2025届安徽省太湖县九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份2025届安徽省太湖县九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB = 4，则OE的长是 （ ）
A．2B．
C．1D．
2、（4分）下列各式成立的是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）若，则下列不等式不成立的是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）己知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是( )
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
5、（4分）如图，AB∥CD∥EF，AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是( ).
A．4.5B．5C．2D．1.5
6、（4分）若＝x﹣5，则x的取值范围是（ ）
A．x＜5B．x≤5C．x≥5D．x＞5
7、（4分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足=AD，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过点B作于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：①；②；③ . 其中不正确的结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8、（4分）某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码男鞋的销量，在以下统计量中，该鞋厂最关注的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若分式 有意义，则的取值范围是_______________ .
10、（4分）如图，在菱形中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点，则_______，_______.
11、（4分）平面直角坐标系内，点P（3，﹣4）到y轴的距离是_____．
12、（4分）已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是 ．
13、（4分） 已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，BP＝．下列结论：
①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；
③S△APD+S△APB＝+；④S正方形ABCD＝4+．
其中正确结论的序号是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知：如图，在□ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且DE∥BF．求证：DE = BF．
15、（8分）解分式方程：=
16、（8分）如图所示，有一长方形的空地，长为米，宽为米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形.现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场丙开辟成公园.
请用含的代数式表示正方形乙的边长； ；
若丙地的面积为平方米，请求出的值.
17、（10分）设每个小正方形网格的边长为1，请在网格内画出，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，，．
（1）求的面积；
（2）求出最长边上的高．
18、（10分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．
（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形，请说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）己知反比例函数的图像经过第一、三象限，则常数的取值范围是___．
20、（4分）数据1，4，5，6，4，5，4的众数是___．
21、（4分）如图，直线y1＝－x＋a与直线y2＝bx－4相交于点P(1，－3)，则不等式－x＋a≥bx－4的解集是___________．
22、（4分）若关于x的分式方程无解，则m的值为__________．
23、（4分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）我们借助对同一个长方形面积的不同表示，可以解释一些多项式的因式分解．例如选取图①中的卡片张、卡片张、卡片张，就能拼成图②所示的正方形，从而可以解释．请用卡片张、卡片张、卡片张拼成一个长方形，画图并完成多项式的因式分解．
25、（10分）已知一次函数y=kx+b的图象经过点（﹣1，﹣5）和（2，1），求一次函数的解析式．
26、（12分）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，先阅读再解决后面的问题：
原题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，，连接EF，求证：EF=BE+DF.

解题分析：由于AB=AD，我们可以延长CD到点G，使DG=BE，易得，可证.再证明，得EF=FG=DG+FD=BE+DF.
问题（1）：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，，E，F分别是边BC，CD上的点，且，求证：EF=BE+FD；

问题（2）：如图3，在四边形ABCD中，，，AB=AD=1，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上的点，且，求此时的周长
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据平行四边形的性质得BO=DO，所以OE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
【详解】
解：在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，
∵点E是边BC的中点，
所以OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB=1．
故选A．
本题利用平行四边形的性质和三角形的中位线定理求解，需要熟练掌握．
2、D
【解析】
直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：D．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
3、C
【解析】
直接根据不等式的性质进行分析判断即可得到答案．
【详解】
A．，则a是负数，可以看成是5＜6两边同时加上a，故A选项成立，不符合题意；
B．是不等式5＜6两边同时减去a，不等号不变，故B选项成立，不符合题意；
C．5＜6两边同时乘以负数a，不等号的方向应改变，应为：，故选项C不成立，符合题意；
D．是不等式5＜6两边同时除以a，不等号改变，故D选项成立，不符合题意．
故选C．
本题考查的实际上就是不等式的基本性质：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子）不等号的方向不变；不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4、A
【解析】
根据多边形的内角和公式即可求解.
【详解】
设边数为n，则(n-2)×180°=360°，
解得n=4
故选A.
此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知公式的运用.
5、A
【解析】
直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】
∵直线AB∥CD∥EF，AC=4，CE=6，BD=3，
∴，即，解得DF=4.1．
故选A．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．
6、C
【解析】
因为=-a（a≤0），由此性质求得答案即可．
【详解】
∵=x-1，
∴1-x≤0
∴x≥1．
故选C．
此题考查二次根式的性质：=a（a≥0），=-a（a≤0）．
7、B
【解析】
先判断出∠DAE=∠ABH，再判断△ADE≌△CDE得出∠DAE=∠DCE=22.5°，∠ABH=∠DCF，再判断出Rt△ABH≌Rt△DCF从而得到①正确，根据三角形的外角求出∠AEF=45°，得出②正确；连接HE，判断出S△EFH≠S△EFD得出③错误．
【详解】
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE=∠ADE=∠CDE=45°，AB=BC，
∵BE=BC，
∴AB=BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH=∠DBH=22.5°，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°-∠ABH=67.5°，
∵∠AGH=90°，
∴∠DAE=∠ABH=22.5°，
在△ADE和△CDE中
，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE=22.5°，
∴∠ABH=∠DCF，
在Rt△ABH和Rt△DCF中
，
∴Rt△ABH≌Rt△DCF，
∴AH=DF，∠CFD=∠AHB=67.5°，
∵∠CFD=∠EAF+∠AEF，
∴67.5°=22.5°+∠AEF，
∴∠AEF=45°，故①②正确；
如图，连接HE，
∵BH是AE垂直平分线，
∴AG=EG，
∴S△AGH=S△HEG，
∵AH=HE，
∴∠AHG=∠EHG=67.5°，
∴∠DHE=45°，
∵∠ADE=45°，
∴∠DEH=90°，∠DHE=∠HDE=45°，
∴EH=ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S△EFH≠S△EFD，
∴S四边形EFHG=S△HEG+S△EFH=S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故③错误，
故选B．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和和三角形外角的性质，解本题的关键是判断出△ADE≌△CDE，难点是作出辅助线．
8、C
【解析】
根据众数的定义即可判断.
【详解】
根据题意鞋厂最关注的是众数，
故选C.
此题主要考查众数的定义，解题的关键是熟知众数的性质.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可得.
【详解】由题意得：x-1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1.
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为0时分式有意义是解题的关键.
10、1
【解析】
由菱形的性质可得AB=AD=CD=4，AB∥CD，由“ASA”可证△AEF≌△DEH，可得AF=HD=1，由三角形面积公式可求△CEF的面积．
【详解】
∵四边形是菱形，
∴.
∵点是的中点，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴.
∴.
故答案为：1，.
此题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明AF=HD=1是解题的关键．
11、3
【解析】
根据平面直角坐标系的特点，可知到y轴的距离为横坐标的绝对值，因此可知P点到y轴的距离为3.
故答案为3.
12、1
【解析】
试题分析：∵多边形的每一个内角都等于108°，∴每一个外角为72°．
∵多边形的外角和为360°，∴这个多边形的边数是：360÷÷72=1．
13、①③④
【解析】
由题意可得△ABE≌△APD，故①正确，可得∠APD＝∠AEB＝135°，则∠PEB＝90°，由勾股定理可得BE，作BM⊥AE于M，可得△BEM是等腰直角三角形，
可得BM＝EM＝，故②错误，根据面积公式即可求S△APD+S△APB，S正方形ABCD，根据计算结果可判断．
【详解】
解：∵正方形ABCD
∴AB＝AD，∠BAD＝90°
又∵∠EAP＝90°
∴∠BAE＝∠PAD，AE＝AP，AB＝AD
∴△AEB≌△APD故①正确
作BM⊥AE于M，
∵AE＝AP＝1，∠EAP＝90°
∴EP＝，∠APE＝45°＝∠AEP
∴∠APD＝135°
∵△AEP≌△APD，
∴∠AEB＝135°
∴∠BEP＝90°
∴BE
∵∠M＝90°，∠BEM＝45°
∴∠BEM＝∠EBM＝45°
∴BE＝MB 且BE＝,
∴BM＝ME＝,故②错误
∵S△APD+S△APB＝S四边形AMBP﹣S△BEM
故③正确
∵S正方形ABCD＝AB2＝AE2+BE2
∴S正方形ABCD 故④正确
∴正确的有①③④
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是构造直角三角形求出点B到直线AE的距离．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、证明见解析.
【解析】
只要证明四边形DEBF是平行四边形即可解决问题.
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE，
又∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．
本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质．
15、x=1
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
方程两边都乘以x（x﹣2），得：x=1（x﹣2），
解得：x=1，
检验：x=1时，x（x﹣2）=1×1=1≠0，
则分式方程的解为x=1．
本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16、（1）（x−12）米；（2）的值为20或1.
【解析】
（1）由甲和乙为正方形，且该地长为x米，宽为12米，可得出丙的长，也是乙的边长；
（2）由（1）求得丙的长，再求出丙的宽，即可得出丙的面积，由此列出方程，求解即可．
【详解】
解：（1）因为甲和乙为正方形，结合图形可得丙的长为：（x−12）米．
同样乙的边长也为（x−12）米，
故答案为：（x−12）米；
（2）结合（1）得，丙的长为：（x−12）米，丙的宽为12−（x−12）=（24−x）米，所以丙的面积为：（x−12）（24−x），
列方程得，（x−12）（24−x）＝32
解方程得x1＝20，x2＝1．
答：的值为20或1.
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出有关的线段的长，难度不大．
17、（1）；作图如图；（1）．
【解析】
（1）因为每个小正方形网格的边长为1，利用勾股定理，首先作出
最长边，同理即可作出，；
（1）根据三角形面积不变，设出最长边上的高，根据三角形面积公式，即可求解．
【详解】
解（1）作图如图：，，，
由图可知：，
即．
故的面积为1．
（1）设最长边上的高为，而最长边为，
∴，
解得．
故最长边上的高为．
本题目考查二次根式与勾股定理的综合，难度不大，熟练掌握勾股定理的逆用是顺利解题的关键．
18、（1）证明见解析；（2）AM=1．理由见解析．
【解析】
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，
∵点E是AD中点，∴DE=AE，
在△NDE和△MAE中，，
∴△NDE≌△MAE（AAS），∴ND=MA，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）解：当AM=1时，四边形AMDN是矩形．
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=2，
∵平行四边形AMDN是矩形，∴DM⊥AB，即∠DMA=90°，
∵∠DAB=60°，∴∠ADM=30°，
∴AM=AD=1．
本题考查矩形的判定；平行四边形的判定；菱形的性质．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据反比例函数的性质可得3k+1＞0，再解不等式即可．
【详解】
∵双曲线的图象经过第一、三象限，
∴3k+1＞0，
解得．
故答案为：．
此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质．对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
20、1
【解析】
众数是出现次数最多的数，据此求解即可．
【详解】
解：数据1出现了3次，最多，
所以众数为1，
故答案为：1．
此题考查了众数的知识．众数是这组数据中出现次数最多的数．
21、x≤1.
【解析】
观察函数图象得到当x<1时，函数y=-x+a的图象都在y=bx-4的图象上方，所以不等式-x+a≥bx-4的解集为x≤1.
【详解】
如图，
当x<1时，函数y=-x+a的图象都在y=bx-4的图象上方，所以不等式-x+a≥bx-4的解集为x≤1；
故答案为x≤1．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
22、
【解析】
由分式方程无解得到x=5，将其代入化简后的整式方程即可求出答案.
【详解】
将方程去分母得到：x-2（x-5）=-m，即10-x=-m，
∵分式方程无解，
∴x=5，
将x=5代入10-x=-m中，解得m=-5，
故答案为：-5.
此题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程无解的性质得到整式方程的解是解题的关键.
23、x≤
【解析】
∵代数式在实数范围内有意义，
∴，解得：.
故答案为：.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、见详解，
【解析】
先画出图形，再根据图形列式分解即可.
【详解】
解：如图，
此题主要考查了因式分解，正确的画出图形是解决问题的关键.
25、y=2x﹣1
【解析】
将点（1，5）和（1，1）代入可得出方程组，解出即可得出k和b的值，即得出了函数解析式．
【详解】
∵一次函数y=kx+b经过点（﹣1，﹣5）和（2，1），
∴ ，
解得：，
∴这个一次函数的解析式为y=2x﹣1．
考查待定系数法求函数解析式，关键是要掌握待定系数法的步骤：（1）写出函数解析式的一般式,其中包括未知的系数；（2）把自变量与函数的对应值代入函数解析式中,得到关于待定系数的方程或方程组.（1）解方程（组）求出待定系数的值,从而写出函数解析式.
这节课我们进一步研究二次函数解析式的求法.．
26、（1），见解析；（2）周长为.
【解析】
（1）在CD的延长线上截取DG=BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE=DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF=FG，即可得出答案；
（2）连接AC，证明△ABC≌△ADC（SSS）．得∠DAC=∠BAC，同理由（1）得EF=BE+DF，可计算△CEF的周长．
【详解】
证明：（1）在CD的延长线上截取DG=BE，连接AG，如图2，
∵∠ADF=90°，∠ADF+∠ADG=180°，
∴∠ADG=90°，
∵∠B=90°，
∴∠B=∠ADG=90°，
∵BE=DG，AB=AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AG=AE，
∴∠EAG=∠EAD+∠DAG=∠EAD+∠ABE=∠BAD，
∵∠EAF=∠BAD，
∵∠EAG=∠EAG=（∠EAF+∠FAG），
∴∠EAF=∠FAG，
又∵AF=AF，AE=AG，
∴△AEF≌△AFG（SAS），
∴EF=FG=DF+DG=EB+DF；
（2）解：连接AC，如图3，
∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠BAD=60°，
∵∠B=90°，AB=1，
∴在Rt△ABC中，AC=2，BC===,
由（1）得EF=BE+DF，
∴△CEF的周长=CE+CF+EF=2BC=2．
本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，难度适中．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分