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初中数学北师大版（2024）七年级上册5.1 认识一元一次方程课时训练
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这是一份初中数学北师大版（2024）七年级上册5.1 认识一元一次方程课时训练，共18页。试卷主要包含了1 认识一元一次方程等内容，欢迎下载使用。
题型导航
认
识
一
元
一
次
方
程
判断是否是方程
题型1
列方程
题型2
方程的解
题型3
等式的性质
题型4
题型变式
【题型1】判断是否是方程
1．（2021·全国·七年级专题练习）下列式子中：①，②，③，④，⑤．是方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-1】
2．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期中）已知等式 是关于x的一元一次方程，则m=____________．
【题型2】列方程
1．（2021·全国·七年级专题练习）根据“的倍与的和比的多”可列方程（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】
2．（2022·全国·七年级课时练习）某班有男生25人，比女生的2倍少17人，这个班有女生多少人？设女生人数为x．则可得方程___________．
【题型3】方程的解
1．（2017·湖南永州·中考真题）x＝1是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣1D．1
【变式3-1】
2．（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）若方程2x－m＝1和方程3x＝2(x－1)的解相同，则m的值为__________．
【题型4】等式的性质
1．（2022·安徽·阜南县文勤学校七年级阶段练习）如果，那么的值为（ ）
A．10B．C．－10D．
【变式4-1】
2．（2022·江苏·测试·编辑教研五七年级阶段练习）已知x=3，y=5，则用含x的代数式表示y=______．
专项训练
一．选择题
1．（2022·全国·七年级课时练习）下列方程中：①x﹣2＝；②x＝6；③；④x2﹣4x＝3；⑤0.3x＝1；⑥x＋2y＝0，其中一元一次方程的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2022·江苏·七年级单元测试）在方程①；②；③；④中，为一元一次方程的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．（2021·黑龙江·同江市第三中学七年级期中）当x=-1时，代数式2ax3﹣3bx+8的值为18，那么，代数式9b﹣6a+2=（ ）
A．28B．﹣28C．32D．﹣32
4．（2022·全国·七年级专题练习）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2018·全国·七年级单元测试）下列方程中，解为的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·七年级课时练习）对于等式：，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程B．是方程，其解只有2
C．是方程，其解只有0D．是方程，其解有0和2
二、填空题
7．（2022·全国·七年级单元测试）若a，b为常数，无论k为何值时，关于x的一元一次方程，它的解总是1，则a，b的值分别是_______．
8．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）已知关于x的方程是的一元一次方程，则____________．
9．（2022·江苏·七年级单元测试）若x＝2是关于x的方程mx﹣4＝6的解，则m＝_____．
10．（2022·全国·七年级专题练习）“的3倍与7的差等于12”可列方程为____________________．
11．（2022·河北廊坊·七年级期末）关于x的一元一次方程(k－1)x－8＝0的解是-2，则k=______．
12．（2022·全国·七年级课时练习）长方形场地的面积是80平方米，它的长是宽的2倍多6米，若设长方形的宽是米，那么可以列出方程为_______．
三、解答题
13．（2022·全国·七年级单元测试）已知是关于的方程的解，求的值．
14．（2022·海南·儋州川绵中学七年级阶段练习）只列方程，不解方程
(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？
(2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？
15．（2022·四川·岳池县兴隆中学七年级阶段练习）已知方程是关于x的一元一次方程．
(1)求代数式的值；
(2)求关于y的方程的解．
16．（2022·全国·七年级课时练习）（1）若关于x的方程（m﹣4）x|m－1|﹣2＋2＝0是一元一次方程，求m的值．
（2）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：|﹣a|＋|a＋c|﹣|b﹣2a|＋|b﹣c|．
17．（2021·四川省德阳中学校七年级阶段练习）我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)判断方程______（回答“是”或“不是”）“奇异方程”；
(2)若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
(3)若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，求代数式的值．
2022-2023学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）
5.1 认识一元一次方程
题型导航
认
识
一
元
一
次
方
程
判断是否是方程
题型1
列方程
题型2
方程的解
题型3
等式的性质
题型4
题型变式
【题型1】判断是否是方程
1．（2021·全国·七年级专题练习）下列式子中：①，②，③，④，⑤．是方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据方程的定义可得出正确答案．
【详解】①，是方程；
②，不是等式，不是方程；
③，不是等式，不是方程；
④，是方程；
⑤，是方程．
综上，方程共有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了方程的定义，解题关键是依据方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．
【变式1-1】
2．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期中）已知等式 是关于x的一元一次方程，则m=____________．
【答案】-1
【详解】试题分析：只含有一个未知数，且所含未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程.
由题意得，.
考点：一元一次方程的定义
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握一元一次方程的定义，即可完成.
【题型2】列方程
1．（2021·全国·七年级专题练习）根据“的倍与的和比的多”可列方程（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意直接列出方程排除选项即可．
【详解】解：由题意得：
；
故选D．
【点睛】本题主要考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程是解题的关键．
【变式2-1】
2．（2022·全国·七年级课时练习）某班有男生25人，比女生的2倍少17人，这个班有女生多少人？设女生人数为x．则可得方程___________．
【答案】2x-17=25
【详解】解：设女生人数为x．根据男生比女生的2倍少17人，则可得：2x-17=25.
故答案为：2x-17=25．
【题型3】方程的解
1．（2017·湖南永州·中考真题）x＝1是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣1D．1
【答案】B
【详解】把x＝1代入方程2x－a＝0得2－a＝0，
解得a＝2，
故选：B．
【变式3-1】
2．（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）若方程2x－m＝1和方程3x＝2(x－1)的解相同，则m的值为__________．
【答案】-5
【分析】根据同解方程的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：由3x=2（x-1）解得x=-2，
将x=-2代入2x-m=1，得
-4-m=1，
解得m=-5，
故答案为：-5．
【点睛】本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于m的方程是解题关键．
【题型4】等式的性质
1．（2022·安徽·阜南县文勤学校七年级阶段练习）如果，那么的值为（ ）
A．10B．C．－10D．
【答案】B
【分析】根据等式的性质，该等式两边同时除以10，可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查等式的性质，熟记等式的性质是解答本题的关键．
【变式4-1】
2．（2022·江苏·测试·编辑教研五七年级阶段练习）已知x=3，y=5，则用含x的代数式表示y=______．
【答案】##-2x+11
【分析】由x=3，得，代入y=5即可求解．
【详解】解：∵x=3，
∴，
∵y=5，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查列代数式、等式的性质，掌握整体代入思想是解题的关键．
专项训练
一．选择题
1．（2022·全国·七年级课时练习）下列方程中：①x﹣2＝；②x＝6；③；④x2﹣4x＝3；⑤0.3x＝1；⑥x＋2y＝0，其中一元一次方程的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义：一元一次方程只含有1个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，进行逐一判断即可．
【详解】解：①x﹣2＝不是整式方程，不是一元一次方程，故不符合题意：
②x=6是一元一次方程，故符合题意：
③和⑤0.3x＝1符合一元一次方程的定义，故符合题意；
④x2﹣4x＝3未知数的最高次不是1，不是一元一次方程，故不符合题意；
⑥x+2y＝0含有两个未知数，不是一元一次方程，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，需注意定义里的每一个条件都要满足，理解掌握定义是解答关键．
2．（2022·江苏·七年级单元测试）在方程①；②；③；④中，为一元一次方程的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
【分析】只含有一个未知数(元)并且未知数的指数是1 (次)的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0 (a， b是常数且a≠0)，根据此定义判断即可．
【详解】①；是一元一次方程，故①正确；
②；不是一元一次方程，故②错误；
③；不是一元一次方程，故③错误；
④不是一元一次方程，故④错误；
为一元一次方程的有1个；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的识别，注意三个要点：只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
3．（2021·黑龙江·同江市第三中学七年级期中）当x=-1时，代数式2ax3﹣3bx+8的值为18，那么，代数式9b﹣6a+2=（ ）
A．28B．﹣28C．32D．﹣32
【答案】C
【分析】首先根据当x＝−1时，代数式2ax3-3bx+8的值为18，求出-2a+3b的值为10．再把9b-6a+2改为3(-2a+3b)+2，最后将-2a+3b的值代入3(-2a+3b)+2中即可．
【详解】解：∵当x=-1时，代数式2ax3-3bx+8的值为18，
∴-2a+3b+8=18，
∴-2a+3b=10，
则9b-6a+2，
=3(-2a+3b)+2，
=3×10+2，
=32，
故选：C．
【点睛】此题主要考查代数式求值，掌握整体代入的思想是解答本题的关键．
4．（2022·全国·七年级专题练习）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义，有1个未知数，且未知数的指数为1的整数方程是一元一次方程，判断即可．
【详解】A、是一元一次方程，符合题意；
B、有两个未知数，不是一元一次方程，不合题意；
C、中未知数最高次数为2，不是一元一次方程，不合题意；
D、不是整式方程，不是一元一次方程，不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是本题的关键．
5．（2018·全国·七年级单元测试）下列方程中，解为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：A．把x=5代入方程得：左边=2×5+3=13，右边=5，∴左边≠右边，故本选项错误；
B．把x=5代入方程得：左边=2，右边=1，∴左边≠右边，故本选项错误；
C．把x=5代入方程得：左边=7﹣（5﹣1）=3，右边=3，∴左边=右边，故本选项正确；
D．把x=5代入方程得：左边=15﹣1=14，右边=，16，∴左边≠右边，故本选项错误．
故选C．
6．（2022·全国·七年级课时练习）对于等式：，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程B．是方程，其解只有2
C．是方程，其解只有0D．是方程，其解有0和2
【答案】D
【分析】根据方程的定义及方程解的定义可判断选项的正确性．方程就是含有未知数的等式，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】解：|x-1|+2=3符合方程的定义，是方程，
（1）当x≥1时，x-1+2=3，解得x=2；
（2）当x＜1时，1-x+2=3，解得x=0．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方程的定义及方程解的定义，关键在于讨论x的取值情况，从而通过解方程确定方程的解．
二、填空题
7．（2022·全国·七年级单元测试）若a，b为常数，无论k为何值时，关于x的一元一次方程，它的解总是1，则a，b的值分别是_______．
【答案】
【分析】将方程的解代入原方程，并化简．因为无论k为何值，它的解总是1，即可列出 ，解出a和b即可．
【详解】把代入方程得，
化简得，
∵k的值为全体实数，
∴，且，
∴，．
【点睛】本题考查一元一次方程的解．理解方程的解的定义“能够使方程左右两边相等的未知数的值”是解答本题的关键．
8．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）已知关于x的方程是的一元一次方程，则____________．
【答案】11
【分析】根据一元一次方程的定义解答即可，一元一次方程指只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．
【详解】关于x的方程是的一元一次方程，
解得
故答案为：11
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，理解定义是解题的关键．
9．（2022·江苏·七年级单元测试）若x＝2是关于x的方程mx﹣4＝6的解，则m＝_____．
【答案】5
【分析】把x＝2代入方程计算即可求出m的值．
【详解】解：把x＝2代入方程得：2m﹣4＝6，
解得：m＝5，
故答案为：5．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
10．（2022·全国·七年级专题练习）“的3倍与7的差等于12”可列方程为____________________．
【答案】
【分析】根据该数的3倍与7的差等于12，即可得出关于x的一元一次方程，此问得解
【详解】解：根据题意得，3x﹣7＝12
故答案为：3x﹣7＝12．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
11．（2022·河北廊坊·七年级期末）关于x的一元一次方程(k－1)x－8＝0的解是-2，则k=______．
【答案】-3
【分析】将x=-2代入方程求解即可．
【详解】解：x=-2代入方程(k－1)x－8＝0可得：-2(k－1)－8＝0，
解得：k=-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查一元一次方程解的定义和方程的求解，熟练掌握方程的解法是解题的关键．
12．（2022·全国·七年级课时练习）长方形场地的面积是80平方米，它的长是宽的2倍多6米，若设长方形的宽是米，那么可以列出方程为_______．
【答案】
【分析】先用x表示出长，再利用长方形面积公式列方程即可得答案．
【详解】设长方形的宽是米，
∵长是宽的2倍多6米，
∴长是（2x+6）米，
∵长方形的面积为80平方米，
∴（2x+6）x=80，
故答案为：（2x+6）x=80
【点睛】本题考查实际问题与一元一次方程，正确表示出长方形的长是解题关键．
三、解答题
13．（2022·全国·七年级单元测试）已知是关于的方程的解，求的值．
【答案】1
【分析】先将x=2代入方程求出m，再将m的值代入即可求解．
【详解】解：∵是关于x的方程的解，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了方程的解的含义的知识，掌握方程解的含义是解答本题的关键．
14．（2022·海南·儋州川绵中学七年级阶段练习）只列方程，不解方程
(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？
(2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设这个班女生有人，根据有男生25人，比女生的2倍少15人列出方程即可；
（2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，再根据苹果和梨的价格、以及用去21元列出方程即可得．
（1）
解：设这个班女生有人，
由题意列方程为．
（2）
设小明苹果买了千克，则梨买了千克，
由题意列方程为．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
15．（2022·四川·岳池县兴隆中学七年级阶段练习）已知方程是关于x的一元一次方程．
(1)求代数式的值；
(2)求关于y的方程的解．
【答案】(1)-2；
(2)y＝2或y＝−6．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到且−（m＋1）≠0，解得m＝1，再解原方程得到x＝4，把代数式化简得到原式＝，然后把x＝4代入计算即可；
（2）方程化为，根据绝对值的意义得到y＋2＝4或y＋2＝−4，然后分别解两个一次方程即可．
（1）
解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴且−（m＋1）≠0，
∴m＝1，
原一元一次方程化为：−2x＋8＝0，解得x＝4，
∵，
当x＝4时，原式＝；
（2）
方程化为，
∴y＋2＝4或y＋2＝−4，
∴y＝2或y＝−6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．也考查了一元一次方程的定义．
16．（2022·全国·七年级课时练习）（1）若关于x的方程（m﹣4）x|m－1|﹣2＋2＝0是一元一次方程，求m的值．
（2）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：|﹣a|＋|a＋c|﹣|b﹣2a|＋|b﹣c|．
【答案】（1）m＝﹣2；（2）﹣2b
【分析】（1）根据题意得到|m－1|﹣2＝1，解出绝对值方程，求出m的两个值．最后分别将两个值代入检验，检验系数是否为0，若系数为0，则不合题意，舍去，若系数为0，则符合题意；
（2）首先根据数轴判断绝对值里代数式的大小，再根据绝对值的意义正确去掉绝对值，计算即可．
【详解】解：（1）∵关于x的方程（m﹣4）x|m﹣1|﹣2+2＝0是一元一次方程，
∴|m﹣1|﹣2＝1，且m﹣4≠0，
由|m﹣1|﹣2＝1，得m＝4或m＝﹣2，
由m﹣4≠0，得m≠4，
∴m＝﹣2；
（2）∵﹣a＞0，a+c＜0，b﹣2a＞0，b﹣c＜0，
∴|﹣a|+|a+c|﹣|b﹣2a|+|b﹣c|
＝（﹣a）﹣（a+c）﹣（b﹣2a）﹣（b﹣c）
＝﹣a﹣a﹣c﹣b+2a﹣b+c
＝﹣2b．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值的意义以及整式的运算，熟练掌握概念以及整式的运算法则是本题的关键．
17．（2021·四川省德阳中学校七年级阶段练习）我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)判断方程______（回答“是”或“不是”）“奇异方程”；
(2)若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
(3)若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，求代数式的值．
【答案】(1)不是
(2)有，b=
(3)
【分析】（1）解方程，并计算对应b-a的值与方程的解不相等，所以不是奇异方程；
（2）根据奇异方程的定义即可得出关于b的方程，解方程即可；
（3）根据奇异方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算即可求解．
(1)
∵5x=-8，
∴x=-，
∵-8-5=-13，
-≠−13，
∴5x=-8不是奇异方程；
故答案为：不是；
(2)
∵a=3，
∴x=b-3，
∴b−3＝，
∴b＝，
即b=时有符合要求的“奇异方程”；
(3)
∵关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，
∴mn+m=4，mn+n=-，
两式相减得，m-n=，
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意，理解奇异方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键．
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认
识
一
元
一
次
方
程
判断是否是方程
题型1
列方程
题型2
方程的解
题型3
等式的性质
题型4
题型变式
【题型1】判断是否是方程
1．（2021·全国·七年级专题练习）下列式子中：①，②，③，④，⑤．是方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-1】
2．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期中）已知等式 是关于x的一元一次方程，则m=____________．
【题型2】列方程
1．（2021·全国·七年级专题练习）根据“的倍与的和比的多”可列方程（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】
2．（2022·全国·七年级课时练习）某班有男生25人，比女生的2倍少17人，这个班有女生多少人？设女生人数为x．则可得方程___________．
【题型3】方程的解
1．（2017·湖南永州·中考真题）x＝1是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣1D．1
【变式3-1】
2．（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）若方程2x－m＝1和方程3x＝2(x－1)的解相同，则m的值为__________．
【题型4】等式的性质
1．（2022·安徽·阜南县文勤学校七年级阶段练习）如果，那么的值为（ ）
A．10B．C．－10D．
【变式4-1】
2．（2022·江苏·测试·编辑教研五七年级阶段练习）已知x=3，y=5，则用含x的代数式表示y=______．
专项训练
一．选择题
1．（2022·全国·七年级课时练习）下列方程中：①x﹣2＝；②x＝6；③；④x2﹣4x＝3；⑤0.3x＝1；⑥x＋2y＝0，其中一元一次方程的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2022·江苏·七年级单元测试）在方程①；②；③；④中，为一元一次方程的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．（2021·黑龙江·同江市第三中学七年级期中）当x=-1时，代数式2ax3﹣3bx+8的值为18，那么，代数式9b﹣6a+2=（ ）
A．28B．﹣28C．32D．﹣32
4．（2022·全国·七年级专题练习）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2018·全国·七年级单元测试）下列方程中，解为的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·七年级课时练习）对于等式：，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程B．是方程，其解只有2
C．是方程，其解只有0D．是方程，其解有0和2
二、填空题
7．（2022·全国·七年级单元测试）若a，b为常数，无论k为何值时，关于x的一元一次方程，它的解总是1，则a，b的值分别是_______．
8．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）已知关于x的方程是的一元一次方程，则____________．
9．（2022·江苏·七年级单元测试）若x＝2是关于x的方程mx﹣4＝6的解，则m＝_____．
10．（2022·全国·七年级专题练习）“的3倍与7的差等于12”可列方程为____________________．
11．（2022·河北廊坊·七年级期末）关于x的一元一次方程(k－1)x－8＝0的解是-2，则k=______．
12．（2022·全国·七年级课时练习）长方形场地的面积是80平方米，它的长是宽的2倍多6米，若设长方形的宽是米，那么可以列出方程为_______．
三、解答题
13．（2022·全国·七年级单元测试）已知是关于的方程的解，求的值．
14．（2022·海南·儋州川绵中学七年级阶段练习）只列方程，不解方程
(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？
(2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？
15．（2022·四川·岳池县兴隆中学七年级阶段练习）已知方程是关于x的一元一次方程．
(1)求代数式的值；
(2)求关于y的方程的解．
16．（2022·全国·七年级课时练习）（1）若关于x的方程（m﹣4）x|m－1|﹣2＋2＝0是一元一次方程，求m的值．
（2）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：|﹣a|＋|a＋c|﹣|b﹣2a|＋|b﹣c|．
17．（2021·四川省德阳中学校七年级阶段练习）我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)判断方程______（回答“是”或“不是”）“奇异方程”；
(2)若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
(3)若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，求代数式的值．
2022-2023学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）
5.1 认识一元一次方程
题型导航
认
识
一
元
一
次
方
程
判断是否是方程
题型1
列方程
题型2
方程的解
题型3
等式的性质
题型4
题型变式
【题型1】判断是否是方程
1．（2021·全国·七年级专题练习）下列式子中：①，②，③，④，⑤．是方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据方程的定义可得出正确答案．
【详解】①，是方程；
②，不是等式，不是方程；
③，不是等式，不是方程；
④，是方程；
⑤，是方程．
综上，方程共有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了方程的定义，解题关键是依据方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．
【变式1-1】
2．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期中）已知等式 是关于x的一元一次方程，则m=____________．
【答案】-1
【详解】试题分析：只含有一个未知数，且所含未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程.
由题意得，.
考点：一元一次方程的定义
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握一元一次方程的定义，即可完成.
【题型2】列方程
1．（2021·全国·七年级专题练习）根据“的倍与的和比的多”可列方程（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意直接列出方程排除选项即可．
【详解】解：由题意得：
；
故选D．
【点睛】本题主要考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程是解题的关键．
【变式2-1】
2．（2022·全国·七年级课时练习）某班有男生25人，比女生的2倍少17人，这个班有女生多少人？设女生人数为x．则可得方程___________．
【答案】2x-17=25
【详解】解：设女生人数为x．根据男生比女生的2倍少17人，则可得：2x-17=25.
故答案为：2x-17=25．
【题型3】方程的解
1．（2017·湖南永州·中考真题）x＝1是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣1D．1
【答案】B
【详解】把x＝1代入方程2x－a＝0得2－a＝0，
解得a＝2，
故选：B．
【变式3-1】
2．（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）若方程2x－m＝1和方程3x＝2(x－1)的解相同，则m的值为__________．
【答案】-5
【分析】根据同解方程的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：由3x=2（x-1）解得x=-2，
将x=-2代入2x-m=1，得
-4-m=1，
解得m=-5，
故答案为：-5．
【点睛】本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于m的方程是解题关键．
【题型4】等式的性质
1．（2022·安徽·阜南县文勤学校七年级阶段练习）如果，那么的值为（ ）
A．10B．C．－10D．
【答案】B
【分析】根据等式的性质，该等式两边同时除以10，可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查等式的性质，熟记等式的性质是解答本题的关键．
【变式4-1】
2．（2022·江苏·测试·编辑教研五七年级阶段练习）已知x=3，y=5，则用含x的代数式表示y=______．
【答案】##-2x+11
【分析】由x=3，得，代入y=5即可求解．
【详解】解：∵x=3，
∴，
∵y=5，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查列代数式、等式的性质，掌握整体代入思想是解题的关键．
专项训练
一．选择题
1．（2022·全国·七年级课时练习）下列方程中：①x﹣2＝；②x＝6；③；④x2﹣4x＝3；⑤0.3x＝1；⑥x＋2y＝0，其中一元一次方程的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义：一元一次方程只含有1个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，进行逐一判断即可．
【详解】解：①x﹣2＝不是整式方程，不是一元一次方程，故不符合题意：
②x=6是一元一次方程，故符合题意：
③和⑤0.3x＝1符合一元一次方程的定义，故符合题意；
④x2﹣4x＝3未知数的最高次不是1，不是一元一次方程，故不符合题意；
⑥x+2y＝0含有两个未知数，不是一元一次方程，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，需注意定义里的每一个条件都要满足，理解掌握定义是解答关键．
2．（2022·江苏·七年级单元测试）在方程①；②；③；④中，为一元一次方程的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
【分析】只含有一个未知数(元)并且未知数的指数是1 (次)的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0 (a， b是常数且a≠0)，根据此定义判断即可．
【详解】①；是一元一次方程，故①正确；
②；不是一元一次方程，故②错误；
③；不是一元一次方程，故③错误；
④不是一元一次方程，故④错误；
为一元一次方程的有1个；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的识别，注意三个要点：只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
3．（2021·黑龙江·同江市第三中学七年级期中）当x=-1时，代数式2ax3﹣3bx+8的值为18，那么，代数式9b﹣6a+2=（ ）
A．28B．﹣28C．32D．﹣32
【答案】C
【分析】首先根据当x＝−1时，代数式2ax3-3bx+8的值为18，求出-2a+3b的值为10．再把9b-6a+2改为3(-2a+3b)+2，最后将-2a+3b的值代入3(-2a+3b)+2中即可．
【详解】解：∵当x=-1时，代数式2ax3-3bx+8的值为18，
∴-2a+3b+8=18，
∴-2a+3b=10，
则9b-6a+2，
=3(-2a+3b)+2，
=3×10+2，
=32，
故选：C．
【点睛】此题主要考查代数式求值，掌握整体代入的思想是解答本题的关键．
4．（2022·全国·七年级专题练习）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义，有1个未知数，且未知数的指数为1的整数方程是一元一次方程，判断即可．
【详解】A、是一元一次方程，符合题意；
B、有两个未知数，不是一元一次方程，不合题意；
C、中未知数最高次数为2，不是一元一次方程，不合题意；
D、不是整式方程，不是一元一次方程，不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是本题的关键．
5．（2018·全国·七年级单元测试）下列方程中，解为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：A．把x=5代入方程得：左边=2×5+3=13，右边=5，∴左边≠右边，故本选项错误；
B．把x=5代入方程得：左边=2，右边=1，∴左边≠右边，故本选项错误；
C．把x=5代入方程得：左边=7﹣（5﹣1）=3，右边=3，∴左边=右边，故本选项正确；
D．把x=5代入方程得：左边=15﹣1=14，右边=，16，∴左边≠右边，故本选项错误．
故选C．
6．（2022·全国·七年级课时练习）对于等式：，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程B．是方程，其解只有2
C．是方程，其解只有0D．是方程，其解有0和2
【答案】D
【分析】根据方程的定义及方程解的定义可判断选项的正确性．方程就是含有未知数的等式，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】解：|x-1|+2=3符合方程的定义，是方程，
（1）当x≥1时，x-1+2=3，解得x=2；
（2）当x＜1时，1-x+2=3，解得x=0．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方程的定义及方程解的定义，关键在于讨论x的取值情况，从而通过解方程确定方程的解．
二、填空题
7．（2022·全国·七年级单元测试）若a，b为常数，无论k为何值时，关于x的一元一次方程，它的解总是1，则a，b的值分别是_______．
【答案】
【分析】将方程的解代入原方程，并化简．因为无论k为何值，它的解总是1，即可列出 ，解出a和b即可．
【详解】把代入方程得，
化简得，
∵k的值为全体实数，
∴，且，
∴，．
【点睛】本题考查一元一次方程的解．理解方程的解的定义“能够使方程左右两边相等的未知数的值”是解答本题的关键．
8．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）已知关于x的方程是的一元一次方程，则____________．
【答案】11
【分析】根据一元一次方程的定义解答即可，一元一次方程指只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．
【详解】关于x的方程是的一元一次方程，
解得
故答案为：11
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，理解定义是解题的关键．
9．（2022·江苏·七年级单元测试）若x＝2是关于x的方程mx﹣4＝6的解，则m＝_____．
【答案】5
【分析】把x＝2代入方程计算即可求出m的值．
【详解】解：把x＝2代入方程得：2m﹣4＝6，
解得：m＝5，
故答案为：5．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
10．（2022·全国·七年级专题练习）“的3倍与7的差等于12”可列方程为____________________．
【答案】
【分析】根据该数的3倍与7的差等于12，即可得出关于x的一元一次方程，此问得解
【详解】解：根据题意得，3x﹣7＝12
故答案为：3x﹣7＝12．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
11．（2022·河北廊坊·七年级期末）关于x的一元一次方程(k－1)x－8＝0的解是-2，则k=______．
【答案】-3
【分析】将x=-2代入方程求解即可．
【详解】解：x=-2代入方程(k－1)x－8＝0可得：-2(k－1)－8＝0，
解得：k=-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查一元一次方程解的定义和方程的求解，熟练掌握方程的解法是解题的关键．
12．（2022·全国·七年级课时练习）长方形场地的面积是80平方米，它的长是宽的2倍多6米，若设长方形的宽是米，那么可以列出方程为_______．
【答案】
【分析】先用x表示出长，再利用长方形面积公式列方程即可得答案．
【详解】设长方形的宽是米，
∵长是宽的2倍多6米，
∴长是（2x+6）米，
∵长方形的面积为80平方米，
∴（2x+6）x=80，
故答案为：（2x+6）x=80
【点睛】本题考查实际问题与一元一次方程，正确表示出长方形的长是解题关键．
三、解答题
13．（2022·全国·七年级单元测试）已知是关于的方程的解，求的值．
【答案】1
【分析】先将x=2代入方程求出m，再将m的值代入即可求解．
【详解】解：∵是关于x的方程的解，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了方程的解的含义的知识，掌握方程解的含义是解答本题的关键．
14．（2022·海南·儋州川绵中学七年级阶段练习）只列方程，不解方程
(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？
(2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设这个班女生有人，根据有男生25人，比女生的2倍少15人列出方程即可；
（2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，再根据苹果和梨的价格、以及用去21元列出方程即可得．
（1）
解：设这个班女生有人，
由题意列方程为．
（2）
设小明苹果买了千克，则梨买了千克，
由题意列方程为．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
15．（2022·四川·岳池县兴隆中学七年级阶段练习）已知方程是关于x的一元一次方程．
(1)求代数式的值；
(2)求关于y的方程的解．
【答案】(1)-2；
(2)y＝2或y＝−6．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到且−（m＋1）≠0，解得m＝1，再解原方程得到x＝4，把代数式化简得到原式＝，然后把x＝4代入计算即可；
（2）方程化为，根据绝对值的意义得到y＋2＝4或y＋2＝−4，然后分别解两个一次方程即可．
（1）
解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴且−（m＋1）≠0，
∴m＝1，
原一元一次方程化为：−2x＋8＝0，解得x＝4，
∵，
当x＝4时，原式＝；
（2）
方程化为，
∴y＋2＝4或y＋2＝−4，
∴y＝2或y＝−6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．也考查了一元一次方程的定义．
16．（2022·全国·七年级课时练习）（1）若关于x的方程（m﹣4）x|m－1|﹣2＋2＝0是一元一次方程，求m的值．
（2）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：|﹣a|＋|a＋c|﹣|b﹣2a|＋|b﹣c|．
【答案】（1）m＝﹣2；（2）﹣2b
【分析】（1）根据题意得到|m－1|﹣2＝1，解出绝对值方程，求出m的两个值．最后分别将两个值代入检验，检验系数是否为0，若系数为0，则不合题意，舍去，若系数为0，则符合题意；
（2）首先根据数轴判断绝对值里代数式的大小，再根据绝对值的意义正确去掉绝对值，计算即可．
【详解】解：（1）∵关于x的方程（m﹣4）x|m﹣1|﹣2+2＝0是一元一次方程，
∴|m﹣1|﹣2＝1，且m﹣4≠0，
由|m﹣1|﹣2＝1，得m＝4或m＝﹣2，
由m﹣4≠0，得m≠4，
∴m＝﹣2；
（2）∵﹣a＞0，a+c＜0，b﹣2a＞0，b﹣c＜0，
∴|﹣a|+|a+c|﹣|b﹣2a|+|b﹣c|
＝（﹣a）﹣（a+c）﹣（b﹣2a）﹣（b﹣c）
＝﹣a﹣a﹣c﹣b+2a﹣b+c
＝﹣2b．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值的意义以及整式的运算，熟练掌握概念以及整式的运算法则是本题的关键．
17．（2021·四川省德阳中学校七年级阶段练习）我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)判断方程______（回答“是”或“不是”）“奇异方程”；
(2)若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
(3)若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，求代数式的值．
【答案】(1)不是
(2)有，b=
(3)
【分析】（1）解方程，并计算对应b-a的值与方程的解不相等，所以不是奇异方程；
（2）根据奇异方程的定义即可得出关于b的方程，解方程即可；
（3）根据奇异方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算即可求解．
(1)
∵5x=-8，
∴x=-，
∵-8-5=-13，
-≠−13，
∴5x=-8不是奇异方程；
故答案为：不是；
(2)
∵a=3，
∴x=b-3，
∴b−3＝，
∴b＝，
即b=时有符合要求的“奇异方程”；
(3)
∵关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，
∴mn+m=4，mn+n=-，
两式相减得，m-n=，
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意，理解奇异方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键．
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