人教版八年级数学上册重难考点专题03全等三角形的判定(2)(知识串讲+7大考点)特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题03全等三角形的判定(2)(知识串讲+7大考点)特训(原卷版+解析)，共74页。试卷主要包含了5＜AD＜4等内容，欢迎下载使用。

知识串讲
（一）全等三角形的判定（ASA、AAS）
（1）AAS:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的对边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角角边”或简记为（AAS）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
∠B=∠B′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（1）ASA:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的夹边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角边角”或简记为（ASA）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
AB=A′B′
∠B=∠B′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（二）全等三角形的判定（HL）
（1）直角三角形全等
①斜边和一条直角边对应相等（HL）
②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
考点训练
考点1：用ASA证明三角形全等
典例1：（2023·广东广州·统考一模）如图，点F、C是AD上的两点，且BC∥EF，AB∥DE，AC=DF．求证：△ABC≌△DEF．
【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，已知∠B=∠E，AB=AE，∠1=∠2．
(1)求证：△ABC≅△AED；
(2)若∠1=40°，求∠3的度数．
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AE=CF．求证：△AEB≌△CFD．
【变式3】（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF，∠ACB=∠DFE．有下列三个条件：①AC=DF，②AB=DE，③BC=EF．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件______（填写序号，多选不得分），使得△ABC≌△DEF，依据是______（填“ASA”或“AAS”）；
(2)请完成（1）的证明．
考点2：用AAS证明三角形全等
典例2：（2023·广东广州·统考一模）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A=∠D，BE=CF．
求证：△ABE≌△DCF．
【变式1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，点E在△ABC边AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CED=∠BAD．求证：△ABC≌△DEA．
【变式2】（2023·陕西榆林·校考一模）如图，在△ABC和△AED中，AC=DE，∠B=90°，点C在AD上，AB∥DE，连接CE，CE⊥AD．求证：AB=DC．
【变式3】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE．求证：△ABC≌△ADE．
考点3：全等三角形的性质与ASA、AAS综合
典例3：（2023春·广东深圳·七年级深圳大学附属中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1=∠2，AB=ED．
(1)求证：BD=CD．
(2)若∠A=135°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度数．
【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知：如图，在△ABC中，E是AC的中点，点F在AB上，CD∥AB，交FE的延长线于点D．
(1)求证：EF=ED；
(2)若AB=8,CD=6，求BF的长．
【变式2】（2023·江苏无锡·统考一模）如图，△ABC中，∠B=90°，AD∥BC，DE⊥AC，垂足为E．
(1)若∠C=40°，求∠D的度数；
(2)若AD=AC，求证：△DEA≌△ABC．
【变式3】（2023春·江西九江·八年级濂溪一中校考阶段练习）（1）若ma−5n，求a的取值范围．
（2）如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
考点4：添加条件使三角形全等
典例4：（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在五边形ABCDE中，AB=DE，AC=AD．
(1)请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEA，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，若∠CAD=66°，∠B=110°，求∠BAE的度数．
【变式1】（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）如图，在ΔAFD和ΔCEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个选项：①AD=CB；②AE=CF；③DF=BE；④DA∥BC．
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程．
条件为： （填序号）．
结论为： （填序号）．
【变式2】（2022秋·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）课上，老师提出了这样一个问题：
已知：如图，AD=AE，请你再添加一个条件，使得△ADB≌△AEC
(1)同学们认为可以添加的条件并不唯一，你添加的条件是______，并完成证明
(2)若添加的条件是OE=OD，证明：△ADB≌△AEC
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABC中，点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．
(1)若要使ΔACD≌ΔEBD，应添上条件： ；
(2)证明上题；
(3)在△ABC中，若AB＝5，AC=4，可以求得BC边上的中线AD的取值范围是 ．
考点5：灵活选用判定方法证明三角形全等
典例5：（2022秋·湖南株洲·八年级校考期中）如图，AD=CB，AB=CD，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：
(1)△ABC≌△CDA；
(2)BE=DF．
【变式1】（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）将一等腰直角形的三角板△ABC如图放置在平面直角坐标系中，若∠ABC=90°．
(1)若如图①放置时，已知点A(0,−4)，B(1,0)，求点C的坐标；
(2)若如图②放置时，已知点A(0,0)，B(3,1)，求点C的坐标．
【变式2】（2022秋·八年级单元测试）如图，在△ABC和△DEF中，有下列四个等式：①AB=DE；②BE=CF；③AC=DF；④∠A=∠D．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）．题设：__________，结论__________：（写序号）
【变式3】（2022秋·山东威海·八年级统考期中）如图，AD=AC，AB=AE，∠DAB=∠CAE．
(1)写出△ADE与△ACB全等的理由；
(2)判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．
考点6：用HL证明三角形全等
典例6：（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，已知AD,BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN=CM．
求证：△ABM≌△DCN．
【变式1】（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
(1)求证：△ACB≌△BDA．
(2)若∠ABC=35°，求∠CAO的度数．
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点A，D，B，E在同一直线上，AC=EF,AD=BE,∠C=∠F=90°．
(1)求证：△ABC≅△EDF；
(2)∠ABC=57°，求∠ADF的度数．
【变式3】（2023春·七年级单元测试）如图，已知AD、BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN=CM．
(1)求证：△ABM≌△DCN；
(2)试猜想OA与OD的大小关系，并说明理由．
考点7：全等性质与HL综合
典例7：（2023·广东肇庆·统考一模）在△ABC中，点D为BC边上的一点，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，且AE=AF，连接AD，求证S△ABDS△ACD=ABAC．
【变式1】（2023春·山东济宁·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．
【变式2】（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE=CF．
求证：∠ACB=90°．
【变式3】（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E．
(1)若B，C在直线DE的同侧（如图①所示），且AD=CE，求证：
①AB⊥AC；
②DE=BD+CE．
(2)若B，C在直线DE的两侧（如图②所示），且AD=CE，其他条件不变，AB与AC垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
同步过关
一、单选题
1．（2022秋·湖南娄底·八年级校联考期中）如图，已知∠ABC＝∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件，这个条件不能是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠DBCC．AC＝BDD．AB＝DC
2．（2022·四川巴中·中考真题）如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．AB=ACB．∠BAC=90°C．BD=ACD．∠B=45°
3．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期末）如图，一块玻璃被打碎成三块，如果要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是（ ）
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①③去
4．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期中）如图，AC＝DF，∠1＝∠2，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．BF＝CEC．∠A＝∠DD．∠B＝∠E
5．（2022秋·江西赣州·八年级统考期中）下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′，的是（ ）
A．∠A=∠A，∠C=∠C，AC=A′C′
B．∠B=∠B′，BC=B′C′，AB=A′B′
C．∠A=∠A′=80°，∠B=60°，∠C′=40°，AB=A′B′
D．∠A=∠A′，BC=B′C′，AB=A′B′
6．（2023秋·四川内江·八年级校考阶段练习）如图所示，点A在DE上，点F在AB上，且AC=CE，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于（ ）
A．ACB．BCC．AB+BCD．AB
7．（2022秋·北京·八年级北师大实验中学校考期末）根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（ ）
A．AB=3，BC=4，AC=6B．AB=4，∠B=45°，∠A=60°
C．AB=4，BC=3，∠A=30°D．∠C=90°，AB=8，AC=4
8．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期中）如图，AB=DB,∠1=∠2，欲证△ABE≌△DBC，则补充的条件中不正确的是（ ）
A．∠A=∠DB．∠E=∠CC．∠A=∠CD．BC=BE
9．（2022秋·广西钦州·八年级统考期末）如图，已知AF=CE， BE//DF，那么添加下列一个条件后，能判定ΔADF≌ΔCBE的是（ ）
A．∠AFD=∠CEBB．AD//CBC．AE=CFD．AD=BC
10．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）如图，已知AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，下列条件不能判定是△ABM≅ △CDN的是（ ）
A．∠M＝∠NB．BM∥DNC．AB＝CDD．MB＝ND
11．（2022·江苏·八年级专题练习）下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（ ）
A．有两条边分别相等B．有一个锐角和一条边相等
C．有一条斜边相等D．有一直角边和斜边上的高分别相等
12．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠ADC=∠AEBB．AD=AEC．AB=ACD．BE=CD
13．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中（AB≠BC），AB∥CD，AB＝CD，直线EF经过AC和BD的交点O，分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论正确的有（）
①△AOB≌△COD；②OB＝OC；③△AOE≌△COF；④OM＝NF；⑤图中全等的三角形有9对．
A．5个B．4个C．3个D．2个
14．（2022秋·山东德州·八年级校考期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°−12∠ABC；④S△APM+S△CPN>S△APC．
其中结论正确的是（ ）．（填写结论的编号）
A．①②④B．①④C．①②③D．②③④
15．（2022秋·全国·八年级专题练习）在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图是5×7的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
二、填空题
16．（2023秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则________≌△ADC．依据是________，并且BD＝________，∠BAD=________．
17．（2023·全国·八年级统考假期作业）有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等，简写成“________”或用字母表示为“________”.
18．（2023秋·云南大理·八年级统考期中）判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，他们可以分别简写成SSS；SAS；______；______；_______.
19．（2022秋·广西桂林·八年级统考期末）如图，已知D,E是ΔABC中BC边上的两点，且AD=AE，请你再添加一个条件：_______，使ΔABD≌ΔACE
20．（2023春·云南文山·七年级统考期末）如图，已知∠ACB=∠ACD，要用“ASA”说明△ABC≌△ADC，则需添加的一个条件是 _____．
21．（2023·黑龙江佳木斯·统考模拟预测）如图，∠1＝∠2，请添加一个条件使△ABC≌△ABD：_____．
22．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）如图，若∠1=∠2，加上一个条件__，则有△AOC≌△BOC．
23．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）如图，已知A、B、C、D四点在同一直线上，AB=CD,∠A=∠D，请你填一个直接条件，_________，使ΔAFC≅ΔDEB．
24．（2023春·七年级课时练习）如图，图形的各个顶点都在3×3正方形网格的格点上．则∠1+∠2=______．
25．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝_____时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．
三、解答题
26．（2022秋·广东湛江·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．
27．（2022秋·浙江·八年级期末）如图，△ABC的一个顶点A在△DEC的边DE上，AB交CD于点F，且AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3．试说明AB与DE的大小关系．
28．（2023秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠EDC=∠EAC=∠BAD，AC=AE，证明：△ABC≌△ADE．
29．（2023春·山东济南·七年级校考期中）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2，∠C＝∠B．求证：△ACE≌△ABD．
30．（2022秋·江西宜春·八年级校考期中）如图，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．
31．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA．
32．（2023秋·云南昭通·八年级统考期中）如图，点A是线段DE上一点，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥DE，CE⊥DE．求证：△ADB≌△CEA．
33．（2022·陕西·校考二模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE=CD．求证：AF=DE．
34．（2023春·贵州黔西·八年级校考期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,AD=5cm，DE=3cm．
（1）求证△CBE≌△ACD
（2）求线段BE的长

35．（2023春·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=DC．
(1)证明：BE=DF；
(2)若AB=20，DF=6，求AD的长度；
专题03 全等三角形的判定（2）
考点类型
知识串讲
（一）全等三角形的判定（ASA、AAS）
（1）AAS:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的对边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角角边”或简记为（AAS）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
∠B=∠B′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（1）ASA:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的夹边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角边角”或简记为（ASA）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
AB=A′B′
∠B=∠B′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
（二）全等三角形的判定（HL）
（1）直角三角形全等
①斜边和一条直角边对应相等（HL）
②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
考点训练
考点1：用ASA证明三角形全等
典例1：（2023·广东广州·统考一模）如图，点F、C是AD上的两点，且BC∥EF，AB∥DE，AC=DF．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质求出∠BCA=∠EFD，∠A=∠D，根据ASA推出两三角形全等即可．
【详解】解：∵BC∥EF，
∴∠BCA=∠EFD，
∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中
∠A=∠DAC=DF∠BCA=∠EFD，
∴△ABC≌△DEF(ASA)．
【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握角边角的方法证明三角形全等．
【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，已知∠B=∠E，AB=AE，∠1=∠2．
(1)求证：△ABC≅△AED；
(2)若∠1=40°，求∠3的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40°
【分析】（1）先根据∠1=∠2和角的和差可得∠EAD=∠BAC，然后运用ASA即可证明结论；
（2）根据已知可得∠1=∠2=40°，然后根据三角形外角的性质可得∠3=∠2=40°即可．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠2
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠EAD=∠BAC
在△ABC和△AED中
∠B=∠EAB=AE∠BAC=∠EAD
∴△ABC≅△AEDASA．
（2）解：如图：∵∠1=40°
∴∠1=∠2=40°
∵∠AFD=∠2+∠E，∠AFD=∠3+∠B，
∴∠3=∠2=40°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、三角形外角的性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AE=CF．求证：△AEB≌△CFD．
【答案】见解析
【分析】先证明∠BEA=∠DFC=90°，再由平行线的性质得∠BAC=∠DCA，利用ASA即可证明△AEB≌△CFD．
【详解】证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA=∠DFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
在△AEB和△CFD中，
∠BEA=∠DFCAE=CF∠BAE=∠DCF，
∴△AEB≌△CFDASA．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．熟练证明三角形全等是解题的关键．
【变式3】（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF，∠ACB=∠DFE．有下列三个条件：①AC=DF，②AB=DE，③BC=EF．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件______（填写序号，多选不得分），使得△ABC≌△DEF，依据是______（填“ASA”或“AAS”）；
(2)请完成（1）的证明．
【答案】(1)①；ASA（②或③；AAS）
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形全等的判定方法进行选择即可；
（2）根据“ASA”或“AAS”证明△ABC≌△DEF即可．
【详解】（1）解：选择①AC=DF，根据ASA证明△ABC≌△DEF；
②AB=DE或③BC=EF，根据AAS证明△ABC≌△DEF；
故答案为：①；ASA．（②或③；AAS）
（2）证明：选择①；
∵在△ABC和△DEF中∠BAC=∠EDFAC=DF∠ACB=∠DFE，
∴△ABC≌△DEFASA；
选择②；
∵在△ABC和△DEF中∠BAC=∠EDF∠ACB=∠DFEAB=DE，
∴△ABC≌△DEFAAS；
选择③；
∵在△ABC和△DEF中∠BAC=∠EDF∠ACB=∠DFEBC=EF，
∴△ABC≌△DEFAAS．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法“ASA”或“AAS”．
考点2：用AAS证明三角形全等
典例2：（2023·广东广州·统考一模）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A=∠D，BE=CF．
求证：△ABE≌△DCF．
【答案】证明见解析
【分析】先利用两直线平行，内错角相等求出∠B=∠C，再利用“AAS”即可求证．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠B=∠CBE=CF，
∴△ABE≌△DCF
【点睛】本题考查了平行线的性质和利用“AAS”判定两个三角形全等的知识，解题关键是掌握全等三角形的判定条件．
【变式1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，点E在△ABC边AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CED=∠BAD．求证：△ABC≌△DEA．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得出∠DAE=∠C，再证明∠D=∠BAC，根据AAS证明△ABC≌△DEA即可．
【详解】证明：∵BC∥AD，
∴∠DAE=∠C，
∵∠DEC为△ADE的外角，
∴∠DEC=∠DAE+∠D，
∵∠CED=∠BAD，
∴∠DAE+∠D=∠DAE+∠BAC，
∴∠D=∠BAC，
∵AE=BC，
∴△ABC≌△DEAAAS．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，AAS、ASA、SAS、SSS、HL．
【变式2】（2023·陕西榆林·校考一模）如图，在△ABC和△AED中，AC=DE，∠B=90°，点C在AD上，AB∥DE，连接CE，CE⊥AD．求证：AB=DC．
【答案】见解析
【分析】证明△ABC≌△DCE即可．
【详解】证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠D，
∵CE⊥AD，
∴∠B=∠DCE=90°，
∵AC=DE，
∴△ABC≌△DCEAAS，
∴AB=DC．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【变式3】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE．求证：△ABC≌△ADE．
【答案】证明见解析
【分析】由三角形外角的性质及∠1=∠2=∠3可得到∠ADE=∠B，再结合图形并利用恒等变换可得到∠BAC=∠DAE，最后利用AAS即可得证．
【详解】证明：∵∠ADC=∠1+∠B，
即∠ADE+∠3=∠1+∠B，
∵∠1=∠2=∠3，
∴∠ADE=∠B，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠ABC=∠ADE∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△ABC≌△ADEAAS．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，三角形外角的性质．掌握三角形全等的判定是解题的关键．
考点3：全等三角形的性质与ASA、AAS综合
典例3：（2023春·广东深圳·七年级深圳大学附属中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1=∠2，AB=ED．
(1)求证：BD=CD．
(2)若∠A=135°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)75°
【分析】（1）由AB∥CD，得到∠ABD=∠BDC再利用AAS证明△ABD≌△EDC，从而得到结论；
（2）由AB∥CD，∠A=135°，求得∠ADC=45°，因为∠BDC=2∠1，得到∠BDC=30°，再根据BD=CD，利用三角形内角和求得最后结果．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
在△ABD和△EDC中∠1=∠2∠ABD=∠BDCAB=ED，
∴△ABD≌△EDCAAS，
∴BD=CD．
（2）∵AB∥CD，∠A=135°，
∴∠ADC=180°−∠A=45°，
∵∠BDC=2∠1，
∴∠BDC=23∠ADC=30°，
∵BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB=180°−∠BOC2=75°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，证明△ABD≌△EDC是解题的关键．
【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知：如图，在△ABC中，E是AC的中点，点F在AB上，CD∥AB，交FE的延长线于点D．
(1)求证：EF=ED；
(2)若AB=8,CD=6，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据E是AC的中点，可得AE=CE，再由CD∥AB，可得∠A=∠ACD，可证明△AEF≌△CED，即可求证；
（2）根据△AEF≌△CED，可得AF=CD=6，即可求解．
【详解】（1）证明：∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∵CD∥AB，
∴∠A=∠ACD，
在△AEF和△CED中，
∠A=∠ACDAE=CE∠AEF=∠CED
∴△AEF≌△CEDASA，
∴EF=ED．
（2）∵△AEF≌△CED，
∴AF=CD=6，
∵AB=8，
∴BF=AB−AF=8−6=2．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式2】（2023·江苏无锡·统考一模）如图，△ABC中，∠B=90°，AD∥BC，DE⊥AC，垂足为E．
(1)若∠C=40°，求∠D的度数；
(2)若AD=AC，求证：△DEA≌△ABC．
【答案】(1)50°
(2)见解析
【分析】（1）首先根据平行线的性质得到∠DAC=∠C=40°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠D的度数；
（2）直接利用AAS证明即可．
【详解】（1）∵AD∥BC，∠C=40°
∴∠DAC=∠C=40°
∵DE⊥AC
∴∠D=90°−∠DAC=50°；
（2）在△DEA和△ABC中
∠DEA=∠B=90°∠DAE=∠CAD=AC
∴△DEA≌△ABCAAS．
【点睛】此题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式3】（2023春·江西九江·八年级濂溪一中校考阶段练习）（1）若ma−5n，求a的取值范围．
（2）如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
【答案】（1）a<5（2）见解析
【分析】（1）根据不等式性质可得结果．
（2）由四边形ABCD为长方形， 得到四个角为直角， 再由EF与FD垂直， 利用平角定义得到一对角互余， 利用同角的余角相等得到一对角相等， 利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等， 利用全等三角形对应边相等即可得证．
【详解】解：（1）∵m(a−5)n，
∴a−5<0，
解得a<5．
答：a的取值范围为a<5．
（2）证明：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EF⊥DF，
∴∠EFD=90°，
∴∠EFB+∠CFD=90°，
∵∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠CFD，
在△BEF和△CFD中，
∠BEF=∠CFDBE=CF∠B=∠C，
∴△BEF≌△CFD(ASA)，
∴BF=CD．
【点睛】本题考查了不等式的性质，长方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键 ．
考点4：添加条件使三角形全等
典例4：（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在五边形ABCDE中，AB=DE，AC=AD．
(1)请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEA，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，若∠CAD=66°，∠B=110°，求∠BAE的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)136°．
【分析】（1）BC=AE或∠BAC=∠EDA．根据SSS或SAS，证明△ABC≌△DEA即可求解；
（2）根据△ABC≌△DEA得出∠BCA=∠EAD，继而根据三角形内角和定理得出∠BAC+∠ACB=70°，根据∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠DAE=∠CAD+180°−∠B即可求解．
【详解】（1）证明：添加：BC=AE或∠BAC=∠EDA．
∵在△ACB和△DAE中，
AC=DA,BC=EA(∠BAC=EDA),AB=DE,
∴△ABC≌△DEA (SSS)或(SAS)．
（2）∵△ABC≌△DEA，
∴∠BCA=∠EAD，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠DAE
=∠CAD+∠BAC+∠ACB
=∠CAD+180°−∠B
=66°+(180°−110°)
=136°，
∴∠BAE=136°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式1】（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）如图，在ΔAFD和ΔCEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个选项：①AD=CB；②AE=CF；③DF=BE；④DA∥BC．
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程．
条件为： （填序号）．
结论为： （填序号）．
【答案】①②④；③，证明见解析
【分析】条件为：①②④，结论为：③；只需要证明△AFD≌△CEB即可．
【详解】解：条件为：①②④，结论为：③；（答案不唯一）
已知：如图，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，AD=CB，AE=CF，AD∥BC．求证：DF=BE．
证明：∵ AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
∴在△AFD和△CEB中，
AD=CB∠A=∠CAF=CE，
∴△AFD≌△CEB（SAS），
∴DF=BE．
故答案为：①②④；③
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形判定的条件和性质是解答本题的基础．
【变式2】（2022秋·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）课上，老师提出了这样一个问题：
已知：如图，AD=AE，请你再添加一个条件，使得△ADB≌△AEC
(1)同学们认为可以添加的条件并不唯一，你添加的条件是______，并完成证明
(2)若添加的条件是OE=OD，证明：△ADB≌△AEC
【答案】(1)答案不唯一，AB=AC，证明见解析
(2)见解析
【分析】（1）添加条件AB=AC，直接证明△ADB≌△AEC SAS，即可得证；
（2）连接AO，证明△AEO≌△ADOSSS，得出∠ADB=∠AEC，进而证明△AEC≌△ADBAAS，即可得证．
【详解】（1）答案不唯一，添加条件AB=AC，
证明：在△ADB与△AEC中，
AB=AC∠A=∠AAD=AE
∴△ADB≌△AEC SAS，
故答案为：AB=AC；
（2）连接AO，如图，
在△AEO与△ADO中，
AE=ADOE=ODAO=AO，
∴△AEO≌△ADOSSS，
∴∠ADO=∠AEO，
∴∠ADB=∠AEC，
在△ADB与△AEC中，
∠ADB=∠AEC∠A=∠AAD=AE
∴△AEC≌△ADBAAS．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABC中，点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．
(1)若要使ΔACD≌ΔEBD，应添上条件： ；
(2)证明上题；
(3)在△ABC中，若AB＝5，AC=4，可以求得BC边上的中线AD的取值范围是 ．
【答案】(1)AC∥BE或AD=DE（答案不唯一）
(2)见解析
(3)0.5＜AD＜4.5
【分析】（1）若要使△ACD≌△EBD，应添上条件：AC∥BE或AD=DE（答案不唯一）；
（2）由AC与BE平行，得到两内错角相等，再由D为BC的中点，得到BD=CD，利用AAS可得出三角形ACD与EBD全等；
（3）在三角形ABE中，利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边得到AE的取值范围，由D为AE的中点，得到AD的取值范围．
【详解】（1）解：可添加：AC∥BE或AD=DE（答案不唯一）．
（2）证明：∵AC∥BE，
∴∠CAD=∠E，∠ACD=∠EBD，
又∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在△ACD和△EBD中，
∠CAD=∠E∠ACD=∠EBDBD=CD，
∴△ACD≌△EBD（AAS）；
若添加AD=DE．
又∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在△ACD和△EBD中，
AD=ED∠ADC=∠EDBBD=CD，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（3）解：∵△ACD≌△EBD，
∴AD=DE=12AE，BE＝AC=4，
在△ABE中，AE＞AB-BE=5-4=1，AE< AB+BE=5+4=9，
∴1∴0.5故答案为：0.5【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．
考点5：灵活选用判定方法证明三角形全等
典例5：（2022秋·湖南株洲·八年级校考期中）如图，AD=CB，AB=CD，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：
(1)△ABC≌△CDA；
(2)BE=DF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接用SSS即可证明△ABC≌△CDA；
（2）由△ABC≌△CDA，可得出∠ACB=∠DAC，由BE⊥AC，DF⊥AC，
可得出∠BEC=∠DFA=90°，由AAS即可得出△AFD≌△CEB，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在△ABC和△CDA中
AD=CBAB=CDAC=CA
∴△ABC≌△CDASSS
（2）∵△ABC≌△CDA，
∴∠ACB=∠DAC，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEC=∠DFA=90°，
在△AFD和△CEB中，
∠DEA=∠BEC∠DAF=BCEDA=BC，
∴△AFD≌△CEBAAS，
∴BE=DF．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用各种方法进行判定三角形全等是解题的关键．
【变式1】（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）将一等腰直角形的三角板△ABC如图放置在平面直角坐标系中，若∠ABC=90°．
(1)若如图①放置时，已知点A(0,−4)，B(1,0)，求点C的坐标；
(2)若如图②放置时，已知点A(0,0)，B(3,1)，求点C的坐标．
【答案】(1)−3，1
(2)2，4
【分析】（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点D，再利用边角关系证明∴△BCD≅△ABO，求出CD=1，OD=3，即可得出答案；
（2）过B作x轴的垂线，交x轴于点D，过点C作DB的垂线交DB的延长线于点E，再利用边角关系证明△ABD≅△BCE，求出CE=1，DE=4，即可得出答案．
【详解】（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点D，

∵A(0,−4)，B(1,0)，
∴OA=4，OB=1，
∴∠ABC=90°，∠AOB=90°，
∴∠CBD+∠OBA=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
∵AB=BC，∠AOB=∠BDC=90°，
∴△BCD≅△ABO(AAS)，
∴CD=BO=1，BD=AO=4，
∴OD=3，
∴点C坐标为−3，1；
（2）过B作x轴的垂线，交x轴于点D，过点C作DB的垂线交DB的延长线于点E，

∵A(0,0)，B(3,1)，
∴OD=3，BD=1，
∵∠ABC=90°，∠ADB=90°，
∴∠CBE+∠OBD=90°，∠BAD+∠OBD=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
∵AB=BC，∠ADB=∠BEC=90°，
∴△ABD≅△BCE(AAS)，
∴CE=BD=1，BE=AD=3，
∴DE=4，
∴点C的横坐标为3−1=2，
∴点C坐标为2，4．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，利用全等三角形的判定定理证出三角形全等是解题关键．
【变式2】（2022秋·八年级单元测试）如图，在△ABC和△DEF中，有下列四个等式：①AB=DE；②BE=CF；③AC=DF；④∠A=∠D．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）．题设：__________，结论__________：（写序号）
【答案】①②③（或①③④）；④（或②）；已知；求证；证明见解析
【分析】根据全等三角形的判定与性质进行组合、证明即可．
【详解】解：若题设：①②③
结论：④
已知：在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，AC=DF，
求证：∠A=∠D.
证明：∵BE=CF
∴BE+EC=CF+EC
即BC=EF
在△ABC和△DEF中
AB=DEBC=EFAC=DF
∴△ABC≌△DEFSSS
∴∠A=∠D.
若题设：①③④，
结论：②
已知：在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D
求证：BE=CF．
证明： 在△ABC和△DEF中
AB=DE∠A=∠DAC=DF，
∴△ABC≌△DEFSAS，
∴BC=EF，即BE+EC=CF+EC，
∴BE=CF．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解答的关键．
【变式3】（2022秋·山东威海·八年级统考期中）如图，AD=AC，AB=AE，∠DAB=∠CAE．
(1)写出△ADE与△ACB全等的理由；
(2)判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)DF=CF，理由见解析
【分析】（1）由∠DAB＝∠CAE得出∠DAE＝∠CAB，再根据SAS判断△ADE与△ACB全等即可；
（2）由△ADB与△ACE全等得出DB＝EC，∠FDB＝∠FCE，判断△DBF与△ECF全等，最后利用全等三角形的性质可得．
【详解】（1）全等，理由如下：
∵∠DAB＝∠CAE ，
∴∠DAE＝∠CAB ，
在△ADE与△ACB中
AD=AC∠DAE=∠CABAB=AE
∴△ADE≌△ACB（SAS）
（2）DF＝CF，理由如下：
在△ADB与△ACE中
AD=AC∠DAB=∠CAEAB=AE，
∴△ADB≌△ACE（SAS） ，
∴∠DBA＝∠CEA ，
∵△ADE≌△ACB ，
∴∠ABC＝∠AED ，
∴∠DBF＝∠CEF ，
在△DBF与△ECF中
∠DFB=∠CFE∠DBF=∠CEFDB=EC，
∴△DBF≌△CEF（AAS） ，
∴DF＝CF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，此题比较典型．
考点6：用HL证明三角形全等
典例6：（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，已知AD,BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN=CM．
求证：△ABM≌△DCN．
【答案】见解析
【分析】HL证明三角形全等即可．
【详解】证明：∵BN=CM，
∴BN+MN=CM+MN，即BM=CN．
∵AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，
∴∠AMB=∠DNC=90°．
在Rt△ABM和Rt△DCN中，BM=CNAB=CD，
∴Rt△ABM≌Rt△DCNHL．
【点睛】本题考查证明两个三角形全等．熟练掌握HL证明三角形全等，是解题的关键．
【变式1】（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
(1)求证：△ACB≌△BDA．
(2)若∠ABC=35°，求∠CAO的度数．
【答案】(1)见解析
(2)20°
【分析】（1）由HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA即可；
（2）由全等三角形的性质求出∠BAD=35°，由直角三角形的性质求出∠BAC=55°，即可得出所求．
【详解】（1）解：证明：∵∠C=∠D=90°．
∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
AB=BABC=AD，
∴Rt△ACB≌Rt△BDAHL；
（2）∵Rt△ACB≌Rt△BDA，
∴∠BAD=∠ABC=35°，
∵∠BAC=90°−∠ABC=55°，
∴∠CAO=∠BAC−∠BAD=20°．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△ABC≅△BAD是解题关键．
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点A，D，B，E在同一直线上，AC=EF,AD=BE,∠C=∠F=90°．
(1)求证：△ABC≅△EDF；
(2)∠ABC=57°，求∠ADF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)123°
【分析】（1）先说明AB=DE，再根据HL即可证明结论；
（2）由（1）可知∠FDE=∠ABC=57°，再利用平角的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD，
∴AB=DE，
在Rt△ABC和Rt△EDF中，
AC=EF,AB=ED,
∴△ABC≅△EDFHL．
（2）解：∵△ABC≅△EDF，
∴∠FDE=∠ABC=57°，
∴∠ADF=180°−∠FDE=180°−57°=123°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判断与性质是解题的关键．
【变式3】（2023春·七年级单元测试）如图，已知AD、BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN=CM．
(1)求证：△ABM≌△DCN；
(2)试猜想OA与OD的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)OA=OD，理由见解析
【分析】（1）根据HL可证明△ABM≌△DCN；
（2）根据AAS证明△AMO≌△DNO可得结论．
【详解】（1）证明：∵BN=CM，
∴BN+MN=MN+CM，
即CN=BM，
∵AM⊥BC，DN⊥BC，
∴∠AMB=∠DNC=90°，
在Rt△ABM和Rt△DCN中，
AB=CDBM=CN，
∴Rt△ABM≌Rt△DCNHL；
（2）解：OA=OD，理由如下：
∵△ABM≌△DCN，
∴AM=DN，
在△AMO和△DNO中，∠AOM=∠DNO∠AMO=∠DNOAM=DN，
∴△AMO≌△DNOAAS，
∴OA=OD．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
考点7：全等性质与HL综合
典例7：（2023·广东肇庆·统考一模）在△ABC中，点D为BC边上的一点，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，且AE=AF，连接AD，求证S△ABDS△ACD=ABAC．
【答案】见解析
【分析】首先根据全等三角形的判定定理，即可证得Rt△ADE≌Rt△ADFHL，再根据三角形的面积公式即可证得结论．
【详解】证明： ∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA=∠DFA=90°．
∵AD=AD，AE=AF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADFHL，
∴DE=DF，
∴S△ABDS△ACD=12AB⋅DE12AC⋅DF=ABAC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
【变式1】（2023春·山东济宁·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）用HL判定两三角形全等即可证明；
（2）只要证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，BE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△CDFHL；
（2）证明：连接AC，交BD于点O，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，利用平行四边形的性质解决问题．
【变式2】（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE=CF．
求证：∠ACB=90°．
【答案】见解析
【分析】先利用HL △ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC=∠BCF，因为∠EAC+ACE=90°，所以∠ACE+∠BCF=90°，根据平角定义可得∠ACB=90°．
【详解】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，
AC=CBAE=CF，
∴Rt△ACE≌Rt△CBFHL，
∴∠EAC=∠BCF，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACB=180°−90°=90°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【变式3】（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E．
(1)若B，C在直线DE的同侧（如图①所示），且AD=CE，求证：
①AB⊥AC；
②DE=BD+CE．
(2)若B，C在直线DE的两侧（如图②所示），且AD=CE，其他条件不变，AB与AC垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)AB⊥AC，证明见解析
【分析】（1）①由已知条件，证明Rt△ABD≌Rt△CAEHL，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC；②利用全等三角形的性质解决问题即可；
（2）同（1），先证Rt△ABD≌Rt△CAEHL再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC．
【详解】（1）证明：①∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
AB=ACAD=CE，
∴Rt△ABD≌Rt△CAEHL，
∴∠DBA=∠CAE，AE=BD，
∵∠BAD+∠DBA=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∴∠BAC=180°−∠BAD+∠CAE=90°，
∴AB⊥AC；
②∵AD=CE，AE=BD，
∴DE=AD+AE=CE+BD；
（2）解：结论：AB⊥AC．
理由：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
AB=ACAD=CE，
∴Rt△ABD≌Rt△CAEHL，
∴∠DAB=∠ECA．
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，
即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
同步过关
一、单选题
1．（2022秋·湖南娄底·八年级校联考期中）如图，已知∠ABC＝∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件，这个条件不能是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠DBCC．AC＝BDD．AB＝DC
【答案】C
【分析】根据三角形全等的判定条件，非直角三角形，已知一角一边，选择合适的判定条件即可．
【详解】已知两角一边，符合AAS三角形全等的判定条件，故A可以使△ABC≌△DCB；
已知两角一边，符合ASA三角形全等的判定条件，故B可以使△ABC≌△DCB；
已知一角两边，其中一角不是夹角，ASS不构成三角形全等的判定条件，故C不可以使△ABC≌△DCB；
已知一角两边，其中一角是夹角，符合SAS三角形全等的判定条件，故D可以使△ABC≌△DCB；
故选C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，掌握三角形全等的判定条件是解决本题的关键．
2．（2022·四川巴中·中考真题）如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．AB=ACB．∠BAC=90°C．BD=ACD．∠B=45°
【答案】A
【详解】根据AB=AC，AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°
可得Rt△ABD和Rt△ACD全等，四个选 项A符合，
故选A
3．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期末）如图，一块玻璃被打碎成三块，如果要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是（ ）
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①③去
【答案】C
【分析】根据三角形全等的判定定理ASA，即可进行解答．
【详解】解：①只能确定三角形的一个角，无法确定三角形的边，无法确定三角形；
②不能确定三角形的边和角，无法确定三角形，
③确定了三角形的两个角和其夹边，则可确定这个三角形的形状和大小，
故应带③去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用ASA判定三角形全等，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．三角形全等的判定定理有：SSS,SAS,AAS,ASA,HL．
4．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期中）如图，AC＝DF，∠1＝∠2，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．BF＝CEC．∠A＝∠DD．∠B＝∠E
【答案】A
【分析】分别从全等三角形的判定“ASA、AAS、SAS”来添加条件，从而得出答案．
【详解】∵在△ABC和△DEF中，AC＝DF，∠1＝∠2，
∴若从“ASA”的判定来添加条件，可添加∠A＝∠D，
若从“AAS”的判定来添加条件，可添加∠B＝∠E，
若从“SAS”的判定来添加条件，可添加BC＝EF或BF＝EC，
故选：A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
5．（2022秋·江西赣州·八年级统考期中）下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′，的是（ ）
A．∠A=∠A，∠C=∠C，AC=A′C′
B．∠B=∠B′，BC=B′C′，AB=A′B′
C．∠A=∠A′=80°，∠B=60°，∠C′=40°，AB=A′B′
D．∠A=∠A′，BC=B′C′，AB=A′B′
【答案】D
【详解】试题分析：根据三角形全等的判定方法，SSS、SAS、ASA、AAS，逐一检验．
考点：全等三角形的判定
6．（2023秋·四川内江·八年级校考阶段练习）如图所示，点A在DE上，点F在AB上，且AC=CE，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于（ ）
A．ACB．BCC．AB+BCD．AB
【答案】D
【分析】先证明∠D＝∠B，再根据AAS证明△ACB≌△ECD即可，从而得到答案．
【详解】解：如图
∵∠AFD＝∠BFC，∠1＝∠2，
∴∠D＝∠B，
∵∠2＝∠3，
∴∠2+∠ACD＝∠3+∠ACD
∴∠ACB＝∠ECD，
在△ACB和△ECD中，
∠ACB=∠ECD∠B=∠DAC=EC，
∴△ACB≌△ECD（AAS），
∴DE＝AB，
故选D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定条件以及基本性质，解本题的要点在于证明△ACB≌△ECD，从而得到答案．
7．（2022秋·北京·八年级北师大实验中学校考期末）根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（ ）
A．AB=3，BC=4，AC=6B．AB=4，∠B=45°，∠A=60°
C．AB=4，BC=3，∠A=30°D．∠C=90°，AB=8，AC=4
【答案】C
【分析】根据全等三角形的几种判定定理，根据选项中所给的条件，逐条判断是否满足全等三角形的判定定理即可．
【详解】A.AB=3，BC=4，AC=6，符合全等三角形的判定定理SSS，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；
B.AB=4，∠B=45°，∠A=60°，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；
C.AB=4，BC=3，∠A=30°，不符合全等三角形的判定定理SAS，不能画出唯一的△ABC，故本选项符合题意；
D.∠C=90°，AB=8，AC=4，符合全等直角三角形的判定定理HL，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，能够熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．
8．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期中）如图，AB=DB,∠1=∠2，欲证△ABE≌△DBC，则补充的条件中不正确的是（ ）
A．∠A=∠DB．∠E=∠CC．∠A=∠CD．BC=BE
【答案】C
【分析】从已知看，已经有一边和一角相等，则添加一角或夹该角的另一边即可判定其全等，从选项只有第三项符合题意，所以其为正确答案，其他选项是不能判定两个三角形全等的．
【详解】∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DBE=∠2+∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC，∵AB=DB,∠A=∠D，
在△ABE和△DBC中，∠A=∠D,AB=DB,∠ABE=∠DBC,
∴△ABE≌△DBCASA，故A正确；
∵∠E=∠C，
在△ABE和△DBC中，∠E=∠C,∠ABE=∠DBC,AB=DB,
∴△ABE≌△DBCAAS，故B正确；
∵BC=BE，
在△ABE和△DBC中，BE=BC,∠ABE=∠DBC,AB=DB,
∴△ABE≌△DBCSAS，故D正确；
C中条件不能证明△ABE≌△DBC．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，熟练掌握是关键．
9．（2022秋·广西钦州·八年级统考期末）如图，已知AF=CE， BE//DF，那么添加下列一个条件后，能判定ΔADF≌ΔCBE的是（ ）
A．∠AFD=∠CEBB．AD//CBC．AE=CFD．AD=BC
【答案】B
【分析】结合全等的证明方法，对每个选项进行分析即可得出答案．
【详解】解：A选项，BE//DF，即可得到∠AFD=∠CEB，故缺少条件，不能判定；
B选项，AD//CB，可以得到∠A=∠C，结合题意，BE//DF，可得到∠AFD=∠CEB，以及AF=CE，可以根据ASA判断全等，满足题意；
C选项，缺少条件；不满足题意；
D选项，SSA，不能判定，不满足题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等的判断，熟练其判定方法是解决本题的关键．
10．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）如图，已知AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，下列条件不能判定是△ABM≅ △CDN的是（ ）
A．∠M＝∠NB．BM∥DNC．AB＝CDD．MB＝ND
【答案】D
【分析】根据三角形全等的判定定理，有AAS、ASA、SAS、SSS四种．逐条验证．
【详解】解：A、由∠M＝∠N，AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，符合ASA，能判定△ABM≅ △CDN，故不符合题意；
B、由BM∥DN，可得∠ABM＝∠CDN，由AAS能判定△ABM≅ △CDN，故不符合题意；
C、由AB＝CD，AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，符合SAS，能判定△ABM≅ △CDN，故不符合题意；
D、由MB＝ND，AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，不能判定△ABM≅ △CDN，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．
11．（2022·江苏·八年级专题练习）下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（ ）
A．有两条边分别相等B．有一个锐角和一条边相等
C．有一条斜边相等D．有一直角边和斜边上的高分别相等
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．
【详解】A、两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B、一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C、有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．
12．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠ADC=∠AEBB．AD=AEC．AB=ACD．BE=CD
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定进行解答即可得．
【详解】解：在△ABE和△ACD中，
∠AEB=∠ADC∠A=∠B∠B=∠C
∴无法证明△ABE≌△ACD，
选项A说法错误，符合题意；
在△ABE和△ACD中，
∠A=∠A∠B=∠CAD=AE
∴△ABE≌△ACD（AAS），
选项B说法正确，不符合题意；
在△ABE和△ACD中，
∠A=∠AAB=AC∠B=∠D
∴△ABE≌△ACD（ASA），
选项C说法正确，不符合题意；
在△ABE和△ACD中，
∠A=∠A∠B=∠CBE=CD
∴△ABE≌△ACD（AAS），
选项D说法正确，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定．
13．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中（AB≠BC），AB∥CD，AB＝CD，直线EF经过AC和BD的交点O，分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论正确的有（）
①△AOB≌△COD；②OB＝OC；③△AOE≌△COF；④OM＝NF；⑤图中全等的三角形有9对．
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】D
【分析】可以先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质逐个排查即可．
【详解】∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
①∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，∠BAC=∠DCA．
在△AOB与△COD中
∠BAO=∠DCOAB=CD∠ABO=∠CDO，
∴△AOB≌△COD（ASA），①正确；
②假设OB＝OC成立，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝12BD,OC=12AC，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．这与图形矛盾，∠ABC不一定是直角，②错误；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
∵AB∥CD，
∴∠AEO=∠CFO，∠OAE=∠OCF，
∵∠AEO=∠CFO，∠OAE=∠OCF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF（AAS），③正确
④将题图中EF绕O旋转一个角度，得到如下图形，符合题意：
此时显然OM≠NF，④错误；
⑤图中全等的三角形有：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△AOM≌△CON，△AOE≌△COF，△MOD≌△NOB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CAD，△AEM≌△CFN，△BOE≌△DOF，△BNE≌△DMF，
共计10对全等的三角形，⑤错误．
综上所述，正确的结论是：①③，有2个．
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识，掌握并灵活运用平行四边形的性质是解题的关键．
14．（2022秋·山东德州·八年级校考期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°−12∠ABC；④S△APM+S△CPN>S△APC．
其中结论正确的是（ ）．（填写结论的编号）
A．①②④B．①④C．①②③D．②③④
【答案】C
【分析】①过点P做PD⊥AC，根据AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再证明△PDC≌△PNC即可得出结论；②根据BP和CP都是角平分线，结合三角形内角和定理，即可得到∠BPC=12∠ACN−12∠ABC，再根据三角形外角性质，可以得到∠BPC=12(∠BAC+∠ABC)−12∠ABC=12∠BAC，即可得到结论；③由①可得，△PDC≌△PNC，故∠APC=12∠MPN，根据∠PMB=∠PNB=90°，所以∠MPN=180°−∠ABC，代入得∠APC=90°−12∠ABC，即可得出结论；④由①可得△PDC≌△PNC，故S△APM+S△CPN=S△APC，即可得出结论．
【详解】解：①过点P作PD⊥AC，如图，
∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE，
∴PM=PD．
∵BP是∠ABC 的平分线，PN⊥BF，
∴PM=PN，
∴PD=PN．
∵PC=PC，
∴△PDC≌△PNC(HL)，
∴∠PCD=∠PCN，故①正确；
②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCN=12∠ACN．
∵∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB，∠PCB=180°−∠PCN，
∴∠BPC=12∠ACN−12∠ABC．
∵∠ACN=∠ABC+∠BAC，
∴∠BPC=12∠BAC，故②正确；
③由①可得△PDC≌△PNC，同理又易证△PMA≌△PDA(HL)，
∴∠APC=12∠MPN，
∵∠PMB=∠PNB=90°，四边形内角和为360°，
∴∠MPN=180°−∠ABC，
∴∠APC=12∠MPN=90°−12∠ABC，故③正确；
④由①和③可得△PDC≌△PNC，△PMA≌△PDA，
∴S△PDC=S△PNC，S△PMA=S△PDA．
∵S△APC=S△PDC+S△PDA，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④错误；
综上可知正确的有：①②③．
故选C．
【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
15．（2022秋·全国·八年级专题练习）在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图是5×7的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
【答案】B
【分析】根据图形可知BC＝DE，再根据全等三角形的判定定理得出答案即可．
【详解】解：
与△ABC全等的三角形有△DEF，△DEQ，△DER，△DEW，共4个三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
二、填空题
16．（2023秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则________≌△ADC．依据是________，并且BD＝________，∠BAD=________．
【答案】 △ADB HL CD ∠CAD
【分析】由AD⊥BC,可得∠ADB=∠ADC=90°，结合AB=AC,AD=AD， 利用斜边直角边判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质可得结论．
【详解】解：∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AB=AC，AD=AD，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL)，
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD.
故答案为：△ADB，HL，CD， ∠CAD.
【点睛】本题考查的是直角三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
17．（2023·全国·八年级统考假期作业）有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等，简写成“________”或用字母表示为“________”.
【答案】 斜边 直角边 斜边直角边 HL
【分析】利用HL定理解答即可.
【详解】有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”.
故答案为斜边；直角边；斜边直角边；HL.
【点睛】本题考查HL定理，熟练掌握该定理是解题关键.
18．（2023秋·云南大理·八年级统考期中）判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，他们可以分别简写成SSS；SAS；______；______；_______.
【答案】 ASA AAS HL
【分析】根据全等三角形的判定定理进行填空．
【详解】解：判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，它们分别可以简写成 SSS；SAS；ASA； AAS； HL．
故答案为 ASA、AAS、HL．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19．（2022秋·广西桂林·八年级统考期末）如图，已知D,E是ΔABC中BC边上的两点，且AD=AE，请你再添加一个条件：_______，使ΔABD≌ΔACE
【答案】BE=CD(∠B=∠C)
【详解】试题分析：添加AB=AC⇒∠B=∠C；AD=AE⇒∠ADC=∠AEB，就可以用AAS判定△ABE≌△ACD；添加BD=CE可以用SAS判定△ABE≌△ACD；添加∠B=∠C就可以用AAS判定△ABE≌△ACD；添加∠BAE=∠CAD可以用ASA判定△ABE≌△ACD．所以填AB=AC或BD=CE或∠B=∠C或∠BAE=∠CAD．
考点：全等三角形的判定．
20．（2023春·云南文山·七年级统考期末）如图，已知∠ACB=∠ACD，要用“ASA”说明△ABC≌△ADC，则需添加的一个条件是 _____．
【答案】∠BAC=∠DAC/∠DAC=∠BAC
【分析】已知∠ACB=∠ACD，且有公共边AC=AC，根据“角边角”的判定方法可得答案．
【详解】解：添加条件∠BAC=∠DAC．
在△ABC和△ADC中，∠ACB=∠ACDAC=AC∠BAC=∠DAC，
∴△ABC≌△ADCASA，
故答案为：∠BAC=∠DAC．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
21．（2023·黑龙江佳木斯·统考模拟预测）如图，∠1＝∠2，请添加一个条件使△ABC≌△ABD：_____．
【答案】答案不唯一，AD＝AC或∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC
【分析】根据题意和图形可得∠1＝∠2，AB＝AB，然后即可写出使△ABC≌△ABD的一个条件，本题得以解决，注意本题答案不唯一．
【详解】解：∵∠1＝∠2，AB＝AB，
∴若添加条件AD＝AC，则△ABC≌△ABD（SAS），
若添加条件∠D＝∠C，则△ABC≌△ABD（AAS），
若添加条件∠ABD＝∠ABC，则△ABC≌△ABD（ASA），
故答案为：AD＝AC或∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．
22．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）如图，若∠1=∠2，加上一个条件__，则有△AOC≌△BOC．
【答案】∠A=∠B
【详解】在△AOC和△BOC中，∠A=∠B∠1=∠2OC=OC，
∴△AOC≌△BOC(AAS).
故答案为∠A=∠B.
23．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）如图，已知A、B、C、D四点在同一直线上，AB=CD,∠A=∠D，请你填一个直接条件，_________，使ΔAFC≅ΔDEB．
【答案】∠ACF=∠DBE（或∠E=∠F，或AF=DE）
【分析】根据全等三角形的判定，可得答案．
【详解】解：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD．
∵∠A=∠D；
添加∠ACF=∠DBE，可利用ASA证明ΔAFC≅ΔDEB；
添加∠E=∠F，可利用AAS证明ΔAFC≅ΔDEB；
添加AF=DE，可利用SAS证明ΔAFC≅ΔDEB；
故答案为：∠ACF=∠DBE（或∠E=∠F，或AF=DE）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定并选择适当的方法证明是解题关键．
24．（2023春·七年级课时练习）如图，图形的各个顶点都在3×3正方形网格的格点上．则∠1+∠2=______．
【答案】45°/45度
【分析】通过证明三角形全等得出∠1=∠3，再根据∠1+∠2=∠3+∠2 即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
由题意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中，
∵{AB=EF∠B=∠EFC=90°BC=FC
∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS）
∴∠3=∠1
∵∠2+∠3=90°
∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°
故答案为：45°
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出∠1=∠3是解题的关键．
25．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝_____时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．
【答案】10或20
【分析】分两种情况：①当AP=BC=10时；②当AP=CA=20时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．
【详解】解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ=90°，
∴∠C=∠PAQ=90°，
分两种情况：
①当AP=BC=10时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
AB＝PQBC＝AP，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP=CA=20时，
在△ABC和△PQA中，
AB＝PQAP＝AC，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP=10或20时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：10或20．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中．
三、解答题
26．（2022秋·广东湛江·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．
【答案】见解析
【分析】根据AB∥CD，可得∠ABD＝∠EDC，利用AAS证明△ABD≌△EDC，即可得结论．
【详解】解：证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
∠1=∠2∠ABD=∠EDCAB=ED，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴DB＝CD．
【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形全等的证明，解题的关键是根据题意找到证明三角形全等需要的条件．
27．（2022秋·浙江·八年级期末）如图，△ABC的一个顶点A在△DEC的边DE上，AB交CD于点F，且AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3．试说明AB与DE的大小关系．
【答案】AB=DE，证明见解析
【分析】由已知条件易证得∠B= ∠D，∠BCA =∠DCE，利用AAS可证得△ABC≌△EDC，从而可得AB= ED．
【详解】∵∠1=∠2，∠AFD=∠BFC，
∴∠B=∠D，
又∵∠2=∠3，
∴∠2+∠ACD=∠3+∠ACD，
即∠BCA=∠DCE，
在△ABC和△EDC中，
∠B=∠D∠BCA=∠DCEAB=ED
∴△ABC≌△EDC (AAS)，
∴AB=ED．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是证得∠B=∠D，∠BCA=∠DCE．
28．（2023秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠EDC=∠EAC=∠BAD，AC=AE，证明：△ABC≌△ADE．
【答案】证明见解析．
【分析】先证明∠C=∠E,∠BAC=∠DAE, 再利用角边角证明△ABC≌△ADE即可．
【详解】证明：∵∠EDC=∠EAC，∠AFE=∠CFD，
∴∠C=∠E，
∵∠EAC=∠BAD，
∴∠DAE=∠BAC，
∵在△ABC与△ADE中，
∠C=∠EAC=AE∠BAC=∠DAE，
∴△ABC≌△ADEASA．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形全等的判定，掌握角边角证明三角形全等是解题的关键．
29．（2023春·山东济南·七年级校考期中）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2，∠C＝∠B．求证：△ACE≌△ABD．
【答案】见解析．
【分析】首先得出∠EAC＝∠BAD，进而利用全等三角形的判定方法（ASA）得出即可．
【详解】∵∠1＝∠2，
∴∠EAC＝∠BAD，
在△DAB和△EAC中
∠B=∠CAB=AC∠BAD=∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（ASA）
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，正确应用全等三角形的判定方法是解题关键．
30．（2022秋·江西宜春·八年级校考期中）如图，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．
【答案】见解析
【分析】结合题意可得∠A=∠A，再根据全等三角形的判定ASA得到△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质可得答案．
【详解】证明：∵在△ABE和△ACD中
∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，
∴△ABE≌△ACDASA，
∴AD=AE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定ASA和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定ASA和性质．
31．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA．
【答案】证明见解析
【分析】在Rt△ACB和Rt△BDA中，利用HL定理判定即可．
【详解】证明：∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB和△BDA都是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
AB=BAAD=BC
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，牢记判定定理并能够灵活应用是解题关键．
32．（2023秋·云南昭通·八年级统考期中）如图，点A是线段DE上一点，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥DE，CE⊥DE．求证：△ADB≌△CEA．
【答案】见解析
【分析】利用全等三角形的判定定理AAS，即可证明．
【详解】证明：∵BD⊥DE,CE⊥DE，
∴∠D=∠E=90°，
∴∠DBA+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
{∠D=∠E∠DBA=∠EACAB=CA，
∴△ADB≌△CEA(AAS)．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
33．（2022·陕西·校考二模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE=CD．求证：AF=DE．
【答案】见解析
【分析】证△AEF≌△DCE，利用全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】证明：∵矩形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠CEF=90°，
∴∠AEF+∠CED=180°-∠CEF=90°，
∴∠AFE=∠CED，
在△AEF和△DCE中，
∠AFE=∠DEC∠A=∠DAE=DC，
∴△AEF≌△DCE(AAS)，
∴AF=DE．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等本角形的判定与性质，熟练掌握利用证三角形全等，从而得到线段相等是解题的关键．
34．（2023春·贵州黔西·八年级校考期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,AD=5cm，DE=3cm．
（1）求证△CBE≌△ACD
（2）求线段BE的长

【答案】(1)见解析；（2）2cm
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS推知：△ADC≌△CEB；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等得到：AD=CE=5cm，CD=BE．则根据图中相关线段的和差关系得到BE=AD-DE．
【详解】（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠CAD（同角的余角相等），
在△ADC与△CEB中
∠ADC＝∠CEB∠CAD＝∠BCEAC＝BC,
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB，
则AD=CE=5cm，CD=BE．
∵CD=CE-DE，
∴BE=AD-DE=5-3=2（cm），
即BE的长度是2cm．
【点睛】考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
35．（2023春·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=DC．
(1)证明：BE=DF；
(2)若AB=20，DF=6，求AD的长度；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD得到CE=CF，∠F=∠CEB=90°，结合BC=DC即可得到△BCE≌△DCF(HL)，即可得到证明；
（2）根据△BCE≌△DCF得到DF=BE，根据CE=CF，AC=AC即可得到△ACF≌△ACE(HL)，即可得到AE=AF，结合AB=20，DF=6即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
BC=DCCE=CF
∴△BCE≌△DCF(HL)，
∴BE=DF；
（2）解：∵△BCE≌△DCF，
∴DF=BE，
在△ACF和△ACE中，
FC=ECAC=AC
∴△ACF≌△ACE(HL)，
∴AE=AF，
∵AB=20，DF=6，
∴AF=AE=AB−BE=20−6=14，AD=AF−DF=14−6=8，；
【点睛】本题考查三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线得到三角形全等的条件．