初中数学北师大版（2024）八年级上册3 一次函数的图象精练

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册3 一次函数的图象精练，共29页。

能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．
2.理解并掌握一次函数图象平移后的解析式，并识记平移后的规律；
3.初步认识数形结合思想，并能用数形结合思想解决简单问题；
4.初步掌握设参求值解决点的坐标，线段长及面积等问题；
5.利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题；
【要点梳理】
【要点1】函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；
【要点2】一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：
【要点3】 、对一次函数的图象和性质的影响：
决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
【要点4】一次函数的平移
：
当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；
当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.
【要点5】直线位置关系与k、b关系
两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
（1）与相交； （2），且与平行；
【要点6】直线与坐标轴交点与方程解的关系
直线与x轴交点坐标（）就是方程的解；
直线与y轴交点坐标（0,b）就是方程的解；
特别说明：
【典型例题】
类型一、一次函数的图象
1．1．画出平面直角坐标系，在平面直角坐标系内画出函数y＝2x+1的图象，并判断点A(0，1)，B(﹣1，﹣1)是否在该函数的图象上．
【答案】见分析，点A，B在该函数的图像上
【分析】求出当x＝0时，y＝1，当x＝−1时，y＝−1，然后画出函数图象，进而可得点A，B在该函数的图象上．
解：当x＝0时，y＝1，当x＝−1时，y＝−1，
画出函数图象如图所示：
∴点A（0，1），B（−1，−1）在函数y＝2x＋1的图象上．
【点拨】本题考查画一次函数图象，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
举一反三：
【变式1】一次函数y=2x−2的图象经过点A(a+3，6)．
在平面直角坐标系内画出该函数的图象；
求a的值．
【答案】(1) 见分析 (2) a=1．
【分析】（1）求得一次函数y=2x-2的图象与坐标轴的交点坐标，描点连线，即可画出图象；
（2）把点A(a+3，6)代入函数关系式，即可求解．
(1)解：当x=0时，y=-2；当y=0时，x=1，
经过（0，-2），（1，0）两点画一条直线，
如图即是所画图象．

(2)解：将点A(a+3，6)代入y=2x-2，
得2(a+3)-2=6，
∴a=1．
【点拨】本题考查了一次函数图象的画法，一次函数图象上点的坐标特征．解题关键是理解点的坐标与函数表达式的关系．
【变式2】已知一次函数y＝2x+1，在平面直角坐标系中画出该函数的图象；并判断说明点（1，）在该函数图象的上方还是下方．
【答案】见分析，点（1，）在函数图象上方
【分析】求出直线与坐标轴的交点即可画出一次函数的图象，再求出x＝1时的y的值，判断与的大小即可解决问题.
解：当x＝0时，y＝2x+1＝1，
当y＝2x+1＝0时，解得x，
∴一次函数y＝2x+1的图象如图所示：
当x＝1时，y＝2x+1＝3，
∴点（1，）在函数图象上方．
【点拨】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
类型二、一次函数图象的位置
2．已知一次函数．
为何值时，随的增大而减小；
、分别满足什么条件时，函数的图象与轴的交点在轴的下方？
(3)、分别满足什么条件时，函数的图象经过原点？
(4)、分别满足什么条件时，函数的图象不经过第四象限？
【答案】(1) 当m＜-2时，y随x的增大而减小
(2) 当m≠-2、n＜4时，函数图象与y轴的交点在x轴下方
(3) 当m≠-2、n=4时，函数图象经过原点
(4) 当m＞-2、n4时，函数图象不经过第四象限
【分析】（1）由y随x的增大而减小利用一次函数的性质可得出6+3m＜0，解之即可得出结论；
（2）根据一次函数的定义结合一次函数图象与y轴的交点在x轴下方，即可分别得出关于m、n的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（3）根据一次函数的定义结合一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于m的一元一次不等式以及关于n的一元一次方程，解之即可得出结论；
（4）根据一次函数的图象不经过第四象限利用一次函数图象与系数的关系，即可分别得出关于m、n的一元一次不等式，解之即可得出结论．
(1)解：∵y随x的增大而减小，
∴6+3m＜0，
∴m＜-2，
∴当m＜-2时，y随x的增大而减小；
(2)∵一次函数 y=（6+3m）x+（n-4）的图象与y轴的交点在x轴下方，
∴6+3m≠0，n-4＜0，
∴m≠-2，n＜4．
∴当m≠-2、n＜4时，函数图象与y轴的交点在x轴下方；
(3)∵一次函数 y=（6+3m）x+（n-4）的图象经过原点，
∴6+3m≠0，n-4=0，
∴m≠-2，n=4．
∴当m≠-2、n=4时，函数图象经过原点；
(4)∵一次函数 y=（6+3m）x+（n-4）的图象不经过第四象限，
∴一次函数 y=（6+3m）x+（n-4）的图象经过第一、二、三象限或第一、三象限．
当一次函数 y=（6+3m）x+（n-4）的图象经过第一、二、三象限时，6+3m＞0，n-4 ＞0，
∴m＞-2，n＞4；
当一次函数 y=（6+3m）x+（n-4）的图象经过第一、三象限时，6+3m＞0，n-4=0，
∴m＞-2，n=4．
综上所述：当m＞-2、n4时，函数图象不经过第四象限．
【点拨】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质．
举一反三：
【变式1】一次函数的图象能否可以不经过第三象限?为什么?
【答案】不可以不经过第三象限．理由见分析
【分析】先假设不经过第三象限，得到经过第一二四象限或二四象限的k的取值即可求解．
解：若一次函数的图象不经过第三象限，
则一次函数的图象可以是经过第一二四象限，
此时，无解；
也可以经过第二四象限，
此时，无解．
综上可知，上述一次函数图象不可以不经过第三象限．
【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，熟记一次函数的性质是解题的关键．
【变式2】已知y关于x的函数y＝（1﹣3k）x＋2k﹣2，试回答：
（1）k为何值时，图象过原点？
（2）当k＝0时，写出该函数图象经过的象限．
【答案】（1）1；（2）第一、三、四象限
【分析】（1）令，代入解出即可得出答案；
（2）令，求出一次函数表达式，根据一次函数的性质判断图像经过的象限．
解：（1）∵经过原点（0，0），
∴，
解得：，
即当时，图象过原点；
（2）当时，关于的函数是，
，，
函数的图象经过第一、三、四象限．
【点拨】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数相关性质是解题的关键．
3.已知：一次函数y=（2a+4）x-（3-b），当a，b满足什么条件时：
y随x的增大而增大；
图象经过第二、四象限；
图象与y轴的交点在x轴上方．
【答案】(1)a＞-2，b为任意实数；
(2)a＜-2，b=3；
(3)a≠-2，b＞3．
【分析】（1）根据一次函数的增减性求解即可；
（2）根据一次函数的图象求解即可；
（3）根据一次函数图象上点的坐标特征求解即可．
解：（1）根据题意，可得2a+4＞0，
解得a＞-2，
∴a＞-2，b为任意实数；
（2）根据题意，得2a+4＜0，-（3-b）=0，
解得a＜-2，b=3；
（3）根据题意，得2a+4≠0，-（3-b）＞0，
解得a≠-2，b＞3．
【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数图象和性质与系数的关系是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3．
若函数的图象是经过原点的直线，求m的值；
若y随着x的增大而减小，求m的取值范围；
若函数图象不经过第四象限，求m的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）将原点的坐标代入y=（2m+1）x+m-3，得到关于m的方程，解方程即可求出m的值；
（2）根据一次函数的增减性可得2m+1＜0，解不等式即可求出m的取值范围；
（3）根据一次函数图象与系数的关系可得，解不等式组即可求出m的取值范围．
解：（1）由已知得，m﹣3＝0，
解得m＝3；
由已知得，2m+1＜0，
解得m；
由已知得，，
解得，即m≥3．
【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是需熟练掌握相关知识点．
【变式2】已知一次函数，请你解答下列问题：
m为何值时，函数图象不经过第四象限？
m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？
【答案】(1)m≥4(2)m＜4且m≠−2
【分析】（1）若函数y＝kx＋b的图象不过第四象限，则此函数的x的系数k＞0，b≥0．
（2）函数图象与y轴的交点在x轴下方，b＜0且k≠0．
解：(1)∵函数y＝（4＋2m）x＋m−4的图象不过第四象限，
∴4＋2m＞0，m−4≥0，
∴m≥4．
∵函数图象与y轴的交点在x轴下方，
∴m−4＜0且4＋2m≠0，
∴m＜4且m≠−2．
【点拨】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，注重考查学生思维的严谨性和数形结合思想的应用．
类型三、一次函数的图象与坐标轴交点坐标
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点．
直接写出点、、的坐标；
求的面积．
【答案】(1)点A的坐标为(3，0) ，点B的坐标为(0，4) ，点的坐标为
(2)
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，再利用勾股定理可求得AB，根据折叠的性质可得AC=AB，即可得OC的长度，进而可得C点的坐标．
（2）根据翻折的性质，可得∠B=∠C，∠BDA=∠ADC，进而可得∠AOD=∠AED，可证得△AOD≌△AED，故所求△ADE的面积即为求△AOD的面积，即可得解．
（1）解：由题意，直线与轴、轴分别交于点，，
令，得，
点的坐标为，
令，得，
点的坐标为，
，，
，
将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，
即，
，
点的坐标为．
（2）解：由翻折的性质可得，，，
，
，
，
，
≌，
点，
，
．
【点拨】本题考查一次函数的图象与性质、勾股定理，翻折的性质以及全等三角形的判定与性质．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
求点A和点B的坐标；
点P为直线上一动点，若的面积为3，则点P的坐标为______．
【答案】(1)A（-4，0），B（0，2）
(2)（3，）或（-3，）
【分析】（1）分别代入x=0，y=0求出与之对应的y，x的值，进而可得出点B，A的坐标；
（2）通过△OBP的面积为3，求得P的横坐标为±3，代入解析式即可求得纵坐标．
(1)解：当x=0时，y=x+2=2，
∴点B的坐标为（0，2）；
当y=0时，x+2=0，解得：x=-4，
∴点A的坐标为（-4，0）．
(2)∵OB=2，△OBP的面积为3，
∴OB•|xP|=3，即×2•|xP|=3，
∴xP=±3，
∴点P的坐标为（3，）或（-3，），
故答案为：（3，）或（-3，）．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A，B的坐标；（2）利用三角形面积求出点C的横坐标．
【变式2】直线y=−2x+4与x轴，y轴分别交于A、B，过点A作AC⊥AB于点A，且AC=AB，点C在第一象限内．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)在第一象限内有一点P(3，t)，使S△PAB=S△ABC，求t的值．
【答案】(1)A（2，0），B（0，4），C（6，2）；(2)t的值为8．
【分析】（1）令x=0和y=0分别代入y=-2x+4中即可求出A与B的坐标，证明△ABO≌△CAD（AAS）即可解决问题；
（2）过点P作PE⊥x轴于点E，利用S△PAB=S梯形BOEP-S△ABO-S△PAE，列出方程，解方程即可求解．
(1)解：令x=0代入y=-2x+4中，
∴y=4，
∴B（0，4），
令y=0代入y=-2x+4中，
∴x=2，
∴A（2，0），
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠DAC，
在△ABO与△CAD中，
，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴CD=OA=2，AD=OB=4，
∴OD=6，
∴C（6，2）；
(2)解：过点P作PE⊥x轴于点E，
∵P(3，t)，
∴E(3，0) ，
∵A（2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∴AB=2，
∵AC⊥AB，AC=AB，
∴S△ABC=AC×AB=10，
∵S△PAB=S梯形BOEP-S△ABO-S△PAE
=(4+t)×3-×2×4-×(3-2)t
=t+2，
∴t+2=10，
解得：t=8，
∴t的值为8．
【点拨】本题属于一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
类型四、一次函数的图象的平移问题
5．如图，直线是一次函数的图象．
求直线的解析式；
如果直线向上平移3个单位后，经过点，求的值．
【答案】(1) (2)
【分析】(1)将点(0，1)和点(-2，0)代入中解出k和b的值即可；
(2)求出向上平移3个单位后的解析式为，再将点代入平移后解析式中即可求解．
(1)解：将点(0，1)和点(-2，0)代入中，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
(2)解：将往上平移3个单位后的解析式为，且经过，
∴，
∴的值为．
【点拨】本题考察了待定系数法求一次函数的解析式及一次函数的平移等，属于基础题，计算过程中细心即可．
举一反三：
【变式1】已知y是x的正比例函数，且当时，．
求y关于x的函数解析式；
将该函数图象向下平移2个单位，判断点是否在平移后的图象上？
【答案】(1)(2)点不在平移后的图象上．
【分析】（1）设这个正比例函数为，当时，代入求值即可；
（2）求出平移后的解析式，再判断是否在平移后的图象上即可．
解：(1)设这个正比例函数为
∵当时，
∴
∴
∴y关于x的函数解析式为．
(2)将该函数图象向下平移2个单位得
当时，，
∴点不在平移后的图象上．
【点拨】本题考查正比例函数解析式、一次函数平移，利用待定系数法求解析式是解题的关键．
【变式2】已知一次函数．
为何值时，图象经过原点？
将该一次函数向上平移5个单位长度后得到的函数图象经过点，求平移后的函数的解析式．
【答案】(1)；(2)平移后的函数的解析式为．
【分析】（1）依据一次函数的图象经过原点，可得，即可得出；
（2）依据平移的规律可得函数解析式为，将点代入计算即可．
(1)解：一次函数的图象经过原点，
∴，
解得；
(2)解：一次函数向上平移5个单位长度后得到的函数解析式为，
该图象经过点，
，
解得，
平移后的函数的解析式为．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象与几何变换．解题的关键是待定系数法求函数解析式．
类型五、一次函数的增减性
6．画出函数的图象，根据图象回答下列问题：
（1）的值随值的增大而______；
（2）图象与轴的交点坐标是______与轴的交点坐标是______；
（3）当______时，．
【答案】图见分析；（1）减小；（2），（0，3）；（3）
【分析】（1）先画出函数y＝3−2x的图象，根据图象即可得出答案；
（2）先画出函数y＝3−2x的图象，根据图象即可得出答案；
（3）先画出函数y＝3−2x的图象，根据图象即可得出答案．
解：函数y＝3−2x的图象为：
（1）由图象可知：y值随x的增大而减小；
（2）图象与x轴的交点坐标是，与y轴的交点的坐标是（0，3）；
（3）由图象可得：当x时，．
【点拨】本题考查了一次函数的图象，属于基础题，关键是正确画出函数的图象再根据图象求解．
举一反三：
【变式1】已知函数（m为常数）．
当m满足条件__________时，变量y是变量x的一次函数；
当m满足条件__________时，函数图象经过点；
当m满足条件__________时，y随x的增大而减小．
当m满足条件__________时，函数图象与y轴的交点在x轴的上方；
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）根据一次函数的定义即可求解；
（2）将代入即可；
（3）根据一次函数的增减性，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小；
（4）将x=0代入函数表达式，即可求出该函数与y轴的交点坐标，由于函数图象与y轴的交点在x轴的上方，只需要纵坐标大于0即可．
解：（1）∵变量y是变量x的一次函数；
∴2m+1≠0，
解得：
故答案为：；
（2）将代入得：4=（2m+1）×1+m-3
解得：m=2，
故答案为：m=2；
（3）∵y随x的增大而减小，
∴2m+1<0，
解得：，
故答案为：；
（4）当x=0时，y=m-3，
∴该函数与y轴的交点为（0，m-3），
∵函数图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴m-3>0，
解得：m>3；
故答案为：m>3．
【点拨】本题主要考查了一次函数的性质，熟练地掌握一次函数的增减性以及一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
【变式2】已知函数（是常数）．
为何值时，随的增大而增大？
满足什么条件时，该函数是正比例函数？
【答案】(1)时，随的增大而增大
(2) 时，该函数是正比例函数
【分析】（1）根据题意m+2＞0，解得即可；
（2）根据正比例函数的定义得到m+2≠0，-m2+4=0，解得m=2．
（1）由题意：，，即时，随的增大而增大；
（2）若该函数是正比例函数，则，，，即时，该函数是正比例函数．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的定义，一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
7．已知函数y=2x−3．
作出函数的图象，并标出图象与x轴、y轴的交点坐标；
由图象观察：当−2≤x≤4时，函数值y的变化范围．
【答案】(1)作图见分析；图象与x轴、y轴的交点坐标分别为（1.5，0），（0，-3）；
(2)当−2≤x≤4时，函数值y的变化范围是-7≤y≤5
【分析】（1）令x=0，得y=-3；令y=0，得x=1.5，所以得到两个点的坐标（0，-3），（1.5，0），描出这两个点，然后连接得到图象；
（2）由k=2＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大，把x=-2代入解析式得到y的最小值；把x=4代入解析式得到y的最大值，即得到函数值y的变化范围．
(1)解：令x=0，得y=-3；令y=0，得x=1.5，描出（0，-3），（1.5，0）这两个点，连线，图象图象如图所示，
图象与x轴、y轴的交点坐标分别为（1.5，0），（0，-3）；
(2)解：∵k=2＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大，
∴当x=-2，y=-7；当x=4，y=5．
所以当-2≤x≤4时，函数值y的变化范围为-7≤y≤5．
【点拨】本题考查了一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的性质．它的图象为直线，当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当b＞0，直线与y轴的交点在x轴上方；当b=0，直线经过坐标原点；当b＜0，直线与y轴的交点在x轴下方．同时考查了一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）与两坐标轴的交点的坐标特点．
举一反三：
【变式1】一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）画出一次函数的图象；
（3）结合图象解答下列问题：
①当时，的取值范围是___________；
②当时，的取值范围是___________；
【答案】（1）；（2）见分析；（3）①；②
【分析】（1）由一次函数的图象与正比例函数的图象平行，可得，由一次函数的图象过点可得即可；
（2）图象如图所示：描点（0，2）与（2，-4）连线得图像如图；
（3）①先求直线与x轴的交点（，0），当时，直线位于x轴下方， 可得；
②先求x=0，；x=2，即可．
解：（1）∵一次函数的图象与正比例函数的图象平行，
，
又∵一次函数的图象过点．
根据题意得：，
解得，
∴一次函数的表达式为．
（2）图象如图所示：
取x=0，y=2，描点（0，2）与（2，-4），
连线得图像如图，
（3）①当时，=，直线与x轴的交点（，0），
当时，直线位于x轴下方，自变量的取值范围在交点的右侧，
∴；
故答案为；
②当时，取x=0，，取x=2，，
∴，
故答案．
【点拨】本题考查平行线性质，待定系数法求函数解析式，利用图像求范围，掌握平行线性质，待定系数法求函数解析式，利用图像求范围是解题关键．
【变式2】作出函数的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）y的值随x的增大而 ；
（2）图象与x轴的交点坐标是 ；与y轴的交点坐标是 ；
（3）当x 时，y≥0．
【答案】（1）减小；（2），；（3）
【分析】（1）由题意画出函数的图象，根据一次函数的增减性解答；
（2）由题意根据函数图象写出交点坐标或是代入y=0以及x=0求解即可；
（3）根据函数图象x轴上方部分，即可得出x的取值范围即可．
解：如图所示：
（1）∵函数图像从左向右函数值向下递减，
∴的值随值的增大而减小；
故答案为：减小；
（2）由图可知图象与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标是，
故答案为：，；
（3）由函数图象在x轴上及上方部分可知，当时，，
故答案为：．
【点拨】本题考查一次函数的图象以及一次函数与坐标轴的交点和一次函数的增减性，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
类型六、比较一次函数的大小
8．已知与x成正比例，当时，．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）点P1(m，y1)、P2(m+1，y2)在（1）中函数的图象上，比较y1与y2的大小．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据正比例函数的定义设，将的值代入求解即可；
（2）根据，随的增大而减小，即可判断的大小关系．
解：（1）与x成正比例，
设
当时，．
解得
（2）点P1(m，y1)、P2(m+1，y2)在的图象上，
随的增大而减小，
【点拨】本题考查了正比例函数的定义和一次函数的性质，熟练掌握一次函数的基本知识是解题关键．
举一反三：
【变式1】已知一次函数y＝﹣2x+4．
（1）在平面直角坐标系内画出函数图象；
（2）函数图象经过两点A（﹣，m），B（﹣1，n），比较m，n的大小？
【答案】（1）见分析；（2）m＜n
【分析】（1）作函数图象步骤：列表、描点、连线，而一次函数图象是一条直线，故取两个点即可；
（2）根据一次函数性质即可得到答案．
解：（1）列表：
描点、连线如下图：
（2）∵一次函数y=-2x+4中，k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又函数图象经过两点A（，m），B（-1，n），且＞-1，
∴m＜n．
【点拨】本题考查一次函数的图象及性质，掌握作函数图像的步骤，熟记一次函数的性质是解题的关键．
【变式2】已知点和点是一次函数图象上的点，比较和的大小．
【答案】
【分析】方法1，根据点在一次函数上，将自变量代入求得函数值，再比较函数值的大小；
方法2，根据一次函数的性质，根据横坐标的大小即可得出纵坐标的大小，
方法3，根据一次函数图象，直接找到点对应的纵坐标大小即可求得．
解：方法1
∵点和点是一次函数图象上的点，
∴，．
∴．
∵，∴，即．
方法2
∵函数中，
∴函数y的值随着x的增大而增大，
∵点和点是一次函数图象上的点，且，即，
∴．
方法3，
∵函数中，
函数大致图象如下，
从图象上可得到
【点拨】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
类型七、直线与坐标轴交点与方程的解
9．用函数图象求解下列方程．
2x﹣3＝x﹣2； x+3＝2x+1．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）画出一次函数y=2x-3和y=x-2的图象，找出交点坐标，交点的横坐标即为方程的解；
（2）画出一次函数y=x+3和y=2x+1的图象，找出交点坐标，交点的横坐标即为方程的解．
(1)解：画出一次函数y＝2x﹣3和y＝x﹣2的图象，如图①所示，
交点坐标为（1，﹣1），
∴方程2x﹣3＝x﹣2的解为x＝1．
(2)画出一次函数y＝x+3和y＝2x+1的图象，如图②所示，
交点坐标为（2，5），
∴方程x+3＝2x+1的解为x＝2．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程，解题的关键是：将解一元一次方程转化为找两直线交点的横坐标．
举一反三：
【变式1】如图，直线l1：y＝kx＋4（k关0）与x轴，y轴分别相交于点A，B，与直线l2:y＝mx（m≠0）相交于点C（1，2）．
（1）求k，m的值；
（2）求点A和点B的坐标．
【答案】（1）k＝－2，m＝2；（2）点A（2，0），点B（0，4）
【分析】(1)将点C (1,2)的坐标分别代入y=kx+4和y= mx中,即可得到k，m的值;
(2)在y=-2x+4中，令y=0，得x=2;令x=0，得y=4，即可得到点A和点B的坐标．
解：（1）将点C（1，2）的坐标分别代入y＝kx＋4和y＝mx中，
得2＝k＋4，2＝m，
解得k＝－2，m＝2．
（2）在y＝－2x＋4中，令y＝0，得x＝2，
令x＝0，得y＝4，
点A（2，0），点B（0，4）．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数y=kx+b (k≠0，且k,b为常数)与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【变式2】如图,已知一次函数的图象 与x轴、y轴分别交于点A,B,
求点A,B的坐标;
M为ー次函数y=x+3的图象上一点,若 △ABM与△ABO的面积相等,求点M的坐标;
Q为y轴上的一点，若三角形ABQ为等腰三角形 ，请直接写出点Q的坐标.
【答案】（1）A（6,0） B(0，3);(2)M(-2，1)或（2,5）;（3）Q的坐标（0，-3） （0，+3）,（0,3-）,（0，-）
【分析】（1）分别计算函数值为0定义的自变量和自变量为0对应的函数值可得到A、B点的坐标；
（2）利用同底等高面积相等求解，先确定点M在直线y=-x或y=-x+6上，然后通过解方程组求M点的坐标；
（3）先计算出AB，分类讨论：以A为顶点得到Q（0，-3），以B为顶点得到Q（0，+3）或（0，-+3），以Q为顶点利用QA=QB可求Q点坐标．
解：（1）当y=0时，-x+3=0，解得x=6，则A（6，0），
当x=0时，y=-x+3=3，则B（0，3）；
（2）∵△ABM与△ABO的面积相等，
∴M点到直线AB的距离与O点到AB的距离相等，
∴点M在直线y=-x或y=-x+6上，
解方程组 得
解方程组 得
∴M点的坐标为（-2，1）或（2，5）；
（3）AB= ，
当AQ=AB，则Q（0，-3），
当BQ=BA=时，则Q（0，+3）或（0，-+3），
当QA=QB时，作AB的垂直平分线交y轴于Q，如图，
设Q（0，t），
∵QA2=62+t2，QB2=（3-t）2，
∴62+t2=（3-t）2，解得t=-，
∴此时Q（0，-）．
综上所述，Q点坐标为Q（0，-3）或Q（0，+3）或（0，-+3）或Q（0，-）．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b． x
0
2
y=-2x+4
4
0