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初中2.6 正多边形与圆测试题
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这是一份初中2.6 正多边形与圆测试题，共53页。试卷主要包含了6 正多边形与圆，5D．5等内容，欢迎下载使用。
知识点一
正多边形的相关概念
1、正多边形的概念：
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
◆2、正多边形的判定：
一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形.
◆3、正多边形的对称性：
正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形，它的中心就是对称中心.
知识点二
正多边形的有关计算
知识点三
正多边形的画法
◆1、正多边形的画法：把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接
正多边形.
◆2、等分圆周的方法：
（1）用量角器画一个等于360°n 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点；
（2）顺次连接各等分点.
题型一 正多边的相关概念
【例题1】下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形一定是中心对称图形
C．各角相等的圆内接多边形是正多边形
D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径
【变式1-1】下列说法中，错误的是（ ）
A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心
B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径
C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距
D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角
【变式1-2】下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为720°
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
【变式1-3】以下说法正确的是（ ）
A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形
B．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数
C．正n边形的对称轴不一定有n条
D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形
【变式1-4】正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是
A ． 相等B ． 互余C ． 互补D ． 互余或互补
题型二 正多边形与圆中求角度
【例题2】一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个正多边形的外接圆中，它的一条边所对的圆心角为（ ）
A．15°B．60°C．45°D．30°
【变式2-1】（2022春•新昌县期末）如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（ ）
A．18°B．25°C．30°D．45°
【变式2-2】（2023•太原二模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F是 DE 上的动点，则∠AFC的度数为（ ）
A．60°B．72°
C．144°D．随着点F的变化而变化
【变式2-3】（2023•荷塘区二模）如图，以正五边形ABCDE的顶点A为圆心作⊙A分别与边AE、AB交于点F、G，点P是劣弧FG上一点，连接PF、PG，则∠FPG的度数为（ ）
A．116°B．120°C．124°D．126°
【变式2-4】（2022春•株洲期末）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是（ ）
A．36°B．45°C．48°D．60°
【变式2-5】（2023•山西模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，连接AC，点F是CD的中点，过点D作⊙O的切线与AF的延长线相交于点G．
（1）试判断AC与DG的位置关系，并说明理由．
（2）求∠G的度数．
题型三 正多边形与圆中求线段长
【例题3】（2022秋•天河区校级期末）已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距
为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【变式3-1】（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）
A．3B．6C．3D．23
【变式3-2】（2023•玉屏县模拟）如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边BH，GH上．若正方形的边长为6，则正六边形的边长为（ ）
A．2B．4C．4.5D．5
【变式3-3】如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为BC上一点，连接BE，若∠CBE＝15°，BE＝5，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．7B．52C．10D．25
【变式3-4】（2022•邯郸模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式3-5】如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
题型四 正多边形与圆中求半径
【例题4】（2022秋•灵宝市期末）边长为4的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（ ）
A．2B．2C．22D．4
【变式4-1】（2023•武功县模拟）如果一个正六边形的边长等于2cm，那么这个正六边形的半径
等于 cm．
【变式4-2】（2023•武威一模）生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则这个正六边形的半径R和扳手的开口a的值分别是（ ）
A．2cm，23cmB．4cm，43cmC．4cm，23cmD．4cm，3cm
【变式4-3】如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为⊙O的内接正十二边形的一边，CD＝52，求⊙O的半径．
题型五 正多边形与圆中求周长
【例题5】（2023•雁塔区校级四模）如图，已知圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG等于33，则⊙O的周长等于 ．
【变式5-1】（2022秋•同心县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为 cm．
【变式5-2】（2023•苏州模拟）已知正六边形的半径为3，则它的周长＝ ．
【变式5-3】（2022秋•镇江期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延长AB到D，连接CD，AC＝CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）以BC为边的圆内接正多边形的周长等于 ．
题型六 正多边形与圆中求面积
【例题6】（2022秋•香坊区校级月考）若圆的内接正六边形的边心距是23，则该六边形的面积是 ．
【变式6-1】（2023•张家口四模）如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的面积为（ ）
A．23B．33C．833D．1033
【变式6-2】圆内接正方形的面积为a，则圆的面积为（ ）
A．πa2B．2πaC．πa22D．πa2
【变式6-3】（2023•南山区二模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程 中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（ ）
A．πB．2πC．24D．22
题型七 正多边形与圆中的证明
【例题7】（2022秋•定西期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AM=DM，求证：BM＝CM．
【变式7-1】（2022秋•赣州期中）如图，点M、N分别在正五边形ABCDE的边BC，CD上，BM＝CN，连接AM，BN相交于H．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠AHB的度数．
【变式7-2】（2023•鼓楼区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE＝OF，且点C、E、F在一条直线上，EF与⊙O相切于点C．
（1）求证：矩形ABCD是正方形；
（2）若OF＝10，则正方形ABCD的面积是 ．
【变式7-3】（2023•静安区二模）如图，在矩形ABCD中，点P是边BC的中点，⊙O是△PAD的外接圆，⊙O交边AB与于点E．
（1）求证：PA＝PD；
（2）当AE是以点O为中心的正六边形的一边时，求证：AE=EP．
题型八 正多边形与圆中的规律探究问题
【例题8】（1）如图1，△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是CA上一点，BM＝CN，BN、AM相交于点Q，求∠BQM的度数；
（2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形ABCD（如图2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，“点N是CA上一点”变为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定∠BQM的度数，并直接将结论填入下表：
【变式8-1】如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中∠APB的度数是 ，图③中∠APB的度数是 ；
（3）若推广到一般的正n边形情况，请写出∠APB的度数是 ．
【变式8-2】已知点P，Q分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE……正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BP＝CQ，连接OP，OQ．
（1）求图1中∠POQ的度数；
（2）图2中∠POQ的度数是 ，图3中∠POQ的度数是 ；
（3）试探究∠POQ的度数与正n边形边数n的关系．（直接写出答案）
（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》
2.6 正多边形与圆
知识点一
正多边形的相关概念
1、正多边形的概念：
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
◆2、正多边形的判定：
一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形.
◆3、正多边形的对称性：
正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形，它的中心就是对称中心.
知识点二
正多边形的有关计算
知识点三
正多边形的画法
◆1、正多边形的画法：把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接
正多边形.
◆2、等分圆周的方法：
（1）用量角器画一个等于360°n 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点；
（2）顺次连接各等分点.
题型一 正多边的相关概念
【例题1】下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形一定是中心对称图形
C．各角相等的圆内接多边形是正多边形
D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径
【分析】根据正多边的定义对A进行判断；根据正多边的性质对B进行判断；利用矩形对C进行判断；根据正多边形的半径对D进行判断．
【解答】解：A、各边相等，各内角相等的多边形是正多边形，所以A选项错误；
B、当正多边形的边数为偶数时，它一定是中心对称，所以B选项错误；
C、各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，若圆的内接矩形，所以C选项错误；
D、正多边形外接圆的半径是正多边形的半径，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
【变式1-1】下列说法中，错误的是（ ）
A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心
B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径
C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距
D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角
【分析】根据正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念进行判断即可．
【解答】解：A、正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心，说法正确，不合题意；
B、正多边形的外接圆的半径，就是它的半径，说法正确，不合题意；
C、正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距，说法正确，不合题意；
D、正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角，说法错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念是解题的关键．
【变式1-2】下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为720°
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义可判断选项A，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；
根据多边形的内角和公式可判断选项B，多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）；
根据正多边形与圆的关系可判断选项C；
根据多边形的内角与外角可判断选项D．
【解答】解：A．正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．任意多边形的外角和为360°，故本选项不合题意；
C．任何正多边形都有且只有一个外接圆，故本选项符合题意；
D．正三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，轴对称图形以及多边形内角与外角，熟记相关定义是解答本题的关键．
【变式1-3】以下说法正确的是（ ）
A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形
B．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数
C．正n边形的对称轴不一定有n条
D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形
【分析】正多边形各边相等，各角相等，正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴；正n边形的边数为偶数时才既是轴对称图形又是中心对称图形．
【解答】解：A、因为每个角都是120° 的六边形可以是空间六边形；
B、正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数，故B选项正确；
C、正n边形的对称轴一定有n条，故C不符合题意；
D、当正n边形的边数为偶数时才既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正n边形的相关知识，解题的关键是熟记正n边形的性质．
【变式1-4】正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是
A ． 相等B ． 互余C ． 互补D ． 互余或互补
【分析】可设正多边形是正n边形， 则它的一边所对的中心角是360°n，进而由多边形外角和为360°，用含n的式子表示它的一个外角， 即可求出答案 ．
【解答】解： 设正多边形是正n边形， 则它的一边所对的中心角是360°n，
正多边形的外角和是360°，则每个外角也是360°n，
所以正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角相等．
故选：A．
【点评】本题主要考查多边形的外角和定理与正多边形的性质： 每边所对的中
心角相等 ．
题型二 正多边形与圆中求角度
【例题2】一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个正多边形的外接圆中，它的一条边所对的圆心角为（ ）
A．15°B．60°C．45°D．30°
【分析】根据多边形的外角和为360°，又由正多边形的每一个外角都相等，求出多边形的边数，根据圆心角为360°，即可解答．
【解答】解：正多边形的边数为：360÷30＝12，
这个正多边形的外接圆中，它的一条边所对的圆心角为：360°÷12＝30°，
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟记多边形的内角与外角．
【变式2-1】（2022春•新昌县期末）如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（ ）
A．18°B．25°C．30°D．45°
【分析】根据多边形内角和公式求出正三角形、正六边形每个内角的度数，再求出答案即可．
【解答】解：∵正方形的每个内角的度数是90°，正六边形的每个内角的度数是(6−2)×180°6=120°，
∴∠1＝120°﹣90°＝30°，
故选C．
【点评】本题考查了正多边形和圆，多边形的内角和外角等知识点，能分别求出正三角形、正六边形每个内角的度数是解此题的关键．
【变式2-2】（2023•太原二模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F是 DE 上的动点，则∠AFC的度数为（ ）
A．60°B．72°
C．144°D．随着点F的变化而变化
【分析】求出正五边形的中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可，
【解答】解：如图，连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB＝∠BOC=360°5=72°，
∴∠AOC＝72°+72°＝144°，
∴∠AFC=12∠AOC＝72°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，求出正五边形的中心角的度数，掌握圆周角定理是正确解答的前提．
【变式2-3】（2023•荷塘区二模）如图，以正五边形ABCDE的顶点A为圆心作⊙A分别与边AE、AB交于点F、G，点P是劣弧FG上一点，连接PF、PG，则∠FPG的度数为（ ）
A．116°B．120°C．124°D．126°
【分析】根据正多边形的内角和公式得到正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，求得∠A＝108°，在⊙A上取一点M，连接FM、GM，根据圆周角定理得到∠FMG=12∠A＝54°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠A＝108°，
在⊙A上取一点M，
连接FM、GM，
∴∠FMG=12∠A＝54°，
∴∠P＝180°﹣∠FMG＝126°，
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
【变式2-4】（2022春•株洲期末）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是（ ）
A．36°B．45°C．48°D．60°
【分析】如图，连接AO．利用正多边形的性质求出∠AOM，∠AOB，可得结论．
【解答】解：如图，连接AO．
∵△AMN是等边三角形，
∴∠ANM＝60°，
∴∠AOM＝2∠ANM＝120°，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOB=360°5=72°，
∴∠BOM＝120°﹣72°＝48°．
故选：C．
【点评】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．
【变式2-5】（2023•山西模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，连接AC，点F是CD的中点，过点D作⊙O的切线与AF的延长线相交于点G．
（1）试判断AC与DG的位置关系，并说明理由．
（2）求∠G的度数．
【分析】（1）如图，连接OD，根据正方形的性质得到∠AOD＝90°，根据切线的性质得到OD⊥DG，∠ODG＝90°，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，DA＝DC，求得∠CAD＝45°．根据平行线的自己看得到结论．
【解答】解：（1）AC∥DG，
理由：连接OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵DG与⊙O相切于点D，
∴∠ODG＝90°，
∴∠AOD＝∠ODG，
∴AC∥DG；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，DA＝DC，
∴∠CAD＝45°．
∵点F是CD的中点，
∴DF=CF，
∴∠CAF＝∠FAD＝22.5°，
∵AC∥DG，
∴∠G＝∠CAF＝22.5°．
【点评】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
题型三 正多边形与圆中求线段长
【例题3】（2022秋•天河区校级期末）已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距
为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【分析】构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
【解答】解：连接OA，作OM⊥AB，则∠AOM＝30°，OA＝2，
∴AM＝1，
根据勾股定理可得OM=OA2−AM2=22−12=3，
∴正六边形的边心距是3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆、勾股定理，正确掌握正六边形的性质是解题关键．
【变式3-1】（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）
A．3B．6C．3D．23
【分析】连接OB、OC，根据⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径OB＝OC＝3，而六边形ABCDEF是正六边形，即知∠BOC=360°6=60°，△BOC是等边三角形，即可得正六边形的边长为3．
【解答】解：连接OB、OC，如图：
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径OB＝OC=6π2π=3，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=360°6=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝3，
即正六边形的边长为3，
故选：C．
【点评】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于60°，从而得到△BOC是等边三角形．
【变式3-2】（2023•玉屏县模拟）如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边BH，GH上．若正方形的边长为6，则正六边形的边长为（ ）
A．2B．4C．4.5D．5
【分析】根据正多边形的性质和直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半可以求得AF的长．
【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝120°，
∴∠HAF＝60°，
∵∠AHF＝90°，
∴∠AFH＝30°，
∴AF＝2AH，
∴x＝2（6﹣x），
解得x＝4，
∴AB＝4，
即正六边形ABCDEF的边长为4，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式3-3】如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为BC上一点，连接BE，若∠CBE＝15°，BE＝5，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．7B．52C．10D．25
【分析】连接OA，OB，OE，由圆内接四边形的性质可得到OA＝OB＝OE，∠AOB＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，进而证得△OBE是等边三角形，得到OB＝BE＝5，根据勾股定理求出AB，即可得到BC．
【解答】解：连接OA，OB，OE，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OA＝OB＝OE，∠AOB=360°4=90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA=12（180°﹣∠AOB）＝45°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，
∵∠CBE＝15°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB＝BE＝5，
∴OA＝5，
∴AB=OA2+OB2=52，
∴正方形ABCD的边长为52．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，证得△OBE是等边三角形是解决问题的关键．
【变式3-4】（2022•邯郸模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】如图，连接AC，EC．证明△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质求解．
【解答】解：如图，连接AC，EC．
∵ABCDEF是正六边形，
∴△ACE是等边三角形，
∵AB＝4，
∴AC＝CE＝AE＝43，
∵AG＝GE＝23，
∴CG⊥AE，
∴CG=AC2−AG2=(43)2−(23)2=6，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式3-5】如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是BC对的圆周角，∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．
【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理、等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△ABC是等边三角形是关键．
题型四 正多边形与圆中求半径
【例题4】（2022秋•灵宝市期末）边长为4的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（ ）
A．2B．2C．22D．4
【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC中，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：连接OB，OC，
则OC＝OB，∠BOC=360°4=90°，
在Rt△BOC中，OB2+OC2＝BC2，
∵BC＝4，
∴OC＝OB=22．
∴⊙O的半径是22，
故选：C．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．
【变式4-1】（2023•武功县模拟）如果一个正六边形的边长等于2cm，那么这个正六边形的半径
等于 cm．
【分析】根据其性质可知其相邻两条半径与所夹边组成的三角形为等边三角形，即可求出答案．
【解答】解：如图，
根据正六边形的性质可知∠OAB=∠OBA=12×(6−2)×180°6=60°，AO=BO，
∴△AOB为等边三角形，
∴AO＝BO＝AB＝2cm，即正六边形的外接圆半径为2cm．
故答案为：2．
【点评】本题考查正六边形的性质，等边三角形的性质与判定．熟练掌握正六边形的性质是解题关键．
【变式4-2】（2023•武威一模）生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则这个正六边形的半径R和扳手的开口a的值分别是（ ）
A．2cm，23cmB．4cm，43cmC．4cm，23cmD．4cm，3cm
【分析】根据正六边形的性质，边长等于半径R，可得R＝4cm，连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．
【解答】解：依题意一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则R＝4cm，
连接AC，过B作BD⊥AC于D；
∵AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD＝CD；
∵此多边形为正六边形，
∴∠ABC=180°×46=120°，
∴∠ABD=120°2=60°，
∴∠BAD＝30°，AD＝4×32=23，
∴a＝2AD＝43cm．
故选：B．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．
【变式4-3】如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为⊙O的内接正十二边形的一边，CD＝52，求⊙O的半径．
【分析】首先连接OA、OD、OC，由等边△ABC内接于⊙O，CD为内接正十二边形的一边，可求得∠AOC，∠AOD的度数，继而证得△COD是等腰直角三角形，继而求得答案．
【解答】解：连接OB、OD、OC，如图所示：
∵等边△ABC内接于⊙O，CD为内接正十二边形的一边，
∴∠AOC=13×360°＝120°，∠AOD=112×360°＝30°，
∴∠COD＝∠AOC﹣∠BAD＝90°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝OD=22CD=22×52=5，
即⊙O的半径为5．
【点评】此题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键．
题型五 正多边形与圆中求周长
【例题5】（2023•雁塔区校级四模）如图，已知圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG等于33，则⊙O的周长等于 ．
【分析】根据圆内接正六边形的边心距与半径的关系，求出圆的半径，再由圆的周长公式进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，
∵圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG，
∴∠COG=360°6×2=30°，
在Rt△COG中，
∵sin∠COG=OGOC，
∴OC=OGsin∠COG
=33sin30°
＝6，
∴⊙O的周长为2×π×6＝12π．
故答案为：12π．
【点评】本题考查正多边形与圆，掌握圆内接正六边形的边心距与半径的关系是正确解答的前提，求出圆的半径是正确解答的关键．
【变式5-1】（2022秋•同心县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为 cm．
【分析】证明△COD是等边三角形，求出CD＝2cm，可得结论．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠COD＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝2cm，
∴正六边形ABCDEF的周长为12cm．
故答案为：12．
【点评】本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是判断出△COD是等边三角形．
【变式5-2】（2023•苏州模拟）已知正六边形的半径为3，则它的周长＝ ．
【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．
【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长3，
正六边形的周长l＝6a＝63，
故答案为：63．
【点评】本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．
【变式5-3】（2022秋•镇江期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延长AB到D，连接CD，AC＝CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）以BC为边的圆内接正多边形的周长等于 ．
【分析】（1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出∠OCD＝90°即可；
（2）得出以BC为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出BC的长即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵AC＝CCD，
∴∠OAC＝∠ODC＝30°，
∴∠OCD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
即OC⊥CD，
又∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BOC＝60°，
∴以BC为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，
∴BC=12AB＝3，
∴以BC为边的圆内接正六边形的周长为3×6＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提．
题型六 正多边形与圆中求面积
【例题6】（2022秋•香坊区校级月考）若圆的内接正六边形的边心距是23，则该六边形的面积是 ．
【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．
【解答】解：如图，
连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G．
在Rt△AOG中，OG＝23，∠AOG＝30°，
∵OG＝OA•cs 30°，
∴OA=OGcs30°=2332=4，
∴这个正六边形的面积为6×12×4×23=243．
故答案为：243．
【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质及锐角三角函数的定义解答即可．
【变式6-1】（2023•张家口四模）如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的面积为（ ）
A．23B．33C．833D．1033
【分析】根据ABCDEF是边长为4的正六边形，可得CD＝DE＝DF，∠CDE＝∠DEF＝120°，根据三角形内角和定理可得∠CED＝∠ECD＝∠EDF＝∠EFD＝30°，所以∠FEG＝90°，然后利用含30度角的直角三角形可得EG的长，进而可以解决问题．
【解答】解：∵ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴CD＝DE＝DF，∠CDE＝∠DEF＝120°，
∴∠CED＝∠ECD＝∠EDF＝∠EFD＝30°，
∴∠FEG＝90°，
∵EF＝4，
∴EG=33EF=433，
∴△GEF的面积=12×EF•GE=12×4×433=833．
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解决本题的关键是掌握正六边形的性质．
【变式6-2】圆内接正方形的面积为a，则圆的面积为（ ）
A．πa2B．2πaC．πa22D．πa2
【分析】经过圆心O作圆的内接正方形的一边AB的垂线OC，垂足是C，连接OA，则在Rt△OAC中，∠O=180°n，OC是边心距r，OA即半径R．AB＝2AC＝a，解直角三角形即可求出OA．
【解答】解：如图，AB是圆内接正方形的边长，O是圆心，OA是⊙O的半径，
过圆心O作OC⊥AB于C，
则∠AOC=12×360°4=45°，AC＝BC，
∴∠OAC＝90°﹣∠AOC＝45°，
∴∠AOC＝∠OAC，
∴AC＝OC，
∵圆内接正方形的面积为a，
∴正方形的边长为AB=a，
∴AC＝OC=a2，
在Rt△AOC中，OA=AC2+OC2=(a2)2+(a2)2=2a2，
∴正方形的外接圆的半径为2a2，
∴圆的面积为πa2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，正确作出辅助线构造出Rt△AOC是解决问题的关键．
【变式6-3】（2023•南山区二模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程 中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（ ）
A．πB．2πC．24D．22
【分析】如图，过A作AC⊥OB于C，得到圆的内接正八边形的圆心角为360°8=45°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，过A作AC⊥OB于C，
∵圆的内接正八边形的圆心角为360°8=45°，OA＝1，
∴AC＝OC=22，
∴S△OAB=12×1×22=24，
∴这个圆的内接正八边形的面积为8×24=22，
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
题型七 正多边形与圆中的证明
【例题7】（2022秋•定西期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AM=DM，求证：BM＝CM．
【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴AB=CD，
∵AM=DM，
∴AB+AM=CD+DM，即BM=CM，
∴BM＝CM．
【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
【变式7-1】（2022秋•赣州期中）如图，点M、N分别在正五边形ABCDE的边BC，CD上，BM＝CN，连接AM，BN相交于H．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠AHB的度数．
【分析】（1）先由正五边形的性质得出AB＝BC，∠ABM＝∠C，再根据SAS证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得∠BAM＝∠CBN，再根据三角形的内角和定理进行求解即可．
【解答】（1）证明：∵正五边形ABCDE，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，
∴在△ABM和△BCN中，
AB=BC∠ABM=∠CBM=CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）解：由（1）可知△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BAM+∠ABH＝∠CBN+∠ABH＝∠ABC＝108°，
∴∠AHB＝180°﹣（∠BAM+∠ABH）＝72°．
【点评】本题考查了正多边形，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式7-2】（2023•鼓楼区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE＝OF，且点C、E、F在一条直线上，EF与⊙O相切于点C．
（1）求证：矩形ABCD是正方形；
（2）若OF＝10，则正方形ABCD的面积是 ．
【分析】（1）连接AC，证明△AOF≌△AOE（SAS），可得AF＝AE，然后证明AB＝CB，即可解决问题；
（2）根据勾股定理求出OC＝25，进而可以求出正方形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形，
∴AC是⊙O的直径，
∵EF与⊙O相切于点C，
∴AC⊥EF，
∵OE＝OF，
∴CF＝CE，∠FOC＝∠EOC，
∴∠AOF＝∠AOE，
∵OA＝OA，
∴△AOF≌△AOE（SAS），
∴AF＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAE＝90°，
∴AC=12EF＝CF＝CE，
∴∠CAE＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝CB，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）解：∵OC=12AC，AC＝CF，
∴CF＝2OC，
∵OF＝10，OF2＝OC2+CF2，
∴102＝OC2+4OC2，
∴OC＝25，
∴AB=22OC=10，
∴AB2＝10，
∴正方形ABCD的面积是10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，矩形的性质，正方形的判定与性质，切线的性质，解题关键是利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．
【变式7-3】（2023•静安区二模）如图，在矩形ABCD中，点P是边BC的中点，⊙O是△PAD的外接圆，⊙O交边AB与于点E．
（1）求证：PA＝PD；
（2）当AE是以点O为中心的正六边形的一边时，求证：AE=EP．
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，根据线段中点的定义PB＝PC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）连接OE，OA，根据正六边形的性质得到∠AOE=360°6=60°，根据等边三角形的性质得到∠AEO＝60°，连接PO并延长交AD于H，连接OD，根据圆心角、弦、弧的关系即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，
∵点P是边BC的中点，
∴PB＝PC，
在△ABP与△DCP中，
AB=DC∠B=∠C=90°PB=PC，
∴△ABP≌△DCP（SAS），
∴PA＝PD；
（2）连接OE，OA，
∵AE是以点O为中心的正六边形的一边，
∴∠AOE=360°6=60°，
∵OA＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AEO＝60°，
连接PO并延长交AD于H，连接OD，
∵PA＝PD．OA＝OD，
∴PH⊥AD，
∴∠BAH＝∠PHD＝90°，
∴AB∥PH，
∴∠EOP＝∠AEO＝∠AOE＝60°，
∴AE=EP．
【点评】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
题型八 正多边形与圆中的规律探究问题
【例题8】（1）如图1，△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是CA上一点，BM＝CN，BN、AM相交于点Q，求∠BQM的度数；
（2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形ABCD（如图2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，“点N是CA上一点”变为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定∠BQM的度数，并直接将结论填入下表：
【分析】（1）根据等边三角形的性质、SAS定理证明△ABM≌△BCN，根据三角形的外角的性质求出∠BQM；
（2）仿照（1）的结论，计算即可．
【解答】解：（1）在△ABM与△BCN中，
AB=BC∠ABC=∠C=60°BM=CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠NBC，
∴∠AQN＝∠BAM+∠ABQ，
＝∠NBC+∠ABQ
＝∠ABM＝60°，
∴∠AQN＝60°．
（2）由（1）可知，∠AQN＝各个多边形的一个角的大小，
所以正方形中∠AQN＝90°，
正五边形中∠AQN＝108°，
正六边形中∠AQN＝120°，
…
正n边形中∠AQN=(n−2)⋅180°n．
故答案为：90°，108°，120°，(n−2)⋅180°n．
【点评】本题考查正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式8-1】如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中∠APB的度数是 ，图③中∠APB的度数是 ；
（3）若推广到一般的正n边形情况，请写出∠APB的度数是 ．
【分析】根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可．
【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠APN＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°
∴∠APB＝180°﹣∠APN＝180°﹣60°＝120°；
（2）90°；72°；
（3）由（1）可知，∠APB＝所在多边形的外角度数，故在图n中，360°n．
【点评】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数．
【变式8-2】已知点P，Q分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE……正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BP＝CQ，连接OP，OQ．
（1）求图1中∠POQ的度数；
（2）图2中∠POQ的度数是 ，图3中∠POQ的度数是 ；
（3）试探究∠POQ的度数与正n边形边数n的关系．（直接写出答案）
【分析】（1）先分别连接OB、OC，由“SAS”可证△OBP≌△OCQ，可得∠BOP＝∠QOC，故∠QOP＝∠BOC，再由圆周角定理即可求出∠BOC＝120°；
（2）同（1）即可解答；
（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答．
【解答】解：（1）连接OB、OC．
∵三角形ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠BCA＝60°，
∵∠BOC=360°3=120°，OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCN=180°−∠BOC2=30°，
∴∠OBP＝∠OCQ，
∵OB＝OC，BM＝CN，
∴△OBP≌△OCQ（SAS），
∴∠BOP＝∠COQ，
∴∠POQ＝∠BOC＝120°，
（2）如图2，连接OB、OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵∠BOC=360°4=90°，OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCQ=180°−∠BOC2=45°，
∴∠OBP＝∠OCQ，
∵OB＝OC，BP＝CQ，
∴△OBP≌△OCQ（SAS），
∴∠BOP＝∠COQ，
∴∠BOC＝∠POQ＝90°．
如图3，连接OB、OC，
∵五边形ABCDE，
∴∠ABC＝∠BCD＝108°，
∵∠BOC=360°5=72°，OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCQ=180°−∠BOC2=54°，
∴∠OBP＝∠OCQ，
∵OB＝OC，BP＝CQ，
∴△OBP≌OCQ（SAS），
∴∠BOP＝∠COQ，
∴∠BOC＝∠POQ＝72°．
故答案为：90°，72°；
（3）由（1）可知，∠MON=360°3=120°，
在（2）中，∠POQ=360°4=90°；在（3）中∠POQ=360°5=72°…，
故当n时，∠POQ=360°n．
【点评】本题是圆的综合题，考查的是正多边形和圆，全等三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
名称
定义
正多边形
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
正多边形的外接圆
一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆.
中心
正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.
半径
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
边心距
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
中心角
正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
名称
公式
内角
(n−2)·180°n
中心角
360°n
外角
360°n
正n边形的边长a，半径R，边心距r
R²=r²+（a2）²
周长C
C= n a
面积S
S=12a r·n=12Cr
解题技巧提炼
根据正多边形的相关概念进行判断即可，正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形.
解题技巧提炼
1、正多边形的每个内角=(n−2)·180°n.
2、正多边形的中心角=360°n
3、正多边形的每个外角=360°n
解题技巧提炼
主要考查了正多边形和圆，正六边形的性质、正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确掌握它们的性质是解决问题的关键．
解题技巧提炼
正n边形的边长a，半径R，边心距r ,根据勾股定理得到 它们之间的关系式： R²=r²+（a2）² 解答即可.
解题技巧提炼
正多边形的周长公式：C= n a ，圆的周长公式C= 2πr , 根据正多边的性质求解
即可.
解题技巧提炼
正多边形中求面积用到面积公式S=12a r·n=12Cr，求正多边形的面积是把转化成三角形的面积来计算的.
解题技巧提炼
本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
正多边形
正方形
正五边形
正六边形
…
正n边形
∠BQM的度数
…
解题技巧提炼
本题考查正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
名称
定义
正多边形
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
正多边形的外接圆
一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆.
中心
正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.
半径
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
边心距
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
中心角
正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
名称
公式
内角
(n−2)·180°n
中心角
360°n
外角
360°n
正n边形的边长a，半径R，边心距r
R²=r²+（a2）²
周长C
C= n a
面积S
S=12a r·n=12Cr
解题技巧提炼
根据正多边形的相关概念进行判断即可，正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形.
解题技巧提炼
1、正多边形的每个内角=(n−2)·180°n.
2、正多边形的中心角=360°n
3、正多边形的每个外角=360°n
解题技巧提炼
主要考查了正多边形和圆，正六边形的性质、正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确掌握它们的性质是解决问题的关键．
解题技巧提炼
正n边形的边长a，半径R，边心距r ,根据勾股定理得到 它们之间的关系式： R²=r²+（a2）² 解答即可.
解题技巧提炼
正多边形的周长公式：C= n a ，圆的周长公式C= 2πr , 根据正多边的性质求解
即可.
解题技巧提炼
正多边形中求面积用到面积公式S=12a r·n=12Cr，求正多边形的面积是把转化成三角形的面积来计算的.
解题技巧提炼
本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
正多边形
正方形
正五边形
正六边形
…
正n边形
∠BQM的度数
…
解题技巧提炼
本题考查正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
知识点一
正多边形的相关概念
1、正多边形的概念：
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
◆2、正多边形的判定：
一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形.
◆3、正多边形的对称性：
正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形，它的中心就是对称中心.
知识点二
正多边形的有关计算
知识点三
正多边形的画法
◆1、正多边形的画法：把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接
正多边形.
◆2、等分圆周的方法：
（1）用量角器画一个等于360°n 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点；
（2）顺次连接各等分点.
题型一 正多边的相关概念
【例题1】下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形一定是中心对称图形
C．各角相等的圆内接多边形是正多边形
D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径
【变式1-1】下列说法中，错误的是（ ）
A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心
B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径
C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距
D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角
【变式1-2】下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为720°
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
【变式1-3】以下说法正确的是（ ）
A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形
B．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数
C．正n边形的对称轴不一定有n条
D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形
【变式1-4】正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是
A ． 相等B ． 互余C ． 互补D ． 互余或互补
题型二 正多边形与圆中求角度
【例题2】一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个正多边形的外接圆中，它的一条边所对的圆心角为（ ）
A．15°B．60°C．45°D．30°
【变式2-1】（2022春•新昌县期末）如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（ ）
A．18°B．25°C．30°D．45°
【变式2-2】（2023•太原二模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F是 DE 上的动点，则∠AFC的度数为（ ）
A．60°B．72°
C．144°D．随着点F的变化而变化
【变式2-3】（2023•荷塘区二模）如图，以正五边形ABCDE的顶点A为圆心作⊙A分别与边AE、AB交于点F、G，点P是劣弧FG上一点，连接PF、PG，则∠FPG的度数为（ ）
A．116°B．120°C．124°D．126°
【变式2-4】（2022春•株洲期末）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是（ ）
A．36°B．45°C．48°D．60°
【变式2-5】（2023•山西模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，连接AC，点F是CD的中点，过点D作⊙O的切线与AF的延长线相交于点G．
（1）试判断AC与DG的位置关系，并说明理由．
（2）求∠G的度数．
题型三 正多边形与圆中求线段长
【例题3】（2022秋•天河区校级期末）已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距
为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【变式3-1】（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）
A．3B．6C．3D．23
【变式3-2】（2023•玉屏县模拟）如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边BH，GH上．若正方形的边长为6，则正六边形的边长为（ ）
A．2B．4C．4.5D．5
【变式3-3】如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为BC上一点，连接BE，若∠CBE＝15°，BE＝5，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．7B．52C．10D．25
【变式3-4】（2022•邯郸模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式3-5】如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
题型四 正多边形与圆中求半径
【例题4】（2022秋•灵宝市期末）边长为4的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（ ）
A．2B．2C．22D．4
【变式4-1】（2023•武功县模拟）如果一个正六边形的边长等于2cm，那么这个正六边形的半径
等于 cm．
【变式4-2】（2023•武威一模）生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则这个正六边形的半径R和扳手的开口a的值分别是（ ）
A．2cm，23cmB．4cm，43cmC．4cm，23cmD．4cm，3cm
【变式4-3】如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为⊙O的内接正十二边形的一边，CD＝52，求⊙O的半径．
题型五 正多边形与圆中求周长
【例题5】（2023•雁塔区校级四模）如图，已知圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG等于33，则⊙O的周长等于 ．
【变式5-1】（2022秋•同心县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为 cm．
【变式5-2】（2023•苏州模拟）已知正六边形的半径为3，则它的周长＝ ．
【变式5-3】（2022秋•镇江期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延长AB到D，连接CD，AC＝CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）以BC为边的圆内接正多边形的周长等于 ．
题型六 正多边形与圆中求面积
【例题6】（2022秋•香坊区校级月考）若圆的内接正六边形的边心距是23，则该六边形的面积是 ．
【变式6-1】（2023•张家口四模）如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的面积为（ ）
A．23B．33C．833D．1033
【变式6-2】圆内接正方形的面积为a，则圆的面积为（ ）
A．πa2B．2πaC．πa22D．πa2
【变式6-3】（2023•南山区二模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程 中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（ ）
A．πB．2πC．24D．22
题型七 正多边形与圆中的证明
【例题7】（2022秋•定西期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AM=DM，求证：BM＝CM．
【变式7-1】（2022秋•赣州期中）如图，点M、N分别在正五边形ABCDE的边BC，CD上，BM＝CN，连接AM，BN相交于H．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠AHB的度数．
【变式7-2】（2023•鼓楼区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE＝OF，且点C、E、F在一条直线上，EF与⊙O相切于点C．
（1）求证：矩形ABCD是正方形；
（2）若OF＝10，则正方形ABCD的面积是 ．
【变式7-3】（2023•静安区二模）如图，在矩形ABCD中，点P是边BC的中点，⊙O是△PAD的外接圆，⊙O交边AB与于点E．
（1）求证：PA＝PD；
（2）当AE是以点O为中心的正六边形的一边时，求证：AE=EP．
题型八 正多边形与圆中的规律探究问题
【例题8】（1）如图1，△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是CA上一点，BM＝CN，BN、AM相交于点Q，求∠BQM的度数；
（2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形ABCD（如图2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，“点N是CA上一点”变为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定∠BQM的度数，并直接将结论填入下表：
【变式8-1】如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中∠APB的度数是 ，图③中∠APB的度数是 ；
（3）若推广到一般的正n边形情况，请写出∠APB的度数是 ．
【变式8-2】已知点P，Q分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE……正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BP＝CQ，连接OP，OQ．
（1）求图1中∠POQ的度数；
（2）图2中∠POQ的度数是 ，图3中∠POQ的度数是 ；
（3）试探究∠POQ的度数与正n边形边数n的关系．（直接写出答案）
（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》
2.6 正多边形与圆
知识点一
正多边形的相关概念
1、正多边形的概念：
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
◆2、正多边形的判定：
一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形.
◆3、正多边形的对称性：
正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形，它的中心就是对称中心.
知识点二
正多边形的有关计算
知识点三
正多边形的画法
◆1、正多边形的画法：把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接
正多边形.
◆2、等分圆周的方法：
（1）用量角器画一个等于360°n 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点；
（2）顺次连接各等分点.
题型一 正多边的相关概念
【例题1】下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形一定是中心对称图形
C．各角相等的圆内接多边形是正多边形
D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径
【分析】根据正多边的定义对A进行判断；根据正多边的性质对B进行判断；利用矩形对C进行判断；根据正多边形的半径对D进行判断．
【解答】解：A、各边相等，各内角相等的多边形是正多边形，所以A选项错误；
B、当正多边形的边数为偶数时，它一定是中心对称，所以B选项错误；
C、各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，若圆的内接矩形，所以C选项错误；
D、正多边形外接圆的半径是正多边形的半径，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
【变式1-1】下列说法中，错误的是（ ）
A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心
B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径
C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距
D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角
【分析】根据正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念进行判断即可．
【解答】解：A、正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心，说法正确，不合题意；
B、正多边形的外接圆的半径，就是它的半径，说法正确，不合题意；
C、正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距，说法正确，不合题意；
D、正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角，说法错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念是解题的关键．
【变式1-2】下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为720°
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义可判断选项A，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；
根据多边形的内角和公式可判断选项B，多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）；
根据正多边形与圆的关系可判断选项C；
根据多边形的内角与外角可判断选项D．
【解答】解：A．正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．任意多边形的外角和为360°，故本选项不合题意；
C．任何正多边形都有且只有一个外接圆，故本选项符合题意；
D．正三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，轴对称图形以及多边形内角与外角，熟记相关定义是解答本题的关键．
【变式1-3】以下说法正确的是（ ）
A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形
B．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数
C．正n边形的对称轴不一定有n条
D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形
【分析】正多边形各边相等，各角相等，正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴；正n边形的边数为偶数时才既是轴对称图形又是中心对称图形．
【解答】解：A、因为每个角都是120° 的六边形可以是空间六边形；
B、正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数，故B选项正确；
C、正n边形的对称轴一定有n条，故C不符合题意；
D、当正n边形的边数为偶数时才既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正n边形的相关知识，解题的关键是熟记正n边形的性质．
【变式1-4】正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是
A ． 相等B ． 互余C ． 互补D ． 互余或互补
【分析】可设正多边形是正n边形， 则它的一边所对的中心角是360°n，进而由多边形外角和为360°，用含n的式子表示它的一个外角， 即可求出答案 ．
【解答】解： 设正多边形是正n边形， 则它的一边所对的中心角是360°n，
正多边形的外角和是360°，则每个外角也是360°n，
所以正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角相等．
故选：A．
【点评】本题主要考查多边形的外角和定理与正多边形的性质： 每边所对的中
心角相等 ．
题型二 正多边形与圆中求角度
【例题2】一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个正多边形的外接圆中，它的一条边所对的圆心角为（ ）
A．15°B．60°C．45°D．30°
【分析】根据多边形的外角和为360°，又由正多边形的每一个外角都相等，求出多边形的边数，根据圆心角为360°，即可解答．
【解答】解：正多边形的边数为：360÷30＝12，
这个正多边形的外接圆中，它的一条边所对的圆心角为：360°÷12＝30°，
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟记多边形的内角与外角．
【变式2-1】（2022春•新昌县期末）如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（ ）
A．18°B．25°C．30°D．45°
【分析】根据多边形内角和公式求出正三角形、正六边形每个内角的度数，再求出答案即可．
【解答】解：∵正方形的每个内角的度数是90°，正六边形的每个内角的度数是(6−2)×180°6=120°，
∴∠1＝120°﹣90°＝30°，
故选C．
【点评】本题考查了正多边形和圆，多边形的内角和外角等知识点，能分别求出正三角形、正六边形每个内角的度数是解此题的关键．
【变式2-2】（2023•太原二模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F是 DE 上的动点，则∠AFC的度数为（ ）
A．60°B．72°
C．144°D．随着点F的变化而变化
【分析】求出正五边形的中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可，
【解答】解：如图，连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB＝∠BOC=360°5=72°，
∴∠AOC＝72°+72°＝144°，
∴∠AFC=12∠AOC＝72°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，求出正五边形的中心角的度数，掌握圆周角定理是正确解答的前提．
【变式2-3】（2023•荷塘区二模）如图，以正五边形ABCDE的顶点A为圆心作⊙A分别与边AE、AB交于点F、G，点P是劣弧FG上一点，连接PF、PG，则∠FPG的度数为（ ）
A．116°B．120°C．124°D．126°
【分析】根据正多边形的内角和公式得到正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，求得∠A＝108°，在⊙A上取一点M，连接FM、GM，根据圆周角定理得到∠FMG=12∠A＝54°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠A＝108°，
在⊙A上取一点M，
连接FM、GM，
∴∠FMG=12∠A＝54°，
∴∠P＝180°﹣∠FMG＝126°，
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
【变式2-4】（2022春•株洲期末）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是（ ）
A．36°B．45°C．48°D．60°
【分析】如图，连接AO．利用正多边形的性质求出∠AOM，∠AOB，可得结论．
【解答】解：如图，连接AO．
∵△AMN是等边三角形，
∴∠ANM＝60°，
∴∠AOM＝2∠ANM＝120°，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOB=360°5=72°，
∴∠BOM＝120°﹣72°＝48°．
故选：C．
【点评】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．
【变式2-5】（2023•山西模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，连接AC，点F是CD的中点，过点D作⊙O的切线与AF的延长线相交于点G．
（1）试判断AC与DG的位置关系，并说明理由．
（2）求∠G的度数．
【分析】（1）如图，连接OD，根据正方形的性质得到∠AOD＝90°，根据切线的性质得到OD⊥DG，∠ODG＝90°，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，DA＝DC，求得∠CAD＝45°．根据平行线的自己看得到结论．
【解答】解：（1）AC∥DG，
理由：连接OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵DG与⊙O相切于点D，
∴∠ODG＝90°，
∴∠AOD＝∠ODG，
∴AC∥DG；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，DA＝DC，
∴∠CAD＝45°．
∵点F是CD的中点，
∴DF=CF，
∴∠CAF＝∠FAD＝22.5°，
∵AC∥DG，
∴∠G＝∠CAF＝22.5°．
【点评】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
题型三 正多边形与圆中求线段长
【例题3】（2022秋•天河区校级期末）已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距
为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【分析】构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
【解答】解：连接OA，作OM⊥AB，则∠AOM＝30°，OA＝2，
∴AM＝1，
根据勾股定理可得OM=OA2−AM2=22−12=3，
∴正六边形的边心距是3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆、勾股定理，正确掌握正六边形的性质是解题关键．
【变式3-1】（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）
A．3B．6C．3D．23
【分析】连接OB、OC，根据⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径OB＝OC＝3，而六边形ABCDEF是正六边形，即知∠BOC=360°6=60°，△BOC是等边三角形，即可得正六边形的边长为3．
【解答】解：连接OB、OC，如图：
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径OB＝OC=6π2π=3，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=360°6=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝3，
即正六边形的边长为3，
故选：C．
【点评】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于60°，从而得到△BOC是等边三角形．
【变式3-2】（2023•玉屏县模拟）如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边BH，GH上．若正方形的边长为6，则正六边形的边长为（ ）
A．2B．4C．4.5D．5
【分析】根据正多边形的性质和直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半可以求得AF的长．
【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝120°，
∴∠HAF＝60°，
∵∠AHF＝90°，
∴∠AFH＝30°，
∴AF＝2AH，
∴x＝2（6﹣x），
解得x＝4，
∴AB＝4，
即正六边形ABCDEF的边长为4，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式3-3】如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为BC上一点，连接BE，若∠CBE＝15°，BE＝5，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．7B．52C．10D．25
【分析】连接OA，OB，OE，由圆内接四边形的性质可得到OA＝OB＝OE，∠AOB＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，进而证得△OBE是等边三角形，得到OB＝BE＝5，根据勾股定理求出AB，即可得到BC．
【解答】解：连接OA，OB，OE，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OA＝OB＝OE，∠AOB=360°4=90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA=12（180°﹣∠AOB）＝45°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，
∵∠CBE＝15°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB＝BE＝5，
∴OA＝5，
∴AB=OA2+OB2=52，
∴正方形ABCD的边长为52．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，证得△OBE是等边三角形是解决问题的关键．
【变式3-4】（2022•邯郸模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】如图，连接AC，EC．证明△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质求解．
【解答】解：如图，连接AC，EC．
∵ABCDEF是正六边形，
∴△ACE是等边三角形，
∵AB＝4，
∴AC＝CE＝AE＝43，
∵AG＝GE＝23，
∴CG⊥AE，
∴CG=AC2−AG2=(43)2−(23)2=6，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式3-5】如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是BC对的圆周角，∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．
【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理、等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△ABC是等边三角形是关键．
题型四 正多边形与圆中求半径
【例题4】（2022秋•灵宝市期末）边长为4的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（ ）
A．2B．2C．22D．4
【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC中，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：连接OB，OC，
则OC＝OB，∠BOC=360°4=90°，
在Rt△BOC中，OB2+OC2＝BC2，
∵BC＝4，
∴OC＝OB=22．
∴⊙O的半径是22，
故选：C．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．
【变式4-1】（2023•武功县模拟）如果一个正六边形的边长等于2cm，那么这个正六边形的半径
等于 cm．
【分析】根据其性质可知其相邻两条半径与所夹边组成的三角形为等边三角形，即可求出答案．
【解答】解：如图，
根据正六边形的性质可知∠OAB=∠OBA=12×(6−2)×180°6=60°，AO=BO，
∴△AOB为等边三角形，
∴AO＝BO＝AB＝2cm，即正六边形的外接圆半径为2cm．
故答案为：2．
【点评】本题考查正六边形的性质，等边三角形的性质与判定．熟练掌握正六边形的性质是解题关键．
【变式4-2】（2023•武威一模）生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则这个正六边形的半径R和扳手的开口a的值分别是（ ）
A．2cm，23cmB．4cm，43cmC．4cm，23cmD．4cm，3cm
【分析】根据正六边形的性质，边长等于半径R，可得R＝4cm，连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．
【解答】解：依题意一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则R＝4cm，
连接AC，过B作BD⊥AC于D；
∵AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD＝CD；
∵此多边形为正六边形，
∴∠ABC=180°×46=120°，
∴∠ABD=120°2=60°，
∴∠BAD＝30°，AD＝4×32=23，
∴a＝2AD＝43cm．
故选：B．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．
【变式4-3】如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为⊙O的内接正十二边形的一边，CD＝52，求⊙O的半径．
【分析】首先连接OA、OD、OC，由等边△ABC内接于⊙O，CD为内接正十二边形的一边，可求得∠AOC，∠AOD的度数，继而证得△COD是等腰直角三角形，继而求得答案．
【解答】解：连接OB、OD、OC，如图所示：
∵等边△ABC内接于⊙O，CD为内接正十二边形的一边，
∴∠AOC=13×360°＝120°，∠AOD=112×360°＝30°，
∴∠COD＝∠AOC﹣∠BAD＝90°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝OD=22CD=22×52=5，
即⊙O的半径为5．
【点评】此题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键．
题型五 正多边形与圆中求周长
【例题5】（2023•雁塔区校级四模）如图，已知圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG等于33，则⊙O的周长等于 ．
【分析】根据圆内接正六边形的边心距与半径的关系，求出圆的半径，再由圆的周长公式进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，
∵圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG，
∴∠COG=360°6×2=30°，
在Rt△COG中，
∵sin∠COG=OGOC，
∴OC=OGsin∠COG
=33sin30°
＝6，
∴⊙O的周长为2×π×6＝12π．
故答案为：12π．
【点评】本题考查正多边形与圆，掌握圆内接正六边形的边心距与半径的关系是正确解答的前提，求出圆的半径是正确解答的关键．
【变式5-1】（2022秋•同心县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为 cm．
【分析】证明△COD是等边三角形，求出CD＝2cm，可得结论．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠COD＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝2cm，
∴正六边形ABCDEF的周长为12cm．
故答案为：12．
【点评】本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是判断出△COD是等边三角形．
【变式5-2】（2023•苏州模拟）已知正六边形的半径为3，则它的周长＝ ．
【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．
【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长3，
正六边形的周长l＝6a＝63，
故答案为：63．
【点评】本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．
【变式5-3】（2022秋•镇江期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延长AB到D，连接CD，AC＝CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）以BC为边的圆内接正多边形的周长等于 ．
【分析】（1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出∠OCD＝90°即可；
（2）得出以BC为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出BC的长即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵AC＝CCD，
∴∠OAC＝∠ODC＝30°，
∴∠OCD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
即OC⊥CD，
又∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BOC＝60°，
∴以BC为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，
∴BC=12AB＝3，
∴以BC为边的圆内接正六边形的周长为3×6＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提．
题型六 正多边形与圆中求面积
【例题6】（2022秋•香坊区校级月考）若圆的内接正六边形的边心距是23，则该六边形的面积是 ．
【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．
【解答】解：如图，
连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G．
在Rt△AOG中，OG＝23，∠AOG＝30°，
∵OG＝OA•cs 30°，
∴OA=OGcs30°=2332=4，
∴这个正六边形的面积为6×12×4×23=243．
故答案为：243．
【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质及锐角三角函数的定义解答即可．
【变式6-1】（2023•张家口四模）如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的面积为（ ）
A．23B．33C．833D．1033
【分析】根据ABCDEF是边长为4的正六边形，可得CD＝DE＝DF，∠CDE＝∠DEF＝120°，根据三角形内角和定理可得∠CED＝∠ECD＝∠EDF＝∠EFD＝30°，所以∠FEG＝90°，然后利用含30度角的直角三角形可得EG的长，进而可以解决问题．
【解答】解：∵ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴CD＝DE＝DF，∠CDE＝∠DEF＝120°，
∴∠CED＝∠ECD＝∠EDF＝∠EFD＝30°，
∴∠FEG＝90°，
∵EF＝4，
∴EG=33EF=433，
∴△GEF的面积=12×EF•GE=12×4×433=833．
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解决本题的关键是掌握正六边形的性质．
【变式6-2】圆内接正方形的面积为a，则圆的面积为（ ）
A．πa2B．2πaC．πa22D．πa2
【分析】经过圆心O作圆的内接正方形的一边AB的垂线OC，垂足是C，连接OA，则在Rt△OAC中，∠O=180°n，OC是边心距r，OA即半径R．AB＝2AC＝a，解直角三角形即可求出OA．
【解答】解：如图，AB是圆内接正方形的边长，O是圆心，OA是⊙O的半径，
过圆心O作OC⊥AB于C，
则∠AOC=12×360°4=45°，AC＝BC，
∴∠OAC＝90°﹣∠AOC＝45°，
∴∠AOC＝∠OAC，
∴AC＝OC，
∵圆内接正方形的面积为a，
∴正方形的边长为AB=a，
∴AC＝OC=a2，
在Rt△AOC中，OA=AC2+OC2=(a2)2+(a2)2=2a2，
∴正方形的外接圆的半径为2a2，
∴圆的面积为πa2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，正确作出辅助线构造出Rt△AOC是解决问题的关键．
【变式6-3】（2023•南山区二模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程 中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（ ）
A．πB．2πC．24D．22
【分析】如图，过A作AC⊥OB于C，得到圆的内接正八边形的圆心角为360°8=45°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，过A作AC⊥OB于C，
∵圆的内接正八边形的圆心角为360°8=45°，OA＝1，
∴AC＝OC=22，
∴S△OAB=12×1×22=24，
∴这个圆的内接正八边形的面积为8×24=22，
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
题型七 正多边形与圆中的证明
【例题7】（2022秋•定西期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AM=DM，求证：BM＝CM．
【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴AB=CD，
∵AM=DM，
∴AB+AM=CD+DM，即BM=CM，
∴BM＝CM．
【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
【变式7-1】（2022秋•赣州期中）如图，点M、N分别在正五边形ABCDE的边BC，CD上，BM＝CN，连接AM，BN相交于H．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠AHB的度数．
【分析】（1）先由正五边形的性质得出AB＝BC，∠ABM＝∠C，再根据SAS证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得∠BAM＝∠CBN，再根据三角形的内角和定理进行求解即可．
【解答】（1）证明：∵正五边形ABCDE，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，
∴在△ABM和△BCN中，
AB=BC∠ABM=∠CBM=CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）解：由（1）可知△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BAM+∠ABH＝∠CBN+∠ABH＝∠ABC＝108°，
∴∠AHB＝180°﹣（∠BAM+∠ABH）＝72°．
【点评】本题考查了正多边形，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式7-2】（2023•鼓楼区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE＝OF，且点C、E、F在一条直线上，EF与⊙O相切于点C．
（1）求证：矩形ABCD是正方形；
（2）若OF＝10，则正方形ABCD的面积是 ．
【分析】（1）连接AC，证明△AOF≌△AOE（SAS），可得AF＝AE，然后证明AB＝CB，即可解决问题；
（2）根据勾股定理求出OC＝25，进而可以求出正方形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形，
∴AC是⊙O的直径，
∵EF与⊙O相切于点C，
∴AC⊥EF，
∵OE＝OF，
∴CF＝CE，∠FOC＝∠EOC，
∴∠AOF＝∠AOE，
∵OA＝OA，
∴△AOF≌△AOE（SAS），
∴AF＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAE＝90°，
∴AC=12EF＝CF＝CE，
∴∠CAE＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝CB，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）解：∵OC=12AC，AC＝CF，
∴CF＝2OC，
∵OF＝10，OF2＝OC2+CF2，
∴102＝OC2+4OC2，
∴OC＝25，
∴AB=22OC=10，
∴AB2＝10，
∴正方形ABCD的面积是10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，矩形的性质，正方形的判定与性质，切线的性质，解题关键是利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．
【变式7-3】（2023•静安区二模）如图，在矩形ABCD中，点P是边BC的中点，⊙O是△PAD的外接圆，⊙O交边AB与于点E．
（1）求证：PA＝PD；
（2）当AE是以点O为中心的正六边形的一边时，求证：AE=EP．
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，根据线段中点的定义PB＝PC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）连接OE，OA，根据正六边形的性质得到∠AOE=360°6=60°，根据等边三角形的性质得到∠AEO＝60°，连接PO并延长交AD于H，连接OD，根据圆心角、弦、弧的关系即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，
∵点P是边BC的中点，
∴PB＝PC，
在△ABP与△DCP中，
AB=DC∠B=∠C=90°PB=PC，
∴△ABP≌△DCP（SAS），
∴PA＝PD；
（2）连接OE，OA，
∵AE是以点O为中心的正六边形的一边，
∴∠AOE=360°6=60°，
∵OA＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AEO＝60°，
连接PO并延长交AD于H，连接OD，
∵PA＝PD．OA＝OD，
∴PH⊥AD，
∴∠BAH＝∠PHD＝90°，
∴AB∥PH，
∴∠EOP＝∠AEO＝∠AOE＝60°，
∴AE=EP．
【点评】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
题型八 正多边形与圆中的规律探究问题
【例题8】（1）如图1，△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是CA上一点，BM＝CN，BN、AM相交于点Q，求∠BQM的度数；
（2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形ABCD（如图2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，“点N是CA上一点”变为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定∠BQM的度数，并直接将结论填入下表：
【分析】（1）根据等边三角形的性质、SAS定理证明△ABM≌△BCN，根据三角形的外角的性质求出∠BQM；
（2）仿照（1）的结论，计算即可．
【解答】解：（1）在△ABM与△BCN中，
AB=BC∠ABC=∠C=60°BM=CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠NBC，
∴∠AQN＝∠BAM+∠ABQ，
＝∠NBC+∠ABQ
＝∠ABM＝60°，
∴∠AQN＝60°．
（2）由（1）可知，∠AQN＝各个多边形的一个角的大小，
所以正方形中∠AQN＝90°，
正五边形中∠AQN＝108°，
正六边形中∠AQN＝120°，
…
正n边形中∠AQN=(n−2)⋅180°n．
故答案为：90°，108°，120°，(n−2)⋅180°n．
【点评】本题考查正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式8-1】如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中∠APB的度数是 ，图③中∠APB的度数是 ；
（3）若推广到一般的正n边形情况，请写出∠APB的度数是 ．
【分析】根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可．
【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠APN＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°
∴∠APB＝180°﹣∠APN＝180°﹣60°＝120°；
（2）90°；72°；
（3）由（1）可知，∠APB＝所在多边形的外角度数，故在图n中，360°n．
【点评】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数．
【变式8-2】已知点P，Q分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE……正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BP＝CQ，连接OP，OQ．
（1）求图1中∠POQ的度数；
（2）图2中∠POQ的度数是 ，图3中∠POQ的度数是 ；
（3）试探究∠POQ的度数与正n边形边数n的关系．（直接写出答案）
【分析】（1）先分别连接OB、OC，由“SAS”可证△OBP≌△OCQ，可得∠BOP＝∠QOC，故∠QOP＝∠BOC，再由圆周角定理即可求出∠BOC＝120°；
（2）同（1）即可解答；
（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答．
【解答】解：（1）连接OB、OC．
∵三角形ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠BCA＝60°，
∵∠BOC=360°3=120°，OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCN=180°−∠BOC2=30°，
∴∠OBP＝∠OCQ，
∵OB＝OC，BM＝CN，
∴△OBP≌△OCQ（SAS），
∴∠BOP＝∠COQ，
∴∠POQ＝∠BOC＝120°，
（2）如图2，连接OB、OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵∠BOC=360°4=90°，OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCQ=180°−∠BOC2=45°，
∴∠OBP＝∠OCQ，
∵OB＝OC，BP＝CQ，
∴△OBP≌△OCQ（SAS），
∴∠BOP＝∠COQ，
∴∠BOC＝∠POQ＝90°．
如图3，连接OB、OC，
∵五边形ABCDE，
∴∠ABC＝∠BCD＝108°，
∵∠BOC=360°5=72°，OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCQ=180°−∠BOC2=54°，
∴∠OBP＝∠OCQ，
∵OB＝OC，BP＝CQ，
∴△OBP≌OCQ（SAS），
∴∠BOP＝∠COQ，
∴∠BOC＝∠POQ＝72°．
故答案为：90°，72°；
（3）由（1）可知，∠MON=360°3=120°，
在（2）中，∠POQ=360°4=90°；在（3）中∠POQ=360°5=72°…，
故当n时，∠POQ=360°n．
【点评】本题是圆的综合题，考查的是正多边形和圆，全等三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
名称
定义
正多边形
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
正多边形的外接圆
一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆.
中心
正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.
半径
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
边心距
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
中心角
正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
名称
公式
内角
(n−2)·180°n
中心角
360°n
外角
360°n
正n边形的边长a，半径R，边心距r
R²=r²+（a2）²
周长C
C= n a
面积S
S=12a r·n=12Cr
解题技巧提炼
根据正多边形的相关概念进行判断即可，正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形.
解题技巧提炼
1、正多边形的每个内角=(n−2)·180°n.
2、正多边形的中心角=360°n
3、正多边形的每个外角=360°n
解题技巧提炼
主要考查了正多边形和圆，正六边形的性质、正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确掌握它们的性质是解决问题的关键．
解题技巧提炼
正n边形的边长a，半径R，边心距r ,根据勾股定理得到 它们之间的关系式： R²=r²+（a2）² 解答即可.
解题技巧提炼
正多边形的周长公式：C= n a ，圆的周长公式C= 2πr , 根据正多边的性质求解
即可.
解题技巧提炼
正多边形中求面积用到面积公式S=12a r·n=12Cr，求正多边形的面积是把转化成三角形的面积来计算的.
解题技巧提炼
本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
正多边形
正方形
正五边形
正六边形
…
正n边形
∠BQM的度数
…
解题技巧提炼
本题考查正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
名称
定义
正多边形
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
正多边形的外接圆
一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆.
中心
正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.
半径
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
边心距
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
中心角
正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
名称
公式
内角
(n−2)·180°n
中心角
360°n
外角
360°n
正n边形的边长a，半径R，边心距r
R²=r²+（a2）²
周长C
C= n a
面积S
S=12a r·n=12Cr
解题技巧提炼
根据正多边形的相关概念进行判断即可，正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形.
解题技巧提炼
1、正多边形的每个内角=(n−2)·180°n.
2、正多边形的中心角=360°n
3、正多边形的每个外角=360°n
解题技巧提炼
主要考查了正多边形和圆，正六边形的性质、正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确掌握它们的性质是解决问题的关键．
解题技巧提炼
正n边形的边长a，半径R，边心距r ,根据勾股定理得到 它们之间的关系式： R²=r²+（a2）² 解答即可.
解题技巧提炼
正多边形的周长公式：C= n a ，圆的周长公式C= 2πr , 根据正多边的性质求解
即可.
解题技巧提炼
正多边形中求面积用到面积公式S=12a r·n=12Cr，求正多边形的面积是把转化成三角形的面积来计算的.
解题技巧提炼
本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
正多边形
正方形
正五边形
正六边形
…
正n边形
∠BQM的度数
…
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