
2024-2025 学年高二上期开学测试
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D B B C ACD AD BC
题号 11 12
答案 ABC BD
13．3 14． 5 15．8 16．2 3
5
5
(2)k  2或k   .
2
(3)  1
【分析】（1）利用夹角公式可求夹角的余弦值.
（2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值.
（3）利用共线向量定理可求参数的值.
（2）由（1）可得
   
因为向量ka b，ka 2b k  2 k 1  k 8  0，
垂直，故  
2
   整理得到： ta  t 1b 0 ，
故  1.
1 司17．(1)

10
10
 
【详解】（1）a  1,1, 0，b  1, 0, 2
，
 
故cs a,b
1 0 0 10
  
2  5 10
.
 
ka b  k 1,k ,2
 
，ka  2b  k  2,k,4，
5
整理得到：2k2  k 10  0，故k  2或k   .
2
   
 
（3）由（1）可得a,b 不共线，故a b ，a  b
均不为零向量，
 
若向量a b
 
，a b
   
平行，则存在非零常数t ，使得a b  t a  b
，
 
因为a,b
 t  0
不共线，故

t 1 0

，故  t  1或  t 1，
18．(1)0.02
540
(2)
7
3
(3)
10
【分析】（1）利用频率之和为1求解即可；
（2）先判断中位数所在区间，再利用中位数的定义列式求解即可；
（3）先利用分层抽样确定男女生人数，再利用列举法与古典概型的概率公式求
解即可.
【详解】（1）依题意，得0.005 x  0.035 0.030 0.01 10 1，解得 x  0.02 ；
（2）因为0.0050.0210  0.25  0.5，0.25 0.03510  0.6  0.5，
所以中位数在70,80间，设为m ，
540
则0.25 m 700.035  0.5，解得m  .
7
（3）依题意，因为满意度评分值在80,90的男生数与女生数的比为3: 2 ，
按照分层抽样的方法在其中随机抽取 5 人，则抽中男生 3 人，女生 2 人，依次分
别记为 A1, A2 , A3, B1, B2 ，
个，
3
所以 PA  ．
10
2 2
19．(1)x  2  y 1 10
(2)5x 12y  24  0
【分析】（1）求出交点坐标，进而得到半径，得到圆的标准方程；
（2）由垂径定理得到圆心2,1到直线kx  y  2  0的距离，利用点到直线距离公
式求出答案.
2 司对这 5 人依次进行座谈，前 2 人的基本事件有： A1 A2 ， A1 A3 ， A1B1 ，
A B ，
1 2
A A ，
2 3
A B ， A2B2 ， A3B1 ，
2 1
A B ， B1B2 ，共 10 件，
3 2
设“前 2 人均为男生”为事件 A，其包含的基本事件有： A1 A2 ， A1 A3 ，
A A ，共 3
2 3
故半径为 21 10  10 ，
2 2
2 2 故圆 C 的标准方程为   
x  2  y 1 10 ；
（2）设圆心2,1到直线kx  y  2  0的距离为d ，
则由垂径定理得 MN  2 10d2  2 6 ，
(2)4
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，转化为三角函数求角；
（2）首先根据三角形的面积公式，求得ac  14 ，再根据余弦定理求得a2 c2  50，
再根据中线向量关系， 利用数量积公式，即可求解.
B B
【详解】（1） sin 3 sin
b C  c ，∴由正弦定理得：sinBsinC  3sinCsin ，
2 2
 C0, π，∴sinC  0，
B B B B
∴sinB  3sin ，即2sin cs  3sin ，
2 2 2 2
∴cs 3
B
B π
 ，
 
2 6 2 2
1 1 3 7 3
（2） ， ac 14 ，
S  acsinB  ac 
ABC
2 2 2 2
在V ABC 中，由余弦定理b2  a2  c2  2accsB 得
36  a2 c2 ac，所以a2 c2  50，
3 司x  y 1  0 x
【详解】（1）联立 ，解得
 
2x  y  2  0 y
 
 1
 0
，
解得d  2，即
2k 12
1
k
2

5
k  ，
12
2 ，解得
5
故直线 l 的方程为
12
x  y  2  0 ，即5x 12y  24  0.
20．(1)
B 
π
3

B  π 
0, 
2 2
 
B
，∴sin  0 ，
2
B 
π
3
  
设 AC 的中点为 D ，则2BD  BC BA
，
两边同时平方得：
      
2 2 2 2
=a2 c2  ac  64 4BD  (BC  BA)  BC  BA  2BC  BA
21．(1)证明见解析；
【分析】（1）根据题意易证 BC 平面 ADE ，从而证得 BC  DA ；
（2）由题可证 AE  平面 BCD ，所以以点 E 为原点， ED, EB, EA所在直线分别为
x y z 轴，建立空间直角坐标系，再求出平面 ABD, ABF 的一个法向量，根据二面
, ,
角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．
【详解】（1）连接 AE, DE ，因为 E 为 BC 中点， DB  DC ，所以 DE  BC ①，
因为 DA  DB  DC ，ADB  ADC  60 ，所以ACD 与△ABD 均为等边三角形，
  ，从而 AE  BC ②，由①②， AE  DE  E ， AE, DE  平面 ADE ，
AC AB
所以， BC 平面 ADE ，而 AD  平面 ADE ，所以 BC  DA ．
（2）不妨设 DA  DB  DC  2，BD  CD ，BC  2 2, DE  AE  2．
    ， AE  DE ，又 AE  BC,DE  BC  E ， DE, BC  平面
AE2 DE2 4 AD2
BCD AE  平面 BCD ．
以点 E 为原点， ED, EB, EA所在直线分别为 x, y, z 轴，建立空间直角坐标系，如图
所示：
设 D( 2, 0, 0), A(0, 0, 2),B(0, 2,0),E(0, 0, 0) ，
  设平面 DAB 与平面 ABF 的一个法向量分别为    
n1  x1, y1, z1 ,n2  x2 , y2 , z2 ，

二面角 D  AB  F 平面角为 ,而 AB  0, 2, 2
，
4 司所以

2
BD 16
，所以 BD  4.
(2)
3
3
．
 
因为 EF  DA   2, 0, 2

，所以 F  2, 0, 2，即有 AF   2, 0, 0
，
【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件 A，乙发球甲赢为事件 B，然后分析这 4 个
球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算
公式即可求解；
（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利
用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率．
【详解】（1）设甲发球甲赢为事件 A，乙发球甲赢为事件 B，该局打 4 个球甲赢
为事件 C，
（2）设该局打 5 个球结束时甲赢为事件 D，乙赢为事件 E，打 5 个球结束为事
件 F，易知 D，E 为互斥事件，
D  ABABA， E  ABABA， F  D  E ，
∴ P(D)  P(ABABA)  P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)
5 司  
2x 2z 0

1 1


2y  2z  0
1 1

，取 x1 1，所以 1 (1,1,1)；
n 
  
2y 2z 0


2 2


 2x  0
2
，取

y2 1 ，所以
n2  (0,1,1)
，
所以，
cs
 
n n
2 6
  ，从而sin 1 6 3
1 2
       ．
n n 9 3
3 2 3
1 2
所以二面角 D  AB  F 的正弦值为 3
3
．
1
22．(1)
12
(2)
19
216
由题知，
2
P(A)  ，
3
1
P(B)  ，∴C  ABAB ，
4
∴
2 3 2 1 1
P(C)  P(ABAB)  P(A)P(B)P(A)P(B)      ，
3 4 3 4 12
1
∴该局打 4 个球甲赢的概率为
12
．
 2 1  2 1 2 1
        
1 1
   
3 4 3 4 3 216
，
P(E)  P(ABABA)  P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)
2  1  2  1   2  1
         
1 1 1
3 4 3 4 3 12
     
，
∴
1 1 19
P(F)  P(D  E)  P(D)  P(E)    ，
216 12 216
∴该局打 5 个球结束的概率为
19
216
．