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苏科版（2024）九年级上册2.1 圆课时练习
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这是一份苏科版（2024）九年级上册2.1 圆课时练习，共44页。试卷主要包含了1 圆等内容，欢迎下载使用。
知识点一
圆的认识
◆1、圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“ 圆O ”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
◆2、确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.
知识点二
与圆有关的概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫弦；
直径：经过圆心的 弦 叫直径,是圆中最长的弦；
弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧；
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆 ；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示，如图中ABC 叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示，如图中AC 叫做劣弧；
等圆：能够重合的两个圆叫做等圆；
等弧：能够互相重合的弧叫做等弧；
【注意】
1、半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧包括优弧、劣弧和半圆.半圆既不是优弧也不是劣弧.
2、等弧只能出现在同圆或等圆中.
知识点三
点和圆的位置关系
◆点和圆的位置关系：
1、点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r ；
②点P在圆上⇔d＝r ；
③点P在圆内⇔d＜r .
2、点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
题型一 圆的概念
【例题1】到定点的距离等于定长的点的集合是（ ）
A．圆的外部B．圆的内部
C．圆D．圆的内部和圆
【变式1-1】车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的（ ）
A．直径B．周长C．面积D．半径
【变式1-2】下列由实线组成的图形中，为半圆的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】下列生活中的做法与其背后的数学原理对应错误的是（ ）
A．工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框（三角形具有稳定性）
B．在景区两景点之间设计“曲桥”（垂线段最短）
C．砌墙时，在两端钉钉子，沿中间的拉线砌墙（两点确定一条直线）
D．车轱辘设计为圆形（圆上的点到圆心的距离相等）
【变式1-4】（2022•路南区三模）在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个B．3个C．2个D．1个
【变式1-5】（2022秋•东阳市月考）由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【变式1-6】（2022秋•如皋市校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．
题型二 与圆有关的概念
【例题2】（2022秋•郯城县校级期末）有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．
其中，错误的说法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【变式2-1】如图，若点O为⊙O的圆心，则线段 是圆O的半径；线段 是圆O的弦，其中最长的弦是 ； 是劣弧； 是半圆．
【变式2-2】（2022秋•公安县月考）已知⊙O的半径是4cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【变式2-3】下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-4】（2022秋•承德县期末）小明在半径为5的圆中测量弦AB的长度，下列测量结果中一定是错误的是（ ）
A．4B．5C．10D．11
【变式2-5】如图，是圆O弦的是（ ）
A．线段ABB．线段ACC．线段AED．线段DE
【变式2-6】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
题型三 确定圆的条件
【例题3】能决定圆的位置的是（ ）
A．圆心B．半径C．直径D．周长
【变式3-1】（2022秋•广平县期末）下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．经过已知点M
B．以点O为圆心，10cm长为半径
C．以10cm长为半径
D．以点O为圆心
【变式3-2】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．已知圆心OB．已知半径r＝5cm
C．已知圆心O，半径r＝5cmD．已知点A为圆上一点
【变式3-3】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心
B．以10cm长为半径
C．以点A为圆心，4cm长为半径
D．经过已知点M
题型四 点和圆的位置关系
【例题4】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心，AC长为半径作圆．则下列结论正确的是（ ）
A．点B在圆内
B．点B在圆上
C．点B在圆外
D．点B和圆的位置关系不确定
【变式4-1】（2022秋•宁波期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，点D在边BC上，CD＝6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是（ ）
A．8＜r＜10B．6＜r＜8C．6＜r＜10D．2＜r＜14
【变式4-2】（2023•伊通县模拟）如图，在6×6的正方形网格中（小正方形的边长为1），有5个点，M，N，O，P，Q，以O为圆心，5为半径作圆，则在⊙O外的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【变式4-3】AB＝12cm，过A、B两点画半径为6cm的圆，能画的圆的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【变式4-4】（2023•徐汇区模拟）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B，C均在圆P外
B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外
D．点B，C均在圆P内
【变式4-5】设AB＝3cm，作图说明满足下列要求的图形．
（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形．
（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形．
【变式4-6】（2022秋•海州区校级月考）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 ．
题型五 圆中角度的计算
【例题5】（2022•兴化市模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（ ）
A．38°B．52°C．76°D．104°
【变式5-1】如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数
是（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
【变式5-2】（2022•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC=12OD，则∠ABD的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
【变式5-3】（2022•广陵区二模）如图，在扇形AOB中，D为AB上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．52.5°C．70°D．72°
【变式5-4】如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为40°、70°、150°，则∠B的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【变式5-5】如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB＝75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE＝AO，求∠E的度数．
题型六 圆中线段长度的计算
【例题6】（2022秋•延吉市校级期末）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【变式6-1】（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ ）
A．53B．8C．6D．5
【变式6-2】如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（ ）
A．变大B．变小C．不变D．不能确定
【变式6-3】（2022秋•南岗区校级月考）如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于C，四边形CDEF是正方形，连接BD，若CO＝3，OF＝1，则BD＝（ ）
A．35B．45C．13D．210
【变式6-4】（2022秋•通榆县期中）如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若AB＝3，BC＝4，则DF的长为 ．
【变式6-5】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长．
题型七 圆中线段长度的证明
【例题7】已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．
【变式7-1】如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE＝DF．
求证：AF＝BE．
【变式7-2】如图，AB、AC为⊙O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F，∠B＝∠C．求证：CE＝BF．
【变式7-3】如图，在△ABC中，以点A为圆心画弧分别交BA的延长线，AC于E、F，联结EF并延长交BC于G，EG⊥BC．求证：AB＝AC．
（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形—— 圆》
2.1 圆
知识点一
圆的认识
◆1、圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“ 圆O ”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
◆2、确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.
知识点二
与圆有关的概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫弦；
直径：经过圆心的 弦 叫直径,是圆中最长的弦；
弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧；
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆 ；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示，如图中ABC 叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示，如图中AC 叫做劣弧；
等圆：能够重合的两个圆叫做等圆；
等弧：能够互相重合的弧叫做等弧；
【注意】
1、半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧包括优弧、劣弧和半圆.半圆既不是优弧也不是劣弧.
2、等弧只能出现在同圆或等圆中.
知识点三
点和圆的位置关系
◆点和圆的位置关系：
1、点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r ；
②点P在圆上⇔d＝r ；
③点P在圆内⇔d＜r .
2、点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
题型一 圆的概念
【例题1】到定点的距离等于定长的点的集合是（ ）
A．圆的外部B．圆的内部
C．圆D．圆的内部和圆
【分析】根据圆的定义作答．
【解答】解：圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
故选：C．
【点评】考查了圆的认识，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
【变式1-1】车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的（ ）
A．直径B．周长C．面积D．半径
【分析】依据圆的周长的概念，即围成圆的一周的曲线的长度就是圆的周长，即可进行选择．
【解答】解：车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的周长．
故选：B．
【点评】考查了圆的认识，解答此题的主要依据是：圆的周长的概念．
【变式1-2】下列由实线组成的图形中，为半圆的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据圆的有关定义进行解答．
【解答】解：根据半圆的定义可知，选项B的图形是半圆．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识．解题的关键是掌握半圆的定义．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆．
【变式1-3】下列生活中的做法与其背后的数学原理对应错误的是（ ）
A．工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框（三角形具有稳定性）
B．在景区两景点之间设计“曲桥”（垂线段最短）
C．砌墙时，在两端钉钉子，沿中间的拉线砌墙（两点确定一条直线）
D．车轱辘设计为圆形（圆上的点到圆心的距离相等）
【分析】A、根据三角形的稳定性判断；
B、根据线段的性质进行判断；
C、根据公理“两点确定一条直线”进行判断；
D、根据圆的性质进行判断．
【解答】解：A、工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框，利用了三角形具有稳定性的性质，对应正确，不符合题意；
B、某两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短，对应不正确，符合题意；
C、砌墙时，在两端钉钉子，沿中间的拉线砌墙，这是因为两点确定一条直线，对应正确，不符合题意；
D、将车轮设计为圆形是运用了“圆上所有的点到圆心的距离相等”的原理，对应正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】考查直线的性质，线段公理等知识，三角形的稳定性以及圆的认识，将实际问题数学化是解决问题的关键．
【变式1-4】（2022•路南区三模）在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个B．3个C．2个D．1个
【分析】在平面内与点P的距离为1cm的点在“以点P为圆心，1cm为半径的圆”上．
【解答】解：在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为：所有到定点P的距离等于1cm的点的集合，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
【变式1-5】（2022秋•东阳市月考）由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．
【解答】解：由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为以2为半径的圆与以1为半径的圆组成的圆环的面积，
即π×22﹣π×12＝3π，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键．
【变式1-6】（2022秋•如皋市校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．
【分析】连结OC、OD，由直角三角形斜边上的中线定理得OA＝OB＝OC＝OD=12AB，则可得出结论．
【解答】证明：连结OC，OD，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB的中点为O，
∴OA＝OB＝OC＝OD=12AB，
∴A，B，C，D四点在以O为圆心，OA长为半径的圆上．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
题型二 与圆有关的概念
【例题2】（2022秋•郯城县校级期末）有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．
其中，错误的说法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【分析】根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．
【解答】解：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；
②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；
③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．
其中错误说法的是①③两个．
故选：B．
【点评】本题考查弦与直径的区别，弧与半圆的区别，及确定圆的条件，不要将弦与直径、弧与半圆混淆．
【变式2-1】如图，若点O为⊙O的圆心，则线段 是圆O的半径；线段 是圆O的弦，其中最长的弦是 ； 是劣弧； 是半圆．
【分析】根据弦、直径、半径、弧、半圆、劣弧等定义一一解答即可；
【解答】解：如图，若点O为⊙O的圆心，则线段OA、OB、OC是圆O的半径；线段AC、AB、BC是圆O的弦，其中最长的弦是AC；BC、AB是劣弧；ADC、ABC是半圆．
故答案为OA、OB、OC；AC、AB、BC；AC；AB、BC；ADC、ABC；
【点评】本题考查弦、直径、半径、弧、半圆、劣弧等定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2-2】（2022秋•公安县月考）已知⊙O的半径是4cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【分析】根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果．
【解答】解：∵⊙O的半径是4cm，
∴⊙O中最长的弦，即直径的长为8cm．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键．
【变式2-3】下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①直径是最长的弦，正确，符合题意；
②直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意，
故选：C．
【点评】考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大．
【变式2-4】（2022秋•承德县期末）小明在半径为5的圆中测量弦AB的长度，下列测量结果中一定是错误的是（ ）
A．4B．5C．10D．11
【分析】根据直径是圆中最长的弦即可求解．
【解答】解：∵半径为5的圆，直径为10，
∴在半径为5的圆中测量弦AB的长度，AB的取值范围是：0＜AB≤10，
∴弦AB的长度可以是4，5，10，不可能为11．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的认识，掌握弦与直径的定义是解题的关键．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径．
【变式2-5】如图，是圆O弦的是（ ）
A．线段ABB．线段ACC．线段AED．线段DE
【分析】根据弦的定义确定答案即可．
【解答】解：弦是圆上两点间的线段，图中AB是弦，其他均不是，
故选：A．
【点评】考查了圆的认识，了解弦的定义是解答本题的关键，难度不大．
【变式2-6】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫弦）作答．
【解答】解：⊙O中的弦有：弦BD，弦AB，弦CD，共有3条．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆的认识，在圆中，直径是最长的弦．
题型三 确定圆的条件
【例题3】能决定圆的位置的是（ ）
A．圆心B．半径C．直径D．周长
【分析】根据圆的定义即可解答．
【解答】解：根据圆的定义可知，能决定圆的位置的是圆心，
故选A．
【点评】本题考查了圆的认识，熟悉圆的定义是解题的关键．
【变式3-1】（2022秋•广平县期末）下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．经过已知点M
B．以点O为圆心，10cm长为半径
C．以10cm长为半径
D．以点O为圆心
【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴B选项正确，
故选：B．
【点评】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．
【变式3-2】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．已知圆心OB．已知半径r＝5cm
C．已知圆心O，半径r＝5cmD．已知点A为圆上一点
【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴C选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．
【变式3-3】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心
B．以10cm长为半径
C．以点A为圆心，4cm长为半径
D．经过已知点M
【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴C选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．
题型四 点和圆的位置关系
【例题4】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心，AC长为半径作圆．则下列结论正确的是（ ）
A．点B在圆内
B．点B在圆上
C．点B在圆外
D．点B和圆的位置关系不确定
【分析】欲求圆与B的位置关系，关键是求出点B到圆心的距离d，再与r进行比较．若d＜r，则Bz在圆内；若d＝r，则B在圆内；若d＞r，则B在圆外．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AC＞BC，
∴R＞d，
∴点B在圆内．
故选：A．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到点距离d与圆半径大小关系完成判定．
【变式4-1】（2022秋•宁波期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，点D在边BC上，CD＝6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是（ ）
A．8＜r＜10B．6＜r＜8C．6＜r＜10D．2＜r＜14
【分析】先根据勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CD＝6，
则BD＝BC﹣CD＝14﹣6＝8，AD=AC2+CD2=82+62=10，
∵点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，
∴8＜r＜10．
故选：A．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．
【变式4-2】（2023•伊通县模拟）如图，在6×6的正方形网格中（小正方形的边长为1），有5个点，M，N，O，P，Q，以O为圆心，5为半径作圆，则在⊙O外的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【分析】根据点与圆的位置关系即可求解．
【解答】解：∵OQ=12+22=5，OP=22+22=22，ON＝2，OM=12+22=5，
∴在⊙O外的点是P，
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
【变式4-3】AB＝12cm，过A、B两点画半径为6cm的圆，能画的圆的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【分析】先作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以6cm为半径作圆即可；
【解答】解：这样的圆能画1个．如图：
作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以6cm为半径作圆，
则⊙O为所求；
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
【变式4-4】（2023•徐汇区模拟）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B，C均在圆P外
B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外
D．点B，C均在圆P内
【分析】由AB＝8，BP＝3AP得到AP＝2，BP＝6，再根据勾股定理，在Rt△ADP中计算出PD＝7，在Rt△PBC中计算出PC＝9，则PC＞PD＞PB，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝35，
∵AB＝8，BP＝3AP，
∴AP＝2，BP＝6，
在Rt△ADP中，AP＝2，AD＝35，
∴PD=AP2+AD2=7，
在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝35，
∴PC=PB2+BC2=9，
∴PC＞PD＞PB，
∴点B在圆P内，点C在圆P外．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
【变式4-5】设AB＝3cm，作图说明满足下列要求的图形．
（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形．
（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形．
【分析】（1）根据“到定点的距离等于定长的所有点的集合是圆”可知，到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形为⊙A和⊙B的交点，据此可画出图形；
（2）根据“到点A和点B的距离小于2cm的所有点组成的图形，是半径为2cm的⊙A和⊙B的公共部分”，可画出图形．
【解答】解：（1）作图如下：
∵到点B的距离等于2cm的点组成的图形是以B为圆心、以2cm长为半径的圆，
到点A的距离等于2cm的点组成的图形是以A为圆心、以2cm长为半径的圆，
∴到点B和点A的距离都等于2cm的所有点组成的图形为⊙B和⊙A的交点，即点D和点C．
（2）作图如下：
到点B和点A的距离都小于2cm的所有点组成的图形为⊙B和⊙A的公共部分（不包括公共部分的两条弧），即图中的阴影部分．
【点评】本题考查的是圆的认识，掌握点与圆的位置关系是解决此题的关键．
【变式4-6】（2022秋•海州区校级月考）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 ．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系；
（2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围．
【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵AB＝6cm，AD＝8cm，
∴AC＝10cm，
∵⊙A的半径为6cm长，
∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外；
（2）∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm．
故答案为：6cm＜r＜10cm．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
题型五 圆中角度的计算
【例题5】（2022•兴化市模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（ ）
A．38°B．52°C．76°D．104°
【分析】根据半径相等得到OM＝ON，则∠M＝∠N＝52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．
【解答】解：∵OM＝ON，
∴∠M＝∠N＝52°，
∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
【变式5-1】如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数
是（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
【分析】先利用半径相等得到OA＝OC，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角性质求解．
【解答】解：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝25°，
∴∠BOC＝∠A+∠ACO＝25°+25°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识和三角形外角的性质，属于基础题．
【变式5-2】（2022•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC=12OD，则∠ABD的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
【分析】连接OB，则OC=12OB，由OC⊥AB，则∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案．
【解答】解：如图：
连接OB，则OB＝OD，
∵OC=12OD，
∴OC=12OB，
∵OC⊥AB，
∴∠OBC＝30°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∠ABD＝30°+75°＝105°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
【变式5-3】（2022•广陵区二模）如图，在扇形AOB中，D为AB上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．52.5°C．70°D．72°
【分析】连接OD，如图，设∠C的度数为n，由于CD＝OA＝OD，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠DOC＝n，则利用三角形外角性质得到∠ADO＝2n，所以∠A＝2n，然后利用三角形内角和定理得到75°+n+2n＝180°，然后解方程求出n，从而得到∠A的度数．
【解答】解：连接OD，如图，设∠C的度数为n，
∵CD＝OA＝OD，
∴∠C＝∠DOC＝n，
∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，
∴OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝2n，
∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，
∴75°+n+2n＝180°，
解得n＝35°，
∴∠A＝2n＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
【变式5-4】如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为40°、70°、150°，则∠B的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【分析】连接OD，如图，利用题意得到∠EOC＝40°，∠EOD＝70°，∠EOA＝150°，则可计算出∠COD＝30°，∠DOA＝80°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ODA＝50°，然后根据三角形外角性质计算∠B的度数．
【解答】解：连接OD，如图，
∵∠EOC＝40°，∠EOD＝70°，∠EOA＝150°，
∴∠COD＝70°﹣40°＝30°，∠DOA＝150°﹣70°＝80°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A=12（180°﹣80°）＝50°，
∵∠ODA＝∠B+∠DOB，
∴∠B＝50°﹣30°＝20°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
【变式5-5】如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB＝75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE＝AO，求∠E的度数．
【分析】连接OC，如图，由CE＝AO，OA＝OC得到OC＝EC，则根据等腰三角形的性质得∠E＝∠1，再利用三角形外角性质得∠2＝∠E+∠1＝2∠E，加上∠D＝∠2＝2∠E，
所以∠BOD＝∠E+∠D，即∠E+2∠E＝75°，然后解方程即可．
【解答】解：连接OC，如图，
∵CE＝AO，
而OA＝OC，
∴OC＝EC，
∴∠E＝∠1，
∴∠2＝∠E+∠1＝2∠E，
∵OC＝OD，
∴∠D＝∠2＝2∠E，
∵∠BOD＝∠E+∠D，
∴∠E+2∠E＝75°，
∴∠E＝25°．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
题型六 圆中线段长度的计算
【例题6】（2022秋•延吉市校级期末）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【分析】如图，连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OC．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，
∴OB=OC2−BC2=102−82=6，
∴AB＝OA﹣OB＝4，
故选：C．
【点评】本题考查圆，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式6-1】（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ ）
A．53B．8C．6D．5
【分析】连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．
【解答】解：如图，连结CD，
∵CD是直角三角形斜边上的中线，
∴CD=12AB=12×10＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【变式6-2】如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（ ）
A．变大B．变小C．不变D．不能确定
【分析】连接OP，根据勾股定理以及矩形的性质定理即可求解．
【解答】解：∵直角△PAB中，AB2＝PA2+PB2，
又∵矩形PAOB中，OP＝AB，
∴PA2+PB2＝AB2＝OP2．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆的认识，涉及到矩形的性质定理以及勾股定理，正确作出辅助线是关键．
【变式6-3】（2022秋•南岗区校级月考）如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于C，四边形CDEF是正方形，连接BD，若CO＝3，OF＝1，则BD＝（ ）
A．35B．45C．13D．210
【分析】连接OD，利用勾股定理求出OD，再利用勾股定理求出BD即可．
【解答】解：连接DO.
∵CO＝3，OF＝1，
∴CF＝4，
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠DCO＝90°，CD＝CF＝4，
∴OD=CD2+CO2=42+32=5，
∴OB＝OD＝5，
∴CB＝CO+OB＝8，
∴BD=CD2+CB2=42+82=45．
故选：B．
【点评】本题考查圆的认识，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式6-4】（2022秋•通榆县期中）如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若AB＝3，BC＝4，则DF的长为 ．
【分析】如图，连接OB与OE．根据矩形的性质，由四边形OABC是矩形，得∠CBA＝90°，OB＝AC．根据勾股定理，由Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，得AC＝5．根据圆上点到圆心的距离均相等，由AC＝OB＝5，得OE＝OB＝5．根据矩形的性质，由四边形ODEF均为矩形，得DF＝OE＝5．
【解答】解：如图，连接OB与OE．
∵四边形OABC是矩形，
∴∠CBA＝90°，OB＝AC．
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
∴AC=AC2=AB2+BC2=32+42=5．
∴AC＝OB＝5．
∴OE＝OB＝5．
∵四边形ODEF为矩形，
∴DF＝OE＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、圆，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、圆是解决本题的关键．
【变式6-5】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长．
【分析】由直径AB＝5cm，可得半径OC＝OA=12AB=52cm，分别利用勾股定理计算AD、AC的长．
【解答】解：连接OC，
∵AB＝5cm，
∴OC＝OA=12AB=52cm，
Rt△CDO中，由勾股定理得：DO=(52)2−22=32cm，
∴AD=52−32=1cm，
由勾股定理得：AC=22+12=5，
则AD的长为1cm，AC的长为5cm．
【点评】本题考查了同圆的半径相等、勾股定理，在圆中常利用勾股定理计算边的长，本题熟练掌握勾股定理是关键．
题型七 圆中线段长度的证明
【例题7】已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．
【分析】首先证明OC＝OD，再证明△OCB≌△ODA，进而得到AD＝BC．
【解答】解：∵OA、OB是⊙O的两条半径，
∴AO＝BO，
∵C、D分别是半径OA、BO的中点，
∴OC＝OD，
在△OCB和△ODA中，
AO=BO∠O=∠OOD=OC，
∴△OCB≌△ODA（SAS），
∴AD＝BC．
【点评】此题主要考查了圆的认识，以及全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS．
【变式7-1】如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE＝DF．
求证：AF＝BE．
【分析】根据AB、CD为⊙O中两条直径，得出OA＝OB，OC＝OD，再根据CE＝DF，得出OE＝OF，从而证出△AOF和△BOE全等，即可得出答案．
【解答】解：∵AB、CD为⊙O中两条直径，
∴OA＝OB，OC＝OD，
∵CE＝DF，
∵OC﹣CE＝OD﹣DF，
∴OE＝OF，
在△AOF和△BOE中，
OA=OB∠AOF=∠BOEOF=OE，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴AF＝BE．
【点评】此题考查了圆的认识和全等三角形的判定及性质，关键是根据圆的性质得出△AOF和△BOE全等，要能综合应用全等三角形的判定与性质．
【变式7-2】如图，AB、AC为⊙O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F，∠B＝∠C．求证：CE＝BF．
【分析】证明△BOE≌△COF，即可得到OE＝OF，从而根据等式的性质得到CE＝BF．
【解答】证明：∵在△BOE和△COF中，
∠B=∠COB=OC∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
又∵OB＝OC
∴CE＝BF．
【点评】本题考查了圆的基本概念，以及全等三角形的判定与性质，正确证明两个三角形全等是关键．
【变式7-3】如图，在△ABC中，以点A为圆心画弧分别交BA的延长线，AC于E、F，联结EF并延长交BC于G，EG⊥BC．求证：AB＝AC．
【分析】先利用AE＝AF，然后根据等角的余角相等得到∠B＝∠C，从而得到AB＝AC．
【解答】证明：∵AE＝AF，
∴∠E＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠CFG，
∴∠E＝∠CFG，
∵EG⊥BC，
∴∠E+∠B＝90°，∠C+∠CFG＝90°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
【点评】本题考查了圆的认识：通常利用半径相等得到等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质解决问题．
解题技巧提炼
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
解题技巧提炼
与圆有关的概念有弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
解题技巧提炼
确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.
解题技巧提炼
1、点和圆的位置关系有三种，即点在圆内，点在圆上，点在圆外.
2、点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
解题技巧提炼
圆中角度长度的计算，主要利用了平行线的性质，三角形的外角，等腰三角形等有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
解题技巧提炼
圆中线段长度的计算，主要利用了同圆的半径相等、勾股定理，在圆中常利用勾股定理计算边的长，熟练掌握勾股定理是关键．
解题技巧提炼
利用圆的半径相等进行证明，同时还用到三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的相关知识.
解题技巧提炼
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
解题技巧提炼
与圆有关的概念有弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
解题技巧提炼
确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.
解题技巧提炼
1、点和圆的位置关系有三种，即点在圆内，点在圆上，点在圆外.
2、点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
解题技巧提炼
圆中角度长度的计算，主要利用了平行线的性质，三角形的外角，等腰三角形等有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
解题技巧提炼
圆中线段长度的计算，主要利用了同圆的半径相等、勾股定理，在圆中常利用勾股定理计算边的长，熟练掌握勾股定理是关键．
解题技巧提炼
利用圆的半径相等进行证明，同时还用到三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的相关知识.
知识点一
圆的认识
◆1、圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“ 圆O ”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
◆2、确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.
知识点二
与圆有关的概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫弦；
直径：经过圆心的 弦 叫直径,是圆中最长的弦；
弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧；
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆 ；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示，如图中ABC 叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示，如图中AC 叫做劣弧；
等圆：能够重合的两个圆叫做等圆；
等弧：能够互相重合的弧叫做等弧；
【注意】
1、半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧包括优弧、劣弧和半圆.半圆既不是优弧也不是劣弧.
2、等弧只能出现在同圆或等圆中.
知识点三
点和圆的位置关系
◆点和圆的位置关系：
1、点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r ；
②点P在圆上⇔d＝r ；
③点P在圆内⇔d＜r .
2、点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
题型一 圆的概念
【例题1】到定点的距离等于定长的点的集合是（ ）
A．圆的外部B．圆的内部
C．圆D．圆的内部和圆
【变式1-1】车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的（ ）
A．直径B．周长C．面积D．半径
【变式1-2】下列由实线组成的图形中，为半圆的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】下列生活中的做法与其背后的数学原理对应错误的是（ ）
A．工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框（三角形具有稳定性）
B．在景区两景点之间设计“曲桥”（垂线段最短）
C．砌墙时，在两端钉钉子，沿中间的拉线砌墙（两点确定一条直线）
D．车轱辘设计为圆形（圆上的点到圆心的距离相等）
【变式1-4】（2022•路南区三模）在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个B．3个C．2个D．1个
【变式1-5】（2022秋•东阳市月考）由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【变式1-6】（2022秋•如皋市校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．
题型二 与圆有关的概念
【例题2】（2022秋•郯城县校级期末）有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．
其中，错误的说法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【变式2-1】如图，若点O为⊙O的圆心，则线段 是圆O的半径；线段 是圆O的弦，其中最长的弦是 ； 是劣弧； 是半圆．
【变式2-2】（2022秋•公安县月考）已知⊙O的半径是4cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【变式2-3】下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-4】（2022秋•承德县期末）小明在半径为5的圆中测量弦AB的长度，下列测量结果中一定是错误的是（ ）
A．4B．5C．10D．11
【变式2-5】如图，是圆O弦的是（ ）
A．线段ABB．线段ACC．线段AED．线段DE
【变式2-6】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
题型三 确定圆的条件
【例题3】能决定圆的位置的是（ ）
A．圆心B．半径C．直径D．周长
【变式3-1】（2022秋•广平县期末）下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．经过已知点M
B．以点O为圆心，10cm长为半径
C．以10cm长为半径
D．以点O为圆心
【变式3-2】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．已知圆心OB．已知半径r＝5cm
C．已知圆心O，半径r＝5cmD．已知点A为圆上一点
【变式3-3】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心
B．以10cm长为半径
C．以点A为圆心，4cm长为半径
D．经过已知点M
题型四 点和圆的位置关系
【例题4】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心，AC长为半径作圆．则下列结论正确的是（ ）
A．点B在圆内
B．点B在圆上
C．点B在圆外
D．点B和圆的位置关系不确定
【变式4-1】（2022秋•宁波期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，点D在边BC上，CD＝6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是（ ）
A．8＜r＜10B．6＜r＜8C．6＜r＜10D．2＜r＜14
【变式4-2】（2023•伊通县模拟）如图，在6×6的正方形网格中（小正方形的边长为1），有5个点，M，N，O，P，Q，以O为圆心，5为半径作圆，则在⊙O外的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【变式4-3】AB＝12cm，过A、B两点画半径为6cm的圆，能画的圆的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【变式4-4】（2023•徐汇区模拟）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B，C均在圆P外
B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外
D．点B，C均在圆P内
【变式4-5】设AB＝3cm，作图说明满足下列要求的图形．
（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形．
（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形．
【变式4-6】（2022秋•海州区校级月考）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 ．
题型五 圆中角度的计算
【例题5】（2022•兴化市模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（ ）
A．38°B．52°C．76°D．104°
【变式5-1】如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数
是（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
【变式5-2】（2022•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC=12OD，则∠ABD的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
【变式5-3】（2022•广陵区二模）如图，在扇形AOB中，D为AB上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．52.5°C．70°D．72°
【变式5-4】如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为40°、70°、150°，则∠B的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【变式5-5】如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB＝75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE＝AO，求∠E的度数．
题型六 圆中线段长度的计算
【例题6】（2022秋•延吉市校级期末）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【变式6-1】（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ ）
A．53B．8C．6D．5
【变式6-2】如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（ ）
A．变大B．变小C．不变D．不能确定
【变式6-3】（2022秋•南岗区校级月考）如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于C，四边形CDEF是正方形，连接BD，若CO＝3，OF＝1，则BD＝（ ）
A．35B．45C．13D．210
【变式6-4】（2022秋•通榆县期中）如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若AB＝3，BC＝4，则DF的长为 ．
【变式6-5】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长．
题型七 圆中线段长度的证明
【例题7】已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．
【变式7-1】如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE＝DF．
求证：AF＝BE．
【变式7-2】如图，AB、AC为⊙O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F，∠B＝∠C．求证：CE＝BF．
【变式7-3】如图，在△ABC中，以点A为圆心画弧分别交BA的延长线，AC于E、F，联结EF并延长交BC于G，EG⊥BC．求证：AB＝AC．
（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形—— 圆》
2.1 圆
知识点一
圆的认识
◆1、圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“ 圆O ”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
◆2、确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.
知识点二
与圆有关的概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫弦；
直径：经过圆心的 弦 叫直径,是圆中最长的弦；
弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧；
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆 ；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示，如图中ABC 叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示，如图中AC 叫做劣弧；
等圆：能够重合的两个圆叫做等圆；
等弧：能够互相重合的弧叫做等弧；
【注意】
1、半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧包括优弧、劣弧和半圆.半圆既不是优弧也不是劣弧.
2、等弧只能出现在同圆或等圆中.
知识点三
点和圆的位置关系
◆点和圆的位置关系：
1、点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r ；
②点P在圆上⇔d＝r ；
③点P在圆内⇔d＜r .
2、点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
题型一 圆的概念
【例题1】到定点的距离等于定长的点的集合是（ ）
A．圆的外部B．圆的内部
C．圆D．圆的内部和圆
【分析】根据圆的定义作答．
【解答】解：圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
故选：C．
【点评】考查了圆的认识，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
【变式1-1】车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的（ ）
A．直径B．周长C．面积D．半径
【分析】依据圆的周长的概念，即围成圆的一周的曲线的长度就是圆的周长，即可进行选择．
【解答】解：车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的周长．
故选：B．
【点评】考查了圆的认识，解答此题的主要依据是：圆的周长的概念．
【变式1-2】下列由实线组成的图形中，为半圆的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据圆的有关定义进行解答．
【解答】解：根据半圆的定义可知，选项B的图形是半圆．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识．解题的关键是掌握半圆的定义．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆．
【变式1-3】下列生活中的做法与其背后的数学原理对应错误的是（ ）
A．工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框（三角形具有稳定性）
B．在景区两景点之间设计“曲桥”（垂线段最短）
C．砌墙时，在两端钉钉子，沿中间的拉线砌墙（两点确定一条直线）
D．车轱辘设计为圆形（圆上的点到圆心的距离相等）
【分析】A、根据三角形的稳定性判断；
B、根据线段的性质进行判断；
C、根据公理“两点确定一条直线”进行判断；
D、根据圆的性质进行判断．
【解答】解：A、工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框，利用了三角形具有稳定性的性质，对应正确，不符合题意；
B、某两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短，对应不正确，符合题意；
C、砌墙时，在两端钉钉子，沿中间的拉线砌墙，这是因为两点确定一条直线，对应正确，不符合题意；
D、将车轮设计为圆形是运用了“圆上所有的点到圆心的距离相等”的原理，对应正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】考查直线的性质，线段公理等知识，三角形的稳定性以及圆的认识，将实际问题数学化是解决问题的关键．
【变式1-4】（2022•路南区三模）在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个B．3个C．2个D．1个
【分析】在平面内与点P的距离为1cm的点在“以点P为圆心，1cm为半径的圆”上．
【解答】解：在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为：所有到定点P的距离等于1cm的点的集合，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
【变式1-5】（2022秋•东阳市月考）由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．
【解答】解：由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为以2为半径的圆与以1为半径的圆组成的圆环的面积，
即π×22﹣π×12＝3π，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键．
【变式1-6】（2022秋•如皋市校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．
【分析】连结OC、OD，由直角三角形斜边上的中线定理得OA＝OB＝OC＝OD=12AB，则可得出结论．
【解答】证明：连结OC，OD，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB的中点为O，
∴OA＝OB＝OC＝OD=12AB，
∴A，B，C，D四点在以O为圆心，OA长为半径的圆上．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
题型二 与圆有关的概念
【例题2】（2022秋•郯城县校级期末）有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．
其中，错误的说法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【分析】根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．
【解答】解：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；
②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；
③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．
其中错误说法的是①③两个．
故选：B．
【点评】本题考查弦与直径的区别，弧与半圆的区别，及确定圆的条件，不要将弦与直径、弧与半圆混淆．
【变式2-1】如图，若点O为⊙O的圆心，则线段 是圆O的半径；线段 是圆O的弦，其中最长的弦是 ； 是劣弧； 是半圆．
【分析】根据弦、直径、半径、弧、半圆、劣弧等定义一一解答即可；
【解答】解：如图，若点O为⊙O的圆心，则线段OA、OB、OC是圆O的半径；线段AC、AB、BC是圆O的弦，其中最长的弦是AC；BC、AB是劣弧；ADC、ABC是半圆．
故答案为OA、OB、OC；AC、AB、BC；AC；AB、BC；ADC、ABC；
【点评】本题考查弦、直径、半径、弧、半圆、劣弧等定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2-2】（2022秋•公安县月考）已知⊙O的半径是4cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【分析】根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果．
【解答】解：∵⊙O的半径是4cm，
∴⊙O中最长的弦，即直径的长为8cm．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键．
【变式2-3】下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①直径是最长的弦，正确，符合题意；
②直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意，
故选：C．
【点评】考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大．
【变式2-4】（2022秋•承德县期末）小明在半径为5的圆中测量弦AB的长度，下列测量结果中一定是错误的是（ ）
A．4B．5C．10D．11
【分析】根据直径是圆中最长的弦即可求解．
【解答】解：∵半径为5的圆，直径为10，
∴在半径为5的圆中测量弦AB的长度，AB的取值范围是：0＜AB≤10，
∴弦AB的长度可以是4，5，10，不可能为11．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的认识，掌握弦与直径的定义是解题的关键．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径．
【变式2-5】如图，是圆O弦的是（ ）
A．线段ABB．线段ACC．线段AED．线段DE
【分析】根据弦的定义确定答案即可．
【解答】解：弦是圆上两点间的线段，图中AB是弦，其他均不是，
故选：A．
【点评】考查了圆的认识，了解弦的定义是解答本题的关键，难度不大．
【变式2-6】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫弦）作答．
【解答】解：⊙O中的弦有：弦BD，弦AB，弦CD，共有3条．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆的认识，在圆中，直径是最长的弦．
题型三 确定圆的条件
【例题3】能决定圆的位置的是（ ）
A．圆心B．半径C．直径D．周长
【分析】根据圆的定义即可解答．
【解答】解：根据圆的定义可知，能决定圆的位置的是圆心，
故选A．
【点评】本题考查了圆的认识，熟悉圆的定义是解题的关键．
【变式3-1】（2022秋•广平县期末）下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．经过已知点M
B．以点O为圆心，10cm长为半径
C．以10cm长为半径
D．以点O为圆心
【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴B选项正确，
故选：B．
【点评】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．
【变式3-2】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．已知圆心OB．已知半径r＝5cm
C．已知圆心O，半径r＝5cmD．已知点A为圆上一点
【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴C选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．
【变式3-3】下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心
B．以10cm长为半径
C．以点A为圆心，4cm长为半径
D．经过已知点M
【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴C选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．
题型四 点和圆的位置关系
【例题4】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心，AC长为半径作圆．则下列结论正确的是（ ）
A．点B在圆内
B．点B在圆上
C．点B在圆外
D．点B和圆的位置关系不确定
【分析】欲求圆与B的位置关系，关键是求出点B到圆心的距离d，再与r进行比较．若d＜r，则Bz在圆内；若d＝r，则B在圆内；若d＞r，则B在圆外．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AC＞BC，
∴R＞d，
∴点B在圆内．
故选：A．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到点距离d与圆半径大小关系完成判定．
【变式4-1】（2022秋•宁波期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，点D在边BC上，CD＝6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是（ ）
A．8＜r＜10B．6＜r＜8C．6＜r＜10D．2＜r＜14
【分析】先根据勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CD＝6，
则BD＝BC﹣CD＝14﹣6＝8，AD=AC2+CD2=82+62=10，
∵点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，
∴8＜r＜10．
故选：A．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．
【变式4-2】（2023•伊通县模拟）如图，在6×6的正方形网格中（小正方形的边长为1），有5个点，M，N，O，P，Q，以O为圆心，5为半径作圆，则在⊙O外的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【分析】根据点与圆的位置关系即可求解．
【解答】解：∵OQ=12+22=5，OP=22+22=22，ON＝2，OM=12+22=5，
∴在⊙O外的点是P，
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
【变式4-3】AB＝12cm，过A、B两点画半径为6cm的圆，能画的圆的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【分析】先作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以6cm为半径作圆即可；
【解答】解：这样的圆能画1个．如图：
作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以6cm为半径作圆，
则⊙O为所求；
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
【变式4-4】（2023•徐汇区模拟）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B，C均在圆P外
B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外
D．点B，C均在圆P内
【分析】由AB＝8，BP＝3AP得到AP＝2，BP＝6，再根据勾股定理，在Rt△ADP中计算出PD＝7，在Rt△PBC中计算出PC＝9，则PC＞PD＞PB，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝35，
∵AB＝8，BP＝3AP，
∴AP＝2，BP＝6，
在Rt△ADP中，AP＝2，AD＝35，
∴PD=AP2+AD2=7，
在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝35，
∴PC=PB2+BC2=9，
∴PC＞PD＞PB，
∴点B在圆P内，点C在圆P外．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
【变式4-5】设AB＝3cm，作图说明满足下列要求的图形．
（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形．
（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形．
【分析】（1）根据“到定点的距离等于定长的所有点的集合是圆”可知，到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形为⊙A和⊙B的交点，据此可画出图形；
（2）根据“到点A和点B的距离小于2cm的所有点组成的图形，是半径为2cm的⊙A和⊙B的公共部分”，可画出图形．
【解答】解：（1）作图如下：
∵到点B的距离等于2cm的点组成的图形是以B为圆心、以2cm长为半径的圆，
到点A的距离等于2cm的点组成的图形是以A为圆心、以2cm长为半径的圆，
∴到点B和点A的距离都等于2cm的所有点组成的图形为⊙B和⊙A的交点，即点D和点C．
（2）作图如下：
到点B和点A的距离都小于2cm的所有点组成的图形为⊙B和⊙A的公共部分（不包括公共部分的两条弧），即图中的阴影部分．
【点评】本题考查的是圆的认识，掌握点与圆的位置关系是解决此题的关键．
【变式4-6】（2022秋•海州区校级月考）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 ．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系；
（2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围．
【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵AB＝6cm，AD＝8cm，
∴AC＝10cm，
∵⊙A的半径为6cm长，
∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外；
（2）∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm．
故答案为：6cm＜r＜10cm．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
题型五 圆中角度的计算
【例题5】（2022•兴化市模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（ ）
A．38°B．52°C．76°D．104°
【分析】根据半径相等得到OM＝ON，则∠M＝∠N＝52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．
【解答】解：∵OM＝ON，
∴∠M＝∠N＝52°，
∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
【变式5-1】如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数
是（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
【分析】先利用半径相等得到OA＝OC，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角性质求解．
【解答】解：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝25°，
∴∠BOC＝∠A+∠ACO＝25°+25°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识和三角形外角的性质，属于基础题．
【变式5-2】（2022•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC=12OD，则∠ABD的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
【分析】连接OB，则OC=12OB，由OC⊥AB，则∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案．
【解答】解：如图：
连接OB，则OB＝OD，
∵OC=12OD，
∴OC=12OB，
∵OC⊥AB，
∴∠OBC＝30°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∠ABD＝30°+75°＝105°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
【变式5-3】（2022•广陵区二模）如图，在扇形AOB中，D为AB上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．52.5°C．70°D．72°
【分析】连接OD，如图，设∠C的度数为n，由于CD＝OA＝OD，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠DOC＝n，则利用三角形外角性质得到∠ADO＝2n，所以∠A＝2n，然后利用三角形内角和定理得到75°+n+2n＝180°，然后解方程求出n，从而得到∠A的度数．
【解答】解：连接OD，如图，设∠C的度数为n，
∵CD＝OA＝OD，
∴∠C＝∠DOC＝n，
∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，
∴OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝2n，
∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，
∴75°+n+2n＝180°，
解得n＝35°，
∴∠A＝2n＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
【变式5-4】如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为40°、70°、150°，则∠B的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【分析】连接OD，如图，利用题意得到∠EOC＝40°，∠EOD＝70°，∠EOA＝150°，则可计算出∠COD＝30°，∠DOA＝80°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ODA＝50°，然后根据三角形外角性质计算∠B的度数．
【解答】解：连接OD，如图，
∵∠EOC＝40°，∠EOD＝70°，∠EOA＝150°，
∴∠COD＝70°﹣40°＝30°，∠DOA＝150°﹣70°＝80°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A=12（180°﹣80°）＝50°，
∵∠ODA＝∠B+∠DOB，
∴∠B＝50°﹣30°＝20°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
【变式5-5】如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB＝75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE＝AO，求∠E的度数．
【分析】连接OC，如图，由CE＝AO，OA＝OC得到OC＝EC，则根据等腰三角形的性质得∠E＝∠1，再利用三角形外角性质得∠2＝∠E+∠1＝2∠E，加上∠D＝∠2＝2∠E，
所以∠BOD＝∠E+∠D，即∠E+2∠E＝75°，然后解方程即可．
【解答】解：连接OC，如图，
∵CE＝AO，
而OA＝OC，
∴OC＝EC，
∴∠E＝∠1，
∴∠2＝∠E+∠1＝2∠E，
∵OC＝OD，
∴∠D＝∠2＝2∠E，
∵∠BOD＝∠E+∠D，
∴∠E+2∠E＝75°，
∴∠E＝25°．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
题型六 圆中线段长度的计算
【例题6】（2022秋•延吉市校级期末）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【分析】如图，连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OC．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，
∴OB=OC2−BC2=102−82=6，
∴AB＝OA﹣OB＝4，
故选：C．
【点评】本题考查圆，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式6-1】（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ ）
A．53B．8C．6D．5
【分析】连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．
【解答】解：如图，连结CD，
∵CD是直角三角形斜边上的中线，
∴CD=12AB=12×10＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【变式6-2】如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（ ）
A．变大B．变小C．不变D．不能确定
【分析】连接OP，根据勾股定理以及矩形的性质定理即可求解．
【解答】解：∵直角△PAB中，AB2＝PA2+PB2，
又∵矩形PAOB中，OP＝AB，
∴PA2+PB2＝AB2＝OP2．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆的认识，涉及到矩形的性质定理以及勾股定理，正确作出辅助线是关键．
【变式6-3】（2022秋•南岗区校级月考）如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于C，四边形CDEF是正方形，连接BD，若CO＝3，OF＝1，则BD＝（ ）
A．35B．45C．13D．210
【分析】连接OD，利用勾股定理求出OD，再利用勾股定理求出BD即可．
【解答】解：连接DO.
∵CO＝3，OF＝1，
∴CF＝4，
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠DCO＝90°，CD＝CF＝4，
∴OD=CD2+CO2=42+32=5，
∴OB＝OD＝5，
∴CB＝CO+OB＝8，
∴BD=CD2+CB2=42+82=45．
故选：B．
【点评】本题考查圆的认识，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式6-4】（2022秋•通榆县期中）如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若AB＝3，BC＝4，则DF的长为 ．
【分析】如图，连接OB与OE．根据矩形的性质，由四边形OABC是矩形，得∠CBA＝90°，OB＝AC．根据勾股定理，由Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，得AC＝5．根据圆上点到圆心的距离均相等，由AC＝OB＝5，得OE＝OB＝5．根据矩形的性质，由四边形ODEF均为矩形，得DF＝OE＝5．
【解答】解：如图，连接OB与OE．
∵四边形OABC是矩形，
∴∠CBA＝90°，OB＝AC．
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
∴AC=AC2=AB2+BC2=32+42=5．
∴AC＝OB＝5．
∴OE＝OB＝5．
∵四边形ODEF为矩形，
∴DF＝OE＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、圆，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、圆是解决本题的关键．
【变式6-5】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长．
【分析】由直径AB＝5cm，可得半径OC＝OA=12AB=52cm，分别利用勾股定理计算AD、AC的长．
【解答】解：连接OC，
∵AB＝5cm，
∴OC＝OA=12AB=52cm，
Rt△CDO中，由勾股定理得：DO=(52)2−22=32cm，
∴AD=52−32=1cm，
由勾股定理得：AC=22+12=5，
则AD的长为1cm，AC的长为5cm．
【点评】本题考查了同圆的半径相等、勾股定理，在圆中常利用勾股定理计算边的长，本题熟练掌握勾股定理是关键．
题型七 圆中线段长度的证明
【例题7】已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．
【分析】首先证明OC＝OD，再证明△OCB≌△ODA，进而得到AD＝BC．
【解答】解：∵OA、OB是⊙O的两条半径，
∴AO＝BO，
∵C、D分别是半径OA、BO的中点，
∴OC＝OD，
在△OCB和△ODA中，
AO=BO∠O=∠OOD=OC，
∴△OCB≌△ODA（SAS），
∴AD＝BC．
【点评】此题主要考查了圆的认识，以及全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS．
【变式7-1】如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE＝DF．
求证：AF＝BE．
【分析】根据AB、CD为⊙O中两条直径，得出OA＝OB，OC＝OD，再根据CE＝DF，得出OE＝OF，从而证出△AOF和△BOE全等，即可得出答案．
【解答】解：∵AB、CD为⊙O中两条直径，
∴OA＝OB，OC＝OD，
∵CE＝DF，
∵OC﹣CE＝OD﹣DF，
∴OE＝OF，
在△AOF和△BOE中，
OA=OB∠AOF=∠BOEOF=OE，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴AF＝BE．
【点评】此题考查了圆的认识和全等三角形的判定及性质，关键是根据圆的性质得出△AOF和△BOE全等，要能综合应用全等三角形的判定与性质．
【变式7-2】如图，AB、AC为⊙O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F，∠B＝∠C．求证：CE＝BF．
【分析】证明△BOE≌△COF，即可得到OE＝OF，从而根据等式的性质得到CE＝BF．
【解答】证明：∵在△BOE和△COF中，
∠B=∠COB=OC∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
又∵OB＝OC
∴CE＝BF．
【点评】本题考查了圆的基本概念，以及全等三角形的判定与性质，正确证明两个三角形全等是关键．
【变式7-3】如图，在△ABC中，以点A为圆心画弧分别交BA的延长线，AC于E、F，联结EF并延长交BC于G，EG⊥BC．求证：AB＝AC．
【分析】先利用AE＝AF，然后根据等角的余角相等得到∠B＝∠C，从而得到AB＝AC．
【解答】证明：∵AE＝AF，
∴∠E＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠CFG，
∴∠E＝∠CFG，
∵EG⊥BC，
∴∠E+∠B＝90°，∠C+∠CFG＝90°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
【点评】本题考查了圆的认识：通常利用半径相等得到等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质解决问题．
解题技巧提炼
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
解题技巧提炼
与圆有关的概念有弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
解题技巧提炼
确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.
解题技巧提炼
1、点和圆的位置关系有三种，即点在圆内，点在圆上，点在圆外.
2、点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
解题技巧提炼
圆中角度长度的计算，主要利用了平行线的性质，三角形的外角，等腰三角形等有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
解题技巧提炼
圆中线段长度的计算，主要利用了同圆的半径相等、勾股定理，在圆中常利用勾股定理计算边的长，熟练掌握勾股定理是关键．
解题技巧提炼
利用圆的半径相等进行证明，同时还用到三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的相关知识.
解题技巧提炼
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
解题技巧提炼
与圆有关的概念有弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
解题技巧提炼
确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.
解题技巧提炼
1、点和圆的位置关系有三种，即点在圆内，点在圆上，点在圆外.
2、点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
解题技巧提炼
圆中角度长度的计算，主要利用了平行线的性质，三角形的外角，等腰三角形等有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
解题技巧提炼
圆中线段长度的计算，主要利用了同圆的半径相等、勾股定理，在圆中常利用勾股定理计算边的长，熟练掌握勾股定理是关键．
解题技巧提炼
利用圆的半径相等进行证明，同时还用到三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的相关知识.
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