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苏科版（2024）九年级上册2.7 弧长及扇形的面积课时训练
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这是一份苏科版（2024）九年级上册2.7 弧长及扇形的面积课时训练，共52页。试卷主要包含了7 弧长及扇形面积等内容，欢迎下载使用。
知识点一
弧长公式
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
【注意】
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
知识点二
扇形及扇形的面积公式
◆1、扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
◆2、扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，
则S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
【注意】
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
②公式要理解记忆.
题型一 利用公式求弧长
【例题1】（2022秋•鞍山期末）已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的弧长
是（ ）
A．3πB．4πC．5πD．6π
【变式1-1】（2023•中山市校级模拟）如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则AC的长为（ ）
A．18πB．14πC．12πD．π
【变式1-2】（2023•裕华区二模）一张直径为40cm的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，则优弧ABC的长度为（ ）
A．10πcmB．15πcmC．20πcmD．30πcm
【变式1-3】（2022•湖北）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则AD的长为（ ）
A．πB．43πC．53πD．2π
【变式1-4】如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点E，连结AD，已知AC＝BD．
（1）求证：∠A＝∠D；
（2）若AC⊥BD，⊙O的半径为6，求CD的长．
题型二 列方程求圆心角或半径
【例题2】一条弧所对的圆心角为120°，弧长等于6πcm，则这条弧的半径为 ．
【变式2-1】（2023•平阳县校级三模）若一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的半径
是 cm．
【变式2-2】（2022秋•颍州区期末）已知弧的长是53π，弧的半径为3，则该弧所对的圆心角度数为 ．
【变式2-3】（2022秋•越秀区校级期末）已知扇形半径是3cm，弧长为32πcm，则扇形的圆心角为 度．
【变式2-4】（2022秋•任城区校级期末）如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为58π米，“弓”所在的圆的半径约0.75米，则“弓”所对的圆心角为 度．
【变式2-5】（2023•桐庐县一模）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是 ．
题型三 利用弧长公式求周长
【例题3】（2023•东莞市一模）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（ ）
A．π3B．π2C．πD．2π
【变式3-1】（2023•潢川县校级三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C均在小正方形的顶点上，点B在弧AC上，且∠ACB＝15°，则阴影部分的周长为 ．
【变式3-2】（2022•绿园区校级模拟）如图，线段AB＝2．以AB为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 ．
【变式3-3】如图，△ABC是边长为12的等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，以4为半径画弧，则图中阴影部分图形的周长为 .（结果保留π）
【变式3-4】（2023•南关区校级二模）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC上的点D处，点C的对应点为点E，则图中阴影部分图形的周长为 .（结果保留π）
题型四 利用弧长公式求最值
【例题4】（2023•封丘县二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为AB上一点，且BC=2AC，点P为扇形BOC区域内（不包含边界）一动点．若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为 ．
【变式4-1】（2023•黄岛区一模）如图，半圆O的直径AB＝3，AC=3BC．E是BC上一个动点，弦DE∥AB，OF⊥AB，交DE于点F．OH＝EF．则图中阴影部分周长的最大值为 ．
【变式4-2】如图，以BC为直径作圆O，A，D为圆周上的点，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分图形的周长最小值为 ．
题型五 利用公式求扇形面积
【例题5】（2023•鹤山市模拟）圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是（ ）cm2．
A．πB．3πC．9πD．6π
【变式5-1】（2022•鹿城区校级三模）已知一个扇形的半径为2cm，弧长是π3cm，则它的面积
为 cm2．
【分析】根据扇形的面积公式s=12lr，求解即可．
【变式5-2】如图，一段公路的转弯处是一段圆弧AB，则扇形AOB的面积为（ ）
A．15πm2B．30πm2C．18πm2D．12πm2
【变式5-3】（2022•西城区二模）学校图书馆的阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为（ ）
A．9πm2B．6πm2C．3πm2D．πm2
【变式5-4】（2022春•将乐县校级月考）在一个直径为6cm的圆中，小明画了一个圆心角为120°的扇形，则这个扇形的面积为（ ）
A．πcm2B．2πcm2C．3πcm2D．6πcm2
题型六 列方程求扇形圆心角或半径
【例题6】扇形的弧长为20πcm，面积为240πcm2，那么扇形的半径是（ ）
A．6cmB．12cmC．24cmD．28cm
【变式6-1】（2022•公安县模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积2π3，则⊙O的半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式6-2】已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则这个扇形的圆心角n的度数是（ ）
A．180°B．120°C．90°D．60°
【变式6-3】已知40°的圆心角所对应的扇形面积为169πcm2，则这条弧所在圆的直径为（ ）
A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm
【变式6-4】一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且扇形面积是圆的面积的一半，则这个扇形的圆心角度数是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．75°
题型七 计算规则图形的阴影部分的面积
【例题7】（2022春•莱西市期中）已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，半径AO＝2，则扇形COD的面积为 ．
【变式7-1】（2023•锦州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（ ）
A．23πB．πC．43πD．2π
【变式7-2】（2022•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）
A．π3B．3π5C．2π3D．3π4
【变式7-3】已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【变式7-4】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若CD＝43，∠B＝60°，求扇形OAC（阴影部分）的面积．
题型八 计算不规则图形的阴影部分的面积
【例题8】（2023•凤台县校级三模）如图，点B在半圆O上，直径AC＝10，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5πB．52πC．10πD．54π
【变式8-1】（2022•长春一模）如图，圆心重合的两圆半径分别为4、2，∠AOB＝120°，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4πB．163πC．8πD．16π
【变式8-2】如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，将半圆绕点A顺时针旋转45°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．πB．2πC．4πD．6π
【变式8-3】如图，D是等边△ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE和扇形EAD，连接CD、BE、DE．
（1）若AD＝1，求阴影部分的面积；（结果保留根号和π）
（2）若∠ADC＝110°，求∠BED的度数．
【变式8-4】（2022•江岸区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
题型九 求旋转过程中扫过的路径或面积
【例题9】如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△A'B'C的位置，且A、C、B'三点在同一条直线上，则点A经过的路线的长度是（ ）
A．8B．43C．323πD．83π
【变式9-1】如图，Rt△OCB的斜边OB在y轴上，OC=3，∠BOC＝30°，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则B点的对应点B′的坐标和点B在旋转过程中绕过的路径长分别是（ ）
A．（3，﹣1）和43πB．（1，−3）和23π
C．（2，0）和43πD．（3，0）和23π
【变式9-2】如图，等边三角形和正方形的边长都是a，在图形所在的平面内，将△PAD以点A为中心沿逆时针方向旋转，使AP与AB重合，如此继续分别以点B、C、D 为中心将三角形进行旋转，使点P回到原来位置为止，则点P从开始到结束所经过路径的长为（ ）
A．72πaB．134πaC．196πaD．258πa
【变式9-3】（2022秋•上城区校级月考）如图，在△AOB中，OA＝2，OB＝5，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得△A'OB'．
（1）求点B扫过的弧的长；
（2）求线段AB扫过的面积．
【变式9-4】（2022秋•邯山区校级期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C，直接写出A′，B′坐标；
（2）在（1）的条件下，请直接写出点B旋转到点B′所经过的路线长 322π （结果保留π）；
（3）在（1）的条件下，求点A旋转到点A′时，线段AC所扫过的面积（结果保留π）．
【变式9-5】如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接CE．
（1）求证：DB∥CE；
（2）若AB＝3，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》
2.7 弧长及扇形面积
知识点一
弧长公式
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
【注意】
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
知识点二
扇形及扇形的面积公式
◆1、扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
◆2、扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，
则S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
【注意】
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
②公式要理解记忆.
题型一 利用公式求弧长
【例题1】（2022秋•鞍山期末）已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的弧长
是（ ）
A．3πB．4πC．5πD．6π
【分析】根据弧长公式可得．
【解答】解：扇形的弧长为150π⋅6180=5π．
故选：C．
【点评】本题考查弧长的计算公式L=nπr180，识记公式是解题的关键．
【变式1-1】（2023•中山市校级模拟）如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则AC的长为（ ）
A．18πB．14πC．12πD．π
【分析】根据圆周角定理可得出∠AOC＝90°，再根据弧长公式的计算即可．
【解答】解：∵∠B＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵⊙O的半径为1，
∴AC的长=nπr180=90π×1180=12π，
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是掌握弧长公式l=nπr180．
【变式1-2】（2023•裕华区二模）一张直径为40cm的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，则优弧ABC的长度为（ ）
A．10πcmB．15πcmC．20πcmD．30πcm
【分析】根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：优弧ABC的长度为(360−90)π⋅402180=30π，
故选：D．
【点评】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
【变式1-3】（2022•湖北）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则AD的长为（ ）
A．πB．43πC．53πD．2π
【分析】连接CD，根据∠ACB＝90°，∠B＝30°可以得到∠A的度数，再根据AC＝CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．
【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC=12AB=4，
由题意得：AC＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴AD的长为：60π×4180=43π，
故选：B．
【点评】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
【变式1-4】如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点E，连结AD，已知AC＝BD．
（1）求证：∠A＝∠D；
（2）若AC⊥BD，⊙O的半径为6，求CD的长．
【分析】（1）根据弧、弦之间的关系定理得到AC=BD，进而得出AB=CD，根据圆周角定理证明即可；
（2）连接OC、OD，根据圆周角定理求出∠COD，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵AC＝BD，
∴AC=BD，
∴AC−BC=BD−BC，即AB=CD，
∴∠A＝∠D；
（2）连接OC、OD，
∵AC⊥BD，∠A＝∠D，
∴∠A＝45°，
由圆周角定理得：∠COD＝2∠A＝90°，
∴CD的长=90π×6180=3π．
【点评】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键．
题型二 列方程求圆心角或半径
【例题2】一条弧所对的圆心角为120°，弧长等于6πcm，则这条弧的半径为 ．
【分析】利用弧长公式计算．
【解答】解：设这条弧的半径为Rcm，
∵120π×R180=6π，
∴R＝9π．
故答案为：9cm．
【点评】本题考查了弧长的计算，掌握已知条件周长＝弧长来计算是解题的关键．
【变式2-1】（2023•平阳县校级三模）若一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的半径
是 cm．
【分析】设扇形的半径为r，利用弧长公式求出半径r，再利用扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：设扇形的半径为rcm，
由题意，135π⋅r180=3π，
∴r＝4，
∴此扇形的半径是4cm，
故答案为：4．
【点评】本题考查弧长公式，扇形的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2-2】（2022秋•颍州区期末）已知弧的长是53π，弧的半径为3，则该弧所对的圆心角度数为 ．
【分析】根据弧长的公式l=nπr180，代入计算即可．
【解答】解：∵弧长的公式l=nπr180，
∴弧长的公式53π=nπ×3180，
解得，n＝100，
故该弧所对的圆心角度数为100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查了弧长的公式计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
【变式2-3】（2022秋•越秀区校级期末）已知扇形半径是3cm，弧长为32πcm，则扇形的圆心角为 度．
【分析】设扇形的圆心角为n°，根据弧长公式和已知得出方程nπ×3180=32π，求出方程的解即可．
【解答】解：设扇形的圆心角为n°，
∵扇形半径是3cm，弧长为32πcm，
∴nπ×3180=32π，
解得：n＝90．
故答案为：90．
【点评】本题考查了弧长的计算的应用，解此题的关键是能根据弧长公式得出关于n的方程．
【变式2-4】（2022秋•任城区校级期末）如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为58π米，“弓”所在的圆的半径约0.75米，则“弓”所对的圆心角为 度．
【分析】由l=nπr180，直接代入数据进行计算即可．
【解答】解：设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是n°，则nπ×0.75180=5π8，
解得：n＝150，
故答案为：150．
【点评】本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键．
【变式2-5】（2023•桐庐县一模）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是 ．
【分析】先计算出另一个扇形的弧长为7π，设另一个扇形的圆心角为n°，利用弧长公式得n×π×6180=7π，然后解方程即可．
【解答】解：∵圆的周长为2π×6＝12π，
∴另一个扇形的弧长为12π﹣5π＝7π，
设另一个扇形的圆心角为n°，
根据弧长公式得n×π×6180=7π，
解得n＝210，
即另一个扇形的圆心角度数为210°．
故答案为：210°．
【点评】本题考查了弧长的计算：记住弧长公式是解决问题的关键．（弧长公式为l=nπR180，其中弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
题型三 利用弧长公式求周长
【例题3】（2023•东莞市一模）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（ ）
A．π3B．π2C．πD．2π
【分析】由“凸轮”的外围是以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，然后根据弧长公式计算出三段弧长，三段弧长之和即为凸轮的周长．
【解答】
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，
∴AB=AC=BC=60π×1180=π3，
根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，
即凸轮的周长=AB+AC+BC=3×π3=π．
故选：C．
【点评】此题考查了弧长的计算以及等边三角形的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．
【变式3-1】（2023•潢川县校级三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C均在小正方形的顶点上，点B在弧AC上，且∠ACB＝15°，则阴影部分的周长为 ．
【分析】先确定出圆心位置根据弧长公式求出弧AB的长度，根据等边三角形性质得BC的长度，再利用勾股定理求出线段AC的长度，即得答案．
【解答】解：由题意知圆心位置如图所示，
∵∠ACB＝15°，
∴AOB＝30°，
∴∠BOC＝60°，
即△BOC为等边三角形，OC＝BC＝OB＝6，
∴弧AB的长度为：30×6×π180=π，
由勾股定理得：AC=62+62=62，
阴影部分的周长为：6+62+π，
故答案为：6+62+π．
【点评】本题考查了弧长的计算公式、勾股定理求格点中线段的长度、等边三角形的判定等知识点．解题关键是：确定出弧所在圆的圆心位置．
【变式3-2】（2022•绿园区校级模拟）如图，线段AB＝2．以AB为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 ．
【分析】阴影部分的周长为弧AC，弧BC和半圆AB的和．
【解答】解：60π×2180×2+12×2π×1=4π3+π=7π3．
故答案为：7π3．
【点评】本题考查了弧长公式：l=nπr180，也考查了等边三角形的判定与性质，难度适中．
【变式3-3】如图，△ABC是边长为12的等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，以4为半径画弧，则图中阴影部分图形的周长为 .（结果保留π）
【分析】分别求出阴影部分弧长与线段长度然后相加求解．
【解答】解：如图，圆弧交AB于点E，F，
由题意得AB＝12，AE＝BF＝4，
∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴图中总弧长为180π×4180=4π，
∴图中阴影部分图形的周长为3EF+4π＝12+4π．
故答案为：12+4π．
【点评】本题考查三角形与圆的应用，解题关键是将阴影部分周长转化为线段长度与弧长的和．
【变式3-4】（2023•南关区校级二模）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC上的点D处，点C的对应点为点E，则图中阴影部分图形的周长为 .（结果保留π）
【分析】连接BD，根据旋转的性质可得AB＝AD＝BC＝BD＝2，求出△ABD是等边三角形，求出∠ABF＝60°，即可求出AD，再根据阴影部分的周长=AD+AE+DE，即可求解．
【解答】解：连接BD，如图，
∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧上的点D处，点C的对应点为点E，
∴AB＝AD＝BC＝BD＝2，∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴弧AD的长=60π×2180=23π，弧AE的长=90π×2180=π，
∴阴影部分的周长=AD+AE+DE=23π+π+2，
故答案为：53π+2．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，弧长计算等知识点，如果扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，那么扇形的弧长=nπr180．
题型四 利用弧长公式求最值
【例题4】（2023•封丘县二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为AB上一点，且BC=2AC，点P为扇形BOC区域内（不包含边界）一动点．若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为 ．
【分析】根据题意求出圆心角∠BOC的度数，根据弧长公式求出弧BC的长以及BC长的长即可．
【解答】解：如图，连接BC，由于阴影部分的周长等于BC的长与PA、PB的长度和，要使周长最小，则PA+PB最小，
而PA+PB的最小值是BC，
∵∠AOB＝90°，BC=2AC，
∴∠BOC＝90°×21+2=60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝1，
∴BC的长为60π×1180=π3，
∴阴影部分的最小值为π3+1，
故答案为：π3+1．
【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算公式以及正三角形的判定和性质是解决问题的前提．
【变式4-1】（2023•黄岛区一模）如图，半圆O的直径AB＝3，AC=3BC．E是BC上一个动点，弦DE∥AB，OF⊥AB，交DE于点F．OH＝EF．则图中阴影部分周长的最大值为 ．
【分析】连接OE，可证四边形HOEF是平行四边形，则DF+AH+HF＝3，所以当E与C点重合时，AD弧的长最大，可求∠BOC＝45°，即可求AD弧的长=3π8，进而求阴影部分周长的最大值．
【解答】解：连接OE，
∵DE//AB，OF⊥AB，
∴OF⊥DE，
∴DF＝EF，
∵DE∥AB，OH＝EF，
∴四边形HOEF是平行四边形，
∴HF＝OE，DF＝OH，
∵HO＝EF，
∴DF+AH＝HO+AH＝AO，
∴DF+AH+HF＝AO+OE＝AB，
∵AB＝3，
∴DF+AH+HF＝3，
∵点E是BC上一个动点，
∴当E与C点重合时，AD弧的长最大，
此时阴影部分周长最大，
∵AC=3BC，
∴∠BOC＝45°，
∴AD弧的长=45π×32180=38π，
∴阴影部分周长的最大值为38π+3，
故答案为：38π+3．
【点评】本题考查动点的最值问题，熟练掌握弧长的求法，将阴影部分周长的最大值问题转化为求弧长最大值是解题的关键．
【变式4-2】如图，以BC为直径作圆O，A，D为圆周上的点，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分图形的周长最小值为 ．
【分析】根据对称的性质可知阴影部分的周长的最小值为AC+CD，求出AC的长即可．
【解答】解：连接AC，根据对称的意义可知，PD+PC的最小值为AC，
∵AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，
∴AB=CD=AD，
∴∠ABC＝2∠ACB，
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，
∴AC=3•AB=3，
所以阴影部分周长的最小值为AC+CD=3+1，
故答案为：3+1．
【点评】本题考查轴对称的性质，圆周角定理，理解轴对称的性质是解决问题的关键．
题型五 利用公式求扇形面积
【例题5】（2023•鹤山市模拟）圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是（ ）cm2．
A．πB．3πC．9πD．6π
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：S=240π×9360=6πcm2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式．
【变式5-1】（2022•鹿城区校级三模）已知一个扇形的半径为2cm，弧长是π3cm，则它的面积
为 cm2．
【分析】根据扇形的面积公式s=12lr，求解即可．
【解答】解：扇形的面积=12×π3×2=π3（cm2）．
故答案为：π3．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式S=12lr=nπr2360．
【变式5-2】如图，一段公路的转弯处是一段圆弧AB，则扇形AOB的面积为（ ）
A．15πm2B．30πm2C．18πm2D．12πm2
【分析】直接利用扇形的面积公式求得即可．
【解答】解：扇形AOB的面积为：108π×102360=30π（m2）．
故选：B．
【点评】此题考查了扇形面积的计算，知道熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
【变式5-3】（2022•西城区二模）学校图书馆的阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为（ ）
A．9πm2B．6πm2C．3πm2D．πm2
【分析】应用扇形面积的计算公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
n＝120°，r＝3，
∴S=nπr2360=120π×32360=3π（m2）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式进行求解是解决本题的关键．
【变式5-4】（2022春•将乐县校级月考）在一个直径为6cm的圆中，小明画了一个圆心角为120°的扇形，则这个扇形的面积为（ ）
A．πcm2B．2πcm2C．3πcm2D．6πcm2
【分析】扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2，由此即可计算．
【解答】解：∵扇形所在圆的半径r=12×6＝3cm，扇形的圆心角n＝120°，
∴扇形的面积=nπr2360=120π×32360=3π（cm2）．
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积，关键是掌握扇形面积的计算公式．
题型六 列方程求扇形圆心角或半径
【例题6】扇形的弧长为20πcm，面积为240πcm2，那么扇形的半径是（ ）
A．6cmB．12cmC．24cmD．28cm
【分析】根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系：S扇形=12lr，把对应的数值代入即可求得半径r的长．
【解答】解：∵S扇形=12lr
∴240π=12•20π•r
∴r＝24 （cm）
故选：C．
【点评】解此类题目的关键是掌握住扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的等量关系：S扇形=12lr．
【变式6-1】（2022•公安县模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积2π3，则⊙O的半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】将阴影部分的面积转换为扇形BOD的面积，利用扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAC＝60°，
设⊙O的半径为R，
由于S阴影部分＝S扇形BOD=2π3，
所以60π×R2360=2π3，
所以R＝2，
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理，掌握扇形面积的计算公式以及圆周角定理是正确解答的关键．
【变式6-2】已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则这个扇形的圆心角n的度数是（ ）
A．180°B．120°C．90°D．60°
【分析】根据扇形和圆的面积公式列方程即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，n⋅πR2360=（R2）2π，
解得：n＝90，
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
【变式6-3】已知40°的圆心角所对应的扇形面积为169πcm2，则这条弧所在圆的直径为（ ）
A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm
【分析】利用扇形的面积的公式=nπr2360进行计算可得．
【解答】解：∵扇形的面积的公式=nπr2360，n＝40°，扇形面积为169πcm2，
∴169π=40×π×r2360，
解得；r＝±4（负数舍去），
∴这条弧所在圆的直径为8cm．
故选：C．
【点评】本题主要考查了扇形面积公式的应用，准确记忆扇形面积公式是解题关键．
【变式6-4】一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且扇形面积是圆的面积的一半，则这个扇形的圆心角度数是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．75°
【分析】根据扇形和圆的面积公式列出等式计算．
【解答】解：设圆的半径为r，扇形圆心角为n°．
则扇形的半径为2r，
利用面积公式可得：nπ(2r)2360=12πr2，
解得n＝45．
故选：A．
【点评】本题考查了扇形面积的计算．解题时，主要是根据扇形和圆的面积公式列出等式计算，即可求出圆心角度数．
题型七 计算规则图形的阴影部分的面积
【例题7】（2022春•莱西市期中）已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，半径AO＝2，则扇形COD的面积为 ．
【分析】先求出扇形的圆心角，再根据公式计算即可．
【解答】解：∵点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，
∴弧AC＝弧CD＝弧BD，
∴∠COD＝60°，
∴扇形COD的面积为60π×22360=2π3．
故答案为：2π3．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，难度一般．
【变式7-1】（2023•锦州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（ ）
A．23πB．πC．43πD．2π
【分析】先由圆周角定理可得∠AOC的度数，再由扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵∠ABC＝40°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，
∴扇形AOC的面积为80×π×32360=2π，
故选：D．
【点评】此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得∠AOC的度数是解答此题的关键．
【变式7-2】（2022•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）
A．π3B．3π5C．2π3D．3π4
【分析】解直角三角形求出∠CBE＝30°，推出∠ABE＝60°，再利用扇形的面积公式求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵BA＝BE＝2，BC=3，
∴cs∠CBE=CBBE=32，
∴∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
∴S扇形BAE=60⋅π⋅22360=2π3，
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数．
【变式7-3】已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理求出∠C＝90°，再根据勾股定理求出AB，由∠ABD＝45°求出∠DOB＝90°，根据勾股定理求出BD即可；
（2）根据扇形的面积即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10（cm）；
∵∠ABD＝45°，OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD＝90°，
∵AB＝10cm，
∴OB＝OA＝5cm，
∴OD＝5cm，
∴BD=OD2+OB2=52+52=52（cm）；
（2）阴影部分的面积S＝S扇形AOD=90π×52360=254π（cm2）．
【点评】本题考查了勾股定理，圆周角定理，扇形的面积计算，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AB的长和∠DOB的度数是解此题的关键．
【变式7-4】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若CD＝43，∠B＝60°，求扇形OAC（阴影部分）的面积．
【分析】（1）根据垂径定理得到BC=BD，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，求出∠AOC，根据正弦的定义求出OC，利用扇形面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴BC=BD，
∴∠A＝∠BCD；
（2）解：∵OC＝OB，∠B＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=12CD＝23，
在Rt△COE中，OC=CEsin∠COB=4，
∴扇形OAC（阴影部分）的面积=120π×42360=163π．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式S=nπR2360是解题的关键．
题型八 计算不规则图形的阴影部分的面积
【例题8】（2023•凤台县校级三模）如图，点B在半圆O上，直径AC＝10，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5πB．52πC．10πD．54π
【分析】先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形得到△AOB的面积与△COB的面积相等，从而把阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积，再根据扇形面积计算公式求出即可．
【解答】解：∵点O是AC的中点，
∴线段BO是△ABC的中线，
∴S△AOB＝S△COB，
∴S阴影＝S扇形OBC，
∵∠BAC＝36°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝72°，
∵直径AC＝10，
∴OC＝5，
∴S扇形OBC=72π×52360=5π，
∴S阴影＝5π，
故选：A．
【点评】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，三角形的中线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
【变式8-1】（2022•长春一模）如图，圆心重合的两圆半径分别为4、2，∠AOB＝120°，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4πB．163πC．8πD．16π
【分析】阴影部分的面积是一个环形，可用大圆中240°角所对的扇形的面积减去小圆中240°角所对的面积来求得．根据扇形的面积求解即可．
【解答】解：S阴影=240π×42360−240π×22360=8π．
故选：C．
【点评】本题主要考查了扇形面积公式，关键是找出图中的关系和熟记公式．
【变式8-2】如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，将半圆绕点A顺时针旋转45°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．πB．2πC．4πD．6π
【分析】先根据旋转的性质得S半圆AB＝S半圆AC，∠BAC＝45°，再利用面积的和差得到S阴影部分+S半圆AB＝S半圆AC+S扇形BAC，即有S阴影部分＝S扇形BAC，然后根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵半圆AB绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到C的位置，
∴S半圆AB＝S半圆AC，∠BAC＝45°，
∵S阴影部分+S半圆AB＝S半圆AC+S扇形BAC，
∴S阴影部分＝S扇形BAC=45π×42360=2π．
故选：B．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
【变式8-3】如图，D是等边△ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE和扇形EAD，连接CD、BE、DE．
（1）若AD＝1，求阴影部分的面积；（结果保留根号和π）
（2）若∠ADC＝110°，求∠BED的度数．
【分析】（1）利用扇形面积公式和三角形面积公式求得即可；
（2）由SAS证△EAB≌△DAC可得∠AEB＝∠ADC＝110°，证△EAD为等边三角形，则∠AED＝60°，继而得出答案．
【解答】解：（1）∵AD＝AE＝1，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴S△ADE=12×1×32×1=34，
∴S阴影=60π×12360−34=π6−34；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC，
∴∠EAB＝∠DAC，
在△EAB和△DAC中，
AB=AC∠EAB=∠DACAE=AD，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠AEB＝∠ADC＝110°，
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD为等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝110°﹣60°＝50°．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算，旋转的性质，等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握旋转的性质，证得三角形的全等是解题的关键．
【变式8-4】（2022•江岸区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO=12AO=12OE，根据勾股定理列方程求解．
（2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵直径AB⊥DE，
∴CE=12DE＝1．
∵DE平分AO，
∴CO=12AO=12OE．
设CO＝x，则OE＝2x．
由勾股定理得：12+x2＝（2x）2．
x=33．
∴OE＝2x=233．
即⊙O的半径为233．
（2）连接OF，
在Rt△DCP中，
∵∠DPC＝45°，
∴∠D＝90°﹣45°＝45°．
∴∠EOF＝2∠D＝90°．
∴S扇形OEF=90⋅π⋅(233)2360=13π．
∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF=233
SRt△OEF=12×(233)2=23．
∴S阴影＝S扇形OEF﹣SRt△OEF=13π−23．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
题型九 求旋转过程中扫过的路径或面积
【例题9】如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△A'B'C的位置，且A、C、B'三点在同一条直线上，则点A经过的路线的长度是（ ）
A．8B．43C．323πD．83π
【分析】由旋转可知，点A经过的路线是弧长，计算出半径和圆心角即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝30°，BC＝2，
∴∠ACB＝60°，
AC＝2BC＝4，
∵A、C、B'三点在同一条直线上，
∴∠ACA′＝120°，
由弧长公式可知：
点A经过的路线长度为：120×π×4180=83π．
故选：D．
【点评】本题是以直角三角形为背景的旋转，考查了旋转的性质以及弧长公式，求出半径和圆心角是解题的关键，属于基础题．
【变式9-1】如图，Rt△OCB的斜边OB在y轴上，OC=3，∠BOC＝30°，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则B点的对应点B′的坐标和点B在旋转过程中绕过的路径长分别是（ ）
A．（3，﹣1）和43πB．（1，−3）和23π
C．（2，0）和43πD．（3，0）和23π
【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝1，再利用旋转的性质得到OC′＝OC=3，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，然后利用第四象限点的坐标特征写出点B′的坐标，再利用弧长公式求出点B的运动路径的长．
【解答】解：如图，
在Rt△OCB中，∵∠BOC＝30°，
∴BC=33OC=33×3=1，OB＝2BC＝2，
∵Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，
∴OC′＝OC=3，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，
∴点B′的坐标为（3，﹣1），
∴点B的运动路径的长=120⋅π⋅2180=43π，
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
【变式9-2】如图，等边三角形和正方形的边长都是a，在图形所在的平面内，将△PAD以点A为中心沿逆时针方向旋转，使AP与AB重合，如此继续分别以点B、C、D 为中心将三角形进行旋转，使点P回到原来位置为止，则点P从开始到结束所经过路径的长为（ ）
A．72πaB．134πaC．196πaD．258πa
【分析】首先作出图形，于是可得点P所经过的路径是半径为a、圆心角分别为210°和210°和150°的三段圆弧，根据弧长公式即可求出总长度．
【解答】解：作图如右：
点P所经过的路径是半径为a、圆心角分别为210°和210°和150°的三段圆弧，
故总长度为2πa（210°360°×2+150°360°）=19π6a．
故选：C．
【点评】本题主要考查弧长的计算和等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质，此题难度不大．
【变式9-3】（2022秋•上城区校级月考）如图，在△AOB中，OA＝2，OB＝5，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得△A'OB'．
（1）求点B扫过的弧的长；
（2）求线段AB扫过的面积．
【分析】（1）根据弧长公式和旋转的性质可解答；
（2）根据旋转的性质可得，阴影部分的面积等于S扇形B'OB﹣S扇形A'OA，从而根据OA＝2，OB＝OB'＝5，可计算出答案．
【解答】解：（1）由旋转得：∠BOB'＝90°，OB＝OB'，
∴点B扫过的弧的长=90π×5180=5π2；
（2）根据旋转的性质可得：△AOB的面积＝△A'OB'的面积，
∴线段AB扫过的面积＝S扇形B'OB+S△AOB﹣S扇形A'OA﹣S△A'B'O＝S扇形B'OB﹣S扇形A'OA=90π×52360−90π×22360=21π4．
【点评】此题考查了扇形的弧长和面积计算及旋转的性质，解答本题的关键是根据旋转的性质得出：△AOB的面积＝△A'OB'的面积，从而得到线段AB扫过的面积．
【变式9-4】（2022秋•邯山区校级期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C，直接写出A′，B′坐标；
（2）在（1）的条件下，请直接写出点B旋转到点B′所经过的路线长 322π （结果保留π）；
（3）在（1）的条件下，求点A旋转到点A′时，线段AC所扫过的面积（结果保留π）．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B的对应点A′、B′即可得到△A′B′C′，根据平面直角坐标系写出点A′和B′的坐标即可；
（2）利用勾股定理列式求出AC，点A旋转到点A′所经过的路线是以C点为圆心，CA为半径，圆心角为90度的弧，于是可根据弧长公式计算点A旋转到点A′所经过的路线长；
（3）根据扇形的面积公式计算即可求解．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作，A′（6，4），B′（5，1）；
（2）由勾股定理得，AC=32+32=32，
如图，点A旋转到点A′所经过的路线长=90⋅π⋅32180=322π．
故答案为：322π；
（3）如图，点A旋转到点A′时，线段AC所扫过的面积=90⋅π(32)2360=9π2．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，勾股定理，弧长公式，扇形面积公式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
【变式9-5】如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接CE．
（1）求证：DB∥CE；
（2）若AB＝3，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
【分析】（1）只要证明∠CBE＝∠DAB＝60°即可，
（2）由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，利用弧长公式计算即可．
【解答】（1）证明：由题意得：
△ABC≌△DBE，且∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴CB＝EB，
∴△CBE是等边三角形，
∴∠CEB＝60°，
∴∠CEB＝∠DBA，
∴DB∥CE；
（2）解：由题意，BA＝BD＝3，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴A，C两点旋转所经过的路径长之和=60π×3180+60π×1180=4π3．
【点评】本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
解题技巧提炼
本题考查了弧长的计算，解题关键是掌握弧长公式l=nπr180．
解题技巧提炼
本题已知弧长，利用弧长的计算公式得到关于圆心角或半径的方程，然后解方程即可解决问题．
解题技巧提炼
本题考查三角形与圆的应用，解题关键是将阴影部分周长转化为线段长度与弧长的和．
解题技巧提炼
本题考查动点的最值问题，熟练掌握弧长的求法，将阴影部分周长的最值问题转化为求弧长最值是解题的关键．
解题技巧提炼
设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，
则S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
解题技巧提炼
本题已知扇形的面积，利用扇形面积的计算公式得到关于圆心角或半径的方程，然后解方程即可解决问题．
解题技巧提炼
所求阴影部分是规则图形，直接用几何图形的面积公式求解.
解题技巧提炼
1、先将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算.
2、计算不规则图形的阴影部分的面积通过对图形的变换，为利用公式法或和差法求解创造条件.
解题技巧提炼
本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式，扇形面积公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
解题技巧提炼
本题考查了弧长的计算，解题关键是掌握弧长公式l=nπr180．
解题技巧提炼
本题已知弧长，利用弧长的计算公式得到关于圆心角或半径的方程，然后解方程即可解决问题．
解题技巧提炼
本题考查三角形与圆的应用，解题关键是将阴影部分周长转化为线段长度与弧长的和．
解题技巧提炼
本题考查动点的最值问题，熟练掌握弧长的求法，将阴影部分周长的最值问题转化为求弧长最值是解题的关键．
解题技巧提炼
设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，
则S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
解题技巧提炼
本题已知扇形的面积，利用扇形面积的计算公式得到关于圆心角或半径的方程，然后解方程即可解决问题．
解题技巧提炼
所求阴影部分是规则图形，直接用几何图形的面积公式求解.
解题技巧提炼
1、先将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算.
2、计算不规则图形的阴影部分的面积通过对图形的变换，为利用公式法或和差法求解创造条件.
解题技巧提炼
本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式，扇形面积公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
知识点一
弧长公式
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
【注意】
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
知识点二
扇形及扇形的面积公式
◆1、扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
◆2、扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，
则S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
【注意】
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
②公式要理解记忆.
题型一 利用公式求弧长
【例题1】（2022秋•鞍山期末）已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的弧长
是（ ）
A．3πB．4πC．5πD．6π
【变式1-1】（2023•中山市校级模拟）如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则AC的长为（ ）
A．18πB．14πC．12πD．π
【变式1-2】（2023•裕华区二模）一张直径为40cm的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，则优弧ABC的长度为（ ）
A．10πcmB．15πcmC．20πcmD．30πcm
【变式1-3】（2022•湖北）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则AD的长为（ ）
A．πB．43πC．53πD．2π
【变式1-4】如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点E，连结AD，已知AC＝BD．
（1）求证：∠A＝∠D；
（2）若AC⊥BD，⊙O的半径为6，求CD的长．
题型二 列方程求圆心角或半径
【例题2】一条弧所对的圆心角为120°，弧长等于6πcm，则这条弧的半径为 ．
【变式2-1】（2023•平阳县校级三模）若一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的半径
是 cm．
【变式2-2】（2022秋•颍州区期末）已知弧的长是53π，弧的半径为3，则该弧所对的圆心角度数为 ．
【变式2-3】（2022秋•越秀区校级期末）已知扇形半径是3cm，弧长为32πcm，则扇形的圆心角为 度．
【变式2-4】（2022秋•任城区校级期末）如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为58π米，“弓”所在的圆的半径约0.75米，则“弓”所对的圆心角为 度．
【变式2-5】（2023•桐庐县一模）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是 ．
题型三 利用弧长公式求周长
【例题3】（2023•东莞市一模）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（ ）
A．π3B．π2C．πD．2π
【变式3-1】（2023•潢川县校级三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C均在小正方形的顶点上，点B在弧AC上，且∠ACB＝15°，则阴影部分的周长为 ．
【变式3-2】（2022•绿园区校级模拟）如图，线段AB＝2．以AB为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 ．
【变式3-3】如图，△ABC是边长为12的等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，以4为半径画弧，则图中阴影部分图形的周长为 .（结果保留π）
【变式3-4】（2023•南关区校级二模）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC上的点D处，点C的对应点为点E，则图中阴影部分图形的周长为 .（结果保留π）
题型四 利用弧长公式求最值
【例题4】（2023•封丘县二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为AB上一点，且BC=2AC，点P为扇形BOC区域内（不包含边界）一动点．若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为 ．
【变式4-1】（2023•黄岛区一模）如图，半圆O的直径AB＝3，AC=3BC．E是BC上一个动点，弦DE∥AB，OF⊥AB，交DE于点F．OH＝EF．则图中阴影部分周长的最大值为 ．
【变式4-2】如图，以BC为直径作圆O，A，D为圆周上的点，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分图形的周长最小值为 ．
题型五 利用公式求扇形面积
【例题5】（2023•鹤山市模拟）圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是（ ）cm2．
A．πB．3πC．9πD．6π
【变式5-1】（2022•鹿城区校级三模）已知一个扇形的半径为2cm，弧长是π3cm，则它的面积
为 cm2．
【分析】根据扇形的面积公式s=12lr，求解即可．
【变式5-2】如图，一段公路的转弯处是一段圆弧AB，则扇形AOB的面积为（ ）
A．15πm2B．30πm2C．18πm2D．12πm2
【变式5-3】（2022•西城区二模）学校图书馆的阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为（ ）
A．9πm2B．6πm2C．3πm2D．πm2
【变式5-4】（2022春•将乐县校级月考）在一个直径为6cm的圆中，小明画了一个圆心角为120°的扇形，则这个扇形的面积为（ ）
A．πcm2B．2πcm2C．3πcm2D．6πcm2
题型六 列方程求扇形圆心角或半径
【例题6】扇形的弧长为20πcm，面积为240πcm2，那么扇形的半径是（ ）
A．6cmB．12cmC．24cmD．28cm
【变式6-1】（2022•公安县模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积2π3，则⊙O的半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式6-2】已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则这个扇形的圆心角n的度数是（ ）
A．180°B．120°C．90°D．60°
【变式6-3】已知40°的圆心角所对应的扇形面积为169πcm2，则这条弧所在圆的直径为（ ）
A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm
【变式6-4】一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且扇形面积是圆的面积的一半，则这个扇形的圆心角度数是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．75°
题型七 计算规则图形的阴影部分的面积
【例题7】（2022春•莱西市期中）已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，半径AO＝2，则扇形COD的面积为 ．
【变式7-1】（2023•锦州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（ ）
A．23πB．πC．43πD．2π
【变式7-2】（2022•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）
A．π3B．3π5C．2π3D．3π4
【变式7-3】已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【变式7-4】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若CD＝43，∠B＝60°，求扇形OAC（阴影部分）的面积．
题型八 计算不规则图形的阴影部分的面积
【例题8】（2023•凤台县校级三模）如图，点B在半圆O上，直径AC＝10，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5πB．52πC．10πD．54π
【变式8-1】（2022•长春一模）如图，圆心重合的两圆半径分别为4、2，∠AOB＝120°，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4πB．163πC．8πD．16π
【变式8-2】如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，将半圆绕点A顺时针旋转45°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．πB．2πC．4πD．6π
【变式8-3】如图，D是等边△ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE和扇形EAD，连接CD、BE、DE．
（1）若AD＝1，求阴影部分的面积；（结果保留根号和π）
（2）若∠ADC＝110°，求∠BED的度数．
【变式8-4】（2022•江岸区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
题型九 求旋转过程中扫过的路径或面积
【例题9】如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△A'B'C的位置，且A、C、B'三点在同一条直线上，则点A经过的路线的长度是（ ）
A．8B．43C．323πD．83π
【变式9-1】如图，Rt△OCB的斜边OB在y轴上，OC=3，∠BOC＝30°，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则B点的对应点B′的坐标和点B在旋转过程中绕过的路径长分别是（ ）
A．（3，﹣1）和43πB．（1，−3）和23π
C．（2，0）和43πD．（3，0）和23π
【变式9-2】如图，等边三角形和正方形的边长都是a，在图形所在的平面内，将△PAD以点A为中心沿逆时针方向旋转，使AP与AB重合，如此继续分别以点B、C、D 为中心将三角形进行旋转，使点P回到原来位置为止，则点P从开始到结束所经过路径的长为（ ）
A．72πaB．134πaC．196πaD．258πa
【变式9-3】（2022秋•上城区校级月考）如图，在△AOB中，OA＝2，OB＝5，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得△A'OB'．
（1）求点B扫过的弧的长；
（2）求线段AB扫过的面积．
【变式9-4】（2022秋•邯山区校级期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C，直接写出A′，B′坐标；
（2）在（1）的条件下，请直接写出点B旋转到点B′所经过的路线长 322π （结果保留π）；
（3）在（1）的条件下，求点A旋转到点A′时，线段AC所扫过的面积（结果保留π）．
【变式9-5】如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接CE．
（1）求证：DB∥CE；
（2）若AB＝3，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》
2.7 弧长及扇形面积
知识点一
弧长公式
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
【注意】
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
知识点二
扇形及扇形的面积公式
◆1、扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
◆2、扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，
则S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
【注意】
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
②公式要理解记忆.
题型一 利用公式求弧长
【例题1】（2022秋•鞍山期末）已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的弧长
是（ ）
A．3πB．4πC．5πD．6π
【分析】根据弧长公式可得．
【解答】解：扇形的弧长为150π⋅6180=5π．
故选：C．
【点评】本题考查弧长的计算公式L=nπr180，识记公式是解题的关键．
【变式1-1】（2023•中山市校级模拟）如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则AC的长为（ ）
A．18πB．14πC．12πD．π
【分析】根据圆周角定理可得出∠AOC＝90°，再根据弧长公式的计算即可．
【解答】解：∵∠B＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵⊙O的半径为1，
∴AC的长=nπr180=90π×1180=12π，
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是掌握弧长公式l=nπr180．
【变式1-2】（2023•裕华区二模）一张直径为40cm的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，则优弧ABC的长度为（ ）
A．10πcmB．15πcmC．20πcmD．30πcm
【分析】根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：优弧ABC的长度为(360−90)π⋅402180=30π，
故选：D．
【点评】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
【变式1-3】（2022•湖北）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则AD的长为（ ）
A．πB．43πC．53πD．2π
【分析】连接CD，根据∠ACB＝90°，∠B＝30°可以得到∠A的度数，再根据AC＝CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．
【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC=12AB=4，
由题意得：AC＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴AD的长为：60π×4180=43π，
故选：B．
【点评】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
【变式1-4】如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点E，连结AD，已知AC＝BD．
（1）求证：∠A＝∠D；
（2）若AC⊥BD，⊙O的半径为6，求CD的长．
【分析】（1）根据弧、弦之间的关系定理得到AC=BD，进而得出AB=CD，根据圆周角定理证明即可；
（2）连接OC、OD，根据圆周角定理求出∠COD，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵AC＝BD，
∴AC=BD，
∴AC−BC=BD−BC，即AB=CD，
∴∠A＝∠D；
（2）连接OC、OD，
∵AC⊥BD，∠A＝∠D，
∴∠A＝45°，
由圆周角定理得：∠COD＝2∠A＝90°，
∴CD的长=90π×6180=3π．
【点评】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键．
题型二 列方程求圆心角或半径
【例题2】一条弧所对的圆心角为120°，弧长等于6πcm，则这条弧的半径为 ．
【分析】利用弧长公式计算．
【解答】解：设这条弧的半径为Rcm，
∵120π×R180=6π，
∴R＝9π．
故答案为：9cm．
【点评】本题考查了弧长的计算，掌握已知条件周长＝弧长来计算是解题的关键．
【变式2-1】（2023•平阳县校级三模）若一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的半径
是 cm．
【分析】设扇形的半径为r，利用弧长公式求出半径r，再利用扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：设扇形的半径为rcm，
由题意，135π⋅r180=3π，
∴r＝4，
∴此扇形的半径是4cm，
故答案为：4．
【点评】本题考查弧长公式，扇形的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2-2】（2022秋•颍州区期末）已知弧的长是53π，弧的半径为3，则该弧所对的圆心角度数为 ．
【分析】根据弧长的公式l=nπr180，代入计算即可．
【解答】解：∵弧长的公式l=nπr180，
∴弧长的公式53π=nπ×3180，
解得，n＝100，
故该弧所对的圆心角度数为100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查了弧长的公式计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
【变式2-3】（2022秋•越秀区校级期末）已知扇形半径是3cm，弧长为32πcm，则扇形的圆心角为 度．
【分析】设扇形的圆心角为n°，根据弧长公式和已知得出方程nπ×3180=32π，求出方程的解即可．
【解答】解：设扇形的圆心角为n°，
∵扇形半径是3cm，弧长为32πcm，
∴nπ×3180=32π，
解得：n＝90．
故答案为：90．
【点评】本题考查了弧长的计算的应用，解此题的关键是能根据弧长公式得出关于n的方程．
【变式2-4】（2022秋•任城区校级期末）如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为58π米，“弓”所在的圆的半径约0.75米，则“弓”所对的圆心角为 度．
【分析】由l=nπr180，直接代入数据进行计算即可．
【解答】解：设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是n°，则nπ×0.75180=5π8，
解得：n＝150，
故答案为：150．
【点评】本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键．
【变式2-5】（2023•桐庐县一模）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是 ．
【分析】先计算出另一个扇形的弧长为7π，设另一个扇形的圆心角为n°，利用弧长公式得n×π×6180=7π，然后解方程即可．
【解答】解：∵圆的周长为2π×6＝12π，
∴另一个扇形的弧长为12π﹣5π＝7π，
设另一个扇形的圆心角为n°，
根据弧长公式得n×π×6180=7π，
解得n＝210，
即另一个扇形的圆心角度数为210°．
故答案为：210°．
【点评】本题考查了弧长的计算：记住弧长公式是解决问题的关键．（弧长公式为l=nπR180，其中弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
题型三 利用弧长公式求周长
【例题3】（2023•东莞市一模）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（ ）
A．π3B．π2C．πD．2π
【分析】由“凸轮”的外围是以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，然后根据弧长公式计算出三段弧长，三段弧长之和即为凸轮的周长．
【解答】
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，
∴AB=AC=BC=60π×1180=π3，
根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，
即凸轮的周长=AB+AC+BC=3×π3=π．
故选：C．
【点评】此题考查了弧长的计算以及等边三角形的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．
【变式3-1】（2023•潢川县校级三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C均在小正方形的顶点上，点B在弧AC上，且∠ACB＝15°，则阴影部分的周长为 ．
【分析】先确定出圆心位置根据弧长公式求出弧AB的长度，根据等边三角形性质得BC的长度，再利用勾股定理求出线段AC的长度，即得答案．
【解答】解：由题意知圆心位置如图所示，
∵∠ACB＝15°，
∴AOB＝30°，
∴∠BOC＝60°，
即△BOC为等边三角形，OC＝BC＝OB＝6，
∴弧AB的长度为：30×6×π180=π，
由勾股定理得：AC=62+62=62，
阴影部分的周长为：6+62+π，
故答案为：6+62+π．
【点评】本题考查了弧长的计算公式、勾股定理求格点中线段的长度、等边三角形的判定等知识点．解题关键是：确定出弧所在圆的圆心位置．
【变式3-2】（2022•绿园区校级模拟）如图，线段AB＝2．以AB为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 ．
【分析】阴影部分的周长为弧AC，弧BC和半圆AB的和．
【解答】解：60π×2180×2+12×2π×1=4π3+π=7π3．
故答案为：7π3．
【点评】本题考查了弧长公式：l=nπr180，也考查了等边三角形的判定与性质，难度适中．
【变式3-3】如图，△ABC是边长为12的等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，以4为半径画弧，则图中阴影部分图形的周长为 .（结果保留π）
【分析】分别求出阴影部分弧长与线段长度然后相加求解．
【解答】解：如图，圆弧交AB于点E，F，
由题意得AB＝12，AE＝BF＝4，
∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴图中总弧长为180π×4180=4π，
∴图中阴影部分图形的周长为3EF+4π＝12+4π．
故答案为：12+4π．
【点评】本题考查三角形与圆的应用，解题关键是将阴影部分周长转化为线段长度与弧长的和．
【变式3-4】（2023•南关区校级二模）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC上的点D处，点C的对应点为点E，则图中阴影部分图形的周长为 .（结果保留π）
【分析】连接BD，根据旋转的性质可得AB＝AD＝BC＝BD＝2，求出△ABD是等边三角形，求出∠ABF＝60°，即可求出AD，再根据阴影部分的周长=AD+AE+DE，即可求解．
【解答】解：连接BD，如图，
∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧上的点D处，点C的对应点为点E，
∴AB＝AD＝BC＝BD＝2，∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴弧AD的长=60π×2180=23π，弧AE的长=90π×2180=π，
∴阴影部分的周长=AD+AE+DE=23π+π+2，
故答案为：53π+2．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，弧长计算等知识点，如果扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，那么扇形的弧长=nπr180．
题型四 利用弧长公式求最值
【例题4】（2023•封丘县二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为AB上一点，且BC=2AC，点P为扇形BOC区域内（不包含边界）一动点．若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为 ．
【分析】根据题意求出圆心角∠BOC的度数，根据弧长公式求出弧BC的长以及BC长的长即可．
【解答】解：如图，连接BC，由于阴影部分的周长等于BC的长与PA、PB的长度和，要使周长最小，则PA+PB最小，
而PA+PB的最小值是BC，
∵∠AOB＝90°，BC=2AC，
∴∠BOC＝90°×21+2=60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝1，
∴BC的长为60π×1180=π3，
∴阴影部分的最小值为π3+1，
故答案为：π3+1．
【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算公式以及正三角形的判定和性质是解决问题的前提．
【变式4-1】（2023•黄岛区一模）如图，半圆O的直径AB＝3，AC=3BC．E是BC上一个动点，弦DE∥AB，OF⊥AB，交DE于点F．OH＝EF．则图中阴影部分周长的最大值为 ．
【分析】连接OE，可证四边形HOEF是平行四边形，则DF+AH+HF＝3，所以当E与C点重合时，AD弧的长最大，可求∠BOC＝45°，即可求AD弧的长=3π8，进而求阴影部分周长的最大值．
【解答】解：连接OE，
∵DE//AB，OF⊥AB，
∴OF⊥DE，
∴DF＝EF，
∵DE∥AB，OH＝EF，
∴四边形HOEF是平行四边形，
∴HF＝OE，DF＝OH，
∵HO＝EF，
∴DF+AH＝HO+AH＝AO，
∴DF+AH+HF＝AO+OE＝AB，
∵AB＝3，
∴DF+AH+HF＝3，
∵点E是BC上一个动点，
∴当E与C点重合时，AD弧的长最大，
此时阴影部分周长最大，
∵AC=3BC，
∴∠BOC＝45°，
∴AD弧的长=45π×32180=38π，
∴阴影部分周长的最大值为38π+3，
故答案为：38π+3．
【点评】本题考查动点的最值问题，熟练掌握弧长的求法，将阴影部分周长的最大值问题转化为求弧长最大值是解题的关键．
【变式4-2】如图，以BC为直径作圆O，A，D为圆周上的点，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分图形的周长最小值为 ．
【分析】根据对称的性质可知阴影部分的周长的最小值为AC+CD，求出AC的长即可．
【解答】解：连接AC，根据对称的意义可知，PD+PC的最小值为AC，
∵AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，
∴AB=CD=AD，
∴∠ABC＝2∠ACB，
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，
∴AC=3•AB=3，
所以阴影部分周长的最小值为AC+CD=3+1，
故答案为：3+1．
【点评】本题考查轴对称的性质，圆周角定理，理解轴对称的性质是解决问题的关键．
题型五 利用公式求扇形面积
【例题5】（2023•鹤山市模拟）圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是（ ）cm2．
A．πB．3πC．9πD．6π
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：S=240π×9360=6πcm2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式．
【变式5-1】（2022•鹿城区校级三模）已知一个扇形的半径为2cm，弧长是π3cm，则它的面积
为 cm2．
【分析】根据扇形的面积公式s=12lr，求解即可．
【解答】解：扇形的面积=12×π3×2=π3（cm2）．
故答案为：π3．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式S=12lr=nπr2360．
【变式5-2】如图，一段公路的转弯处是一段圆弧AB，则扇形AOB的面积为（ ）
A．15πm2B．30πm2C．18πm2D．12πm2
【分析】直接利用扇形的面积公式求得即可．
【解答】解：扇形AOB的面积为：108π×102360=30π（m2）．
故选：B．
【点评】此题考查了扇形面积的计算，知道熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
【变式5-3】（2022•西城区二模）学校图书馆的阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为（ ）
A．9πm2B．6πm2C．3πm2D．πm2
【分析】应用扇形面积的计算公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
n＝120°，r＝3，
∴S=nπr2360=120π×32360=3π（m2）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式进行求解是解决本题的关键．
【变式5-4】（2022春•将乐县校级月考）在一个直径为6cm的圆中，小明画了一个圆心角为120°的扇形，则这个扇形的面积为（ ）
A．πcm2B．2πcm2C．3πcm2D．6πcm2
【分析】扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2，由此即可计算．
【解答】解：∵扇形所在圆的半径r=12×6＝3cm，扇形的圆心角n＝120°，
∴扇形的面积=nπr2360=120π×32360=3π（cm2）．
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积，关键是掌握扇形面积的计算公式．
题型六 列方程求扇形圆心角或半径
【例题6】扇形的弧长为20πcm，面积为240πcm2，那么扇形的半径是（ ）
A．6cmB．12cmC．24cmD．28cm
【分析】根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系：S扇形=12lr，把对应的数值代入即可求得半径r的长．
【解答】解：∵S扇形=12lr
∴240π=12•20π•r
∴r＝24 （cm）
故选：C．
【点评】解此类题目的关键是掌握住扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的等量关系：S扇形=12lr．
【变式6-1】（2022•公安县模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积2π3，则⊙O的半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】将阴影部分的面积转换为扇形BOD的面积，利用扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAC＝60°，
设⊙O的半径为R，
由于S阴影部分＝S扇形BOD=2π3，
所以60π×R2360=2π3，
所以R＝2，
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理，掌握扇形面积的计算公式以及圆周角定理是正确解答的关键．
【变式6-2】已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则这个扇形的圆心角n的度数是（ ）
A．180°B．120°C．90°D．60°
【分析】根据扇形和圆的面积公式列方程即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，n⋅πR2360=（R2）2π，
解得：n＝90，
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
【变式6-3】已知40°的圆心角所对应的扇形面积为169πcm2，则这条弧所在圆的直径为（ ）
A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm
【分析】利用扇形的面积的公式=nπr2360进行计算可得．
【解答】解：∵扇形的面积的公式=nπr2360，n＝40°，扇形面积为169πcm2，
∴169π=40×π×r2360，
解得；r＝±4（负数舍去），
∴这条弧所在圆的直径为8cm．
故选：C．
【点评】本题主要考查了扇形面积公式的应用，准确记忆扇形面积公式是解题关键．
【变式6-4】一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且扇形面积是圆的面积的一半，则这个扇形的圆心角度数是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．75°
【分析】根据扇形和圆的面积公式列出等式计算．
【解答】解：设圆的半径为r，扇形圆心角为n°．
则扇形的半径为2r，
利用面积公式可得：nπ(2r)2360=12πr2，
解得n＝45．
故选：A．
【点评】本题考查了扇形面积的计算．解题时，主要是根据扇形和圆的面积公式列出等式计算，即可求出圆心角度数．
题型七 计算规则图形的阴影部分的面积
【例题7】（2022春•莱西市期中）已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，半径AO＝2，则扇形COD的面积为 ．
【分析】先求出扇形的圆心角，再根据公式计算即可．
【解答】解：∵点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，
∴弧AC＝弧CD＝弧BD，
∴∠COD＝60°，
∴扇形COD的面积为60π×22360=2π3．
故答案为：2π3．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，难度一般．
【变式7-1】（2023•锦州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（ ）
A．23πB．πC．43πD．2π
【分析】先由圆周角定理可得∠AOC的度数，再由扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵∠ABC＝40°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，
∴扇形AOC的面积为80×π×32360=2π，
故选：D．
【点评】此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得∠AOC的度数是解答此题的关键．
【变式7-2】（2022•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）
A．π3B．3π5C．2π3D．3π4
【分析】解直角三角形求出∠CBE＝30°，推出∠ABE＝60°，再利用扇形的面积公式求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵BA＝BE＝2，BC=3，
∴cs∠CBE=CBBE=32，
∴∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
∴S扇形BAE=60⋅π⋅22360=2π3，
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数．
【变式7-3】已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理求出∠C＝90°，再根据勾股定理求出AB，由∠ABD＝45°求出∠DOB＝90°，根据勾股定理求出BD即可；
（2）根据扇形的面积即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10（cm）；
∵∠ABD＝45°，OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD＝90°，
∵AB＝10cm，
∴OB＝OA＝5cm，
∴OD＝5cm，
∴BD=OD2+OB2=52+52=52（cm）；
（2）阴影部分的面积S＝S扇形AOD=90π×52360=254π（cm2）．
【点评】本题考查了勾股定理，圆周角定理，扇形的面积计算，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AB的长和∠DOB的度数是解此题的关键．
【变式7-4】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若CD＝43，∠B＝60°，求扇形OAC（阴影部分）的面积．
【分析】（1）根据垂径定理得到BC=BD，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，求出∠AOC，根据正弦的定义求出OC，利用扇形面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴BC=BD，
∴∠A＝∠BCD；
（2）解：∵OC＝OB，∠B＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=12CD＝23，
在Rt△COE中，OC=CEsin∠COB=4，
∴扇形OAC（阴影部分）的面积=120π×42360=163π．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式S=nπR2360是解题的关键．
题型八 计算不规则图形的阴影部分的面积
【例题8】（2023•凤台县校级三模）如图，点B在半圆O上，直径AC＝10，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5πB．52πC．10πD．54π
【分析】先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形得到△AOB的面积与△COB的面积相等，从而把阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积，再根据扇形面积计算公式求出即可．
【解答】解：∵点O是AC的中点，
∴线段BO是△ABC的中线，
∴S△AOB＝S△COB，
∴S阴影＝S扇形OBC，
∵∠BAC＝36°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝72°，
∵直径AC＝10，
∴OC＝5，
∴S扇形OBC=72π×52360=5π，
∴S阴影＝5π，
故选：A．
【点评】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，三角形的中线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
【变式8-1】（2022•长春一模）如图，圆心重合的两圆半径分别为4、2，∠AOB＝120°，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4πB．163πC．8πD．16π
【分析】阴影部分的面积是一个环形，可用大圆中240°角所对的扇形的面积减去小圆中240°角所对的面积来求得．根据扇形的面积求解即可．
【解答】解：S阴影=240π×42360−240π×22360=8π．
故选：C．
【点评】本题主要考查了扇形面积公式，关键是找出图中的关系和熟记公式．
【变式8-2】如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，将半圆绕点A顺时针旋转45°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．πB．2πC．4πD．6π
【分析】先根据旋转的性质得S半圆AB＝S半圆AC，∠BAC＝45°，再利用面积的和差得到S阴影部分+S半圆AB＝S半圆AC+S扇形BAC，即有S阴影部分＝S扇形BAC，然后根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵半圆AB绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到C的位置，
∴S半圆AB＝S半圆AC，∠BAC＝45°，
∵S阴影部分+S半圆AB＝S半圆AC+S扇形BAC，
∴S阴影部分＝S扇形BAC=45π×42360=2π．
故选：B．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
【变式8-3】如图，D是等边△ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE和扇形EAD，连接CD、BE、DE．
（1）若AD＝1，求阴影部分的面积；（结果保留根号和π）
（2）若∠ADC＝110°，求∠BED的度数．
【分析】（1）利用扇形面积公式和三角形面积公式求得即可；
（2）由SAS证△EAB≌△DAC可得∠AEB＝∠ADC＝110°，证△EAD为等边三角形，则∠AED＝60°，继而得出答案．
【解答】解：（1）∵AD＝AE＝1，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴S△ADE=12×1×32×1=34，
∴S阴影=60π×12360−34=π6−34；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC，
∴∠EAB＝∠DAC，
在△EAB和△DAC中，
AB=AC∠EAB=∠DACAE=AD，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠AEB＝∠ADC＝110°，
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD为等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝110°﹣60°＝50°．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算，旋转的性质，等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握旋转的性质，证得三角形的全等是解题的关键．
【变式8-4】（2022•江岸区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO=12AO=12OE，根据勾股定理列方程求解．
（2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵直径AB⊥DE，
∴CE=12DE＝1．
∵DE平分AO，
∴CO=12AO=12OE．
设CO＝x，则OE＝2x．
由勾股定理得：12+x2＝（2x）2．
x=33．
∴OE＝2x=233．
即⊙O的半径为233．
（2）连接OF，
在Rt△DCP中，
∵∠DPC＝45°，
∴∠D＝90°﹣45°＝45°．
∴∠EOF＝2∠D＝90°．
∴S扇形OEF=90⋅π⋅(233)2360=13π．
∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF=233
SRt△OEF=12×(233)2=23．
∴S阴影＝S扇形OEF﹣SRt△OEF=13π−23．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
题型九 求旋转过程中扫过的路径或面积
【例题9】如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△A'B'C的位置，且A、C、B'三点在同一条直线上，则点A经过的路线的长度是（ ）
A．8B．43C．323πD．83π
【分析】由旋转可知，点A经过的路线是弧长，计算出半径和圆心角即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝30°，BC＝2，
∴∠ACB＝60°，
AC＝2BC＝4，
∵A、C、B'三点在同一条直线上，
∴∠ACA′＝120°，
由弧长公式可知：
点A经过的路线长度为：120×π×4180=83π．
故选：D．
【点评】本题是以直角三角形为背景的旋转，考查了旋转的性质以及弧长公式，求出半径和圆心角是解题的关键，属于基础题．
【变式9-1】如图，Rt△OCB的斜边OB在y轴上，OC=3，∠BOC＝30°，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则B点的对应点B′的坐标和点B在旋转过程中绕过的路径长分别是（ ）
A．（3，﹣1）和43πB．（1，−3）和23π
C．（2，0）和43πD．（3，0）和23π
【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝1，再利用旋转的性质得到OC′＝OC=3，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，然后利用第四象限点的坐标特征写出点B′的坐标，再利用弧长公式求出点B的运动路径的长．
【解答】解：如图，
在Rt△OCB中，∵∠BOC＝30°，
∴BC=33OC=33×3=1，OB＝2BC＝2，
∵Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，
∴OC′＝OC=3，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，
∴点B′的坐标为（3，﹣1），
∴点B的运动路径的长=120⋅π⋅2180=43π，
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
【变式9-2】如图，等边三角形和正方形的边长都是a，在图形所在的平面内，将△PAD以点A为中心沿逆时针方向旋转，使AP与AB重合，如此继续分别以点B、C、D 为中心将三角形进行旋转，使点P回到原来位置为止，则点P从开始到结束所经过路径的长为（ ）
A．72πaB．134πaC．196πaD．258πa
【分析】首先作出图形，于是可得点P所经过的路径是半径为a、圆心角分别为210°和210°和150°的三段圆弧，根据弧长公式即可求出总长度．
【解答】解：作图如右：
点P所经过的路径是半径为a、圆心角分别为210°和210°和150°的三段圆弧，
故总长度为2πa（210°360°×2+150°360°）=19π6a．
故选：C．
【点评】本题主要考查弧长的计算和等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质，此题难度不大．
【变式9-3】（2022秋•上城区校级月考）如图，在△AOB中，OA＝2，OB＝5，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得△A'OB'．
（1）求点B扫过的弧的长；
（2）求线段AB扫过的面积．
【分析】（1）根据弧长公式和旋转的性质可解答；
（2）根据旋转的性质可得，阴影部分的面积等于S扇形B'OB﹣S扇形A'OA，从而根据OA＝2，OB＝OB'＝5，可计算出答案．
【解答】解：（1）由旋转得：∠BOB'＝90°，OB＝OB'，
∴点B扫过的弧的长=90π×5180=5π2；
（2）根据旋转的性质可得：△AOB的面积＝△A'OB'的面积，
∴线段AB扫过的面积＝S扇形B'OB+S△AOB﹣S扇形A'OA﹣S△A'B'O＝S扇形B'OB﹣S扇形A'OA=90π×52360−90π×22360=21π4．
【点评】此题考查了扇形的弧长和面积计算及旋转的性质，解答本题的关键是根据旋转的性质得出：△AOB的面积＝△A'OB'的面积，从而得到线段AB扫过的面积．
【变式9-4】（2022秋•邯山区校级期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C，直接写出A′，B′坐标；
（2）在（1）的条件下，请直接写出点B旋转到点B′所经过的路线长 322π （结果保留π）；
（3）在（1）的条件下，求点A旋转到点A′时，线段AC所扫过的面积（结果保留π）．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B的对应点A′、B′即可得到△A′B′C′，根据平面直角坐标系写出点A′和B′的坐标即可；
（2）利用勾股定理列式求出AC，点A旋转到点A′所经过的路线是以C点为圆心，CA为半径，圆心角为90度的弧，于是可根据弧长公式计算点A旋转到点A′所经过的路线长；
（3）根据扇形的面积公式计算即可求解．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作，A′（6，4），B′（5，1）；
（2）由勾股定理得，AC=32+32=32，
如图，点A旋转到点A′所经过的路线长=90⋅π⋅32180=322π．
故答案为：322π；
（3）如图，点A旋转到点A′时，线段AC所扫过的面积=90⋅π(32)2360=9π2．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，勾股定理，弧长公式，扇形面积公式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
【变式9-5】如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接CE．
（1）求证：DB∥CE；
（2）若AB＝3，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
【分析】（1）只要证明∠CBE＝∠DAB＝60°即可，
（2）由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，利用弧长公式计算即可．
【解答】（1）证明：由题意得：
△ABC≌△DBE，且∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴CB＝EB，
∴△CBE是等边三角形，
∴∠CEB＝60°，
∴∠CEB＝∠DBA，
∴DB∥CE；
（2）解：由题意，BA＝BD＝3，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴A，C两点旋转所经过的路径长之和=60π×3180+60π×1180=4π3．
【点评】本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
解题技巧提炼
本题考查了弧长的计算，解题关键是掌握弧长公式l=nπr180．
解题技巧提炼
本题已知弧长，利用弧长的计算公式得到关于圆心角或半径的方程，然后解方程即可解决问题．
解题技巧提炼
本题考查三角形与圆的应用，解题关键是将阴影部分周长转化为线段长度与弧长的和．
解题技巧提炼
本题考查动点的最值问题，熟练掌握弧长的求法，将阴影部分周长的最值问题转化为求弧长最值是解题的关键．
解题技巧提炼
设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，
则S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
解题技巧提炼
本题已知扇形的面积，利用扇形面积的计算公式得到关于圆心角或半径的方程，然后解方程即可解决问题．
解题技巧提炼
所求阴影部分是规则图形，直接用几何图形的面积公式求解.
解题技巧提炼
1、先将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算.
2、计算不规则图形的阴影部分的面积通过对图形的变换，为利用公式法或和差法求解创造条件.
解题技巧提炼
本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式，扇形面积公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
解题技巧提炼
本题考查了弧长的计算，解题关键是掌握弧长公式l=nπr180．
解题技巧提炼
本题已知弧长，利用弧长的计算公式得到关于圆心角或半径的方程，然后解方程即可解决问题．
解题技巧提炼
本题考查三角形与圆的应用，解题关键是将阴影部分周长转化为线段长度与弧长的和．
解题技巧提炼
本题考查动点的最值问题，熟练掌握弧长的求法，将阴影部分周长的最值问题转化为求弧长最值是解题的关键．
解题技巧提炼
设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，
则S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
解题技巧提炼
本题已知扇形的面积，利用扇形面积的计算公式得到关于圆心角或半径的方程，然后解方程即可解决问题．
解题技巧提炼
所求阴影部分是规则图形，直接用几何图形的面积公式求解.
解题技巧提炼
1、先将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算.
2、计算不规则图形的阴影部分的面积通过对图形的变换，为利用公式法或和差法求解创造条件.
解题技巧提炼
本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式，扇形面积公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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