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人教版八年级数学上册重难考点专题02全等三角形的判定(1)(知识串讲+8大考点)特训(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题02全等三角形的判定(1)(知识串讲+8大考点)特训(原卷版+解析)，共81页。
知识串讲
（一）全等三角形的判定——SSS
（1）SSS:如果两个三角形由三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边边边”或简记为（SSS）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
AB=A′B′
BC=B′C′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（二）全等三角形的判定——SAS
（1）SAS:如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（SAS）
（2）书写格式:如图12-2-6所示,在列举两个三角形全等的条件时,一般把夹角写在中间,以突出两边及其夹角对应相等,如:
图12-2-6
在△ABC和△ABC′中,
AB=A′B′
∠A=∠A
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（3）特别提醒:①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满
足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的
顺序.
②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等
（三）尺规作图
（1）作一条线段等于已知线段
已知：线段，作一条线段，？
作法：①用直尺画射线
②用圆规在射线上截取
∴线段AB即为所求
（2）作一个角等于已知角
已知：
求作：
作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA与点D，交OB于点E；
②作射线
③以为圆心,OD长为半径画弧,交于点
④以为圆心,ED长为半径画弧，交上一步所画的弧与
⑤过作射线,为所求
考点训练
考点1：用SSS证明三角形全等
典例1：（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）已知，如图AB=AC，BD=CD，求证：∠ABD=∠ACD
【变式1】（2023秋·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)求证：AB∥DF．
【变式2】（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC=BD，AB=ED，BC=BE．求证：∠AFB=2∠ACB．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点A、M、N、C在同一条直线上，AB=CD，BN=DM，AM=CN，求证：AB∥CD．
考点2：全等的性质与SSS综合
典例2：（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB=AE，AC=AD，BC=DE，∠C=48°，求∠D．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）阅读下题及证明过程．
已知：如图，AB=AC，∠ABP=∠ACP，求证：∠BAP=∠CAP．
证明：∵AB=AC，∠ABP=∠ACP，PA=PA，
∴△PAB≌△PAC 第一步
∴∠BAP=∠CAP 第二步
上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
【变式2】（2022秋·天津宁河·八年级天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知：如图，AB=AE，AC=AD，BC=ED，∠BAC=30°，∠E=50°．
(1)求证：△ABC≌△AED；
(2)求∠ADC的度数．
【变式3】（2023秋·山西忻州·八年级统考期末）如图，已知AB=DC，AC=DB，求证∠1=∠2．
考点3：用SAS证明三角形全等
典例3：（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，点E在AD上，DC=DE．求证：∠DAC=∠DBE．
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．
【变式2】（2022秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF．求证：△ABC≌△DEF．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在▱ABCD中，点E、F在BD上，△ABE与△CDF全等吗？若全等，写出证明过程；若不全等，请你添加一个条件使它们全等，并写出证明过程．
(1)你添加的条件是__________．
(2)证明过程：
考点4：全等性质与SAS综合
典例4：（2023春·贵州贵阳·七年级统考期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．
(1)试说明：AC∥DE；
(2)若BF=10，EC=2，求BC的长．
【变式1】（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考一模）如图，AD，BC相交于点O，且OB=OC，OA=OD．延长AD到F，延长DA到E，AE=DF，连接CF，BE．求证：BE∥CF．
【变式2】（2023春·广东深圳·八年级深圳市南山外国语学校校联考期中）已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．
(1)如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：AC=BD．
(2)如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为__________，∠APB的大小为__________（直接写出结果，不证明）
【变式3】（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）如图，在△ABC中，点D在AC上，延长DB至点E，使得DE=AB，连接AE，若∠DAE=∠ABD，AE=AC．求证：AD=BC．
考点5：尺规作图——作边
典例5：（2023春·广西南宁·七年级校考阶段练习）如图，已知线段a和线段AB．
(1)延长线段AB到C，使BC=a（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若AB=6，BC=4，点O是线段AC的中点，求线段OB的长．
【变式1】（2022秋·陕西榆林·七年级校考期末）如图，已知线段a，b．作一条线段AB，使它等于b−2a．
【变式2】（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知线段AB．
(1)请用尺规按下列要求作图：
①延长线段AB到C，使BC=AB，
②延长线段BA到D，使AD=AC（不写画法，但要保留画图痕迹）
(2)请直接回答线段BD与线段AC长度之间的大小关系；
(3)如果AB=2cm，请求出线段BD和CD的长度．
【变式3】（2022秋·福建莆田·七年级校联考期末）已知：如图，线段a和线段b
(1)尺规作图：求作线段AB=a+b，并在线段BA的延长线上，求作线段AC=a−b；(作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹)
(2)若M、N分别是AB、AC的中点，求MN的长(用含a、b的式子表示)．
考点6：尺规作图——作角
典例6：（2023春·辽宁阜新·七年级校考阶段练习）如图，已知△ABC，∠C=45°，AC>AB，请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°．
【变式1】（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）已知∠ABC，O为射线BA上一点，在∠ABC内部，求作∠AOD，使∠AOD=∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式2】（2023春·山东枣庄·七年级校考期中）如图，已知∠ABC及AB上一点A，
(1)利用三角板，过点A作BC的垂线，垂足为点E，此时线段AE的长为点A到直线BC的距离．
(2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在BC下方以点B为顶点作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC．
【变式3】（2023·山西·模拟预测）如图，OD平分∠AOB，点P为OA上一点．
(1)尺规作图：以P为顶点，作∠APQ=∠AOB，交OD于点Q（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠AOB=60°，求∠DQP的度数．
考点7：尺规作图——作三角形
典例7：（2023春·全国·七年级专题练习）用直尺和圆规作图，要求：不写作法、保留作图痕迹．
已知：△ABC与射线A1M．
求作：△A1B1C1，使得△A1B1C1≌△ABC．
【变式1】（2021秋·河南商丘·八年级校考期中）人教版初中数学教科书八年级上册第37～38页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
请你根据以上材料完成下列问题：
(1)完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△A'B'C'和△ABC中，
(____)=(____)(____)=(____)(____)=(____)，
∴△A'B'C'≌ ．
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 ．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
【变式2】（2022秋·河北邢台·八年级统考期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
已知：线段a，b，c；
求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．
【变式3】（2022春·四川成都·七年级统考期末）已知∠a=90°，线段m，n．
(1)求作：Rt△ABC，使得∠A=∠a，AB=m，BC=n．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明，必须作答）；
(2)若∠ABC的度数是∠ACB的2倍，求∠ABC的度数．
考点8：尺规作图与全等综合
典例8：（2021·湖南长沙·统考中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△A'B'C'和△ABC中，
B'C'=BC,A'B'=_____,A'C'=_____,
∴△A'B'C'≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）已知：如图1，在△ABC中，∠CAB=60°．求作：射线CP，使得CP//AB．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点P；
④作射线CP．所以射线CP就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接FP，DE．
∵CF=AD，CP=AE，FP=DE．
∴△ADE≌△__________，
∴∠DAE=∠__________，
∴CP//AB（__________）（填推理的依据）．
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）小刚自己研究了用直尺、圆规平分一个已知角的方法：
（1）在OA和OB上分别截取OD=OE．
（2）分别以D，E为圆心，以大于12DE长为半径作弧，在∠AOB的内部两弧交于点C．
（3）作射线OC，则有∠AOC=∠BOC．你能指出作法中的道理吗？
【变式3】（2021秋·北京·八年级校考期中）尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．
【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×．
（1）过一点作一条直线．( )
（2）过两点作一条直线．( )
（3）画一条长为3㎝的线段．( )
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．( )
【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'使∠A'O'B'=∠AOB
作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，____________________；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB．
说理：由作法得已知：OC=O'C',OD=O'D',CD=C'D'
求证：∠A'O'B'=∠AOB
证明：∵OC=O'C'OD=O'D'CD=C'D'
∴ΔOCD≅ΔO'C'D'( )
所以∠A'O'B'=∠AOB( )
【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l与直线外一点A．
求作：过点A的直线l'，使得l//l'．
【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．
同步过关
1．（2022秋·广西玉林·八年级校考阶段练习）如图，AB=AC,∠BAD=∠CAD,AB=6,BD=4,AD=3，则CD等于（ ）
A．6B．4C．3D．5
2．（2023秋·重庆渝北·八年级重庆市渝北中学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，E， F分别是AB、AC上的点，且AE=AF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（ ）
A．4对B．5对C．6对D．7对
3．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）如图，若已知AE=AC，用“SAS”说明△ABC≌△ADE，还需要的一个条件是（ ）
A．BC=DEB．AB=ADC．BO=DOD．EO=CO
4．（2023秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，AB=AC，BD=CE，要使△ABD≌△ACE，添加条件正确的是（ ）
A．∠DAE=∠BACB．∠B=∠C
C．∠D=∠ED．∠B=∠E
5．（2022秋·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ABC≌△BAD，则还需添加的一个条件是（ ）
A．AD＝BCB．∠C＝∠DC．AO＝BOD．AC＝BD
6．（2022秋·八年级课时练习）图，点C在∠AOB的边OB上，尺规作图痕迹显示的是（ ）
A．作线段CE的垂直平分线B．作∠AOB的平分线
C．连接EN，则△CEN是等边三角形D．作CN//OA
7．（2023秋·福建泉州·八年级泉州第十六中学校考期中）如图，已知∠BAD =∠CAD，则下列不能判定ΔABD≌ΔACD的条件是（ ）．
A．AB=ACB．∠B =∠C
C．BD=CDD．∠ADB =∠ADC
8．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE=BC，连接DE．若∠ADE=30°，则∠ADB的度数是( )
A．60°B．71°C．75°D．76°
9．（2022春·广东梅州·七年级校考阶段练习）下列不能判断两个三角形全等的条件是（ ）
A．有两边及一角对应相等B．有两边及夹角对应相等
C．有三条边对应相等D．有两个角及夹边对应相等
10．（2022春·山西·七年级山西实验中学校考期中）如图，点C在∠AOB的边OB上，利用尺规过点C作OA的平行线CM，其作图过程如下：在OB上取一点D，以O圆心、OD为半径画弧，弧交OA于点F，再以C圆心、OD为半径画弧，该弧与CB交于点E，再以E为圆心、DF为半径画弧，圆心为C的弧与圆心为E的弧交于点M，作射线CM，则OF=OD=CM=CE，DF=EM，可得△CEM≌△ODF，进而可以得到∠BCM=∠AOB，CM∥OA，以上作图过程中的依据不包括（ ）
A．圆的半径相等B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．同位角相等，两直线平行D．全等三角形的对应角相等
11．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠ADC=∠AEBB．AD=AEC．AB=ACD．BE=CD
12．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，AD＝CF，且AB//DE，判定△ABC≌△DEF的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．HL
13．（2022秋·八年级课时练习）如图①，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．
如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步；画射线BP，射线BP即为所求．
下列叙述不正确的是（ ）
A．a>0B．作图的原理是构造SSS三角形全等
C．由第二步可知，DP=EPD．b<12DE的长
14．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE，若∠A＝50°，则∠BDE的度数是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
15．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB=DC，AD=BC，E,F是DB上两点且BF=DE，若∠AEB=100°，∠ADB=30°，则∠BCF的度数为（ ）
A．150°B．40°C．80°D．70°
二、解答题
16．（2022春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB．求证：∠A=∠C．
17．（2023春·七年级课时练习）如图，点C、E、B、F在同一直线上，CE=BF，AC//DF，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF．
18．（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作直线CD，使得CD//AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）根据作图，说明你画的直线符合要求的原因．
19．（2022秋·广东江门·八年级江门市怡福中学校考期中）已知：如图，点A，C，B，D都在一条直线上，AC=BD，AM=CN，BM=DN．求证：AM∥CN．
20．（2023春·福建漳州·七年级统考期中）如图，△ABC中，点D在BC边上．
(1)在AC边上求作点E，使得∠CDE＝∠ABC； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠A＝65°，求∠AED的度数．
21．（2022秋·甘肃定西·八年级校考阶段练习）如图，已知AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC．求证：△ACD≌△AEB．
22．（2023秋·陕西咸阳·八年级校考开学考试）已知：如图，AD＝BC且AD∥BC， E、F是AC上的两点，且AF＝CE．
求证：DE＝BF且DE∥BF．
23．（2023秋·天津宁河·八年级阶段练习）如图，已知∠1=∠2，AO=BO．求证：AC=BC．
24．（2023春·陕西西安·七年级西安市西光中学校考阶段练习）尺规作图：如图在三角形ABC中过点A作边BC的平行线AD．（不写画法，保留作图痕迹）
25．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．
(1)求证：AC＝BD．
(2)求∠APB的度数．
三、填空题
26．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中OA=OD，OB=OC，测得AB=7厘米，EF=9厘米，则圆形容器的壁厚是___________厘米．
27．（2023·八年级课前预习）__________相等的两个三角形全等（可以简写为“_______”或“SSS”）．如图，用符号语言表达为：
在△ABC和△ DEF中
AB=DEBC=EFCA=FD
∴ △ABC ≌△________（SSS）．
28．（2022春·陕西西安·八年级统考期中）用用直尺和圆规作一个角的角平分线示意图如图所示，则说明∠AOC=∠BOC的依据是______（填写：SSS或SAS或ASA或AAS）．
29．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点O既是AA'的中点，也是BB'的中点，若测得AB=5cm，则该内槽A'B'的宽为__________cm．
30．（2022秋·江苏·八年级阶段练习）如图，△EFG和△HIJ都是等边三角形，连接HG，EI交于点P，则∠EPH=_________度．
31．（2023秋·广西北海·九年级校考阶段练习）如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF，∠A＝85°，则∠D＝_____．
32．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）如图，桌面上放置一个等腰直角△ABC，直角顶点C顶着桌面，若另外两个顶点与桌面的距离分别为5cm和3cm，过另外两个顶点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离DE的长度为______cm．
33．（2023春·上海·七年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=_____°．
34．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD=BE，BD=CF．若∠EDF=42°，则∠BAC的度数是______．
35．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则∠FAG的度数为________．
专题02 全等三角形的判定（1）
考点类型
知识串讲
（一）全等三角形的判定——SSS
（1）SSS:如果两个三角形由三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边边边”或简记为（SSS）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
AB=A′B′
BC=B′C′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（二）全等三角形的判定——SAS
（1）SAS:如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（SAS）
（2）书写格式:如图12-2-6所示,在列举两个三角形全等的条件时,一般把夹角写在中间,以突出两边及其夹角对应相等,如:
图12-2-6
在△ABC和△ABC′中,
AB=A′B′
∠A=∠A
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（3）特别提醒:①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满
足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的
顺序.
②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等
（三）尺规作图
（1）作一条线段等于已知线段
已知：线段，作一条线段，？
作法：①用直尺画射线
②用圆规在射线上截取
∴线段AB即为所求
（2）作一个角等于已知角
已知：
求作：
作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA与点D，交OB于点E；
②作射线
③以为圆心,OD长为半径画弧,交于点
④以为圆心,ED长为半径画弧，交上一步所画的弧与
⑤过作射线,为所求
考点训练
考点1：用SSS证明三角形全等
典例1：（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）已知，如图AB=AC，BD=CD，求证：∠ABD=∠ACD
【答案】见详解
【分析】连接AD，证明△ABD≌△ACDSSS即可求得答案．
【详解】证明：连接AD，如图所示，
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACDSSS，
∴∠ABD=∠ACD；
【点睛】本题考查了几何问题，正确作出辅助线是解题关键．
【变式1】（2023秋·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)求证：AB∥DF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，再由平行线的判定即可得出结论．
【详解】（1）解：证明：∵BE=FC，
∴BE+CE=FC+CE，
即BC=FE，
在△ABC和△DFE中，
AB=DFAC=DEBC=FE，
∴△ABC≌△DFE(SSS)；
（2）由（1）知ΔABC≅ΔDFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB∥DF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
【变式2】（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC=BD，AB=ED，BC=BE．求证：∠AFB=2∠ACB．
【答案】见解析
【分析】先根据SSS定理得出△ABC≌△DEB（SSS），故∠ACB=∠EBD，再根据∠AFB是△BFC的外角，可知∠AFB=∠ACB+∠EBD，可得出∠AFB=2∠ACB，故可得出答案．
【详解】解：在△ABC和△BDE中，
AC=BDAB=EDBC=BE
∴△ABC≌△DEB（SSS）
∴∠ACB=∠EBD；
∵∠AFB=∠ACB+∠EBD，
∴∠AFB=2∠ACB
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，同时涉及三角形外角和定理，掌握相关定理知识是解题的关键．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点A、M、N、C在同一条直线上，AB=CD，BN=DM，AM=CN，求证：AB∥CD．
【答案】证明见解析
【分析】根据AB=CD，BN=DM，AM=CN，利用SSS定理证明△ABN≌△CDM，从而得到∠A=∠C，再根据内错角相等，两直线平行，AB∥CD得证．
【详解】证明：∵AM=CN
∴AM+MN=CN+MN
∴AN=CM
在△ABN和△CDM中
AB=CDBN=DMAN=CM，
∴△ABN≌△CDM(SSS)
∴∠A=∠C
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，以及平行线的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定方法，运用全等三角形的性质证明线段和角相等．
考点2：全等的性质与SSS综合
典例2：（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB=AE，AC=AD，BC=DE，∠C=48°，求∠D．
【答案】48°
【分析】根据题意，直接根据SSS证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应角相等，即可求解．
【详解】解：在△ABC和△AED中，
AB=AEBC=DEAC=AD，
∴△ABC≌△AEDSSS，
∴∠D=∠C=48°．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有SSS,SAS,ASA,AAS,HL．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）阅读下题及证明过程．
已知：如图，AB=AC，∠ABP=∠ACP，求证：∠BAP=∠CAP．
证明：∵AB=AC，∠ABP=∠ACP，PA=PA，
∴△PAB≌△PAC 第一步
∴∠BAP=∠CAP 第二步
上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
【答案】上面的过程不正确．错在第一步．证明过程见解析
【分析】先证明PB=PC，再用SAS或SSS证明△PAB≌△PAC．
【详解】解：上面的过程不正确．
错在第一步．
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABP=∠ACP，
∴∠ABC+∠ABP=∠ACB+∠ACP即∠PBC=∠PCB，
∴PB=PC．
在△PAB和△PAC中
AB=AC∠ABP=∠ACP(或PA=PA)PB=PC
∴△PAB≌△PAC，
∴∠BAP=∠CAP．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．
【变式2】（2022秋·天津宁河·八年级天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知：如图，AB=AE，AC=AD，BC=ED，∠BAC=30°，∠E=50°．
(1)求证：△ABC≌△AED；
(2)求∠ADC的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)80°
【分析】（1）直接利用SSS证明△ABC≌△AED即可；
（2）先根据全等三角形的性质得到∠EAD=∠BAC=30°，再利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）证明：在△ABC和△AED中，
AB=AEAC=ADBC=ED，
∴△ABC≌△AEDSSS；
（2）解：∵△ABC≌△AED，
∴∠EAD=∠BAC=30°，
∴∠ADC=∠E+∠EAD=80°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式3】（2023秋·山西忻州·八年级统考期末）如图，已知AB=DC，AC=DB，求证∠1=∠2．
【答案】见解析
【分析】利用SSS证明△ABC≅△DCB，根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠DCB，∠DBC=∠ACB，再由∠1=∠ABC−∠DBC，∠2=∠DCB−∠ACB，即可得出∠1=∠2
【详解】解：在△ABC和△DCB中，
AB=DCAC=DBBC=CB，
∴△ABC≅△DCB，
∴∠ABC=∠DCB，∠DBC=∠ACB，
又∵∠1=∠ABC−∠DBC，∠2=∠DCB−∠ACB，
∴∠1=∠2
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
考点3：用SAS证明三角形全等
典例3：（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，点E在AD上，DC=DE．求证：∠DAC=∠DBE．
【答案】见解析
【分析】证明△ADC≌△BDE，即可得出结论．
【详解】证明：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADC=∠BDE=90°，
在△ADC和△BDE中，
AD=BD∠ADC=∠BDEDC=DE，
∴△ADC≌△BDESAS，
∴∠DAC=∠DBE．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．
【答案】见解析
【分析】根据线段的和差得到AB=DE，由平行线的性质得到∠A=∠EDF，根据全等三角形的判定定理证得结论．
【详解】证明：∵AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE，
∵AC∥DF，
∴∠A=∠EDF，
在△ABC与△DEF中，
AB=DE∠A=∠EDFAC=DF，
∴△ABC≌△DEFSAS．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，AAS，ASA，SAS，HL等等．
【变式2】（2022秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】见解析
【分析】由BE＝CF可得BC＝EF，再有已知条件进而可得出△ABC≌△DEF．
【详解】证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+EC．
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定．全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在▱ABCD中，点E、F在BD上，△ABE与△CDF全等吗？若全等，写出证明过程；若不全等，请你添加一个条件使它们全等，并写出证明过程．
(1)你添加的条件是__________．
(2)证明过程：
【答案】(1)BE=DF，答案不唯一；
(2)证明见解析；
【分析】（1）根据选择的全等三角形判定方法添加合适的条件即可；
（2）由四边形ABCD是平行四边形得到AB∥CD，AB=CD，得∠ABE=∠CDF，再用上添加的条件，即可证明结论．
【详解】（1）解：BE=DF（答案不唯一）
故答案为：BE=DF（答案不唯一）
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
考点4：全等性质与SAS综合
典例4：（2023春·贵州贵阳·七年级统考期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．
(1)试说明：AC∥DE；
(2)若BF=10，EC=2，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)BC=6
【分析】（1）利用SAS可证明△ABC≌△DFE，可得∠ACB=∠DEF，便可证得AC∥DE；
（2）根据全等三角形的性质可知BC=EF，推出BE=CF，由此即可解决问题．
【详解】（1）证明：在△ABC和△DEF中，
AB=DF∠A=∠DAC=DE，
∴△ABC≌△DFESAS，
∴∠ACB=∠DEF，
∴AC∥DE．
（2）解：∵△ABC≌△DFE，
∴BC=EF，即BE+EC=EC+CF，
∴BE=CF，
∵BF=10，EC=2，
∴BE+CF=BF−EC=8，
∴BE=CF=4，
∴BC=BE+EC=4+2=6．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题．
【变式1】（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考一模）如图，AD，BC相交于点O，且OB=OC，OA=OD．延长AD到F，延长DA到E，AE=DF，连接CF，BE．求证：BE∥CF．
【答案】见解析
【分析】根据OA=OD，AE=DF，可得OE=OF，再利用SAS证明△BOE≌△COF，可得∠E=∠F，即可．
【详解】证明：∵OA=OD，AE=DF，
∴OA+AE=OD+DF，即OE=OF．
∵∠EOB=∠FOC，OB=OC，
∴△BOE≌△COFSAS，
∴∠E=∠F，
∴BE∥CF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式2】（2023春·广东深圳·八年级深圳市南山外国语学校校联考期中）已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．
(1)如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：AC=BD．
(2)如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为__________，∠APB的大小为__________（直接写出结果，不证明）
【答案】(1)证明见解析
(2)AC=BD，α
【分析】（1）利用SAS证明△AOC≌△BOD，即可得到结论；
（2）与（1）同理可证△AOC≌△BODSAS，得到AC=BD，由△AOC≌△BODSAS得到∠OAC=∠OBD，根据对顶角相等和三角形内角和定理得到∠APB=∠AOB=α即可．
【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD．
在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BODSAS，
∴AC=BD；
（2）∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD．
在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BODSAS，
∴AC=BD；
如图②，设AC与OB相交于点E，
∵△AOC≌△BODSAS，
∴∠OAC=∠OBD，
在△AOE和△BEP中，
∠OAC=∠OBD，∠AEO=∠BEP,∠OAC+∠AEO+∠AOB=∠OBD+∠BEP+∠APB=180°，
∴∠APB=∠AOB=α，
故答案为：AC=BD，α
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式3】（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）如图，在△ABC中，点D在AC上，延长DB至点E，使得DE=AB，连接AE，若∠DAE=∠ABD，AE=AC．求证：AD=BC．
【答案】证明见解析
【分析】先根据已知条件和三角形外角的性质证明∠E=∠BAC，进而可用SAS证明△ABC≌△EDA，从而可证明AD=BC．
【详解】证明：∵∠DAE=∠ABD，∠DAE=∠BAE+∠BAC，∠ABD=∠BAE+∠E，
∴∠E=∠BAC，
在△ABC和△EDA中，
AB=ED∠BAC=∠EAC=EA，
∴△ABC≌△EDASAS，
∴AD=BC．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL等等．
考点5：尺规作图——作边
典例5：（2023春·广西南宁·七年级校考阶段练习）如图，已知线段a和线段AB．
(1)延长线段AB到C，使BC=a（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若AB=6，BC=4，点O是线段AC的中点，求线段OB的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】（1）根据线段的尺规作图方法作图即可；
（2）先求出AC=10，再根据线段中点的定义得到AO=5，则OB=AB−AO=1．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：AB=6，BC=4，
∴AC=AB+BC=10，
∵点O是线段AC的中点，
∴AO=12AC=5，
∴OB=AB−AO=1．
【点睛】本题主要考查了线段的尺规作图，与线段中点有关的计算，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式1】（2022秋·陕西榆林·七年级校考期末）如图，已知线段a，b．作一条线段AB，使它等于b−2a．
【答案】见解析．
【分析】作射线AM，在射线AM上截取AC=b，在线段CA上截取CB=2a，则AB=b−2a即可．
【详解】解：如图，线段AB即为所求，
【点睛】本题主要考查了尺规作图，解题关键是掌握作一条线段等于已知线段的作法．
【变式2】（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知线段AB．
(1)请用尺规按下列要求作图：
①延长线段AB到C，使BC=AB，
②延长线段BA到D，使AD=AC（不写画法，但要保留画图痕迹）
(2)请直接回答线段BD与线段AC长度之间的大小关系；
(3)如果AB=2cm，请求出线段BD和CD的长度．
【答案】(1)①见解析 ②见解析
(2)BD>AC
(3)BD=6cm，CD=8cm
【分析】（1）①以点B为圆心，AB长为半径画弧，交AB的延长线于点C；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交BA的延长线于点D，据此即可画得；
（2）依据图形，即可得到线段BD与线段AC长度之间的大小关系；
（3）依据AB=2cm，可得AC=AD=4cm，进而得出BD、CD的长即可．
【详解】（1）解：如图：线段BC、AD即为所求作的线段，
（2）解：∵BC=AB，
∴AC=2AB，
∵AD=AC，
∴AD=2AB，
∴BD=AD+AB=2AB+AB=3AB，
∴BD>AC；
（3）解：∵AC=2AB，BD=3AB，AB=2cm，
∴AC=4cm，BD=6cm，
∵AD=AC，
∴AD=AC=4cm，
∴CD=2AD=8cm．
【点睛】本题主要考查了比较线段的长短，作线段，线段的和差，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
【变式3】（2022秋·福建莆田·七年级校联考期末）已知：如图，线段a和线段b
(1)尺规作图：求作线段AB=a+b，并在线段BA的延长线上，求作线段AC=a−b；(作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹)
(2)若M、N分别是AB、AC的中点，求MN的长(用含a、b的式子表示)．
【答案】(1)见解析
(2)a
【分析】在射线AF上截取AP=b，在射线PF上截取PB=a，则AB=a+b，在射线AE上截取AQ=a，在线段QA上截取QC=b，则AC=a−b；
（2）根据线段中点的性质得出MN=12AC+AB，即可求解．
【详解】（1）解：在射线AF上截取AP=b，在射线PF上截取PB=a，则AB=a+b，
在射线AE上截取AQ=a，在线段QA上截取QC=b，则AC=a−b；
如图所示，AB,AC即为所求；
（2）∵AB=a+b，AC=a−b，M、N分别是AB、AC的中点，
∴AM=12AB，AN=12AC，
∴MN=12AC+AB=12a+b+a−b=a．
【点睛】本题考查了作线段等于已知线段，线段的和差，线段中点的性质，数形结合是解题的关键．
考点6：尺规作图——作角
典例6：（2023春·辽宁阜新·七年级校考阶段练习）如图，已知△ABC，∠C=45°，AC>AB，请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°．
【答案】见解析
【详解】根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可．
【分析】解：如图所示，点P即为所求．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关作图方法是解题的关键．
【变式1】（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）已知∠ABC，O为射线BA上一点，在∠ABC内部，求作∠AOD，使∠AOD=∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】图见解析
【分析】根据作角等于已知角的方法，进行作图即可．
【详解】解：如图所示，∠AOD即为所求；
【点睛】本题考查作角等于已知角．熟练掌握尺规作图方法，是解题的关键．
【变式2】（2023春·山东枣庄·七年级校考期中）如图，已知∠ABC及AB上一点A，
(1)利用三角板，过点A作BC的垂线，垂足为点E，此时线段AE的长为点A到直线BC的距离．
(2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在BC下方以点B为顶点作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂线的定义，作出图形即可；
（2）以点B为圆心，已任意长为半径画弧，交AB于点F，交BC于点G，再以点G为圆心，以FG长为半径，在BC的下方画弧，与之前的弧交于点H，再以点H为圆心，以FG长为半径，在点H下方画弧，与第一个弧交于点K，连接BK，并延长至点D，即可得出∠CBD=2∠ABC．
【详解】（1）解：如图，线段AE即为所求，此时线段AE的长为点A到直线BC的距离．
（2）解：如图，∠CBD即为所求，
【点睛】本题考查作图—复杂作图，垂线，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式3】（2023·山西·模拟预测）如图，OD平分∠AOB，点P为OA上一点．
(1)尺规作图：以P为顶点，作∠APQ=∠AOB，交OD于点Q（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠AOB=60°，求∠DQP的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠DQP=150°．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法作图即可；
（2）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠DQP的度数．
【详解】（1）解：如图即为所求；
；
（2）解：由（1）知PQ∥OB，
∴∠PQO=∠DOB，
∵OD为∠AOB的角平分线，且∠AOB=60°，
∴∠AOD=∠BOD=30°，
∴∠PQO=∠DOB=30°，
∴∠DQP=180°-30°=150°．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．
考点7：尺规作图——作三角形
典例7：（2023春·全国·七年级专题练习）用直尺和圆规作图，要求：不写作法、保留作图痕迹．
已知：△ABC与射线A1M．
求作：△A1B1C1，使得△A1B1C1≌△ABC．
【答案】见解析
【分析】先在射线A1M上截取A1C1=AC，再分别以点A1、C1为圆心，以AB、CB为半径画弧，两弧相交于点B1，则△A1B1C1≌△ABC．
【详解】解：如图，△A1B1C1为所作．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
【变式1】（2021秋·河南商丘·八年级校考期中）人教版初中数学教科书八年级上册第37～38页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
请你根据以上材料完成下列问题：
(1)完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△A'B'C'和△ABC中，
(____)=(____)(____)=(____)(____)=(____)，
∴△A'B'C'≌ ．
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 ．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
【答案】(1)见解析
(2)③
【分析】（1）根据作图信息，利用“SAS”证明三角形全等即可；
（2）利用（1）中证明可得结论．
【详解】（1）证明：在△A'B'C'和△ABC中，
A'C'=AC∠A'=∠AA'B'=AB，
∴△A'B'C'≌△ABC(SAS)．
故答案为：A'C'；AC；∠A'；∠A；A'B'；AB；△ABC；
（2）由（1）可知两个三角形全等的依据是SAS．
故答案为：③
【点睛】本题考查了作图－复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式2】（2022秋·河北邢台·八年级统考期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
已知：线段a，b，c；
求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．
【答案】见解析
【分析】作射线AP，以A为圆心，c为半径画弧，交射线AP于点B，分别以A，B为圆心，以b，a为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC即为所求．
【详解】解：如图所示，△ABC即为所求；
．
【点睛】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式3】（2022春·四川成都·七年级统考期末）已知∠a=90°，线段m，n．
(1)求作：Rt△ABC，使得∠A=∠a，AB=m，BC=n．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明，必须作答）；
(2)若∠ABC的度数是∠ACB的2倍，求∠ABC的度数．
【答案】(1)作图见解析；
(2)60°．
【分析】（1）先作AD⊥AE于A，再在AD上截取AB=m，然后以B点为圆心，n为半径画弧交AE于C，则△ABC满足条件；
（2）根据三角形内角和定理得到∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，则90°+∠ABC+12∠ABC=180°，然后解方程即可．
（1）
解；如图，△ABC为所作；
（2）
解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
而∠BAC=90°，∠ABC=2∠ACB，
∴90°+∠ABC+12∠ABC=180°．
∴∠ABC=60°．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图、三角形内角和定理，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
考点8：尺规作图与全等综合
典例8：（2021·湖南长沙·统考中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△A'B'C'和△ABC中，
B'C'=BC,A'B'=_____,A'C'=_____,
∴△A'B'C'≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
【答案】（1）AB,AC,△ABC；（2）④．
【分析】（1）先根据作图可知A'B'=AB,A'C'=AC，再根据三角形全等的判定定理即可得；
（2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得．
【详解】（1）证明：由作图可知，在△A'B'C'和△ABC中，
B'C'=BCA'B'=ABA'C'=AC，
∴△A'B'C'≅△ABC．
故答案为：AB,AC,△ABC．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS，
故答案为：④．
【点睛】本题考查了利用SSS定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）已知：如图1，在△ABC中，∠CAB=60°．求作：射线CP，使得CP//AB．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点P；
④作射线CP．所以射线CP就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接FP，DE．
∵CF=AD，CP=AE，FP=DE．
∴△ADE≌△__________，
∴∠DAE=∠__________，
∴CP//AB（__________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2）CFP，FCP，同位角相等两直线平行
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用全等三角形的性质证明即可．
【详解】解：（1）如图，射线CP即为所求作．
（2）连接FP，DE．
∵CF=AD，CP=AE，FP=DE．
∴△ADE≌△CFP，
∴∠DAE=∠FCP，
∴CP‖AB（同位角相等两直线平行）．
故答案为：CFP，FCP，同位角相等两直线平行．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）小刚自己研究了用直尺、圆规平分一个已知角的方法：
（1）在OA和OB上分别截取OD=OE．
（2）分别以D，E为圆心，以大于12DE长为半径作弧，在∠AOB的内部两弧交于点C．
（3）作射线OC，则有∠AOC=∠BOC．你能指出作法中的道理吗？
【答案】见解析
【分析】利用画法得到OE=OD，CE=CD，加上OC为公共边，可根据“SSS”证明△COD≌△COE，据此可以得∠AOC=∠BOC．
【详解】解：由作法得：
OE=OD，CE=CD，
而OC为公共边，即OC=OC，
∴△COD≌△COE（SSS），
∴∠AOC=∠BOC．
【点睛】本题考查了基本作图以及全等三角形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
【变式3】（2021秋·北京·八年级校考期中）尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．
【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×．
（1）过一点作一条直线．( )
（2）过两点作一条直线．( )
（3）画一条长为3㎝的线段．( )
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．( )
【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'使∠A'O'B'=∠AOB
作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，____________________；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB．
说理：由作法得已知：OC=O'C',OD=O'D',CD=C'D'
求证：∠A'O'B'=∠AOB
证明：∵OC=O'C'OD=O'D'CD=C'D'
∴ΔOCD≅ΔO'C'D'( )
所以∠A'O'B'=∠AOB( )
【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l与直线外一点A．
求作：过点A的直线l'，使得l//l'．
【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．
【答案】【作图原理】（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；【回顾思考】作法：以点C'为圆心，以CD为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于D'；说理：SSS，全等三角形对应角相等；【小试牛刀】答案见解析；【创新应用】答案见解析．
【分析】[作图原理]根据五种基本作图判断即可；
[回顾思考]利用全等三角形的判定解决问题即可；
[小试牛刀]利用同位角相等两直线平行解决问题即可；
[创新应用]答案不唯一，画出图形，说明设计意图即可．
【详解】解：[作图原理]：（1）过一点作一条直线．可以求作；
（2）过两点作一条直线．可以求作；
（3）画一条长为3cm的线段．不可以求作；
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．可以求作；
故答案为：√，√，×，√；
[回顾思考]：作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
说理：由作法得已知：OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，
求证：∠A'O'B'＝∠AOB．
证明：在△OCD和△O'C'D'中{OC＝O'C'OD＝O'D'CD＝C'D'，
∴△OCD≌△O'C'D'（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等），
故答案为：以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′，SSS，全等三角形的对应角相等；
[小试牛刀]：如图，直线l′即为所求（方法不唯一），
；
[创新应用]：如图所示（答案不唯一），设计意图：书架中隐藏着无限宝藏，
．
【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
同步过关
1．（2022秋·广西玉林·八年级校考阶段练习）如图，AB=AC,∠BAD=∠CAD,AB=6,BD=4,AD=3，则CD等于（ ）
A．6B．4C．3D．5
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定方法得出△BAD≌△CAD，再利用全等三角形的对应边相等即可得出结论
【详解】解：在△BAD和△CAD中，
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△BAD≌△CAD(SAS)，
∴ BD=CD，
∵BD=4，
∴CD=4，
故选：B
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握其相关的性质与判定是解题的关键
2．（2023秋·重庆渝北·八年级重庆市渝北中学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，E， F分别是AB、AC上的点，且AE=AF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（ ）
A．4对B．5对C．6对D．7对
【答案】D
【分析】首先要证明△BCF≌△CBE（SAS），得出BF=CE，再证明△ABF≌△ACE（SAS），得出∠BAD=∠CAD，可以证明AD⊥BC，所以△ABD≌△ACD（HL），△AOE≌△AOF（SAS），△AOB≌△AOC（SAS），得出OE=OF，BO=CO，所以△BOE≌△COF（SSS），△BOD≌△COD（HL），所以一共七对．
【详解】∵AB=AC，AE=AF
∴∠ABC=∠ACB，BE=CF
∵BC是公共边
∴△BCF≌△CBE
∴BF=CE
∵AE=AF，AB=AC
∴△ABF≌△ACF
∴∠BAD=∠CAD
∴AD⊥BC，BD=CD
∴△ABD≌△ACD(HL)
∵∠BAD=∠CAD.AE=AF，AD=AD
∴△AOE≌△AOF
∴OE=OF
∴BO=CO，BE=CF
∴△BOE≌△COF
∵BO=CO，BD=CD，OD是公共边
∴△BOD≌△COD
∵AB=AC，AO=AO，∠BAO=∠CAO，
∴△AOB≌△AOC
∴一共七对
故选D.
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法.
3．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）如图，若已知AE=AC，用“SAS”说明△ABC≌△ADE，还需要的一个条件是（ ）
A．BC=DEB．AB=ADC．BO=DOD．EO=CO
【答案】B
【分析】找到根据“SAS”判定△ABC≌△ADE需要条件，作出证明即可．
【详解】解：还需添加的条件是AB=AD，理由是：
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠A=∠AAE=AC，
∴△ABC≌△ADESAS，
故选：B．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．（2023秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，AB=AC，BD=CE，要使△ABD≌△ACE，添加条件正确的是（ ）
A．∠DAE=∠BACB．∠B=∠C
C．∠D=∠ED．∠B=∠E
【答案】B
【分析】分别根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC，
即∠EAC=∠DAB．
AB=AC，CE=BD，∠EAC=∠DAB，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACE，故A选项不符合题意；
AB=AC，∠B=∠C，CE=BD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABD≌△ACE，故B选项符合题意；
AB=AC，CE=BD，∠D=∠E，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACE，故C选项不符合题意；
AB=AC，CE=BD，∠B=∠E，不符合全等三角形的判定定理．不能推出△ABD≌△ACE，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，灵活选择判定定理是解题的关键．
5．（2022秋·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ABC≌△BAD，则还需添加的一个条件是（ ）
A．AD＝BCB．∠C＝∠DC．AO＝BOD．AC＝BD
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定，已知∠1＝∠2，AB为公共边，所以可添加AC＝BD，根据SAS可证△ABC≌△BAD．
【详解】解：添加AC＝BD，理由如下：
在△ABC和△BAD中，
AC=BD∠1=∠2AB=BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
6．（2022秋·八年级课时练习）图，点C在∠AOB的边OB上，尺规作图痕迹显示的是（ ）
A．作线段CE的垂直平分线B．作∠AOB的平分线
C．连接EN，则△CEN是等边三角形D．作CN//OA
【答案】D
【分析】根据作图得出△ODM≌△CEN（SSS），得出∠MAD=∠NCE，得出OM∥CN即可．
【详解】解：连结EN ,
在△ODM和△CEN中，
OM=CNOD=CEMD=NE，
∴△ODM≌△CEN（SSS），
∴∠MAD=∠NCE，
∴OM∥CN，
故选D．
【点睛】本题考查尺规作图，掌握基本作图，三角形全等判定与性质，平行线的判定是解题关键．
7．（2023秋·福建泉州·八年级泉州第十六中学校考期中）如图，已知∠BAD =∠CAD，则下列不能判定ΔABD≌ΔACD的条件是（ ）．
A．AB=ACB．∠B =∠C
C．BD=CDD．∠ADB =∠ADC
【答案】C
【分析】利用全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA对各项逐一分析即可得出答案．
【详解】A、添加AB=AC可利用SAS判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
B、添加∠B=∠C可利用AAS判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
C、添加条件BD=CD不能判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；
D、添加∠ADB=∠ADC可利用ASA判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握．
8．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE=BC，连接DE．若∠ADE=30°，则∠ADB的度数是( )
A．60°B．71°C．75°D．76°
【答案】C
【分析】根据已知条件可得三角形全等，得∠BDE=∠BDC，∠BDE=∠ADB+30°，∠BDE+∠ADB=180°，可得解．
【详解】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
又∵BE=BC，BD=BD
∴△BDE≌△BDC(SAS)，
∴∠BDE=∠BDC，
∵∠ADE=30°，∠BDE=∠ADB+30°，∠BDC+∠ADB=∠BDE+∠ADB=180°，
∴∠ADB+30°+∠ADB=180°
∴∠ADB=75°，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
9．（2022春·广东梅州·七年级校考阶段练习）下列不能判断两个三角形全等的条件是（ ）
A．有两边及一角对应相等B．有两边及夹角对应相等
C．有三条边对应相等D．有两个角及夹边对应相等
【答案】A
【分析】根据三角形全等的判定定理（SAS、SSS、ASA）逐项判断即可得．
【详解】解：A、有两边及一角对应相等，因为这个角不一定是这两边的夹角，所以不能判断两个三角形全等，则此项符合题意；
B、有两边及夹角对应相等，满足SAS定理，能判断两个三角形全等，则此项不符合题意；
C、有三条边对应相等，满足SSS定理，能判断两个三角形全等，则此项不符合题意；
D、有两个角及夹边对应相等，满足ASA定理，能判断两个三角形全等，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握各判定定理是解题关键．
10．（2022春·山西·七年级山西实验中学校考期中）如图，点C在∠AOB的边OB上，利用尺规过点C作OA的平行线CM，其作图过程如下：在OB上取一点D，以O圆心、OD为半径画弧，弧交OA于点F，再以C圆心、OD为半径画弧，该弧与CB交于点E，再以E为圆心、DF为半径画弧，圆心为C的弧与圆心为E的弧交于点M，作射线CM，则OF=OD=CM=CE，DF=EM，可得△CEM≌△ODF，进而可以得到∠BCM=∠AOB，CM∥OA，以上作图过程中的依据不包括（ ）
A．圆的半径相等B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．同位角相等，两直线平行D．全等三角形的对应角相等
【答案】B
【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图法进行判断即可．
【详解】根据圆的半径相等有：OF=OD=CE=CM，DF=ME，
则有△OFD≌△CME，
根据全等的性质：对应角相等有∠FOD=∠MCE，
根据同位角相等，两直线平行有：CM∥OA，
根据上述证明过程可知：B选项没有作为依据参与证明，
故选：B．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．
11．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠ADC=∠AEBB．AD=AEC．AB=ACD．BE=CD
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定进行解答即可得．
【详解】解：在△ABE和△ACD中，
∠AEB=∠ADC∠A=∠B∠B=∠C
∴无法证明△ABE≌△ACD，
选项A说法错误，符合题意；
在△ABE和△ACD中，
∠A=∠A∠B=∠CAD=AE
∴△ABE≌△ACD（AAS），
选项B说法正确，不符合题意；
在△ABE和△ACD中，
∠A=∠AAB=AC∠B=∠D
∴△ABE≌△ACD（ASA），
选项C说法正确，不符合题意；
在△ABE和△ACD中，
∠A=∠A∠B=∠CBE=CD
∴△ABE≌△ACD（AAS），
选项D说法正确，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定．
12．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，AD＝CF，且AB//DE，判定△ABC≌△DEF的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．HL
【答案】A
【分析】根据所给条件证明△ABC≌△DEFSAS即可；
【详解】解：∵AB//DE
∴∠BAC=∠EDF
∵AD=CF
∴AD+DC=CF+DC
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中
∵AB=DE∠BAC=∠EDFAC=DF
∴△ABC≌△DEFSAS．
故选A
【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件．解题的关键在于找出证明全等的条件．
13．（2022秋·八年级课时练习）如图①，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．
如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步；画射线BP，射线BP即为所求．
下列叙述不正确的是（ ）
A．a>0B．作图的原理是构造SSS三角形全等
C．由第二步可知，DP=EPD．b<12DE的长
【答案】D
【分析】根据用尺规作图法画已知角的角平分线的基本步骤判断即可
【详解】解：A、∵以a为半径画弧，∴a>0，故正确
B、根据作图步骤可知BD=BE，PD=PE，BP=BP，∴△BDP≌△BEP（SSS），故正确
C、∵分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P，∴DP=EP，故正确
D、分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，其中b>12DE，否则两个圆弧没有交点，故错误
故选：D
【点睛】本题考查用尺规作图法画已知角的角平分线及理论依据，熟练尺规作图的基本步骤是关键
14．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE，若∠A＝50°，则∠BDE的度数是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【答案】A
【分析】先由直角三角形的性质得∠B＝90°﹣∠A＝40°，再证△CDE≌△CDA（SAS），得∠CED＝∠A＝50°，然后由三角形的外角性质即可得出答案．
【详解】∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠ACD，
在△CDE和△CDA中，
EC=AC∠ECD=∠ACDCD=CD，
∴△CDE≌△CDA（SAS），
∴∠CED＝∠A＝50°，
又∵∠CED＝∠B+∠BDE，
∴∠BDE＝∠CED﹣∠B＝50°﹣40°＝10°，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．
15．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB=DC，AD=BC，E,F是DB上两点且BF=DE，若∠AEB=100°，∠ADB=30°，则∠BCF的度数为（ ）
A．150°B．40°C．80°D．70°
【答案】D
【分析】先证△ABD≌△CDB(SSS)，得∠ADE=∠CBF，再证△ADE≌△CBF(SAS)，得∠BCF=∠DAE，然后由三角形的外角性质即可得出结论．
【详解】解：在△ABD和△CDB中，
AB=CDAD=CBBD=DB，
∴△ABD≌△CDB(SSS)，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴∠BCF=∠DAE，
∵∠DAE=∠AEB−∠ADE=100°−30°=70°，
∴∠BCF=70°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、解答题
16．（2022春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB．求证：∠A=∠C．
【答案】证明见解析
【分析】连接BD, 证明△ABD≌△CDB,再利用全等三角形的性质可得结论.
【详解】解：连接BD,
∵ 四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，BD=DB,
∴ △ABD≌△CDB,
∴∠A=∠C.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，构建全等三角形，利用SSS证明三角形全等是解题的关键.
17．（2023春·七年级课时练习）如图，点C、E、B、F在同一直线上，CE=BF，AC//DF，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF．
【答案】见解析.
【分析】先由CE=BF，可得BC=EF，继而利用SAS可证明结论．
【详解】解：∵CE=BF，
∴CE+BE=BF+BE，
即BC=EF，
又∵AC//DF，
∴∠C=∠F，
在△ABC和△DEF中，
AC=DF∠C=∠FBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS，ASA，HL，注意SSA、AAA不能判定三角形的全等．
18．（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作直线CD，使得CD//AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）根据作图，说明你画的直线符合要求的原因．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）先过点B作射线BE，且BE过点C，然后作∠ECD=∠B，则直线CD即为所求的平行线；
（2）利用同位角相等，两直线平行即可判断．
【详解】解：（1）先过点B作射线BE，且BE过点C，然后作∠ECD=∠B，
如图，直线CD即为所求的平行线；
（2）由作图可知，∠ECD=∠B，
所以CD//AB，
所以所画直线符合要求．
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，平行线的判定，熟练掌握平行线的同位角相等，两直线平行是解题的关键．
19．（2022秋·广东江门·八年级江门市怡福中学校考期中）已知：如图，点A，C，B，D都在一条直线上，AC=BD，AM=CN，BM=DN．求证：AM∥CN．
【答案】证明见详解．
【分析】首先根据AC=BD可得AB=CD，再加上条件AM=CN，BM=DN, 可利用SSS定理证明△AMB≌△CND即可．
【详解】证明：∵AC=BD，
∴AC+CB=DB+CB，
即：AB=CD，
在△AMB和△CND中，
AM=CNAB=CDBM=DN，
∴△AMB≌△CND（SSS）,
∴∠A=∠NCD，
∴AM∥CN．
【点睛】本题考查三角形全等判定，掌握三角形全等判定定理与方法是解题关键．
20．（2023春·福建漳州·七年级统考期中）如图，△ABC中，点D在BC边上．
(1)在AC边上求作点E，使得∠CDE＝∠ABC； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠A＝65°，求∠AED的度数．
【答案】(1)见解析
(2)115°
【分析】（1）如图，在CD的上方作∠EDC＝∠ABC，DE交AC于点E．
（2）利用平行线的性质求解即可．
【详解】（1）如图，点E即为所求．
（2）∵∠A＝65°，由作图可知，DE//AB，
∴∠AED=180°−∠A=115°
【点睛】本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，熟练掌握两同位角相等，两直线平行、两直线平行，同位角相等是解答本题的关键．
21．（2022秋·甘肃定西·八年级校考阶段练习）如图，已知AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC．求证：△ACD≌△AEB．
【答案】见解析
【分析】由题意易得∠DAC=∠BAE，然后根据“SAS”可证三角形全等．
【详解】解：∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△ACD和△AEB中，AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△ACD≌△AEB（SAS）．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
22．（2023秋·陕西咸阳·八年级校考开学考试）已知：如图，AD＝BC且AD∥BC， E、F是AC上的两点，且AF＝CE．
求证：DE＝BF且DE∥BF．
【答案】见解析
【分析】根据AD＝BC且AD∥BC可证四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAF=∠DCE，然后利用“边角边”证明△ABF和△CDE全等，可得DE=BF，∠DEF=∠BFA，进而得到DE∥BF．
【详解】解：∵AD＝BC且AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCE，
在△ABF和△CDE中，
AB=CD∠BAF=∠DCEAF=CE，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴DE=BF，∠DEF=∠BFA，
∴DE∥BF．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是正确证明△ABF≌△CDE．
23．（2023秋·天津宁河·八年级阶段练习）如图，已知∠1=∠2，AO=BO．求证：AC=BC．
【答案】SAS
【详解】由条件可先证明△AOC≌△BOC，从而不难求得结论．
24．（2023春·陕西西安·七年级西安市西光中学校考阶段练习）尺规作图：如图在三角形ABC中过点A作边BC的平行线AD．（不写画法，保留作图痕迹）
【答案】详见解析
【分析】根据作一个角等于已知角的方法作图即可．
【详解】解：如图，直线AD即为所求作．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．
(1)求证：AC＝BD．
(2)求∠APB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】（1）通过证明△AOC≌△BOD，即可求证；
（2）由（1）可得∠OAC＝∠OBD，从而得到∠PAB+∠PBA＝∠OAB+∠OBA，利用三角形内角和的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD．
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∵∠PBA＝∠ABO+∠OBD，∠OAB =∠PAB +∠OAC，
∴∠PAB+∠PBA＝∠PAB+∠ABO+∠OBD =∠PAB +∠OAC+∠ABO=∠OAB+∠OBA，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAB+∠OBA ＝120°
∴∠PAB+∠PBA＝120°，
∴∠APB＝180°−∠PAB+∠PBA＝180°−120°＝60°．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
三、填空题
26．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中OA=OD，OB=OC，测得AB=7厘米，EF=9厘米，则圆形容器的壁厚是___________厘米．
【答案】1
【分析】只要证明△AOB≌△DOC，可得AB=CD，即可解决问题．
【详解】解：在△AOB和△DOC中，
OA=OD∠AOB=∠DOCBO=OC，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB=CD=7厘米，
∵EF=9厘米，
∴圆柱形容器的壁厚是12×（9-7）=1（厘米），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．
27．（2023·八年级课前预习）__________相等的两个三角形全等（可以简写为“_______”或“SSS”）．如图，用符号语言表达为：
在△ABC和△ DEF中
AB=DEBC=EFCA=FD
∴ △ABC ≌△________（SSS）．
【答案】 三边对应 边边边 △DEF
【解析】略
28．（2022春·陕西西安·八年级统考期中）用用直尺和圆规作一个角的角平分线示意图如图所示，则说明∠AOC=∠BOC的依据是______（填写：SSS或SAS或ASA或AAS）．
【答案】SSS
【分析】根据角平分线的作法可知MO=NO，CO=CO，MC=NC，符合三角形全等的判定方法中的SSS，可证△OMC≌△ONC，即证∠AOC=∠BOC．
【详解】解：由作法知MO=NO，CO=CO，MC=NC，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC．
故答案为：SSS．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．要在作法中找已知条件．
29．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点O既是AA'的中点，也是BB'的中点，若测得AB=5cm，则该内槽A'B'的宽为__________cm．
【答案】5
【分析】利用“SAS”证明△OAB≌△OA′B′，从而得到A′B′＝AB＝5cm．
【详解】解：如图，在△OAB和△OA′B′中OA＝OA'∠AOB＝∠A'OBOB＝OB'' ，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS），
∴A′B′＝AB＝5（cm）．
故答案为5．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，根据示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
30．（2022秋·江苏·八年级阶段练习）如图，△EFG和△HIJ都是等边三角形，连接HG，EI交于点P，则∠EPH=_________度．
【答案】60
【分析】根据等边三角形的性质可证△FIH≌△GJI，再证明△FGH≌△GEI，根据全等三角形的性质可得∠FGH=∠GEI，从而可得∠GEI+∠HGE=60°，根据外角的性质可得∠EPH的度数．
【详解】解：在等边△EFG中，∠F=∠FGE=60°，FG=GE，
∴∠FHI+∠FIH=120°，
在等边△HIJ中，∠HIJ=60°，HI=JI，
∴∠FIH+∠JIG=120°，
∴∠FHI=∠JIG，
在△FIH和△GJI中，
∠F=∠G∠FHI=∠GIJHI=JI，
∴△FIH≌△GJI（AAS），
∴FH=GI，
在△FGH和△GEI中，
FH=GI∠F=∠GFG=GE，
∴△FGH≌△GEI（SAS），
∴∠FGH=∠GEI，
∴∠FGH+∠HGE=60°，
∴∠GEI+∠HGE=60°，
∴∠EPH=60°，
故答案为：60
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
31．（2023秋·广西北海·九年级校考阶段练习）如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF，∠A＝85°，则∠D＝_____．
【答案】85°/85度
【分析】先由AB∥CD证明∠B＝∠C，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠D＝∠A＝85°．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
AB=CD∠B=∠CBE=CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠D＝∠A＝85°．
故答案为：85°．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，找到全等三角形的对应边和对应角并通过推理证明三角形全等的条件是解题的关键．
32．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）如图，桌面上放置一个等腰直角△ABC，直角顶点C顶着桌面，若另外两个顶点与桌面的距离分别为5cm和3cm，过另外两个顶点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离DE的长度为______cm．
【答案】8
【分析】利用互余关系找两个三角形对应角相等，根据等腰直角三角形找对应边相等，两个对应直角相等，判断三角形全等，从而AD=CE，CD=BE，得到DE的长．
【详解】解：∵∠CDA=∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠ACD +∠DAC=∠ACD+∠ECB=∠ECB+∠CBE=90°，
∴∠ACD =∠CBE，∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中
∠DAC=∠ECBCA=BA∠ACD=∠CBE，
∴△ACD≌△CBE（ASA），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD=3+5=8(cm)．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了全等三角形判定及性质的应用；通过三角形全等，对应线段相等，对线段长度进行转化．本题的关键是证明△ACD≌△CBE，利用全等三角形的性质进行等量代换求解．
33．（2023春·上海·七年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=_____°．
【答案】135
【分析】如图，利用“边角边”证明△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4，然后求出∠1+∠3=90°，再判断出∠2=45°，然后计算即可得解．
【详解】解：标注字母，如图所示，
在△ABC和△DEA中，
AB=DE∠ABC=∠DEA=90°BC=EA，
∴△ABC≌△DEASAS，
∴∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
又∵∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．
故答案为：135．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．
34．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD=BE，BD=CF．若∠EDF=42°，则∠BAC的度数是______．
【答案】96°/96度
【分析】根据SAS证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在ΔBDE与ΔCFD中，
BD=CF∠B=∠CBE=CD，
∴ΔBDE≌ΔCFD(SAS)，
∴∠EDB=∠DFC，∠FDC=∠BED，
∵∠EDF+∠BDE+∠FDC=180°，
∵∠B+∠BED+∠EDB=180°，
∴∠B=∠EDF=42°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−42°−42°=96°，
故答案为：96°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的性质和判定是解答本题的关键．
35．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则∠FAG的度数为________．
【答案】30°/30度
【分析】先根据等边三角形的性质得到AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，则由AD＝BE得到BD＝CE，再根据“SAS”可判断△ACE≌△CBD，根据三角形外角性质得到∠CAE＝∠BCD，所以∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，而∠AGF＝90°，利用三角形内角和定理即可求出∠FAG的度数．
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，
∵AD＝BE，
∴BD＝CE，
∵在△ACE和△CBD中
AC=CB∠ACE=∠BCE=BD，
∴△ACE≌△CBD（SAS），
∴∠CAE＝∠BCD，
∵∠AFG＝∠CAF＋∠ACF，
∴∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，
∵AG⊥CD，
∴∠AGF＝90°，
∴∠FAG＝90°−60°＝30°．
故答案为30°．
【点睛】本题考查了本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
已知：△ABC．求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC．作法：如图．（1）画∠DA'E=∠A；
（2）以点A'为圆心，在射线A'D上截取A'B'=AB，在射线AE上截取A'C'=AC；
（3）连接线段B'C'，则△A'B'C'即为所求作的三角形．
已知：△ABC．求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C'=BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B'，A'C'，则△A'B'C'即为所求作的三角形．
已知：△ABC．求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC．作法：如图．（1）画∠DA'E=∠A；
（2）以点A'为圆心，在射线A'D上截取A'B'=AB，在射线AE上截取A'C'=AC；
（3）连接线段B'C'，则△A'B'C'即为所求作的三角形．
已知：△ABC．求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C'=BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B'，A'C'，则△A'B'C'即为所求作的三角形．
知识串讲
（一）全等三角形的判定——SSS
（1）SSS:如果两个三角形由三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边边边”或简记为（SSS）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
AB=A′B′
BC=B′C′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（二）全等三角形的判定——SAS
（1）SAS:如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（SAS）
（2）书写格式:如图12-2-6所示,在列举两个三角形全等的条件时,一般把夹角写在中间,以突出两边及其夹角对应相等,如:
图12-2-6
在△ABC和△ABC′中,
AB=A′B′
∠A=∠A
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（3）特别提醒:①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满
足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的
顺序.
②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等
（三）尺规作图
（1）作一条线段等于已知线段
已知：线段，作一条线段，？
作法：①用直尺画射线
②用圆规在射线上截取
∴线段AB即为所求
（2）作一个角等于已知角
已知：
求作：
作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA与点D，交OB于点E；
②作射线
③以为圆心,OD长为半径画弧,交于点
④以为圆心,ED长为半径画弧，交上一步所画的弧与
⑤过作射线,为所求
考点训练
考点1：用SSS证明三角形全等
典例1：（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）已知，如图AB=AC，BD=CD，求证：∠ABD=∠ACD
【变式1】（2023秋·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)求证：AB∥DF．
【变式2】（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC=BD，AB=ED，BC=BE．求证：∠AFB=2∠ACB．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点A、M、N、C在同一条直线上，AB=CD，BN=DM，AM=CN，求证：AB∥CD．
考点2：全等的性质与SSS综合
典例2：（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB=AE，AC=AD，BC=DE，∠C=48°，求∠D．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）阅读下题及证明过程．
已知：如图，AB=AC，∠ABP=∠ACP，求证：∠BAP=∠CAP．
证明：∵AB=AC，∠ABP=∠ACP，PA=PA，
∴△PAB≌△PAC 第一步
∴∠BAP=∠CAP 第二步
上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
【变式2】（2022秋·天津宁河·八年级天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知：如图，AB=AE，AC=AD，BC=ED，∠BAC=30°，∠E=50°．
(1)求证：△ABC≌△AED；
(2)求∠ADC的度数．
【变式3】（2023秋·山西忻州·八年级统考期末）如图，已知AB=DC，AC=DB，求证∠1=∠2．
考点3：用SAS证明三角形全等
典例3：（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，点E在AD上，DC=DE．求证：∠DAC=∠DBE．
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．
【变式2】（2022秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF．求证：△ABC≌△DEF．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在▱ABCD中，点E、F在BD上，△ABE与△CDF全等吗？若全等，写出证明过程；若不全等，请你添加一个条件使它们全等，并写出证明过程．
(1)你添加的条件是__________．
(2)证明过程：
考点4：全等性质与SAS综合
典例4：（2023春·贵州贵阳·七年级统考期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．
(1)试说明：AC∥DE；
(2)若BF=10，EC=2，求BC的长．
【变式1】（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考一模）如图，AD，BC相交于点O，且OB=OC，OA=OD．延长AD到F，延长DA到E，AE=DF，连接CF，BE．求证：BE∥CF．
【变式2】（2023春·广东深圳·八年级深圳市南山外国语学校校联考期中）已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．
(1)如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：AC=BD．
(2)如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为__________，∠APB的大小为__________（直接写出结果，不证明）
【变式3】（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）如图，在△ABC中，点D在AC上，延长DB至点E，使得DE=AB，连接AE，若∠DAE=∠ABD，AE=AC．求证：AD=BC．
考点5：尺规作图——作边
典例5：（2023春·广西南宁·七年级校考阶段练习）如图，已知线段a和线段AB．
(1)延长线段AB到C，使BC=a（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若AB=6，BC=4，点O是线段AC的中点，求线段OB的长．
【变式1】（2022秋·陕西榆林·七年级校考期末）如图，已知线段a，b．作一条线段AB，使它等于b−2a．
【变式2】（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知线段AB．
(1)请用尺规按下列要求作图：
①延长线段AB到C，使BC=AB，
②延长线段BA到D，使AD=AC（不写画法，但要保留画图痕迹）
(2)请直接回答线段BD与线段AC长度之间的大小关系；
(3)如果AB=2cm，请求出线段BD和CD的长度．
【变式3】（2022秋·福建莆田·七年级校联考期末）已知：如图，线段a和线段b
(1)尺规作图：求作线段AB=a+b，并在线段BA的延长线上，求作线段AC=a−b；(作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹)
(2)若M、N分别是AB、AC的中点，求MN的长(用含a、b的式子表示)．
考点6：尺规作图——作角
典例6：（2023春·辽宁阜新·七年级校考阶段练习）如图，已知△ABC，∠C=45°，AC>AB，请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°．
【变式1】（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）已知∠ABC，O为射线BA上一点，在∠ABC内部，求作∠AOD，使∠AOD=∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式2】（2023春·山东枣庄·七年级校考期中）如图，已知∠ABC及AB上一点A，
(1)利用三角板，过点A作BC的垂线，垂足为点E，此时线段AE的长为点A到直线BC的距离．
(2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在BC下方以点B为顶点作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC．
【变式3】（2023·山西·模拟预测）如图，OD平分∠AOB，点P为OA上一点．
(1)尺规作图：以P为顶点，作∠APQ=∠AOB，交OD于点Q（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠AOB=60°，求∠DQP的度数．
考点7：尺规作图——作三角形
典例7：（2023春·全国·七年级专题练习）用直尺和圆规作图，要求：不写作法、保留作图痕迹．
已知：△ABC与射线A1M．
求作：△A1B1C1，使得△A1B1C1≌△ABC．
【变式1】（2021秋·河南商丘·八年级校考期中）人教版初中数学教科书八年级上册第37～38页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
请你根据以上材料完成下列问题：
(1)完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△A'B'C'和△ABC中，
(____)=(____)(____)=(____)(____)=(____)，
∴△A'B'C'≌ ．
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 ．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
【变式2】（2022秋·河北邢台·八年级统考期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
已知：线段a，b，c；
求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．
【变式3】（2022春·四川成都·七年级统考期末）已知∠a=90°，线段m，n．
(1)求作：Rt△ABC，使得∠A=∠a，AB=m，BC=n．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明，必须作答）；
(2)若∠ABC的度数是∠ACB的2倍，求∠ABC的度数．
考点8：尺规作图与全等综合
典例8：（2021·湖南长沙·统考中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△A'B'C'和△ABC中，
B'C'=BC,A'B'=_____,A'C'=_____,
∴△A'B'C'≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）已知：如图1，在△ABC中，∠CAB=60°．求作：射线CP，使得CP//AB．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点P；
④作射线CP．所以射线CP就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接FP，DE．
∵CF=AD，CP=AE，FP=DE．
∴△ADE≌△__________，
∴∠DAE=∠__________，
∴CP//AB（__________）（填推理的依据）．
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）小刚自己研究了用直尺、圆规平分一个已知角的方法：
（1）在OA和OB上分别截取OD=OE．
（2）分别以D，E为圆心，以大于12DE长为半径作弧，在∠AOB的内部两弧交于点C．
（3）作射线OC，则有∠AOC=∠BOC．你能指出作法中的道理吗？
【变式3】（2021秋·北京·八年级校考期中）尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．
【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×．
（1）过一点作一条直线．( )
（2）过两点作一条直线．( )
（3）画一条长为3㎝的线段．( )
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．( )
【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'使∠A'O'B'=∠AOB
作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，____________________；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB．
说理：由作法得已知：OC=O'C',OD=O'D',CD=C'D'
求证：∠A'O'B'=∠AOB
证明：∵OC=O'C'OD=O'D'CD=C'D'
∴ΔOCD≅ΔO'C'D'( )
所以∠A'O'B'=∠AOB( )
【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l与直线外一点A．
求作：过点A的直线l'，使得l//l'．
【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．
同步过关
1．（2022秋·广西玉林·八年级校考阶段练习）如图，AB=AC,∠BAD=∠CAD,AB=6,BD=4,AD=3，则CD等于（ ）
A．6B．4C．3D．5
2．（2023秋·重庆渝北·八年级重庆市渝北中学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，E， F分别是AB、AC上的点，且AE=AF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（ ）
A．4对B．5对C．6对D．7对
3．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）如图，若已知AE=AC，用“SAS”说明△ABC≌△ADE，还需要的一个条件是（ ）
A．BC=DEB．AB=ADC．BO=DOD．EO=CO
4．（2023秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，AB=AC，BD=CE，要使△ABD≌△ACE，添加条件正确的是（ ）
A．∠DAE=∠BACB．∠B=∠C
C．∠D=∠ED．∠B=∠E
5．（2022秋·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ABC≌△BAD，则还需添加的一个条件是（ ）
A．AD＝BCB．∠C＝∠DC．AO＝BOD．AC＝BD
6．（2022秋·八年级课时练习）图，点C在∠AOB的边OB上，尺规作图痕迹显示的是（ ）
A．作线段CE的垂直平分线B．作∠AOB的平分线
C．连接EN，则△CEN是等边三角形D．作CN//OA
7．（2023秋·福建泉州·八年级泉州第十六中学校考期中）如图，已知∠BAD =∠CAD，则下列不能判定ΔABD≌ΔACD的条件是（ ）．
A．AB=ACB．∠B =∠C
C．BD=CDD．∠ADB =∠ADC
8．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE=BC，连接DE．若∠ADE=30°，则∠ADB的度数是( )
A．60°B．71°C．75°D．76°
9．（2022春·广东梅州·七年级校考阶段练习）下列不能判断两个三角形全等的条件是（ ）
A．有两边及一角对应相等B．有两边及夹角对应相等
C．有三条边对应相等D．有两个角及夹边对应相等
10．（2022春·山西·七年级山西实验中学校考期中）如图，点C在∠AOB的边OB上，利用尺规过点C作OA的平行线CM，其作图过程如下：在OB上取一点D，以O圆心、OD为半径画弧，弧交OA于点F，再以C圆心、OD为半径画弧，该弧与CB交于点E，再以E为圆心、DF为半径画弧，圆心为C的弧与圆心为E的弧交于点M，作射线CM，则OF=OD=CM=CE，DF=EM，可得△CEM≌△ODF，进而可以得到∠BCM=∠AOB，CM∥OA，以上作图过程中的依据不包括（ ）
A．圆的半径相等B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．同位角相等，两直线平行D．全等三角形的对应角相等
11．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠ADC=∠AEBB．AD=AEC．AB=ACD．BE=CD
12．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，AD＝CF，且AB//DE，判定△ABC≌△DEF的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．HL
13．（2022秋·八年级课时练习）如图①，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．
如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步；画射线BP，射线BP即为所求．
下列叙述不正确的是（ ）
A．a>0B．作图的原理是构造SSS三角形全等
C．由第二步可知，DP=EPD．b<12DE的长
14．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE，若∠A＝50°，则∠BDE的度数是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
15．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB=DC，AD=BC，E,F是DB上两点且BF=DE，若∠AEB=100°，∠ADB=30°，则∠BCF的度数为（ ）
A．150°B．40°C．80°D．70°
二、解答题
16．（2022春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB．求证：∠A=∠C．
17．（2023春·七年级课时练习）如图，点C、E、B、F在同一直线上，CE=BF，AC//DF，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF．
18．（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作直线CD，使得CD//AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）根据作图，说明你画的直线符合要求的原因．
19．（2022秋·广东江门·八年级江门市怡福中学校考期中）已知：如图，点A，C，B，D都在一条直线上，AC=BD，AM=CN，BM=DN．求证：AM∥CN．
20．（2023春·福建漳州·七年级统考期中）如图，△ABC中，点D在BC边上．
(1)在AC边上求作点E，使得∠CDE＝∠ABC； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠A＝65°，求∠AED的度数．
21．（2022秋·甘肃定西·八年级校考阶段练习）如图，已知AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC．求证：△ACD≌△AEB．
22．（2023秋·陕西咸阳·八年级校考开学考试）已知：如图，AD＝BC且AD∥BC， E、F是AC上的两点，且AF＝CE．
求证：DE＝BF且DE∥BF．
23．（2023秋·天津宁河·八年级阶段练习）如图，已知∠1=∠2，AO=BO．求证：AC=BC．
24．（2023春·陕西西安·七年级西安市西光中学校考阶段练习）尺规作图：如图在三角形ABC中过点A作边BC的平行线AD．（不写画法，保留作图痕迹）
25．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．
(1)求证：AC＝BD．
(2)求∠APB的度数．
三、填空题
26．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中OA=OD，OB=OC，测得AB=7厘米，EF=9厘米，则圆形容器的壁厚是___________厘米．
27．（2023·八年级课前预习）__________相等的两个三角形全等（可以简写为“_______”或“SSS”）．如图，用符号语言表达为：
在△ABC和△ DEF中
AB=DEBC=EFCA=FD
∴ △ABC ≌△________（SSS）．
28．（2022春·陕西西安·八年级统考期中）用用直尺和圆规作一个角的角平分线示意图如图所示，则说明∠AOC=∠BOC的依据是______（填写：SSS或SAS或ASA或AAS）．
29．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点O既是AA'的中点，也是BB'的中点，若测得AB=5cm，则该内槽A'B'的宽为__________cm．
30．（2022秋·江苏·八年级阶段练习）如图，△EFG和△HIJ都是等边三角形，连接HG，EI交于点P，则∠EPH=_________度．
31．（2023秋·广西北海·九年级校考阶段练习）如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF，∠A＝85°，则∠D＝_____．
32．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）如图，桌面上放置一个等腰直角△ABC，直角顶点C顶着桌面，若另外两个顶点与桌面的距离分别为5cm和3cm，过另外两个顶点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离DE的长度为______cm．
33．（2023春·上海·七年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=_____°．
34．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD=BE，BD=CF．若∠EDF=42°，则∠BAC的度数是______．
35．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则∠FAG的度数为________．
专题02 全等三角形的判定（1）
考点类型
知识串讲
（一）全等三角形的判定——SSS
（1）SSS:如果两个三角形由三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边边边”或简记为（SSS）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
AB=A′B′
BC=B′C′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（二）全等三角形的判定——SAS
（1）SAS:如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（SAS）
（2）书写格式:如图12-2-6所示,在列举两个三角形全等的条件时,一般把夹角写在中间,以突出两边及其夹角对应相等,如:
图12-2-6
在△ABC和△ABC′中,
AB=A′B′
∠A=∠A
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（3）特别提醒:①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满
足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的
顺序.
②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等
（三）尺规作图
（1）作一条线段等于已知线段
已知：线段，作一条线段，？
作法：①用直尺画射线
②用圆规在射线上截取
∴线段AB即为所求
（2）作一个角等于已知角
已知：
求作：
作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA与点D，交OB于点E；
②作射线
③以为圆心,OD长为半径画弧,交于点
④以为圆心,ED长为半径画弧，交上一步所画的弧与
⑤过作射线,为所求
考点训练
考点1：用SSS证明三角形全等
典例1：（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）已知，如图AB=AC，BD=CD，求证：∠ABD=∠ACD
【答案】见详解
【分析】连接AD，证明△ABD≌△ACDSSS即可求得答案．
【详解】证明：连接AD，如图所示，
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACDSSS，
∴∠ABD=∠ACD；
【点睛】本题考查了几何问题，正确作出辅助线是解题关键．
【变式1】（2023秋·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)求证：AB∥DF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，再由平行线的判定即可得出结论．
【详解】（1）解：证明：∵BE=FC，
∴BE+CE=FC+CE，
即BC=FE，
在△ABC和△DFE中，
AB=DFAC=DEBC=FE，
∴△ABC≌△DFE(SSS)；
（2）由（1）知ΔABC≅ΔDFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB∥DF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
【变式2】（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC=BD，AB=ED，BC=BE．求证：∠AFB=2∠ACB．
【答案】见解析
【分析】先根据SSS定理得出△ABC≌△DEB（SSS），故∠ACB=∠EBD，再根据∠AFB是△BFC的外角，可知∠AFB=∠ACB+∠EBD，可得出∠AFB=2∠ACB，故可得出答案．
【详解】解：在△ABC和△BDE中，
AC=BDAB=EDBC=BE
∴△ABC≌△DEB（SSS）
∴∠ACB=∠EBD；
∵∠AFB=∠ACB+∠EBD，
∴∠AFB=2∠ACB
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，同时涉及三角形外角和定理，掌握相关定理知识是解题的关键．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点A、M、N、C在同一条直线上，AB=CD，BN=DM，AM=CN，求证：AB∥CD．
【答案】证明见解析
【分析】根据AB=CD，BN=DM，AM=CN，利用SSS定理证明△ABN≌△CDM，从而得到∠A=∠C，再根据内错角相等，两直线平行，AB∥CD得证．
【详解】证明：∵AM=CN
∴AM+MN=CN+MN
∴AN=CM
在△ABN和△CDM中
AB=CDBN=DMAN=CM，
∴△ABN≌△CDM(SSS)
∴∠A=∠C
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，以及平行线的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定方法，运用全等三角形的性质证明线段和角相等．
考点2：全等的性质与SSS综合
典例2：（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB=AE，AC=AD，BC=DE，∠C=48°，求∠D．
【答案】48°
【分析】根据题意，直接根据SSS证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应角相等，即可求解．
【详解】解：在△ABC和△AED中，
AB=AEBC=DEAC=AD，
∴△ABC≌△AEDSSS，
∴∠D=∠C=48°．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有SSS,SAS,ASA,AAS,HL．
【变式1】（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）阅读下题及证明过程．
已知：如图，AB=AC，∠ABP=∠ACP，求证：∠BAP=∠CAP．
证明：∵AB=AC，∠ABP=∠ACP，PA=PA，
∴△PAB≌△PAC 第一步
∴∠BAP=∠CAP 第二步
上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
【答案】上面的过程不正确．错在第一步．证明过程见解析
【分析】先证明PB=PC，再用SAS或SSS证明△PAB≌△PAC．
【详解】解：上面的过程不正确．
错在第一步．
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABP=∠ACP，
∴∠ABC+∠ABP=∠ACB+∠ACP即∠PBC=∠PCB，
∴PB=PC．
在△PAB和△PAC中
AB=AC∠ABP=∠ACP(或PA=PA)PB=PC
∴△PAB≌△PAC，
∴∠BAP=∠CAP．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．
【变式2】（2022秋·天津宁河·八年级天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知：如图，AB=AE，AC=AD，BC=ED，∠BAC=30°，∠E=50°．
(1)求证：△ABC≌△AED；
(2)求∠ADC的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)80°
【分析】（1）直接利用SSS证明△ABC≌△AED即可；
（2）先根据全等三角形的性质得到∠EAD=∠BAC=30°，再利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）证明：在△ABC和△AED中，
AB=AEAC=ADBC=ED，
∴△ABC≌△AEDSSS；
（2）解：∵△ABC≌△AED，
∴∠EAD=∠BAC=30°，
∴∠ADC=∠E+∠EAD=80°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式3】（2023秋·山西忻州·八年级统考期末）如图，已知AB=DC，AC=DB，求证∠1=∠2．
【答案】见解析
【分析】利用SSS证明△ABC≅△DCB，根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠DCB，∠DBC=∠ACB，再由∠1=∠ABC−∠DBC，∠2=∠DCB−∠ACB，即可得出∠1=∠2
【详解】解：在△ABC和△DCB中，
AB=DCAC=DBBC=CB，
∴△ABC≅△DCB，
∴∠ABC=∠DCB，∠DBC=∠ACB，
又∵∠1=∠ABC−∠DBC，∠2=∠DCB−∠ACB，
∴∠1=∠2
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
考点3：用SAS证明三角形全等
典例3：（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，点E在AD上，DC=DE．求证：∠DAC=∠DBE．
【答案】见解析
【分析】证明△ADC≌△BDE，即可得出结论．
【详解】证明：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADC=∠BDE=90°，
在△ADC和△BDE中，
AD=BD∠ADC=∠BDEDC=DE，
∴△ADC≌△BDESAS，
∴∠DAC=∠DBE．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．
【答案】见解析
【分析】根据线段的和差得到AB=DE，由平行线的性质得到∠A=∠EDF，根据全等三角形的判定定理证得结论．
【详解】证明：∵AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE，
∵AC∥DF，
∴∠A=∠EDF，
在△ABC与△DEF中，
AB=DE∠A=∠EDFAC=DF，
∴△ABC≌△DEFSAS．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，AAS，ASA，SAS，HL等等．
【变式2】（2022秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】见解析
【分析】由BE＝CF可得BC＝EF，再有已知条件进而可得出△ABC≌△DEF．
【详解】证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+EC．
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定．全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在▱ABCD中，点E、F在BD上，△ABE与△CDF全等吗？若全等，写出证明过程；若不全等，请你添加一个条件使它们全等，并写出证明过程．
(1)你添加的条件是__________．
(2)证明过程：
【答案】(1)BE=DF，答案不唯一；
(2)证明见解析；
【分析】（1）根据选择的全等三角形判定方法添加合适的条件即可；
（2）由四边形ABCD是平行四边形得到AB∥CD，AB=CD，得∠ABE=∠CDF，再用上添加的条件，即可证明结论．
【详解】（1）解：BE=DF（答案不唯一）
故答案为：BE=DF（答案不唯一）
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
考点4：全等性质与SAS综合
典例4：（2023春·贵州贵阳·七年级统考期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．
(1)试说明：AC∥DE；
(2)若BF=10，EC=2，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)BC=6
【分析】（1）利用SAS可证明△ABC≌△DFE，可得∠ACB=∠DEF，便可证得AC∥DE；
（2）根据全等三角形的性质可知BC=EF，推出BE=CF，由此即可解决问题．
【详解】（1）证明：在△ABC和△DEF中，
AB=DF∠A=∠DAC=DE，
∴△ABC≌△DFESAS，
∴∠ACB=∠DEF，
∴AC∥DE．
（2）解：∵△ABC≌△DFE，
∴BC=EF，即BE+EC=EC+CF，
∴BE=CF，
∵BF=10，EC=2，
∴BE+CF=BF−EC=8，
∴BE=CF=4，
∴BC=BE+EC=4+2=6．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题．
【变式1】（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考一模）如图，AD，BC相交于点O，且OB=OC，OA=OD．延长AD到F，延长DA到E，AE=DF，连接CF，BE．求证：BE∥CF．
【答案】见解析
【分析】根据OA=OD，AE=DF，可得OE=OF，再利用SAS证明△BOE≌△COF，可得∠E=∠F，即可．
【详解】证明：∵OA=OD，AE=DF，
∴OA+AE=OD+DF，即OE=OF．
∵∠EOB=∠FOC，OB=OC，
∴△BOE≌△COFSAS，
∴∠E=∠F，
∴BE∥CF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式2】（2023春·广东深圳·八年级深圳市南山外国语学校校联考期中）已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．
(1)如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：AC=BD．
(2)如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为__________，∠APB的大小为__________（直接写出结果，不证明）
【答案】(1)证明见解析
(2)AC=BD，α
【分析】（1）利用SAS证明△AOC≌△BOD，即可得到结论；
（2）与（1）同理可证△AOC≌△BODSAS，得到AC=BD，由△AOC≌△BODSAS得到∠OAC=∠OBD，根据对顶角相等和三角形内角和定理得到∠APB=∠AOB=α即可．
【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD．
在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BODSAS，
∴AC=BD；
（2）∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD．
在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BODSAS，
∴AC=BD；
如图②，设AC与OB相交于点E，
∵△AOC≌△BODSAS，
∴∠OAC=∠OBD，
在△AOE和△BEP中，
∠OAC=∠OBD，∠AEO=∠BEP,∠OAC+∠AEO+∠AOB=∠OBD+∠BEP+∠APB=180°，
∴∠APB=∠AOB=α，
故答案为：AC=BD，α
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式3】（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）如图，在△ABC中，点D在AC上，延长DB至点E，使得DE=AB，连接AE，若∠DAE=∠ABD，AE=AC．求证：AD=BC．
【答案】证明见解析
【分析】先根据已知条件和三角形外角的性质证明∠E=∠BAC，进而可用SAS证明△ABC≌△EDA，从而可证明AD=BC．
【详解】证明：∵∠DAE=∠ABD，∠DAE=∠BAE+∠BAC，∠ABD=∠BAE+∠E，
∴∠E=∠BAC，
在△ABC和△EDA中，
AB=ED∠BAC=∠EAC=EA，
∴△ABC≌△EDASAS，
∴AD=BC．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL等等．
考点5：尺规作图——作边
典例5：（2023春·广西南宁·七年级校考阶段练习）如图，已知线段a和线段AB．
(1)延长线段AB到C，使BC=a（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若AB=6，BC=4，点O是线段AC的中点，求线段OB的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】（1）根据线段的尺规作图方法作图即可；
（2）先求出AC=10，再根据线段中点的定义得到AO=5，则OB=AB−AO=1．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：AB=6，BC=4，
∴AC=AB+BC=10，
∵点O是线段AC的中点，
∴AO=12AC=5，
∴OB=AB−AO=1．
【点睛】本题主要考查了线段的尺规作图，与线段中点有关的计算，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式1】（2022秋·陕西榆林·七年级校考期末）如图，已知线段a，b．作一条线段AB，使它等于b−2a．
【答案】见解析．
【分析】作射线AM，在射线AM上截取AC=b，在线段CA上截取CB=2a，则AB=b−2a即可．
【详解】解：如图，线段AB即为所求，
【点睛】本题主要考查了尺规作图，解题关键是掌握作一条线段等于已知线段的作法．
【变式2】（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知线段AB．
(1)请用尺规按下列要求作图：
①延长线段AB到C，使BC=AB，
②延长线段BA到D，使AD=AC（不写画法，但要保留画图痕迹）
(2)请直接回答线段BD与线段AC长度之间的大小关系；
(3)如果AB=2cm，请求出线段BD和CD的长度．
【答案】(1)①见解析 ②见解析
(2)BD>AC
(3)BD=6cm，CD=8cm
【分析】（1）①以点B为圆心，AB长为半径画弧，交AB的延长线于点C；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交BA的延长线于点D，据此即可画得；
（2）依据图形，即可得到线段BD与线段AC长度之间的大小关系；
（3）依据AB=2cm，可得AC=AD=4cm，进而得出BD、CD的长即可．
【详解】（1）解：如图：线段BC、AD即为所求作的线段，
（2）解：∵BC=AB，
∴AC=2AB，
∵AD=AC，
∴AD=2AB，
∴BD=AD+AB=2AB+AB=3AB，
∴BD>AC；
（3）解：∵AC=2AB，BD=3AB，AB=2cm，
∴AC=4cm，BD=6cm，
∵AD=AC，
∴AD=AC=4cm，
∴CD=2AD=8cm．
【点睛】本题主要考查了比较线段的长短，作线段，线段的和差，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
【变式3】（2022秋·福建莆田·七年级校联考期末）已知：如图，线段a和线段b
(1)尺规作图：求作线段AB=a+b，并在线段BA的延长线上，求作线段AC=a−b；(作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹)
(2)若M、N分别是AB、AC的中点，求MN的长(用含a、b的式子表示)．
【答案】(1)见解析
(2)a
【分析】在射线AF上截取AP=b，在射线PF上截取PB=a，则AB=a+b，在射线AE上截取AQ=a，在线段QA上截取QC=b，则AC=a−b；
（2）根据线段中点的性质得出MN=12AC+AB，即可求解．
【详解】（1）解：在射线AF上截取AP=b，在射线PF上截取PB=a，则AB=a+b，
在射线AE上截取AQ=a，在线段QA上截取QC=b，则AC=a−b；
如图所示，AB,AC即为所求；
（2）∵AB=a+b，AC=a−b，M、N分别是AB、AC的中点，
∴AM=12AB，AN=12AC，
∴MN=12AC+AB=12a+b+a−b=a．
【点睛】本题考查了作线段等于已知线段，线段的和差，线段中点的性质，数形结合是解题的关键．
考点6：尺规作图——作角
典例6：（2023春·辽宁阜新·七年级校考阶段练习）如图，已知△ABC，∠C=45°，AC>AB，请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°．
【答案】见解析
【详解】根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可．
【分析】解：如图所示，点P即为所求．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关作图方法是解题的关键．
【变式1】（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）已知∠ABC，O为射线BA上一点，在∠ABC内部，求作∠AOD，使∠AOD=∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】图见解析
【分析】根据作角等于已知角的方法，进行作图即可．
【详解】解：如图所示，∠AOD即为所求；
【点睛】本题考查作角等于已知角．熟练掌握尺规作图方法，是解题的关键．
【变式2】（2023春·山东枣庄·七年级校考期中）如图，已知∠ABC及AB上一点A，
(1)利用三角板，过点A作BC的垂线，垂足为点E，此时线段AE的长为点A到直线BC的距离．
(2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在BC下方以点B为顶点作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂线的定义，作出图形即可；
（2）以点B为圆心，已任意长为半径画弧，交AB于点F，交BC于点G，再以点G为圆心，以FG长为半径，在BC的下方画弧，与之前的弧交于点H，再以点H为圆心，以FG长为半径，在点H下方画弧，与第一个弧交于点K，连接BK，并延长至点D，即可得出∠CBD=2∠ABC．
【详解】（1）解：如图，线段AE即为所求，此时线段AE的长为点A到直线BC的距离．
（2）解：如图，∠CBD即为所求，
【点睛】本题考查作图—复杂作图，垂线，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式3】（2023·山西·模拟预测）如图，OD平分∠AOB，点P为OA上一点．
(1)尺规作图：以P为顶点，作∠APQ=∠AOB，交OD于点Q（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠AOB=60°，求∠DQP的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠DQP=150°．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法作图即可；
（2）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠DQP的度数．
【详解】（1）解：如图即为所求；
；
（2）解：由（1）知PQ∥OB，
∴∠PQO=∠DOB，
∵OD为∠AOB的角平分线，且∠AOB=60°，
∴∠AOD=∠BOD=30°，
∴∠PQO=∠DOB=30°，
∴∠DQP=180°-30°=150°．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．
考点7：尺规作图——作三角形
典例7：（2023春·全国·七年级专题练习）用直尺和圆规作图，要求：不写作法、保留作图痕迹．
已知：△ABC与射线A1M．
求作：△A1B1C1，使得△A1B1C1≌△ABC．
【答案】见解析
【分析】先在射线A1M上截取A1C1=AC，再分别以点A1、C1为圆心，以AB、CB为半径画弧，两弧相交于点B1，则△A1B1C1≌△ABC．
【详解】解：如图，△A1B1C1为所作．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
【变式1】（2021秋·河南商丘·八年级校考期中）人教版初中数学教科书八年级上册第37～38页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
请你根据以上材料完成下列问题：
(1)完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△A'B'C'和△ABC中，
(____)=(____)(____)=(____)(____)=(____)，
∴△A'B'C'≌ ．
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 ．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
【答案】(1)见解析
(2)③
【分析】（1）根据作图信息，利用“SAS”证明三角形全等即可；
（2）利用（1）中证明可得结论．
【详解】（1）证明：在△A'B'C'和△ABC中，
A'C'=AC∠A'=∠AA'B'=AB，
∴△A'B'C'≌△ABC(SAS)．
故答案为：A'C'；AC；∠A'；∠A；A'B'；AB；△ABC；
（2）由（1）可知两个三角形全等的依据是SAS．
故答案为：③
【点睛】本题考查了作图－复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式2】（2022秋·河北邢台·八年级统考期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
已知：线段a，b，c；
求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．
【答案】见解析
【分析】作射线AP，以A为圆心，c为半径画弧，交射线AP于点B，分别以A，B为圆心，以b，a为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC即为所求．
【详解】解：如图所示，△ABC即为所求；
．
【点睛】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式3】（2022春·四川成都·七年级统考期末）已知∠a=90°，线段m，n．
(1)求作：Rt△ABC，使得∠A=∠a，AB=m，BC=n．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明，必须作答）；
(2)若∠ABC的度数是∠ACB的2倍，求∠ABC的度数．
【答案】(1)作图见解析；
(2)60°．
【分析】（1）先作AD⊥AE于A，再在AD上截取AB=m，然后以B点为圆心，n为半径画弧交AE于C，则△ABC满足条件；
（2）根据三角形内角和定理得到∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，则90°+∠ABC+12∠ABC=180°，然后解方程即可．
（1）
解；如图，△ABC为所作；
（2）
解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
而∠BAC=90°，∠ABC=2∠ACB，
∴90°+∠ABC+12∠ABC=180°．
∴∠ABC=60°．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图、三角形内角和定理，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
考点8：尺规作图与全等综合
典例8：（2021·湖南长沙·统考中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△A'B'C'和△ABC中，
B'C'=BC,A'B'=_____,A'C'=_____,
∴△A'B'C'≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
【答案】（1）AB,AC,△ABC；（2）④．
【分析】（1）先根据作图可知A'B'=AB,A'C'=AC，再根据三角形全等的判定定理即可得；
（2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得．
【详解】（1）证明：由作图可知，在△A'B'C'和△ABC中，
B'C'=BCA'B'=ABA'C'=AC，
∴△A'B'C'≅△ABC．
故答案为：AB,AC,△ABC．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS，
故答案为：④．
【点睛】本题考查了利用SSS定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）已知：如图1，在△ABC中，∠CAB=60°．求作：射线CP，使得CP//AB．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点P；
④作射线CP．所以射线CP就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接FP，DE．
∵CF=AD，CP=AE，FP=DE．
∴△ADE≌△__________，
∴∠DAE=∠__________，
∴CP//AB（__________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2）CFP，FCP，同位角相等两直线平行
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用全等三角形的性质证明即可．
【详解】解：（1）如图，射线CP即为所求作．
（2）连接FP，DE．
∵CF=AD，CP=AE，FP=DE．
∴△ADE≌△CFP，
∴∠DAE=∠FCP，
∴CP‖AB（同位角相等两直线平行）．
故答案为：CFP，FCP，同位角相等两直线平行．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）小刚自己研究了用直尺、圆规平分一个已知角的方法：
（1）在OA和OB上分别截取OD=OE．
（2）分别以D，E为圆心，以大于12DE长为半径作弧，在∠AOB的内部两弧交于点C．
（3）作射线OC，则有∠AOC=∠BOC．你能指出作法中的道理吗？
【答案】见解析
【分析】利用画法得到OE=OD，CE=CD，加上OC为公共边，可根据“SSS”证明△COD≌△COE，据此可以得∠AOC=∠BOC．
【详解】解：由作法得：
OE=OD，CE=CD，
而OC为公共边，即OC=OC，
∴△COD≌△COE（SSS），
∴∠AOC=∠BOC．
【点睛】本题考查了基本作图以及全等三角形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
【变式3】（2021秋·北京·八年级校考期中）尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．
【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×．
（1）过一点作一条直线．( )
（2）过两点作一条直线．( )
（3）画一条长为3㎝的线段．( )
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．( )
【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'使∠A'O'B'=∠AOB
作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，____________________；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB．
说理：由作法得已知：OC=O'C',OD=O'D',CD=C'D'
求证：∠A'O'B'=∠AOB
证明：∵OC=O'C'OD=O'D'CD=C'D'
∴ΔOCD≅ΔO'C'D'( )
所以∠A'O'B'=∠AOB( )
【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l与直线外一点A．
求作：过点A的直线l'，使得l//l'．
【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．
【答案】【作图原理】（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；【回顾思考】作法：以点C'为圆心，以CD为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于D'；说理：SSS，全等三角形对应角相等；【小试牛刀】答案见解析；【创新应用】答案见解析．
【分析】[作图原理]根据五种基本作图判断即可；
[回顾思考]利用全等三角形的判定解决问题即可；
[小试牛刀]利用同位角相等两直线平行解决问题即可；
[创新应用]答案不唯一，画出图形，说明设计意图即可．
【详解】解：[作图原理]：（1）过一点作一条直线．可以求作；
（2）过两点作一条直线．可以求作；
（3）画一条长为3cm的线段．不可以求作；
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．可以求作；
故答案为：√，√，×，√；
[回顾思考]：作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
说理：由作法得已知：OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，
求证：∠A'O'B'＝∠AOB．
证明：在△OCD和△O'C'D'中{OC＝O'C'OD＝O'D'CD＝C'D'，
∴△OCD≌△O'C'D'（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等），
故答案为：以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′，SSS，全等三角形的对应角相等；
[小试牛刀]：如图，直线l′即为所求（方法不唯一），
；
[创新应用]：如图所示（答案不唯一），设计意图：书架中隐藏着无限宝藏，
．
【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
同步过关
1．（2022秋·广西玉林·八年级校考阶段练习）如图，AB=AC,∠BAD=∠CAD,AB=6,BD=4,AD=3，则CD等于（ ）
A．6B．4C．3D．5
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定方法得出△BAD≌△CAD，再利用全等三角形的对应边相等即可得出结论
【详解】解：在△BAD和△CAD中，
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△BAD≌△CAD(SAS)，
∴ BD=CD，
∵BD=4，
∴CD=4，
故选：B
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握其相关的性质与判定是解题的关键
2．（2023秋·重庆渝北·八年级重庆市渝北中学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，E， F分别是AB、AC上的点，且AE=AF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（ ）
A．4对B．5对C．6对D．7对
【答案】D
【分析】首先要证明△BCF≌△CBE（SAS），得出BF=CE，再证明△ABF≌△ACE（SAS），得出∠BAD=∠CAD，可以证明AD⊥BC，所以△ABD≌△ACD（HL），△AOE≌△AOF（SAS），△AOB≌△AOC（SAS），得出OE=OF，BO=CO，所以△BOE≌△COF（SSS），△BOD≌△COD（HL），所以一共七对．
【详解】∵AB=AC，AE=AF
∴∠ABC=∠ACB，BE=CF
∵BC是公共边
∴△BCF≌△CBE
∴BF=CE
∵AE=AF，AB=AC
∴△ABF≌△ACF
∴∠BAD=∠CAD
∴AD⊥BC，BD=CD
∴△ABD≌△ACD(HL)
∵∠BAD=∠CAD.AE=AF，AD=AD
∴△AOE≌△AOF
∴OE=OF
∴BO=CO，BE=CF
∴△BOE≌△COF
∵BO=CO，BD=CD，OD是公共边
∴△BOD≌△COD
∵AB=AC，AO=AO，∠BAO=∠CAO，
∴△AOB≌△AOC
∴一共七对
故选D.
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法.
3．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）如图，若已知AE=AC，用“SAS”说明△ABC≌△ADE，还需要的一个条件是（ ）
A．BC=DEB．AB=ADC．BO=DOD．EO=CO
【答案】B
【分析】找到根据“SAS”判定△ABC≌△ADE需要条件，作出证明即可．
【详解】解：还需添加的条件是AB=AD，理由是：
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠A=∠AAE=AC，
∴△ABC≌△ADESAS，
故选：B．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．（2023秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，AB=AC，BD=CE，要使△ABD≌△ACE，添加条件正确的是（ ）
A．∠DAE=∠BACB．∠B=∠C
C．∠D=∠ED．∠B=∠E
【答案】B
【分析】分别根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC，
即∠EAC=∠DAB．
AB=AC，CE=BD，∠EAC=∠DAB，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACE，故A选项不符合题意；
AB=AC，∠B=∠C，CE=BD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABD≌△ACE，故B选项符合题意；
AB=AC，CE=BD，∠D=∠E，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACE，故C选项不符合题意；
AB=AC，CE=BD，∠B=∠E，不符合全等三角形的判定定理．不能推出△ABD≌△ACE，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，灵活选择判定定理是解题的关键．
5．（2022秋·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ABC≌△BAD，则还需添加的一个条件是（ ）
A．AD＝BCB．∠C＝∠DC．AO＝BOD．AC＝BD
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定，已知∠1＝∠2，AB为公共边，所以可添加AC＝BD，根据SAS可证△ABC≌△BAD．
【详解】解：添加AC＝BD，理由如下：
在△ABC和△BAD中，
AC=BD∠1=∠2AB=BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
6．（2022秋·八年级课时练习）图，点C在∠AOB的边OB上，尺规作图痕迹显示的是（ ）
A．作线段CE的垂直平分线B．作∠AOB的平分线
C．连接EN，则△CEN是等边三角形D．作CN//OA
【答案】D
【分析】根据作图得出△ODM≌△CEN（SSS），得出∠MAD=∠NCE，得出OM∥CN即可．
【详解】解：连结EN ,
在△ODM和△CEN中，
OM=CNOD=CEMD=NE，
∴△ODM≌△CEN（SSS），
∴∠MAD=∠NCE，
∴OM∥CN，
故选D．
【点睛】本题考查尺规作图，掌握基本作图，三角形全等判定与性质，平行线的判定是解题关键．
7．（2023秋·福建泉州·八年级泉州第十六中学校考期中）如图，已知∠BAD =∠CAD，则下列不能判定ΔABD≌ΔACD的条件是（ ）．
A．AB=ACB．∠B =∠C
C．BD=CDD．∠ADB =∠ADC
【答案】C
【分析】利用全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA对各项逐一分析即可得出答案．
【详解】A、添加AB=AC可利用SAS判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
B、添加∠B=∠C可利用AAS判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
C、添加条件BD=CD不能判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；
D、添加∠ADB=∠ADC可利用ASA判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握．
8．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE=BC，连接DE．若∠ADE=30°，则∠ADB的度数是( )
A．60°B．71°C．75°D．76°
【答案】C
【分析】根据已知条件可得三角形全等，得∠BDE=∠BDC，∠BDE=∠ADB+30°，∠BDE+∠ADB=180°，可得解．
【详解】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
又∵BE=BC，BD=BD
∴△BDE≌△BDC(SAS)，
∴∠BDE=∠BDC，
∵∠ADE=30°，∠BDE=∠ADB+30°，∠BDC+∠ADB=∠BDE+∠ADB=180°，
∴∠ADB+30°+∠ADB=180°
∴∠ADB=75°，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
9．（2022春·广东梅州·七年级校考阶段练习）下列不能判断两个三角形全等的条件是（ ）
A．有两边及一角对应相等B．有两边及夹角对应相等
C．有三条边对应相等D．有两个角及夹边对应相等
【答案】A
【分析】根据三角形全等的判定定理（SAS、SSS、ASA）逐项判断即可得．
【详解】解：A、有两边及一角对应相等，因为这个角不一定是这两边的夹角，所以不能判断两个三角形全等，则此项符合题意；
B、有两边及夹角对应相等，满足SAS定理，能判断两个三角形全等，则此项不符合题意；
C、有三条边对应相等，满足SSS定理，能判断两个三角形全等，则此项不符合题意；
D、有两个角及夹边对应相等，满足ASA定理，能判断两个三角形全等，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握各判定定理是解题关键．
10．（2022春·山西·七年级山西实验中学校考期中）如图，点C在∠AOB的边OB上，利用尺规过点C作OA的平行线CM，其作图过程如下：在OB上取一点D，以O圆心、OD为半径画弧，弧交OA于点F，再以C圆心、OD为半径画弧，该弧与CB交于点E，再以E为圆心、DF为半径画弧，圆心为C的弧与圆心为E的弧交于点M，作射线CM，则OF=OD=CM=CE，DF=EM，可得△CEM≌△ODF，进而可以得到∠BCM=∠AOB，CM∥OA，以上作图过程中的依据不包括（ ）
A．圆的半径相等B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．同位角相等，两直线平行D．全等三角形的对应角相等
【答案】B
【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图法进行判断即可．
【详解】根据圆的半径相等有：OF=OD=CE=CM，DF=ME，
则有△OFD≌△CME，
根据全等的性质：对应角相等有∠FOD=∠MCE，
根据同位角相等，两直线平行有：CM∥OA，
根据上述证明过程可知：B选项没有作为依据参与证明，
故选：B．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．
11．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠ADC=∠AEBB．AD=AEC．AB=ACD．BE=CD
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定进行解答即可得．
【详解】解：在△ABE和△ACD中，
∠AEB=∠ADC∠A=∠B∠B=∠C
∴无法证明△ABE≌△ACD，
选项A说法错误，符合题意；
在△ABE和△ACD中，
∠A=∠A∠B=∠CAD=AE
∴△ABE≌△ACD（AAS），
选项B说法正确，不符合题意；
在△ABE和△ACD中，
∠A=∠AAB=AC∠B=∠D
∴△ABE≌△ACD（ASA），
选项C说法正确，不符合题意；
在△ABE和△ACD中，
∠A=∠A∠B=∠CBE=CD
∴△ABE≌△ACD（AAS），
选项D说法正确，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定．
12．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，AD＝CF，且AB//DE，判定△ABC≌△DEF的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．HL
【答案】A
【分析】根据所给条件证明△ABC≌△DEFSAS即可；
【详解】解：∵AB//DE
∴∠BAC=∠EDF
∵AD=CF
∴AD+DC=CF+DC
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中
∵AB=DE∠BAC=∠EDFAC=DF
∴△ABC≌△DEFSAS．
故选A
【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件．解题的关键在于找出证明全等的条件．
13．（2022秋·八年级课时练习）如图①，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．
如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步；画射线BP，射线BP即为所求．
下列叙述不正确的是（ ）
A．a>0B．作图的原理是构造SSS三角形全等
C．由第二步可知，DP=EPD．b<12DE的长
【答案】D
【分析】根据用尺规作图法画已知角的角平分线的基本步骤判断即可
【详解】解：A、∵以a为半径画弧，∴a>0，故正确
B、根据作图步骤可知BD=BE，PD=PE，BP=BP，∴△BDP≌△BEP（SSS），故正确
C、∵分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P，∴DP=EP，故正确
D、分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，其中b>12DE，否则两个圆弧没有交点，故错误
故选：D
【点睛】本题考查用尺规作图法画已知角的角平分线及理论依据，熟练尺规作图的基本步骤是关键
14．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE，若∠A＝50°，则∠BDE的度数是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【答案】A
【分析】先由直角三角形的性质得∠B＝90°﹣∠A＝40°，再证△CDE≌△CDA（SAS），得∠CED＝∠A＝50°，然后由三角形的外角性质即可得出答案．
【详解】∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠ACD，
在△CDE和△CDA中，
EC=AC∠ECD=∠ACDCD=CD，
∴△CDE≌△CDA（SAS），
∴∠CED＝∠A＝50°，
又∵∠CED＝∠B+∠BDE，
∴∠BDE＝∠CED﹣∠B＝50°﹣40°＝10°，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．
15．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB=DC，AD=BC，E,F是DB上两点且BF=DE，若∠AEB=100°，∠ADB=30°，则∠BCF的度数为（ ）
A．150°B．40°C．80°D．70°
【答案】D
【分析】先证△ABD≌△CDB(SSS)，得∠ADE=∠CBF，再证△ADE≌△CBF(SAS)，得∠BCF=∠DAE，然后由三角形的外角性质即可得出结论．
【详解】解：在△ABD和△CDB中，
AB=CDAD=CBBD=DB，
∴△ABD≌△CDB(SSS)，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴∠BCF=∠DAE，
∵∠DAE=∠AEB−∠ADE=100°−30°=70°，
∴∠BCF=70°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、解答题
16．（2022春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB．求证：∠A=∠C．
【答案】证明见解析
【分析】连接BD, 证明△ABD≌△CDB,再利用全等三角形的性质可得结论.
【详解】解：连接BD,
∵ 四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，BD=DB,
∴ △ABD≌△CDB,
∴∠A=∠C.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，构建全等三角形，利用SSS证明三角形全等是解题的关键.
17．（2023春·七年级课时练习）如图，点C、E、B、F在同一直线上，CE=BF，AC//DF，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF．
【答案】见解析.
【分析】先由CE=BF，可得BC=EF，继而利用SAS可证明结论．
【详解】解：∵CE=BF，
∴CE+BE=BF+BE，
即BC=EF，
又∵AC//DF，
∴∠C=∠F，
在△ABC和△DEF中，
AC=DF∠C=∠FBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS，ASA，HL，注意SSA、AAA不能判定三角形的全等．
18．（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作直线CD，使得CD//AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）根据作图，说明你画的直线符合要求的原因．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）先过点B作射线BE，且BE过点C，然后作∠ECD=∠B，则直线CD即为所求的平行线；
（2）利用同位角相等，两直线平行即可判断．
【详解】解：（1）先过点B作射线BE，且BE过点C，然后作∠ECD=∠B，
如图，直线CD即为所求的平行线；
（2）由作图可知，∠ECD=∠B，
所以CD//AB，
所以所画直线符合要求．
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，平行线的判定，熟练掌握平行线的同位角相等，两直线平行是解题的关键．
19．（2022秋·广东江门·八年级江门市怡福中学校考期中）已知：如图，点A，C，B，D都在一条直线上，AC=BD，AM=CN，BM=DN．求证：AM∥CN．
【答案】证明见详解．
【分析】首先根据AC=BD可得AB=CD，再加上条件AM=CN，BM=DN, 可利用SSS定理证明△AMB≌△CND即可．
【详解】证明：∵AC=BD，
∴AC+CB=DB+CB，
即：AB=CD，
在△AMB和△CND中，
AM=CNAB=CDBM=DN，
∴△AMB≌△CND（SSS）,
∴∠A=∠NCD，
∴AM∥CN．
【点睛】本题考查三角形全等判定，掌握三角形全等判定定理与方法是解题关键．
20．（2023春·福建漳州·七年级统考期中）如图，△ABC中，点D在BC边上．
(1)在AC边上求作点E，使得∠CDE＝∠ABC； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠A＝65°，求∠AED的度数．
【答案】(1)见解析
(2)115°
【分析】（1）如图，在CD的上方作∠EDC＝∠ABC，DE交AC于点E．
（2）利用平行线的性质求解即可．
【详解】（1）如图，点E即为所求．
（2）∵∠A＝65°，由作图可知，DE//AB，
∴∠AED=180°−∠A=115°
【点睛】本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，熟练掌握两同位角相等，两直线平行、两直线平行，同位角相等是解答本题的关键．
21．（2022秋·甘肃定西·八年级校考阶段练习）如图，已知AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC．求证：△ACD≌△AEB．
【答案】见解析
【分析】由题意易得∠DAC=∠BAE，然后根据“SAS”可证三角形全等．
【详解】解：∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△ACD和△AEB中，AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△ACD≌△AEB（SAS）．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
22．（2023秋·陕西咸阳·八年级校考开学考试）已知：如图，AD＝BC且AD∥BC， E、F是AC上的两点，且AF＝CE．
求证：DE＝BF且DE∥BF．
【答案】见解析
【分析】根据AD＝BC且AD∥BC可证四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAF=∠DCE，然后利用“边角边”证明△ABF和△CDE全等，可得DE=BF，∠DEF=∠BFA，进而得到DE∥BF．
【详解】解：∵AD＝BC且AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCE，
在△ABF和△CDE中，
AB=CD∠BAF=∠DCEAF=CE，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴DE=BF，∠DEF=∠BFA，
∴DE∥BF．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是正确证明△ABF≌△CDE．
23．（2023秋·天津宁河·八年级阶段练习）如图，已知∠1=∠2，AO=BO．求证：AC=BC．
【答案】SAS
【详解】由条件可先证明△AOC≌△BOC，从而不难求得结论．
24．（2023春·陕西西安·七年级西安市西光中学校考阶段练习）尺规作图：如图在三角形ABC中过点A作边BC的平行线AD．（不写画法，保留作图痕迹）
【答案】详见解析
【分析】根据作一个角等于已知角的方法作图即可．
【详解】解：如图，直线AD即为所求作．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．
(1)求证：AC＝BD．
(2)求∠APB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】（1）通过证明△AOC≌△BOD，即可求证；
（2）由（1）可得∠OAC＝∠OBD，从而得到∠PAB+∠PBA＝∠OAB+∠OBA，利用三角形内角和的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD．
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∵∠PBA＝∠ABO+∠OBD，∠OAB =∠PAB +∠OAC，
∴∠PAB+∠PBA＝∠PAB+∠ABO+∠OBD =∠PAB +∠OAC+∠ABO=∠OAB+∠OBA，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAB+∠OBA ＝120°
∴∠PAB+∠PBA＝120°，
∴∠APB＝180°−∠PAB+∠PBA＝180°−120°＝60°．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
三、填空题
26．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中OA=OD，OB=OC，测得AB=7厘米，EF=9厘米，则圆形容器的壁厚是___________厘米．
【答案】1
【分析】只要证明△AOB≌△DOC，可得AB=CD，即可解决问题．
【详解】解：在△AOB和△DOC中，
OA=OD∠AOB=∠DOCBO=OC，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB=CD=7厘米，
∵EF=9厘米，
∴圆柱形容器的壁厚是12×（9-7）=1（厘米），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．
27．（2023·八年级课前预习）__________相等的两个三角形全等（可以简写为“_______”或“SSS”）．如图，用符号语言表达为：
在△ABC和△ DEF中
AB=DEBC=EFCA=FD
∴ △ABC ≌△________（SSS）．
【答案】 三边对应 边边边 △DEF
【解析】略
28．（2022春·陕西西安·八年级统考期中）用用直尺和圆规作一个角的角平分线示意图如图所示，则说明∠AOC=∠BOC的依据是______（填写：SSS或SAS或ASA或AAS）．
【答案】SSS
【分析】根据角平分线的作法可知MO=NO，CO=CO，MC=NC，符合三角形全等的判定方法中的SSS，可证△OMC≌△ONC，即证∠AOC=∠BOC．
【详解】解：由作法知MO=NO，CO=CO，MC=NC，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC．
故答案为：SSS．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．要在作法中找已知条件．
29．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点O既是AA'的中点，也是BB'的中点，若测得AB=5cm，则该内槽A'B'的宽为__________cm．
【答案】5
【分析】利用“SAS”证明△OAB≌△OA′B′，从而得到A′B′＝AB＝5cm．
【详解】解：如图，在△OAB和△OA′B′中OA＝OA'∠AOB＝∠A'OBOB＝OB'' ，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS），
∴A′B′＝AB＝5（cm）．
故答案为5．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，根据示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
30．（2022秋·江苏·八年级阶段练习）如图，△EFG和△HIJ都是等边三角形，连接HG，EI交于点P，则∠EPH=_________度．
【答案】60
【分析】根据等边三角形的性质可证△FIH≌△GJI，再证明△FGH≌△GEI，根据全等三角形的性质可得∠FGH=∠GEI，从而可得∠GEI+∠HGE=60°，根据外角的性质可得∠EPH的度数．
【详解】解：在等边△EFG中，∠F=∠FGE=60°，FG=GE，
∴∠FHI+∠FIH=120°，
在等边△HIJ中，∠HIJ=60°，HI=JI，
∴∠FIH+∠JIG=120°，
∴∠FHI=∠JIG，
在△FIH和△GJI中，
∠F=∠G∠FHI=∠GIJHI=JI，
∴△FIH≌△GJI（AAS），
∴FH=GI，
在△FGH和△GEI中，
FH=GI∠F=∠GFG=GE，
∴△FGH≌△GEI（SAS），
∴∠FGH=∠GEI，
∴∠FGH+∠HGE=60°，
∴∠GEI+∠HGE=60°，
∴∠EPH=60°，
故答案为：60
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
31．（2023秋·广西北海·九年级校考阶段练习）如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF，∠A＝85°，则∠D＝_____．
【答案】85°/85度
【分析】先由AB∥CD证明∠B＝∠C，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠D＝∠A＝85°．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
AB=CD∠B=∠CBE=CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠D＝∠A＝85°．
故答案为：85°．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，找到全等三角形的对应边和对应角并通过推理证明三角形全等的条件是解题的关键．
32．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）如图，桌面上放置一个等腰直角△ABC，直角顶点C顶着桌面，若另外两个顶点与桌面的距离分别为5cm和3cm，过另外两个顶点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离DE的长度为______cm．
【答案】8
【分析】利用互余关系找两个三角形对应角相等，根据等腰直角三角形找对应边相等，两个对应直角相等，判断三角形全等，从而AD=CE，CD=BE，得到DE的长．
【详解】解：∵∠CDA=∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠ACD +∠DAC=∠ACD+∠ECB=∠ECB+∠CBE=90°，
∴∠ACD =∠CBE，∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中
∠DAC=∠ECBCA=BA∠ACD=∠CBE，
∴△ACD≌△CBE（ASA），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD=3+5=8(cm)．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了全等三角形判定及性质的应用；通过三角形全等，对应线段相等，对线段长度进行转化．本题的关键是证明△ACD≌△CBE，利用全等三角形的性质进行等量代换求解．
33．（2023春·上海·七年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=_____°．
【答案】135
【分析】如图，利用“边角边”证明△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4，然后求出∠1+∠3=90°，再判断出∠2=45°，然后计算即可得解．
【详解】解：标注字母，如图所示，
在△ABC和△DEA中，
AB=DE∠ABC=∠DEA=90°BC=EA，
∴△ABC≌△DEASAS，
∴∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
又∵∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．
故答案为：135．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．
34．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD=BE，BD=CF．若∠EDF=42°，则∠BAC的度数是______．
【答案】96°/96度
【分析】根据SAS证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在ΔBDE与ΔCFD中，
BD=CF∠B=∠CBE=CD，
∴ΔBDE≌ΔCFD(SAS)，
∴∠EDB=∠DFC，∠FDC=∠BED，
∵∠EDF+∠BDE+∠FDC=180°，
∵∠B+∠BED+∠EDB=180°，
∴∠B=∠EDF=42°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−42°−42°=96°，
故答案为：96°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的性质和判定是解答本题的关键．
35．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则∠FAG的度数为________．
【答案】30°/30度
【分析】先根据等边三角形的性质得到AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，则由AD＝BE得到BD＝CE，再根据“SAS”可判断△ACE≌△CBD，根据三角形外角性质得到∠CAE＝∠BCD，所以∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，而∠AGF＝90°，利用三角形内角和定理即可求出∠FAG的度数．
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，
∵AD＝BE，
∴BD＝CE，
∵在△ACE和△CBD中
AC=CB∠ACE=∠BCE=BD，
∴△ACE≌△CBD（SAS），
∴∠CAE＝∠BCD，
∵∠AFG＝∠CAF＋∠ACF，
∴∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，
∵AG⊥CD，
∴∠AGF＝90°，
∴∠FAG＝90°−60°＝30°．
故答案为30°．
【点睛】本题考查了本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
已知：△ABC．求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC．作法：如图．（1）画∠DA'E=∠A；
（2）以点A'为圆心，在射线A'D上截取A'B'=AB，在射线AE上截取A'C'=AC；
（3）连接线段B'C'，则△A'B'C'即为所求作的三角形．
已知：△ABC．求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C'=BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B'，A'C'，则△A'B'C'即为所求作的三角形．
已知：△ABC．求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC．作法：如图．（1）画∠DA'E=∠A；
（2）以点A'为圆心，在射线A'D上截取A'B'=AB，在射线AE上截取A'C'=AC；
（3）连接线段B'C'，则△A'B'C'即为所求作的三角形．
已知：△ABC．求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C'=BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B'，A'C'，则△A'B'C'即为所求作的三角形．
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