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初中数学苏科版（2024）七年级上册3.2 代数式测试题
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这是一份初中数学苏科版（2024）七年级上册3.2 代数式测试题，共46页。试卷主要包含了2 代 数 式，5a+2b的实际意义等内容，欢迎下载使用。
知识点一
代数式
◆1、代数式的定义：像的式子都是用运算符号把数与字母连接而成的，叫做代数式．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
【注意】
（1）运算符号包括＋、－、×、÷、乘方．
（2）带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．
◆2、代数式书写注意事项：
（1）在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
（2）在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
（3）含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
知识点二
单项式
◆1、单项式的定义：
数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.
◆2、判断单项式的方法：
（1）单独一个数或一个字母也是单项式.
（2）不含加减运算，单项式只含有乘积运算.
（3）单项式数字因数与字母可能一个或多个.
（4）可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算．
◆3、单项式的系数、次数
（1）系数：单项式中的数字因数叫做系数；
（2）次数：所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
（3）确定单项式的系数及次数时，应注意：
① 圆周率 π 是常数；
② 当一个单项式的系数是 1 或 －1 时，“1”通常省略不写；
③ 单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉；
④ 对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0.
知识点三
多项式
◆1、多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式.
◆2、多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.
单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就
叫b次a项式．
（2）多项式的每一项包含它前面的符号．
◆3、多项式的次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数.
（1）要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的；
（2）一个多项式的最高次项可以不唯一.
（3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式.
知识点四
整式
（1）单项式和多项式统称整式.
（2）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式一定是整式，整式一定是代数式，但反过来不一定成立.
（3）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式.
知识点五
列代数式及其表示的意义
◆1、列代数式的定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
◆2、列代数式应该注意的以下五点：
①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．
②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．
③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．
④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．
⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
◆3、代数式的意义：代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义．
题型一 代数式及代数式表示的意义
【例题1】（2022秋•栾城区期末）下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．m×6B．n3C．x﹣7元D．234xy2
【变式1-1】（2023•淳安县一模）苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（ ）
A．（a+b）元B．（3a+2b）元C．5（a+b）元D．（2a+3b）元
【变式1-2】下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．18×bB．114xC．−ba2D．m÷2n
【变式1-3】若练习本每本a元，铅笔每支b元，那么代数式8a+3b表示的意义是 ．
【变式1-4】用一生活情景描述1.5a+2b的实际意义： ．
【变式1-5】（2022秋•南开区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．表示﹣x的平方的式子是﹣x2
B．表示x、（﹣y）2、﹣3的积的式子是3xy2
C．x、y两数差的平方表示为（x﹣y）2
D．x2+y2的意义是x与y和的平方
题型二 单项式的有关概念
【例题2】（2022秋•连山区期末）在0，3x+1，ba，x2，﹣5a中，属于单项式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-1】下列式子−23ab，2x2y5，x+y2，﹣a2bc，1，x2﹣2x+1，3a中，单项式有 个．
【变式2-2】（2022秋•汝阳县期末）下列代数式中，次数为3的单项式是（ ）
A．﹣m3nB．3a2b2C．4t3﹣3D．x2y2
【变式2-3】（2023•越秀区校级一模）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）
A．﹣2xy2B．3x2C．2xy3D．2x3
【变式2-4】（2023•汕头二模）单项式−3πx2y4的系数为 ，次数是 ．
【变式2-5】（2022秋•湖北期末）下列关于单项式−2πa2b23的说法正确的是（ ）
A．次数是2，系数是﹣2πB．次数是5，系数是−23
C．次数是4，系数是−23πD．次数是4，系数是23
【变式2-6】（2022秋•平谷区期末）单项式﹣3x2y的系数和次数分别是（ ）
A．3，2B．﹣3，2C．3，3D．﹣3，3
题型三 利用单项式的相关概念求值
【例题3】（2022秋•洛南县期中）已知单项式−23xya与﹣22x2y2的次数相同，求a的值．
【变式3-1】若单项式−35xy3的系数是m，次数是n，则m+n＝（ ）
A．75B．115C．175D．195
【变式3-2】已知﹣4x2yzm是关于x，y，z的5次单项式，m是常数，则m的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式3-3】若（3m+3）x2yn+1是关于x，y的五次单项式且系数为最小的正整数，试求m，n的值．
【变式3-4】已知（a﹣4）x3y|a|是一个七次单项式，求a2+3a﹣9的值．
【变式3-5】已知单项式﹣2x2y3的系数和次数分别是a，b，求ab﹣ab的值．
【变式3-6】已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．
题型四 多项式及整式的有关概念
【例题4】（2022•南京模拟）多项式12x6y2−2x3y4+3的次数和项数分别为（ ）
A．7，2B．8，3C．8，2D．7，3
【变式4-1】（2022•南京模拟）代数式1x，2x+y，13a2b，x−yπ，5y4x，0.5中整式的个数（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式4-2】下列说法错误的是（ ）
A．m是单项式也是整式
B．12（m﹣n）是多项式也是整式
C．整式一定是单项式
D．整式不一定是多项式
【变式4-3】下列结论不正确的是（ ）
A．abc的系数是1
B．多项式1﹣3x2﹣x中，二次项是﹣3x2
C．﹣ab3的次数是4
D．−3xy4不是整式
【变式4-4】多项式2−15xy2−4x3y是 次 项式，其中常数项是 ．
【变式4-5】在多项式2a4﹣4a3b2+7ab2﹣9中，最高次项的系数是（ ）
A．﹣4B．2C．4D．5
【变式4-6】（2022秋•馆陶县期末）在下列给出的四个多项式中，为三次二项式的多项式是（ ）
A．a2﹣3B．a3+2ab﹣1C．4a3﹣bD．4a2﹣3b+2
【变式4-7】下列说法：①2xπ的系数是2；②多项式2x2+xy2+3是二次三项式；③x2﹣x﹣2的常数项为2；④在1x，2x+y，13a2b，5y4x，0中，整式有3个．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型五 利用多项式的相关概念求值
【例题5】如果关于x，y的多项式xy|a|−13(a−2)y2+1是三次三项式，则a的值为 ．
【变式5-1】多项式3x|m|y2+（m+2）x﹣1是四次二项式，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．±1
【变式5-2】若x|m|﹣1+（3+m）x﹣5是关于x的二次二项式，那么m的值为 ．
【变式5-3】若多项式xy|m﹣n|+（n﹣1）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn＝ ．
【变式5-4】已知（m﹣1）x3﹣（n+2）x2+（2m﹣5n）x﹣6是关于x的多项式．
（1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？
（2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？
【变式5-5】已知关于x的多项式x2+（k+2）x+1是二次二项式．求：
（1）k的值．
（2）代数式（k+1）100+（k+1）99+…+（k+1）2+（k+1）的值．
题型六 综合利用单项式、多项式的相关概念求值
【例题6】已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny2﹣m的次数与该多项式的次数相同．求m，n的值
【变式6-1】已知多项式﹣3x3ym+1+xy2−12x3+6是六次四项式，单项式23πxny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，求mn的值．
【变式6-2】已知多项式4x2﹣3xm+1y﹣x是一个四次三项式，n是最高次项的系数，求m﹣n的值．
【变式6-3】﹣5x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，且3x2ny5﹣m的次数跟它相同．
（1）求m，n的值；
（2）求多项式的常数项以及各项的系数和．
【变式6-4】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，多项式﹣5x2ym+1+13xy2−14x3+6是六次四项式，单项式72x2ny5−m的次数与这个多项式的次数相同，求（a+b）m+mn﹣（cd﹣n）2021的值．
【变式6-5】（2022秋•武冈市期末）已知多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是关于x、y的五次四项式，单项式﹣8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，求（a﹣b）c+1的值．
题型七 多项式中结论开放性问题
【例题7】（2022秋•淮滨县期末）有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为： ．
【变式7-1】一个关于字母a，b的多项式，每项的次数都是3，这个多项式最多有几项，试写出一个符合要求的多项式．
【变式7-2】写出一个关于x，y的六次四项式，且常数是﹣8．
【变式7-3】写出一个只含字母a，b的多项式，需满足以下条件：
（1）五次四项式；（2）每一项的系数为1或﹣1；（3）不含常数项；（4）每一项必须同时含有字母a，b不含有其它字母．
【变式7-4】写出同时满足下列4个条件的一个多项式：
①该多项式含有字母x和y；
②该多项式第一项是常数项；
③该多项式是三次四项式；
④该多项式各项系数和为零．
【变式7-5】试至少写两个只含有字母x、y的多项式，且满足下列条件：
（1）六次三项式；
（2）每一项的系数均为1或﹣1；
（3）不含常数项；
（4）每一项必须同时含字母x、y，但不能含有其他字母．
题型八 单项式中的规律探究问题
【例题8】观察下列一系列单项式的特点：
12x2y，−14x2y2，18x2y3，−116x2y4，…
（1）写出第8个单项式；
（2）猜想第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
【变式8-1】（2022•五华区校级模拟）观察后面一组单项式：﹣4，7a，﹣10a2，13a3，…，根据你发现的规律，则第7个单项式是（ ）
A．﹣19a7B．19a7C．﹣22a6D．22a6
【变式8-2】（2023•玉溪三模）探索规律：观察下面的一列单项式：x、﹣2x2、4x3、﹣8x4、16x5、…，根据其中的规律得出的第8个单项式是（ ）
A．﹣64x8B．64x8C．128x8D．﹣128x8
【变式8-3】（2023•西山区模拟）按一定规律排列的单项式：﹣3，5a，﹣9a2，17a3，…，则第7个单项式是（ ）
A．﹣127a7B．﹣129a6C．127a7D．129a6
【变式8-4】（2022•昆明一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，11a8b2，…，第8个单项式是（ ）
A．17a14b2B．17a8b14C．15a7b14D．152a14b2
【变式8-5】探究规律题：
按照规律填上所缺的单项式并回答问题：
（1）a，﹣2a2，3a3，﹣4a4， ， ；
（2）试写出第2017个和第2018个单项式．
（3）试写出第n个单项式．
（4）试计算：当a＝﹣1时，a+（﹣2a2）+3a3+（﹣4a4）+…+99a99+（﹣100a100）的值．
题型九 多项式中的规律探究问题
【例题9】一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第n（n为正整数）个式子的次数是（ ）
A．nB．2n﹣1C．3n﹣1D．2n
【变式9-1】有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为 ．
【变式9-2】观察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…按此规律写出第n个式子是 ．
【变式9-3】有一个多项式为a8﹣a7b+a6b2﹣a5b3+…，按照此规律写下来，这个多项式的第六项是 ．
【变式9-4】已知多项式﹣a+2b2﹣3a3+4b4﹣5a5+…，则第100项是 ，第2007项是 ，第n项是 ．
【变式9-5】观察多项式x﹣3x2+5x3﹣7x4+…的构成规律，并回答下列问题：
（1）它的第100项是什么？
（2）它的第n（n为正整数）项是什么？
（3）当x＝1时，求前2014项的和．
（苏科版）七年级上册数学《第3章 代数式》
3.2 代 数 式
知识点一
代数式
◆1、代数式的定义：像的式子都是用运算符号把数与字母连接而成的，叫做代数式．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
【注意】
（1）运算符号包括＋、－、×、÷、乘方．
（2）带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．
◆2、代数式书写注意事项：
（1）在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
（2）在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
（3）含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
知识点二
单项式
◆1、单项式的定义：
数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.
◆2、判断单项式的方法：
（1）单独一个数或一个字母也是单项式.
（2）不含加减运算，单项式只含有乘积运算.
（3）单项式数字因数与字母可能一个或多个.
（4）可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算．
◆3、单项式的系数、次数
（1）系数：单项式中的数字因数叫做系数；
（2）次数：所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
（3）确定单项式的系数及次数时，应注意：
① 圆周率 π 是常数；
② 当一个单项式的系数是 1 或 －1 时，“1”通常省略不写；
③ 单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉；
④ 对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0.
知识点三
多项式
◆1、多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式.
◆2、多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.
单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就
叫b次a项式．
（2）多项式的每一项包含它前面的符号．
◆3、多项式的次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数.
（1）要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的；
（2）一个多项式的最高次项可以不唯一.
（3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式.
知识点四
整式
（1）单项式和多项式统称整式.
（2）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式一定是整式，整式一定是代数式
但反过来不一定成立.
（3）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式.
知识点五
列代数式及其表示的意义
◆1、列代数式的定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
◆2、列代数式应该注意的以下五点：
①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．
②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．
③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．
④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．
⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
◆3、代数式的意义：代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义．
题型一 代数式及代数式表示的意义
【例题1】（2022秋•栾城区期末）下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．m×6B．n3C．x﹣7元D．234xy2
【分析】根据代数式的书写要求判断各项．
【解答】解：A、不符合书写要求，应为6m，故此选项不符合题意；
B、n3符合书写要求，故此选项符合题意；
C、不符合书写要求，应为（x﹣7）元，故此选项不符合题意；
D、不符合书写要求，应为114xy2，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了代数式的书写要求．解题的关键是掌握代数式的书写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
【变式1-1】（2023•淳安县一模）苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（ ）
A．（a+b）元B．（3a+2b）元C．5（a+b）元D．（2a+3b）元
【分析】用买2千克苹果的钱数加上3千克香蕉的钱数即可．
【解答】解：根据题意得：买2千克苹果和3千克香蕉共需（2a+3b）元．
故选：D．
【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．
【变式1-2】下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．18×bB．114xC．−ba2D．m÷2n
【分析】根据代数式的书写规则，数字与字母之间的乘号应省略，分数不能为带分数，不能出现除号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案．
【解答】解：A、正确书写格式为：18b，故此选项不符合题意；
B、正确书写格式为：54x，故此选项不符合题意；
C、是正确的书写格式，故此选项符合题意；
D、正确书写格式为：m2n，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了代数式的书写规则，能够根据代数式书写的标准规则对各项进行分析，得出答案是解题的关键．
【变式1-3】若练习本每本a元，铅笔每支b元，那么代数式8a+3b表示的意义是 ．
【分析】根据练习本每本a元，铅笔每支b元，知道8a+3b是买8本练习本和3支铅笔需要的总钱数．
【解答】解：8a+3b表示的意义是买8本练习本和3支铅笔需要的钱数，
故答案为：买8本练习本和3支铅笔需要的钱数．
【点评】本题考查了代数式的实际意义，此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答．
【变式1-4】用一生活情景描述1.5a+2b的实际意义： ．
【分析】结合实际情境作答，答案不唯一，如一斤苹果的价格是a元，一斤桔子的价格是b元，那么1.5斤苹果和2斤桔子的总价是（1.5a+2b）元．
【解答】解：答案不唯一：如一斤苹果的价格是a元，一斤桔子的价格是b元，那么1.5斤苹果和2斤桔子的总价是（1.5a+2b）元．
故答案为：一斤苹果的价格是a元，一斤桔子的价格是b元，那么1.5斤苹果和2斤桔子的总价是（1.5a+2b）元．
【点评】此题考查了代数式，解决这类问题应结合实际，根据代数式的特点解答．
【变式1-5】（2022秋•南开区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．表示﹣x的平方的式子是﹣x2
B．表示x、（﹣y）2、﹣3的积的式子是3xy2
C．x、y两数差的平方表示为（x﹣y）2
D．x2+y2的意义是x与y和的平方
【分析】根据有理数的乘方和乘法对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、错误．表示﹣x的平方的式子是（﹣x）2．
B、错误．表示x、（﹣y）2、﹣3的积的式子是﹣3xy2．
C、正确．x、y两数差的平方表示为（x﹣y）2．
D、错误．x2+y2的意义是x与y的平方和．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式，代数式的意义等知识，题目比较简单，主要是对一些书写习惯的考查．
题型二 单项式的有关概念
【例题2】（2022秋•连山区期末）在0，3x+1，ba，x2，﹣5a中，属于单项式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据单项式的义即可求出答案．
【解答】解：0，x2，﹣5a是单项式，
故选：C．
【点评】本题考查单项式，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型．
【变式2-1】下列式子−23ab，2x2y5，x+y2，﹣a2bc，1，x2﹣2x+1，3a中，单项式有 个．
【分析】根据单项式的概念判断即可．
【解答】解：下列式子−23ab，2x2y5，x+y2，﹣a2bc，1，x2﹣2x+1，3a中，
单项式有：−23ab，2x2y5，﹣a2bc，1，共有4个，
故答案为：4．
【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式与多项式的区别是解题的关键．
【变式2-2】（2022秋•汝阳县期末）下列代数式中，次数为3的单项式是（ ）
A．﹣m3nB．3a2b2C．4t3﹣3D．x2y2
【分析】一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【解答】解：A、﹣m3n的次数是4，故A不符合题意；
B、3a2b2的次数是4，故B 不符合题意；
C、4t3﹣1是多项式，故C不符合题意；
D、x2y2的次数是3，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查单项式的有关概念，关键是掌握单项式的次数的概念．
【变式2-3】（2023•越秀区校级一模）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）
A．﹣2xy2B．3x2C．2xy3D．2x3
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【解答】解：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．
A、﹣2xy2系数是﹣2，故本选项错误；
B、3x2系数是3，故本选项错误；
C、2xy3次数是4，故本选项错误；
D、2x3符合系数是2，次数是3，故本选项正确；
故选：D．
【点评】此题考查单项式问题，解答此题需灵活掌握单项式的系数和次数的定义．
【变式2-4】（2023•汕头二模）单项式−3πx2y4的系数为 ，次数是 ．
【分析】根据单项式系数和次数的概念求解即可．
【解答】解：单项式−3πx2y4的系数为−3π4，次数是3，
故答案为：−3π4，3．
【点评】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【变式2-5】（2022秋•湖北期末）下列关于单项式−2πa2b23的说法正确的是（ ）
A．次数是2，系数是﹣2πB．次数是5，系数是−23
C．次数是4，系数是−23πD．次数是4，系数是23
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【解答】解：根据单项式定义得：单项式−2πa2b23的次数是4，系数是−23π．
故选：C．
【点评】本题考查了单项式系数、次数的定义．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
【变式2-6】（2022秋•平谷区期末）单项式﹣3x2y的系数和次数分别是（ ）
A．3，2B．﹣3，2C．3，3D．﹣3，3
【分析】根据单项式的系数和次数的定义即可得出答案．
【解答】解：单项式﹣3x2y的系数和次数分别是﹣3，3，
故选：D．
【点评】本题考查了单项式次数，掌握单项式中所有字母指数的和是单项式的次数是解题的关键．
题型三 利用单项式的相关概念求值
【例题3】（2022秋•洛南县期中）已知单项式−23xya与﹣22x2y2的次数相同，求a的值．
【分析】根据单项式的次数的定义列出方程即可得出答案．
【解答】解：∵单项式−23xya与﹣22x2y2的次数相同，
∴a+1＝2+2，
∴a＝3．
【点评】本题考查了单项式次数，掌握单项式中所有字母指数的和是单项式的次数是解题的关键．
【变式3-1】若单项式−35xy3的系数是m，次数是n，则m+n＝（ ）
A．75B．115C．175D．195
【分析】根据单项式的次数与系数的定义解决此题．
【解答】解：由题意得：m=−35，n＝4．
∴m+n=−35+4=175．
故选：C．
【点评】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的系数与次数的定义是解决本题的关键．
【变式3-2】已知﹣4x2yzm是关于x，y，z的5次单项式，m是常数，则m的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据已知得出2+1+m＝5，求出即可．
【解答】解：∵﹣4x2yzm是关于x，y，z的5次单项式，m是常数，
∴2+1+m＝5，
解得：m＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了单项式的次数，能根据单项式的次数定义得出关于m的方程是解此题的关键．
【变式3-3】若（3m+3）x2yn+1是关于x，y的五次单项式且系数为最小的正整数，试求m，n的值．
【分析】根据单项式的次数和系数的定义可知3m+3＝1，2+n+1＝5，求得m、n的值即可．
【解答】解：∵（3m+3）x2yn+1是关于x，y的五次单项式，且系数为1，
∴3m+3＝1，2+n+1＝5．
解得：m=−23，n＝2．
【点评】本题主要考查的是单项式的概念，根据题意得到3m+3＝1，2+n+1＝5是解题的关键．
【变式3-4】已知（a﹣4）x3y|a|是一个七次单项式，求a2+3a﹣9的值．
【分析】一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，由此即可求解．
【解答】解：∵（a﹣4）x3y|a|是一个七次单项式，
∴|a|＝4，
∴a＝±4，
∵a﹣4≠0，
∴a＝﹣4，
∴a2+3a﹣9
＝（﹣4）2+3×（﹣4）﹣9
＝﹣5．
【点评】本题考查单项式的有关概念，绝对值的概念，关键是掌握单项式的次数的概念，并注意这个单项式的系数不等于0．
【变式3-5】已知单项式﹣2x2y3的系数和次数分别是a，b，求ab﹣ab的值．
【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，由此可得a＝﹣2，b＝5，即可求解．
【解答】解：∵单项式﹣2x2y3的系数和次数分别是a，b，
∴a＝﹣2，b＝5，
∴ab﹣ab＝（﹣2）5﹣（﹣2）×5＝﹣32+10＝﹣22．
【点评】本题考查单项式的有关概念，关键是掌握单项式的系数，次数的概念．
【变式3-6】已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．
【分析】根据单项式及单项式次数的定义，可得出a、b的值，代入代数式即可得出答案．
【解答】解：∵x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，
∴2+|a|=5b+2=0，
解得：a=±3b=−2，
则当a＝﹣3，b＝﹣2时，a2﹣3ab＝9﹣18＝﹣9；
当a＝3，b＝﹣2时，a2﹣3ab＝9+18＝27．
【点评】本题考查了单项式的知识，属于基础题，掌握单项式的定义及单项式次数的定义是解答本题的关键．
题型四 多项式及整式的有关概念
【例题4】（2022•南京模拟）多项式12x6y2−2x3y4+3的次数和项数分别为（ ）
A．7，2B．8，3C．8，2D．7，3
【分析】根据多项式的项和次数进行作答即可．
【解答】解：多项式12x6y2−2x3y4+3共有3项，分别是：12x6y2，其次数为6+2＝8，﹣2x3y4，其次数为3+4＝7，3，其次数为0，
∴多项式12x6y2−2x3y4+3的次数为8；
故选：B．
【点评】本题考查了多项式的项和次数，多项式中每个单项式都是多项式的项，有几个单项式就是几项式，多项式的次数是多项式中最高次项的次数，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式4-1】（2022•南京模拟）代数式1x，2x+y，13a2b，x−yπ，5y4x，0.5中整式的个数（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据整式的定义（根据单项式和多项式统称为整式）解决此题．
【解答】解：∵1x不是整式，2x+y是多项式，13a2b是单项式，x−yπ是多项式，5y4x不是整式，0.5是单项式，
∴整式有2x+y，13a2b，x−yπ，0.5，共有4个．
故选：B．
【点评】本题主要考查整式，熟练掌握整式的定义是解决本题的关键．
【变式4-2】下列说法错误的是（ ）
A．m是单项式也是整式
B．12（m﹣n）是多项式也是整式
C．整式一定是单项式
D．整式不一定是多项式
【分析】根据单项式、多项式和整式的定义解答即可．
【解答】解：A．m是单项式也是整式，原说法正确，故本选项不符合题意；
B．12（m﹣n）是多项式也是整式，原说法正确，故本选项不符合题意；
C．整式包括单项式和多项式，即整式不一定是单项式，原说法错误，故本选项符合题意；
D．整式包括单项式和多项式，即整式不一定是多项式，原说法正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了单项式、多项式、整式．解题的关键是掌握单项式的定义，多项式的定义，整式的定义，并能够明确单项式、多项式、整式的区别与联系．
【变式4-3】下列结论不正确的是（ ）
A．abc的系数是1
B．多项式1﹣3x2﹣x中，二次项是﹣3x2
C．﹣ab3的次数是4
D．−3xy4不是整式
【分析】根据单项式的定义可判断A，C，D，根据多项式的定义可判断B．
【解答】解：A．abc的系数是1，选项A不符合题意；
B．多项式1﹣3x2﹣x中二次项是﹣3x2，选项B不符合题意；
C．﹣ab3的次数是4，选项C不符合题意；
D．−3xy4是单项式，即是整式，选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了单项式和多项式，掌握单项式和多项式的定义是解题的关键．
【变式4-4】多项式2−15xy2−4x3y是 次 项式，其中常数项是 ．
【分析】根据多项式的次数和项数以及常数项的定义求解．
【解答】解：因为多项式2−15xy2﹣4x3y的最高次项是﹣4x3y，由三个单项式的和组成，
所以多项式2−15xy2﹣4x3y是四次三项式，其中常数项是2．
故答案是：四，三，2．
【点评】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．常数项是不含字母的项．
【变式4-5】在多项式2a4﹣4a3b2+7ab2﹣9中，最高次项的系数是（ ）
A．﹣4B．2C．4D．5
【分析】根据多项式的相关定义解答即可．
【解答】解：多项式2a4﹣4a3b2+7ab2﹣9中，最高次项的系数是﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了多项式的相关定义，能熟记多项式的相关定义是解此题的关键．
【变式4-6】（2022秋•馆陶县期末）在下列给出的四个多项式中，为三次二项式的多项式是（ ）
A．a2﹣3B．a3+2ab﹣1C．4a3﹣bD．4a2﹣3b+2
【分析】根据多项式的次数和项数即可得出答案．
【解答】解：A选项是二次二项式，故该选项不符合题意；
B选项是三次三项式，故该选项不符合题意；
C选项是三次二项式，故该选项符合题意；
D选项是二次三项式，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了多项式的次数和项数，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．
【变式4-7】下列说法：①2xπ的系数是2；②多项式2x2+xy2+3是二次三项式；③x2﹣x﹣2的常数项为2；④在1x，2x+y，13a2b，5y4x，0中，整式有3个．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据单项式、多项式和整式的有关概念解答即可．
【解答】解：①2xπ的系数是2π，原说法错误；
②多项式2x2+xy2+3是三次三项式，原说法错误；
③x2﹣x﹣2的常数项为﹣2，原说法错误；
④在1x，2x+y，13a2b，5y4x，0中，整式有3个，原说法正确．
其中正确的有1个．
故选：A．
【点评】本题考查了单项式和多项式的有关概念，能熟记定义是解此题的关键，注意：①表示数与数或数与字母的积的形式，叫单项式；单项式中的数字因数，叫单项式的系数；单项式中所有字母的指数的和，叫单项式的次数；②两个或两个以上的单项式的和，叫多项式；多项式中的每个单项式，叫多项式的项；多项式中次数最高的项的次数，叫多项式的次数，③单项式和多项式统称整式．
题型五 利用多项式的相关概念求值
【例题5】如果关于x，y的多项式xy|a|−13(a−2)y2+1是三次三项式，则a的值为 ．
【分析】直接利用绝对值与多项式的定义得出a的值，即可得出答案．
【解答】解：∵关于x，y的多项式xy|a|−13(a−2)y2+1是三次三项式，
∴|a|＝2且a﹣2≠0，
解得，a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查的是多项式，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
【变式5-1】多项式3x|m|y2+（m+2）x﹣1是四次二项式，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．±1
【分析】直接利用绝对值的性质以及多项式的次数与项数确定方法分析得出答案．
【解答】解：∵多项式3x|m|y2+（m+2）x﹣1是四次二项式，
∴m+2＝0，
解得：m＝﹣2，
此时|m|+2＝4符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了多项式以及绝对值，正确把握相关定义是解题的关键．
【变式5-2】若x|m|﹣1+（3+m）x﹣5是关于x的二次二项式，那么m的值为 ．
【分析】根据题意可得：|m|﹣1＝2且3+m＝0，再解即可．
【解答】解：由题意得：|m|﹣1＝2且3+m＝0，
解得：m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式定义，关键是掌握如果一个多项式含有a个单项式，最高次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
【变式5-3】若多项式xy|m﹣n|+（n﹣1）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn＝ ．
【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．
【解答】解：∵多项式xy|m﹣n|+（n﹣1）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，
∴n﹣1＝0，1+|m﹣n|＝3，
∴n＝1，|m﹣n|＝2，
∴m﹣n＝2或n﹣m＝2，
∴m＝3或m＝﹣1，
∴mn＝3或﹣1．
故答案为：3或﹣1．
【点评】此题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．
【变式5-4】已知（m﹣1）x3﹣（n+2）x2+（2m﹣5n）x﹣6是关于x的多项式．
（1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？
（2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？
【分析】（1）根据多项式的次数知识，可得当m﹣1＝0，且n+2≠0，即m＝1，n≠﹣2时，该多项式是关于x的二次多项式；
（2）由题意得，当m﹣1≠0，n+2＝0，且2m﹣5n＝0时，该多项式是关于x的三次二项式．
【解答】解：（1）由题意得，
当m﹣1＝0，且n+2≠0，
即m＝1，n≠﹣2时，该多项式是关于x的二次多项式；
（2）由题意得，
当m﹣1≠0，n+2＝0，且2m﹣5n＝0，
即m＝﹣5，n＝﹣2时，该多项式是关于x的三次二项式．
【点评】此题考查了多项式的次数与项数的确定能力，关键是能根据相关知识，准确确定题目中字母参数的值．
【变式5-5】已知关于x的多项式x2+（k+2）x+1是二次二项式．求：
（1）k的值．
（2）代数式（k+1）100+（k+1）99+…+（k+1）2+（k+1）的值．
【分析】（1）根据多项式x2+（k+2）x+1是二次二项式，可得出k+2＝0，从而得出k的值；
（2）把k＝﹣2代入要求的式子，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）∵关于x的多项式x2+（k+2）x+1是二次二项式，
∴k+2＝0，
∴k＝﹣2．
（2）把k＝﹣2代入（k+1）100+（k+1）99+…+（k+1）2+（k+1）得：
（﹣2+1）100+（﹣2+1）99+…+（﹣2+1）2+（﹣2+1）＝1+（﹣1）+…+1+（﹣1）＝0．
【点评】本题考查了多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
题型六 综合利用单项式、多项式的相关概念求值
【例题6】已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny2﹣m的次数与该多项式的次数相同．求m，n的值
【分析】利用多项式的有关定义得到m+1＝3，2n+2﹣m＝5，然后分别求出m、n．
【解答】解：∵﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，
∴m+1＝3，解得m＝2，
∵单项式3x2ny2﹣m的次数与该多项式的次数相同．
∴2n+2﹣m＝5，
即2n+2﹣2＝5，解得n=52，
【点评】本题考查了多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
【变式6-1】已知多项式﹣3x3ym+1+xy2−12x3+6是六次四项式，单项式23πxny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，求mn的值．
【分析】根据题意求出m与n的值，然后代入所求式子即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：m+1+3＝6，n+5﹣m＝6，
∴m＝2，n＝3，
∴mn＝23＝8
【点评】本题考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的概念，本题属于基础题型．
【变式6-2】已知多项式4x2﹣3xm+1y﹣x是一个四次三项式，n是最高次项的系数，求m﹣n的值．
【分析】根据多项式的次数和最高次项的系数求出m，n的值，代入代数式求值即可．
【解答】解：∵多项式4x2﹣3xm+1y﹣x是一个四次三项式，n是最高次项的系数，
∴m+1+1＝4，n＝﹣3，
∴m＝2，
∴m﹣n＝2+3＝5，
答：m﹣n的值为5．
【点评】本题考查了多项式的次数，掌握多项式中，次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．
【变式6-3】﹣5x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，且3x2ny5﹣m的次数跟它相同．
（1）求m，n的值；
（2）求多项式的常数项以及各项的系数和．
【分析】根据多项式的概念即可求出n与m的值，然后根据多项式即可判断常数项与各项系数．
【解答】解：（1）由题意可知：该多项式是六次多项式，
∴2+m+1＝6，
∴m＝3，
∵3x2ny5﹣m的次数也是六次，
∴2n+5﹣m＝6，
∴n＝2
∴m＝3，n＝2
（2）该多项式为：﹣5x2y4+xy2﹣3x3﹣6
常数项﹣6，各项系数为：﹣5，1，﹣3，﹣6，
故系数和为：﹣5+1﹣3﹣6＝﹣13
【点评】本题考查多项式与单项式的概念，属于基础题型．
【变式6-4】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，多项式﹣5x2ym+1+13xy2−14x3+6是六次四项式，单项式72x2ny5−m的次数与这个多项式的次数相同，求（a+b）m+mn﹣（cd﹣n）2021的值．
【分析】利用多项式次数和项数的确定方法可得m和n的值，然后再结合相反数和互为倒数定义进行计算即可．
【解答】解：∵多项式﹣5x2ym+1+13xy2−14x3+6是六次四项式，
∴2+m+1＝6，解得：m＝3，
∵单项式72x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，
∴2n+5﹣m＝6，
则2n+5﹣3＝6，
解得：n＝2，
∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，
∴a+b＝0，cd＝1，
∴（a+b）m+mn﹣（cd﹣n）2021
＝0+9﹣（1﹣2）2021
＝9﹣（﹣1）
＝10．
【点评】此题主要考查了多项式，以及有理数的混合运算，关键是正确确定m和n的值．
【变式6-5】（2022秋•武冈市期末）已知多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是关于x、y的五次四项式，单项式﹣8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，求（a﹣b）c+1的值．
【分析】根据多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是五次四项式，可得a+1＝3，a＝2，由单项式﹣8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，得出b＝6，c＝1，代入即可得出答案．
【解答】解：∵多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是五次四项式，
∴a+1＝3，a＝2，
∵单项式﹣8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，
∴b＝6，c＝1，
∴（a﹣b）c+1＝（2﹣6）1+1＝（﹣4）2＝16．
∴（a﹣b）c+1的值为16．
【点评】本题考查了多项式、单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式、多项式的定义．
题型七 多项式中结论开放性问题
【例题7】（2022秋•淮滨县期末）有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为： ．
【分析】根据多项式的项，组成多项式项的次数的概念即可求解．
【解答】解：多项式x3+y3中x3的次数为3，y3的次数为3．
故答案为：x3+y3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键．
【变式7-1】一个关于字母a，b的多项式，每项的次数都是3，这个多项式最多有几项，试写出一个符合要求的多项式．
【分析】利用已知写一个关于字母a，b的多项式，每项的次数都是3进而得出符合题意多项式即可．
【解答】解：根据题意可得：a2b+ab2+a3+b3．
【点评】此题主要考查了多项式，正确根据题意利用次数以及项数得出是解题关键．
【变式7-2】写出一个关于x，y的六次四项式，且常数是﹣8．
【分析】多项式中每个单项式叫做多项式的项；
这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数；
而满足这个条件的多项式有许多，因此此题答案不唯一．
【解答】解：此题答案不唯一，满足条件的可为：a4b2﹣a3+b﹣8．
【点评】此题考查的是多项式的性质，此题是开放型题目，答案不唯一，学生可以根据条件自由发挥．
【变式7-3】写出一个只含字母a，b的多项式，需满足以下条件：
（1）五次四项式；（2）每一项的系数为1或﹣1；（3）不含常数项；（4）每一项必须同时含有字母a，b不含有其它字母．
【分析】根据题意，所写多项式符合4个条件即可．
【解答】解：根据题意得出：ab4+ab3+a3b2+a4b．
【点评】此题主要考查了多项式的定义，熟练根据多项式定义得出是解题关键．
【变式7-4】写出同时满足下列4个条件的一个多项式：
①该多项式含有字母x和y；
②该多项式第一项是常数项；
③该多项式是三次四项式；
④该多项式各项系数和为零．
【分析】根据题目的要求可直接写出符合条件的多项式，本题为开放题，答案不唯一．
【解答】解：3﹣x+2y﹣4xy2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了多项式的知识，解题时需要根据多项式的特点来写，比较简单．
【变式7-5】试至少写两个只含有字母x、y的多项式，且满足下列条件：
（1）六次三项式；
（2）每一项的系数均为1或﹣1；
（3）不含常数项；
（4）每一项必须同时含字母x、y，但不能含有其他字母．
【分析】多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，满足条件（1），即最高项的次数为6，满足条件（2），多项式的系数是1或﹣1，满足条件（3），即多项式没有常数项，满足条件（4）多项式中每项都含xy，不能有其它字母．
【解答】解：此题答案不唯一，
如：x3y3﹣x2y4+xy5；﹣x2y4﹣xy﹣xy2．
【点评】多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，要看清每项条件的要求．
题型八 单项式中的规律探究问题
【例题8】观察下列一系列单项式的特点：
12x2y，−14x2y2，18x2y3，−116x2y4，…
（1）写出第8个单项式；
（2）猜想第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
【分析】（1）根据观察，可发现规律：系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn，可得答案；
（2）根据观察，可发现规律：系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn，可得答案．
【解答】解：由观察下列单项式：12x2y，−14x2y2，18x2y3，−116x2y4，…，得
系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn，
第8个单项式﹣（12）8x2y8；
（2）由观察下列单项式：12x2y，−14x2y2，18x2y3，−116x2y4，…，得
第n个单项式是（﹣1）n+1×（12）nx2yn，系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn，次数n+2．
【点评】本题考查了单项式，观察发现规律系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn是解题关键．
【变式8-1】（2022•五华区校级模拟）观察后面一组单项式：﹣4，7a，﹣10a2，13a3，…，根据你发现的规律，则第7个单项式是（ ）
A．﹣19a7B．19a7C．﹣22a6D．22a6
【分析】由已知得第奇数个单项式的符号为负数，第7个单项式的系数绝对值为4+3×6，字母及字母的指数为a6，即可得到答案．
【解答】解：经过观察可得第奇数个单项式的符号为负数，第偶数个单项式的符号为正数；
第1个单项式的系数绝对值为4+3×0，
第2个单项式的系数绝对值为4+3×1，
…
第7个单项式的系数绝对值为4+3×6；
第1个单项式的字母及字母的指数为a0，
第2个单项式的字母及字母的指数为a1，
…
第7个单项式的字母及字母的指数为a6；
∴第7个单项式为﹣22a6，
故选：C．
【点评】本题考查数字及数字的变化规律．能够正确得到各个单项式符号，系数，字母及字母指数的规律是解决本题的关键．
【变式8-2】（2023•玉溪三模）探索规律：观察下面的一列单项式：x、﹣2x2、4x3、﹣8x4、16x5、…，根据其中的规律得出的第8个单项式是（ ）
A．﹣64x8B．64x8C．128x8D．﹣128x8
【分析】根据符号的规律：n为奇数时，单项式为正号，n为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是2n﹣1．指数的规律：第n个对应的指数是n解答即可．
【解答】解：根据题意得：
第8个单项式是﹣27x8＝﹣128x8．
故选：D．
【点评】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
【变式8-3】（2023•西山区模拟）按一定规律排列的单项式：﹣3，5a，﹣9a2，17a3，…，则第7个单项式是（ ）
A．﹣127a7B．﹣129a6C．127a7D．129a6
【分析】由单项式的排列规律，即可得到答案．
【解答】解：因为按一定规律排列的单项式：﹣3，5a，﹣9a2，17a3，…，第奇数个单项式的系数是负数，第偶数个单项式的系数是正数；并且从第二个单项式起，每个单项式系数的绝对值是它前面单项式系数的绝对值的2倍减1，
所以第7个单项式是﹣129a6．
故选：B．
【点评】本题考查单项式，关键是掌握单项式的变化规律．
【变式8-4】（2022•昆明一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，11a8b2，…，第8个单项式是（ ）
A．17a14b2B．17a8b14C．15a7b14D．152a14b2
【分析】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可．
【解答】解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数，
单项式中a的指数偶数，b的指数不变，
所以第8个单项式是：17a14b2．
故选：A．
【点评】本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键．
【变式8-5】探究规律题：
按照规律填上所缺的单项式并回答问题：
（1）a，﹣2a2，3a3，﹣4a4， ， ；
（2）试写出第2017个和第2018个单项式．
（3）试写出第n个单项式．
（4）试计算：当a＝﹣1时，a+（﹣2a2）+3a3+（﹣4a4）+…+99a99+（﹣100a100）的值．
【分析】（1）通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为n×（﹣1）n+1，字母是a，a的指数为n的值．由此可解出本题．
（2）根据以上规律可得；
（3）根据以上规律可得；
（4）将a＝﹣1代入列出算式计算可得．
【解答】解：（1）5a5，﹣6a6，
故答案为：5a5，﹣6a6；
（2）第2017个单项式为2017a2017，第2018个单项式为﹣2018a2018；
（3）第n个单项式为（﹣1）n+1•n•an；
（4）原式＝﹣1﹣2﹣3…﹣100＝﹣5050．
【点评】考查了找规律的单项式题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
题型九 多项式中的规律探究问题
【例题9】一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第n（n为正整数）个式子的次数是（ ）
A．nB．2n﹣1C．3n﹣1D．2n
【分析】先根据已知算式得出规律，再根据多项式次数的定义得出答案即可．
【解答】解：∵a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，
∴a的指数依次为1，2，3，4，5，6，•••，
b的指数依次为1，3，5，7，•••，（2×1﹣1＝1，2×2﹣1＝3，2×3﹣1＝7，•••），
∴第n（n为正整数）个式子的次数是2n﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了代数式和多项式的次数定义，能根据已知算式得出规律是解此题的关键，注意：多项式中次数最高的项的次数，叫多项式的次数．
【变式9-1】有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为 ．
【分析】首先观察归纳，可得规律：第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n，然后将n＝10代入，即可求得答案．
【解答】解：∵第1个多项式为：a1+b2×1，
第2个多项式为：a2﹣b2×2，
第3个多项式为：a3+b2×3，
第4个多项式为：a4﹣b2×4，
…
∴第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n，
∴第10个多项式为：a10﹣b20．
故答案为：a10﹣b20．
【点评】此题属于规律性题目．此题难度不大，注意找到规律第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n是解此题的关键．
【变式9-2】观察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…按此规律写出第n个式子是 ．
【分析】根据所给式子发现规律，即可解答．
【解答】解：x+1＝x+12，
x2+4＝x2+22，
x3+9＝x3+32，
x4+16＝x4+42，
x5+25＝x5+52，
…
第n个式子是xn+n2．
故答案为：xn+n2．
【点评】本题考查了多项式，解决本题的关键是根据所给式子发现规律．
【变式9-3】有一个多项式为a8﹣a7b+a6b2﹣a5b3+…，按照此规律写下来，这个多项式的第六项是 ．
【分析】由多项式的特点可知，该多项式是加减替换，a从最高次方向最低次方递减，b从最低次方到最高次方递增．由此可知第六项是﹣a3b5．
【解答】解：因为a的指数第一项为8，第二项为7，第三项为6…
所以第六项为1；
又由于两个字母指数的和为8，偶数项为负，
所以第6项为﹣a3b5．
故答案为：﹣a3b5．
【点评】此题考查的是对多项式的规律，通过对多项式的观察可得出答案．
【变式9-4】已知多项式﹣a+2b2﹣3a3+4b4﹣5a5+…，则第100项是 ，第2007项是 ，第n项是 ．
【分析】各项的符号一负一正相隔出现，第奇数项含a，指数是系数的绝对值；第偶数项含b，指数是系数的绝对值，分情况讨论：当n为奇数；当n为偶数．
【解答】解：∵﹣a+2b2﹣3a3+4b4﹣5a5+…，
∴第100项是100b100，第2007项是﹣2007a2007，
分情况讨论：
①当n为奇数，第n项是﹣nan；
②当n为偶数，第n项是nbn．
故答案为：100b100；﹣2007a2007；﹣nan或nbn．
【点评】本题是一道规律型题目，考查了多项式的项以及通项公式，难度较大．
【变式9-5】观察多项式x﹣3x2+5x3﹣7x4+…的构成规律，并回答下列问题：
（1）它的第100项是什么？
（2）它的第n（n为正整数）项是什么？
（3）当x＝1时，求前2014项的和．
【分析】（1）根据多项式得出规律，确定出第100项即可；
（2）写出得出的规律即可；
（3）把x＝1代入多项式计算即可求出．
【解答】解：（1）根据题意得：第100项为﹣199x100；
（2）根据题意得：第n项为（﹣1）n+1（2n﹣1）xn；
（3）把x＝1代入得：1﹣3+5﹣7+…+4025﹣4027＝﹣2﹣2…﹣2（1007个﹣2相加）＝﹣2014．
【点评】此题考查了多项式，弄清题中规律是解本题的关键．
解题技巧提炼
1、用运算符号把数与字母连接而成的，叫做代数式．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
2、代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义．
解题技巧提炼
1、数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉；
2、在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
解题技巧提炼
根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方
程，求出方程的解即可.
解题技巧提炼
1、几个单项式的和叫做多项式.
2、多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数.
3、单项式和多项式统称为整式.所有的单项式和多项式整式，既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整式.
解题技巧提炼
根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出方程的解即可.
解题技巧提炼
主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的相关概念解题即可．
解题技巧提炼
本题考查了多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键．
解题技巧提炼
对于与单项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题.
解题技巧提炼
对于与多项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题.
解题技巧提炼
1、用运算符号把数与字母连接而成的，叫做代数式．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
2、代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义．
解题技巧提炼
1、数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉；
2、在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
解题技巧提炼
根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方
程，求出方程的解即可.
解题技巧提炼
1、几个单项式的和叫做多项式.
2、多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数.
3、单项式和多项式统称为整式.所有的单项式和多项式整式，既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整式.
解题技巧提炼
根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出方程的解即可.
解题技巧提炼
主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的相关概念解题即可．
解题技巧提炼
本题考查了多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键．
解题技巧提炼
对于与单项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题.
解题技巧提炼
对于与多项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题.
知识点一
代数式
◆1、代数式的定义：像的式子都是用运算符号把数与字母连接而成的，叫做代数式．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
【注意】
（1）运算符号包括＋、－、×、÷、乘方．
（2）带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．
◆2、代数式书写注意事项：
（1）在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
（2）在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
（3）含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
知识点二
单项式
◆1、单项式的定义：
数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.
◆2、判断单项式的方法：
（1）单独一个数或一个字母也是单项式.
（2）不含加减运算，单项式只含有乘积运算.
（3）单项式数字因数与字母可能一个或多个.
（4）可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算．
◆3、单项式的系数、次数
（1）系数：单项式中的数字因数叫做系数；
（2）次数：所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
（3）确定单项式的系数及次数时，应注意：
① 圆周率 π 是常数；
② 当一个单项式的系数是 1 或 －1 时，“1”通常省略不写；
③ 单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉；
④ 对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0.
知识点三
多项式
◆1、多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式.
◆2、多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.
单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就
叫b次a项式．
（2）多项式的每一项包含它前面的符号．
◆3、多项式的次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数.
（1）要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的；
（2）一个多项式的最高次项可以不唯一.
（3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式.
知识点四
整式
（1）单项式和多项式统称整式.
（2）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式一定是整式，整式一定是代数式，但反过来不一定成立.
（3）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式.
知识点五
列代数式及其表示的意义
◆1、列代数式的定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
◆2、列代数式应该注意的以下五点：
①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．
②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．
③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．
④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．
⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
◆3、代数式的意义：代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义．
题型一 代数式及代数式表示的意义
【例题1】（2022秋•栾城区期末）下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．m×6B．n3C．x﹣7元D．234xy2
【变式1-1】（2023•淳安县一模）苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（ ）
A．（a+b）元B．（3a+2b）元C．5（a+b）元D．（2a+3b）元
【变式1-2】下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．18×bB．114xC．−ba2D．m÷2n
【变式1-3】若练习本每本a元，铅笔每支b元，那么代数式8a+3b表示的意义是 ．
【变式1-4】用一生活情景描述1.5a+2b的实际意义： ．
【变式1-5】（2022秋•南开区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．表示﹣x的平方的式子是﹣x2
B．表示x、（﹣y）2、﹣3的积的式子是3xy2
C．x、y两数差的平方表示为（x﹣y）2
D．x2+y2的意义是x与y和的平方
题型二 单项式的有关概念
【例题2】（2022秋•连山区期末）在0，3x+1，ba，x2，﹣5a中，属于单项式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-1】下列式子−23ab，2x2y5，x+y2，﹣a2bc，1，x2﹣2x+1，3a中，单项式有 个．
【变式2-2】（2022秋•汝阳县期末）下列代数式中，次数为3的单项式是（ ）
A．﹣m3nB．3a2b2C．4t3﹣3D．x2y2
【变式2-3】（2023•越秀区校级一模）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）
A．﹣2xy2B．3x2C．2xy3D．2x3
【变式2-4】（2023•汕头二模）单项式−3πx2y4的系数为 ，次数是 ．
【变式2-5】（2022秋•湖北期末）下列关于单项式−2πa2b23的说法正确的是（ ）
A．次数是2，系数是﹣2πB．次数是5，系数是−23
C．次数是4，系数是−23πD．次数是4，系数是23
【变式2-6】（2022秋•平谷区期末）单项式﹣3x2y的系数和次数分别是（ ）
A．3，2B．﹣3，2C．3，3D．﹣3，3
题型三 利用单项式的相关概念求值
【例题3】（2022秋•洛南县期中）已知单项式−23xya与﹣22x2y2的次数相同，求a的值．
【变式3-1】若单项式−35xy3的系数是m，次数是n，则m+n＝（ ）
A．75B．115C．175D．195
【变式3-2】已知﹣4x2yzm是关于x，y，z的5次单项式，m是常数，则m的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式3-3】若（3m+3）x2yn+1是关于x，y的五次单项式且系数为最小的正整数，试求m，n的值．
【变式3-4】已知（a﹣4）x3y|a|是一个七次单项式，求a2+3a﹣9的值．
【变式3-5】已知单项式﹣2x2y3的系数和次数分别是a，b，求ab﹣ab的值．
【变式3-6】已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．
题型四 多项式及整式的有关概念
【例题4】（2022•南京模拟）多项式12x6y2−2x3y4+3的次数和项数分别为（ ）
A．7，2B．8，3C．8，2D．7，3
【变式4-1】（2022•南京模拟）代数式1x，2x+y，13a2b，x−yπ，5y4x，0.5中整式的个数（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式4-2】下列说法错误的是（ ）
A．m是单项式也是整式
B．12（m﹣n）是多项式也是整式
C．整式一定是单项式
D．整式不一定是多项式
【变式4-3】下列结论不正确的是（ ）
A．abc的系数是1
B．多项式1﹣3x2﹣x中，二次项是﹣3x2
C．﹣ab3的次数是4
D．−3xy4不是整式
【变式4-4】多项式2−15xy2−4x3y是 次 项式，其中常数项是 ．
【变式4-5】在多项式2a4﹣4a3b2+7ab2﹣9中，最高次项的系数是（ ）
A．﹣4B．2C．4D．5
【变式4-6】（2022秋•馆陶县期末）在下列给出的四个多项式中，为三次二项式的多项式是（ ）
A．a2﹣3B．a3+2ab﹣1C．4a3﹣bD．4a2﹣3b+2
【变式4-7】下列说法：①2xπ的系数是2；②多项式2x2+xy2+3是二次三项式；③x2﹣x﹣2的常数项为2；④在1x，2x+y，13a2b，5y4x，0中，整式有3个．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型五 利用多项式的相关概念求值
【例题5】如果关于x，y的多项式xy|a|−13(a−2)y2+1是三次三项式，则a的值为 ．
【变式5-1】多项式3x|m|y2+（m+2）x﹣1是四次二项式，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．±1
【变式5-2】若x|m|﹣1+（3+m）x﹣5是关于x的二次二项式，那么m的值为 ．
【变式5-3】若多项式xy|m﹣n|+（n﹣1）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn＝ ．
【变式5-4】已知（m﹣1）x3﹣（n+2）x2+（2m﹣5n）x﹣6是关于x的多项式．
（1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？
（2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？
【变式5-5】已知关于x的多项式x2+（k+2）x+1是二次二项式．求：
（1）k的值．
（2）代数式（k+1）100+（k+1）99+…+（k+1）2+（k+1）的值．
题型六 综合利用单项式、多项式的相关概念求值
【例题6】已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny2﹣m的次数与该多项式的次数相同．求m，n的值
【变式6-1】已知多项式﹣3x3ym+1+xy2−12x3+6是六次四项式，单项式23πxny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，求mn的值．
【变式6-2】已知多项式4x2﹣3xm+1y﹣x是一个四次三项式，n是最高次项的系数，求m﹣n的值．
【变式6-3】﹣5x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，且3x2ny5﹣m的次数跟它相同．
（1）求m，n的值；
（2）求多项式的常数项以及各项的系数和．
【变式6-4】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，多项式﹣5x2ym+1+13xy2−14x3+6是六次四项式，单项式72x2ny5−m的次数与这个多项式的次数相同，求（a+b）m+mn﹣（cd﹣n）2021的值．
【变式6-5】（2022秋•武冈市期末）已知多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是关于x、y的五次四项式，单项式﹣8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，求（a﹣b）c+1的值．
题型七 多项式中结论开放性问题
【例题7】（2022秋•淮滨县期末）有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为： ．
【变式7-1】一个关于字母a，b的多项式，每项的次数都是3，这个多项式最多有几项，试写出一个符合要求的多项式．
【变式7-2】写出一个关于x，y的六次四项式，且常数是﹣8．
【变式7-3】写出一个只含字母a，b的多项式，需满足以下条件：
（1）五次四项式；（2）每一项的系数为1或﹣1；（3）不含常数项；（4）每一项必须同时含有字母a，b不含有其它字母．
【变式7-4】写出同时满足下列4个条件的一个多项式：
①该多项式含有字母x和y；
②该多项式第一项是常数项；
③该多项式是三次四项式；
④该多项式各项系数和为零．
【变式7-5】试至少写两个只含有字母x、y的多项式，且满足下列条件：
（1）六次三项式；
（2）每一项的系数均为1或﹣1；
（3）不含常数项；
（4）每一项必须同时含字母x、y，但不能含有其他字母．
题型八 单项式中的规律探究问题
【例题8】观察下列一系列单项式的特点：
12x2y，−14x2y2，18x2y3，−116x2y4，…
（1）写出第8个单项式；
（2）猜想第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
【变式8-1】（2022•五华区校级模拟）观察后面一组单项式：﹣4，7a，﹣10a2，13a3，…，根据你发现的规律，则第7个单项式是（ ）
A．﹣19a7B．19a7C．﹣22a6D．22a6
【变式8-2】（2023•玉溪三模）探索规律：观察下面的一列单项式：x、﹣2x2、4x3、﹣8x4、16x5、…，根据其中的规律得出的第8个单项式是（ ）
A．﹣64x8B．64x8C．128x8D．﹣128x8
【变式8-3】（2023•西山区模拟）按一定规律排列的单项式：﹣3，5a，﹣9a2，17a3，…，则第7个单项式是（ ）
A．﹣127a7B．﹣129a6C．127a7D．129a6
【变式8-4】（2022•昆明一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，11a8b2，…，第8个单项式是（ ）
A．17a14b2B．17a8b14C．15a7b14D．152a14b2
【变式8-5】探究规律题：
按照规律填上所缺的单项式并回答问题：
（1）a，﹣2a2，3a3，﹣4a4， ， ；
（2）试写出第2017个和第2018个单项式．
（3）试写出第n个单项式．
（4）试计算：当a＝﹣1时，a+（﹣2a2）+3a3+（﹣4a4）+…+99a99+（﹣100a100）的值．
题型九 多项式中的规律探究问题
【例题9】一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第n（n为正整数）个式子的次数是（ ）
A．nB．2n﹣1C．3n﹣1D．2n
【变式9-1】有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为 ．
【变式9-2】观察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…按此规律写出第n个式子是 ．
【变式9-3】有一个多项式为a8﹣a7b+a6b2﹣a5b3+…，按照此规律写下来，这个多项式的第六项是 ．
【变式9-4】已知多项式﹣a+2b2﹣3a3+4b4﹣5a5+…，则第100项是 ，第2007项是 ，第n项是 ．
【变式9-5】观察多项式x﹣3x2+5x3﹣7x4+…的构成规律，并回答下列问题：
（1）它的第100项是什么？
（2）它的第n（n为正整数）项是什么？
（3）当x＝1时，求前2014项的和．
（苏科版）七年级上册数学《第3章 代数式》
3.2 代 数 式
知识点一
代数式
◆1、代数式的定义：像的式子都是用运算符号把数与字母连接而成的，叫做代数式．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
【注意】
（1）运算符号包括＋、－、×、÷、乘方．
（2）带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．
◆2、代数式书写注意事项：
（1）在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
（2）在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
（3）含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
知识点二
单项式
◆1、单项式的定义：
数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.
◆2、判断单项式的方法：
（1）单独一个数或一个字母也是单项式.
（2）不含加减运算，单项式只含有乘积运算.
（3）单项式数字因数与字母可能一个或多个.
（4）可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算．
◆3、单项式的系数、次数
（1）系数：单项式中的数字因数叫做系数；
（2）次数：所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
（3）确定单项式的系数及次数时，应注意：
① 圆周率 π 是常数；
② 当一个单项式的系数是 1 或 －1 时，“1”通常省略不写；
③ 单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉；
④ 对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0.
知识点三
多项式
◆1、多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式.
◆2、多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.
单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就
叫b次a项式．
（2）多项式的每一项包含它前面的符号．
◆3、多项式的次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数.
（1）要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的；
（2）一个多项式的最高次项可以不唯一.
（3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式.
知识点四
整式
（1）单项式和多项式统称整式.
（2）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式一定是整式，整式一定是代数式
但反过来不一定成立.
（3）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式.
知识点五
列代数式及其表示的意义
◆1、列代数式的定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
◆2、列代数式应该注意的以下五点：
①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．
②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．
③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．
④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．
⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
◆3、代数式的意义：代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义．
题型一 代数式及代数式表示的意义
【例题1】（2022秋•栾城区期末）下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．m×6B．n3C．x﹣7元D．234xy2
【分析】根据代数式的书写要求判断各项．
【解答】解：A、不符合书写要求，应为6m，故此选项不符合题意；
B、n3符合书写要求，故此选项符合题意；
C、不符合书写要求，应为（x﹣7）元，故此选项不符合题意；
D、不符合书写要求，应为114xy2，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了代数式的书写要求．解题的关键是掌握代数式的书写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
【变式1-1】（2023•淳安县一模）苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（ ）
A．（a+b）元B．（3a+2b）元C．5（a+b）元D．（2a+3b）元
【分析】用买2千克苹果的钱数加上3千克香蕉的钱数即可．
【解答】解：根据题意得：买2千克苹果和3千克香蕉共需（2a+3b）元．
故选：D．
【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．
【变式1-2】下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．18×bB．114xC．−ba2D．m÷2n
【分析】根据代数式的书写规则，数字与字母之间的乘号应省略，分数不能为带分数，不能出现除号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案．
【解答】解：A、正确书写格式为：18b，故此选项不符合题意；
B、正确书写格式为：54x，故此选项不符合题意；
C、是正确的书写格式，故此选项符合题意；
D、正确书写格式为：m2n，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了代数式的书写规则，能够根据代数式书写的标准规则对各项进行分析，得出答案是解题的关键．
【变式1-3】若练习本每本a元，铅笔每支b元，那么代数式8a+3b表示的意义是 ．
【分析】根据练习本每本a元，铅笔每支b元，知道8a+3b是买8本练习本和3支铅笔需要的总钱数．
【解答】解：8a+3b表示的意义是买8本练习本和3支铅笔需要的钱数，
故答案为：买8本练习本和3支铅笔需要的钱数．
【点评】本题考查了代数式的实际意义，此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答．
【变式1-4】用一生活情景描述1.5a+2b的实际意义： ．
【分析】结合实际情境作答，答案不唯一，如一斤苹果的价格是a元，一斤桔子的价格是b元，那么1.5斤苹果和2斤桔子的总价是（1.5a+2b）元．
【解答】解：答案不唯一：如一斤苹果的价格是a元，一斤桔子的价格是b元，那么1.5斤苹果和2斤桔子的总价是（1.5a+2b）元．
故答案为：一斤苹果的价格是a元，一斤桔子的价格是b元，那么1.5斤苹果和2斤桔子的总价是（1.5a+2b）元．
【点评】此题考查了代数式，解决这类问题应结合实际，根据代数式的特点解答．
【变式1-5】（2022秋•南开区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．表示﹣x的平方的式子是﹣x2
B．表示x、（﹣y）2、﹣3的积的式子是3xy2
C．x、y两数差的平方表示为（x﹣y）2
D．x2+y2的意义是x与y和的平方
【分析】根据有理数的乘方和乘法对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、错误．表示﹣x的平方的式子是（﹣x）2．
B、错误．表示x、（﹣y）2、﹣3的积的式子是﹣3xy2．
C、正确．x、y两数差的平方表示为（x﹣y）2．
D、错误．x2+y2的意义是x与y的平方和．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式，代数式的意义等知识，题目比较简单，主要是对一些书写习惯的考查．
题型二 单项式的有关概念
【例题2】（2022秋•连山区期末）在0，3x+1，ba，x2，﹣5a中，属于单项式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据单项式的义即可求出答案．
【解答】解：0，x2，﹣5a是单项式，
故选：C．
【点评】本题考查单项式，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型．
【变式2-1】下列式子−23ab，2x2y5，x+y2，﹣a2bc，1，x2﹣2x+1，3a中，单项式有 个．
【分析】根据单项式的概念判断即可．
【解答】解：下列式子−23ab，2x2y5，x+y2，﹣a2bc，1，x2﹣2x+1，3a中，
单项式有：−23ab，2x2y5，﹣a2bc，1，共有4个，
故答案为：4．
【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式与多项式的区别是解题的关键．
【变式2-2】（2022秋•汝阳县期末）下列代数式中，次数为3的单项式是（ ）
A．﹣m3nB．3a2b2C．4t3﹣3D．x2y2
【分析】一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【解答】解：A、﹣m3n的次数是4，故A不符合题意；
B、3a2b2的次数是4，故B 不符合题意；
C、4t3﹣1是多项式，故C不符合题意；
D、x2y2的次数是3，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查单项式的有关概念，关键是掌握单项式的次数的概念．
【变式2-3】（2023•越秀区校级一模）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）
A．﹣2xy2B．3x2C．2xy3D．2x3
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【解答】解：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．
A、﹣2xy2系数是﹣2，故本选项错误；
B、3x2系数是3，故本选项错误；
C、2xy3次数是4，故本选项错误；
D、2x3符合系数是2，次数是3，故本选项正确；
故选：D．
【点评】此题考查单项式问题，解答此题需灵活掌握单项式的系数和次数的定义．
【变式2-4】（2023•汕头二模）单项式−3πx2y4的系数为 ，次数是 ．
【分析】根据单项式系数和次数的概念求解即可．
【解答】解：单项式−3πx2y4的系数为−3π4，次数是3，
故答案为：−3π4，3．
【点评】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【变式2-5】（2022秋•湖北期末）下列关于单项式−2πa2b23的说法正确的是（ ）
A．次数是2，系数是﹣2πB．次数是5，系数是−23
C．次数是4，系数是−23πD．次数是4，系数是23
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【解答】解：根据单项式定义得：单项式−2πa2b23的次数是4，系数是−23π．
故选：C．
【点评】本题考查了单项式系数、次数的定义．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
【变式2-6】（2022秋•平谷区期末）单项式﹣3x2y的系数和次数分别是（ ）
A．3，2B．﹣3，2C．3，3D．﹣3，3
【分析】根据单项式的系数和次数的定义即可得出答案．
【解答】解：单项式﹣3x2y的系数和次数分别是﹣3，3，
故选：D．
【点评】本题考查了单项式次数，掌握单项式中所有字母指数的和是单项式的次数是解题的关键．
题型三 利用单项式的相关概念求值
【例题3】（2022秋•洛南县期中）已知单项式−23xya与﹣22x2y2的次数相同，求a的值．
【分析】根据单项式的次数的定义列出方程即可得出答案．
【解答】解：∵单项式−23xya与﹣22x2y2的次数相同，
∴a+1＝2+2，
∴a＝3．
【点评】本题考查了单项式次数，掌握单项式中所有字母指数的和是单项式的次数是解题的关键．
【变式3-1】若单项式−35xy3的系数是m，次数是n，则m+n＝（ ）
A．75B．115C．175D．195
【分析】根据单项式的次数与系数的定义解决此题．
【解答】解：由题意得：m=−35，n＝4．
∴m+n=−35+4=175．
故选：C．
【点评】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的系数与次数的定义是解决本题的关键．
【变式3-2】已知﹣4x2yzm是关于x，y，z的5次单项式，m是常数，则m的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据已知得出2+1+m＝5，求出即可．
【解答】解：∵﹣4x2yzm是关于x，y，z的5次单项式，m是常数，
∴2+1+m＝5，
解得：m＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了单项式的次数，能根据单项式的次数定义得出关于m的方程是解此题的关键．
【变式3-3】若（3m+3）x2yn+1是关于x，y的五次单项式且系数为最小的正整数，试求m，n的值．
【分析】根据单项式的次数和系数的定义可知3m+3＝1，2+n+1＝5，求得m、n的值即可．
【解答】解：∵（3m+3）x2yn+1是关于x，y的五次单项式，且系数为1，
∴3m+3＝1，2+n+1＝5．
解得：m=−23，n＝2．
【点评】本题主要考查的是单项式的概念，根据题意得到3m+3＝1，2+n+1＝5是解题的关键．
【变式3-4】已知（a﹣4）x3y|a|是一个七次单项式，求a2+3a﹣9的值．
【分析】一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，由此即可求解．
【解答】解：∵（a﹣4）x3y|a|是一个七次单项式，
∴|a|＝4，
∴a＝±4，
∵a﹣4≠0，
∴a＝﹣4，
∴a2+3a﹣9
＝（﹣4）2+3×（﹣4）﹣9
＝﹣5．
【点评】本题考查单项式的有关概念，绝对值的概念，关键是掌握单项式的次数的概念，并注意这个单项式的系数不等于0．
【变式3-5】已知单项式﹣2x2y3的系数和次数分别是a，b，求ab﹣ab的值．
【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，由此可得a＝﹣2，b＝5，即可求解．
【解答】解：∵单项式﹣2x2y3的系数和次数分别是a，b，
∴a＝﹣2，b＝5，
∴ab﹣ab＝（﹣2）5﹣（﹣2）×5＝﹣32+10＝﹣22．
【点评】本题考查单项式的有关概念，关键是掌握单项式的系数，次数的概念．
【变式3-6】已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．
【分析】根据单项式及单项式次数的定义，可得出a、b的值，代入代数式即可得出答案．
【解答】解：∵x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，
∴2+|a|=5b+2=0，
解得：a=±3b=−2，
则当a＝﹣3，b＝﹣2时，a2﹣3ab＝9﹣18＝﹣9；
当a＝3，b＝﹣2时，a2﹣3ab＝9+18＝27．
【点评】本题考查了单项式的知识，属于基础题，掌握单项式的定义及单项式次数的定义是解答本题的关键．
题型四 多项式及整式的有关概念
【例题4】（2022•南京模拟）多项式12x6y2−2x3y4+3的次数和项数分别为（ ）
A．7，2B．8，3C．8，2D．7，3
【分析】根据多项式的项和次数进行作答即可．
【解答】解：多项式12x6y2−2x3y4+3共有3项，分别是：12x6y2，其次数为6+2＝8，﹣2x3y4，其次数为3+4＝7，3，其次数为0，
∴多项式12x6y2−2x3y4+3的次数为8；
故选：B．
【点评】本题考查了多项式的项和次数，多项式中每个单项式都是多项式的项，有几个单项式就是几项式，多项式的次数是多项式中最高次项的次数，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式4-1】（2022•南京模拟）代数式1x，2x+y，13a2b，x−yπ，5y4x，0.5中整式的个数（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据整式的定义（根据单项式和多项式统称为整式）解决此题．
【解答】解：∵1x不是整式，2x+y是多项式，13a2b是单项式，x−yπ是多项式，5y4x不是整式，0.5是单项式，
∴整式有2x+y，13a2b，x−yπ，0.5，共有4个．
故选：B．
【点评】本题主要考查整式，熟练掌握整式的定义是解决本题的关键．
【变式4-2】下列说法错误的是（ ）
A．m是单项式也是整式
B．12（m﹣n）是多项式也是整式
C．整式一定是单项式
D．整式不一定是多项式
【分析】根据单项式、多项式和整式的定义解答即可．
【解答】解：A．m是单项式也是整式，原说法正确，故本选项不符合题意；
B．12（m﹣n）是多项式也是整式，原说法正确，故本选项不符合题意；
C．整式包括单项式和多项式，即整式不一定是单项式，原说法错误，故本选项符合题意；
D．整式包括单项式和多项式，即整式不一定是多项式，原说法正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了单项式、多项式、整式．解题的关键是掌握单项式的定义，多项式的定义，整式的定义，并能够明确单项式、多项式、整式的区别与联系．
【变式4-3】下列结论不正确的是（ ）
A．abc的系数是1
B．多项式1﹣3x2﹣x中，二次项是﹣3x2
C．﹣ab3的次数是4
D．−3xy4不是整式
【分析】根据单项式的定义可判断A，C，D，根据多项式的定义可判断B．
【解答】解：A．abc的系数是1，选项A不符合题意；
B．多项式1﹣3x2﹣x中二次项是﹣3x2，选项B不符合题意；
C．﹣ab3的次数是4，选项C不符合题意；
D．−3xy4是单项式，即是整式，选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了单项式和多项式，掌握单项式和多项式的定义是解题的关键．
【变式4-4】多项式2−15xy2−4x3y是 次 项式，其中常数项是 ．
【分析】根据多项式的次数和项数以及常数项的定义求解．
【解答】解：因为多项式2−15xy2﹣4x3y的最高次项是﹣4x3y，由三个单项式的和组成，
所以多项式2−15xy2﹣4x3y是四次三项式，其中常数项是2．
故答案是：四，三，2．
【点评】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．常数项是不含字母的项．
【变式4-5】在多项式2a4﹣4a3b2+7ab2﹣9中，最高次项的系数是（ ）
A．﹣4B．2C．4D．5
【分析】根据多项式的相关定义解答即可．
【解答】解：多项式2a4﹣4a3b2+7ab2﹣9中，最高次项的系数是﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了多项式的相关定义，能熟记多项式的相关定义是解此题的关键．
【变式4-6】（2022秋•馆陶县期末）在下列给出的四个多项式中，为三次二项式的多项式是（ ）
A．a2﹣3B．a3+2ab﹣1C．4a3﹣bD．4a2﹣3b+2
【分析】根据多项式的次数和项数即可得出答案．
【解答】解：A选项是二次二项式，故该选项不符合题意；
B选项是三次三项式，故该选项不符合题意；
C选项是三次二项式，故该选项符合题意；
D选项是二次三项式，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了多项式的次数和项数，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．
【变式4-7】下列说法：①2xπ的系数是2；②多项式2x2+xy2+3是二次三项式；③x2﹣x﹣2的常数项为2；④在1x，2x+y，13a2b，5y4x，0中，整式有3个．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据单项式、多项式和整式的有关概念解答即可．
【解答】解：①2xπ的系数是2π，原说法错误；
②多项式2x2+xy2+3是三次三项式，原说法错误；
③x2﹣x﹣2的常数项为﹣2，原说法错误；
④在1x，2x+y，13a2b，5y4x，0中，整式有3个，原说法正确．
其中正确的有1个．
故选：A．
【点评】本题考查了单项式和多项式的有关概念，能熟记定义是解此题的关键，注意：①表示数与数或数与字母的积的形式，叫单项式；单项式中的数字因数，叫单项式的系数；单项式中所有字母的指数的和，叫单项式的次数；②两个或两个以上的单项式的和，叫多项式；多项式中的每个单项式，叫多项式的项；多项式中次数最高的项的次数，叫多项式的次数，③单项式和多项式统称整式．
题型五 利用多项式的相关概念求值
【例题5】如果关于x，y的多项式xy|a|−13(a−2)y2+1是三次三项式，则a的值为 ．
【分析】直接利用绝对值与多项式的定义得出a的值，即可得出答案．
【解答】解：∵关于x，y的多项式xy|a|−13(a−2)y2+1是三次三项式，
∴|a|＝2且a﹣2≠0，
解得，a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查的是多项式，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
【变式5-1】多项式3x|m|y2+（m+2）x﹣1是四次二项式，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．±1
【分析】直接利用绝对值的性质以及多项式的次数与项数确定方法分析得出答案．
【解答】解：∵多项式3x|m|y2+（m+2）x﹣1是四次二项式，
∴m+2＝0，
解得：m＝﹣2，
此时|m|+2＝4符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了多项式以及绝对值，正确把握相关定义是解题的关键．
【变式5-2】若x|m|﹣1+（3+m）x﹣5是关于x的二次二项式，那么m的值为 ．
【分析】根据题意可得：|m|﹣1＝2且3+m＝0，再解即可．
【解答】解：由题意得：|m|﹣1＝2且3+m＝0，
解得：m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式定义，关键是掌握如果一个多项式含有a个单项式，最高次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
【变式5-3】若多项式xy|m﹣n|+（n﹣1）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn＝ ．
【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．
【解答】解：∵多项式xy|m﹣n|+（n﹣1）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，
∴n﹣1＝0，1+|m﹣n|＝3，
∴n＝1，|m﹣n|＝2，
∴m﹣n＝2或n﹣m＝2，
∴m＝3或m＝﹣1，
∴mn＝3或﹣1．
故答案为：3或﹣1．
【点评】此题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．
【变式5-4】已知（m﹣1）x3﹣（n+2）x2+（2m﹣5n）x﹣6是关于x的多项式．
（1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？
（2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？
【分析】（1）根据多项式的次数知识，可得当m﹣1＝0，且n+2≠0，即m＝1，n≠﹣2时，该多项式是关于x的二次多项式；
（2）由题意得，当m﹣1≠0，n+2＝0，且2m﹣5n＝0时，该多项式是关于x的三次二项式．
【解答】解：（1）由题意得，
当m﹣1＝0，且n+2≠0，
即m＝1，n≠﹣2时，该多项式是关于x的二次多项式；
（2）由题意得，
当m﹣1≠0，n+2＝0，且2m﹣5n＝0，
即m＝﹣5，n＝﹣2时，该多项式是关于x的三次二项式．
【点评】此题考查了多项式的次数与项数的确定能力，关键是能根据相关知识，准确确定题目中字母参数的值．
【变式5-5】已知关于x的多项式x2+（k+2）x+1是二次二项式．求：
（1）k的值．
（2）代数式（k+1）100+（k+1）99+…+（k+1）2+（k+1）的值．
【分析】（1）根据多项式x2+（k+2）x+1是二次二项式，可得出k+2＝0，从而得出k的值；
（2）把k＝﹣2代入要求的式子，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）∵关于x的多项式x2+（k+2）x+1是二次二项式，
∴k+2＝0，
∴k＝﹣2．
（2）把k＝﹣2代入（k+1）100+（k+1）99+…+（k+1）2+（k+1）得：
（﹣2+1）100+（﹣2+1）99+…+（﹣2+1）2+（﹣2+1）＝1+（﹣1）+…+1+（﹣1）＝0．
【点评】本题考查了多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
题型六 综合利用单项式、多项式的相关概念求值
【例题6】已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny2﹣m的次数与该多项式的次数相同．求m，n的值
【分析】利用多项式的有关定义得到m+1＝3，2n+2﹣m＝5，然后分别求出m、n．
【解答】解：∵﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，
∴m+1＝3，解得m＝2，
∵单项式3x2ny2﹣m的次数与该多项式的次数相同．
∴2n+2﹣m＝5，
即2n+2﹣2＝5，解得n=52，
【点评】本题考查了多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
【变式6-1】已知多项式﹣3x3ym+1+xy2−12x3+6是六次四项式，单项式23πxny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，求mn的值．
【分析】根据题意求出m与n的值，然后代入所求式子即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：m+1+3＝6，n+5﹣m＝6，
∴m＝2，n＝3，
∴mn＝23＝8
【点评】本题考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的概念，本题属于基础题型．
【变式6-2】已知多项式4x2﹣3xm+1y﹣x是一个四次三项式，n是最高次项的系数，求m﹣n的值．
【分析】根据多项式的次数和最高次项的系数求出m，n的值，代入代数式求值即可．
【解答】解：∵多项式4x2﹣3xm+1y﹣x是一个四次三项式，n是最高次项的系数，
∴m+1+1＝4，n＝﹣3，
∴m＝2，
∴m﹣n＝2+3＝5，
答：m﹣n的值为5．
【点评】本题考查了多项式的次数，掌握多项式中，次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．
【变式6-3】﹣5x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，且3x2ny5﹣m的次数跟它相同．
（1）求m，n的值；
（2）求多项式的常数项以及各项的系数和．
【分析】根据多项式的概念即可求出n与m的值，然后根据多项式即可判断常数项与各项系数．
【解答】解：（1）由题意可知：该多项式是六次多项式，
∴2+m+1＝6，
∴m＝3，
∵3x2ny5﹣m的次数也是六次，
∴2n+5﹣m＝6，
∴n＝2
∴m＝3，n＝2
（2）该多项式为：﹣5x2y4+xy2﹣3x3﹣6
常数项﹣6，各项系数为：﹣5，1，﹣3，﹣6，
故系数和为：﹣5+1﹣3﹣6＝﹣13
【点评】本题考查多项式与单项式的概念，属于基础题型．
【变式6-4】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，多项式﹣5x2ym+1+13xy2−14x3+6是六次四项式，单项式72x2ny5−m的次数与这个多项式的次数相同，求（a+b）m+mn﹣（cd﹣n）2021的值．
【分析】利用多项式次数和项数的确定方法可得m和n的值，然后再结合相反数和互为倒数定义进行计算即可．
【解答】解：∵多项式﹣5x2ym+1+13xy2−14x3+6是六次四项式，
∴2+m+1＝6，解得：m＝3，
∵单项式72x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，
∴2n+5﹣m＝6，
则2n+5﹣3＝6，
解得：n＝2，
∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，
∴a+b＝0，cd＝1，
∴（a+b）m+mn﹣（cd﹣n）2021
＝0+9﹣（1﹣2）2021
＝9﹣（﹣1）
＝10．
【点评】此题主要考查了多项式，以及有理数的混合运算，关键是正确确定m和n的值．
【变式6-5】（2022秋•武冈市期末）已知多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是关于x、y的五次四项式，单项式﹣8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，求（a﹣b）c+1的值．
【分析】根据多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是五次四项式，可得a+1＝3，a＝2，由单项式﹣8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，得出b＝6，c＝1，代入即可得出答案．
【解答】解：∵多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是五次四项式，
∴a+1＝3，a＝2，
∵单项式﹣8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，
∴b＝6，c＝1，
∴（a﹣b）c+1＝（2﹣6）1+1＝（﹣4）2＝16．
∴（a﹣b）c+1的值为16．
【点评】本题考查了多项式、单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式、多项式的定义．
题型七 多项式中结论开放性问题
【例题7】（2022秋•淮滨县期末）有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为： ．
【分析】根据多项式的项，组成多项式项的次数的概念即可求解．
【解答】解：多项式x3+y3中x3的次数为3，y3的次数为3．
故答案为：x3+y3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键．
【变式7-1】一个关于字母a，b的多项式，每项的次数都是3，这个多项式最多有几项，试写出一个符合要求的多项式．
【分析】利用已知写一个关于字母a，b的多项式，每项的次数都是3进而得出符合题意多项式即可．
【解答】解：根据题意可得：a2b+ab2+a3+b3．
【点评】此题主要考查了多项式，正确根据题意利用次数以及项数得出是解题关键．
【变式7-2】写出一个关于x，y的六次四项式，且常数是﹣8．
【分析】多项式中每个单项式叫做多项式的项；
这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数；
而满足这个条件的多项式有许多，因此此题答案不唯一．
【解答】解：此题答案不唯一，满足条件的可为：a4b2﹣a3+b﹣8．
【点评】此题考查的是多项式的性质，此题是开放型题目，答案不唯一，学生可以根据条件自由发挥．
【变式7-3】写出一个只含字母a，b的多项式，需满足以下条件：
（1）五次四项式；（2）每一项的系数为1或﹣1；（3）不含常数项；（4）每一项必须同时含有字母a，b不含有其它字母．
【分析】根据题意，所写多项式符合4个条件即可．
【解答】解：根据题意得出：ab4+ab3+a3b2+a4b．
【点评】此题主要考查了多项式的定义，熟练根据多项式定义得出是解题关键．
【变式7-4】写出同时满足下列4个条件的一个多项式：
①该多项式含有字母x和y；
②该多项式第一项是常数项；
③该多项式是三次四项式；
④该多项式各项系数和为零．
【分析】根据题目的要求可直接写出符合条件的多项式，本题为开放题，答案不唯一．
【解答】解：3﹣x+2y﹣4xy2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了多项式的知识，解题时需要根据多项式的特点来写，比较简单．
【变式7-5】试至少写两个只含有字母x、y的多项式，且满足下列条件：
（1）六次三项式；
（2）每一项的系数均为1或﹣1；
（3）不含常数项；
（4）每一项必须同时含字母x、y，但不能含有其他字母．
【分析】多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，满足条件（1），即最高项的次数为6，满足条件（2），多项式的系数是1或﹣1，满足条件（3），即多项式没有常数项，满足条件（4）多项式中每项都含xy，不能有其它字母．
【解答】解：此题答案不唯一，
如：x3y3﹣x2y4+xy5；﹣x2y4﹣xy﹣xy2．
【点评】多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，要看清每项条件的要求．
题型八 单项式中的规律探究问题
【例题8】观察下列一系列单项式的特点：
12x2y，−14x2y2，18x2y3，−116x2y4，…
（1）写出第8个单项式；
（2）猜想第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
【分析】（1）根据观察，可发现规律：系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn，可得答案；
（2）根据观察，可发现规律：系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn，可得答案．
【解答】解：由观察下列单项式：12x2y，−14x2y2，18x2y3，−116x2y4，…，得
系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn，
第8个单项式﹣（12）8x2y8；
（2）由观察下列单项式：12x2y，−14x2y2，18x2y3，−116x2y4，…，得
第n个单项式是（﹣1）n+1×（12）nx2yn，系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn，次数n+2．
【点评】本题考查了单项式，观察发现规律系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn是解题关键．
【变式8-1】（2022•五华区校级模拟）观察后面一组单项式：﹣4，7a，﹣10a2，13a3，…，根据你发现的规律，则第7个单项式是（ ）
A．﹣19a7B．19a7C．﹣22a6D．22a6
【分析】由已知得第奇数个单项式的符号为负数，第7个单项式的系数绝对值为4+3×6，字母及字母的指数为a6，即可得到答案．
【解答】解：经过观察可得第奇数个单项式的符号为负数，第偶数个单项式的符号为正数；
第1个单项式的系数绝对值为4+3×0，
第2个单项式的系数绝对值为4+3×1，
…
第7个单项式的系数绝对值为4+3×6；
第1个单项式的字母及字母的指数为a0，
第2个单项式的字母及字母的指数为a1，
…
第7个单项式的字母及字母的指数为a6；
∴第7个单项式为﹣22a6，
故选：C．
【点评】本题考查数字及数字的变化规律．能够正确得到各个单项式符号，系数，字母及字母指数的规律是解决本题的关键．
【变式8-2】（2023•玉溪三模）探索规律：观察下面的一列单项式：x、﹣2x2、4x3、﹣8x4、16x5、…，根据其中的规律得出的第8个单项式是（ ）
A．﹣64x8B．64x8C．128x8D．﹣128x8
【分析】根据符号的规律：n为奇数时，单项式为正号，n为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是2n﹣1．指数的规律：第n个对应的指数是n解答即可．
【解答】解：根据题意得：
第8个单项式是﹣27x8＝﹣128x8．
故选：D．
【点评】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
【变式8-3】（2023•西山区模拟）按一定规律排列的单项式：﹣3，5a，﹣9a2，17a3，…，则第7个单项式是（ ）
A．﹣127a7B．﹣129a6C．127a7D．129a6
【分析】由单项式的排列规律，即可得到答案．
【解答】解：因为按一定规律排列的单项式：﹣3，5a，﹣9a2，17a3，…，第奇数个单项式的系数是负数，第偶数个单项式的系数是正数；并且从第二个单项式起，每个单项式系数的绝对值是它前面单项式系数的绝对值的2倍减1，
所以第7个单项式是﹣129a6．
故选：B．
【点评】本题考查单项式，关键是掌握单项式的变化规律．
【变式8-4】（2022•昆明一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，11a8b2，…，第8个单项式是（ ）
A．17a14b2B．17a8b14C．15a7b14D．152a14b2
【分析】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可．
【解答】解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数，
单项式中a的指数偶数，b的指数不变，
所以第8个单项式是：17a14b2．
故选：A．
【点评】本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键．
【变式8-5】探究规律题：
按照规律填上所缺的单项式并回答问题：
（1）a，﹣2a2，3a3，﹣4a4， ， ；
（2）试写出第2017个和第2018个单项式．
（3）试写出第n个单项式．
（4）试计算：当a＝﹣1时，a+（﹣2a2）+3a3+（﹣4a4）+…+99a99+（﹣100a100）的值．
【分析】（1）通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为n×（﹣1）n+1，字母是a，a的指数为n的值．由此可解出本题．
（2）根据以上规律可得；
（3）根据以上规律可得；
（4）将a＝﹣1代入列出算式计算可得．
【解答】解：（1）5a5，﹣6a6，
故答案为：5a5，﹣6a6；
（2）第2017个单项式为2017a2017，第2018个单项式为﹣2018a2018；
（3）第n个单项式为（﹣1）n+1•n•an；
（4）原式＝﹣1﹣2﹣3…﹣100＝﹣5050．
【点评】考查了找规律的单项式题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
题型九 多项式中的规律探究问题
【例题9】一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第n（n为正整数）个式子的次数是（ ）
A．nB．2n﹣1C．3n﹣1D．2n
【分析】先根据已知算式得出规律，再根据多项式次数的定义得出答案即可．
【解答】解：∵a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，
∴a的指数依次为1，2，3，4，5，6，•••，
b的指数依次为1，3，5，7，•••，（2×1﹣1＝1，2×2﹣1＝3，2×3﹣1＝7，•••），
∴第n（n为正整数）个式子的次数是2n﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了代数式和多项式的次数定义，能根据已知算式得出规律是解此题的关键，注意：多项式中次数最高的项的次数，叫多项式的次数．
【变式9-1】有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为 ．
【分析】首先观察归纳，可得规律：第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n，然后将n＝10代入，即可求得答案．
【解答】解：∵第1个多项式为：a1+b2×1，
第2个多项式为：a2﹣b2×2，
第3个多项式为：a3+b2×3，
第4个多项式为：a4﹣b2×4，
…
∴第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n，
∴第10个多项式为：a10﹣b20．
故答案为：a10﹣b20．
【点评】此题属于规律性题目．此题难度不大，注意找到规律第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n是解此题的关键．
【变式9-2】观察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…按此规律写出第n个式子是 ．
【分析】根据所给式子发现规律，即可解答．
【解答】解：x+1＝x+12，
x2+4＝x2+22，
x3+9＝x3+32，
x4+16＝x4+42，
x5+25＝x5+52，
…
第n个式子是xn+n2．
故答案为：xn+n2．
【点评】本题考查了多项式，解决本题的关键是根据所给式子发现规律．
【变式9-3】有一个多项式为a8﹣a7b+a6b2﹣a5b3+…，按照此规律写下来，这个多项式的第六项是 ．
【分析】由多项式的特点可知，该多项式是加减替换，a从最高次方向最低次方递减，b从最低次方到最高次方递增．由此可知第六项是﹣a3b5．
【解答】解：因为a的指数第一项为8，第二项为7，第三项为6…
所以第六项为1；
又由于两个字母指数的和为8，偶数项为负，
所以第6项为﹣a3b5．
故答案为：﹣a3b5．
【点评】此题考查的是对多项式的规律，通过对多项式的观察可得出答案．
【变式9-4】已知多项式﹣a+2b2﹣3a3+4b4﹣5a5+…，则第100项是 ，第2007项是 ，第n项是 ．
【分析】各项的符号一负一正相隔出现，第奇数项含a，指数是系数的绝对值；第偶数项含b，指数是系数的绝对值，分情况讨论：当n为奇数；当n为偶数．
【解答】解：∵﹣a+2b2﹣3a3+4b4﹣5a5+…，
∴第100项是100b100，第2007项是﹣2007a2007，
分情况讨论：
①当n为奇数，第n项是﹣nan；
②当n为偶数，第n项是nbn．
故答案为：100b100；﹣2007a2007；﹣nan或nbn．
【点评】本题是一道规律型题目，考查了多项式的项以及通项公式，难度较大．
【变式9-5】观察多项式x﹣3x2+5x3﹣7x4+…的构成规律，并回答下列问题：
（1）它的第100项是什么？
（2）它的第n（n为正整数）项是什么？
（3）当x＝1时，求前2014项的和．
【分析】（1）根据多项式得出规律，确定出第100项即可；
（2）写出得出的规律即可；
（3）把x＝1代入多项式计算即可求出．
【解答】解：（1）根据题意得：第100项为﹣199x100；
（2）根据题意得：第n项为（﹣1）n+1（2n﹣1）xn；
（3）把x＝1代入得：1﹣3+5﹣7+…+4025﹣4027＝﹣2﹣2…﹣2（1007个﹣2相加）＝﹣2014．
【点评】此题考查了多项式，弄清题中规律是解本题的关键．
解题技巧提炼
1、用运算符号把数与字母连接而成的，叫做代数式．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
2、代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义．
解题技巧提炼
1、数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉；
2、在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
解题技巧提炼
根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方
程，求出方程的解即可.
解题技巧提炼
1、几个单项式的和叫做多项式.
2、多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数.
3、单项式和多项式统称为整式.所有的单项式和多项式整式，既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整式.
解题技巧提炼
根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出方程的解即可.
解题技巧提炼
主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的相关概念解题即可．
解题技巧提炼
本题考查了多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键．
解题技巧提炼
对于与单项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题.
解题技巧提炼
对于与多项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题.
解题技巧提炼
1、用运算符号把数与字母连接而成的，叫做代数式．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
2、代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义．
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1、数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉；
2、在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
解题技巧提炼
根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方
程，求出方程的解即可.
解题技巧提炼
1、几个单项式的和叫做多项式.
2、多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数.
3、单项式和多项式统称为整式.所有的单项式和多项式整式，既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整式.
解题技巧提炼
根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出方程的解即可.
解题技巧提炼
主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的相关概念解题即可．
解题技巧提炼
本题考查了多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键．
解题技巧提炼
对于与单项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题.
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对于与多项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题.
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