数学九年级上册1.4 用一元二次方程解决问题综合训练题

这是一份数学九年级上册1.4 用一元二次方程解决问题综合训练题，共53页。试卷主要包含了4 用一元二次方程解决问题，88亿元．，4亿元？，5元，其销量增加5件．，5，等内容，欢迎下载使用。
1.4 用一元二次方程解决问题
知识点
列一元二次方程解决问题的一般步骤
(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；
(2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；
(3)“列”：即根据题中等量关系列方程；
(4)“解”：即求出所列方程的根；
(5)“检验”：即验证根是否符合题意；
(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．
【注意】
（1）设元时，可以问什么设什么（直接设元），也可设一个与问题有关联且方便列方程的量（间接设元）．
（2）对求出的结果进行检验，看是否为原问题的解以及是否符合题意，检验一般只写出验根后的结果，过程可以不必详细，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不符合题意的根设去.
题型一 增长率问题
【例题1】（2022秋•安次区期末）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．2500（1+x）2＝3200B．2500（1﹣x）2＝3200
C．3200（1﹣x）2＝2500D．3200（1+x）2＝2500
【变式1-1】（2023•庐阳区校级三模）某工厂计划用两年时间使产值增加到目前的4倍，并且使第二年增长率是第一年增长率的2倍，设第一年增长率为x，则可列方程得（ ）
A．（1+x）2＝4B．x（1+2x+4x）＝4
C．2x（1+x）＝4D．（1+x）（1+2x）＝4
【变式1-2】（2022•渝北区校级模拟）某商场一月份的营业额为400万元，第一季度（包含一月、二月和三月）的营业额共1800万元，设该商场每月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．400（1+x）2＝1800
B．400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800
C．400×3+400x2＝1800
D．400+400×3x＝1800
【变式1-3】（2022秋•平阴县期末）某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为x，则x是 ．
【变式1-4】（2023•德庆县一模）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台．
（1）求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？
（2）按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少？
【变式1-5】（2023春•华龙区校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我国某汽车零部件生产企业的利润逐年增高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2019年至2021年利润的年均增长率；
（2）若2022年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过3.4亿元？
题型二 传播问题
式有意义的条件
【例题2】在毕业季，某班同学互赠毕业礼物，若每两位同学之间互赠一件礼物，据统计，全班共赠送了2070件礼物，请问这个班有多少位同学？
【变式2-1】（2022春•龙口市期中）一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握手36次，则这次会议与会人数是共 人．
【变式2-2】（2023•富锦市校级二模）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是57个，则x等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式2-3】（2023•临潼区三模）春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某办公室最初有三人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有27人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？
【变式2-4】（2023春•庐阳区校级期中）随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有13会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？
【变式2-5】（2022秋•昭通期中）新年到了，为增进同学友谊，某班主任规定本班同学间，每两个人必须相互通电话1次．
（1）若本班人数为20，则共通话 次，若本班人数为n（n≥2，且n为正整数），则共通话 次；
（2）若同学们共通话1225次，求该班同学的人数；
（3）王峰同学由打电话问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A、B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．
题型三 面积问题----几何图形的问题
综合应用
【例题3】（2022秋•鞍山期末）如图1，将一张宽10cm的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个矩形）之后，恰好折成如图2的底面为正方形的有盖纸盒（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为32cm2，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：cm）
【变式3-1】（2023春•金寨县期末）用一条长50cm的绳子围成一个面积为100cm2的矩形，设矩形的一边长为xcm，根据题意，可列方程为（ ）
A．x（50﹣x）＝100B．x（25﹣x）＝100
C．x（50+x）＝100D．x（25+x）＝100
【变式3-2】（2023•和平区模拟）南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以列方程为（ ）
A．x2﹣60x﹣864＝0B．x（x+60）＝864
C．x2﹣60x+864＝0D．x（x+30）＝864
【变式3-3】（2023•青海模拟）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 m．
【变式3-4】（2023春•舒城县校级期中）如图，长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，现在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖的长方体盒子，则x的值为（ ）
A．2B．7C．2或7D．3或6
【变式3-5】（2022秋•南岸区期末）如图，一个长为acm，宽为bcm的矩形铁片．
（1）如果a＝30，b＝20，在矩形的中央挖掉一个200cm2的矩形后，成为一个各条边一样宽的铁框，求这个铁框的宽度；
（2）如果a＝2b，在四个角上分别裁掉四个边长为4cm的正方形，把它制作成一个体积为4576cm3的无盖长方体，求原矩形的面积．
题型四 面积问题----边框与甬道问题
综合应用
【例题4】（2022秋•中山市期末）如图，矩形ABCD是一块长16米、宽12米的荒地，要在这块荒地上建造一个矩形花园EFGH，在花园的外围是宽度相等的小路．要使花园所占面积为荒地面积的一半，则小路的宽为多少米？
【变式4-1】（2022秋•成武县校级期末）如图，在长为30m，宽20m的矩形田地中开辟两条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为551m2，求道路的宽度．设道路的宽度为xm，则可列方程（ ）
A．（20+x）（30+x）＝551B．（20﹣x）（30﹣x）＝551
C．20×30﹣20x﹣30x＝551D．20×30﹣20x﹣30x﹣x2＝551
【变式4-2】（2022秋•遵义期末）如图，在一个长为60m，宽为40m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为2204m2，那么道路的宽为 m．
【变式4-3】（2022秋•中宁县期末）某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？
【变式4-4】（2023春•合肥期末）某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米．已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为a米．
（1）求与墙平行的一边长为多少米？（用含a的代数式表示）
（2）当a＝10时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
【变式4-5】（2022秋•钦州期末）如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．
（1）求原正方形空地的边长；
（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．
题型五 面积问题----围墙问题
【例题5】（2022秋•南宫市期末）如图，有一段长为20米的篱笆，利用一面墙，围成一个长方形花圃ABCD，设花圃的宽AB为x米（其中AB＜BC）．
（1）请你用含x的代数式表示BC的长．
（2）若此时花圃的面积刚好为42m2，求此时花圃的宽AB的长度．
【变式5-1】（2023•揭阳一模）如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边为xm，则列方程正确的是（ ）
A．x（69+1﹣2x）＝600B．x（69﹣1﹣2x）＝600
C．x（69﹣2x）＝600D．x（35+1﹣2x）＝600
【变式5-1】（2022秋•昆都仑区期末）如图，一农户准备围建一个矩形猪舍，其中一边靠墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，已知墙长为12m，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【变式5-3】某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的长 米．
【变式5-4】学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）．
（1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）；
（2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长．
【变式5-5】（2022秋•白云区校级期末）用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为am的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为xm．
（1）当a＝41时，矩形菜园面积是320m2，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？
题型六 数字问题
【例题6】已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为x，列出关于x的方程： ．
【变式6-1】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为x，则方程为（ ）
A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4
B．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x+4
C．x2+（x﹣4）2＝10x+x﹣4﹣4
D．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x+4
【变式6-2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 ．
【变式6-3】有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．
【变式6-4】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数．
【变式6-5】（2022秋•沈丘县校级月考）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数．
题型七 商品销售问题
【例题7】（2023•偃师市模拟）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（ ）
A．（44+x）（20+5x）＝1600B．（44﹣x）（20+5x）＝1600
C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600D．（44﹣10x）（20+5x）＝1600
【变式7-1】某商品进价为3元，当售价为x元时可销售商品（x+3）个，此时获利160元，则该商品售价为 元．
【变式7-2】某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售出5件．如果每天要盈利1600元，则每件应降价 元．
【变式7-3】在水果销售旺季，某水果店购进一种优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量（千克）与该天的售价x（元/千克）满足的关系为一次函数y＝﹣2x+80．
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量；
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
【变式7-4】（2022秋•天府新区期末）2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【变式7-5】（2023春•舒城县校级期中）某商店如果将进货价为20元的商品按每件32元售出，每天可销售100件，现在采取降低售价，增加售货量的方法增加利润，已知这种商品每降价0.5元，其销量增加5件．
（1）若降价x元，则每天的销量为 件（用含x的代数式表示）；
（2）要使每天获得720元的利润，请你帮忙确定售价；
（3）该商店能否通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润？并说明理由．
题型八 动点运动问题
【例题8】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2sB．3sC．4sD．5s
【变式8-1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2sB．3sC．4sD．5s
【变式8-2】（2022秋•确山县校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝7cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（ ）
A．3.5sB．5sC．4sD．3s
【变式8-3】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当△BPQ的面积为8cm2时，t的值（ ）
A．2或3B．2或4C．1或3D．1或4
【变式8-4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，Rt△CPQ的面积Scm2．
（1）用含t的代数式表示S．
（2）当运动多少秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2？
【变式8-5】如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的49？
（2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为5cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．
（苏科版）九年级上册数学《第1章 一元二次方程》
1.4 用一元二次方程解决问题
知识点
列一元二次方程解决问题的一般步骤
(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；
(2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；
(3)“列”：即根据题中等量关系列方程；
(4)“解”：即求出所列方程的根；
(5)“检验”：即验证根是否符合题意；
(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．
【注意】
（1）设元时，可以问什么设什么（直接设元），也可设一个与问题有关联且方便列方程的量（间接设元）．
（2）对求出的结果进行检验，看是否为原问题的解以及是否符合题意，检验一般只写出验根后的结果，过程可以不必详细，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不符合题意的根设去.
题型一 增长率问题
【例题1】（2022秋•安次区期末）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．2500（1+x）2＝3200B．2500（1﹣x）2＝3200
C．3200（1﹣x）2＝2500D．3200（1+x）2＝2500
【分析】可根据：原售价×（1﹣降低率）2＝降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程．
【解答】解：依题意得：两次降价后的售价为3200（1﹣x）2＝2500，
故选：C．
【点评】本题考查降低率问题，由：原售价×（1﹣降低率）2＝降低后的售价可以列出方程．
【变式1-1】（2023•庐阳区校级三模）某工厂计划用两年时间使产值增加到目前的4倍，并且使第二年增长率是第一年增长率的2倍，设第一年增长率为x，则可列方程得（ ）
A．（1+x）2＝4B．x（1+2x+4x）＝4
C．2x（1+x）＝4D．（1+x）（1+2x）＝4
【分析】由增长率间的关系，可得出第二年增长率为2x，设该工厂原产值为a，则两年后产值为4a，利用两年后产值＝原产值×（1+第一年增长率）×（1+第二年增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵第二年增长率是第一年增长率的2倍，且第一年增长率为x，
∴第二年增长率为2x．
设该工厂原产值为a，则两年后产值为4a，
根据题意得：a（1+x）（1+2x）＝4a，
即（1+x）（1+2x）＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1-2】（2022•渝北区校级模拟）某商场一月份的营业额为400万元，第一季度（包含一月、二月和三月）的营业额共1800万元，设该商场每月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．400（1+x）2＝1800
B．400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800
C．400×3+400x2＝1800
D．400+400×3x＝1800
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝1800，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵一月份的营业额为400万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为400×（1+x），
∴三月份的营业额为400×（1+x）×（1+x）＝400×（1+x）2，
∴可列方程为400+400×（1+x）+400×（1+x）2＝1800，
即400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1-3】（2022秋•平阴县期末）某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为x，则x是 ．
【分析】可先表示出第一次提价后的价格，那么第一次提价后的价格×（1+提价的百分率）＝121，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每次提价的百分率为x，
根据题意，得100（1+x）2＝121．
解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．
故答案是：10%．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b是解决问题的关键．
【变式1-4】（2023•德庆县一模）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台．
（1）求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？
（2）按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少？
【分析】（1）根据2020年某款新能源车销售量为20万辆，到2022年销售量为45万辆，若年增长率x不变，可得关于x的一元二次方程；
（2）利用（1）中所求，进而利用2023年出口量＝2022年出口量×（1+增长率），即可得出答案．
【解答】解：设年平均增长率为x，
根据题意可列方程：20（1+x）2＝45，
解得：x1＝0.5，x2＝﹣2.5（不合题意舍去），
答：2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是50%；
（2）由（1）得，45×（1+50%）＝67.5（万），
答：预计2023年我国新能源汽车出口量为67.5万辆．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1-5】（2023春•华龙区校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我国某汽车零部件生产企业的利润逐年增高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2019年至2021年利润的年均增长率；
（2）若2022年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过3.4亿元？
【分析】（1）设该企业从2019年至2021年利润的年均增长率为x，根据该企业2021年的利润＝该企业2019年利润×（1+该企业从2019年至2021年利润的年均增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用该企业2022年的利润＝该企业2021年的利润×（1+该企业从2019年至2021年利润的年均增长率），可求出该企业2022年的利润，再将其与3.45亿元比较后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该企业从2019年至2021年利润的年均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：该企业从2019年至2021年利润的年均增长率为20%；
（2）∵2.88×（1+20%）＝3.456（亿元），3.456＞3.4，
∴该企业2022年的利润能超过3.4亿元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
题型二 传播问题
式有意义的条件
【例题2】在毕业季，某班同学互赠毕业礼物，若每两位同学之间互赠一件礼物，据统计，全班共赠送了2070件礼物，请问这个班有多少位同学？
【分析】设这个班有x位同学，则每位同学需送出（x﹣1）件礼物，根据全班共赠送了2070件礼物，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这个班有x位同学，则每位同学需送出（x﹣1）件礼物，
依题意得：x（x﹣1）＝2070，
整理得：x2﹣x﹣2070＝0，
解得：x1＝46，x2＝﹣45（不符合题意，舍去）．
答：这个班有46位同学．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2-1】（2022春•龙口市期中）一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握手36次，则这次会议与会人数是共 人．
【分析】设这次会议与会人数是x人，利用握手的总次数＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这次会议与会人数是x人，
依题意得：12x（x﹣1）＝36，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去），
∴这次会议与会人数是共9人．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2-2】（2023•富锦市校级二模）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是57个，则x等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意得：1+x+x2＝57，
整理，得：x2+x﹣56＝0，
解得：x1＝7，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2-3】（2023•临潼区三模）春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某办公室最初有三人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有27人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？
【分析】设在两轮传染过程中，平均一人会传染给x个人，则第一轮传染中有3x人被传染，第二轮传染中有（3+3x）x人被传染，根据“经过两轮传播后，办公室现有27人确诊甲流”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．
【解答】解：设在两轮传染过程中，平均一人会传染给x个人，则第一轮传染中有3x人被传染，第二轮传染中有（3+3x）x人被传染，
根据题意得：3+3x+（3+3x）x＝27，
整理得：（1+x）2＝9，
解得：x1＝2，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）．
答：在两轮传染过程中，平均一人会传染给2个人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2-4】（2023春•庐阳区校级期中）随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有13会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？
【分析】设平均每人每轮转发给x个人，则第一轮转发给了x个人，第二轮转发给了13x2个人，根据“有一个人收到一条信息后，经过两轮转发后，共有169人收到此信息”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设平均每人每轮转发给x个人，则第一轮转发给了x个人，第二轮转发给了13x2个人，
根据题意得：1+x+13x2＝169，
整理得：x2+3x﹣504＝0，
解得：x1＝21，x2＝﹣24（不符合题意，舍去）．
答：平均每人每轮转发给21个人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2-5】（2022秋•昭通期中）新年到了，为增进同学友谊，某班主任规定本班同学间，每两个人必须相互通电话1次．
（1）若本班人数为20，则共通话 次，若本班人数为n（n≥2，且n为正整数），则共通话 次；
（2）若同学们共通话1225次，求该班同学的人数；
（3）王峰同学由打电话问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A、B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．
【分析】（1）利用通话总次数＝本班人数×（本班人数﹣1）÷2，即可得出结论；
（2）根据同学们共通话1225次，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）利用线段的总数＝点的个数×（点的个数﹣1）÷2，即可用含m的代数式表示出线段的总数．
【解答】解：（1）20×（20﹣1）÷2＝190（次），
若本班人数为n（n≥2，且n为正整数），则共通话12n（n﹣1）次．
故答案为：190；12n（n﹣1）．
（2）依题意得：12n（n﹣1）＝1225，
整理得：n2﹣n﹣2450＝0，
解得：n1＝50，n2＝﹣49（不符合题意，舍去）．
答：该班同学的人数为50人．
（3）∵线段AB上共有m个点（不含端点A，B），
∴该线段上共有（m+2）个点（含端点A，B），
∴线段总数为12（m+2）（m+1）条．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出通话总数；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出线段总数．
题型三 面积问题----几何图形的问题
综合应用
【例题3】（2022秋•鞍山期末）如图1，将一张宽10cm的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个矩形）之后，恰好折成如图2的底面为正方形的有盖纸盒（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为32cm2，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：cm）
【分析】设剪掉的小正方形的边长为xcm，则该有盖纸盒的底面边长为（10﹣2x）cm，根据纸盒侧面积为32cm2，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合底面积大于侧面积，可确定x的值，再将其代入（10﹣2x）中，即可求出结论．
【解答】解：设剪掉的小正方形的边长为xcm，则该有盖纸盒的底面边长为（10﹣2x）cm，
根据题意得：4x（10﹣2x）＝32，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝4，
当x＝1时，（10﹣2x）2＝（10﹣2×1）2＝64＞32，符合题意，此时10﹣2x＝10﹣2×1＝8；
当x＝4时，（10﹣2x）2＝（10﹣2×4）2＝4＜32，不符合题意，舍去．
答：该有盖纸盒的底面边长为8cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式3-1】（2023春•金寨县期末）用一条长50cm的绳子围成一个面积为100cm2的矩形，设矩形的一边长为xcm，根据题意，可列方程为（ ）
A．x（50﹣x）＝100B．x（25﹣x）＝100
C．x（50+x）＝100D．x（25+x）＝100
【分析】由绳子的长度及矩形的一边长，可得出与该边相邻的边长为（25﹣x）cm，根据矩形的面积为100cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵绳子的长度为50cm，且围成的矩形的一边长为xcm，
∴与该边相邻的边长为50−2x2=（25﹣x）cm．
根据题意得：x（25﹣x）＝100．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式3-2】（2023•和平区模拟）南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以列方程为（ ）
A．x2﹣60x﹣864＝0B．x（x+60）＝864
C．x2﹣60x+864＝0D．x（x+30）＝864
【分析】由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为（60﹣x）步，根据矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵矩形田地的长为x步，矩形田地的长与宽的和是60步，
∴矩形田地的宽为（60﹣x）步．
依题意得：x（60﹣x）＝864，
整理得：x2﹣60x+864＝0．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式3-3】（2023•青海模拟）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 m．
【分析】设原菜地的长是xm，则宽是（x﹣2）m，根据矩形菜地的面积是120m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出原菜地的长．
【解答】解：设原菜地的长是xm，则宽是（x﹣2）m，
根据题意得：x（x﹣2）＝120，
整理得：x2﹣2x﹣120＝0，
解得：x1＝12，x2＝﹣10（不符合题意，舍去），
∴原菜地的长是12m．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式3-4】（2023春•舒城县校级期中）如图，长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，现在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖的长方体盒子，则x的值为（ ）
A．2B．7C．2或7D．3或6
【分析】根据各边之间的关系，可得出做成无盖的长方体盒子的底面是长为（10﹣2x）cm，宽为（8﹣2x）cm的长方形，结合长方体盒子的底面积为24cm2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：∵长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，且在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，
∴做成无盖的长方体盒子的底面是长为（10﹣2x）cm，宽为（8﹣2x）cm的长方形．
根据题意得：（10﹣2x）（8﹣2x）＝24，
整理得：x2﹣9x+14＝0，
解得：x1＝2，x2＝7（不符合题意，舍去），
∴x的值为2．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式3-5】（2022秋•南岸区期末）如图，一个长为acm，宽为bcm的矩形铁片．
（1）如果a＝30，b＝20，在矩形的中央挖掉一个200cm2的矩形后，成为一个各条边一样宽的铁框，求这个铁框的宽度；
（2）如果a＝2b，在四个角上分别裁掉四个边长为4cm的正方形，把它制作成一个体积为4576cm3的无盖长方体，求原矩形的面积．
【分析】（1）直接利用已知表示出里面矩形的边长，进而得出答案；
（2）利用已知表示出长方体的体积，进而求出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）设这个铁框的宽度为xcm，根据题意可得：
（30﹣2x）（20﹣2x）＝200，
解得：x1＝5，x2＝20（不合题意舍去），
答：这个铁框的宽度为5cm；
（2）由题意可得：4（a﹣8）（b﹣8）＝4576，
则4（2b﹣8）（b﹣8）＝4576，
解得：b1＝30，b2＝﹣18（不合题意舍去），
则a＝30×2＝60（cm），
故ab＝30×60＝1800（cm2），
答：原矩形的面积为1800cm2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出长方体的体积是解题关键．
题型四 面积问题----边框与甬道问题
综合应用
【例题4】（2022秋•中山市期末）如图，矩形ABCD是一块长16米、宽12米的荒地，要在这块荒地上建造一个矩形花园EFGH，在花园的外围是宽度相等的小路．要使花园所占面积为荒地面积的一半，则小路的宽为多少米？
【分析】设小路的宽为x米，则矩形花园的长为（16﹣2x）米，宽为（12﹣2x）米，根据矩形花园所占面积为荒地面积的一半，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设小路的宽为x米，则矩形花园的长为（16﹣2x）米，宽为（12﹣2x）米，
根据题意得：（16﹣2x）（12﹣2x）=12×16×12，
整理得：x2﹣14x+24＝0，
解得：x1＝2，x2＝12（不符合题意，舍去）．
答：小路的宽为2米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式4-1】（2022秋•成武县校级期末）如图，在长为30m，宽20m的矩形田地中开辟两条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为551m2，求道路的宽度．设道路的宽度为xm，则可列方程（ ）
A．（20+x）（30+x）＝551B．（20﹣x）（30﹣x）＝551
C．20×30﹣20x﹣30x＝551D．20×30﹣20x﹣30x﹣x2＝551
【分析】由道路的宽度为xm，可得出剩余田地部分可合成长为（30﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据剩余田地的面积为551m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵道路的宽度为xm，
∴剩余田地部分可合成长为（30﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．
依题意得：（20﹣x）（30﹣x）＝551．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式4-2】（2022秋•遵义期末）如图，在一个长为60m，宽为40m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为2204m2，那么道路的宽为 m．
【分析】设道路的宽为xm，则剩余部分可合成长为（60﹣x）m，宽为（40﹣x）m的矩形，根据绿化用地的面积为2204m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设道路的宽为xm，则剩余部分可合成长为（60﹣x）m，宽为（40﹣x）m的矩形，
根据题意得：（60﹣x）（40﹣x）＝2204，
整理得：x2﹣100x+196＝0，
解得：x1＝2，x2＝98（不符合题意，舍去），
∴道路的宽为2m．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式4-3】（2022秋•中宁县期末）某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？
【分析】设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40﹣2x）米，宽为（28﹣x）米的矩形，根据6个矩形区域的面积为128×6平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40﹣2x）米，宽为（28﹣x）米的矩形，
依题意得：（40﹣2x）（28﹣x）＝128×6，
整理得：x2﹣48x+176＝0，
解得：x1＝4，x2＝44（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应为4米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式4-4】（2023春•合肥期末）某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米．已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为a米．
（1）求与墙平行的一边长为多少米？（用含a的代数式表示）
（2）当a＝10时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
【分析】（1）根据题意可得：车棚与墙平行的一边长＝[（26+2）﹣2a]米，然后进行计算即可解答；
（2）把a＝10，代入（1）中的结论可得：车棚与墙平行的一边长为8米，然后设小路的宽为x米，根据题意可得：（10﹣x）（8﹣2x）＝54，最后进行计算即可解答．
【解答】（1）解：由题意得：（26+2）﹣2a＝（28﹣2a）米，
∴车棚与墙平行的一边长（28﹣2a）米；
（2）解：当a＝10时，28﹣2a＝28﹣2×10＝28﹣20＝8（米），
设小路的宽为x米，
由题意得：（10﹣x）（8﹣2x）＝54，
整理得：x2﹣14x+13＝0，
解得：x1＝13＞10（舍去），x2＝1，
答：小路的宽为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式4-5】（2022秋•钦州期末）如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．
（1）求原正方形空地的边长；
（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．
【分析】（1）设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，根据剩余部分面积为650m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长（30﹣y）m，宽（30﹣1﹣y）m的矩形，根据栽种鲜花区域的面积为812m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，
依题意得：（x﹣4）（x﹣5）＝650，
整理得：x2﹣9x﹣630＝0，
解得：x1＝30，x2＝﹣21（不合题意，舍去）．
答：原正方形空地的边长为30m．
（2）设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长（30﹣y）m，宽（30﹣1﹣y）m的矩形，
依题意得：（30﹣y）（30﹣1﹣y）＝812，
整理得：y2﹣59y+58＝0，
解得：y1＝1，y2＝58（不合题意，舍去）．
答：小道的宽度为1m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
题型五 面积问题----围墙问题
【例题5】（2022秋•南宫市期末）如图，有一段长为20米的篱笆，利用一面墙，围成一个长方形花圃ABCD，设花圃的宽AB为x米（其中AB＜BC）．
（1）请你用含x的代数式表示BC的长．
（2）若此时花圃的面积刚好为42m2，求此时花圃的宽AB的长度．
【分析】（1）利用BC的长＝篱笆的总长﹣2×AB的长，可用含x的代数式表示BC的长；
（2）根据花圃的面积为42m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵篱笆的全长为20米，花圃的宽AB为x米，
∴BC的长为（20﹣2x）米；
（2）根据题意得：x（20﹣2x）＝42，
整理得：x2﹣10x+21＝0，
解得：x1＝3，x2＝7，
当x＝3时，20﹣2x＝20﹣2×3＝14＞3，符合题意；
当x＝7时，20﹣2x＝20﹣2×7＝6＜7，不符合题意，舍去．
答：此时花圃的宽AB的长度是3米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，用含x的代数式表示BC的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式5-1】（2023•揭阳一模）如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边为xm，则列方程正确的是（ ）
A．x（69+1﹣2x）＝600B．x（69﹣1﹣2x）＝600
C．x（69﹣2x）＝600D．x（35+1﹣2x）＝600
【分析】根据各边之间的关系，可得出鸡场平行于墙的一边为（69+1﹣2x）m，根据长方形鸡场的面积为600m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵竹篱笆的总长为69m，鸡场垂直于墙的一边为xm，
∴鸡场平行于墙的一边为（69+1﹣2x）m．
根据题意得：x（69+1﹣2x）＝600．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式5-1】（2022秋•昆都仑区期末）如图，一农户准备围建一个矩形猪舍，其中一边靠墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，已知墙长为12m，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【分析】设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（25+1﹣2x）m，根据猪舍面积为80m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合猪舍的一边利用长为12m的住房墙，即可得出结论．
【解答】解：设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（25+1﹣2x）m，
依题意得：x（25+1﹣2x）＝80，
整理得：x2﹣13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
当x＝5时，25+1﹣2x＝25+1﹣2×5＝16＞12，不符合题意，舍去；
当x＝8时，25+1﹣2x＝25+1﹣2×8＝10＜12，符合题意．
答：所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m时，猪舍面积为80m2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式5-3】某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的长 米．
【分析】设矩形场地的长为x米，则宽为12（60+2﹣x），根据矩形的面积公式和该矩形的面积为480平方米列出方程并解答．
【解答】解：设矩形场地的长为x米，则宽为12（60+2﹣x），
根据题意，得12（60+2﹣x）•x＝480．
解得x1＝30，x2＝32．
所以矩形场地的长为30或32米．
故答案是：30或32．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的周长和面积计算公式是解决问题的前提．
【变式5-4】学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）．
（1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）；
（2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长．
【分析】（1）用总长减去三条垂直于墙的边长即可求得BC的长；
（2）根据矩形的面积公式列式求解即可．
【解答】解：（1）设AB边长为x米，则EF＝DC＝AB＝x米，
所以BC＝（21﹣3x）米；
（2）根据题意得：x（21﹣3x）＝30，
解得：x＝2或x＝5，
答：AB的长为2米或5米．
【点评】考查了一元二次方程的应用的知识，解题的关键是能够正确的表示出BC的长，难度不大．
【变式5-5】（2022秋•白云区校级期末）用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为am的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为xm．
（1）当a＝41时，矩形菜园面积是320m2，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？
【分析】设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（54﹣2x+2）m．
（1）由矩形菜园面积是320m2，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合a＝41，即可确定x的值；
（2）由矩形菜园面积是400m2，可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，即可得出该方程无实数根，进而可得出矩形菜园的面积不能达到400m2；
【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（54﹣2x+2）m．
（1）依题意得：x（54﹣2x+2）＝320，
整理得：x2﹣28x+160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
当x＝8时，56﹣2x＝40＜41，符合题意；
当x＝20时，56﹣2x＝16＜41，符合题意．
答：x的值为8或20．
（2）令x（54﹣2x+2）＝400①，
整理得：x2﹣28x+200＝0．
∵Δ＝（﹣28）2﹣4×1×200＝﹣16＜0，
∴方程①无实数根，
∴矩形菜园的面积不能达到400m2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根．
题型六 数字问题
【例题6】已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为x，列出关于x的方程： ．
【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：10（x+4）+x，这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案．
【解答】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4）
这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，
∵两数相差4，
∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4．
故答案为：x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4．
【点评】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．
【变式6-1】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为x，则方程为（ ）
A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4
B．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x+4
C．x2+（x﹣4）2＝10x+x﹣4﹣4
D．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x+4
【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：10（x+4）+x，这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案．
【解答】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4）
这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，
∵两数相差4，
∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）+4．
故选：D．
【点评】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．
【变式6-2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 ．
【分析】等量关系为：原来的两位数﹣新两位数＝27，把相关数值代入计算可得各位上的数字，根据两位数的表示方法求得两位数即可．
【解答】解：设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2﹣9）．
∴10（x2﹣9）+x﹣10x﹣（x2﹣9）＝27，
解得x1＝4，x2＝﹣3（不符合题意，舍去）．
∴x2﹣9＝7，
∴10（x2﹣9）+x＝74．
答：原两位数为74．
故答案为：74．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；得到两个两位数之间的等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：两位数＝10×十位数字+个位数字．
【变式6-3】有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．
【分析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），根据十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），
根据题意得：3x（x+2）＝10x+（x+2），
整理得：3x2﹣5x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2=−13（不合题意，舍去），
∴x+2＝4，
∴这个两位数为24．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式6-4】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数．
【分析】首先设个位数字为x，则十位数字为x2﹣2，由题意得等量关系：原两位数﹣新两位数＝36，根据等量关系列出方程解方程即可．
【解答】解：设个位数字为x，则十位数字为x2﹣2，由题意得：
10（x2﹣2）+x﹣（10x+x2﹣2）＝36，
解得：x1＝3，x2＝﹣2（不合题意，舍去），
十位数字：32﹣2＝7，
这个两位数为：73，
答：原来的两位数73．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，表示出原两位数和新两位数是解决问题的关键．
【变式6-5】（2022秋•沈丘县校级月考）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数．
【分析】设个位为x，则十位上的数字为8﹣x，根据如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得两位数乘以原来的两位数就得1855，求解即可．
【解答】解：设原来个位为x，则十位上的数字为8﹣x，
由题意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855
解得：x1＝3，x2＝5，
原来十位上的数字为5或3，
答：原来这个两位数53或35．
【点评】本题考查了一元二次次方程的应用，解答本题的关键是表示出对调前后两位数的表示方法．
题型七 商品销售问题
【例题7】（2023•偃师市模拟）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（ ）
A．（44+x）（20+5x）＝1600B．（44﹣x）（20+5x）＝1600
C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600D．（44﹣10x）（20+5x）＝1600
【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．
【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：
（44﹣x）（20+5x）＝1600
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．
【变式7-1】某商品进价为3元，当售价为x元时可销售商品（x+3）个，此时获利160元，则该商品售价为 元．
【分析】利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意得：（x﹣3）（x+3）＝160，
整理得：x2＝169，
解得：x1＝13，x2＝﹣13（不符合题意，舍去），
∴该商品售价为13元．
故答案为：13．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式7-2】某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售出5件．如果每天要盈利1600元，则每件应降价 元．
【分析】设每件降价x元，则每件盈利（44﹣x）元，平均每天可销售（20+5x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设每件降价x元，则每件盈利（44﹣x）元，平均每天可销售（20+5x）件，
依题意得：（44﹣x）（20+5x）＝1600，
整理得：x2﹣40x+144＝0，
解得：x1＝4，x2＝36（不符合题意，舍去），
∴每件应降价4元．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式7-3】在水果销售旺季，某水果店购进一种优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量（千克）与该天的售价x（元/千克）满足的关系为一次函数y＝﹣2x+80．
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量；
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
【分析】（1）把x＝23.5代入函数式即可求出结论；
（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．
∴当x＝23.5时，y＝﹣2x+80＝33．
答：当天该水果的销售量为33千克．
（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
解得：x1＝35，x2＝25．
∵20≤x≤32，
∴x＝25．
答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）代入求值；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式7-4】（2022秋•天府新区期末）2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【分析】（1）利用平均每天的销售量＝20+2×每个模型降低的价格，可求出平均每天的销售量；利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，可求出此时每天获得的总利润；
（2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）个，利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）20+2×4
＝20+8
＝28（个）；
（40﹣4）×28
＝36×28
＝1008（元）．
答：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元；
（2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）个，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵每个模型盈利不少于25元，
∴x＝10．
答：每个模型应降价10元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式7-5】（2023春•舒城县校级期中）某商店如果将进货价为20元的商品按每件32元售出，每天可销售100件，现在采取降低售价，增加售货量的方法增加利润，已知这种商品每降价0.5元，其销量增加5件．
（1）若降价x元，则每天的销量为 件（用含x的代数式表示）；
（2）要使每天获得720元的利润，请你帮忙确定售价；
（3）该商店能否通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润？并说明理由．
【分析】（1）利用每天的销量＝100+5×每件降低的钱数0.5，即可用含x的代数式表示出降价x元时每天的销量；
（2）设每件降价y元，则每件的销售利润为（32﹣y﹣20）元，每天的销量为（100+10y）件，利用每天销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×每天的销量，可得出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，将符合题意的值代入（32﹣y）中，即可求出售价应定为24元/件；
（3）该商店不能通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润，设每件降价m元，则每件的销售利润为（32﹣m﹣20）元，每天的销量为（100+10m）件，利用每天销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×每天的销量，可得出关于m的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣116＜0，可得出所列一元二次方程没有实数根，即该商店不能通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润．
【解答】解：（1）根据题意得：当降价x元时，每天的销量为100+5×x0.5=（100+10x）件．
故答案为：（100+10x）；
（2）设每件降价y元，则每件的销售利润为（32﹣y﹣20）元，每天的销量为（100+10y）件，
根据题意得：（32﹣y﹣20）（100+10y）＝720，
整理得：y2﹣2y﹣48＝0，
解得：y1＝8，y2＝﹣6（不符合题意，舍去），
∴32﹣y＝32﹣8＝24．
答：要使每天获得720元的利润，售价应定为24元/件；
（3）该商店不能通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润，理由如下：
设每件降价m元，则每件的销售利润为（32﹣m﹣20）元，每天的销量为（100+10m）件，
根据题意得：（32﹣m﹣20）（100+10m）＝1500，
整理得：m2﹣2m+30＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×30＝﹣116＜0，
∴所列一元二次方程没有实数根，
即该商店不能通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出降价x元时每天的销量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
题型八 动点运动问题
【例题8】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2sB．3sC．4sD．5s
【分析】设当运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，利用三角形面积的计算公式，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，再结合当点Q移动到点C后停止点P也随之停止移动，即可确定t值．
【解答】解：设当运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，
依题意得：12×（8﹣t）×2t＝15，
整理得：t2﹣8t+15＝0，
解得：t1＝3，t2＝5．
又∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式8-1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2sB．3sC．4sD．5s
【分析】设当运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，利用三角形面积的计算公式，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，再结合当点Q移动到点C后停止点P也随之停止移动，即可确定t值．
【解答】解：设当运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，
依题意得：12×（8﹣t）×2t＝15，
整理得：t2﹣8t+15＝0，
解得：t1＝3，t2＝5．
又∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式8-2】（2022秋•确山县校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝7cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（ ）
A．3.5sB．5sC．4sD．3s
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
12×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：D．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
【变式8-3】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当△BPQ的面积为8cm2时，t的值（ ）
A．2或3B．2或4C．1或3D．1或4
【分析】当运动时间为t秒时，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，根据△BPQ的面积为8cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．
【解答】解：当运动时间为t秒时，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，
依题意得：12（6﹣t）×2t＝8，
整理得：t2﹣6t+8＝0，
解得：t1＝2，t2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式8-4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，Rt△CPQ的面积Scm2．
（1）用含t的代数式表示S．
（2）当运动多少秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2？
【分析】（1）由题意可得CP＝AC﹣2t，CQ＝t，则利用三角形的面积公式即可求解；
（2）当S＝5时，代入（1）中的式子进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：CP＝AC﹣2t，CQ＝t，
∴S=12CP•CQ=12（AC﹣2t）t，
∵AC＝12cm，BC＝9cm，
∴S=12（12﹣2t）t＝﹣t2+6t；
（2）当S＝5cm2时，
﹣t2+6t＝5，
解得：t1＝1，t2＝5，
即当t＝1或t＝5时，Rt△CPQ的面积等于5cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，正确地列出方程是解题的关键．
【变式8-5】如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的49？
（2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为5cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）要使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的49，此时点P应在AB上，才能构成四边形．根据路程＝速度×时间，分别用t的代数式表示BP、CQ的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；
（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑．
【解答】解：（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 49．
根据题意，得BP＝6﹣2t，CQ＝t，矩形的面积是12．
则有 12（t+6﹣2t）×2＝2×6×49，
解得t=23；
（2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为 5．
①当0＜t≤3时，如图1，则有（6﹣2t﹣t）2+4＝5，
解得t=73或 53；
②当3＜t≤4时，如图2，则有（8﹣2t）2+t2＝5，
得方程5t2﹣32t+59＝0，
此时Δ＜0，此方程无解．
综上所述，当t=73或 53时，点P与点Q之间的距离5．
【点评】此题是一道动态题，有一定的难度，涉及到一元二次方程和勾股定理有关知识，注意分类讨论思想的运用．
解题技巧提炼
平均增长（降低）率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原有量是a，现有量是b,每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x） ；第二次增长后为a（1+x）2 ，即原有量×（1+增长百分率）2＝现有量．
平均降低率公式：a（1﹣x）2=b（x为减低率）
解题技巧提炼
◆传播问题：对于传播问题，应弄清传染源对应的基数及每轮传播后的总量．设a为传染源数，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染的总个数为a(1+x)2 ．
◆握手问题：假设有x个人，每个人都要和除自己外的（x﹣1）个人握手，则所有人需要握手的次数为．
解题技巧提炼
根据把不规则图形转化为熟悉的规则图形从而列出一元二次方程．
解题技巧提炼
根据把不规则图形转化为熟悉的规则图形从而列出一元二次方程．
解题技巧提炼
围墙问题难点是用材料围成的图形的边如何表示及所围图形的平行于墙的线段的取值范围.
解题技巧提炼
解决数字问题的关键是用代数式表示出这个多位数的数值，设未知数时，通常采用间接设未知数的方法，即设这个多位数的某一位上的数字为x，然后将其它数位上的数字用含x的式子表示出来，最后根据题中的等量关系列方程求解即．
解题技巧提炼
◆商品销售问题：
利润=售价－进价；利润率= 利润进价×100%；
售价=进价×（1+利润率）；
总利润=总售价－总进价=（售价－进价）×销售量
解题技巧提炼
以“静”制“动”求解动态问题
1、分析出动点的运动轨迹，用含未知数的代数式把相应的线段的长度表示出来是解决这类问题的关键；
2、结合题意，用“静”的方法处理“动”的问题.
解题技巧提炼
平均增长（降低）率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原有量是a，现有量是b,每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x） ；第二次增长后为a（1+x）2 ，即原有量×（1+增长百分率）2＝现有量．
平均降低率公式：a（1﹣x）2=b（x为减低率）
解题技巧提炼
◆传播问题：对于传播问题，应弄清传染源对应的基数及每轮传播后的总量．设a为传染源数，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染的总个数为a(1+x)2 ．
◆握手问题：假设有x个人，每个人都要和除自己外的（x﹣1）个人握手，则所有人需要握手的次数为．
解题技巧提炼
根据把不规则图形转化为熟悉的规则图形从而列出一元二次方程．
解题技巧提炼
根据把不规则图形转化为熟悉的规则图形从而列出一元二次方程．
解题技巧提炼
围墙问题难点是用材料围成的图形的边如何表示及所围图形的平行于墙的线段的取值范围.
解题技巧提炼
解决数字问题的关键是用代数式表示出这个多位数的数值，设未知数时，通常采用间接设未知数的方法，即设这个多位数的某一位上的数字为x，然后将其它数位上的数字用含x的式子表示出来，最后根据题中的等量关系列方程求解即．
解题技巧提炼
◆商品销售问题：
利润=售价－进价；利润率= 利润进价×100%；
售价=进价×（1+利润率）；
总利润=总售价－总进价=（售价－进价）×销售量
解题技巧提炼
以“静”制“动”求解动态问题
1、分析出动点的运动轨迹，用含未知数的代数式把相应的线段的长度表示出来是解决这类问题的关键；
2、结合题意，用“静”的方法处理“动”的问题.