江西省都昌县第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷（B）

这是一份江西省都昌县第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷（B），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题(共77分等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(40分)
1．已知复数，则（ ）
A．B．1C．D．2
2．记△ABC的内角的对边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知△ABC的三个顶点分别为，且，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
4．过点且斜率为1的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图是由6个相同的小正方体组成的几何体．从上面看到的这个几何体的形状图是（ ）
A．B．C．D．
6．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．直线过圆心
C．直线不过圆心但与圆相交D．相离
7．函数的最小正周期为（ ）
A．4B．2C．D．
8．直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
二、多选题（18分）
9．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为，半径为
B．圆的圆心为，半径为
C．圆的圆心为，半径为
D．圆的圆心为，半径为
11．下列结论正确的是（ ）
A．已知点在圆上，则的最大值是4
B．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C．已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离
D．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是
三、填空题（15分）
12．已知直线，直线．若，则实数的值为 ．
13．圆与圆外切，则实数 .
14．已知函数的部分图象如图所示，则 .

四、解答题(共77分
15．（13分）在平面直角坐标系中有一个矩形，其中点O为坐标原点，点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标是，求直线和直线的倾斜角．
16．（15分）已知圆锥的底面半径为2，高为4，
（1）求圆锥的侧面展开图所对的圆心角的弧度数
（2）求圆锥的体积
17．（15分）已知平面向量，， ，，且与的夹角为．
(1)求和的值；
(2)若与垂直，求λ的值．
18．(17分）已知△ABC三个顶点的坐标分别是.
(1)求△ABC的面积
(2)求△ABC外接圆的方程
19．(17分）已知圆，点，为坐标原点.
(1)若，求圆过点的切线方程；
(2)若直线与圆交于，两点，且，求的值；
(3)若圆上存在点，满足，求的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】利用复数的运算和模长的计算公式求解即可.
【详解】，
故.
故选：C
2．D
【分析】利用正弦定理可得，代入计算即可.
【详解】由正弦定理，得.
故选：D.
3．A
【分析】利用向量垂直的充要条件,列方程求解即得.
【详解】由可得，，
因，故，解得.
故选：A.
4．B
【分析】由直线方程的点斜式可直接写出方程，化简即可.
【详解】根据题意可得直线为，化简得.
故选：B
5．C
【分析】根据几何体的三视图的定义即可求解.
【详解】从俯视图的定义可知：从上往下看到大几何体形状为
.
故选：C
6．B
【分析】根据圆心在直线上，即可求解.
【详解】的圆心为，
符合直线方程，故直线过圆心，
故选：B
7．D
【分析】化简可得，可求最小正周期.
【详解】，
函数的最小正周期为.
故选：D.
8．D
【分析】画出直线与曲线的图象，数形结合可得答案.
【详解】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象，
当直线与曲线相切时，
则圆心到直线的距离为，
可得（正根舍去），
当直线过时，，
如图，直线与曲线恰有1个交点，则或.
故选：D.
9．AD
【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得.
【详解】由图可得，，故A、D正确.
故选：AD.
10．AC
【分析】根据圆的标准方程特征即可求得圆心和半径.
【详解】圆的圆心为，半径为，A正确；
圆的圆心为，半径为，B错误；
圆的圆心为，半径为，C正确；
圆的圆心为，半径为，D错误．
故选：AC.
11．AD
【分析】利用三角代换可判断A；求出直线所过定点，结合图形可判断B；利用点到直线的距离公式可判断C；转化为两圆相交问题可判断D.
【详解】A选项，因为点Px,y在圆上，
所以，
当时，取得最大值4，故A正确；
B选项，由，所以，即直线过点，
因为直线和线段相交，故只需或，故B错误；
C选项，圆的圆心到直线的距离，
而点是圆外一点，所以，
所以，所以直线与圆相交，故C错误；
D选项，与点的距离为1的点在圆上，
由题意知圆与圆相交，
所以圆心距，满足，解得，故D正确.
故选：AD
12．1或
【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得的值．
【详解】因为直线，直线，且，
所以，解得或.
故答案为：或.
13．±4
【分析】根据圆心距与半径之和的关系即可求解.
【详解】两圆的圆心为，，半径为1和4，
因为两圆外切，则，解得.
故答案为：±4
14．
【分析】利用三角函数的图象与性质计算即可.
【详解】由图象可知，即，
又，所以，
则，
因为，即符合题意，
综上.
故答案为：.
15．直线的倾斜角为，直线的倾斜角为
【分析】依次得出的坐标，的斜率即可得解.
【详解】依题意可得， ，，---------------------4分
则，----------------------------------------------------------------------------------6分
，-----------------------------------------------------------------------------------8分
又因为倾斜角的范围为，----------------------------------------------------------9分
所以直线OB的倾斜角为，-------------------------------------------------------------11分
直线AC的倾斜角为．------------------------------------------------------------------13分
16．（1）；（2）.
【分析】（1）由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图的弧长，再由弧长公式求解圆心角的弧度数；
（2）直接由圆锥体积公式求圆锥体积即可.
【详解】（1）由圆锥底面半径为2，高为4，可得母线长，---------------3分
圆锥底面周长为，--------------------------------------------------------------------------6分
所以侧面展开图所对的圆心角的弧度数为.--------------------------=------------9分
（2）圆锥的体积为.-----------------------------------------------------15分
【点睛】此题考查求圆锥侧面展开图扇形中相关量和锥体体积，要求对常见几何体的展开图十分熟悉，熟记常用公式.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）由向量数量积的定义求出，再利用向量数量积的运算律计算；
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，求解即得.
【详解】（1）∵，，且与的夹角为，
∴,------------------------------------------------------------3分
故；------------------7分
（2）∵与垂直，
∴，--------------------------------------------11分
即，解得：．--------------------------------------------------------15分
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用斜率可得，则，由已知数据求解即可；
（2）由，外接圆是以线段AB为直径的圆，求出圆心和半径即可得外接圆的方程.
【详解】（1）三个顶点的坐标分别是，
直线的斜率，----------------------------------------------------------------------1分
直线的斜率，------------------------------------------------------------------------2分
则，即.--------------------------------------------------------------------------4分
，，------------------------------6分
.------------------------------------------------------------------8分
（2）由，△ABC外接圆是以线段AB为直径的圆，-------------------9分
线段的中点为，----------------------------------------------------------------11分
半径，-----------------------------------------------------------------------13分
所以外接圆的方程是.------------------------------------17分
19．(1)或；
(2)；
(3).
【分析】（1）把代入，设出切线方程，利用点到直线距离公式计算即得.
（2）联立直线与圆的方程，结合韦达定理及给定的数量积计算即得.
（3）求出点的轨迹方程，利用两圆有公共点列出不等式求解即得.
【详解】（1）当时，圆的圆心，半径，-------------1分
而点到直线的距离为2，因此圆过点的切线斜率存在，---------------------2分
设方程为，-----------------------------------------------------------------------------------3分
则，解得或，--------------------------------------------------------------4分
所以所求切线方程为或.-------------------------------------------------------5分
（2）由消去得，，
设，则，----------------------------------------------7分
由，得，则，---------------------------9分
整理得，则，即，解得，满足，
所以.-------------------------------------------------------------------------------------------------11分
（3）设点，由，得，
整理得，即，
因此点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，----------------------------------13分
依题意，圆与圆有公共点，即，
则，-------------------------------------------------------------------15分
整理得，解得，
所以的取值范围是.-----------------------------------------------------17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
C
B
D
D
AD
AC
题号
11









答案
AD