2025届北京交大附中数学九上开学联考试题【含答案】

这是一份2025届北京交大附中数学九上开学联考试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在数轴上用点B表示实数b．若关于x的一元二次方程x2+bx+1=0有两个相等的实数根，则（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）下列成语所描述的事件为随机事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．瓮中捉鳖D．拔苗助长
3、（4分）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍B．扩大9倍C．不变D．扩大3倍
4、（4分）如图，图中的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形，其中正方形的面积分别记为A，B，C，D，则它们之间的关系为 ( )
A．A+B=C+DB．A+C=B+D
C．A+D=B+CD．以上都不对
5、（4分）与最接近的整数是（ ）
A．5B．1C．1．5D．7
6、（4分）如图，在▱ABCD中，下列说法一定正确的是( )
A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AB＝CDD．AB＝BC
7、（4分）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝12，AC＝16，则MD等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
8、（4分）函数中自变量x的取值范围是( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A(-3，)，AB=1，AD=2，将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A，C恰好同时落在反比例函数y=的图象上，得矩形A′B′C′D′，则反比例函数的解析式为______．
10、（4分）一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要___小时．
11、（4分）若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是_____.
12、（4分）如图，在RtACB中，∠C＝90°，AB＝2，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AC于点D，若CD＝1，则ABD的面积为_____．
13、（4分）当时，二次根式的值是___________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠1．
（1）求证：AE=CF；
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形．
15、（8分）计算：
（1）
（2），，求的值.
16、（8分）已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，8），已知直线AC与双曲线y＝（m≠0）在第一象限内有一交点Q（5，n）．
（1）求直线AC和双曲线的解析式；
（2）若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与的运动时间t秒的函数关系式，并求当t取何值时S＝1．
17、（10分）已知函数.
（1）若函数图象经过原点，求的值；
（2）若这个函数是一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围.
18、（10分） (﹣)2(+)+|2﹣|﹣
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知线段AB=100m，C是线段AB的黄金分割点，则线段AC的长约为。(结果保留一位小数)
20、（4分）如图，在矩形中，点为射线上一动点，将沿折叠，得到若恰好落在射线上，则的长为________．
21、（4分）方程的解为：___________．
22、（4分）已知﹣=16，+=8，则﹣=________．
23、（4分）抛物线有最_______点．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）反比例函数的图象经过点点是直线上一个动点，如图所示，设点的横坐标为且满足过点分别作轴，轴，垂足分别为与双曲线分别交于两点，连结．
（1）求的值并结合图像求出的取值范围；
（2）在点运动过程中，求线段最短时点的坐标；
（3）将三角形沿着翻折，点的对应点得到四边形能否为菱形？若能，求出点坐标；若不能，说明理由；
（4）在点运动过程中使得求出此时的面积．
25、（10分）解方程：（1）=；
（2）-1=．
26、（12分）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，
（1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？
（2） 若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值．
【详解】
根据题意知△=b1-4=0， 解得：b=±1（负值舍去）， 则OB=1． 故选：A．
本题考查了一元二次方程ax1+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b1-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
2、A
【解析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】
解：A、是随机事件，故A符合题意；
B、是不可能事件，故B不符合题意；
C、是必然事件，故C不符合题意；
D、是不可能事件，故D不符合题意；
故选A．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3、B
【解析】
将原式中的x、y分别用3x、3y代替，化简，再与原分式进行比较．
【详解】
解：∵把分式中的x与y同时扩大为原来的3倍，
∴原式变为：＝ ＝9×，
∴这个分式的值扩大9倍．
故选：B．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
4、A
【解析】
分析：根据勾股定理和正方形的面积公式可以得到A+B=C+D．
详解：如图，∵a2+b2=e2，c2+d2=e2，∴a2+b2=c2+d2，∴A+B=C+D．
故选A．

点睛：本题考查了勾股定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
5、B
【解析】
由题意可知31与37最接近，即与最接近，从而得出答案．
【详解】
解：∵31＜37＜49，
∴1＜＜7，
∵37与31最接近，
∴与最接近的整数是1．
故选：B．
此题主要考查了无理数的估算能力，掌握估算的方法是解题的关键．
6、C
【解析】
试题分析：平行四边形的两组对边分别平行且相等，对角线互相平分.
考点：平行四边形的性质.
7、C
【解析】
延长BD交AC于H，根据等腰三角形的性质得到BD＝DH，AH＝AB＝12，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
延长BD交AC于H，
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴BD＝DH，AH＝AB＝12，
∴HC＝AC﹣AH＝4，
∵M是BC中点，BD＝DH，
∴MD＝CH＝2，
故选C．
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8、B
【解析】
根据二次根式中的被开方数非负数的性质进行计算，即可得到答案.
【详解】
由二次根式中的被开方数非负数的性质可得，则，故选择B.
本题考查函数自变量的取值范围，解题的关键是知道二次根式中的被开方数非负数 .
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、y=
【解析】
由四边形ABCD是矩形，得到AB=CD=1，BC=AD=2，根据A（-3，），AD∥x轴，即可得到B（-3，），C（-1，），D（-1，）；根据平移的性质将矩形ABCD向右平移m个单位，得到A′（-3+m，），C（-1+m，），由点A′，C′在在反比例函数y=（x＞0）的图象上，得到方程（-3+m）=（-1+m），即可求得结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1，BC=AD=2，
∵A（-3，），AD∥x轴，
∴B（-3，），C（-1，），D（-1，）；
∵将矩形ABCD向右平移m个单位，
∴A′（-3+m，），C（-1+m，），
∵点A′，C′在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴（-3+m）=（-1+m），
解得：m=4，
∴A′（1，），
∴k=，
∴反比例函数的解析式为：y=．
故答案为y=．
本题考查了矩形的性质，图形的变换-平移，反比例函数图形上点的坐标特征，求反比例函数的解析式，掌握反比例函数图形上点的坐标特征是解题的关键．
10、
【解析】
甲单独做一天可完成工程总量的，乙单独做一天可完成工程总量的，二人合作一天可完成工程总量的．工程总量除以二人合作一天可完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需天数．
【详解】
解答：解：设该工程总量为1．
二人合作完成该工程所需天数＝1÷（）＝1÷＝．
本题考查列代数式（分式），解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
11、k＞2
【解析】
试题分析：本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键，即在y=kx+b中，当k＞0时y随x的增大而增大，当k＜0时y随x的增大而减小.
【详解】
根据题意可得：k－2＞0，解得：k＞2.
考点：一次函数的性质；一次函数的定义
12、
【解析】
过点D作DH⊥AB于H．利用角平分线的性质定理求出DH，然后根据三角形的面积公式即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点D作DH⊥AB于H．
∵DC⊥BC，DH⊥AB，BD平分∠ABC，
∴DH＝CD＝1，
∴S△ABD＝•AB•DH＝×2×1＝，
故答案为：．
本题主要考查角平分线的尺规作图及性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
13、2
【解析】
当时，===2,故答案为：2.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见详解；（1）见详解
【解析】
（1）通过证明△ADE≌△CBF，由全等三角的对应边相等证得AE=CF.
（1）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论.
【详解】
证明：（1）如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠3=∠4
∵∠1=∠3+∠5，∠1=∠4+∠6，
∴∠1=∠1
∴∠5=∠6
∵在△ADE与△CBF中，∠3=∠4，AD=BC，∠5=∠6，
∴△ADE≌△CBF（ASA）
∴AE=CF
（1）∵∠1=∠1，
∴DE∥BF
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE=BF
∴四边形EBFD是平行四边形
15、 (1) ;（2）.
【解析】
（1）运用二次根式运算法则，直接计算即可；
（2）首先转化代数式，然后代入即可得解.
【详解】
（1） 原式=
（2）
=
此题主要考查二次根式的运算，熟练运用，即可解题.
16、（1）直线AC的解析式为：，双曲线为：；（2），当t＝2.5秒或t＝7秒时，S＝1．
【解析】
（1）设直线的解析式为．将、两点代入其中，即利用待定系数法求一次函数解析式；然后利用一次函数图象上点的坐标特征，将点代入函数关系式求得值；最后将点代入双曲线的解析式，求得值，即可求得双曲线的解析式；
（2）分类讨论：当时，；当时，．
【详解】
解：(1)设直线的解析式为，过、，
，
解得：，
直线的解析式为，
又在直线上，
，
又双曲线过，
，
双曲线的解析式为：；
（2）当时，，
过作，垂足为，如图1，
，，
，
当时，
解得，
当时，，
过作，垂足为，如图2
，，
，
当时，，
解得，
综上，，
当秒时，的面积不存在，
当秒或秒时，．
此题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，分类讨论是本题的关键．
17、（1）,（2）.
【解析】
（1）把原点代入解析式即可求解；
（2）根据一次函数的增减性即可求解.
【详解】
（1）把（0，0）代入
得0=m+5
解得m=-5
（2）依题意得3m-1＜0，
解得
此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的增减性.
18、﹣1．
【解析】
首先利用平方差公式化简，进而利用二次根式混合运算法则计算得出答案.
【详解】
原式＝(5﹣3)(﹣)+1﹣1﹣
＝1﹣1+1﹣1﹣
＝﹣1．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、61.8m或38.2m
【解析】由于C为线段AB=100cm的黄金分割点，
则AC=100×61.8m
或AC=100-．
20、或15
【解析】
如图1，根据折叠的性质得到AB=A=5，E=BE，根据勾股定理求出BE，如图2，根据折叠的性质得到A=AB=5，求得AB=BF=5， 根据勾股定理得到CF=4根据相似三角形的性质列方程即可得到结论.
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=3，CD=AB=5，
如图1，由折叠得AB=A=5，E=BE，
∴，
∴,
在Rt△中， ，
∴，
解得BE=；
如图2，由折叠得AB=A=5，
∵CD∥AB，
∴∠=∠，
∵，
∴，
∵AE垂直平分，
∴BF=AB=5，
∴，
∵CF∥AB，
∴△CEF∽△ABE，
∴，
∴，
∴BE=15，
故答案为：或15.
此题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，根据折叠的要求正确画出符合题意的图形进行解答是解题的关键.
21、，
【解析】
根据解一元二次方程的方法，即可得到答案.
【详解】
解：∵，
∴，
∴，，
故答案为：，；
本题考查了解一元二次方程的方法，解题的关键是掌握解方程的方法和步骤.
22、2
【解析】
根据平方差公式即可得出答案.
【详解】
∵，
∴
故答案为2.
本题考查的是平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键.
23、低
【解析】
因为：，根据抛物线的开口向上可得答案．
【详解】
解：因为：，所以根据抛物线的开口向上，抛物线图像有最低点．
故答案：低．
本题考查的符号决定抛物线的图像的开口方向，掌握抛物线的图像特点是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1），，（2），（3）能，，
（4）
【解析】
（1）先把（1，3）代入求出k的值，再由两函数有交点求出m的值，根据函数图象即可得出结论；
（2）根据线段OC最短可知OC为∠AOB的平分线，对于，令，即可得出C点坐标，把代入中求出的值即可得出P点坐标；
（3）当OC=OD时，四边形O′COD为菱形，由对称性得到△AOC≌△BOD，即OA=OB，由此时P横纵坐标相等且在直线上即可得出结论．
（4）设，则，，根据PD=DB，构建方程求出，即可解决问题．
【详解】
解：（1）∴反比例函数（x＞0，k≠0）的图象进过点（1，3），
∴把（1，3）代入，解得，
．
∵ ，
∴，
，
∴由图象得：；
（2）∵线段OC最短时，
∴OC为∠AOB的平分线，
∵对于，令，
∴，即C，
∴把代入中，得：，即P；
（3）四边形O′COD能为菱形，
∵当OC=OD时，四边形O′COD为菱形，
∴由对称性得到△AOC≌△BOD，即OA=OB，
∴此时P横纵坐标相等且在直线上，
即，解得：，即P．
（4）设B，则，
∵PD=DB，
∴，
解得：（舍弃），
∴，D，，，
本题属于反比例函数综合题，考查的是反比例函数的图像与性质，涉及到菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，在解答此题时要注意利用数形结合求解．
25、（1）x=2-2（2）无解
【解析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
（1）方程两边同时乘以x得：
2=（+1）x，
解得：x==2-2，
检验：当x=2-2时，x≠0
所以x=2-2是分式方程的解；
（2）方程两边同时乘以得：
x2+2x+1-x2+1=4，
解得：x=1，
检验：当x=1时，
所以x=1是增根，分式方程无解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
26、（1）240人＜八年级学生数≤300人
（2）这个学校八年级学生有300人．
【解析】
答：八年级学生总数为人
(1)关系式为：学生数≤300，学生数+60>300列式求值即可；
(2)批发价为每支x元，则零售价为每支元,列方程求解
【详解】
解：(1)有已知，240人<总数≤300人；
(2)批发价为每支x元，则零售价为每支元
可列方程
求得x=
经检验x=符合题意
学生总数为人
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人