人教版八年级数学上册重难考点专题02与三角形有关的角(知识串讲+7大考点)特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题02与三角形有关的角(知识串讲+7大考点)特训(原卷版+解析)，共79页。

知识串讲
（一）三角形内角（和）
（1）内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
（2）推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
（二）三角形外角
（1）概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角
（2）性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
（3）三角形的外角与内角的关系：
①三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
（三）三角形内、外角角平分线模型
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A．
考点训练
考点1：三角形内角和定理的证明
典例1：（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是（ ）
A．延长BC至D过C作CE∥ABB．过A作DE∥BC
C．过D作DE∥BCD．过P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）定理：三角形的内角和等于180°．
已知：△ABC的三个内角为∠A，∠B，∠C．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1用合理的推理证明了该定理
C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
【变式2】（2023·广东佛山·校考一模）如下图所示，能利用图中作法：过点A作BC的平行线，证明三角形内角和是180°的原理是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补B．两直线平行，内错角相等
C．内错角相等，两直线平行D．两直线平行，同位角相等
【变式3】（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点2：三角形内角和定理的应用——平行线
典例2：（2023春·安徽黄山·七年级统考期中）如图，∠C=90°，∠CAB=30°，AD∥BE，∠DAE=120°，给出以下结论： ①∠2=∠EAB； ②AC平分∠DAB； ③∠1+∠2=90°； ④BC∥AE．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】（2023·湖北荆门·校联考一模）如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3=（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②④
【变式3】（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分别是BA,CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB//CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点3：三角形内角和定理的应用——角平分线
典例3：（2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论①∠CEG=2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=12∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【变式1】（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠DFB=12∠A；④∠ADC=∠GCD；⑤CA平分∠BCG，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①③④C．①③④⑤D．①②③④
【变式2】（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：①△ABE的面积=△BCE的面积；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④AD=4.8．
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④
【变式3】（2022春·重庆荣昌·七年级统考期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠DAB＝70°，∠DAB的平分线交CD于点M，连接BM，若∠CBM＝38°，则∠AMB的度数是（ ）
A．51B．73C．75D．90
考点4：三角形内角和定理的应用——折叠问题
典例4：（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内点A'的位置∠A=35°，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．80°B．70°C．45°D．35°
【变式1】（2022秋·贵州黔西·八年级统考期中）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在BC边上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A=85°，则∠MGE的度数为（ ）
A．45°B．55°C．85°D．95°
【变式2】（2023春·江苏·七年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）
A．22°B．21°C．20°D．19°
【变式3】（2023·山东济南·模拟预测）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
A．66°B．104°C．114°D．124°
考点5：三角形内角和定理的综合应用
典例5：（2023春·江苏镇江·七年级统考阶段练习）如图，分别将三角板ABC与ADE的一边AB与AE放置在直线l上，边AC与AD所在直线重合．现将三角板ABC绕点A逆时针旋转，三角板ADE绕点A顺时针旋转．当AB与AE第一次重合时，三角板停止运动． 在旋转过程中，下列说法不正确的是（ ）
A．当AB与DE垂直时， ∠BAE=150° B．当BC与DE平行时，∠BAE=120°
C．当AC与DE垂直时，∠BAE=60° D．当BC与AE平行时， ∠BAE=45°
【变式1】（2023·江西·模拟预测）如图，从A点发出的光线AB，AD经平面镜l反射后得到反射光线BC，DE，m，n为法线，设∠A=α°，∠ABC=β°，∠ADE=γ°，那么α,β,γ之间的数量关系是（ ）
A．α+β=γB．2α+β=γC．α+2β=γD．α+2β=2γ
【变式2】（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=55°．当∠MAC为（ ）度时，AM与CB平行．
A．55B．65C．75D．80
【变式3】（2022秋·八年级单元测试）如图所示，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B 和C处开工挖出“V”字形通道，如果∠DBA= 120°，∠ECA=125° ，则∠A的度数是（ ）
A．65°B．80°C．85°D．90°
考点6：直角三角形的两个锐角互余
典例6：（2023春·安徽·七年级期中）如图，直线a ∥ b，△ABC是直角三角形，∠C=90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为( )
A．100°B．105°C．110°D．120°
【变式1】（2023·安徽宿州·统考一模）将含30°角的直角三角板ABC如图放置，使其三个顶点分别落在三条平行直线上，其中∠ACB=90°．若∠1=50°，则∠ABQ的度数为（ ）
A．120°B．130°C．150°D．160°
【变式2】（2023·广东深圳·统考一模）一副三角形板如图放置，DE∥BC，∠C=∠DBE=90°，∠E=45°，∠A=30°，则∠ABD的度数为（ ）
A．5∘B．15∘C．20∘D．25∘
【变式3】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市南渝中学校校考期中）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B=48°，∠C=68°，则∠DAE的度数是（ ）
A．10°B．12°C．14°D．16°
考点7：三角形外角的定义与性质
典例7：（2023·贵州黔南·统考一模）如图，AB∥CD，∠B=72°，∠D=48°，则∠F的度数是（ ）
A．24°B．30°C．40°D．60°
【变式1】（2023·山东滨州·模拟预测）如图，CD∥EF，直线AB与直线CD,EF分别相交于点G，H，GM平分∠CGH交EF于点M．若∠GME=150°，则∠GHF的度数为（ ）
A．100°B．80°C．60°D．50°
【变式2】（2022秋·云南德宏·八年级统考期末）已知AD、AE分别为△ABC的角平分线、高线，若∠B:∠BAC=2:3，∠C=60°，则∠ADB的度数为（ ）
A．96°B．100°C．106°D．110°
【变式3】（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）如图，l1∥l2，则（ ）
A．∠α+∠β−∠γ=180°B．∠α+∠β+∠γ=180°C．∠α+∠β=2∠γD．∠α+∠β=∠γ
考点8：三角形内外角角平分线规律
典例8：（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC,∠ACB，且∠BIC=140°，BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB的外角，则∠BMC的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠BAC=128°，P1是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（ ）
A．2°B．4°C．8°D．16°
【变式2】（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB=125°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20°B．30°C．45°D．50°
【变式3】（2023秋·黑龙江·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A=80°，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，则∠BDC=（ ）
A．45°B．60°C．50°D．无法确定
同步过关
一、单选题
1．（2023春·七年级单元测试）如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长ED交AC于F，那么图中∠AFE的度数是（ ）度．
A．75B．90C．100D．105
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，BC⊥AE于点C，CD//AB，∠B=60°，则∠ECD的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
3．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）一副三角板如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．135°B．145°C．150°D．165°
4．（2023春·全国·七年级专题练习）一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，已知∠DBA+∠DCA=50°，则∠A的度数是（ ）
A．50°B．40°C．45°D．44°
5．（2023·浙江杭州·八年级专题练习）如图，AD是∠CAE的平分线，∠B=30°, ∠DAE=60°，那么∠ACD等于（ ）
A．90°B．60°C．80°D．100°
6．（2023春·福建三明·九年级统考开学考试）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O， AB∥OC，CD与OA交于点E，已知∠A=30°，则∠DEO的度数为（ ）
A．45°B．60°C．70°D．75°
7．（2022秋·全国·八年级专题练习）满足条件2∠A=2∠B=∠C的△ABC是( )
A．锐角三角形B．等腰直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
8．（2023春·山东威海·七年级统考期末）把含有30°角的直角三角板（∠ABC=30°）如图放置，若EF//MN，∠1=100°，则∠2=（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
9．（2023秋·内蒙古通辽·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D是CA延长线上一点，∠B=40°，∠BAD=76°，则∠C的度数为（ ）
A．36°B．116°C．26°D．104°
10．（2023·山东菏泽·中考真题）将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
11．（2022春·山东东营·七年级统考期中）给出下列命题：
（1）三角形的一个外角一定大于它的一个内角
（2）若一个三角形的三个内角之比为1：3：4，它肯定是直角三角形
（3）三角形的最小内角不能大于60°
（4）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
其中真命题的个数是 ( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（2023春·八年级课时练习）如图，DE为△ABC的边BC的垂直平分线，交BC于E，交AB于D，且∠B=40°，∠A=60°，则∠ACD的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．30°
D．45°
13．（2023·广西百色·统考一模）如图，AC∥BD，AD与BC相交于O，∠A＝45°，∠B＝30°，那么∠AOB等于（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
14．（2023秋·安徽马鞍山·八年级统考期末）若三角形三个内角度数之比为2：3：7，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
15．（2023秋·湖北孝感·八年级校考阶段练习）四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于点P，∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（ ）
①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEA+∠PFA=36°
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
二、填空题
16．（2023·北京·九年级专题练习）在直角三角形中，其中一个锐角是22°，则另外一个锐角是_____．
17．（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于________．
18．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC=35°，则∠BCD的度数为______．
19．（2022春·山东滨州·七年级统考期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝88°，则∠BOC＝_____．
20．（2023秋·重庆渝中·八年级统考期末）在△ABC中，若∠B＝∠C＝2∠A，则∠C的度数为_____．
21．（2023秋·安徽安庆·八年级校考期末）如图，已知AB∥CD，∠A=25°，∠E=15°，则∠C等于_______.
22．（2023春·七年级课时练习）已知：△ABC中，∠B=90°， ∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为_________.
23．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，AC⊥OB，BD⊥AO，若∠B＝50°，则∠A=_________.
24．（2022秋·山西大同·八年级大同市第七中学校校考阶段练习）如图，P是△ABC 的∠ABC 和∠ACB的外角的平分线的交点，若∠P=40° ，则∠A= __________．
25．（2022秋·八年级课时练习）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的结论有_____(写出所有正确结论的序号)．
三、解答题
26．（2023秋·湖南怀化·八年级统考期中）如图所示，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，AD⊥BC于O，∠B=50°，求∠A和∠C．
27．（2023秋·八年级课时练习）说出下列图形中∠1和∠2的度数：
28．（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）如图所示，AD，AE是三角形ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAE的度数．
29．（2023秋·广东·八年级校考阶段练习）如图，在ΔABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，HD是∠BHC的平分线，求∠ABE、∠ACF和∠CHD的度数．
30．（2023·重庆·中考真题）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD，若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
31．（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=60°，求∠DAC的度数．
32．（2023秋·全国·八年级期末）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，点A，B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
33．（2023春·陕西西安·七年级统考期中）如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系
（1）如图①，已知AB∥CD，求证：∠BPD＝∠B+∠D；（提示；可过点P作PO∥AB）
（2）如图②，已知AB∥CD，求证：∠B＝∠P+∠D．
34．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线AB∥CD,EF⊥CD分别交AB、CD于点E、F，射线EP、EQ分别从EC、EF同时开始绕点E顺时针旋转，分别与直线AB交于点M、N，射线EP每秒转10°，射线EQ每秒转5°，点O是∠PMN、∠MNQ角平分线的交点．设旋转时间为t秒（0(1)①用含t的代数式表示：∠AMP=___________°，∠QNB=__________°；
②当t=4时，∠OMN=____________°；
(2)试探索∠MON与∠ONM的数量关系，并说明理由；
(3)∠MEF的角平分线与直线MO交于点K，直接写出∠MKE的度数为___________．
35．（2023春·七年级单元测试）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．
（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是________；
（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是________．
专题02 与三角形有关的角
考点类型
知识串讲
（一）三角形内角（和）
（1）内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
（2）推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
（二）三角形外角
（1）概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角
（2）性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
（3）三角形的外角与内角的关系：
①三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
（三）三角形内、外角角平分线模型
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A．
考点训练
考点1：三角形内角和定理的证明
典例1：（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是（ ）
A．延长BC至D过C作CE∥ABB．过A作DE∥BC
C．过D作DE∥BCD．过P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC
【答案】C
【分析】根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解．
【详解】A、∵ CE∥AB，∴ ∠BAC=∠ACE，∠B=∠ECD，由 ∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°，得 ∠BCA+∠BAC+∠B=180°，故A不符合题意；
B、∵ DE∥BC，∴ ∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，由 ∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°，得 ∠B+∠BAC+∠C=180°，故B不符合题意；
C、∵ DE∥BC，∠B=∠ADE，∠C=∠AED，无法证得三角形的内角和等于180°，故C符合题意；
D、如图，∵ DE∥BC，∴ ∠B=∠AOE=∠BOP，∠C=∠AMP，∵ ∠A+∠AMP=∠AOP，∴ ∠A+∠C=∠AOP，∵∠BOP+∠AOP=180°，∴ ∠BOP+∠A+∠C=180° ∴ ∠A+∠B+∠C=180°，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）定理：三角形的内角和等于180°．
已知：△ABC的三个内角为∠A，∠B，∠C．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1用合理的推理证明了该定理
C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理证明的常见思路去判断即可．
【详解】三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明，
故A、B都不符合题意；
证法2用严谨的推理证明了该定理，故不需要分三角形的形状，
故C不符合题意；D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握严谨的定理证明是解题的关键．
【变式2】（2023·广东佛山·校考一模）如下图所示，能利用图中作法：过点A作BC的平行线，证明三角形内角和是180°的原理是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补B．两直线平行，内错角相等
C．内错角相等，两直线平行D．两直线平行，同位角相等
【答案】B
【分析】根据题意得，EF∥BC，则∠EAB=∠CBA，∠FAC=∠BCA，根据平角的性质得∠EAB+∠BAC+∠CAF=180°，即可得．
【详解】解：根据题意得，EF∥BC，
∴∠EAB=∠CBA，∠FAC=∠BCA，
∵∠EAB+∠BAC+∠CAF=180°，
∴∠CBA+∠BAC+∠BCA=180°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解决本题的关键．
【变式3】（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：①．由EF∥AB，则∠ECA=∠A，∠FCB=∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°，得∠A+∠ACB+∠B=180°，故符合题意．
②．由CE∥AB，则∠A=∠FCE，∠B=∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°，得∠A+∠B+∠ACB=180°，故符合题意．
③．由CD⊥AB于D，则∠ADC=∠CDB=90°，无法证得三角形内角和是180°，故不符合题意．
④．由DF∥AC，得∠EDF=∠AED，∠A=∠FDB．由ED∥BC，得∠EDA=∠B，∠C=∠AED，那么∠C=∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB=180°，得∠B+∠A+∠C=180°，故符合题意，
共有：①②④符合条件，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．
考点2：三角形内角和定理的应用——平行线
典例2：（2023春·安徽黄山·七年级统考期中）如图，∠C=90°，∠CAB=30°，AD∥BE，∠DAE=120°，给出以下结论： ①∠2=∠EAB； ②AC平分∠DAB； ③∠1+∠2=90°； ④BC∥AE．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】先由∠CAB=30°、∠C=90°得到∠ABC=60°，从而得到∠ABE+∠2=120°，再利用平行线的性质得到∠2=∠EAB；再结合∠CAB=30°、∠DAE=120°得到∠EAB+∠1=90°，进而得到∠1+∠2=90°；由∠1+∠EAB=90°得到∠1=90°−∠EAB，然后由∠EAB的度数不固定得到∠1不一定等于30°，即∠1=∠BAC不一定成立，进而得到CA不一定平分∠DAB；同理可知∠2=60°不一定成立．
【详解】解：∵∠BAC=30°，∠C=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABE+∠2=180°−∠ABC=180°−60°=120°，
∵AD∥BE，
∴∠ABE=∠BAD，
∵∠DAE=120°，
∴∠BAD+∠EAB=120°，即∠ABE+∠EAB=120°，
∴∠2=∠EAB，故①正确，符合题意；
∵∠BAC=30°，∠DAE=120°，
∴∠EAB+∠1=90°，
∵∠EAB=∠2，
∴∠1+∠2=90°，故③正确，符合题意；
∵∠1+∠EAB=90°，
∴∠1=90°−∠EAB，
∴∠1的大小随∠EAB的大小变化而变化，
∵∠EAB的度数不固定，
∴∠1=30°不一定成立，即∠1=∠BAC不一定成立，
∴AC不一定平分∠DAB，故②错误，不符合题意；
同理可知，∠2=60°不一定成立，
∴BC∥AE不一定成立，故④错误，不符合题意．
故有①③正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质．
【变式1】（2023·湖北荆门·校联考一模）如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3=（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
【答案】B
【分析】先由平行线性质得出∠4的度数，∠3=180°−∠1−∠4即可．
【详解】解：因为直线l1∥l2，
所以∠4=∠2=75°，
所以∠3=180°−∠1−∠4
=180°−40−75°
=65°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练应用性质是解题的关键．
【变式2】（2022秋·八年级课时练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②④
【答案】D
【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．
【详解】解：∵∠2=30°，∠CAB=90°，
∴∠1=60°，
∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，故①正确；
∵∠CAB=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠CAD=90°-∠1+90°+∠1=180°，故②正确；
∵BC∥AD，∠B=45°，
∴∠3=∠B=45°，
∵∠2+∠3=∠DAE=90°，
∴∠2=45°，故③错误；
∵∠CAD=150°，∠BAE+∠CAD=180°，
∴∠BAE=30°，
∵∠E=60°，
∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°，
∴∠4+∠B=90°，
∵∠B=45°，
∴∠4=45°，
∵∠C=45°，
∴∠4=∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式3】（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分别是BA,CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB//CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=12×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
考点3：三角形内角和定理的应用——角平分线
典例3：（2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论①∠CEG=2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=12∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断结论①；只需要证明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判断结论③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出∠BFC=180°−12∠ABC+∠ACB=135°，即可判断结论④⑤；根据现有条件无法推出结论②．
【详解】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD，
∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故结论①正确；
∵∠A=90°，CG⊥EG，EG∥BC，
∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，
∴∠GCD+∠BCD=90°，
又∵∠BCD=∠ACD，
∴∠ADC=∠GCD，故结论③正确；
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠FBC=12∠ABC，∠FCB=12∠ACB，
∴∠BFC=180°−12∠ABC+∠ACB=135°，
∴∠DFB=180°−∠BFC=45°，
∴∠DFB=12∠A，故结论④正确；
∵∠BFC=135°，
∴∠DFE=∠BFC=135°，故结论⑤正确；
若CA平分∠BCG，而∠BCG=90°=∠EGC，
∴∠ECG=∠ACB=45°，与题干条件不相符，故结论②错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
【变式1】（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠DFB=12∠A；④∠ADC=∠GCD；⑤CA平分∠BCG，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①③④C．①③④⑤D．①②③④
【答案】B
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出∠BFC=135°，即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤．
【详解】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD
∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正确；
∵∠A=90°，CG⊥EG，EG∥BC，
∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，
∴∠GCD+∠BCD=90°，
又∵∠BCD=∠ACD，
∴∠ADC=∠GDC，故④正确；
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠FBC=12∠ABC，∠FCB=12∠ACB，
∴∠BFC=180°−∠FBC−∠FCB=180°−12∠ACB+∠ABC=135°，
∴∠DFB=180°−∠BFC=45°，
∴∠DFB=12∠A，故③正确；
∵∠BFC=135°，
∴∠DFE=∠BFC=135°，故②错误；
根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故⑤错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．
【变式2】（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：①△ABE的面积=△BCE的面积；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④AD=4.8．
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④
【答案】D
【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定△ABE和△BCE的面积关系以及求出AD的长度．
【详解】解：∵BE 是△ABC的中线，
∴AE=EC，
∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵∠BAC=90° ，AD是△ABC的高，
∴∠AFG+∠ACG=90°，∠DCG+∠DGC=90°，
∵CF是△ABC的角平分线，
∴∠ACG=∠DCG，
∴∠AFG=∠DGC，
又∵∠DGC=∠AGF，
∴∠AFG=∠AGF，故②正确；
∵∠FAG+∠DAC=∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠FAG=∠ACD，
∵∠ACD=∠ACF+∠DCF=2∠ACF，
∴∠FAG=2∠ACF，故③正确；
∵S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AD，
∴AD=AB⋅ACBC=6×810=4.8，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②③④，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线、高、角平分线，余角的性质，三角形面积的计算，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决本题的关键．
【变式3】（2022春·重庆荣昌·七年级统考期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠DAB＝70°，∠DAB的平分线交CD于点M，连接BM，若∠CBM＝38°，则∠AMB的度数是（ ）
A．51B．73C．75D．90
【答案】B
【分析】由平行线的性质可求出∠CBA=110°，从而可求出∠MBA=72°．由角平分线的定义可求出∠BAM=12∠DAB=35°，最后由三角形内角和定理即可求出∠AMB的度数．
【详解】∵AD∥BC，∠DAB＝70°，
∴∠CBA=180°-70°=110°，
∴∠MBA=∠CBA-∠CBM＝110°-38°=72°．
∵∠DAB的平分线交CD于点M，
∴∠BAM=12∠DAB=35°，
∴∠AMB＝180°-∠BAM-∠MBA=180°-35°-72°=73°．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理．熟练掌握上述知识，并利用数形结合的思想是解题关键．
考点4：三角形内角和定理的应用——折叠问题
典例4：（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内点A'的位置∠A=35°，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．80°B．70°C．45°D．35°
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ADE+∠AED的度数，根据折叠的性质，得到∠ADA'+∠AEA'=2∠ADE+∠AED，进而得到∠1+∠2=360°−2∠ADE+∠AED，即可得解．
【详解】解：∵∠A=35°，
∴∠ADE+∠AED=180°−∠A=145°，
∵折叠，
∴∠ADA'+∠AEA'=2∠ADE+∠AED=290°，
∴∠1+∠2=180°−∠ADA'+180°−∠AEA'=360°−290°=70°．
故选B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和是180°，是解题的关键．
【变式1】（2022秋·贵州黔西·八年级统考期中）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在BC边上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A=85°，则∠MGE的度数为（ ）
A．45°B．55°C．85°D．95°
【答案】C
【分析】根据图形对折的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可．
【详解】解：由题意知：∠B=∠MGN，∠C=∠EGF，
∵∠A=180°−∠B+∠C，
∠MGE=180°−∠MGN−∠EGF=180°−∠B+∠C，
∴∠MGE=∠A，
∵∠A=85°，
∴∠MGE=85°；
故选：C．
【点睛】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠图形中对应角相等是解题的关键．
【变式2】（2023春·江苏·七年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）
A．22°B．21°C．20°D．19°
【答案】C
【分析】根据∠A＝20°，∠B＝60°，点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，得到∠A=∠ACN=20°，∠B=∠BCF=60°,∠ACB=100°，结合∠ACB=∠ACN+∠BCF+∠NCF代入计算即可．
【详解】因为∠A＝20°，∠B＝60°，点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
所以∠A=∠ACN=20°，∠B=∠BCF=60°,∠ACB=100°，
因为∠ACB=∠ACN+∠BCF+∠NCF，
所以100°=20°+60°+∠NCF，
解得∠NCF=20°．
故选C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【变式3】（2023·山东济南·模拟预测）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
A．66°B．104°C．114°D．124°
【答案】C
【分析】由平行线得到∠BAB'=∠1=44°，由折叠得到∠BAC=∠B'AC=22°，由三角形的内角和求得∠B的度数．
【详解】解：∵AB∥CD，∠1=44°，
∴∠BAB'=∠1=44°，
由折叠得，∠BAC=∠B'AC，
∴∠BAC=∠B'AC=22°，
∵∠2=44°，
∴∠B=180°−∠2−∠BAC=180°−44°−22°=114°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，折叠的性质，解题的关键是利用平行线的性质求得∠BAB'=44°．
考点5：三角形内角和定理的综合应用
典例5：（2023春·江苏镇江·七年级统考阶段练习）如图，分别将三角板ABC与ADE的一边AB与AE放置在直线l上，边AC与AD所在直线重合．现将三角板ABC绕点A逆时针旋转，三角板ADE绕点A顺时针旋转．当AB与AE第一次重合时，三角板停止运动． 在旋转过程中，下列说法不正确的是（ ）
A．当AB与DE垂直时， ∠BAE=150° B．当BC与DE平行时，∠BAE=120°
C．当AC与DE垂直时，∠BAE=60° D．当BC与AE平行时， ∠BAE=45°
【答案】B
【分析】画出各选项对应的图形，然后根据平行线的性质，三角形内角和定理进行求解判断即可．
【详解】解：当AB与DE垂直时，如图1，

由题意知∠AFE=90°，
∴∠EAF=180°−∠AFE−∠E=30°，
∴∠BAE=180°−∠EAF=150°，
∴A正确，故不符合要求；
当BC与DE平行时，如图2，过A作FQ∥BC，则FQ∥DE，

∴∠QAE=∠E=60°，∠BAQ=∠B=45°，
∴∠BAE=∠QAE+∠BAQ=105°，
∴B错误，故符合要求；
当AC与DE垂直时，如图3，
∴AB∥DE，
∴∠BAE=∠E=60°，
∴C正确，故不符合要求；
当BC与AE平行时，如图4，
∴∠BAE=∠B=45°，
∴D正确，故不符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于正确的作图求解．
【变式1】（2023·江西·模拟预测）如图，从A点发出的光线AB，AD经平面镜l反射后得到反射光线BC，DE，m，n为法线，设∠A=α°，∠ABC=β°，∠ADE=γ°，那么α,β,γ之间的数量关系是（ ）
A．α+β=γB．2α+β=γC．α+2β=γD．α+2β=2γ
【答案】B
【分析】根据光的反射定律，求出∠CBD=12180°−β°=90°−12β°，∠ADB=12180°−γ°=90°−12γ°，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由题意可得：∠CBD=12180°−β°=90°−12β°，∠ADB=12180°−γ°=90°−12γ°，
∵∠ADB+∠ABD+∠A=180°，
即∠ADB+∠ABC+∠CBD+∠A=180°
∴90°−12γ°+β°+90°−12β°+α°=180°
∴2α+β=γ
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，光的反射定律，熟练掌握查三角形内角和定理和光的反射定律是解题的关键，注意跨学科之间的联系．
【变式2】（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=55°．当∠MAC为（ ）度时，AM与CB平行．
A．55B．65C．75D．80
【答案】B
【分析】先根据平行的公理得出AB∥CD，再根据平行线的性质得出∠ABC=∠BCD=60°，根据三角形内角和定理得出∠ACB=65°，根据∠ACB=∠MAC时AM与CB，得出∠MAC=65°．
【详解】解：∵ AB∥l，CD∥l，
∴AB∥CD
∵∠BCD=60°，
∴ ∠ABC=∠BCD=60°，
∵ ∠BAC=55°，
∴ ∠ACB=180°−∠BAC−∠ABC=180°−60°−55°=65°，
∵要使AM与CB平行，则有∠ACB=∠MAC，
∴ ∠MAC=65°，故B正确．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
【变式3】（2022秋·八年级单元测试）如图所示，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B 和C处开工挖出“V”字形通道，如果∠DBA= 120°，∠ECA=125° ，则∠A的度数是（ ）
A．65°B．80°C．85°D．90°
【答案】A
【分析】根据邻补角的定义求得△ABC的两个内角∠ABC、∠ACB的度数；然后利用△ABC的内角和是180°，求∠A的度数即可．
【详解】解：∵∠DBA=120°，∠ECA=125°，
∴∠ABC=180°-∠DBA=60°，∠ACB=180°-∠ECA=55°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-55°=65°，即∠A=65°．
故选A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解答该题时，先利用了邻补角的性质求得△ABC的两个内角∠ABC、∠ACB的度数，然后由三角形内角和定理求得的∠A的度数．当然了，也可以利用三角形外角的性质来求∠A的度数．
考点6：直角三角形的两个锐角互余
典例6：（2023春·安徽·七年级期中）如图，直线a ∥ b，△ABC是直角三角形，∠C=90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为( )
A．100°B．105°C．110°D．120°
【答案】C
【分析】根据直角三角形两个锐角互余得出∠AFC=90°−∠1=70°，根据平行线的性质以及对顶角的性质得出∠2=∠DEC=110°，即可求解．
【详解】解：延长BC交直线b于点F，如图所示：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=90°，
∵∠1=20°，
∴∠AFC=90°−∠1=70°，
∵直线a ∥ b，
∴∠DEC+∠AFC=180°，
∴∠DEC=180°−70°=110°，
∴∠2=∠DEC=110°，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式1】（2023·安徽宿州·统考一模）将含30°角的直角三角板ABC如图放置，使其三个顶点分别落在三条平行直线上，其中∠ACB=90°．若∠1=50°，则∠ABQ的度数为（ ）
A．120°B．130°C．150°D．160°
【答案】D
【分析】根据直角三角形两锐角互余，得出∠CBD=40°，再根据题意，得出∠CAB=30°，再根据直角三角形两锐角互余，得出∠CBA=60°，再根据角之间的数量关系，得出∠DBA=20°，再根据邻补角互补，计算即可得出答案．
【详解】解：∵∠ACB=90°,∠1=50°，
∴∠CBD=90°−50°=40°，
∵△ABC是含30°角的直角三角形，
∴∠CAB=30°，
∴ ∠CBA=90°−∠CAB=60°，
∴∠DBA=∠CBA−∠CBD=60°−40°=20°，
∴∠ABQ=180°−∠DBA=180°−20°=160°．
故选：D．
【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余、邻补角互补，解题的关键在理清角之间的数量关系．
【变式2】（2023·广东深圳·统考一模）一副三角形板如图放置，DE∥BC，∠C=∠DBE=90°，∠E=45°，∠A=30°，则∠ABD的度数为（ ）
A．5∘B．15∘C．20∘D．25∘
【答案】B
【分析】根据∠C=∠DBE=90°，∠E=45°，∠A=30°可得∠EDB=45°，∠ABC=60°，结合DE∥BC，即可得到∠EDB=∠DBC=45°，即可得到答案；
【详解】解：∵∠C=∠DBE=90°，∠E=45°，∠A=30°，
∴∠EDB=45°，∠ABC=60°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC=45°，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=60°−45°=15°，
故选B．
【点睛】本题考查平行线性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据直角三角板得到相应的角度．
【变式3】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市南渝中学校校考期中）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B=48°，∠C=68°，则∠DAE的度数是（ ）
A．10°B．12°C．14°D．16°
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，求出∠DAC，再求出答案即可．
【详解】解：∵∠B=48°，∠C=68°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=12∠BAC=32°，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=68°，
∴∠DAC=90°−∠C=22°，
∴∠DAE=∠EAC−∠DAC=32°−22°=10°，
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形内角和的性质，解题的关键是掌握三角形内角和有关性质．
考点7：三角形外角的定义与性质
典例7：（2023·贵州黔南·统考一模）如图，AB∥CD，∠B=72°，∠D=48°，则∠F的度数是（ ）
A．24°B．30°C．40°D．60°
【答案】A
【分析】由AB∥CD，∠B=72°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠CEF的度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠F的度数．
【详解】解：∵AB∥CD，∠B=72°，
∴∠CEF=∠B=72°，
∵∠CEF=∠D+∠F，∠D=48°，
∴∠F=∠CEF−∠D=72°−48°=24°．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．
【变式1】（2023·山东滨州·模拟预测）如图，CD∥EF，直线AB与直线CD,EF分别相交于点G，H，GM平分∠CGH交EF于点M．若∠GME=150°，则∠GHF的度数为（ ）
A．100°B．80°C．60°D．50°
【答案】C
【分析】根据邻补角的性质可得∠GMH=30°，再由平行线的性质可得∠CGM=∠GMH=30°，然后根据GM平分∠CGH，可得∠CGM=∠HGM=30°，再根据三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵∠GME=150°，
∴∠GMH=30°，
∵CD∥EF，
∴∠CGM=∠GMH=30°，
∵GM平分∠CGH，
∴∠CGM=∠HGM=30°，
∴∠GHF=∠GMH+∠HGM=60°．
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角的性质是解题的关键．
【变式2】（2022秋·云南德宏·八年级统考期末）已知AD、AE分别为△ABC的角平分线、高线，若∠B:∠BAC=2:3，∠C=60°，则∠ADB的度数为（ ）
A．96°B．100°C．106°D．110°
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理可得∠B+∠BAC=120°，再由∠B:∠BAC=2:3，可得∠BAC=72°，然后根据AD为△ABC的角平分线，可得∠CAD=12∠BAC=36°，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵∠C=60°，
∴∠B+∠BAC=180°−60°=120°，
∵∠B:∠BAC=2:3，
∴∠B=23∠BAC，
∴23∠BAC+∠BAC=120°，
解得：∠BAC=72°，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠CAD=12∠BAC=36°，
∴∠ADB=∠CAD+∠C=96°．
故选：A
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，有关角平分线的计算，三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
【变式3】（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）如图，l1∥l2，则（ ）
A．∠α+∠β−∠γ=180°B．∠α+∠β+∠γ=180°C．∠α+∠β=2∠γD．∠α+∠β=∠γ
【答案】A
【分析】根据平行线的性质求出∠1，再根据邻补角，用∠α表示出∠2，最后根据三角形的外角即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵l1∥l2，
∴∠α=∠1，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°−∠1=180°−∠α，
∵∠β是外角，即∠β=∠γ+∠2，
∴∠β=∠γ+180°−∠α，
∴∠α+∠β−∠γ=180°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，邻补角，三角形的外角的综合，掌握平行线的性质，三角形的外角和定理是解题的关键．
考点8：三角形内外角角平分线规律
典例8：（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC,∠ACB，且∠BIC=140°，BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB的外角，则∠BMC的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】D
【分析】BI，CI分别平分∠ABC,∠ACB，BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB的外角，可求出BI⊥BM,CI⊥CM，根据四边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：根据题意得，∠ABC+∠DBC=180°，∠ACB+∠ECB=180°，
∵BI，CI分别平分∠ABC,∠ACB，BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB的外角，
∴∠IBC=12∠ABC，∠CBM=12∠DBC，∠ICB=12∠ACB，∠BCM=12∠ECB，
∴∠IBC+∠CBM=12(∠ABC+∠DBC)=12×180°=90°，
同理，∠ICB+∠BCM=90°，
在四边形IBMC中，∠BIC=140°，∠IBM=∠ICM=90°，
∴∠BMC=360°−140°−90°−90°=40°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查角平分线，四边形内角和定理的综合，理解并掌握角平分线的性质，四边形内角和定理是解题的关键．
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠BAC=128°，P1是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（ ）
A．2°B．4°C．8°D．16°
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义得∠PBC＝12∠ABC，∠PCE＝12∠ACE，再根据三角形外角性质得∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠PCE＝∠PBC＋∠P，于是得到12（∠A＋∠ABC）＝∠PBC＋∠P＝12∠ABC＋∠P，然后整理可得∠P＝12∠A，同理得到结论．
【详解】解：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP1交于P1，
∴∠P1BC＝12∠ABC，∠P1CE＝12∠ACE，
∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC＋∠P1，
∴12（∠A＋∠ABC）＝∠P1BC＋∠P1＝12∠ABC＋∠P1，
∴∠P1＝12∠A＝12×128°＝64°，
同理∠P2＝12∠P1＝32°，
∴∠P6＝2°，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
【变式2】（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB=125°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20°B．30°C．45°D．50°
【答案】A
【分析】根据∠AOB=125°和三角形内角和，可以得到∠OAB+∠OBA的度数，再根据AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，即可得到∠BAC+∠ABC的度数，进而得到∠C的度数，再根据AD是BC边上的高，即可得到∠CAD的度数．
【详解】解：∵∠AOB=125°，
∴∠OAB+∠OBA=55°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠OAB+∠OBA）=110°，
∴∠C=70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=20°，
即∠CAD的度数是20°．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【变式3】（2023秋·黑龙江·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A=80°，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，则∠BDC=（ ）
A．45°B．60°C．50°D．无法确定
【答案】C
【分析】根据∠A得出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义得到∠DBC+∠DCB的度数，从而利用三角形内角和定理得到结果．
【详解】解：∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，
∵∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，
∴∠DBC+∠DCB
=12∠EBC+12∠FCB
=12（180°-∠ABC）+12（180°-∠ACB）
=180°-12（∠ABC+∠ACB）
=180°-12（180°-∠A）
=90°+12∠A
=130°
∴∠BDC=180-（∠DBC+∠DCB）=50°，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，根据题意得出∠DBC+∠DCB的度数是解题的关键．
同步过关
一、单选题
1．（2023春·七年级单元测试）如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长ED交AC于F，那么图中∠AFE的度数是（ ）度．
A．75B．90C．100D．105
【答案】A
【分析】由题意可得：∠E=30°,∠C=45°，然后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：如图所示的图形是把一副常用三角板拼在一起，
所以∠E=30°,∠C=45°，
所以∠AFE=∠E+∠C=30°+45°=75°．
故选：A．
【点睛】本题以三角板为载体，主要考查三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，BC⊥AE于点C，CD//AB，∠B=60°，则∠ECD的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】B
【分析】根据直角三角形两锐角互余求得∠A，再结合平行线的性质求解即可．
【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°−∠B=30°，
∵CD//AB，∴∠A=∠ECD=30°，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余及平行线的性质，熟练掌握基本结论且灵活运用是解题关键．
3．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）一副三角板如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．135°B．145°C．150°D．165°
【答案】D
【分析】根据三角形的外角定理可得∠2=∠3+∠4=135°，进而得出∠α=∠1+∠2，即可得出结论．
【详解】解：如图：
∵∠3=45°,∠4=90°，
∴∠2=∠3+∠4=135°，
∵∠1=30°，
∴∠α=∠1+∠2=135°+30°=165°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，解题的关键是掌握三角板的内角度数，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，已知∠DBA+∠DCA=50°，则∠A的度数是（ ）
A．50°B．40°C．45°D．44°
【答案】B
【分析】在△DBC和△ABC中分别使用三角形内角和定理，即可得出答案．
【详解】∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠DBA+∠DCA+∠DBC+∠DCB+∠A=180°，
∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠DBA+∠DCA+∠A=∠D．
∵∠D=90°，
∴∠A=90°−∠DBA+∠DCA，
∵∠DBA+∠DCA=50°，
∴∠A=90°−∠DBA+∠DCA=40°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练使用三角形内角和定理进行导角是解本题的关键．
5．（2023·浙江杭州·八年级专题练习）如图，AD是∠CAE的平分线，∠B=30°, ∠DAE=60°，那么∠ACD等于（ ）
A．90°B．60°C．80°D．100°
【答案】A
【详解】解：根据AD平分∠CAE，且∠DAE=60°，可得∠CAE=120°，然后根据邻补角的意义可知∠CAB=60°，再根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，可直接求得∠ACD=90°．
故选A．
【点睛】此题主要考查了三角形的内角和和外角性质，解题关键是明确三角形的内外角的关系，然后可求解．三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°；三角形的外角：三角形的一个外角大于不相邻两内角的和．
6．（2023春·福建三明·九年级统考开学考试）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O， AB∥OC，CD与OA交于点E，已知∠A=30°，则∠DEO的度数为（ ）
A．45°B．60°C．70°D．75°
【答案】D
【分析】由平行线的性质求出∠COA=30°，然后根据三角形的外角性质即可得出结论.
【详解】解：∵AB∥OC，∠A=30°，
∴∠COA=30°，
∴∠DEO=∠C+∠COE=45°+30°=75°；
故选D.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键.
7．（2022秋·全国·八年级专题练习）满足条件2∠A=2∠B=∠C的△ABC是( )
A．锐角三角形B．等腰直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
【答案】B
【详解】解：设∠A=x，则∠B=x，∠C=2x．又∠A+∠B+∠C=180°，
则x+x+2x=180，x=45，则2x=90．
∴∠A=∠B=45∘,∠C=90∘.
△ABC是等腰直角三角形．
故选B．
8．（2023春·山东威海·七年级统考期末）把含有30°角的直角三角板（∠ABC=30°）如图放置，若EF//MN，∠1=100°，则∠2=（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【答案】C
【分析】先根据三角形外角性质，得到∠3的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠2的度数．
【详解】解：如图所示，
∵∠1=∠4=100°，∠B=30°，
∴∠3=∠B +∠4=130°，
∵EF∥MN，
∴∠2=∠3=130°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
9．（2023秋·内蒙古通辽·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D是CA延长线上一点，∠B=40°，∠BAD=76°，则∠C的度数为（ ）
A．36°B．116°C．26°D．104°
【答案】A
【详解】解：∵∠BAD是△ABC的一个外角，
∴∠BAD=∠B+∠C，
∴∠C=∠BAD-∠B=76°-40°=36°.
故选A.
10．（2023·山东菏泽·中考真题）将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】D
【分析】利用两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．
【详解】
如图，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠1=45°，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠α=∠1+30°=75°．
故选：D．
11．（2022春·山东东营·七年级统考期中）给出下列命题：
（1）三角形的一个外角一定大于它的一个内角
（2）若一个三角形的三个内角之比为1：3：4，它肯定是直角三角形
（3）三角形的最小内角不能大于60°
（4）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
其中真命题的个数是 ( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】(1)三角形的任何一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故(1)为假命题，(4)为真命题．
(2)180°×41+3+4=180°×12=90°，故(2)为真命题；
(3)若三角形的最小内角大于60°，三角形三个角的和大于180°，则三角形的最小内角不能大于60°，故(3)为真命题．
故选C．
12．（2023春·八年级课时练习）如图，DE为△ABC的边BC的垂直平分线，交BC于E，交AB于D，且∠B=40°，∠A=60°，则∠ACD的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．30°
D．45°
【答案】A
【详解】试题解析：∵∠B=40°，∠A=60°， ∴∠ACB=180°﹣60°﹣40°=80°，
∵DE为△ABC边BC的垂直平分线，
∴∠BCD=∠B=40°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=80°﹣40°=40°．
故选A．
13．（2023·广西百色·统考一模）如图，AC∥BD，AD与BC相交于O，∠A＝45°，∠B＝30°，那么∠AOB等于（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
【答案】A
【详解】解：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和,由题,∵AC∥BD，∴∠C=∠B=30°, ∵∠AOB 是△AOC的一个外角,∴∠AOB=∠C+∠A= 45°+30°=75°，
选A．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的外角．
14．（2023秋·安徽马鞍山·八年级统考期末）若三角形三个内角度数之比为2：3：7，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根据三角形内角和180°来计算出最大的内角度数,然后来判断三角形的形状.
【详解】解: ∵三角形三个内角度数之比为2：3：7,
∴三角形最大的内角为: 180°×72+3+7=105°.
∴这个三角形一定为钝角三角形.
故选:C.
【点睛】本题主要考查三角形内角和180°,计算三角形最大内角是解题关键.
15．（2023秋·湖北孝感·八年级校考阶段练习）四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于点P，∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（ ）
①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEA+∠PFA=36°
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据四边形内角和证明结论②正确，再根据∠AEB=116°−∠ABC和∠AFD=116°−∠ADC结合结论②证明结论④正确，连接AP并延长至点G，根据外角和定理证明结论①正确，结论③也可以通过前面的证明得到．
【详解】解：∵∠A=64°，∠BCD=136°，
∴∠ADC+∠ABC=360°−∠A−∠BCD=160°，故②正确，
∵∠AEB=180°−∠A−∠ABC=116°−∠ABC，
∠AFD=180°−∠A−∠ADC=116°−∠ADC，
∴∠AEB+∠AFD=116°−∠ABC+116°−∠ADC=232°−∠ADC+∠ABC=72°，
∵EP平分∠AEB，FP平分∠AFD，
∴∠PEA=12∠AEB，∠PFA=12∠AFD，
∴∠PEA+∠PFA=12∠AEB+∠AFD=36°，故④正确，
同理：∠PEB+∠PFC=36°，
如图，连接AP并延长至点G，
∠EPF=∠EPG+∠FPG=∠EAP+∠AEP+∠FAP+∠AFP=∠EAF+∠AEP+∠AFP=64°+36°=100°，故①正确，
∴∠PEB+∠PFC+∠EPF=36°+100°=136°，故③正确．
故选：D．
【点睛】本题考查角度关系求解，解题的关键是掌握角度和差关系的计算．
二、填空题
16．（2023·北京·九年级专题练习）在直角三角形中，其中一个锐角是22°，则另外一个锐角是_____．
【答案】68°
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【详解】∵直角三角形一个锐角为22°，
∴另一个锐角的度数=90°-22°=68°．
故答案为68°．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
17．（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于________．
【答案】75°
【分析】根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵另一个锐角为15°，
∴另一个锐角为180°-90°-15°=75°，
故答案为：75°．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两锐角互余．
18．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC=35°，则∠BCD的度数为______．
【答案】55°/55度
【分析】先根据两直线平行内错角相等得到∠ABC=∠BCD，再利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD．
在△ABC中，∠BAC=35°，
AC⊥CB，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB=180°−35°−90°=55°．
∵∠ABC=∠BCD，
∴∠BCD=55°．
故答案为：55°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数是解答关键．
19．（2022春·山东滨州·七年级统考期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝88°，则∠BOC＝_____．
【答案】134°
【分析】根据三角形内角和定理及已知条件求出∠2+∠4=46°，再根据三角形内角和求出答案即可．
【详解】∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°，∠A＝88°，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠4=46°，
∵∠2+∠4+∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°-46°=134°，
故答案为：134°．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为180° 是解题的关键．
20．（2023秋·重庆渝中·八年级统考期末）在△ABC中，若∠B＝∠C＝2∠A，则∠C的度数为_____．
【答案】72°
【分析】利用三角形内角和定理列方程即可得出答案．
【详解】解：∵∠B＝∠C＝2∠A，
∴可以假设∠A＝x，则∠B＝∠C＝2x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠C＝72°，
故答案为72°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
21．（2023秋·安徽安庆·八年级校考期末）如图，已知AB∥CD，∠A=25°，∠E=15°，则∠C等于_______.
【答案】40°
【分析】由于∠A=25°，∠E=15°，由此可以得到∠EFB=∠A+∠E=40°，又AB∥CD，由此可以求出∠C．
【详解】解：∵A=25°，∠E=15°，
∴∠EFB=∠A+∠E=40°，
又∵AB∥CD，
∴∠EFB=∠C=40°．
故答案为：40°．
【点睛】本题应用的知识点为：三角形的外角与内角的关系及两直线平行，同位角相等．
22．（2023春·七年级课时练习）已知：△ABC中，∠B=90°， ∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为_________.
【答案】135°
【详解】
∵∠B=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°，
∴∠AOC=180°−12(∠BAC+∠BCA)=180°−45°135°.
故答案为135°.
23．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，AC⊥OB，BD⊥AO，若∠B＝50°，则∠A=_________.
【答案】50°
【详解】已知AC⊥OB，BD⊥AO，根据直角三角形的两锐角互余可得∠A=90°-∠O=∠B=50°．故答案为50°．
24．（2022秋·山西大同·八年级大同市第七中学校校考阶段练习）如图，P是△ABC 的∠ABC 和∠ACB的外角的平分线的交点，若∠P=40° ，则∠A= __________．
【答案】80°/80度
【分析】根据三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，找出∠P与∠A的关系即可．
【详解】根据三角形的外角性质，∠ACE=∠A+∠ABC ，∠PCE=∠P+∠PBC ，
∵BP 平分∠ABC ，CP 是∠ACE的角平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，
∴∠P+12∠ABC=12(∠A+∠ABC) ，
∴∠A=2∠P ，
∵∠P=40°
∴∠A=80°
故答案为80°．
【点睛】本题考查了 三角形的外角性质，关键是运用三角形的外角性质找到∠P与∠A的关系，根据已知条件计算∠A．
25．（2022秋·八年级课时练习）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的结论有_____(写出所有正确结论的序号)．
【答案】①③④
【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的性质可判断②，如图，延长EG交AB于K, 先求解∠KEG=45°, 从而可判断③④，于是可得答案．
【详解】解：由题意得：
∠GEF=60°,∠GFE=30°,∠EGF=90°=∠MPN,∠PMN=∠PNM=45°,
∴∠MPG=∠EGP=90°,
∴EG∥PM, 故①符合题意；
∵∠EFG=30°,
∴∠EFN=180°−30°=150°, 故②不符合题意；
如图，延长FG交AB于K,
∵AB∥CD,
∴∠GKE=∠PNM=45°,
∴∠KEG=90°−45°=45°,
∴∠BEF=180°−45°−60°=75°, ∠AEG=∠PMN=45°, 故③④符合题意；
综上：符合题意的有①③④
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定与性质，三角板中角度计算问题，掌握以上基础知识是解本题的关键．
三、解答题
26．（2023秋·湖南怀化·八年级统考期中）如图所示，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，AD⊥BC于O，∠B=50°，求∠A和∠C．
【答案】∠A=40°,∠C=50°．
【分析】先根据垂直的定义可得∠AOB=90°，再根据直角三角形的两个锐角互余可得∠A的度数，然后根据平行线的性质可得∠C的度数．
【详解】解：∵AD⊥BC于点O，
∴∠AOB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠A=90°−∠B=40°，
∵AB//CD，
∴∠C=∠B=50°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、垂直、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握各性质和定义是解题关键．
27．（2023秋·八年级课时练习）说出下列图形中∠1和∠2的度数：
【答案】（1）∠1=40∘，∠2=140∘；（2）∠1=110∘，∠2=70∘；（3）∠1=50∘，∠2=140∘；（4）∠1=55∘，∠2=70∘；（5）∠1=80∘，∠2=40∘；（6）∠1=60∘，∠2=30∘．
【分析】（1）根据三角形内角和为180∘、邻补角的定义计算就可得到正确答案；
（2）根据三角形内角和为180∘、邻补角的定义计算即可得到正确答案；
（3）根据直角三角形中两锐角互余、邻补角的定义计算就可得到正确答案；
（4）根据三角形内角和为180∘，角平分线的定义以及邻补角定义，计算即可得出正确答案；
（5）由三角形外角的性质，结合三角形内角和定理，列式计算即可；
（6）由直角三角形中两锐角互余，结合对顶角，即可计算得到正确答案．
【详解】解：（1）∵∠1+60∘+80∘=180∘
∴∠1=40∘
又∵∠1+∠2=180∘
∴∠2=140∘
（2）∵∠1+30∘+40∘=180∘
∴∠1=110∘
又∵∠1+∠2=180∘
∴∠2=70∘
（3）∵∠1+40∘=90∘
∴∠1=50∘
又∵∠2+40∘=180∘
∴∠2=140∘
（4）∵∠2+70∘+40∘=180∘
∴∠2=70∘
又∵CE平分∠ACD
∴2∠1+∠2=180∘
∴∠1=55∘
（5）由三角形外角的性质知∠1=60∘+20∘=80∘
又∵∠2+∠1+60∘=180∘
∵∠2=40∘
（6）设∠1的对顶角为∠3
∵∠3+30∘=90∘
∴∠3=60∘
∴∠1=60∘
∴∠2=90∘−60∘=30∘
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，直角三角形中两锐角互余等知识点，牢记相关内容并结合图形计算是解题关键．
28．（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）如图所示，AD，AE是三角形ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAE的度数．
【答案】20°
【分析】首先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，然后根据角平分线的性质得出∠EAC的度数，然后根据Rt△ADC的内角和定理求出∠DAC的度数，从而得出∠DAE的度数．
【详解】解：∵∠B=36°，∠C=76°，
∴∠BAC=180°-36°-76°=68°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=68°÷2=34°，
∵AD是高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC=180°－90°－76°=14°，
∴∠DAE=∠EAC－∠DAC=34°－14°=20°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角的平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
29．（2023秋·广东·八年级校考阶段练习）如图，在ΔABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，HD是∠BHC的平分线，求∠ABE、∠ACF和∠CHD的度数．
【答案】∠ABE=24°，∠ACF=24°，∠CHD=57°
【分析】根据已知角和垂线的定义即可得出∠BCF和∠CBE的度数，再根据角的和与差得出∠ABE、∠ACF的度数，进而根据三角形内角和即可得出∠BHC，最后根据角平分线的定义即可得出∠CHD的度数．
【详解】解：∵∠ABC=60°，∠ACB=54°，
BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，
∴∠BCF=90°−∠ABC=90°−60°=30°
∠CBE=90°−∠ACB=90°−54°=36°
∴∠ABE=∠ABC−∠CBE=60°−36°=24°
∠ACF=∠ACB−∠BCF=54°−30°=24°
∠BHC=180°−∠CBE−∠BCF=180°−36°−30°=114°
∴∠CHD=12∠BHC=12×114°=57°
【点睛】本题考查三角形的内角和，熟练的根据图形推导角度是解题的关键.
30．（2023·重庆·中考真题）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD，若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
【答案】20°
【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°-35°=20°．
【详解】∵∠EFG=90°，∠E=35°，
∴∠FGH=55°，
∵GE平分∠FGD，AB∥CD，
∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，
∵∠FHG是△EFH的外角，
∴∠EFB=55°﹣35°=20°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
31．（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=60°，求∠DAC的度数．
【答案】20°
【分析】设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x，再由三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论．
【详解】
解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x，
∵∠BAC=60°，∠2+∠4+∠BAC=180°，
∴∠2+∠4=180°−60°=120°，即x+2x=120°，解得x=40°，
∴∠DAC=∠BAC−∠1=60°−40°=20°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
32．（2023秋·全国·八年级期末）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，点A，B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
【答案】（1）不变，∠AEB=135°；（2）不变，∠CED=67.5°．
【分析】（1）不变，根据三角形内角和定理求出∠OAB+∠OBA=90°，根据AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，求得∠BAE+∠ABE=12∠OAB+∠ABO=45°，最后根据三角形内角和定理求出∠AEB的度数即可；
（2）不变，延长AD、BC交于点F，根据三角形内角和定理求出∠OAB+∠OBA=90°，进而得到∠PAB+∠MBA=270°，再根据AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，求得∠BAD+∠ABC=12∠PAB+∠ABM=135°，进而求得∠F=45°，再根据三角形内角和定理得到∠FDC+∠FCD=135°，即 ∠CDA+∠DCB=225°，最后根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，得到∠CDE+∠DCE=112.5°，再根据三角形内角和定理得到∠E的度数．
【详解】（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴ ∠AOB=90°，
∴ ∠OAB+∠OBA=90°，
∵ AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴ ∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，
∴ ∠BAE+∠ABE=12∠OAB+∠ABO=45°，
∴ ∠AEB=135°；
（2）∠CED的大小不变．
延长AD、BC交于点F，如图，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴ ∠AOB=90°，
∴ ∠OAB+∠OBA=90°，
∴ ∠PAB+∠MBA=270°，
∵ AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴ ∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，
∴ ∠BAD+∠ABC=12∠PAB+∠ABM=135°，
∴ ∠F=45°，
∴ ∠FDC+∠FCD=135°，
∴ ∠CDA+∠DCB=225°，
∵ DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴ ∠CDE+∠DCE=112.5°，
∵ ∠CDE+∠DCE+∠E=180°，
∴ ∠E=67.5°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
33．（2023春·陕西西安·七年级统考期中）如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系
（1）如图①，已知AB∥CD，求证：∠BPD＝∠B+∠D；（提示；可过点P作PO∥AB）
（2）如图②，已知AB∥CD，求证：∠B＝∠P+∠D．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过点P作PE∥AB，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得出∠B＝∠BPE、∠D＝∠DPE，结合角之间的关系即可得出结论；
（2）过点P作PE∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B＝∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD＝∠BPE、∠D＝∠DPE，结合角之间的关系即可得出结论．
【详解】（1）过点P作PE∥AB，如图1所示．
∵AB∥PE，AB∥CD，
AB∥PE∥CD．
∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE
∴∠BPD＝∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D．
（2）过点P作PE∥CD，如图2所示．
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BOD，
∵PE∥CD，
∴∠BOD＝∠BPE；∠D＝∠DPE
∴∠BPE＝∠BPD+∠DPE＝∠BPD+∠D
∴∠BOD＝∠BPD +∠D
即∠B＝∠BPD +∠D．
【点睛】本题考查了两条直线平行，内错角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．
34．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线AB∥CD,EF⊥CD分别交AB、CD于点E、F，射线EP、EQ分别从EC、EF同时开始绕点E顺时针旋转，分别与直线AB交于点M、N，射线EP每秒转10°，射线EQ每秒转5°，点O是∠PMN、∠MNQ角平分线的交点．设旋转时间为t秒（0(1)①用含t的代数式表示：∠AMP=___________°，∠QNB=__________°；
②当t=4时，∠OMN=____________°；
(2)试探索∠MON与∠ONM的数量关系，并说明理由；
(3)∠MEF的角平分线与直线MO交于点K，直接写出∠MKE的度数为___________．
【答案】(1)①10t，(90−5t)；70
(2)∠MON=∠ONM，理由见解析
(3)45°
【分析】（1）①由平行线的性质及垂直关系、旋转关系即可求得结果；
②由①得∠AMP的度数，再由互补关系、角平分线的意义即可求得；
（2）两者相等，由（1）中①可得∠PMN及∠QNM，再由角平分线的性质可得∠OMN、∠ONM，由三角形内角和得∠MON，即可判断∠MON与∠ONM的数量关系；
（3）由题意可求得∠MEK与∠KME的度数，由三角形内角和即可求得∠MKE的度数．
【详解】（1）①由题意得：∠CEP=10°t=(10t)°，∠FEQ=5°t．
∵AB∥CD，
∴∠AMP=∠CEP= (10t)°，∠QNB=∠DEQ．
∵EF⊥CD，
∴∠DEQ=90°−∠FEQ=90°−5°t=(90−5t)°．
∴∠QNB=(90−5t)°．
故答案为：10t，（90-5t）；
②当t=4时，由①得：∠AMP=10°×4=40°，
∴∠PMN=180°−∠AMP=140°．
∵MO平分∠PMN，
∴∠OMN=12∠PMN=12×140°=70°．
故答案为：70；
（2）∠MON=∠ONM，理由如下：
由（1）中①知：∠AMP= (10t)°，∠QNB=(90−5t)°，
∴∠PMN=180°−∠AMP=(180−10t)°，∠QNM=180°−∠QNB=(90+5t)°．
∵MO平分∠PMN， NO平分∠MNQ，
∴∠OMN=12∠PMN=(90−5t)°，∠ONM=12∠QNM=12(90+5t)°．
∴∠MON=180°−∠OMN−∠ONM=12(90+5t)°．
∴∠MON=∠ONM．
（3）∵EF⊥CD，∠CEP= (10t)°，
∴∠MEF=90°−∠CEP=(90-10t)°．
∵EK平分∠MEF，
∴∠MEK=12∠MEF=12(90−10t)°=45°−(5t)°．
∵∠KME=∠OMN+∠EMF=∠OMN+∠AMP=(90−5t)°+10t°=90°+(5t)°，
∴在△EMK中，∠MKE=180°−∠KME−∠MEK=45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的意义，垂直的意义，三角形内角和定理，关键是熟练掌握它们并灵活运用．
35．（2023春·七年级单元测试）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．
（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是________；
（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是________．
【答案】（1）见解析；（2）26°；（3）∠P=90°+12(∠B+∠D)；（4）∠P=180°−12(∠B+∠D)
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；
（2）设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，{x+∠ABC=y+∠Px+∠P=y+∠ADC解方程即可得到答案；
（3）根据直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到
∠PAB=∠PAD=12∠BAD，∠PCB=∠PCE=12∠PCD从而可以得到180°−2(∠PAB+∠PCB)+∠D=∠B，再根据∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D得到∠P−∠B=∠PAD+∠PCB=∠PAB+∠PCB即可求解；
（4）连接PB，PD根据∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∠PCB+∠PBC+∠BPC=180°得到∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°，同理得到：∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°，再根据∠PCE+∠PCD=180°，∠PAB+∠PAF=180°，∠FAP=∠PAO，∠PCE=∠PCB，即可求解.
【详解】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，
则有{x+∠ABC=y+∠Px+∠P=y+∠ADC，
∴∠ABC−∠P=∠P−∠ADC，
∴∠P=12(∠ABC+∠ADC)=12（36°+16°）=26°
（3）∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠PAB=∠PAD=12∠BAD，∠PCB=∠PCE=12∠BCE，
∴2∠PAB+∠B=180°-2∠PCB+∠D，
∴180°−2(∠PAB+∠PCB)+∠D=∠B
∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D
∴∠P+∠PAD−∠BAD−∠B=∠PCD−∠BCD
∴∠P−∠PAB−∠B=∠PCB,
∴∠P−∠B=∠PAB+∠PCB
∴180°−2(∠P−∠B)+∠D=∠B，
即∠P=90°+12(∠B+∠D)．
（4）连接PB，PD
∵直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠FAP=∠PAO，∠PCE=∠PCB，
∵∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∠PCB+∠PBC+∠BPC=180°
∴∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°
同理得到：∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°
∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCB+∠PAB+∠PCD+∠PAD=720°
∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCE+∠PAB+∠PCD+∠PAF=720°
∵∠PCE+∠PCD=180°，∠PAB+∠PAF=180°
∴2∠APC+∠ABC+∠ADC=360°，
∴∠APC=180°-12(∠ABC+∠ADC)
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
证法1
证法2
如图1，延长BC到点D，则∠ACD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．∵∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．
如图2，过点C作DE∥AB，∵DE∥AB，∠1=∠B（两直线平行，内错角相等），
∠2=∠A（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1+∠ACB+∠2=180°（平角定义），
∴∠A+∠ACB+∠B=180°（等量代换）．
证法1
证法2
如图1，延长BC到点D，则∠ACD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．∵∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．
如图2，过点C作DE∥AB，∵DE∥AB，∠1=∠B（两直线平行，内错角相等），
∠2=∠A（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1+∠ACB+∠2=180°（平角定义），
∴∠A+∠ACB+∠B=180°（等量代换）．