2025届安徽省六安市实验中学九上数学开学学业质量监测试题【含答案】

这是一份2025届安徽省六安市实验中学九上数学开学学业质量监测试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）一元二次方程的解是( )
A．0B．4C．0或4D．0或-4
2、（4分）如图，的对角线相交于点，且，过点作交于点，若的周长为20，则的周长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
3、（4分）如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）
A．16B．12C．24D．18
4、（4分）已知一次函数,且随的增大而减小,那么它的图象经过
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
5、（4分）如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（ ）
A．6B．8C．14D．28
6、（4分）若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
7、（4分）关于的方程有实数解，那么的取值范围是（）
A．B．C．D．且
8、（4分）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于不等式x+1≥mx+n的解集是（ ）
A．x≥mB．x≥2C．x≥1D．x≥﹣1
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如果关于x的方程(m+2)x＝8无解，那么m的取值范围是_____．
10、（4分）比较大小2 _____．
11、（4分）若二次根式有意义，则的取值范围是______________．
12、（4分）如图，菱形由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则菱形的对角线的长为_____.
13、（4分）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）抛物线经过点、两点．
（1）求抛物线顶点D的坐标；
（2）抛物线与x轴的另一交点为A，求的面积．
15、（8分）甲、乙两家文化用品商场平时以同样价格出售相同的商品.六一期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品一律按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折.
（1）分别写出两家商场购物金额（元）与商品原价（元）的函数解析式；
（2）在如图所示的直角坐标系中画出（1）中函数的图象；
（3）六一期间如何选择这两家商场购物更省钱？
16、（8分） “中国汉字听写大会”是由中央电视台和国家语言文字工作委员会联合主办的节日，希望通过节目的播出，能吸引更多的人关注对汉字文化的学习智慧学校开展了一次全校性的:“汉字听写”比赛，每位参赛学生听写个汉字.比赛结束后随机抽取部分学生的听写结果，按听写正确的汉字个数绘制成了以下不完整的统计图.
根据图表信息解答下列问题:
（1）本次共随机抽取了 名学生进行调查，听写正确的汉字个数在 范围内的人数最多，补全频数分布直方图；
（2）各组的组中值如下表所示.若用各组的组中值代表各组每位学生听写正确的汉字个数，求被调查学生听写正确的汉字个数的平均数;
17、（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：四边形CEDF是正方形．
18、（10分）在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．
（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当α=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．

B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，BC/交AD于E，AD=8，AB=4，DE的长=________________．
20、（4分）若是一个正整数，则正整数m的最小值是___________．
21、（4分）为了了解本校八年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐次数，并给制成如图所示的频数分布直方图，请根据图中信息，计算仰卧起坐次数在次的频率是______
22、（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣3，x2＝4，则m+n＝_____．
23、（4分）如图，矩形中，，对角线交于点，则______，______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P（1，b），与x轴交于A，B两点，
（1）求b，m的值；
（2）求△ABP的面积；
（3）垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别相交于C，D，若线段CD长为2，求a的值．
25、（10分）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF．
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．
26、（12分）问题的提出：如果点P是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点P到的三顶点的距离之和的值为最小？
问题的转化：把绕点A逆时针旋转得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图1证明：；
问题的解决：当点P到锐角的三顶点的距离之和的值为最小时，求和的度数；
问题的延伸：如图2是有一个锐角为的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
对左边进行因式分解，得x（x-1）=0，进而用因式分解法解答．
【详解】
解：因式分解得，x（x-1）=0，
∴x=0或x-1=0，
∴x=0或x=1．
故选C．
本题考查了用因式分解法解一元二次方程，因式分解法是解一元二次方程的一种简单方法．但在解决类似本题的题目时，往往容易直接约去一个x，而造成漏解．
2、D
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB=OD，AB=CD，AD=BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE=DE，由行四边形ABCD的周长为20可得BC+CD=10，然后可求△CDE的周长.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥BD，
∴BE=DE，
∵平行四边形ABCD的周长为20，
∴BC+CD=10，
∴△CDE的周长为CD+DE+EC=CD+BC=10.
故选D．
此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
3、A
【解析】
由菱形ABCD，∠B=60°，易证得△ABC是等边三角形，继而可得AC=AB=4，则可求得以AC为边长的正方形ACEF的周长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC．
∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=4，∴以AC为边长的正方形ACEF的周长为：4AC=1．
故选A．
本题考查了菱形的性质、正方形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
4、B
【解析】
先根据一次函数的性质判断出k的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【详解】
∵一次函数y=kx+3，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵b=3＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限．
故选：B．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＜0，b＞0时函数的图象在一、二、四象限是解答此题的关键．
5、D
【解析】
首先根据题意求出的长度，然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出的值，最后结合三角形的面积公式即可求出答案．
【详解】
解：四边形是菱形，
，，
菱形的周长为24，
，
，
，
，
，
，
菱形的面积三角形的面积，
故选D．
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出的值．
6、D
【解析】
直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】
∵代数式在实数范围内有意义，
∴x+1≠0，
解得：x≠-1．
故选D．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
7、B
【解析】
由于x的方程（m-2）x2-2x+1=0有实数解，则根据其判别式即可得到关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．但此题要分m=2和m≠2两种情况．
【详解】
（1）当m=2时，原方程变为-2x+1=0，此方程一定有解；
（2）当m≠2时，原方程是一元二次方程，
∵有实数解，
∴△=4-4（m-2）≥0，
∴m≤1．
所以m的取值范围是m≤1．
故选：B．
此题考查根的判别式，解题关键在于分两种情况进行讨论，错误的认为原方程只是一元二次方程．
8、C
【解析】
首先将已知点的坐标代入直线y=x+1求得a的值，然后观察函数图象得到在点P的右边，直线y=x+1都在直线y=mx+n的下方，据此求解．
【详解】
依题意，得：，
解得：a＝1，
由图象知：于不等式x+1≥mx+n的解集是x≥1
此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于求得a的值
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据一元一次方程无解，则m＋1＝0，即可解答．
【详解】
解：∵关于的方程无解，
∴m＋1＝0，
∴m＝−1，
故答案为m＝−1．
本题考查了一元一次方程的解，根据题意得出关于m的方程是解题关键．
10、＜
【解析】
直接利用二次根式的性质将原数变形进而得出答案．
【详解】
∵2=＜．
故答案为：＜．
本题主要考查了实数大小比较，正确将原数变形是解题的关键．
11、
【解析】
根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解即可．
【详解】
根据题意得：
解得，
故答案为：．
本题主要考查学生对二次根式有意义时被开方数的取值的掌握，熟知二次根式有意义的条件是解题的关键.
12、
【解析】
根据图形可知∠ADC=2∠A，又两邻角互补，所以可以求出菱形的锐角内角是60°；再根据AD=AB可以得出梯形的上底边长等于腰长，即可求出梯形的下底边长，所以菱形的边长可得，线段AC便不难求出．
【详解】
根据图形可知∠ADC=2∠A，又∠ADC+∠A=180°，
∴∠A=60°，
∵AB=AD，
∴梯形的上底边长=腰长=2，
∴梯形的下底边长=4（可以利用过上底顶点作腰的平行线得出），
∴AB=2+4=6，
∴AC=2ABsin60°=2×6×=6．
故答案为：6．
本题考查的是等腰梯形的性质，仔细观察图形得到角的关系和梯形的上底边长与腰的关系是解本题的关键．
13、
【解析】
连接OB，由矩形的对角线相等可得AC=OB，再计算OB的长即可.
【详解】
解：连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵点B的坐标是（1，3），
∴OD=1，BD=3，
则在Rt△BOD中，OB=，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB=.
故答案为.
本题依托直角坐标系，考查了矩形对角线的性质和勾股定理，解题的关键是连接OB，将求解AC的长转化为求OB的长，这是涉及矩形问题时添加辅助线常用的方法.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）D（1，4）；（2）6.
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法代入求出a，c的值，进而利用配方法求出D点坐标即可；
（2）首先求出图象与x轴的交点坐标，进而求出△ABC的面积．
试题解析：（1）由题意，得，
解得，
则y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
则D（1，4）；
（2）由题意，得-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3；
则A（-1，0），
又∵B（3，0）、C（0，3），
∴S△ABC＝×4×3＝6
15、（1）甲商场：y=0.8x，乙商场：y=x（0≤x≤200），y=0.7x+60（x＞200）；（2）详见解析；（3）详见解析．
【解析】
（1）根据题中描述的数量关系分别写出甲商场和乙商场中，y与x的函数关系即可（其中乙商场需分0≤x≤200和x>200两段分别讨论）；（2）根据（1）中所得函数关系式按要求画出函数图象即可；（3）根据（1）中所得函数关系式分0.8x<0.7x+60、0.8x=0.7x+60、0.8x>0.7x+60三种情况进行解答即可得到相应的结论.
【详解】
解：（1）甲商场：y＝0.8x，
乙商场：y＝x（0≤x≤200），
y＝0.7（x﹣200）+200＝0.7x+60，
即y＝0.7x+60（x＞200）；
（2）如图所示；
（3）①由0.8x<0.7x+60解得：x<600；
②由0.8x=0.7x+60解得：x=600；
③由0.8x>0.7x+60解得x>600，
∴当x=600时，甲、乙商场购物花钱相等；当x<600时，在甲商场购物更省钱；当x>600时，在乙商场购物更省钱.
本题考查了一次函数的应用，解决第（1）小题时，需注意乙商场中：y与x的函数关系式需分0≤x≤200和x>200两段分别讨论；解第（2）小题时，需分三种情况分别讨论，再作出相应的结论.
16、（1）50； ；补全频数分布直方图见解析；（2）23
【解析】
（1）根据一组的人数是10，所占的百分比是20%，即可求出总人数；根据扇形统计图中每个扇形的圆心角的大小解判断哪个范围的人数最多；根据百分比的意义即可求得一组的人数，进而求得组的人数，从而补全直方图；
（2）利用加权平均数公式即可求解.
【详解】
（1）抽取的学生人数是10÷20%=50（人）；
听写正确的汉字个数范围内的人数最多；
一组的人数是：50×30%=15（人）
一组的人数是：50﹣5﹣15﹣10=20（人）
补全频数分布直方图如下：
（2）（个）
答：被调查学生听写正确的汉字个数的平均数是23个.
本题为考查统计的综合题，考点涉及扇形统计图、样本估计总体、频数（率）分布直方图、加权平均数等知识点，难度不大，熟练掌握统计的相关知识点是解答本题的关键.
17、证明见解析
【解析】
证明：∵∠C=90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴四边形DECF为矩形，
∵∠BAC、∠ABC的平分线交于点D，
∴DF=DE，
∴四边形CFDE是正方形
18、（1）BE=DF；（2）四边形BC1DA是菱形．
【解析】
（1）由AB=BC得到∠A=∠C，再根据旋转的性质得AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，则可证明△ABE≌△C1BF，于是得到BE=BF
（2）根据等腰三角形的性质得∠A=∠C=30°，利用旋转的性质得∠A1=∠C1=30°，∠ABA1=∠CBC1=30°，则利用平行线的判定方法得到A1C1∥AB，AC∥BC1，于是可判断四边形BC1DA是平行四边形，然后加上AB=BC1可判断四边形BC1DA是菱形．
【详解】
（1）解：BE=DF．理由如下：
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，
∴AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，
在△ABE和△C1BF中
，
∴△ABE≌△C1BF，
∴BE=BF
（2）解：四边形BC1DA是菱形．理由如下：
∵AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠A1=∠C1=30°，
∵∠ABA1=∠CBC1=30°，
∴∠ABA1=∠A1，∠CBC1=∠C，
∴A1C1∥AB，AC∥BC1，
∴四边形BC1DA是平行四边形．
又∵AB=BC1，
∴四边形BC1DA是菱形
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的判定方法．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、5
【解析】
首先根据矩形的性质可得出AD∥BC，即∠1=∠3，然后根据折叠知∠1=∠2，C′D=CD、BC′=BC，可得到∠2=∠3，进而得出BE=DE，设DE=x，则EC′=8-x，利用勾股定理求出x的值，即可求出DE的长．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即∠1=∠3，
由折叠知,∠1=∠2,C′D=CD=4、BC′=BC=8，
∴∠2=∠3，即DE=BE，
设DE=x,则EC′=8−x，
在Rt△DEC′中,DC′2+EC′2=DE2
∴42+(8−x)2=x2解得：x=5，
∴DE的长为5.
本题考查折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质和矩形的性质.
20、5
【解析】
由于是一个正整数，所以根据题意，也是一个正整数，故可得出m的值.
【详解】
解：∵是一个正整数，
∴根据题意，是一个最小的完全平方数，
∴m=5，故答案为5.
本题主要考查了二次根式的定义，正确对二次根式进行化简并找到被开方数是解答本题的关键.
21、0.4
【解析】
根据计算仰卧起坐次数在次的频率.
【详解】
由图可知：仰卧起坐次数在次的频率.
故答案为：.
此题考查了频率、频数的关系：.
22、-1
【解析】
根据根与系数的关系得出-3+4=-m，-3×4=n，求出即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣3，x2＝4，
∴﹣3+4＝﹣m，﹣3×4＝n，
解得：m＝﹣1，n＝﹣12，
∴m+n＝﹣1，
故答案为：﹣1．
本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出-3+4=-m，-3×4=n是解此题的关键．
23、 .
【解析】
根据矩形的性质求出∠BAD=90°，根据勾股定理求出AD，根据含30°角的直角三角形的性质求出AE=AD，即可求出AE．
【详解】
解：∵四边形ABCDD是矩形，
∴∠BAD=90°，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：
∵在Rt△BAD中，AB=2，BD=4，
∴AB=BD，
∴∠ADB=30°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED=90°，
∴AE=AD==，
故答案为：.
本题考查了勾股定理，矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）m=-1；（2）；（3）a=或a=．
【解析】
（1）由点P（1，b）在直线l1上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线l2中，即可求出m值；（2）根据解析式求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得；（3）由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合CD=2即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
（1）把点P（1，b）代入y=2x+1，
得b=2+1=3，
把点P（1，3）代入y=mx+4，得m+4=3，
∴m=-1；
（2）∵L1：y=2x+1 L2：y=-x+4，
∴A（-，0）B（4，0）
∴；
（3）解：直线x=a与直线l1的交点C为（a，2a+1）
与直线l2的交点D为（a，-a+4）．
∵CD=2，
∴|2a+1-（-a+4）|=2，
即|3 a-3|=2，
∴3 a-3=2或3 a-3=-2，
∴a=或a=．
本题考查两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b、m的值；（2）根据解析式求得与坐标轴的交点；（3）根据CD=2，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程．
25、 (1)详见解析；（2）结论成立，理由详见解析.
【解析】
（1）由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，可知△ABC是等边三角形，因为E是线段AC的中点，所以∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，由AE=CF得CE=CF可知∠CEF=∠F由∠ACF=120°可知∠F=30°∴∠F=∠CBE=30°。即可证明BE=EF.（2）过点E作EG∥BC交AB于点G，可得∠AGE=∠ABC=60°，因为∠BAC=60°，所以△AGE是等边三角形，可知AG=AE=GE，∠AGE=60°，可知BG=CE，因为CF=AE，所以GE=CF，进而可证明△BGE≌△ECF，即可证明BE=EF.
【详解】
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=60°，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，
∵CF=AE，
∴CE=CF，
∵∠ECF=120°，
∴∠F=∠CEF=30°
∴∠CBE=∠F=30°，
∴BE=EF；
（2）结论成立；理由如下：
过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，
∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，
∴∠ECF=120°，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，
∴BG=CE，，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
∵在△BGE和△CEF中，BG=CE，∠BGE=∠ECF，GE=CF，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF．
本题考查菱形的性质，等边三角形，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键.
26、（1）证明见解析；（2）满足：时，的值为最小；（3）点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为．
【解析】
问题的转化：根据旋转的性质证明△APP´是等边三角形，则PP´=PA，可得结论；
问题的解决：运用类比的思想，把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，由“问题的转化”可知：当B、P、P´、C´在同一直线上时，的值为最小，确定当：时，满足三点共线；
问题的延伸：如图3，作辅助线，构建直角△ABC´，利用勾股定理求AC´的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
【详解】
问题的转化：
如图1，
由旋转得：∠PAP´=60°，PA=P´A，
△APP´是等边三角形，
∴PP´=PA，
∵PC=P´C，
．
问题的解决：
满足：时，的值为最小；
理由是：如图2，把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，
由“问题的转化”可知：当B、P、P´、C´在同一直线上时，的值为最小，
，∠APP´=60°，
∴∠APB+∠APP´=180°，
、P、P´在同一直线上，
由旋转得：∠AP´C´=∠APC=120°，
∵∠AP´P=60°，
∴∠AP´C´+∠A P´P=180°，
、P´、C´在同一直线上，
、P、P´、C´在同一直线上，
此时的值为最小，
故答案为：；
问题的延伸：
如图3，中，，，
，，
把绕点B逆时针旋转60度得到，连接，
当A、P、P´、C´在同一直线上时，的值为最小，
由旋转得：BP=BP´，∠PBP´=60°，PC=P´C´，BC=B´C´，
是等边三角形，
∴PP´=PB，
∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C´BP´=30°，
∴∠ABC´=90°，
由勾股定理得：AC´=，
∴PA+PB+PC=PA+PP´+P´C´=AC´=，
则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为．
本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
听写正确的汉字个数
组中值