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数学九年级上册2.2 圆的对称性随堂练习题
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这是一份数学九年级上册2.2 圆的对称性随堂练习题，共66页。试卷主要包含了2 圆的对称性，5，﹣2）D．等内容，欢迎下载使用。
第二课时 垂径定理
知识点一
圆的对称性
圆的轴对称性
圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，它的对称中心是圆心.
知识点二
垂径定理
◆1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的依据是圆的轴对称的性质.
推导格式：
◆2、垂径定理的用法：
（1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值.
（2）如图弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系：
（3）r ,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量.
知识点三
垂径定理的推论
◆1、垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
◆2、垂径定理及其推论：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
◆3、垂径定理的几个基本图形：
题型一 垂径定理有关的概念
【例题1】下列说法中错误的有（ ）
①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；
②弦的垂线平分它所对的两条弧；
③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-1】（2023•肃州区三模）下列语句中，正确的有（ ）
（1）相等的圆心角所对的弧相等；
（2）平分弦的直径垂直于弦；
（3）长度相等的两条弧是等弧；
（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式1-2】如图，已知⊙O的直径AB⊥CD弦于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．CE＝DEB．AE＝OEC．∠COA＝∠DOAD．△OCE≌△ODE
【变式1-3】如图，在⊙O中，MN是直径，AB是弦，且MN⊥AB，垂足为C，下列结论：
①AC＝BC，②AN=BN，③BM=AM，④OC＝CN上述结论中，正确的有 （填序号）
题型二 利用垂径定理求线段长
【例题2】（2022春•海门市期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的垂线段OE长为3cm，则半径OA的长为 cm．
【变式2-1】（2023春•渝中区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于E，若CD=45，
BE＝2，则AB的长是（ ）
A．12B．16C．65D．125
【变式2-2】（2023•伊川县一模）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是AB上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（ ）
A．12B．22C．32D．1
【变式2-3】（2022•丹江口市模拟）如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为（ ）
A．3B．23C．43D．4
【变式2-4】（2023•蒙阴县三模）已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上，若PA＝2，PB＝4，则OP＝（ ）
A．14B．15C．17D．32
题型三 利用垂径定理求角度
【例题3】（2022秋•诸城市校级月考）如图，⊙O的直径是4cm，C是AB的中点，弦AB、CD交于P，CD＝23cm，求∠APC的度数．
【变式3-1】如图，AB为⊙O的直径，AD是⊙O的弦，E是AD的中点，连接OE并延长交⊙O于点C，若∠BAD＝20°，求∠ACO的度数．
【变式3-2】如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（ ）
A．60°B．90°C．120°D．135°
【变式3-3】如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．
（1）若AB＝6，求DE的长；
（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．
题型四 利用垂径定理求最值
【例题4】（2022秋•道外区期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【变式4-1】（2022春•江夏区校级月考）如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（ ）
A．5B．2.5C．3D．2
【变式4-2】在平面直角坐标系中，若以A（2，﹣1）为圆心，2为半径的⊙A与过点B（1，0）的直线交于C、D，则CD的最小值为（ ）
A．2B．2C．22D．4
【变式4-3】（2023•江都区模拟）如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为55，弦AB的长为4，过点O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ．
【变式4-4】（2023•武安市二模）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，⊙O的直径为40cm，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，CP=102cm，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交⊙O于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与⊙O交于点D，则CD的最大长度为（ ）
A．202cmB．(20−102)cmC．(202−20)cmD．102cm
题型五 利用垂径定理求取值范围
【例题5】（2022•甘肃模拟）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点M是弦AB上的动点，则（ ）
A．4≤OM≤5B．3≤OM＜5C．3＜OM≤5D．3≤OM≤5
【变式5-1】（2023•同心县校级二模）如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式5-2】（2022秋•桃城区校级期末）如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．7≤MN≤17B．14≤MN≤34C．7＜MN＜17D．6≤MN≤16
【变式5-3】如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上的四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF长度的取值范围是（ ）
A．1≤EF≤7B．2≤EF≤5C．1＜EF＜7D．1≤EF≤6
题型六 利用垂径定理求面积
【例题6】（2023•石城县模拟）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝2，AE＝3，则△ACB的面积为（ ）
A．3B．5C．6D．8
【变式6-1】（2023•涧西区校级二模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，AB=45，则△ODE的面积为（ ）
A．4B．32C．25D．26
【变式6-2】（2022秋•玄武区校级月考）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为（ ）
A．144πB．256πC．400πD．441π
【变式6-3】（2022秋•新余期末）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式6-4】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（ ）
A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9
题型七 垂径定理分类讨论问题
【例题7】（2023•岱岳区二模）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为（ ）cm．
A．1B．7C．1或7D．3或4
【变式7-1】已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高为 ．
【变式7-2】已知⊙O的直径AB＝20，弦CD⊥AB于点E，且CD＝16，则AE的长为 ．
【变式7-3】（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝
3：5，则AC的长为 ．
题型八 垂径定理与证明
【例题8】（2022秋•邹城市校级期末）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF．
【变式8-1】如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD．
【变式8-2】（2020秋•金州区校级期末）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AD＝BC．
【变式8-3】（2023春•萧县月考）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形；
（2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦．
题型九 利用垂径定理解决实际问题
【例题9】（2023•薛城区二模）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子直径为（ ）
A．10mB．8mC．6mD．5m
【变式9-1】（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（ ）
A．53mB．2mC．83mD．3m
【变式9-2】（2023•岳麓区校级模拟）把半径为5cm的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若CD＝8cm，则EF的长为（ ）
A．8cmB．7cmC．5cmD．4cm
【变式9-3】（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．2米C．(3−5)米D．(3+5)米
【变式9-4】（2022秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：
（1）拱桥所在的圆的半径；
（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．
题型十 垂径定理与平面直角坐标系的综合应用
【例题10】（2023•城西区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为13，则点P的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（2，3）C．（3，1）D．（2，2）
【变式10-1】（2022秋•南关区校级期末）如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（ ）
A．﹣3B．3C．4D．6
【变式10-2】（2022秋•兴义市期中）如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A．（﹣5，﹣6）B．（﹣4，﹣5）C．（﹣6，﹣4）D．（﹣4，﹣6）
【变式10-3】（2023•沙市区模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣4，﹣2），则点N的坐标为（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1.5，﹣2）D．（1.5，﹣2）
题型十一 垂径定理综合应用问题
【例题11】（2023春•鼓楼区校级期中）如图，在⊙O中，AB、AD为弦，CD为直径，CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，BN与CD相交于Q．
（1）求证：BQ＝BC；
（2）若BQ＝5，CM＝3，求⊙O的半径．
【变式11-1】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
【变式11-2】（2022秋•余杭区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC．
（1）求∠B的度数．
（2）若CE=3，求⊙O的半径．
【变式11-3】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC边上的高AH＝3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）．
（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长．
（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》
2.2 圆的对称性
第二课时 垂径定理
知识点一
圆的对称性
圆的轴对称性
圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，它的对称中心是圆心.
知识点二
垂径定理
◆1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的依据是圆的轴对称的性质.
推导格式：
◆2、垂径定理的用法：
（1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值.
（2）如图弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系：
（3）r ,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量.
知识点三
垂径定理的推论
◆1、垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
◆2、垂径定理及其推论：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
◆3、垂径定理的几个基本图形：
题型一 垂径定理有关的概念
【例题1】下列说法中错误的有（ ）
①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；
②弦的垂线平分它所对的两条弧；
③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据垂径定理以及推论判断即可．
【解答】解：①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧，错误，这条直线需要垂直这条弦．
②弦的垂线平分它所对的两条弧，错误，这条直线需要平分这条直线．
③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧，错误，这条弦不是直径成立．
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．正确．
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理以及推论，解题的关键是熟练掌握垂径定理以及推论，属于中考常考题型．
【变式1-1】（2023•肃州区三模）下列语句中，正确的有（ ）
（1）相等的圆心角所对的弧相等；
（2）平分弦的直径垂直于弦；
（3）长度相等的两条弧是等弧；
（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】由圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，等弧的概念，圆的对称性，即可判断．
【解答】解：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故（1）不符合题意；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故（2）不符合题意；
（3）长度和度数相等的两条弧是等弧，故（3）不符合题意；
（4）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴，故（4）不符合题意．
∴正确的有0个．
故选：A．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，等弧的概念，圆的认识，掌握以上知识点是解题的关键．
【变式1-2】如图，已知⊙O的直径AB⊥CD弦于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．CE＝DEB．AE＝OEC．∠COA＝∠DOAD．△OCE≌△ODE
【分析】根据垂径定理得出CE＝DE，弧CB＝弧BD，再根据全等三角形的判定方法“AAS”即可证明△OCE≌△ODE．
【解答】解：∵⊙O的直径AB⊥CD于点E，
∴CE＝DE，CB=BD，
在△OCE和△ODE中，
∠CEO=∠DEO=90°∠OCE=∠ODEOC=OD，
∴△OCE≌△ODE（AAS）．
∴∠COE＝∠DOE，即∠COA＝∠DOA．
观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
【变式1-3】如图，在⊙O中，MN是直径，AB是弦，且MN⊥AB，垂足为C，下列结论：
①AC＝BC，②AN=BN，③BM=AM，④OC＝CN上述结论中，正确的有 （填序号）
【分析】根据垂径定理对各小题进行逐一分析即可．
【解答】解：∵在⊙O中，MN是直径，AB是弦，且MN⊥AB，
∴AC＝BC，AN=BN，AM=BM，故①②③真确；
∵AB不一定过ON的中点，
∴OC与CN的关系不能确定．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
题型二 利用垂径定理求线段长
【例题2】（2022春•海门市期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的垂线段OE长为3cm，则半径OA的长为 cm．
【分析】根据垂径定理求出AE的长，在Rt△AOE中根据勾股定理直接求出OA即可．
【解答】解：∵OE⊥AB，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
在Rt△AOE中，OE＝3，
根据勾股定理得：OA=AE2+OE2=42+32=5．
【点评】本题主要考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧．
【变式2-1】（2023春•渝中区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于E，若CD=45，
BE＝2，则AB的长是（ ）
A．12B．16C．65D．125
【分析】连接OC，设圆的半径是r，由勾股定理得到r2＝（r﹣2）2+(25)2，求出r的值，即可得到AB的长．
【解答】解：连接OC，
设圆的半径是r，
∵BE＝2，
∴OE＝r﹣2，
∵直径AB⊥CD，
∴CE=12CD=12×45=25，
∵OC2＝OE2+CE2，
∴r2＝（r﹣2）2+(25)2，
∴r＝6，
∴AB＝2r＝12．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是连接OC，构造直角三角形，应用勾股定理，垂径定理列出关于r的方程．
【变式2-2】（2023•伊川县一模）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是AB上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（ ）
A．12B．22C．32D．1
【分析】连接AB，利用勾股定理求出AB，再利用垂径定理以及三角形的中位线定理解决问题即可．
【解答】解：连接AB．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝1，
∴AB=OA2+OB2=12+12=2，
∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴AC＝CP，PD＝DB，
∴CD=12AB=22，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线即可解决问题．
【变式2-3】（2022•丹江口市模拟）如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为（ ）
A．3B．23C．43D．4
【分析】由OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，利用垂径定理知C、D分别为AP、BP的中点，CD是△ABP的中位线，利用中位线的性质即可求出CD的长．
【解答】解：∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴AC＝PC，BD＝PD，
∴CD∥AB，且CD=12AB，
∵AB＝8，
∴CD=12AB＝4．
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理，三角形中位线，掌握垂径定理，三角形中位线，利用垂径定理推出C、D分别为AP、BP的中点，利用△ABP的中位线性质解决问题是关键．
【变式2-4】（2023•蒙阴县三模）已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上，若PA＝2，PB＝4，则OP＝（ ）
A．14B．15C．17D．32
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，根据垂径定理可得AC＝BC＝5，所以PC＝PB﹣BC＝1，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
则OB＝5，
∵PA＝2，PB＝4，
∴AB＝PA+PB＝6，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝3，
∴PC＝PB﹣BC＝1，
在Rt△OBC中，根据勾股定理得：
OC2＝OB2﹣BC2＝52﹣32＝16，
在Rt△OPC中，根据勾股定理得：
OP=OC2+PC2=16+1=17，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．
题型三 利用垂径定理求角度
【例题3】（2022秋•诸城市校级月考）如图，⊙O的直径是4cm，C是AB的中点，弦AB、CD交于P，CD＝23cm，求∠APC的度数．
【分析】作OH⊥CD于H，连接OC交AB于E，如图，根据垂径定理得CH＝DH=12CD=3，在根据勾股定理计算出OH＝1，则利用含30度的直角三角形三边的关系得∠OCH＝30°，由于C是AB的中点，根据垂径定理的推理得到OC⊥AB，然后在Rt△PCE中利用互余即可计算出∠APC的度数．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC交AB于E，如图，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH=12CD=3，
在Rt△OCH中，∵OC＝2，CH=3，
∴OH=OC2−OH2=1，
∴∠OCH＝30°，
∵C是AB的中点，
∴OC⊥AB，
在Rt△PCE中，∵∠ECP＝30°，
∴∠CPE＝60°，
即∠APC的度数为60°．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【变式3-1】如图，AB为⊙O的直径，AD是⊙O的弦，E是AD的中点，连接OE并延长交⊙O于点C，若∠BAD＝20°，求∠ACO的度数．
【分析】根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，由E是AD的中点得到OE⊥AD，则利用互余可计算出∠AOE＝70°，加上∠OAC＝∠AOC，于是可根据三角形内角和定理计算出∠AOC．
【解答】解：∵E是AD的中点，
∴OE⊥AD，
∴∠AEO＝90°，
∵∠BAD＝20°，
∴∠AOE＝70°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠AOC，
∴∠AOC=12（180°﹣∠AOC）=12（180°﹣70°）＝55°．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
【变式3-2】如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（ ）
A．60°B．90°C．120°D．135°
【分析】如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．根据垂径定理以及三角形的中位线定理，可得DE=12PT，当PT是直径时，DE的长最大，再证明∠AOB＝90°，即可解决问题．
【解答】解：如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．
∵OA⊥PC，OB⊥CT，
∴CD＝DP，CE＝TE，
∴DE=12PT，
∴当PT是直径时，DE的长最大，
连接OC，
∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，
∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT，
∴∠AOB＝∠COA+∠COB=12∠POT＝90°，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．
【变式3-3】如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．
（1）若AB＝6，求DE的长；
（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．
【分析】（1）根据垂径定理得到AB=AC，则AC＝AB＝6，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到DE的长；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出∠C＝40°，然后利用ED＝EC得到∠CDE＝∠C＝40°．
【解答】解：（1）∵BC⊥OA，
∴AB=AC，∠ADC＝90°，
∴AC＝AB＝6，
∵点E为AC的中点，
∴DE=12AC＝3；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC＝100°，
∴∠C=12（180°﹣100°）＝40°，
∵点E为AC的中点，
∴ED＝EC，
∴∠CDE＝∠C＝40°．
【点评】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
题型四 利用垂径定理求最值
【例题4】（2022秋•道外区期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【分析】过O作OM′⊥AB，连接OA，由“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”的知识可知，当OM于OM′重合时OM最短，由垂径定理可得出AM′的长，再根据勾股定理可求出OM′的长，即线段OM长的最小值．
【解答】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，
∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，
∴当OM于OM′重合时OM最短，
∵AB＝8，OA＝5，
∴AM′=12×8＝4，
在Rt△OAM′中，OM′=OA2−AM′2=52−42=3，
∴线段OM长的最小值为3．
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
【变式4-1】（2022春•江夏区校级月考）如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（ ）
A．5B．2.5C．3D．2
【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD=OD2−OC2=r2−OC2，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB=12AB=12×5＝2.5，
即CD的最大值为2.5，
故选：B．
【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．
【变式4-2】在平面直角坐标系中，若以A（2，﹣1）为圆心，2为半径的⊙A与过点B（1，0）的直线交于C、D，则CD的最小值为（ ）
A．2B．2C．22D．4
【分析】连接AC，作AE⊥CD于E，根据垂径定理和勾股定理得出CE＝DE=12CD，CE=AC2−AE2，所以当AE取最大值时，CE最小，即CD最小，由于AE的最大值为AB，利用勾股定理即可求得CE的最小值，进而求得CD的最小值．
【解答】解：如图，连接AC，作AE⊥CD于E，
∴CE＝DE=12CD，CE=AC2−AE2
∵AC＝2，
∴当AE取最大值时，CE最小，即CD最小，
∴当E点与B重合时，AE最大，
∵A（2，﹣1），B（1，0），
∴AB2＝（2﹣1）2+（﹣1﹣0）2＝2，
∴CE的最小值为：AC2−AB2=22−2=2，
∴CD的最小值为22，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，垂线段最短以及坐标与图形性质，明确E点与B重合时，AE最大是解题的关键．
【变式4-3】（2023•江都区模拟）如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为55，弦AB的长为4，过点O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ．
【分析】连接OB，如图，利用垂径定理得到AC＝BC＝2，则利用勾股定理可计算出OC＝11，利用三角形三边的关系，当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，然后计算出OD的长，从而得到点D到AB的距离的最小值．
【解答】解：连接OB，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC=12AB＝2，
在Rt△OBC中，OC=OB2−BC2=(55)2−22=11，
当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，
∵OD=42+32=5，
∴点D到AB的距离的最小值为11﹣5＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
【变式4-4】（2023•武安市二模）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，⊙O的直径为40cm，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，CP=102cm，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交⊙O于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与⊙O交于点D，则CD的最大长度为（ ）
A．202cmB．(20−102)cmC．(202−20)cmD．102cm
【分析】连接AB，OB，当O、P、D、C四点共线时，CD最长，根据勾股定理求出OP，然后根据CD＝CP﹣DP即可解答．
【解答】解：如图所示，连接AB，OB，
根据题意可得：BP=AP=CP=102，且A，P，B三点在同一直线上，
∴OP垂直平分AB，
∴∠OPB＝90°，
∴当O、P、D、C四点共线时，CD最长，
∵OB=OD=12×40=20cm，PB=CP=102cm，
在Rt△BOP中，由勾股定理得OP=OB2−BP2=202−(102)2=102cm，
∴DP=OD−OP=(20−102)cm，
∴CD长最大值为CP−PD=102−(20−102)=(202−20)cm，
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，添加适当的辅助线是解题的关键．
题型五 利用垂径定理求取值范围
【例题5】（2022•甘肃模拟）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点M是弦AB上的动点，则（ ）
A．4≤OM≤5B．3≤OM＜5C．3＜OM≤5D．3≤OM≤5
【分析】当M与A或B重合时，OM最长，当OM垂直于AB时，OM最短，即可求出OM的范围．
【解答】解：当M与A（B）重合时，OM的值最大＝OA＝5；
当OM垂直于AB时，可得出M为AB的中点，此时OM最小，连接OA，
在Rt△AOM中，OA＝5，AM=12AB＝4，
根据勾股定理得：OM=52−42=3，
∴3≤OM≤5，
故选：D．
【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解本题的关键．
【变式5-1】（2023•同心县校级二模）如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，利用垂径定理求得OM的最大值与最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC=12AB＝8．
∴OC=OB2−BC2=102−82=6．
∵垂线段最短，
∴点M与点C重合时，OM取得最小值6，当点M与点A，B重合时，OM取得最大值10，
∴6≤OM≤10．
∴OM不可能为5，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，正确利用上述定理与性质求得OM的最大值与最小值是解题的关键．
【变式5-2】（2022秋•桃城区校级期末）如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．7≤MN≤17B．14≤MN≤34C．7＜MN＜17D．6≤MN≤16
【分析】连接OM、ON、OA、OP，由垂径定理得OM⊥AB，ON⊥PQ，AM=12AB＝12，PN=12PQ＝5，由勾股定理得OM＝5，ON＝12，当AB∥PQ时，M、O、N三点共线，当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝ON﹣OM＝7，当AB、PQ位于O的两侧时，线段EF的长度最长＝OM+ON＝17，便可得出结论．
【解答】解：连接OM、ON、OA、OP，如图所示：
∵⊙O的直径为26，
∴OA＝OP＝13，
∵点M、N分别是弦AB、PQ的中点，AB＝24，PQ＝10，
∴OM⊥AB，ON⊥PQ，AM=12AB＝12，PN=12PQ＝5，
∴OM=132−122=5，ON=132−52=12，
当AB∥PQ时，M、O、N三点共线，
当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝ON﹣OM＝12﹣5＝7，
当AB、PQ位于O的两侧时，线段MN的长度最长＝ON+OM＝12+5＝17，
∴线段MN的长度的取值范围是7≤MN≤17，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
【变式5-3】如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上的四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF长度的取值范围是（ ）
A．1≤EF≤7B．2≤EF≤5C．1＜EF＜7D．1≤EF≤6
【分析】连接OE、OF、OA、OC，由垂径定理得OE⊥AB，OF⊥CD，AE=12AB＝3，CF=12CD＝4，由勾股定理得OE＝4，OF＝3，当AB∥CD时，E、O、F三点共线，当AB、CD位于O的同侧时，线段EF的长度最短＝OE﹣OF＝1，当AB、CD位于O的两侧时，线段EF的长度最长＝OE+OF＝7，便可得出结论．
【解答】解：连接OE、OF、OA、OC，如图所示：
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝OC＝5，
∵点E、F分别是弦AB、CD的中点，AB＝6，CD＝8，
∴OE⊥AB，OF⊥CD，AE=12AB＝3，CF=12CD＝4，
∴OE=OA2−AE2=4，OF=OC2−CF2=3，
当AB∥CD时，E、O、F三点共线，
当AB、CD位于O的同侧时，线段EF的长度最短＝OE﹣OF＝1，
当AB、CD位于O的两侧时，线段EF的长度最长＝OE+OF＝7，
∴线段EF的长度的取值范围是1≤EF≤7，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
题型六 利用垂径定理求面积
【例题6】（2023•石城县模拟）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝2，AE＝3，则△ACB的面积为（ ）
A．3B．5C．6D．8
【分析】根据垂径定理求出AB，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，AE＝3，
∴AB＝2AE＝6，
∴△ACB的面积为12×AB×CE=12×6×2＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的面积，垂径定理的应用，解此题的关键是求出AB的长．
【变式6-1】（2023•涧西区校级二模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，AB=45，则△ODE的面积为（ ）
A．4B．32C．25D．26
【分析】先根据垂径定理得到AD＝BD＝25，则BE＝2OD，再根据圆周角定理得到∠B＝90°，接着利用勾股定理得到BD2+BE2＝DE2，从而可求出OD，然后利用三角形面积公式计算．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD=12AB＝25，
∵OA＝OE，
∴OD为△ABE的中位线，
∴BE＝2OD，
∵AE为直径，
∴∠B＝90°，
在Rt△BDE中，
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（25）2+（2OD）2＝（3OD）2，
解得OD＝2，
∴△ODE的面积=12OD•BD=12×2×25=25．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．
【变式6-2】（2022秋•玄武区校级月考）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为（ ）
A．144πB．256πC．400πD．441π
【分析】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，
∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，
∴AD＝BD=12AB=12（AC+BC）=12×（11+21）＝16，
∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，
在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，
在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，
∴S⊙O＝π×OB2＝400π，
即这个花坛的面积为400π．
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．
【变式6-3】（2022秋•新余期末）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】利用垂径定理，得出CH＝DH＝4，由OC＝OD得出Rt△COH≌Rt△DOH，进而得出图中阴影部分的面积为S△ABD，即可得出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，CD＝8，
∴CH＝DH＝4，
∵OC＝OD，
∴Rt△COH≌Rt△DOH（HL），
∴S△COH＝S△DOH，
故图中阴影部分的面积为：S△ABD=12AB•DH=12×10×4＝20．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了垂径定理，得出图中阴影部分的面积为：S△ABD是解题关键．
【变式6-4】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（ ）
A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9
【分析】利用垂径定理和勾股定理建立方程求出ON，再求出半径后，根据圆面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OC，过点O作OM⊥CD于M，MO的延长线于AB延长线交于N，则四边形BCMN是矩形，
∵OM⊥CD，CD是弦，
∴CM＝DM=12CD＝1＝BN，
∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，
设ON＝x，则OM＝8﹣x，
在Rt△AON、Rt△COM中，由勾股定理得，
OA2＝AN2+ON2，OC2＝OM2+CM2，
∵OA＝OC，
∴AN2+ON2＝OM2+CM2，
即52+x2＝（8﹣x）2+12，
解得x=52，
即ON=52，
∴OA2＝52+（52）2=1254，
∴S⊙O＝π×OA2=1254π，
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是解决问题的前提，求出半径是正确解答的关键．
题型七 垂径定理分类讨论问题
【例题6】（2023•岱岳区二模）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为（ ）cm．
A．1B．7C．1或7D．3或4
【分析】过O点作OE⊥AB于点E，交CD于F点，连接OA、OC，如图，根据平行线的性质OF⊥CD，则根据垂径定理得到AE＝4cm，CF＝3cm，再分别利用勾股定理计算出OE＝3cm，OF＝4cm，讨论：当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝7cm；当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝1cm．
【解答】解：过O点作OE⊥AB于点E，交CD于F点，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE=12AB＝4cm，CF＝DF=12CD＝3cm，
在Rt△OAE中，∵OA＝5cm，AE＝4cm，
∴OE=52−42=3（cm），
在Rt△OCF中，∵OC＝5cm，CF＝3cm，
∴OF=52−32=4（cm），
当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7（cm）；
当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1（cm）；
综上所述，EF的值为1cm或7cm，
即AB与CD之间的距离为1cm或7cm．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
【变式7-1】已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高为 ．
【分析】过O作直径OC⊥AB于D，连接OA，则CD是弓形的高或DE是弓形的高，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，即可求出答案．
【解答】
解：过O作直径OC⊥AB于D，连接OA，则CD是弓形的高或DE是弓形的高，
∵CE⊥AB，CE为直径，
∴AD＝DB=12AB＝4cm，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：AO2＝AD2+OD2，
52＝42+OD2，
OD＝3，
∴CD＝5cm﹣3cm＝2cm，DE＝5cm+3cm＝8cm．
故答案为：2cm或8cm．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是能根据得出方程．
【变式7-2】已知⊙O的直径AB＝20，弦CD⊥AB于点E，且CD＝16，则AE的长为 ．
【分析】分两种情况讨论，应用勾股定理，垂径定理，求出OE的长，即可解决问题．
【解答】解：（1）当CD在点O右侧，
连接OC，
∵直径AB⊥CD，
∴CE＝12CD＝8，
∴OE＝OC2−CE2＝102−82＝6，
∴AE＝AO+OE＝10+6＝16；
（2））当CD在点O左侧，
连接OC，
∵直径AB⊥CD，
∴CE＝12CD＝8，
∴OE＝OC2−CE2＝102−82＝6，
∴AE＝AO﹣OE＝10﹣6＝4．
故答案为：16或4．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是分两种情况讨论．
【变式7-3】（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝
3：5，则AC的长为 ．
【分析】连接OA，由AB⊥CD，设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x，根据CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根据垂径定理得到AM＝4，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．
【解答】解：连接OA，
∵OM：OC＝3：5，
设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x，
∵CD＝10，
∴OM＝3，OA＝OC＝5，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM=12AB，
在Rt△OAM中，OA＝5，
AM=OA2−OM2=52−32=4，
当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，
在Rt△ACM中，AC=AM2+CM2=42+82=45；
当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，
在Rt△ACM中，AC=AM2+MC2=42+22=25．
综上所述，AC的长为45或25．
故答案为：45或25．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
题型八 垂径定理与证明
【例题8】（2022秋•邹城市校级期末）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF．
【分析】由垂径定理得MN⊥AB，再证MN⊥CD，然后由垂径定理即可得出结论．
【解答】证明：∵E为AB中点，MN过圆心O，
∴MN⊥AB，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴CF＝DF．
【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理，证明MN⊥CD是解题的关键．
【变式8-1】如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD．
【分析】作OH⊥AB于H，根据垂径定理得到AH＝BH，而OC＝OD，由等腰三角形三线合一的性质得OH平分CD，然后即可证得AC＝BD．
【解答】证明：作OH⊥AB于H，如图，
则AH＝BH，
∵OC＝OD，OH⊥AB，
∴CH＝DH，
∴CH﹣AH＝DH﹣BH，
即AC＝BD．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形三线合一的性质．
【变式8-2】（2020秋•金州区校级期末）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AD＝BC．
【分析】过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质可知AE＝BE，再由垂径定理可知CE＝DE，故可得出结论．
【解答】证明：过点O作OE⊥AB，
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE，CE＝DE，
∴AE+DE＝BE+CE，即AD＝BC．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
【变式8-3】（2023春•萧县月考）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形；
（2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦．
【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形ADOE是矩形，根据垂径定理得出OD＝OE，即可判定矩形ADOE是正方形；
（2）连接AC，由圆心角、弦的关系可得AB＝CD，由圆周角定理可得∠BAC=12∠BOC＝45°，∠ACD=12∠AOD＝45°，可证AB⊥CD，可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠A＝∠ADO＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB，AC是⊙O的等垂弦，
∴AB＝AC，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE，
∴矩形ADOE是正方形．
（2）证明：设AB交CD于点E，连接AC，
∵OD⊥OA，OC⊥OB，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°，
∴∠AOB＝∠COD，
∴AB＝CD，
∵∠BAC=12∠BOC＝45°，∠ACD=12∠AOD＝45°，
∴∠BEC＝∠ACB+∠BAC＝90°，
∴AB⊥CD，
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴AB，CD是⊙O的等垂弦．
【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理的定义是解题关键．
题型九 利用垂径定理解决实际问题
【例题9】（2023•薛城区二模）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子直径为（ ）
A．10mB．8mC．6mD．5m
【分析】设半径为r，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案．
【解答】解：设半径为rm，则OA＝OC＝rm，
∴OD＝（r﹣2）m，
∵AB＝8m，
∴AD＝4m，
在Rt△ODA 中，有
OA2＝OD2+AD2，即
r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5m，
则该桨轮船的轮子直径为10m．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道OC 垂直平分AB 这个隐藏的条件．
【变式9-1】（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（ ）
A．53mB．2mC．83mD．3m
【分析】取圆心为O，连接OA，由垂径定理设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，由拱高CD＝3m，OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，由垂径定理得出AD＝1m，由勾股定理得出方程r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=53，得出该拱门的半径为53m，即可得出答案．
【解答】解：如图，取圆心为O，连接OA，
设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，
∵拱高CD＝3m，
∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，
∵AB＝2m，
∴AD＝BD=12AB＝1m，
∵OA2＝AD2+OD2，
∴r2＝12+（3﹣r）2，
解得：r=53，
∴该拱门的半径为53m，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的关键．
【变式9-2】（2023•岳麓区校级模拟）把半径为5cm的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若CD＝8cm，则EF的长为（ ）
A．8cmB．7cmC．5cmD．4cm
【分析】设球心为O，过O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，连接OF，结合题意可解得OF＝5cm，OM＝3cm，根据勾股定理求得MF，最后由垂径定理求得结果．
【解答】解：如图，设球心为O，过O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，连接OF，
由题意可知ABCD是矩形，ON＝OF＝5cm，
∵CD＝8cm，
∴MN＝8cm，
∴OM＝MN﹣ON＝8﹣5＝3（cm），
∵MN⊥AD，
∴∠OMF＝90°，EF＝2FM，
∴MF=OF2−OM2=52−32=4(cm)，
∴EF＝2FM＝8cm，
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，涉及到圆的基本性质，勾股定理等知识，掌握求弦长通常运用垂径定理构造直角三角形的方法是解题的关键．
【变式9-3】（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．2米C．(3−5)米D．(3+5)米
【分析】连接OC，OC交AB于D，由垂径定理得AD＝BD=12AB＝2（米），再由勾股定理得OD=5（米），然后求出CD的长即可．
【解答】解：连接OC，OC交AB于D，
由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，
∴AD＝BD=12AB＝2（米），∠ADO＝90°，
∴OD=OA2−AD2=32−22=5（米），
∴CD＝OC﹣OD＝（3−5）米，
即点C到弦AB所在直线的距离是（3−5）米，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
【变式9-4】（2022秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：
（1）拱桥所在的圆的半径；
（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．
【分析】（1）由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，再在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，即可求出半径；
（2）求出ON＝OP﹣PN＝15（m），再由勾股定理可得A′N＝8（m），则A′B′＝2A'N＝16米＞15m，即可得出结论．
【解答】解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，
设半径为xm，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝30m，
∴AM=12AB＝15（m），
在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，
由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣9）2+152，
解得：x＝17，
即拱桥所在的圆的半径为17m；
（2）∵OP＝17m，
∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=OA′2−ON2=172−152=8（m），
∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，
∴不需要采取紧急措施．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用以及勾股定理的应用，利用勾股定理求得圆弧所在的半径是解题的关键，注意方程思想的应用．
题型十 垂径定理与平面直角坐标系的综合应用
【例题10】（2023•城西区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为13，则点P的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（2，3）C．（3，1）D．（2，2）
【分析】作PB⊥AO交AO于B，根据垂径定理可知B是OA的中点，继而求出B的坐标，得出AB的值，可得结论．
【解答】解：作PB⊥AO交AO于B，连接AP，
∵PB⊥AO，
∴B是OA的中点，
∵点A（6，0），
∴AB＝OB＝3，
∵Rt△PBA中，AP=13，AB＝3，
∴PB=(13)2−32=2，
∴P（3，2）．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式10-1】（2022秋•南关区校级期末）如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（ ）
A．﹣3B．3C．4D．6
【分析】过A作AD⊥BC于D，连接AB，根据点B和点C的坐标求出BC，再根据垂径定理求出BD＝CD＝4，根据勾股定理求出AD即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，连接AB，
∵半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），
∴AB＝5，BC＝10﹣2＝8，OB＝2，
∵AD⊥BC，AD过圆心A，
∴CD＝BD＝4，
由勾股定理得：AD=AB2−BD2=52−42=3，
∴点A的横坐标是3，
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能根据垂径定理求出BD＝CD＝4是解此题的关键．
【变式10-2】（2022秋•兴义市期中）如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A．（﹣5，﹣6）B．（﹣4，﹣5）C．（﹣6，﹣4）D．（﹣4，﹣6）
【分析】过A作AB⊥NM于B，连接AM，根据垂径定理求出BN＝BM＝3，根据勾股定理求出AB，求出OB，即可得出答案．
【解答】解：过A作AB⊥NM于B，连接AM，
∵AB过A，
∴MB＝NB，
∵半径为5的⊙A与y轴相交于M（0，﹣3）、N（0，﹣9），
∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，
∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，
由勾股定理得：AB=52−32=4，
∴点A的坐标为（﹣4，﹣6），
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出BM和BN是解此题的关键．
【变式10-3】（2023•沙市区模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣4，﹣2），则点N的坐标为（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1.5，﹣2）D．（1.5，﹣2）
【分析】本题可先设半径的大小，由此得出A点的方程．连接AM、AN根据等腰三角形的性质即可得出AN的长度，再根据两点之间的距离公式即可解出N点的坐标．
【解答】解：分别过点M、N作x轴的垂线，过点A作AB⊥MN，连接AN，则BM＝BN，
设⊙A的半径为r，
则AN＝r，AB＝2，BM＝BN＝4﹣r，
在Rt△ABN中，根据勾股定理，22+（4﹣r）2＝r2，
可得：r＝2.5，
∴BN＝4﹣2.5＝1.5，
则N到y轴的距离为：AO﹣BN＝2.5﹣1.5＝1，
又点N在第三象限，
∴N的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
题型十一 垂径定理综合应用问题
【例题11】（2023春•鼓楼区校级期中）如图，在⊙O中，AB、AD为弦，CD为直径，CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，BN与CD相交于Q．
（1）求证：BQ＝BC；
（2）若BQ＝5，CM＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据CD⊥AB，BN⊥AD，所以∠BNA＝∠BMQ＝90°，可得∠BQM＝∠A，利用圆周角定理得∠C＝∠A，所以∠C＝∠BQM，即可得出结论；
（2）设圆心为O，连接BO，设BO＝r，则OM＝r﹣3，利用勾股定理得BM＝4和42+（r﹣3）2＝r2，即可求出半径．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，
∴∠BNA＝∠BMQ＝90°，
∵∠ABN＝∠ABN，
∴∠BQM＝∠A，
∵BD=BD，
∴∠C＝∠A，
∴∠C＝∠BQM，
∴BQ＝BC；
（2）解：由（1）得BC＝BQ＝5，∠BMC＝∠BMO＝90°
∴在Rt△BMC中，BM=BC2−CM2=52−32=4，
设圆心为O，连接BO，设BO＝r，则OM＝r﹣3，
∴在Rt△BMO中，BM2+OM2＝OB2，
即42+（r﹣3）2＝r2，
解得：r=256，
即⊙O的半径为256．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，正确作出辅助线、灵活运用相关定理是解题的关键，注意勾股定理的应用．
【变式11-1】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
【分析】（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出结论；
（2）过O作OH⊥CD于H，连接OD，由垂径定理得CH＝DH=12CD，再证△OCD是等边三角形，得CD＝OC＝4，则CH＝2，然后由勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：
则CH＝DH=12CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH=OC2−CH2=42−22=23，
∴AH=OA2−OH2=62−(23)2=26，
∴AC＝AH﹣CH＝26−2．
【点评】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
【变式11-2】（2022秋•余杭区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC．
（1）求∠B的度数．
（2）若CE=3，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据垂径定理得出AF＝B，BE＝CE，根据线段垂直平分线性质得出AC＝BC，AB＝BC，求出AC＝BC＝AB，根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出即可；
（2）根据等边三角形的性质得出∠ACB＝60°，根据等边三角形的性质得出∠DCB=12∠ACB＝30°，求出OC＝2OE，再根据勾股定理求出OE即可．
【解答】解：（1）∵AE⊥BC，AE过圆心O，
∴CE＝BE，
∴AC＝AB，
同理AC＝BC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵CD⊥AB，AC＝BC，
∴∠DCB=12∠ACB=30°，
∴OC＝2OE，
∵CE=3，OC2＝OE2+CE2，
即（2OE）2＝OE2+（3）2，
解得：OE＝1（负数舍去），
∴OC＝2OE＝2，
即⊙O的半径为2．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
【变式11-3】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC边上的高AH＝3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）．
（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长．
【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出BH＝4，得出CH＝4，由勾股定理求出CA，当⊙C经过点A时，CP＝CA＝5；
（2）先证明四边形APCE是平行四边形，得出CP＝CE，证出四边形APCE是菱形，得出PA＝CP，设PA＝CP＝x，则PH＝4﹣x，由勾股定理得出方程，解方程求出半径；作CM⊥EF于M，则CM＝AH＝3，由垂径定理得出ME＝MF=12EF，由勾股定理求出ME，即可得出EF的长．
【解答】解：（1）连接AC，如图1所示：∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
∴BH=AB2−AH2=52−32=4，
∴CH＝BC﹣BH＝4，
∴CA=AH2+CH2=5，
当⊙C经过点A时，CP＝CA＝5；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，当AP∥CE时，四边形APCE是平行四边形，
∵CP＝CE，
∴四边形APCE是菱形，
∴PA＝CP，
设PA＝CP＝x，则PH＝4﹣x，
在Rt△APH中，
由勾股定理得：AH2+PH2＝PA2，
即32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x=258，
即⊙C的半径为258，
作CM⊥EF于M，如图2所示：则CM＝AH＝3，ME＝MF=12EF，
在Rt△CEM中，由勾股定理得：ME=CE2−CM2=(258)2−32=78，
∴EF＝2ME=74．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、垂径定理、平行四边形的判定方法、菱形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
解题技巧提炼
1、垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
2、一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
解题技巧提炼
作弦的垂线并连接圆心与弦的一个端点，构造“垂径定理三角形”，利用勾股定理求解.
解题技巧提炼
主要是利用垂径定理以及等腰三角形的性质和三角形的内角和等知识来求解．
解题技巧提炼
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，添加适当的辅助线是解题的关键．利用“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”求最值.
解题技巧提炼
本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题来求范围，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
解题技巧提炼
本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．
解题技巧提炼
当遇到求两平行弦间的距离或者是弓形高的等问题时在没有给出图形的情况下，要进行分类讨论,同时要利用垂径定理和勾股定理来解决问题.
解题技巧提炼
本题考查的是垂径定理，有时需要根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
解题技巧提炼
利用垂径定理建模解决实际问题，先把实际问题转化为几何图形（圆或半圆），巧用弦的一半、圆的半径和过圆心的垂线段组成直角三角形，然后借助勾股定理，列出方程求解.
解题技巧提炼
利用垂径定理在平面直角坐标系中求点的坐标或弦长，一般是过圆心作直线的垂线，由弦心矩、半径、弦长的一半构成直角三角形，然后利用勾股定理及其它几何知识求出点的坐标或线段长.
解题技巧提炼
垂径定理的综合应用问题主要里利用垂径定理、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
解题技巧提炼
1、垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
2、一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
解题技巧提炼
作弦的垂线并连接圆心与弦的一个端点，构造“垂径定理三角形”，利用勾股定理求解.
解题技巧提炼
主要是利用垂径定理以及等腰三角形的性质和三角形的内角和等知识来求解．
解题技巧提炼
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，添加适当的辅助线是解题的关键．利用“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”求最值.
解题技巧提炼
本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题来求范围，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
解题技巧提炼
本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．
解题技巧提炼
当遇到求两平行弦间的距离或者是弓形高的等问题时在没有给出图形的情况下，要进行分类讨论,同时要利用垂径定理和勾股定理来解决问题.
解题技巧提炼
本题考查的是垂径定理，有时需要根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
解题技巧提炼
利用垂径定理建模解决实际问题，先把实际问题转化为几何图形（圆或半圆），巧用弦的一半、圆的半径和过圆心的垂线段组成直角三角形，然后借助勾股定理，列出方程求解.
解题技巧提炼
利用垂径定理在平面直角坐标系中求点的坐标或弦长，一般是过圆心作直线的垂线，由弦心矩、半径、弦长的一半构成直角三角形，然后利用勾股定理及其它几何知识求出点的坐标或线段长.
解题技巧提炼
垂径定理的综合应用问题主要里利用垂径定理、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
第二课时 垂径定理
知识点一
圆的对称性
圆的轴对称性
圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，它的对称中心是圆心.
知识点二
垂径定理
◆1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的依据是圆的轴对称的性质.
推导格式：
◆2、垂径定理的用法：
（1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值.
（2）如图弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系：
（3）r ,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量.
知识点三
垂径定理的推论
◆1、垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
◆2、垂径定理及其推论：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
◆3、垂径定理的几个基本图形：
题型一 垂径定理有关的概念
【例题1】下列说法中错误的有（ ）
①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；
②弦的垂线平分它所对的两条弧；
③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-1】（2023•肃州区三模）下列语句中，正确的有（ ）
（1）相等的圆心角所对的弧相等；
（2）平分弦的直径垂直于弦；
（3）长度相等的两条弧是等弧；
（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式1-2】如图，已知⊙O的直径AB⊥CD弦于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．CE＝DEB．AE＝OEC．∠COA＝∠DOAD．△OCE≌△ODE
【变式1-3】如图，在⊙O中，MN是直径，AB是弦，且MN⊥AB，垂足为C，下列结论：
①AC＝BC，②AN=BN，③BM=AM，④OC＝CN上述结论中，正确的有 （填序号）
题型二 利用垂径定理求线段长
【例题2】（2022春•海门市期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的垂线段OE长为3cm，则半径OA的长为 cm．
【变式2-1】（2023春•渝中区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于E，若CD=45，
BE＝2，则AB的长是（ ）
A．12B．16C．65D．125
【变式2-2】（2023•伊川县一模）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是AB上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（ ）
A．12B．22C．32D．1
【变式2-3】（2022•丹江口市模拟）如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为（ ）
A．3B．23C．43D．4
【变式2-4】（2023•蒙阴县三模）已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上，若PA＝2，PB＝4，则OP＝（ ）
A．14B．15C．17D．32
题型三 利用垂径定理求角度
【例题3】（2022秋•诸城市校级月考）如图，⊙O的直径是4cm，C是AB的中点，弦AB、CD交于P，CD＝23cm，求∠APC的度数．
【变式3-1】如图，AB为⊙O的直径，AD是⊙O的弦，E是AD的中点，连接OE并延长交⊙O于点C，若∠BAD＝20°，求∠ACO的度数．
【变式3-2】如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（ ）
A．60°B．90°C．120°D．135°
【变式3-3】如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．
（1）若AB＝6，求DE的长；
（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．
题型四 利用垂径定理求最值
【例题4】（2022秋•道外区期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【变式4-1】（2022春•江夏区校级月考）如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（ ）
A．5B．2.5C．3D．2
【变式4-2】在平面直角坐标系中，若以A（2，﹣1）为圆心，2为半径的⊙A与过点B（1，0）的直线交于C、D，则CD的最小值为（ ）
A．2B．2C．22D．4
【变式4-3】（2023•江都区模拟）如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为55，弦AB的长为4，过点O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ．
【变式4-4】（2023•武安市二模）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，⊙O的直径为40cm，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，CP=102cm，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交⊙O于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与⊙O交于点D，则CD的最大长度为（ ）
A．202cmB．(20−102)cmC．(202−20)cmD．102cm
题型五 利用垂径定理求取值范围
【例题5】（2022•甘肃模拟）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点M是弦AB上的动点，则（ ）
A．4≤OM≤5B．3≤OM＜5C．3＜OM≤5D．3≤OM≤5
【变式5-1】（2023•同心县校级二模）如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式5-2】（2022秋•桃城区校级期末）如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．7≤MN≤17B．14≤MN≤34C．7＜MN＜17D．6≤MN≤16
【变式5-3】如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上的四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF长度的取值范围是（ ）
A．1≤EF≤7B．2≤EF≤5C．1＜EF＜7D．1≤EF≤6
题型六 利用垂径定理求面积
【例题6】（2023•石城县模拟）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝2，AE＝3，则△ACB的面积为（ ）
A．3B．5C．6D．8
【变式6-1】（2023•涧西区校级二模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，AB=45，则△ODE的面积为（ ）
A．4B．32C．25D．26
【变式6-2】（2022秋•玄武区校级月考）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为（ ）
A．144πB．256πC．400πD．441π
【变式6-3】（2022秋•新余期末）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式6-4】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（ ）
A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9
题型七 垂径定理分类讨论问题
【例题7】（2023•岱岳区二模）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为（ ）cm．
A．1B．7C．1或7D．3或4
【变式7-1】已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高为 ．
【变式7-2】已知⊙O的直径AB＝20，弦CD⊥AB于点E，且CD＝16，则AE的长为 ．
【变式7-3】（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝
3：5，则AC的长为 ．
题型八 垂径定理与证明
【例题8】（2022秋•邹城市校级期末）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF．
【变式8-1】如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD．
【变式8-2】（2020秋•金州区校级期末）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AD＝BC．
【变式8-3】（2023春•萧县月考）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形；
（2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦．
题型九 利用垂径定理解决实际问题
【例题9】（2023•薛城区二模）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子直径为（ ）
A．10mB．8mC．6mD．5m
【变式9-1】（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（ ）
A．53mB．2mC．83mD．3m
【变式9-2】（2023•岳麓区校级模拟）把半径为5cm的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若CD＝8cm，则EF的长为（ ）
A．8cmB．7cmC．5cmD．4cm
【变式9-3】（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．2米C．(3−5)米D．(3+5)米
【变式9-4】（2022秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：
（1）拱桥所在的圆的半径；
（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．
题型十 垂径定理与平面直角坐标系的综合应用
【例题10】（2023•城西区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为13，则点P的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（2，3）C．（3，1）D．（2，2）
【变式10-1】（2022秋•南关区校级期末）如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（ ）
A．﹣3B．3C．4D．6
【变式10-2】（2022秋•兴义市期中）如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A．（﹣5，﹣6）B．（﹣4，﹣5）C．（﹣6，﹣4）D．（﹣4，﹣6）
【变式10-3】（2023•沙市区模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣4，﹣2），则点N的坐标为（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1.5，﹣2）D．（1.5，﹣2）
题型十一 垂径定理综合应用问题
【例题11】（2023春•鼓楼区校级期中）如图，在⊙O中，AB、AD为弦，CD为直径，CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，BN与CD相交于Q．
（1）求证：BQ＝BC；
（2）若BQ＝5，CM＝3，求⊙O的半径．
【变式11-1】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
【变式11-2】（2022秋•余杭区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC．
（1）求∠B的度数．
（2）若CE=3，求⊙O的半径．
【变式11-3】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC边上的高AH＝3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）．
（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长．
（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》
2.2 圆的对称性
第二课时 垂径定理
知识点一
圆的对称性
圆的轴对称性
圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，它的对称中心是圆心.
知识点二
垂径定理
◆1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的依据是圆的轴对称的性质.
推导格式：
◆2、垂径定理的用法：
（1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值.
（2）如图弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系：
（3）r ,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量.
知识点三
垂径定理的推论
◆1、垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
◆2、垂径定理及其推论：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
◆3、垂径定理的几个基本图形：
题型一 垂径定理有关的概念
【例题1】下列说法中错误的有（ ）
①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；
②弦的垂线平分它所对的两条弧；
③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据垂径定理以及推论判断即可．
【解答】解：①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧，错误，这条直线需要垂直这条弦．
②弦的垂线平分它所对的两条弧，错误，这条直线需要平分这条直线．
③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧，错误，这条弦不是直径成立．
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．正确．
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理以及推论，解题的关键是熟练掌握垂径定理以及推论，属于中考常考题型．
【变式1-1】（2023•肃州区三模）下列语句中，正确的有（ ）
（1）相等的圆心角所对的弧相等；
（2）平分弦的直径垂直于弦；
（3）长度相等的两条弧是等弧；
（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】由圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，等弧的概念，圆的对称性，即可判断．
【解答】解：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故（1）不符合题意；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故（2）不符合题意；
（3）长度和度数相等的两条弧是等弧，故（3）不符合题意；
（4）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴，故（4）不符合题意．
∴正确的有0个．
故选：A．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，等弧的概念，圆的认识，掌握以上知识点是解题的关键．
【变式1-2】如图，已知⊙O的直径AB⊥CD弦于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．CE＝DEB．AE＝OEC．∠COA＝∠DOAD．△OCE≌△ODE
【分析】根据垂径定理得出CE＝DE，弧CB＝弧BD，再根据全等三角形的判定方法“AAS”即可证明△OCE≌△ODE．
【解答】解：∵⊙O的直径AB⊥CD于点E，
∴CE＝DE，CB=BD，
在△OCE和△ODE中，
∠CEO=∠DEO=90°∠OCE=∠ODEOC=OD，
∴△OCE≌△ODE（AAS）．
∴∠COE＝∠DOE，即∠COA＝∠DOA．
观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
【变式1-3】如图，在⊙O中，MN是直径，AB是弦，且MN⊥AB，垂足为C，下列结论：
①AC＝BC，②AN=BN，③BM=AM，④OC＝CN上述结论中，正确的有 （填序号）
【分析】根据垂径定理对各小题进行逐一分析即可．
【解答】解：∵在⊙O中，MN是直径，AB是弦，且MN⊥AB，
∴AC＝BC，AN=BN，AM=BM，故①②③真确；
∵AB不一定过ON的中点，
∴OC与CN的关系不能确定．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
题型二 利用垂径定理求线段长
【例题2】（2022春•海门市期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的垂线段OE长为3cm，则半径OA的长为 cm．
【分析】根据垂径定理求出AE的长，在Rt△AOE中根据勾股定理直接求出OA即可．
【解答】解：∵OE⊥AB，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
在Rt△AOE中，OE＝3，
根据勾股定理得：OA=AE2+OE2=42+32=5．
【点评】本题主要考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧．
【变式2-1】（2023春•渝中区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于E，若CD=45，
BE＝2，则AB的长是（ ）
A．12B．16C．65D．125
【分析】连接OC，设圆的半径是r，由勾股定理得到r2＝（r﹣2）2+(25)2，求出r的值，即可得到AB的长．
【解答】解：连接OC，
设圆的半径是r，
∵BE＝2，
∴OE＝r﹣2，
∵直径AB⊥CD，
∴CE=12CD=12×45=25，
∵OC2＝OE2+CE2，
∴r2＝（r﹣2）2+(25)2，
∴r＝6，
∴AB＝2r＝12．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是连接OC，构造直角三角形，应用勾股定理，垂径定理列出关于r的方程．
【变式2-2】（2023•伊川县一模）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是AB上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（ ）
A．12B．22C．32D．1
【分析】连接AB，利用勾股定理求出AB，再利用垂径定理以及三角形的中位线定理解决问题即可．
【解答】解：连接AB．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝1，
∴AB=OA2+OB2=12+12=2，
∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴AC＝CP，PD＝DB，
∴CD=12AB=22，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线即可解决问题．
【变式2-3】（2022•丹江口市模拟）如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为（ ）
A．3B．23C．43D．4
【分析】由OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，利用垂径定理知C、D分别为AP、BP的中点，CD是△ABP的中位线，利用中位线的性质即可求出CD的长．
【解答】解：∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴AC＝PC，BD＝PD，
∴CD∥AB，且CD=12AB，
∵AB＝8，
∴CD=12AB＝4．
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理，三角形中位线，掌握垂径定理，三角形中位线，利用垂径定理推出C、D分别为AP、BP的中点，利用△ABP的中位线性质解决问题是关键．
【变式2-4】（2023•蒙阴县三模）已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上，若PA＝2，PB＝4，则OP＝（ ）
A．14B．15C．17D．32
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，根据垂径定理可得AC＝BC＝5，所以PC＝PB﹣BC＝1，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
则OB＝5，
∵PA＝2，PB＝4，
∴AB＝PA+PB＝6，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝3，
∴PC＝PB﹣BC＝1，
在Rt△OBC中，根据勾股定理得：
OC2＝OB2﹣BC2＝52﹣32＝16，
在Rt△OPC中，根据勾股定理得：
OP=OC2+PC2=16+1=17，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．
题型三 利用垂径定理求角度
【例题3】（2022秋•诸城市校级月考）如图，⊙O的直径是4cm，C是AB的中点，弦AB、CD交于P，CD＝23cm，求∠APC的度数．
【分析】作OH⊥CD于H，连接OC交AB于E，如图，根据垂径定理得CH＝DH=12CD=3，在根据勾股定理计算出OH＝1，则利用含30度的直角三角形三边的关系得∠OCH＝30°，由于C是AB的中点，根据垂径定理的推理得到OC⊥AB，然后在Rt△PCE中利用互余即可计算出∠APC的度数．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC交AB于E，如图，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH=12CD=3，
在Rt△OCH中，∵OC＝2，CH=3，
∴OH=OC2−OH2=1，
∴∠OCH＝30°，
∵C是AB的中点，
∴OC⊥AB，
在Rt△PCE中，∵∠ECP＝30°，
∴∠CPE＝60°，
即∠APC的度数为60°．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【变式3-1】如图，AB为⊙O的直径，AD是⊙O的弦，E是AD的中点，连接OE并延长交⊙O于点C，若∠BAD＝20°，求∠ACO的度数．
【分析】根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，由E是AD的中点得到OE⊥AD，则利用互余可计算出∠AOE＝70°，加上∠OAC＝∠AOC，于是可根据三角形内角和定理计算出∠AOC．
【解答】解：∵E是AD的中点，
∴OE⊥AD，
∴∠AEO＝90°，
∵∠BAD＝20°，
∴∠AOE＝70°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠AOC，
∴∠AOC=12（180°﹣∠AOC）=12（180°﹣70°）＝55°．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
【变式3-2】如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（ ）
A．60°B．90°C．120°D．135°
【分析】如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．根据垂径定理以及三角形的中位线定理，可得DE=12PT，当PT是直径时，DE的长最大，再证明∠AOB＝90°，即可解决问题．
【解答】解：如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．
∵OA⊥PC，OB⊥CT，
∴CD＝DP，CE＝TE，
∴DE=12PT，
∴当PT是直径时，DE的长最大，
连接OC，
∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，
∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT，
∴∠AOB＝∠COA+∠COB=12∠POT＝90°，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．
【变式3-3】如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．
（1）若AB＝6，求DE的长；
（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．
【分析】（1）根据垂径定理得到AB=AC，则AC＝AB＝6，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到DE的长；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出∠C＝40°，然后利用ED＝EC得到∠CDE＝∠C＝40°．
【解答】解：（1）∵BC⊥OA，
∴AB=AC，∠ADC＝90°，
∴AC＝AB＝6，
∵点E为AC的中点，
∴DE=12AC＝3；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC＝100°，
∴∠C=12（180°﹣100°）＝40°，
∵点E为AC的中点，
∴ED＝EC，
∴∠CDE＝∠C＝40°．
【点评】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
题型四 利用垂径定理求最值
【例题4】（2022秋•道外区期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【分析】过O作OM′⊥AB，连接OA，由“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”的知识可知，当OM于OM′重合时OM最短，由垂径定理可得出AM′的长，再根据勾股定理可求出OM′的长，即线段OM长的最小值．
【解答】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，
∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，
∴当OM于OM′重合时OM最短，
∵AB＝8，OA＝5，
∴AM′=12×8＝4，
在Rt△OAM′中，OM′=OA2−AM′2=52−42=3，
∴线段OM长的最小值为3．
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
【变式4-1】（2022春•江夏区校级月考）如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（ ）
A．5B．2.5C．3D．2
【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD=OD2−OC2=r2−OC2，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB=12AB=12×5＝2.5，
即CD的最大值为2.5，
故选：B．
【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．
【变式4-2】在平面直角坐标系中，若以A（2，﹣1）为圆心，2为半径的⊙A与过点B（1，0）的直线交于C、D，则CD的最小值为（ ）
A．2B．2C．22D．4
【分析】连接AC，作AE⊥CD于E，根据垂径定理和勾股定理得出CE＝DE=12CD，CE=AC2−AE2，所以当AE取最大值时，CE最小，即CD最小，由于AE的最大值为AB，利用勾股定理即可求得CE的最小值，进而求得CD的最小值．
【解答】解：如图，连接AC，作AE⊥CD于E，
∴CE＝DE=12CD，CE=AC2−AE2
∵AC＝2，
∴当AE取最大值时，CE最小，即CD最小，
∴当E点与B重合时，AE最大，
∵A（2，﹣1），B（1，0），
∴AB2＝（2﹣1）2+（﹣1﹣0）2＝2，
∴CE的最小值为：AC2−AB2=22−2=2，
∴CD的最小值为22，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，垂线段最短以及坐标与图形性质，明确E点与B重合时，AE最大是解题的关键．
【变式4-3】（2023•江都区模拟）如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为55，弦AB的长为4，过点O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ．
【分析】连接OB，如图，利用垂径定理得到AC＝BC＝2，则利用勾股定理可计算出OC＝11，利用三角形三边的关系，当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，然后计算出OD的长，从而得到点D到AB的距离的最小值．
【解答】解：连接OB，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC=12AB＝2，
在Rt△OBC中，OC=OB2−BC2=(55)2−22=11，
当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，
∵OD=42+32=5，
∴点D到AB的距离的最小值为11﹣5＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
【变式4-4】（2023•武安市二模）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，⊙O的直径为40cm，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，CP=102cm，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交⊙O于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与⊙O交于点D，则CD的最大长度为（ ）
A．202cmB．(20−102)cmC．(202−20)cmD．102cm
【分析】连接AB，OB，当O、P、D、C四点共线时，CD最长，根据勾股定理求出OP，然后根据CD＝CP﹣DP即可解答．
【解答】解：如图所示，连接AB，OB，
根据题意可得：BP=AP=CP=102，且A，P，B三点在同一直线上，
∴OP垂直平分AB，
∴∠OPB＝90°，
∴当O、P、D、C四点共线时，CD最长，
∵OB=OD=12×40=20cm，PB=CP=102cm，
在Rt△BOP中，由勾股定理得OP=OB2−BP2=202−(102)2=102cm，
∴DP=OD−OP=(20−102)cm，
∴CD长最大值为CP−PD=102−(20−102)=(202−20)cm，
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，添加适当的辅助线是解题的关键．
题型五 利用垂径定理求取值范围
【例题5】（2022•甘肃模拟）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点M是弦AB上的动点，则（ ）
A．4≤OM≤5B．3≤OM＜5C．3＜OM≤5D．3≤OM≤5
【分析】当M与A或B重合时，OM最长，当OM垂直于AB时，OM最短，即可求出OM的范围．
【解答】解：当M与A（B）重合时，OM的值最大＝OA＝5；
当OM垂直于AB时，可得出M为AB的中点，此时OM最小，连接OA，
在Rt△AOM中，OA＝5，AM=12AB＝4，
根据勾股定理得：OM=52−42=3，
∴3≤OM≤5，
故选：D．
【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解本题的关键．
【变式5-1】（2023•同心县校级二模）如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，利用垂径定理求得OM的最大值与最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC=12AB＝8．
∴OC=OB2−BC2=102−82=6．
∵垂线段最短，
∴点M与点C重合时，OM取得最小值6，当点M与点A，B重合时，OM取得最大值10，
∴6≤OM≤10．
∴OM不可能为5，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，正确利用上述定理与性质求得OM的最大值与最小值是解题的关键．
【变式5-2】（2022秋•桃城区校级期末）如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．7≤MN≤17B．14≤MN≤34C．7＜MN＜17D．6≤MN≤16
【分析】连接OM、ON、OA、OP，由垂径定理得OM⊥AB，ON⊥PQ，AM=12AB＝12，PN=12PQ＝5，由勾股定理得OM＝5，ON＝12，当AB∥PQ时，M、O、N三点共线，当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝ON﹣OM＝7，当AB、PQ位于O的两侧时，线段EF的长度最长＝OM+ON＝17，便可得出结论．
【解答】解：连接OM、ON、OA、OP，如图所示：
∵⊙O的直径为26，
∴OA＝OP＝13，
∵点M、N分别是弦AB、PQ的中点，AB＝24，PQ＝10，
∴OM⊥AB，ON⊥PQ，AM=12AB＝12，PN=12PQ＝5，
∴OM=132−122=5，ON=132−52=12，
当AB∥PQ时，M、O、N三点共线，
当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝ON﹣OM＝12﹣5＝7，
当AB、PQ位于O的两侧时，线段MN的长度最长＝ON+OM＝12+5＝17，
∴线段MN的长度的取值范围是7≤MN≤17，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
【变式5-3】如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上的四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF长度的取值范围是（ ）
A．1≤EF≤7B．2≤EF≤5C．1＜EF＜7D．1≤EF≤6
【分析】连接OE、OF、OA、OC，由垂径定理得OE⊥AB，OF⊥CD，AE=12AB＝3，CF=12CD＝4，由勾股定理得OE＝4，OF＝3，当AB∥CD时，E、O、F三点共线，当AB、CD位于O的同侧时，线段EF的长度最短＝OE﹣OF＝1，当AB、CD位于O的两侧时，线段EF的长度最长＝OE+OF＝7，便可得出结论．
【解答】解：连接OE、OF、OA、OC，如图所示：
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝OC＝5，
∵点E、F分别是弦AB、CD的中点，AB＝6，CD＝8，
∴OE⊥AB，OF⊥CD，AE=12AB＝3，CF=12CD＝4，
∴OE=OA2−AE2=4，OF=OC2−CF2=3，
当AB∥CD时，E、O、F三点共线，
当AB、CD位于O的同侧时，线段EF的长度最短＝OE﹣OF＝1，
当AB、CD位于O的两侧时，线段EF的长度最长＝OE+OF＝7，
∴线段EF的长度的取值范围是1≤EF≤7，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
题型六 利用垂径定理求面积
【例题6】（2023•石城县模拟）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝2，AE＝3，则△ACB的面积为（ ）
A．3B．5C．6D．8
【分析】根据垂径定理求出AB，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，AE＝3，
∴AB＝2AE＝6，
∴△ACB的面积为12×AB×CE=12×6×2＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的面积，垂径定理的应用，解此题的关键是求出AB的长．
【变式6-1】（2023•涧西区校级二模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，AB=45，则△ODE的面积为（ ）
A．4B．32C．25D．26
【分析】先根据垂径定理得到AD＝BD＝25，则BE＝2OD，再根据圆周角定理得到∠B＝90°，接着利用勾股定理得到BD2+BE2＝DE2，从而可求出OD，然后利用三角形面积公式计算．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD=12AB＝25，
∵OA＝OE，
∴OD为△ABE的中位线，
∴BE＝2OD，
∵AE为直径，
∴∠B＝90°，
在Rt△BDE中，
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（25）2+（2OD）2＝（3OD）2，
解得OD＝2，
∴△ODE的面积=12OD•BD=12×2×25=25．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．
【变式6-2】（2022秋•玄武区校级月考）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为（ ）
A．144πB．256πC．400πD．441π
【分析】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，
∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，
∴AD＝BD=12AB=12（AC+BC）=12×（11+21）＝16，
∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，
在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，
在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，
∴S⊙O＝π×OB2＝400π，
即这个花坛的面积为400π．
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．
【变式6-3】（2022秋•新余期末）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】利用垂径定理，得出CH＝DH＝4，由OC＝OD得出Rt△COH≌Rt△DOH，进而得出图中阴影部分的面积为S△ABD，即可得出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，CD＝8，
∴CH＝DH＝4，
∵OC＝OD，
∴Rt△COH≌Rt△DOH（HL），
∴S△COH＝S△DOH，
故图中阴影部分的面积为：S△ABD=12AB•DH=12×10×4＝20．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了垂径定理，得出图中阴影部分的面积为：S△ABD是解题关键．
【变式6-4】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（ ）
A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9
【分析】利用垂径定理和勾股定理建立方程求出ON，再求出半径后，根据圆面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OC，过点O作OM⊥CD于M，MO的延长线于AB延长线交于N，则四边形BCMN是矩形，
∵OM⊥CD，CD是弦，
∴CM＝DM=12CD＝1＝BN，
∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，
设ON＝x，则OM＝8﹣x，
在Rt△AON、Rt△COM中，由勾股定理得，
OA2＝AN2+ON2，OC2＝OM2+CM2，
∵OA＝OC，
∴AN2+ON2＝OM2+CM2，
即52+x2＝（8﹣x）2+12，
解得x=52，
即ON=52，
∴OA2＝52+（52）2=1254，
∴S⊙O＝π×OA2=1254π，
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是解决问题的前提，求出半径是正确解答的关键．
题型七 垂径定理分类讨论问题
【例题6】（2023•岱岳区二模）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为（ ）cm．
A．1B．7C．1或7D．3或4
【分析】过O点作OE⊥AB于点E，交CD于F点，连接OA、OC，如图，根据平行线的性质OF⊥CD，则根据垂径定理得到AE＝4cm，CF＝3cm，再分别利用勾股定理计算出OE＝3cm，OF＝4cm，讨论：当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝7cm；当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝1cm．
【解答】解：过O点作OE⊥AB于点E，交CD于F点，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE=12AB＝4cm，CF＝DF=12CD＝3cm，
在Rt△OAE中，∵OA＝5cm，AE＝4cm，
∴OE=52−42=3（cm），
在Rt△OCF中，∵OC＝5cm，CF＝3cm，
∴OF=52−32=4（cm），
当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7（cm）；
当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1（cm）；
综上所述，EF的值为1cm或7cm，
即AB与CD之间的距离为1cm或7cm．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
【变式7-1】已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高为 ．
【分析】过O作直径OC⊥AB于D，连接OA，则CD是弓形的高或DE是弓形的高，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，即可求出答案．
【解答】
解：过O作直径OC⊥AB于D，连接OA，则CD是弓形的高或DE是弓形的高，
∵CE⊥AB，CE为直径，
∴AD＝DB=12AB＝4cm，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：AO2＝AD2+OD2，
52＝42+OD2，
OD＝3，
∴CD＝5cm﹣3cm＝2cm，DE＝5cm+3cm＝8cm．
故答案为：2cm或8cm．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是能根据得出方程．
【变式7-2】已知⊙O的直径AB＝20，弦CD⊥AB于点E，且CD＝16，则AE的长为 ．
【分析】分两种情况讨论，应用勾股定理，垂径定理，求出OE的长，即可解决问题．
【解答】解：（1）当CD在点O右侧，
连接OC，
∵直径AB⊥CD，
∴CE＝12CD＝8，
∴OE＝OC2−CE2＝102−82＝6，
∴AE＝AO+OE＝10+6＝16；
（2））当CD在点O左侧，
连接OC，
∵直径AB⊥CD，
∴CE＝12CD＝8，
∴OE＝OC2−CE2＝102−82＝6，
∴AE＝AO﹣OE＝10﹣6＝4．
故答案为：16或4．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是分两种情况讨论．
【变式7-3】（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝
3：5，则AC的长为 ．
【分析】连接OA，由AB⊥CD，设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x，根据CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根据垂径定理得到AM＝4，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．
【解答】解：连接OA，
∵OM：OC＝3：5，
设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x，
∵CD＝10，
∴OM＝3，OA＝OC＝5，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM=12AB，
在Rt△OAM中，OA＝5，
AM=OA2−OM2=52−32=4，
当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，
在Rt△ACM中，AC=AM2+CM2=42+82=45；
当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，
在Rt△ACM中，AC=AM2+MC2=42+22=25．
综上所述，AC的长为45或25．
故答案为：45或25．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
题型八 垂径定理与证明
【例题8】（2022秋•邹城市校级期末）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF．
【分析】由垂径定理得MN⊥AB，再证MN⊥CD，然后由垂径定理即可得出结论．
【解答】证明：∵E为AB中点，MN过圆心O，
∴MN⊥AB，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴CF＝DF．
【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理，证明MN⊥CD是解题的关键．
【变式8-1】如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD．
【分析】作OH⊥AB于H，根据垂径定理得到AH＝BH，而OC＝OD，由等腰三角形三线合一的性质得OH平分CD，然后即可证得AC＝BD．
【解答】证明：作OH⊥AB于H，如图，
则AH＝BH，
∵OC＝OD，OH⊥AB，
∴CH＝DH，
∴CH﹣AH＝DH﹣BH，
即AC＝BD．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形三线合一的性质．
【变式8-2】（2020秋•金州区校级期末）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AD＝BC．
【分析】过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质可知AE＝BE，再由垂径定理可知CE＝DE，故可得出结论．
【解答】证明：过点O作OE⊥AB，
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE，CE＝DE，
∴AE+DE＝BE+CE，即AD＝BC．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
【变式8-3】（2023春•萧县月考）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形；
（2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦．
【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形ADOE是矩形，根据垂径定理得出OD＝OE，即可判定矩形ADOE是正方形；
（2）连接AC，由圆心角、弦的关系可得AB＝CD，由圆周角定理可得∠BAC=12∠BOC＝45°，∠ACD=12∠AOD＝45°，可证AB⊥CD，可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠A＝∠ADO＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB，AC是⊙O的等垂弦，
∴AB＝AC，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE，
∴矩形ADOE是正方形．
（2）证明：设AB交CD于点E，连接AC，
∵OD⊥OA，OC⊥OB，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°，
∴∠AOB＝∠COD，
∴AB＝CD，
∵∠BAC=12∠BOC＝45°，∠ACD=12∠AOD＝45°，
∴∠BEC＝∠ACB+∠BAC＝90°，
∴AB⊥CD，
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴AB，CD是⊙O的等垂弦．
【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理的定义是解题关键．
题型九 利用垂径定理解决实际问题
【例题9】（2023•薛城区二模）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子直径为（ ）
A．10mB．8mC．6mD．5m
【分析】设半径为r，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案．
【解答】解：设半径为rm，则OA＝OC＝rm，
∴OD＝（r﹣2）m，
∵AB＝8m，
∴AD＝4m，
在Rt△ODA 中，有
OA2＝OD2+AD2，即
r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5m，
则该桨轮船的轮子直径为10m．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道OC 垂直平分AB 这个隐藏的条件．
【变式9-1】（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（ ）
A．53mB．2mC．83mD．3m
【分析】取圆心为O，连接OA，由垂径定理设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，由拱高CD＝3m，OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，由垂径定理得出AD＝1m，由勾股定理得出方程r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=53，得出该拱门的半径为53m，即可得出答案．
【解答】解：如图，取圆心为O，连接OA，
设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，
∵拱高CD＝3m，
∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，
∵AB＝2m，
∴AD＝BD=12AB＝1m，
∵OA2＝AD2+OD2，
∴r2＝12+（3﹣r）2，
解得：r=53，
∴该拱门的半径为53m，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的关键．
【变式9-2】（2023•岳麓区校级模拟）把半径为5cm的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若CD＝8cm，则EF的长为（ ）
A．8cmB．7cmC．5cmD．4cm
【分析】设球心为O，过O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，连接OF，结合题意可解得OF＝5cm，OM＝3cm，根据勾股定理求得MF，最后由垂径定理求得结果．
【解答】解：如图，设球心为O，过O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，连接OF，
由题意可知ABCD是矩形，ON＝OF＝5cm，
∵CD＝8cm，
∴MN＝8cm，
∴OM＝MN﹣ON＝8﹣5＝3（cm），
∵MN⊥AD，
∴∠OMF＝90°，EF＝2FM，
∴MF=OF2−OM2=52−32=4(cm)，
∴EF＝2FM＝8cm，
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，涉及到圆的基本性质，勾股定理等知识，掌握求弦长通常运用垂径定理构造直角三角形的方法是解题的关键．
【变式9-3】（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．2米C．(3−5)米D．(3+5)米
【分析】连接OC，OC交AB于D，由垂径定理得AD＝BD=12AB＝2（米），再由勾股定理得OD=5（米），然后求出CD的长即可．
【解答】解：连接OC，OC交AB于D，
由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，
∴AD＝BD=12AB＝2（米），∠ADO＝90°，
∴OD=OA2−AD2=32−22=5（米），
∴CD＝OC﹣OD＝（3−5）米，
即点C到弦AB所在直线的距离是（3−5）米，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
【变式9-4】（2022秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：
（1）拱桥所在的圆的半径；
（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．
【分析】（1）由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，再在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，即可求出半径；
（2）求出ON＝OP﹣PN＝15（m），再由勾股定理可得A′N＝8（m），则A′B′＝2A'N＝16米＞15m，即可得出结论．
【解答】解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，
设半径为xm，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝30m，
∴AM=12AB＝15（m），
在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，
由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣9）2+152，
解得：x＝17，
即拱桥所在的圆的半径为17m；
（2）∵OP＝17m，
∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=OA′2−ON2=172−152=8（m），
∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，
∴不需要采取紧急措施．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用以及勾股定理的应用，利用勾股定理求得圆弧所在的半径是解题的关键，注意方程思想的应用．
题型十 垂径定理与平面直角坐标系的综合应用
【例题10】（2023•城西区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为13，则点P的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（2，3）C．（3，1）D．（2，2）
【分析】作PB⊥AO交AO于B，根据垂径定理可知B是OA的中点，继而求出B的坐标，得出AB的值，可得结论．
【解答】解：作PB⊥AO交AO于B，连接AP，
∵PB⊥AO，
∴B是OA的中点，
∵点A（6，0），
∴AB＝OB＝3，
∵Rt△PBA中，AP=13，AB＝3，
∴PB=(13)2−32=2，
∴P（3，2）．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式10-1】（2022秋•南关区校级期末）如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（ ）
A．﹣3B．3C．4D．6
【分析】过A作AD⊥BC于D，连接AB，根据点B和点C的坐标求出BC，再根据垂径定理求出BD＝CD＝4，根据勾股定理求出AD即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，连接AB，
∵半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），
∴AB＝5，BC＝10﹣2＝8，OB＝2，
∵AD⊥BC，AD过圆心A，
∴CD＝BD＝4，
由勾股定理得：AD=AB2−BD2=52−42=3，
∴点A的横坐标是3，
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能根据垂径定理求出BD＝CD＝4是解此题的关键．
【变式10-2】（2022秋•兴义市期中）如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A．（﹣5，﹣6）B．（﹣4，﹣5）C．（﹣6，﹣4）D．（﹣4，﹣6）
【分析】过A作AB⊥NM于B，连接AM，根据垂径定理求出BN＝BM＝3，根据勾股定理求出AB，求出OB，即可得出答案．
【解答】解：过A作AB⊥NM于B，连接AM，
∵AB过A，
∴MB＝NB，
∵半径为5的⊙A与y轴相交于M（0，﹣3）、N（0，﹣9），
∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，
∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，
由勾股定理得：AB=52−32=4，
∴点A的坐标为（﹣4，﹣6），
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出BM和BN是解此题的关键．
【变式10-3】（2023•沙市区模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣4，﹣2），则点N的坐标为（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1.5，﹣2）D．（1.5，﹣2）
【分析】本题可先设半径的大小，由此得出A点的方程．连接AM、AN根据等腰三角形的性质即可得出AN的长度，再根据两点之间的距离公式即可解出N点的坐标．
【解答】解：分别过点M、N作x轴的垂线，过点A作AB⊥MN，连接AN，则BM＝BN，
设⊙A的半径为r，
则AN＝r，AB＝2，BM＝BN＝4﹣r，
在Rt△ABN中，根据勾股定理，22+（4﹣r）2＝r2，
可得：r＝2.5，
∴BN＝4﹣2.5＝1.5，
则N到y轴的距离为：AO﹣BN＝2.5﹣1.5＝1，
又点N在第三象限，
∴N的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
题型十一 垂径定理综合应用问题
【例题11】（2023春•鼓楼区校级期中）如图，在⊙O中，AB、AD为弦，CD为直径，CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，BN与CD相交于Q．
（1）求证：BQ＝BC；
（2）若BQ＝5，CM＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据CD⊥AB，BN⊥AD，所以∠BNA＝∠BMQ＝90°，可得∠BQM＝∠A，利用圆周角定理得∠C＝∠A，所以∠C＝∠BQM，即可得出结论；
（2）设圆心为O，连接BO，设BO＝r，则OM＝r﹣3，利用勾股定理得BM＝4和42+（r﹣3）2＝r2，即可求出半径．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，
∴∠BNA＝∠BMQ＝90°，
∵∠ABN＝∠ABN，
∴∠BQM＝∠A，
∵BD=BD，
∴∠C＝∠A，
∴∠C＝∠BQM，
∴BQ＝BC；
（2）解：由（1）得BC＝BQ＝5，∠BMC＝∠BMO＝90°
∴在Rt△BMC中，BM=BC2−CM2=52−32=4，
设圆心为O，连接BO，设BO＝r，则OM＝r﹣3，
∴在Rt△BMO中，BM2+OM2＝OB2，
即42+（r﹣3）2＝r2，
解得：r=256，
即⊙O的半径为256．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，正确作出辅助线、灵活运用相关定理是解题的关键，注意勾股定理的应用．
【变式11-1】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
【分析】（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出结论；
（2）过O作OH⊥CD于H，连接OD，由垂径定理得CH＝DH=12CD，再证△OCD是等边三角形，得CD＝OC＝4，则CH＝2，然后由勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：
则CH＝DH=12CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH=OC2−CH2=42−22=23，
∴AH=OA2−OH2=62−(23)2=26，
∴AC＝AH﹣CH＝26−2．
【点评】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
【变式11-2】（2022秋•余杭区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC．
（1）求∠B的度数．
（2）若CE=3，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据垂径定理得出AF＝B，BE＝CE，根据线段垂直平分线性质得出AC＝BC，AB＝BC，求出AC＝BC＝AB，根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出即可；
（2）根据等边三角形的性质得出∠ACB＝60°，根据等边三角形的性质得出∠DCB=12∠ACB＝30°，求出OC＝2OE，再根据勾股定理求出OE即可．
【解答】解：（1）∵AE⊥BC，AE过圆心O，
∴CE＝BE，
∴AC＝AB，
同理AC＝BC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵CD⊥AB，AC＝BC，
∴∠DCB=12∠ACB=30°，
∴OC＝2OE，
∵CE=3，OC2＝OE2+CE2，
即（2OE）2＝OE2+（3）2，
解得：OE＝1（负数舍去），
∴OC＝2OE＝2，
即⊙O的半径为2．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
【变式11-3】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC边上的高AH＝3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）．
（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长．
【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出BH＝4，得出CH＝4，由勾股定理求出CA，当⊙C经过点A时，CP＝CA＝5；
（2）先证明四边形APCE是平行四边形，得出CP＝CE，证出四边形APCE是菱形，得出PA＝CP，设PA＝CP＝x，则PH＝4﹣x，由勾股定理得出方程，解方程求出半径；作CM⊥EF于M，则CM＝AH＝3，由垂径定理得出ME＝MF=12EF，由勾股定理求出ME，即可得出EF的长．
【解答】解：（1）连接AC，如图1所示：∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
∴BH=AB2−AH2=52−32=4，
∴CH＝BC﹣BH＝4，
∴CA=AH2+CH2=5，
当⊙C经过点A时，CP＝CA＝5；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，当AP∥CE时，四边形APCE是平行四边形，
∵CP＝CE，
∴四边形APCE是菱形，
∴PA＝CP，
设PA＝CP＝x，则PH＝4﹣x，
在Rt△APH中，
由勾股定理得：AH2+PH2＝PA2，
即32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x=258，
即⊙C的半径为258，
作CM⊥EF于M，如图2所示：则CM＝AH＝3，ME＝MF=12EF，
在Rt△CEM中，由勾股定理得：ME=CE2−CM2=(258)2−32=78，
∴EF＝2ME=74．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、垂径定理、平行四边形的判定方法、菱形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
解题技巧提炼
1、垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
2、一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
解题技巧提炼
作弦的垂线并连接圆心与弦的一个端点，构造“垂径定理三角形”，利用勾股定理求解.
解题技巧提炼
主要是利用垂径定理以及等腰三角形的性质和三角形的内角和等知识来求解．
解题技巧提炼
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，添加适当的辅助线是解题的关键．利用“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”求最值.
解题技巧提炼
本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题来求范围，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
解题技巧提炼
本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．
解题技巧提炼
当遇到求两平行弦间的距离或者是弓形高的等问题时在没有给出图形的情况下，要进行分类讨论,同时要利用垂径定理和勾股定理来解决问题.
解题技巧提炼
本题考查的是垂径定理，有时需要根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
解题技巧提炼
利用垂径定理建模解决实际问题，先把实际问题转化为几何图形（圆或半圆），巧用弦的一半、圆的半径和过圆心的垂线段组成直角三角形，然后借助勾股定理，列出方程求解.
解题技巧提炼
利用垂径定理在平面直角坐标系中求点的坐标或弦长，一般是过圆心作直线的垂线，由弦心矩、半径、弦长的一半构成直角三角形，然后利用勾股定理及其它几何知识求出点的坐标或线段长.
解题技巧提炼
垂径定理的综合应用问题主要里利用垂径定理、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
解题技巧提炼
1、垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
2、一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
解题技巧提炼
作弦的垂线并连接圆心与弦的一个端点，构造“垂径定理三角形”，利用勾股定理求解.
解题技巧提炼
主要是利用垂径定理以及等腰三角形的性质和三角形的内角和等知识来求解．
解题技巧提炼
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，添加适当的辅助线是解题的关键．利用“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”求最值.
解题技巧提炼
本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题来求范围，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
解题技巧提炼
本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．
解题技巧提炼
当遇到求两平行弦间的距离或者是弓形高的等问题时在没有给出图形的情况下，要进行分类讨论,同时要利用垂径定理和勾股定理来解决问题.
解题技巧提炼
本题考查的是垂径定理，有时需要根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
解题技巧提炼
利用垂径定理建模解决实际问题，先把实际问题转化为几何图形（圆或半圆），巧用弦的一半、圆的半径和过圆心的垂线段组成直角三角形，然后借助勾股定理，列出方程求解.
解题技巧提炼
利用垂径定理在平面直角坐标系中求点的坐标或弦长，一般是过圆心作直线的垂线，由弦心矩、半径、弦长的一半构成直角三角形，然后利用勾股定理及其它几何知识求出点的坐标或线段长.
解题技巧提炼
垂径定理的综合应用问题主要里利用垂径定理、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
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