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北师大版（2024）七年级上册2.9 有理数的乘方同步达标检测题
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这是一份北师大版（2024）七年级上册2.9 有理数的乘方同步达标检测题，共20页。试卷主要包含了9 有理数的乘方等内容，欢迎下载使用。
题型导航
有
理
数
的
乘
方
有理数的乘方运算
题型1
有理数乘方的逆运算
题型2
乘方运算的符号规律
题型3
有理数乘方的应用
题型4
题型变式
【题型1】有理数否乘方运算
1．（2021·甘肃·模拟预测）（﹣2）2＝（ ）
A．B．C．4D．﹣4
【变式1-1】
2．（2021·江西·崇义县章源实验中学七年级期中）计算：（－1）2021+12021=_______．
【题型2】有理数乘方运算的逆运算
1．（2022·全国·七年级课时练习）计算的结果是（ ）
A．9B．C．2D．
【变式2-1】
2．（2021·湖北十堰·七年级阶段练习）若，则的值是( )．
A．-lB．OC．1D．2021
【题型3】乘方运算的符号规律
1．（2022·江苏·七年级专题练习）下列各式x、x2、、x2+2、|x+2|中，值一定是正数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-1】
2．（2021·四川·泸县太伏镇太伏初级中学校七年级阶段练习）若，则的值是（ ）
A．－2B．－3C．2D．3
【题型4】有理数乘方的应用
1．（2022·江苏·七年级专题练习）对正整数n，记1×2×…×n＝n！若M＝1！×2！×…×10！，则M的正因数中共有完全立方数（ ）个．
A．468B．684C．846D．648
【变式4-1】
2．（2021·全国·七年级期中）已知|x|＝2，y2＝9，且|x﹣y|＝y﹣x，则x﹣y＝_____．
专项训练
一．选择题
1．（2022·广东·中考真题）计算的结果是（ ）
A．1B．C．2D．4
2．（2022·全国·七年级课时练习）下列计算结果为负数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的 x 值为 15，则第 1 次输出的结果为 18，第 2 次输出的结果为 9，…， 第 2021 次输出的结果为（ ）
A．3B．4C．6D．9
4．（2022·全国·七年级专题练习）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（ ）
A．①B．②C．①、②都正确D．①、②都不正确
5．（2022·河北·邢台市开元中学七年级期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2022·全国·七年级课时练习）已知有理数x、y满足，则代数式的值为______．
7．（2022·全国·七年级）若│x＋3∣＋(y－2)=0，则=_________．
8．（2019·全国·七年级课时练习）计算：（1）________；（2）________.
9．（2022·甘肃武威·七年级期末）若有理数等于它的倒数，则________．
10．（2021·全国·课时练习）下列说法：①有理数除了正数，就是负数；②相反数大于本身的数是负数；③立方等于本身的数是；④若，则其中正确的有：_______（填序号）．
11．（2022·全国·七年级课时练习）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________．
12．（2022·全国·七年级课时练习）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝____．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为_________．
三、解答题
13．（2022·江苏·七年级专题练习）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．
根据此规律可得：（1）这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成 个细胞；
（2）这样的一个细胞经过3小时后可分裂成 个细胞；
（3）这样的一个细胞经过（为正整数）小时后可分裂成 个细胞．
14．（2022·全国·七年级专题练习）计算：
（1）与；
（2）与．
15．（2022·全国·七年级专题练习）把下列各数分别填在相应的集合内
、、、、、、
（每两个1之间一次多一个0）、
正分数集合：{ …}
非负整数集合：{ …}
正有理数集合：{ …}．
（2022·全国·七年级）计算：（﹣2）2+|﹣10|﹣（﹣1）2020．
17．（2022·全国·七年级课时练习）给出下面六个数，，，，0，．
(1)其中正有理数是______，分数有______．（将符合条件的数都填在横线上）
(2)先把表示上面各数的点在数轴上表示出来，再按从小到大的顺利，用“＜”号把它们连接起来．
18．（2019·全国·七年级课时练习）阅读材料：
求1＋2＋22＋23＋24＋……＋22019的值．
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋……＋22019，
将等式两边同时乘以2，得
2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22019＋22020，
将下式减去上式得2S－S＝22020－1，
请你仿照此法计算：
(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210；
(2)1＋3＋32＋33＋34……＋3n(其中n为正整数)．
2022-2023学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）
2.9 有理数的乘方
题型导航
有
理
数
的
乘
方
有理数的乘方运算
题型1
有理数乘方的逆运算
题型2
乘方运算的符号规律
题型3
有理数乘方的应用
题型4
题型变式
【题型1】有理数否乘方运算
1．（2021·甘肃·模拟预测）（﹣2）2＝（ ）
A．B．C．4D．﹣4
【答案】C
【分析】直接运用有理数的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】原式＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟练掌握有理数乘方的运算法则．
【变式1-1】
2．（2021·江西·崇义县章源实验中学七年级期中）计算：（－1）2021+12021=_______．
【答案】0
【分析】根据“-1的奇数次幂是-1”，“1的任何次幂都是1”即可进行计算．
【详解】∵（－1）2021=-1，12021=1，
∴（－1）2021+12021=-1+1=0，
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，掌握“-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1”是解题关键．
【题型2】有理数乘方运算的逆运算
1．（2022·全国·七年级课时练习）计算的结果是（ ）
A．9B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据乘方的逆运算进行计算．
【详解】解：原式=
故选B
【点睛】本题主要考查有理数乘方的运算性质的应用，掌握乘方运算是解题的关键．
【变式2-1】
2．（2021·湖北十堰·七年级阶段练习）若，则的值是( )．
A．-lB．OC．1D．2021
【答案】A
【分析】利用非负数的性质，分别求出a与b的值，带入即可求出．
【详解】解：由题意得：a−2=0，b−1=0，解得a=2，b=1，
所以(b−a)2021 =(1−2)2021=(−1)2021=−1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查整数指数幂和绝对值的概念，以及负数的奇次指数幂为负数，偶次幂为正数．整数指数幂与绝对值的值是非负数，由题干中两个式子相加为0可知，两个式子本身都为0，熟练掌握是解决问题的关键．
【题型3】乘方运算的符号规律
1．（2022·江苏·七年级专题练习）下列各式x、x2、、x2+2、|x+2|中，值一定是正数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可．
【详解】解：x不一定是正数；x2不一定是正数；
一定是正数；x2+2一定是正数；
|x+2|不一定是正数；
所以值一定是正数的有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了非负数，绝对值．掌握非负数的性质是解题的关键．
【变式3-1】
2．（2021·四川·泸县太伏镇太伏初级中学校七年级阶段练习）若，则的值是（ ）
A．－2B．－3C．2D．3
【答案】C
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴x−2＝0，3y＋2＝0，
解得：x＝2，y＝，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【题型4】有理数乘方的应用
1．（2022·江苏·七年级专题练习）对正整数n，记1×2×…×n＝n！若M＝1！×2！×…×10！，则M的正因数中共有完全立方数（ ）个．
A．468B．684C．846D．648
【答案】A
【分析】先把原式化为M＝238×317×57×74，然后分别讨论238， 317， 57， 74含有的立方数约数，最后求出M含有立方数约数，即可求解．
【详解】解：∵M＝1！×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！×10！，
∴M＝1×29×38×47×56×65×74×83×92×10＝238×317×57×74，
所以238含有的立方数约数有1、23、26…236共13个，
317含有的立方数约数有1、33、36…315共6个，
57含有的立方数约数有1、53、56共3个，
74含有的立方数约数有1、73共2个，
所以M含有立方数约数为13×6×3×2＝468，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了完全平方数的问题，解题的关键是把M分解为M＝238×317×57×74的形式．
【变式4-1】
2．（2021·全国·七年级期中）已知|x|＝2，y2＝9，且|x﹣y|＝y﹣x，则x﹣y＝_____．
【答案】﹣1或﹣5
【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘方求出x、y，再根据负数的绝对值等于它的相反数判断出x﹣y＜0，确定x、y的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵|x|＝2，y2＝9，
∴x＝±2，y＝±3，
∵|x﹣y|＝y﹣x，
∴x﹣y＜0，也就是x＜y，
∴x=﹣2，y=3或x=2，y=3，
当x=﹣2，y=3时，x﹣y＝﹣2﹣3＝﹣5，
当x=2，y=3时，x﹣y＝2﹣3＝﹣1，
综上所述，x﹣y＝﹣1或﹣5．
故答案为：﹣1或﹣5．
【点睛】本题考查了有理数的减法，有理数的乘方，绝对值的性质，判断出x、y的对应情况是解题的关键．
专项训练
一．选择题
1．（2022·广东·中考真题）计算的结果是（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】D
【分析】利用乘方的意义计算即可．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解答本题的关键．
2．（2022·全国·七年级课时练习）下列计算结果为负数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据求一个数的相反数、去绝对值符号法则、有理数的乘方运算，即可一一判定．
【详解】解：A、，结果为正数，故该选项不符合题意；
B、，结果为正数，故该选项不符合题意；
C、，结果为负数，故该选项符合题意；
D、，结果为正数，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了求一个数的相反数、去绝对值符号法则、有理数的乘方运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
3．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的 x 值为 15，则第 1 次输出的结果为 18，第 2 次输出的结果为 9，…， 第 2021 次输出的结果为（ ）
A．3B．4C．6D．9
【答案】A
【分析】首先分别求出第3次、第4次、第5次、第6次、第7次、第8次输出的结果各是多少，总结出规律，然后判断出第2021次输出的结果为多少即可．
【详解】第1次输出的结果为：15+3＝18，
第2次输出的结果为：×18＝9，
第3次输出的结果为：9+3＝12，
第4次输出的结果为：×12＝6，
第5次输出的结果为：×6＝3，
第6次输出的结果为：3+3＝6，
第7次输出的结果为：×6＝3，
第8次输出的结果为：3+3＝6，
第9次输出的结果为：×6＝3，
…，
从第4次开始，以6，3依次循环，
并且第n次(n＞3)时，
如果n-3为偶数，则输出结果为3，
如果n-3为奇数，则输出结果为6，
∵（2021﹣3）÷2＝2018÷2＝1009，
∴第2021次输出的结果为3．
故选：A．
【点睛】此题考查了程序图的规律问题，解题的关键是正确分析题目中程序的运算规律．
4．（2022·全国·七年级专题练习）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（ ）
A．①B．②C．①、②都正确D．①、②都不正确
【答案】B
【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得．
【详解】解：由三组数的运算得：，
，
，
归纳类推得：当时，，式子①错误；
由三组数的运算得：，
，
，
归纳类推得：当时，，式子②正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
5．（2022·河北·邢台市开元中学七年级期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可．
【详解】解：，
=
=，
=，
=，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算．
二、填空题
6．（2022·全国·七年级课时练习）已知有理数x、y满足，则代数式的值为______．
【答案】1
【分析】利用绝对值及平方的非负性先求出x、y值，再代入即可．
【详解】解：∵，且，
∴，，
即：，，
解得：，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查的是绝对值及平方的非负性求值，属于初中常考题型，掌握其解题步骤是解题的关键．
7．（2022·全国·七年级）若│x＋3∣＋(y－2)=0，则=_________．
【答案】-1
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵∣x＋3∣＋(y－2)=0，
∴x+3=0，y-2=0，
∴x=-3，y=2，
∴==-1，
故答案为：-1．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
8．（2019·全国·七年级课时练习）计算：（1）________；（2）________.
【答案】 -7 -81
【分析】直接根据有理数的混合运算法则进行计算即可.
【详解】（1）原式=0-7=-7；
（2）-81×（-）×（- ）=-81；
【点睛】此题考查有理数的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.
9．（2022·甘肃武威·七年级期末）若有理数等于它的倒数，则________．
【答案】1
【分析】根据倒数的定义可得到，然后依据偶次方的性质求解即可．
【详解】由题意，得或．
当时，；
当时，．
综上，．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义、有理数的乘方，依据倒数的定义求得a的值是解题的关键．
10．（2021·全国·课时练习）下列说法：①有理数除了正数，就是负数；②相反数大于本身的数是负数；③立方等于本身的数是；④若，则其中正确的有：_______（填序号）．
【答案】②
【分析】据有理数的概念和乘方运算逐个检查，找出正确说法作答．
【详解】对于①，有理数除了正数和负数之外还有0，故①错误；
对于②，负数的相反数是正数，正数大于负数，故②正确；
对于③，由，，得立方等于本身的数不只有，故③错误；
对于④，由，但，得④错误．
故答案为：②．
【点睛】此题考查有理数的分类，相反数的意义，乘方的意义和绝对值的性质．其关键是要对相关知识的熟练掌握．
11．（2022·全国·七年级课时练习）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________．
【答案】8
【分析】先根据已知等式发现个位数字是以为一循环，再根据即可得．
【详解】因为，，，，，，…，
所以个位数字是以为一循环，且，
又因为，，
所以的结果的个位数字是8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了有理数乘方的规律型问题，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键．
12．（2022·全国·七年级课时练习）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝____．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为_________．
【答案】 －1 1
【分析】根据绝对值和平方的非负性即可求第一空；根据绝对值与数轴的关系可以解出第2问．
【详解】∵，
∴
即
∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，
∴
∵表示x与-1，1和2022三个数的距离之和，
∴当x取中间值1时，和为最小值为2023；
故答案为：-1,1
【点睛】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与-1，1和2022三个数的距离之和是解题的关键．
三、解答题
13．（2022·江苏·七年级专题练习）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．
根据此规律可得：（1）这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成 个细胞；
（2）这样的一个细胞经过3小时后可分裂成 个细胞；
（3）这样的一个细胞经过（为正整数）小时后可分裂成 个细胞．
【答案】（1）16；（2）64；（3）
【分析】（1）由题意可知该细胞分裂呈指数增长，因此写出表达式求解即可；
（2）结合（1）的结论，以及3小时对应6个30分钟，求解即可；
（3）仿照（2）的过程求解即可．
【详解】解：由题意，第个30分钟后，细胞分裂为个，
（1）第四个30分钟后可分裂成个，
故答案为：16；
（2）3小时即为6个30分钟，则经过3小时后可分裂成个，
故答案为：64；
（3）（为正整数）小时即为个30分钟，则经过小时后可分裂成个，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数乘方运算的应用，理解题意，准确总结出一般规律是解题关键．
14．（2022·全国·七年级专题练习）计算：
（1）与；
（2）与．
【答案】（1）256；-256；（2）．
【分析】（1）直接运用乘方的运算法则计算即可；
（2）直接运用乘方的运算法则计算即可．
【详解】解：（1）．
（2）．
【点睛】本题主要考查了乘方的运用法则，理解乘方的运算法则成为解答本题的关键．
15．（2022·全国·七年级专题练习）把下列各数分别填在相应的集合内
、、、、、、
（每两个1之间一次多一个0）、
正分数集合：{ …}
非负整数集合：{ …}
正有理数集合：{ …}．
【答案】、；、、；、、、
【分析】根据有理数的有关分类，求解即可．
【详解】解：，，
∴、为正分数
、、为非负整数
、、、为正有理数
故答案为：、；、、；、、、
【点睛】此题考查了有理数的有关分类，涉及了乘方、相反数和绝对值的求解，解题的关键是掌握有理数的有关分类．
16．（2022·全国·七年级）计算：（﹣2）2+|﹣10|﹣（﹣1）2020．
【答案】13
【分析】原式先计算乘方运算，再计算加减运算即可求出值．
【详解】解：原式＝4+10﹣1
＝14﹣1
＝13．
【点睛】本题考查有理数的乘方、有理数的加减法、绝对值等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
17．（2022·全国·七年级课时练习）给出下面六个数，，，，0，．
(1)其中正有理数是______，分数有______．（将符合条件的数都填在横线上）
(2)先把表示上面各数的点在数轴上表示出来，再按从小到大的顺利，用“＜”号把它们连接起来．
【答案】(1)-（-2.5），（-1）2022；-（-2.5），−
(2)在数轴上表示见解析，-22＜-|-2|＜-＜0＜（-1）2022＜-（-2.5）
【分析】（1）根据正有理数，分数的意义判断即可．
（2）在数轴上准确找到各数对应的点即可解答．
(1)
解：∵，，，，
∴正有理数是-（-2.5），（-1）2022，
分数有-（-2.5），−，
故答案为：-（-2.5），（-1）2022；-（-2.5），−；
(2)
解：在数轴上表示如图所示：
∴-22＜-|-2|＜-＜0＜（-1）2022＜-（-2.5）．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，有理数的乘方，有理数大小比较，在数轴上准确找到各数对应的点是解题的关键．
18．（2019·全国·七年级课时练习）阅读材料：
求1＋2＋22＋23＋24＋……＋22019的值．
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋……＋22019，
将等式两边同时乘以2，得
2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22019＋22020，
将下式减去上式得2S－S＝22020－1，
请你仿照此法计算：
(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210；
(2)1＋3＋32＋33＋34……＋3n(其中n为正整数)．
【答案】（1）211－1；（2）(3n＋1－1)
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法求出原式的值即可；
（2）仿照阅读材料中的方法求出原式的值即可．
【详解】(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210，将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211，将下式减去上式得2S－S＝211－1，即S＝211－1，则1＋2＋22＋23＋24＋……＋210＝211－1
(2)设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n①，两边同乘以3得：3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1②，②－①得：3S－S＝3n＋1－1，即S＝(3n＋1－1)，
则1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n＝(3n＋1－1)
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．
题型导航
有
理
数
的
乘
方
有理数的乘方运算
题型1
有理数乘方的逆运算
题型2
乘方运算的符号规律
题型3
有理数乘方的应用
题型4
题型变式
【题型1】有理数否乘方运算
1．（2021·甘肃·模拟预测）（﹣2）2＝（ ）
A．B．C．4D．﹣4
【变式1-1】
2．（2021·江西·崇义县章源实验中学七年级期中）计算：（－1）2021+12021=_______．
【题型2】有理数乘方运算的逆运算
1．（2022·全国·七年级课时练习）计算的结果是（ ）
A．9B．C．2D．
【变式2-1】
2．（2021·湖北十堰·七年级阶段练习）若，则的值是( )．
A．-lB．OC．1D．2021
【题型3】乘方运算的符号规律
1．（2022·江苏·七年级专题练习）下列各式x、x2、、x2+2、|x+2|中，值一定是正数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-1】
2．（2021·四川·泸县太伏镇太伏初级中学校七年级阶段练习）若，则的值是（ ）
A．－2B．－3C．2D．3
【题型4】有理数乘方的应用
1．（2022·江苏·七年级专题练习）对正整数n，记1×2×…×n＝n！若M＝1！×2！×…×10！，则M的正因数中共有完全立方数（ ）个．
A．468B．684C．846D．648
【变式4-1】
2．（2021·全国·七年级期中）已知|x|＝2，y2＝9，且|x﹣y|＝y﹣x，则x﹣y＝_____．
专项训练
一．选择题
1．（2022·广东·中考真题）计算的结果是（ ）
A．1B．C．2D．4
2．（2022·全国·七年级课时练习）下列计算结果为负数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的 x 值为 15，则第 1 次输出的结果为 18，第 2 次输出的结果为 9，…， 第 2021 次输出的结果为（ ）
A．3B．4C．6D．9
4．（2022·全国·七年级专题练习）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（ ）
A．①B．②C．①、②都正确D．①、②都不正确
5．（2022·河北·邢台市开元中学七年级期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2022·全国·七年级课时练习）已知有理数x、y满足，则代数式的值为______．
7．（2022·全国·七年级）若│x＋3∣＋(y－2)=0，则=_________．
8．（2019·全国·七年级课时练习）计算：（1）________；（2）________.
9．（2022·甘肃武威·七年级期末）若有理数等于它的倒数，则________．
10．（2021·全国·课时练习）下列说法：①有理数除了正数，就是负数；②相反数大于本身的数是负数；③立方等于本身的数是；④若，则其中正确的有：_______（填序号）．
11．（2022·全国·七年级课时练习）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________．
12．（2022·全国·七年级课时练习）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝____．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为_________．
三、解答题
13．（2022·江苏·七年级专题练习）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．
根据此规律可得：（1）这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成 个细胞；
（2）这样的一个细胞经过3小时后可分裂成 个细胞；
（3）这样的一个细胞经过（为正整数）小时后可分裂成 个细胞．
14．（2022·全国·七年级专题练习）计算：
（1）与；
（2）与．
15．（2022·全国·七年级专题练习）把下列各数分别填在相应的集合内
、、、、、、
（每两个1之间一次多一个0）、
正分数集合：{ …}
非负整数集合：{ …}
正有理数集合：{ …}．
（2022·全国·七年级）计算：（﹣2）2+|﹣10|﹣（﹣1）2020．
17．（2022·全国·七年级课时练习）给出下面六个数，，，，0，．
(1)其中正有理数是______，分数有______．（将符合条件的数都填在横线上）
(2)先把表示上面各数的点在数轴上表示出来，再按从小到大的顺利，用“＜”号把它们连接起来．
18．（2019·全国·七年级课时练习）阅读材料：
求1＋2＋22＋23＋24＋……＋22019的值．
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋……＋22019，
将等式两边同时乘以2，得
2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22019＋22020，
将下式减去上式得2S－S＝22020－1，
请你仿照此法计算：
(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210；
(2)1＋3＋32＋33＋34……＋3n(其中n为正整数)．
2022-2023学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）
2.9 有理数的乘方
题型导航
有
理
数
的
乘
方
有理数的乘方运算
题型1
有理数乘方的逆运算
题型2
乘方运算的符号规律
题型3
有理数乘方的应用
题型4
题型变式
【题型1】有理数否乘方运算
1．（2021·甘肃·模拟预测）（﹣2）2＝（ ）
A．B．C．4D．﹣4
【答案】C
【分析】直接运用有理数的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】原式＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟练掌握有理数乘方的运算法则．
【变式1-1】
2．（2021·江西·崇义县章源实验中学七年级期中）计算：（－1）2021+12021=_______．
【答案】0
【分析】根据“-1的奇数次幂是-1”，“1的任何次幂都是1”即可进行计算．
【详解】∵（－1）2021=-1，12021=1，
∴（－1）2021+12021=-1+1=0，
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，掌握“-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1”是解题关键．
【题型2】有理数乘方运算的逆运算
1．（2022·全国·七年级课时练习）计算的结果是（ ）
A．9B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据乘方的逆运算进行计算．
【详解】解：原式=
故选B
【点睛】本题主要考查有理数乘方的运算性质的应用，掌握乘方运算是解题的关键．
【变式2-1】
2．（2021·湖北十堰·七年级阶段练习）若，则的值是( )．
A．-lB．OC．1D．2021
【答案】A
【分析】利用非负数的性质，分别求出a与b的值，带入即可求出．
【详解】解：由题意得：a−2=0，b−1=0，解得a=2，b=1，
所以(b−a)2021 =(1−2)2021=(−1)2021=−1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查整数指数幂和绝对值的概念，以及负数的奇次指数幂为负数，偶次幂为正数．整数指数幂与绝对值的值是非负数，由题干中两个式子相加为0可知，两个式子本身都为0，熟练掌握是解决问题的关键．
【题型3】乘方运算的符号规律
1．（2022·江苏·七年级专题练习）下列各式x、x2、、x2+2、|x+2|中，值一定是正数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可．
【详解】解：x不一定是正数；x2不一定是正数；
一定是正数；x2+2一定是正数；
|x+2|不一定是正数；
所以值一定是正数的有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了非负数，绝对值．掌握非负数的性质是解题的关键．
【变式3-1】
2．（2021·四川·泸县太伏镇太伏初级中学校七年级阶段练习）若，则的值是（ ）
A．－2B．－3C．2D．3
【答案】C
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴x−2＝0，3y＋2＝0，
解得：x＝2，y＝，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【题型4】有理数乘方的应用
1．（2022·江苏·七年级专题练习）对正整数n，记1×2×…×n＝n！若M＝1！×2！×…×10！，则M的正因数中共有完全立方数（ ）个．
A．468B．684C．846D．648
【答案】A
【分析】先把原式化为M＝238×317×57×74，然后分别讨论238， 317， 57， 74含有的立方数约数，最后求出M含有立方数约数，即可求解．
【详解】解：∵M＝1！×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！×10！，
∴M＝1×29×38×47×56×65×74×83×92×10＝238×317×57×74，
所以238含有的立方数约数有1、23、26…236共13个，
317含有的立方数约数有1、33、36…315共6个，
57含有的立方数约数有1、53、56共3个，
74含有的立方数约数有1、73共2个，
所以M含有立方数约数为13×6×3×2＝468，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了完全平方数的问题，解题的关键是把M分解为M＝238×317×57×74的形式．
【变式4-1】
2．（2021·全国·七年级期中）已知|x|＝2，y2＝9，且|x﹣y|＝y﹣x，则x﹣y＝_____．
【答案】﹣1或﹣5
【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘方求出x、y，再根据负数的绝对值等于它的相反数判断出x﹣y＜0，确定x、y的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵|x|＝2，y2＝9，
∴x＝±2，y＝±3，
∵|x﹣y|＝y﹣x，
∴x﹣y＜0，也就是x＜y，
∴x=﹣2，y=3或x=2，y=3，
当x=﹣2，y=3时，x﹣y＝﹣2﹣3＝﹣5，
当x=2，y=3时，x﹣y＝2﹣3＝﹣1，
综上所述，x﹣y＝﹣1或﹣5．
故答案为：﹣1或﹣5．
【点睛】本题考查了有理数的减法，有理数的乘方，绝对值的性质，判断出x、y的对应情况是解题的关键．
专项训练
一．选择题
1．（2022·广东·中考真题）计算的结果是（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】D
【分析】利用乘方的意义计算即可．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解答本题的关键．
2．（2022·全国·七年级课时练习）下列计算结果为负数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据求一个数的相反数、去绝对值符号法则、有理数的乘方运算，即可一一判定．
【详解】解：A、，结果为正数，故该选项不符合题意；
B、，结果为正数，故该选项不符合题意；
C、，结果为负数，故该选项符合题意；
D、，结果为正数，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了求一个数的相反数、去绝对值符号法则、有理数的乘方运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
3．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的 x 值为 15，则第 1 次输出的结果为 18，第 2 次输出的结果为 9，…， 第 2021 次输出的结果为（ ）
A．3B．4C．6D．9
【答案】A
【分析】首先分别求出第3次、第4次、第5次、第6次、第7次、第8次输出的结果各是多少，总结出规律，然后判断出第2021次输出的结果为多少即可．
【详解】第1次输出的结果为：15+3＝18，
第2次输出的结果为：×18＝9，
第3次输出的结果为：9+3＝12，
第4次输出的结果为：×12＝6，
第5次输出的结果为：×6＝3，
第6次输出的结果为：3+3＝6，
第7次输出的结果为：×6＝3，
第8次输出的结果为：3+3＝6，
第9次输出的结果为：×6＝3，
…，
从第4次开始，以6，3依次循环，
并且第n次(n＞3)时，
如果n-3为偶数，则输出结果为3，
如果n-3为奇数，则输出结果为6，
∵（2021﹣3）÷2＝2018÷2＝1009，
∴第2021次输出的结果为3．
故选：A．
【点睛】此题考查了程序图的规律问题，解题的关键是正确分析题目中程序的运算规律．
4．（2022·全国·七年级专题练习）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（ ）
A．①B．②C．①、②都正确D．①、②都不正确
【答案】B
【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得．
【详解】解：由三组数的运算得：，
，
，
归纳类推得：当时，，式子①错误；
由三组数的运算得：，
，
，
归纳类推得：当时，，式子②正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
5．（2022·河北·邢台市开元中学七年级期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可．
【详解】解：，
=
=，
=，
=，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算．
二、填空题
6．（2022·全国·七年级课时练习）已知有理数x、y满足，则代数式的值为______．
【答案】1
【分析】利用绝对值及平方的非负性先求出x、y值，再代入即可．
【详解】解：∵，且，
∴，，
即：，，
解得：，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查的是绝对值及平方的非负性求值，属于初中常考题型，掌握其解题步骤是解题的关键．
7．（2022·全国·七年级）若│x＋3∣＋(y－2)=0，则=_________．
【答案】-1
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵∣x＋3∣＋(y－2)=0，
∴x+3=0，y-2=0，
∴x=-3，y=2，
∴==-1，
故答案为：-1．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
8．（2019·全国·七年级课时练习）计算：（1）________；（2）________.
【答案】 -7 -81
【分析】直接根据有理数的混合运算法则进行计算即可.
【详解】（1）原式=0-7=-7；
（2）-81×（-）×（- ）=-81；
【点睛】此题考查有理数的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.
9．（2022·甘肃武威·七年级期末）若有理数等于它的倒数，则________．
【答案】1
【分析】根据倒数的定义可得到，然后依据偶次方的性质求解即可．
【详解】由题意，得或．
当时，；
当时，．
综上，．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义、有理数的乘方，依据倒数的定义求得a的值是解题的关键．
10．（2021·全国·课时练习）下列说法：①有理数除了正数，就是负数；②相反数大于本身的数是负数；③立方等于本身的数是；④若，则其中正确的有：_______（填序号）．
【答案】②
【分析】据有理数的概念和乘方运算逐个检查，找出正确说法作答．
【详解】对于①，有理数除了正数和负数之外还有0，故①错误；
对于②，负数的相反数是正数，正数大于负数，故②正确；
对于③，由，，得立方等于本身的数不只有，故③错误；
对于④，由，但，得④错误．
故答案为：②．
【点睛】此题考查有理数的分类，相反数的意义，乘方的意义和绝对值的性质．其关键是要对相关知识的熟练掌握．
11．（2022·全国·七年级课时练习）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________．
【答案】8
【分析】先根据已知等式发现个位数字是以为一循环，再根据即可得．
【详解】因为，，，，，，…，
所以个位数字是以为一循环，且，
又因为，，
所以的结果的个位数字是8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了有理数乘方的规律型问题，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键．
12．（2022·全国·七年级课时练习）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝____．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为_________．
【答案】 －1 1
【分析】根据绝对值和平方的非负性即可求第一空；根据绝对值与数轴的关系可以解出第2问．
【详解】∵，
∴
即
∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，
∴
∵表示x与-1，1和2022三个数的距离之和，
∴当x取中间值1时，和为最小值为2023；
故答案为：-1,1
【点睛】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与-1，1和2022三个数的距离之和是解题的关键．
三、解答题
13．（2022·江苏·七年级专题练习）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．
根据此规律可得：（1）这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成 个细胞；
（2）这样的一个细胞经过3小时后可分裂成 个细胞；
（3）这样的一个细胞经过（为正整数）小时后可分裂成 个细胞．
【答案】（1）16；（2）64；（3）
【分析】（1）由题意可知该细胞分裂呈指数增长，因此写出表达式求解即可；
（2）结合（1）的结论，以及3小时对应6个30分钟，求解即可；
（3）仿照（2）的过程求解即可．
【详解】解：由题意，第个30分钟后，细胞分裂为个，
（1）第四个30分钟后可分裂成个，
故答案为：16；
（2）3小时即为6个30分钟，则经过3小时后可分裂成个，
故答案为：64；
（3）（为正整数）小时即为个30分钟，则经过小时后可分裂成个，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数乘方运算的应用，理解题意，准确总结出一般规律是解题关键．
14．（2022·全国·七年级专题练习）计算：
（1）与；
（2）与．
【答案】（1）256；-256；（2）．
【分析】（1）直接运用乘方的运算法则计算即可；
（2）直接运用乘方的运算法则计算即可．
【详解】解：（1）．
（2）．
【点睛】本题主要考查了乘方的运用法则，理解乘方的运算法则成为解答本题的关键．
15．（2022·全国·七年级专题练习）把下列各数分别填在相应的集合内
、、、、、、
（每两个1之间一次多一个0）、
正分数集合：{ …}
非负整数集合：{ …}
正有理数集合：{ …}．
【答案】、；、、；、、、
【分析】根据有理数的有关分类，求解即可．
【详解】解：，，
∴、为正分数
、、为非负整数
、、、为正有理数
故答案为：、；、、；、、、
【点睛】此题考查了有理数的有关分类，涉及了乘方、相反数和绝对值的求解，解题的关键是掌握有理数的有关分类．
16．（2022·全国·七年级）计算：（﹣2）2+|﹣10|﹣（﹣1）2020．
【答案】13
【分析】原式先计算乘方运算，再计算加减运算即可求出值．
【详解】解：原式＝4+10﹣1
＝14﹣1
＝13．
【点睛】本题考查有理数的乘方、有理数的加减法、绝对值等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
17．（2022·全国·七年级课时练习）给出下面六个数，，，，0，．
(1)其中正有理数是______，分数有______．（将符合条件的数都填在横线上）
(2)先把表示上面各数的点在数轴上表示出来，再按从小到大的顺利，用“＜”号把它们连接起来．
【答案】(1)-（-2.5），（-1）2022；-（-2.5），−
(2)在数轴上表示见解析，-22＜-|-2|＜-＜0＜（-1）2022＜-（-2.5）
【分析】（1）根据正有理数，分数的意义判断即可．
（2）在数轴上准确找到各数对应的点即可解答．
(1)
解：∵，，，，
∴正有理数是-（-2.5），（-1）2022，
分数有-（-2.5），−，
故答案为：-（-2.5），（-1）2022；-（-2.5），−；
(2)
解：在数轴上表示如图所示：
∴-22＜-|-2|＜-＜0＜（-1）2022＜-（-2.5）．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，有理数的乘方，有理数大小比较，在数轴上准确找到各数对应的点是解题的关键．
18．（2019·全国·七年级课时练习）阅读材料：
求1＋2＋22＋23＋24＋……＋22019的值．
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋……＋22019，
将等式两边同时乘以2，得
2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22019＋22020，
将下式减去上式得2S－S＝22020－1，
请你仿照此法计算：
(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210；
(2)1＋3＋32＋33＋34……＋3n(其中n为正整数)．
【答案】（1）211－1；（2）(3n＋1－1)
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法求出原式的值即可；
（2）仿照阅读材料中的方法求出原式的值即可．
【详解】(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210，将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211，将下式减去上式得2S－S＝211－1，即S＝211－1，则1＋2＋22＋23＋24＋……＋210＝211－1
(2)设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n①，两边同乘以3得：3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1②，②－①得：3S－S＝3n＋1－1，即S＝(3n＋1－1)，
则1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n＝(3n＋1－1)
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．
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