苏科版九年级数学上册同步精讲精练第一次月考模拟测试卷(原卷版+解析)

这是一份苏科版九年级数学上册同步精讲精练第一次月考模拟测试卷(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（测试范围：第1章---第2章）
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋•罗山县期末）若（a﹣3）xb﹣2﹣5x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则a、b的取值为（ ）
A．a≠0，b＝4B．a≠0，b＝2C．a≠﹣3，b＝4D．a≠3，b＝4
2．（2023•新疆一模）如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC＝25°，在⊙O上任取一点D，且点D与点C位于直径AB的两侧，连接AD和DC，则∠D的度数是（ ）
A．50°B．60°C．65°D．75°
3．（2023•延津县三模）一元二次方程（x+1）（x﹣2）＝2x﹣5的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．只有一个实数裉
4．（2023春•东营期末）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若CD=22，则AB的长为（ ）
A．102B．10C．62D．6
5．（2022秋•细河区期末）一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为80m2的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门（如图），设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为（ ）
A．x(27−x2)=80B．x（26﹣2x）＝80
C．x(26−x2)=80D．x（27﹣2x）＝80
6．（2023•杭州二模）如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（ ）
A．∠OBA＝∠OCAB．四边形OABC内接于⊙O
C．AB＝2BCD．∠OBA+∠BOC＝90°
7．（2022秋•龙江县期末）若⊙O所在平面内有一点P，点P到⊙O上点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙O的直径为（ ）
A．6B．10C．6或10D．无法确定
8．（2023•太康县一模）定义运算：m☆n＝m2+mn﹣n．例如：3☆2＝32+3×2﹣2＝13．则方程x☆2022＝1的根为（ ）
A．x1＝1，x2＝2023B．x1＝﹣1，x2＝﹣2023
C．x1＝1，x2＝﹣2023D．x1＝﹣1，x2＝2023
9．（2023•肥城市校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．22C．3D．42
10．（2022春•宣城期末）已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+b﹣c的值
为（ ）
A．1B．﹣5C．﹣6D．﹣7
填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2022秋•华容区期末）若x＝0是一元二次方程x2+b−1x+b2−4＝0的一个根，则b的值是 ．
12．（2023•南岗区一模）已知扇形的弧长为4π，直径为16，则此扇形的圆心角为 ．
13．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为 ．
14．（2023•朝阳）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
是 ．
15．（2023•振兴区校级一模）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了 个人．
16．（2023•龙湾区模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O．对角线AC，BD交于点F，则∠AFD的度数为 ．
17．（2022秋•毕节市期末）三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣10x+24＝0的根，则该三角形的周长为 ．
18．（2022秋•邗江区期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点O是BC边中点，⊙O的半径为1，点P是AC边上一动点，则由点P到⊙O的切线长PQ的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分共66分）
19．（每小题4分，共8分）（2023春•永兴县校级期末）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+4x﹣6＝0； （2）（x+4）2＝5（x+4）．
20．（7分）（2022秋•应城市校级月考）已知a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，求a2﹣2017a+2018a2+1的值．
21．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交CA的延长线于点E，连接AD，DE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若DE＝4，求AD的长．
22．（7分）（2022秋•碧江区 月考）阅读下面材料，解答问题．
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设x2﹣1＝y，那么原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2∴x＝±2；
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5∴x＝±5；
故原方程的解为x1=2，x2=−2，x3=5，x4=−5；
上述解题方法叫作换元法、请利用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12＝0．
23．（8分）（2022秋•东阳市期中）如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8．C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC，∠CBD＝30°．
（1）求∠COA的度数；
（2）求图中弧BD与弦BD围成的阴影部分的面积（结果保留π）．
（8分）（2022秋•细河区期末）某超市以每箱25元的进价购进一批水果，当该水果售价为40元/箱时，
六月销售256箱，七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到400箱．
（1）求七，八两月的月平均增长率；
（2）九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在八月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利4250元？
25．（9分）（2023春•莱州市期中）关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围；
（2）如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根；
（3）如果x1，x2是这个方程的两个根，且x12+x22+3x1•x2＝25，求k的值．
26．（12分）已知Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=3，BC＝1，∠ABC＝90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，设△ABC移动的时间为t（s）．
（1）当△ABC的边AC与圆第一次相切时，求t的值；
（2）若在△ABC移动的同时，圆O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切时，求t的值；
（3）在（2）的条件下的移动过程中，圆心O到AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d，当d＜1时，求t的取值范围．
（苏科版）2023-2024学年九年级上学期数学
第一次月考模拟测试卷
（测试范围：第1章---第2章）
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋•罗山县期末）若（a﹣3）xb﹣2﹣5x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则a、b的取值为（ ）
A．a≠0，b＝4B．a≠0，b＝2C．a≠﹣3，b＝4D．a≠3，b＝4
【分析】根据一元二次方程的定义得出a﹣3≠0，b﹣2＝2求出即可．
【解答】解：由题意，得a﹣3≠0，b﹣2＝2
解得a≠3，b＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．（2023•新疆一模）如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC＝25°，在⊙O上任取一点D，且点D与点C位于直径AB的两侧，连接AD和DC，则∠D的度数是（ ）
A．50°B．60°C．65°D．75°
【分析】连接BC，由圆周角定理的推论得∠ACB＝90°，得∠B＝65°，再由圆周角定理的推论得解．
【解答】解：连接BC，如图所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠B＝65°，
∵AC=AC，
∴∠D＝∠B＝65°．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理的推论、直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的两个推论是解答此题的关键．
3．（2023•延津县三模）一元二次方程（x+1）（x﹣2）＝2x﹣5的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．只有一个实数裉
【分析】先化为一般形式，然后根据根的判别式进行解答即可．
【解答】解：（x+1）（x﹣2）＝2x﹣5，
即x2﹣3x+3＝0，
由题意，可知Δ＝32﹣4×1×3＝﹣3＜0，
∴该一元二次方程没有实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0 （a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
4．（2023春•东营期末）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若CD=22，则AB的长为（ ）
A．102B．10C．62D．6
【分析】连接OC，由题意即可推出OC的长度可得OA的长度，运用勾股定理即可推出AD的长度，然后，通过垂径定理即可推出AB的长度．
【解答】解：连接OA，
∵⊙O的弦AB垂直平分半径OC，CD=22，
∴OC=2，
∴OA=2，
∵OC⊥AB，
∴AD=62，
∵AB＝2AD，
∴AB=6．
故选：D．
【点评】本题主要考查垂径定理、勾股定理的应用，关键在于正确地作出辅助线构建直角三角形，认真地进行计算．
5．（2022秋•细河区期末）一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为80m2的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门（如图），设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为（ ）
A．x(27−x2)=80B．x（26﹣2x）＝80
C．x(26−x2)=80D．x（27﹣2x）＝80
【分析】设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（27﹣2x）m，根据长方形花园面积为80m2即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（27﹣2x）m，
根据题意得：x（27﹣2x）＝80．
故答案为：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据长方形花园的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
6．（2023•杭州二模）如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（ ）
A．∠OBA＝∠OCAB．四边形OABC内接于⊙O
C．AB＝2BCD．∠OBA+∠BOC＝90°
【分析】过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂径定理得到AE=BE，于是得到AE=BE=BC，推出AE＝BE＝BC，根据三角形的三边关系得到2BC＞AB，故C错误；根据三角形内角和得到∠OBA=12（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA=12（180°﹣∠AOC）＝90°−32∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A错误；由点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；根据余角的性质得到∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；
【解答】解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，
则AE=BE，
∴AE＝BE，∠AOE＝∠BOE=12∠AOB，
∵∠AOB＝2∠BOC，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠BOC，
∴AE=BE=BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴2BC＞AB，故C错误；
∵OA＝OB＝OC，
∴∠OBA=12（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，
∠OCA=12（180°﹣∠AOC）＝90°−32∠BOC，
∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；
∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，
∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；
∵∠BOE＝∠BOC=12∠AOB，
∵∠BOE+∠OBA＝90°，
∴∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．（2022秋•龙江县期末）若⊙O所在平面内有一点P，点P到⊙O上点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙O的直径为（ ）
A．6B．10C．6或10D．无法确定
【分析】由于点P与⊙O的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解答】解：设⊙O的半径为r，
当点P在圆外时，r=8−22=3，⊙O的直径为6；
当点P在⊙O内时，r=8+22=5，⊙O的直径为10．
故选：C．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．
8．（2023•太康县一模）定义运算：m☆n＝m2+mn﹣n．例如：3☆2＝32+3×2﹣2＝13．则方程x☆2022＝1的根为（ ）
A．x1＝1，x2＝2023B．x1＝﹣1，x2＝﹣2023
C．x1＝1，x2＝﹣2023D．x1＝﹣1，x2＝2023
【分析】利用新定义得出方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：根据题中的新定义得：x2+2022x﹣2022＝1，
∴x2+2022x﹣2023＝0，
（x﹣1）（x+2023）＝0，
∴x﹣1＝0或x+2023＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣2023．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，弄清题中的新定义是解本题的关键．
9．（2023•肥城市校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．22C．3D．42
【分析】先根据圆内接四边形对角互补得出∠ADC＝45°，由圆周角定理得出∠AOC＝90°，根据OA＝OC可得出答案．
【解答】解：连接OA，OC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
由勾股定理得：OA2+OC2＝AC2，
∵OA＝OC，AC＝4，
∴OA=22，
∴⊙O的半径为：22．
故选：B．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相关定理．
10．（2022春•宣城期末）已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+b﹣c的值
为（ ）
A．1B．﹣5C．﹣6D．﹣7
【分析】题目中的式子相加，然后利用配方法变形为完全平方的形式，再利用非负数的性质即可求得所求式子的值．
【解答】解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，
∴（a2+2b）+（b2﹣2c）+（c2﹣6a）＝7+（﹣1）+（﹣17），
∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝﹣11，
∴（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+（c2﹣2c+1）＝0，
∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，
∴a﹣3＝0，b+1＝0，c﹣1＝0，
解得，a＝3，b＝﹣1，c＝1，
∴a+b﹣c＝3﹣1﹣1＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了配方法的应用、非负数的性质，解题的关键是根据完全平方和公式将代数式转化为偶次方的和的形式，求出a，b，c的值．
填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2022秋•华容区期末）若x＝0是一元二次方程x2+b−1x+b2−4＝0的一个根，则b的值是 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝0代入x2+b−1x+b2−4=0得b2﹣4＝0，然后解关于b的方程即可．
【解答】解：把x＝0代入x2+b−1x+b2−4=0得b2﹣4＝0，
解得b＝±2，
∵b﹣1≥0，
∴b≥1，
∴b＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，还考查了二次根式有意义的条件．
12．（2023•南岗区一模）已知扇形的弧长为4π，直径为16，则此扇形的圆心角为 ．
【分析】设此扇形的圆心角为x°，代入弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：设此扇形的圆心角为x°，
由题意得，8πx180=4π，
解得，x＝90，
故答案为：90°．
【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式l=nπr180是解题的关键．
13．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为 ．
【分析】由于CA、CE，DE、DB都是⊙O的切线，可由切线长定理将△PCD的周长转换为PA、PB的长．
【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴PA＝PB＝5；
同理，可得：EC＝CA，DE＝DB；
∴△PDC的周长＝PC+CE+DE+DP＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝2PA＝10．
即△PCD的周长是10．
【点评】此题主要考查的是切线长定理的应用．能够将△PCD的周长转换为切线PA、PB的长是解答此题的关键．
14．（2023•朝阳）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
是 ．
【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴k−1≠0Δ=22−4×(k−1)×(−2)＞0，
解得：k＞12且k≠1，
∴k的取值范围是k＞12且k≠1．
故答案为：k＞12且k≠1．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
15．（2023•振兴区校级一模）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了 个人．
【分析】有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均每人传染m人，
依题意，得（1+m）2＝256，
解得：m1＝15，m2＝﹣17（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了15人，
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（2023•龙湾区模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O．对角线AC，BD交于点F，则∠AFD的度数为 ．
【分析】如图，先根据正五边形的性质，可知AB＝CD=15 圆周长，进而求出∠DBC=∠ACB=12×15×360°=36°，求出∠AFD＝∠BFC＝108°，即可得到答案．
【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
∴AB＝CD=15 圆周长，
∴∠DBC=∠ACB=12×15×360°=36°，
∴∠BFC＝180°﹣2×36°＝108°，
∴∠AFD＝∠BFC＝108°，
故答案为：108°．
【点评】本题以正多边形和圆为载体，考察正多边形和圆的性质为核心，灵活运用相关定理来分析求解即可．
17．（2022秋•毕节市期末）三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣10x+24＝0的根，则该三角形的周长为 ．
【分析】首先从方程x2﹣10x+24＝0中，确定第三边的边长为4或6；其次考查2，3，4或2，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．
【解答】解：由方程x2﹣10x+24＝0，得：
解得x＝4或x＝6，
当第三边是6时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；
当第三边是4时，三角形的周长为2+4+3＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和三角形三边关系．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应舍去．
18．（2022秋•邗江区期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点O是BC边中点，⊙O的半径为1，点P是AC边上一动点，则由点P到⊙O的切线长PQ的最小值为 ．
【分析】当PO⊥AC时，线段PQ最短；连接CP、CQ，根据勾股定理知PQ2＝CP2﹣CQ2，先求出CP的长，然后由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：如图，连接OP，OQ，AO，
∵PQ与⊙O相切于点Q，
∴OQ⊥PQ，
∵OQ＝1，
∴当OP最短时，PQ最小，
∴当PO⊥AC时，线段PQ最小，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，点O是BC边中点，
∴AO⊥BC，OC=12BC＝3，
∴AO=AC2−OC2=52−32=4，
∴S△AOC=12S△ABC=12×12×6×4＝6，
∴12×5×OP＝6，
∴OP=125，
∴PQ=(125)2−12=1195，
∴点P到⊙O的切线长PQ的最小值为1195．
故答案为：1195．
【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PO⊥AC时，线段PQ最短是关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分共66分）
19．（每小题4分，共8分）（2023春•永兴县校级期末）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+4x﹣6＝0； （2）（x+4）2＝5（x+4）．
【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）整理后，利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）x2+4x﹣6＝0
∵a＝1，b＝4，c＝﹣6，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣6）＝40，
∴x=−b±b2−4ac2a=−4±402=−2±10，
∴x1＝﹣2+10，x2＝﹣2−10；
（2）（x+4）2＝5（x+4）
∴（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
则（x+4）（x+4﹣5）＝0，
∴（x+4）（x﹣1）＝0，
则x+4＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝1．
【点评】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．
20．（7分）（2022秋•应城市校级月考）已知a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，求a2﹣2017a+2018a2+1的值．
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到a2＝2018a﹣1，则a2﹣2017a+2018a2+1可变形为a﹣1+1a，通分得到原式=a2+1a−1，然后把a2＝2018a﹣1代入计算即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2018a+1＝0，
∴a2＝2018a﹣1，
∴a2﹣2017a+2018a2+1=2018a﹣1﹣2017a+20182018a−1+1
＝a﹣1+1a
=a2+1a−1
=2018a−1+1a−1
＝2018﹣1
＝2017．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形能力．
21．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交CA的延长线于点E，连接AD，DE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若DE＝4，求AD的长．
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可；
（2）根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到∠B＝∠E，根据对边对等角得出∠B＝∠C，则∠E＝∠C，进而得到DE＝DC，即可根据勾股定理求解．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）∵AB＝AC＝5，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C，
∴DE＝DC，
∵DE＝4，
∴DC＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AD=AC2−CD2=52−42=3．
【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟记同圆中同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
22．（7分）（2022秋•碧江区 月考）阅读下面材料，解答问题．
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设x2﹣1＝y，那么原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2∴x＝±2；
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5∴x＝±5；
故原方程的解为x1=2，x2=−2，x3=5，x4=−5；
上述解题方法叫作换元法、请利用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12＝0．
【分析】先设y＝x2﹣x，则原方程变形为y2﹣8y+12＝0，运用因式分解法解得y1＝2，y2＝6，再把y＝2和6分别代入y＝x2﹣x得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．
【解答】解：设y＝x2﹣x，则
y2﹣8y+12＝0，即（y﹣2）（y﹣6）＝0，
解得：y1＝2，y2＝6，
当y1＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2；
当y2＝6时，x2﹣x＝6，即x2﹣x﹣6＝0，
解得：x3＝3，x4＝﹣2．
所以原方程的解为x1＝﹣1，x2＝2，x3＝3，x4＝﹣2．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题．如本题就是把一元四次方程转化为一元二次方程．
23．（8分）（2022秋•东阳市期中）如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8．C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC，∠CBD＝30°．
（1）求∠COA的度数；
（2）求图中弧BD与弦BD围成的阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠OCB＝∠CBD＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC＝30°，即可求得∠COA＝60°；
（2）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠COA＝∠OCB+∠OBC＝60°；
（2）连接OD，
∵∠CBD＝∠OBC＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD=60π×42360−12×4×32×4=83π﹣43．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
（8分）（2022秋•细河区期末）某超市以每箱25元的进价购进一批水果，当该水果售价为40元/箱时，
六月销售256箱，七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到400箱．
（1）求七，八两月的月平均增长率；
（2）九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在八月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利4250元？
【分析】（1）设七，八两月的月平均增长率为x，利用八月的销售量＝六月的销售量×（1+七，八两月的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该水果每箱降价y元，则每箱盈利（40﹣y﹣25）元，月销售量为（400+5y）箱，利用总利润＝每箱的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设七，八两月的月平均增长率为x，
依题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：七，八两月的月平均增长率为25%．
（2）设该水果每箱降价y元，则每箱盈利（40﹣y﹣25）元，月销售量为（400+5y）箱，
依题意得：（40﹣y﹣25）（400+5y）＝4250，
整理得：y2+65y﹣350＝0，
解得：y1＝5，y2＝﹣70（不符合题意，舍去）．
答：当该水果每箱降价5元时，超市九月获利4250元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（9分）（2023春•莱州市期中）关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围；
（2）如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根；
（3）如果x1，x2是这个方程的两个根，且x12+x22+3x1•x2＝25，求k的值．
【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，然后解不等式；
（2）设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得2+t＝6，2t＝k，然后解方程组即可；
（3）根据根与系数的关系得x1+x2＝6，x1x2＝k，再由x12+x22+3x1•x2＝25得到（x1+x2）2+x1x2＝25，所以62+k＝25，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，
解得k＜9，
即k的取值范围为k＜9；
（2）设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2+t＝6，2t＝k，
解得t＝4，k＝8，
即k的值为8，方程的另一个根为4；
（3）根据根与系数的关系得x1+x2＝6，x1x2＝k，
∵x12+x22+3x1•x2＝25，
∴（x1+x2）2+x1x2＝25，
∴62+k＝25，
解得k＝﹣11，
即k的值为﹣11．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了根与系数的关系．
26．（12分）已知Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=3，BC＝1，∠ABC＝90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，设△ABC移动的时间为t（s）．
（1）当△ABC的边AC与圆第一次相切时，求t的值；
（2）若在△ABC移动的同时，圆O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切时，求t的值；
（3）在（2）的条件下的移动过程中，圆心O到AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d，当d＜1时，求t的取值范围．
【分析】（1）先根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠A＝30°，∠ACB＝60°，作OD⊥直线BC，则OD＝1，当△ABC的边AC与圆第一次相切时，如图1，△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′C′与⊙O相切，作OE⊥A′C′，连接OC′，根据切线长定理得到∠OC′D＝60°，在Rt△ODC′中计算出C′D=33，然后利用线段之间的关系得到2t+1+33=5，再解一次方程即可；
（2）如图2，△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，即△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′B′与⊙相切，作O′Q⊥A′B′于Q，由切线的性质得O′Q＝1，则D′B′＝1，然后利用线段之间的关系得到5+t+1＝2t，再解一次方程即可；
（3）利用直线AC与圆两次相切的时间确定d＜1时，t的范围：当△ABC平移到△A1B1C1的位置，A1C1与⊙O相切，d＝1，如图3，由（1）得C1D=33，则DB1＝DD′﹣B1C1﹣C1D′＝t﹣1−33，利用线段之间的关系得5+t﹣1−33=2t，得到此时t＝4−33；当△ABC平移到△A2B2C2的位置，A2C2与⊙O相切，d＝1，如图3，作O′H⊥A2C2于H，根据切线长定理得到∠O′C2D′＝30°，则C2D′=3O′D′=3，利用线段之间的关系得4+t+3=2t，得到此时t＝4+3，于是当d＜1时，t的取值范围为4−33＜t＜4+3．
【解答】解：（1）∵AB=3，BC＝1，∠ABC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=2，
∴∠A＝30°，∠ACB＝60°，
作OD⊥直线BC，则OD＝1，
当△ABC的边AC与圆第一次相切时，如图1，△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′C′与⊙O相切，作OE⊥A′C′，连接OC′，则OC′平分∠DC′E，
∵∠A′C′B′＝∠ACB＝60°，
∴∠OC′D＝60°，
在Rt△ODC′中，∵OD＝1，∠DOC′＝30°，
∴C′D=33，
∵BB′＝2t，B′C′＝BC＝1，BD＝5，
∴2t+1+33=5，
∴t＝2−36；
（2）如图2，△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，即△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′B′与⊙相切，作O′Q⊥A′B′于Q，
则O′Q＝1，
∴D′B′＝1，
∵BD＝5，DD′＝t，BB′＝2t，
∴5+t+1＝2t，
∴t＝6；
（3）当△ABC平移到△A1B1C1的位置，A1C1与⊙O相切，d＝1，如图3，由（1）得C1D=33，
∵BD＝5，DD′＝t，BB1＝2t，
∴DB1＝DD′﹣B1C1﹣C1D′＝t﹣1−33，
∴5+t﹣1−33=2t，
∴t＝4−33；
当△ABC平移到△A2B2C2的位置，A2C2与⊙O相切，d＝1，如图3，
作O′H⊥A2C2于H，
∵O′C2平分∠A2C2B2，
∴∠O′C2D′＝30°，
∴C2D′=3O′D′=3，
∵CD+DD′+D′C2＝CC2，
∴4+t+3=2t，
∴t＝4+3，
∴当d＜1时，t的取值范围为4−33＜t＜4+3．
【点评】本题考查了圆的综合题：掌握与圆有关的性质和切线的性质、直线与圆的位置关系；会利用含30度的直角三角形三边的关系进行计算；会应用一元一次方程解决几何计算问题．