2025届北京市昌平区北京人大附中昌平校区九上数学开学检测试题【含答案】

这是一份2025届北京市昌平区北京人大附中昌平校区九上数学开学检测试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．极差
2、（4分）在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2(x+1)2﹣1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是( )
A．(﹣1，1)B．(1，﹣2)C．(2，﹣2)D．(1，﹣1)
3、（4分）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为( )
A．3cm2B．4 cm2C．cm2D．2cm2
4、（4分）下列多项式中，不能运用公式进行分解因式的是( )
A．a2+b2B．x2﹣9C．m2﹣n2D．x2+2xy+y2
5、（4分）如图，△ABC是面积为27cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9cm2B．8cm2C．6cm2D．12 cm2
6、（4分）为了贯彻总书记提出的“精准扶贫”战略构想，铜仁市2017年共扶贫261800人，将261800用科学记数法表示为（ ）
A．2.618×105B．26.18×104C．0.2618×106D．2.618×106
7、（4分）如图，直线y＝kx和y＝ax+4交于A（1，k），则不等式kx﹣6＜ax+4＜kx的解集为（ ）
A．1＜x＜B．1＜x＜3C．﹣＜x＜1D．＜x＜3
8、（4分）匀速地向如图所示容器内注水，最后将容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t变化情况的大致函数图象（图中OABC为一折线）是（ ）
A．（1）B．（2）C．（3）D．无法确定
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，菱形ABCD中，点O为对角线AC的三等分点且AO＝2OC，连接OB，OD，OB＝OC＝OD，已知AC＝3，那么菱形的边长为_____．
10、（4分）若与最简二次根式能合并成一项，则a=______．
11、（4分）某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的100元涨到了179元，设平均每次涨价的百分比为x，那么可列方程：______
12、（4分）如图，平行四边形ABCD中，，，，则平行四边形ABCD的面积为______．
13、（4分）关于的方程无解，则的值为________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点．
（1）在图中以格点为顶点画一个面积为5的正方形．
（2）如图2所示，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
15、（8分）校团委决定对甲、乙、丙三位候选人进行民主投票、笔试、面试考核，从中推选一名担任学生会主席．已知参加民主投票的学生为200名，每人当且仅当推荐一名候选人，民主投票结果如下扇形统计图所示，笔试和面试的成绩如下统计表所示．
（1）甲、乙、丙的得票数依次是______、______、______；
（2）若民主投票得一票记1分，学校将民主投票、笔试、面试三项得分按3：4：3的比例确定三名候选人的考核成绩，成绩最高当选，请通过计算确定谁当选．
16、（8分）己知：，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
17、（10分）如图，在□ABCD中，点E，F分别在边AB，DC上，且AE=CF，连接DE，BF．
求证：DE=BF．
18、（10分）已知关于x的一元二次方程mx2－2x＋1＝0.
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2－x1－x2＝，求m的值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1、2、3，自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x，把第二次转动停止后指针指向的数字记作y，则x与y的和为偶数的概率为______．
20、（4分）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则___．
21、（4分）某校要从甲、乙两名跳远运动员挑选一人参加校际比赛．在十次选拔比赛中，他们的方差分别为S甲2=1．32，S乙2=1．26，则应选________参加这项比赛(填“甲”或者“乙”)
22、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AD＝AC＝2，则BD的长为_____．
23、（4分）若，则m－n的值为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）四边形ABCD是正方形，AC是对角线，E是平面内一点，且，过点C作，且．连接AE、AF，M是AF的中点，作射线DM交AE于点N.
（1）如图1，若点E，F分别在BC，CD边上．
求证：①；
②；
（2）如图2，若点E在四边形ABCD内，点F在直线BC的上方，求与的和的度数．

25、（10分） (1)计算：(﹣)﹣．
(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AB＝10，AD＝8，AC＝6，求四边形ABCD的面积．
26、（12分）解下列不等式，并把解集表示在数轴上．
(1)
(2)
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
共有13名学生参加竞赛，取前6名，所以小梅需要知道自己的成绩是否进入前六．我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，所以小梅知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选A．
2、B
【解析】
先求出原函数的顶点坐标，再按照要求移动即可.
【详解】
解：函数y＝2(x+1)2﹣1的顶点坐标为(﹣1，﹣1)，
点(﹣1，﹣1)沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度后对应点的坐标为(1，﹣2)，
即平移后抛物线的顶点坐标是(1，﹣2)．
故选：B．
本题考查函数的相关图像性质，能够求出顶点坐标是解题关键.
3、D
【解析】
由四边形ABCD是菱形，可得菱形的四条边都相等AB=BC=CD=AD，菱形的对角线互相平分且相等即AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，又因为菱形的边长和一条对角线的长均为2，易求得OB=1，则可得AC的值，根据菱形的面积等于积的一半，即可求得菱形的面积．
【详解】
解：根据题意画出图形，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2cm，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
又∵菱形的边长和一条对角线的长均为2，
∴AB=AD=BD=2，
∴OB=1，
∴OA==，
∴AC=2，
∴菱形的面积为2，
故选：D．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
4、A
【解析】
A. 不能进行因式分解，故不正确；
B.可用平方差公式分解，即x2-9=(x+3)(x-3),故正确；
C. 可用平方差公式分解，即m2-n2=(m+n)(m-n),故正确；
D.可完全平方公式分解，即=(x+y)2,故正确；
故选A.
5、A
【解析】
先证明△AEH∽△AFG∽△ABC，再根据相似三角形的面积比是相似比的平方，即可得出结果．
【详解】
解：∵是面积为的等边三角形
∴
∵矩形平行于
∴
∴
∵被截成三等分
∴，
∴
∴
∴图中阴影部分的面积
故选：A
本题考查了相似三角形的判定和性质，正确理解题意并能灵活运用相关判定方法和性质是解题的关键．
6、A
【解析】
科学记数法，是指把一个大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中1 ≤| a| ＜10)的记数法.
【详解】
解：261800=2.618×105.
故选A
本题考核知识点：科学记数法.解题关键点：理解科学记数法的定义.
7、A
【解析】
把A（1，k）代入y=ax+4得a=k-4，则解不等式kx-4＜ax+4得x＜，再结合图象得到x＞1时，ax+4＜kx，从而得到不等式kx-6＜ax+4＜kx的解集．
【详解】
解：把A（1，k）代入y＝ax+4得k＝a+4，则a＝k﹣4，
解不等式kx﹣4＜ax+4得x＜，
而当x＞1时，ax+4＜kx，
所以不等式kx﹣6＜ax+4＜kx的解集为1＜x＜．
故选A．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
8、A
【解析】
根据题意和图形可以判断哪个函数图象符合实际，从而可以解答本题．
【详解】
解：由图形可得，
从开始到下面的圆柱注满这个过程中，h随时间t的变化比较快，
从最下面的圆柱注满到中间圆柱注满这个过程中，h随时间t的变化比较缓慢，
从中间圆柱注满到最上面的圆柱注满这个过程中，h随时间t的变化最快，
故（1）中函数图象符合题意，
故选：A．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、.
【解析】
如图，连接BD交AC于E，由四边形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，AE=EC，在Rt△EOD中，利用勾股定理求出DE，在Rt△ADE中利用勾股定理求出AD即可．
【详解】
如图，连接BD交AC于E．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE＝EC，
∵OA＝2OC，AC＝3，
∴CO＝DO＝2EO＝1，AE＝，
∴EO＝，DE＝EB＝，
∴AD＝．
故答案为．
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理解决问题.
10、2
【解析】
根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
解：=2，
由最简二次根式与能合并成一项，得
a-1=1．
解得a=2．
故答案为：2．
本题考查同类二次根式和最简二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
11、100（1+x）2=179
【解析】
由两次涨价的百分比平均每次为x，结合商品原价及两次涨价后的价格，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
【详解】
解：∵两次涨价平均每次的百分比为x，
∴100(1+x)2=179.
故答案为：100(1+x)2=179.
本题考查了一元二次方程的应用.
12、10
【解析】
从A点做底边BC的垂线AE,在三角形ABE中30度角所对的直角边等于斜边AB的一半,所以AE＝2,同时AE也是平行四边形ABCD的高,所以平行四边形的面积等于5x2＝10.
【详解】
作AE⊥BC,
因为
所以，AE=AB=×4 =2.
所以，平行四边形的面积=BC×AE=5x2＝10.
故答案为10
本题考核知识点：直角三角形. 解题关键点：熟记含有30〬角的直角三角形的性质.
13、-1．
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】
解：去分母得：2x-1=x+1+m，
整理得：x=m+2，
当m+2= -1，即m= -1时，方程无解．
故答案为：-1．
本题考查分式方程的解，分式方程无解分为最简公分母为0的情况与分式方程转化为的整式方程无解的情况．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）∠ABC＝45°．
【解析】
（1）根据勾股定理作出边长为的正方形即可得；
（2）连接AC，根据勾股定理逆定理可得△ABC是以AC、BC为腰的等腰直角三角形，据此可得答案．
【详解】
（1）如图1所示：
（2）如图2，连AC，则
∵，即BC2+AC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠CAB=45°．
本题考查了作图﹣基本作图，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和正方形的判定和性质．
15、（1）50、80、70；（2）乙的平均成绩最高，应录用乙．
【解析】
（1）分别用总票数乘以甲，乙，丙各自得票数的百分比即可得出各自的得票数；
（2）按照加权平均数的求法 分别求出甲，乙，丙的成绩，选出成绩最高者即可．
【详解】
（1）甲的得票数为：200×25%=50（票），
乙的得票数为：200×40%=80（票），
丙的得票数为：200×35%=70（票），
（2）甲的平均成绩：
；
乙的平均成绩：
；
丙的平均成绩：
；
∵78.5＞76＞73.8，
∴乙的平均成绩最高，应录用乙．
本题主要考查加权平均数和扇形统计图，掌握加权平均数的求法是解题的关键．
16、 (1);(2)
【解析】
（1）首先将代数式进行通分，然后根据已知式子，即可得解；
（2）首先根据完全平方差公式，将代数式展开，然后将已知式子转换形式，代入即可得解.
【详解】
∵，，
∴，
（1）
（2）
此题主要考查二次根式的运算，熟练掌握，即可解题.
17、详见解析
【解析】
欲证明，只要证明≌即可．由四边形ABCD是平行四边形，
可证，，从而根据“SAS”可证明≌.
【详解】
证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
在和中，
，
≌，
．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18、 (1)m≤1且m≠0(2) m＝－2
【解析】
（1）根据一元二次方程的定义和判别式得到m≠0且Δ＝(－2)2－4m≥0，然后求解不等式即可；
（2）先根据根与系数的关系得到x1＋x2＝，x1x2＝，再将已知条件变形得x1x2－(x1＋x2)＝，然后整体代入求解即可.
【详解】
(1)根据题意，得m≠0且Δ＝(－2)2－4m≥0，
解得m≤1且m≠0.
(2)根据题意，得x1＋x2＝，x1x2＝，
∵x1x2－x1－x2＝，即x1x2－(x1＋x2)＝，
∴－＝，
解得m＝－2.
本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式和根与系数的关系（韦达定理），
根的判别式：（1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；
（3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根.
韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
画出树状图得出所有等可能结果与两数和为偶数的结果数，然后根据概率公式列式计算即可得解.
【详解】
解：根据题意，画出树状图如下：
一共有9种等可能情况，其中x与y的和为偶数的有5种结果，
∴x与y的和为偶数的概率为 ，
故答案为：.
本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20、
【解析】
根据菱形面积=对角线积的一半可求，再根据勾股定理求出，然后由菱形的面积即可得出结果.
【详解】
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式.熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解题的关键.
21、乙
【解析】
根据方差的意义即可解答．
【详解】
∵S甲2=1.32＞S乙2=1.26
∴乙更加稳定
本题考查了方差的应用，方差是用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）的统计量． 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
22、2
【解析】
设AC与BD的交点为O，根据平行四边形的性质，可得AO＝CO＝1，BO＝DO，根据勾股定理可得BO＝，即可求BD的长．
【详解】
解：设AC与BD的交点为O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC＝2，AD∥BC
AO＝CO＝1，BO＝DO
∵AC⊥BC
∴BO＝＝
∴BD＝2.
故答案为2.
本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，关键是灵活运用平行四边形的性质解决问题．
23、4
【解析】
根据二次根式与平方的非负性即可求解.
【详解】
依题意得m-3=0,n+1=0,解得m=3,n=-1,
∴m-n=4
此题主要考查二次根式与平方的非负性，解题的关键是熟知二次根式与平方的非负性.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）①见解析；②见解析；（2）
【解析】
（1）根据已知及正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的计算，可知①∠BAE＝∠DAF是否成立；可知②DN⊥AE是否成立；
（2）根据已知及正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的计算，求出​∠EAC与∠ADN的和的度数.
【详解】
（1）证明：①在正方形ABCD中，
∴，.
∵，
∴.
∴.
∴.
②∵M是AF的中点，
∴，
由①可知.
∵.
∵
∴
∴
（2）解：延长AD至H，使得，连结FH，CH.
∵，
∴.
在正方形ABCD屮，AC是对角线，
∴.
∴.
∴.
∴
又∵，
∴.
∴
∵M是AF的中点，D是AH的中点，
∴.
∴
∴
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的应用，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的计算.
25、 (1)﹣﹣3；(2)四边形ABCD的面积＝1.
【解析】
(1)根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质计算即可；
(2)根据勾股定理的逆定理得到AC⊥BC，根据平行是四边形的面积公式计算即可．
【详解】
(1)原式＝﹣3﹣2＝﹣﹣3；
(2)AD2+AC2＝64+36＝100，AB2＝100，
∴AD2+AC2＝AB2，
∴AC⊥BC，
∴四边形ABCD的面积＝BC×AC＝6×8＝1．
本题考查的是平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、二次根式的混合运算，掌握勾股定理的逆定理、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
26、（1），见解析；（2），见解析
【解析】
（1）去分母，解不等式；（2）分别解不等式，再求公共解集.
【详解】
解：(1)
解集在数轴表示为：
(2)
解集在数轴表示为：
考核知识点：解不等式组.掌握解不等式基本方法是关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
甲
乙
丙
笔试
78
80
85
面试
92
75
70