人教版八年级数学上册重难考点专题04三角形单元过关(基础版)特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题04三角形单元过关(基础版)特训(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．（2022秋·山东·八年级校考阶段练习）以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cmB．1cm、5cm、6cmC．1cm、3cm、3cmD．2cm、4cm、7cm
2．（2023秋·宁夏固原·八年级校考阶段练习）四边形的内角和等于（ ）
A．180°B．270°C．360°D．150°
3．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在ΔABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40∘，∠ACD=120∘，则∠A等于（ ）
A．80∘B．70∘C．60∘D．50∘
4．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期中）若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的取值范围是（ ）
A．15．（2023春·福建三明·八年级统考期末）若一条直线将四边形分割成两个多边形，设这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（ ）
A．720°B．630°C．540°D．360°
6．（2022春·贵州毕节·七年级校考阶段练习）电力公司需要制作一批如图1所示的安全用电标记图案，该图案可以抽象为如图2所示的几何图形，其中AB∥DC，BE∥FC，点E，F在AD上，且∠A=15°，∠B=65°，则制作时∠AFC的度数是（ ）

A．50°B．65°C．80°D．90°
7．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，CO是△ABC的角平分线，过点B作BD//AC交CO延长线于点D，若∠A=45°，∠AOD=80°，则∠CBD的度数为（ ）
A．100°B．110°C．125°D．135°
8．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市安吉路实验学校校考期中）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：6，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
9．（2022秋·宁夏吴忠·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=128°，P1是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（ ）
A．2°B．4°C．8°D．16°
10．（2022秋·江西赣州·八年级期中）将两个直角三角板如图摆放，其中∠BCA=∠EDF=90°，∠E=45°，∠A=30°，BC与DE交于点P，AC与DF交于点Q．若AB∥EF，则∠DPC−∠DQC=（ ）
A．40°B．32.5°C．45.5°D．30°
第II卷（非选择题）
11．（2022春·吉林长春·七年级统考期末）如图是一个正多边形的玻璃碎片，这个正多边形的边数为______．
12．（2023秋·天津红桥·八年级校联考期中）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=110°，∠2=40°，则∠3=______°．
13．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考阶段练习）一个三角形三边长分别为m，7，2，则偶数m可能是________．
14．（2022秋·福建三明·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝35°，△ABC的外角∠ACD＝75°，则∠A＝_____度．
15．（2023秋·云南玉溪·八年级统考期中）如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD=70°，∠ADE=149°，则∠A的度数为________．

16．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，将△ABC按如图方式进行折叠，使点A与BC边上的点F重合，折痕分别与AC,AB交于点D，点E．下列结论：①∠1=∠2；②∠1+∠2=90°；③∠3+∠B=90°；④DF∥AB．其中一定正确的结论序号为______．
17．（2023·江苏无锡·一模）如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题．
(1)将表格补充完整．
(2)观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为 ．
(3)根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝ ．
18．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE=∠EFC．
(1)请说明DE∥BC；
(2)若∠A=60°，∠ACB=72°，求∠CDE的度数．
19．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=100°，∠D=140°．
(1)当∠B=∠BCD时，求∠B的度数．
(2)∠BCD的平分线交AB于点E，当CE∥AD时，求∠B的度数．
20．（2023秋·河南驻马店·八年级校联考期中）（1）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A=42°，求∠BOC的度数；
（2）把（1）中∠A=42°这个条件去掉，试探索∠BOC和∠A之间有怎样的数量关系．
21．（2023秋·四川广安·八年级统考期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
(1)若∠B=35°，∠E=25°，求∠CAE的度数；
(2)证明：∠BAC=∠B+2∠E．
22．（2022春·全国·七年级假期作业）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．
（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠C＝70°，∠2＝80°，∠4＝65°，求∠FGD的度数．
23．（2023秋·全国·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．
（1）若∠B = 50°，∠C = 72°，求∠EAD的度数；
（2）若∠B、∠C的度数未知，求证：∠EAD =12（∠C－∠B）．
24．（2023春·江苏无锡·七年级江苏省天一中学校考期中）【概念认识】在四边形ABCD中，∠A=∠B，如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足∠DPC=∠A，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．
【初步思考】
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”，若DA∥CP，DP∥CB，则∠DPC的度数为 °；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点P在四边形ABCD内部且是四边形ABCD的“映角点”，延长CP交边AB于点E，求证：∠ADP=∠CEB．
【综合运用】在四边形ABCD中，∠A=∠B=α，点P是四边形ABCD的“映角点”，DE、CF分别平分∠ADP、∠BCP，当DE和CF所在直线相交于点Q时，请直接写出∠CQD与α满足的关系式．
25．（2023秋·福建泉州·七年级校联考期末）如图，直线a，b被EF所截，点A是EF上一点，点B是直线a上的点，∠ABE的平分线BC交直线b于点C，点D是BC上的一点，连接FD，∠DFE＝2∠DFC＝2α，∠BEF＝3α，∠BDF＝β．
(1)求证：a∥b；
(2)求∠ABE的大小（用含α、β的式子表示）；
(3)若∠BAF∠BDF＝52，判断∠ABE与∠EFC的关系，并说明理由．
专题04 三角形单元过关（基础版）
考试范围：第十一章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．（2022秋·山东·八年级校考阶段练习）以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cmB．1cm、5cm、6cmC．1cm、3cm、3cmD．2cm、4cm、7cm
【答案】C
【分析】计算三条线段中最短的两条线段之和，与最长的线段进行比较，满足最短的两条线段之和大于最长的线段，则这三条线段可以作为三角形的三边，从而可得答案．
【详解】解：A．∵1+2=3，故选项A中三条线段不能作为三角形的三边，故A不符合题意；
B．∵1+5=6 ，故选项B中三条线段不能作为三角形的三边，故B不符合题意；
A．∵1+3>3 ，故选项C中三条线段能作为三角形的三边，故C符合题意；
A．∵2+4<7 ，故选项D中三条线段不能作为三角形的三边，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，掌握“三角形的三边关系”是解本题的关键．
2．（2023秋·宁夏固原·八年级校考阶段练习）四边形的内角和等于（ ）
A．180°B．270°C．360°D．150°
【答案】C
【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，代入公式就可以求出内角和．
【详解】解：（4-2）•180°=360°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．
3．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在ΔABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40∘，∠ACD=120∘，则∠A等于（ ）
A．80∘B．70∘C．60∘D．50∘
【答案】A
【分析】根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，经计算即可得到答案．
【详解】解：∵D是BC延长线上一点，
∴∠ACD=∠A+∠B，
∵∠B=40°，∠ACD=120°，
∴∠A=80∘
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质，从而完成求解．
4．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期中）若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的取值范围是（ ）
A．1【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边即可得到答案．
【详解】解：4−3∴1故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．
5．（2023春·福建三明·八年级统考期末）若一条直线将四边形分割成两个多边形，设这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（ ）
A．720°B．630°C．540°D．360°
【答案】B
【分析】根据题意可得直线把四边形分成两个多边形，可能为以下几种情况：三角形和五边形，四边形和四边形，三角形和三角形，三角形和四边形；然后分别求和即可排除选项．
【详解】解：由题意得：
①当分割成一个三角形和一个五边形，则a+b=720°；
②当分割成一个四边形和一个四边形，则a+b=720°；
③当分割成一个三角形和一个三角形，则a+b=360°；
④当分割成一个三角形和一个四边形，则a+b=540°；
A、C、D都符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查多边形内角和，关键是根据题意得到分割的图形的可能性，然后根据多边形内角和求解即可．
6．（2022春·贵州毕节·七年级校考阶段练习）电力公司需要制作一批如图1所示的安全用电标记图案，该图案可以抽象为如图2所示的几何图形，其中AB∥DC，BE∥FC，点E，F在AD上，且∠A=15°，∠B=65°，则制作时∠AFC的度数是（ ）

A．50°B．65°C．80°D．90°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理，得∠AEB=100°，结合BE∥FC，得∠DFC =100°，进而即可求解．
【详解】∵∠A=15°，∠B=65°，
∴∠AEB=180°-15°-65°=100°，
∵BE∥FC，
∴∠DFC=∠AEB=100°，
∴∠AFC=180°-100°=80°，
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和平行线的性质定理，掌握平行线的性质定理，是解题的关键．
7．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，CO是△ABC的角平分线，过点B作BD//AC交CO延长线于点D，若∠A=45°，∠AOD=80°，则∠CBD的度数为（ ）
A．100°B．110°C．125°D．135°
【答案】B
【分析】先根据三角形的外角性质可求出∠OCA=35°，再根据角平分线的定义、平行线的性质可得∠D=35°,∠BCD=35°，然后根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】∵∠A=45°，∠AOD=80°
∴∠OCA=∠AOD−∠A=35°
∵CO是△ABC的角平分线
∴∠BCD=∠OCA=35°
∵BD//AC
∴∠D=∠OCA=35°
则在△BCD中，∠CBD=180°−∠D−∠BCD=110°
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练运用各定理与性质是解题关键．
8．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市安吉路实验学校校考期中）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：6，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
【答案】D
【分析】利用三角形内角和定理可求出各内角的度数，再进行判断即可．
【详解】由题意可设三个内角分别为2x°，3x°，6x°，
由三角形内角和定理可知：2x+3x+6x=180，解得x=18011，
∴6x=108011＞90，
所以三角形为钝角三角形，
故选D．
【点睛】此题考查三角形内角和定理，由条件计算出角的大小是解题的关键．
9．（2022秋·宁夏吴忠·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=128°，P1是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（ ）
A．2°B．4°C．8°D．16°
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义得∠P1BC=12∠ABC，∠P1CE=12∠ACE，再根据三角形外角性质得∠ACE=∠A+∠ABC，∠P1CE=∠P1BC+∠P1，然后整理可得∠P1=12∠A，同理得到结论．
【详解】解：∵P1是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点，
∴∠P1BC=12∠ABC，∠P1CE=12∠ACE，
∵∠ACE=∠A+∠ABC，∠P1CE=∠P1BC+∠P1，
∴12∠A+∠ABC=∠P1BC+∠P1=12∠ABC+∠P1，
∴∠P1=12∠A=12×128°=64°，
同理∠P2=12∠P1=32°，
进而可知∠P6=2°，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的计算，三角形外角的性质等，熟练掌握三角形内角和定理及三角形外角的性质是解答此题的关键．
10．（2022秋·江西赣州·八年级期中）将两个直角三角板如图摆放，其中∠BCA=∠EDF=90°，∠E=45°，∠A=30°，BC与DE交于点P，AC与DF交于点Q．若AB∥EF，则∠DPC−∠DQC=（ ）
A．40°B．32.5°C．45.5°D．30°
【答案】D
【分析】根据常用直角三角板的角度，先把各角表示出来，再利用平行线性质及外角性质分别求出∠DPC和∠DQC，作差即可．
【详解】解：在RtΔABC中，∠BCA=90°，∠A=30°,则∠B=60°,
在RtΔDEF中，∠EDF=90°，∠E=45°,则∠F=45°,
∵ AB∥EF,
∴∠ACF=∠A=30°,∠BCE=∠B=60°,
∴∠DPC=∠E+∠BCE=45°+60°=105°,∠DQC=∠F+∠ACF=45°+30°=75°,
∴∠DPC−∠DQC=105°−75°=30°,
故选：D．
【点睛】本题考查求角度问题，涉及到常见三角板的内角、平行线性质和外角性质，准确将题中数据与图形对应起来得到关系是解决问题的关键．
第II卷（非选择题）
11．（2022春·吉林长春·七年级统考期末）如图是一个正多边形的玻璃碎片，这个正多边形的边数为______．
【答案】5
【分析】先补全面图形，从而可得结论．
【详解】解：如图，这个多边形是正五边形．
故答案为：5
【点睛】本题考查正多边形的含义，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
12．（2023秋·天津红桥·八年级校联考期中）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=110°，∠2=40°，则∠3=______°．
【答案】70
【分析】先根据平行线的性质求出∠4的度数，由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，故可得出∠3+∠2的度数，即可得出结论．
【详解】
∵a∥b，
∴∠4=∠1=110°，
∵∠3+∠2=∠4 ，∠2=40° ，
∴∠3=∠4−∠2==110°−40°=70°，
故答案为70.
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的外角性质.
13．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考阶段练习）一个三角形三边长分别为m，7，2，则偶数m可能是________．
【答案】6或8/8或6
【分析】利用三角形三边关系得出m的取值范围，进而求解．
【详解】解：∵一个三角形三边长分别为m，7，2，
∴7−2即5∵m是偶数，
∴m可能是6或8，
故答案为：6或8．
【点睛】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．
14．（2022秋·福建三明·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝35°，△ABC的外角∠ACD＝75°，则∠A＝_____度．
【答案】40
【分析】根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠ACD=∠A+∠B，∠B=35°，∠ACD=75°，
∴∠A=75°-35°=40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
15．（2023秋·云南玉溪·八年级统考期中）如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD=70°，∠ADE=149°，则∠A的度数为________．

【答案】39°
【分析】根据平角的定义求出∠ABD，根据三角形的外角性质得出∠ADE＝∠ABD+∠A，代入即可求出答案．
【详解】解：∵∠ABD+∠CBD＝180°，∠CBD＝70°，
∴∠ABD＝110°，
∵∠ADE＝∠ABD+∠A，∠ADE＝149°，
∴∠A＝39°．
故答案为：39°
【点睛】本题主要考查对三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用三角形的外角性质进行计算是解此题的关键．
16．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，将△ABC按如图方式进行折叠，使点A与BC边上的点F重合，折痕分别与AC,AB交于点D，点E．下列结论：①∠1=∠2；②∠1+∠2=90°；③∠3+∠B=90°；④DF∥AB．其中一定正确的结论序号为______．
【答案】②③/③②
【分析】由折叠性质可得∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，再由等腰直角三角形性质得∠A=∠B=∠3= 45°，即可得到∠3+∠B= 90°；设∠ADE=∠FED=α，∠AED=∠FED=β，可得∠1 +∠ADE+∠FED=∠1 + 2α=180°①，∠2+∠AED+∠FED=∠2+ 2β= 180°②，∠A+α+β= 180°，即可推导出∠1 +∠2=90°；∠1与∠2不一定相等，DF与AB不一定平行，即可确定答案．
【详解】解：由折叠的性质，∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED =∠FED，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C = 90°，
∴∠A=∠B=∠3= 45°，
∴∠3+∠B= 90°，
故选项③正确；
设∠ADE=∠FED=α，∠AED=∠FED=β，
∴∠1 +∠ADE+∠FED=∠1 + 2α=180°①，
∠2+∠AED+∠FED=∠2+ 2β= 180°②，
∠A+α+β= 180°，
由①＋②得：∠1+2α+∠2+2β=∠1+∠2+2(α+β)=360°，
∴∠1 +∠2=90°，
故②正确；
∵∠1 +∠2=90°，∠1与∠2不一定相等，
故①不一定正确；
∵点F是BC边上的一点，不固定，
∴DF与AB不一定平行，
故④不一定正确．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，三角形内角和定理等知识，正确的识别图形是解题的关键．
17．（2023·江苏无锡·一模）如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题．
(1)将表格补充完整．
(2)观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为 ．
(3)根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝ ．
【答案】(1)60∘，45∘，36∘，30∘
(2)180∘n
(3)10
【分析】（1）先根据多边形的内角公式求出每一个内角的度数，再根据多边形的性质每条边都相等，得到等腰三角形，求出α的度数．
（2）根据（1）中的数据总结规律．
（3）引用（2）中总结的公式计算即可．
【详解】（1）正多边形每个内角的度数为180∘(n−2)n．
n=3,α=180∘3=60∘；
n=4,α=90∘2=45∘；
正五边形的内角180∘(5−2)5=108∘，n=5,α=180∘−108∘2=36∘；
正五边形的内角180∘(6−2)6=120∘，n=6,α=180∘−120∘2=30∘．
（2）观察（1）中结论，n=3,180∘3=60∘
n=4,180∘4=45∘
n=5,180∘5=36∘
n=6,180∘6=30∘
总结规律，则有α=180∘n．
（3）借助（2）中公式，有
α=180∘n，即18∘=180∘n
解得n=10．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、多边形内角的计算及观察总结能力，解题的关键是利用多边形内角的计算公式计算内角，并与等腰三角形两底角相等结合应用．
18．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE=∠EFC．
(1)请说明DE∥BC；
(2)若∠A=60°，∠ACB=72°，求∠CDE的度数．
【答案】(1)说明见解析；
(2)∠CDE=42°
【分析】（1）由题意易证AB//EF，则有∠ADE= ∠DEF，从而得∠EFC= ∠DEF，从而得证；
（2）结合已知条件与（1）的结论，可得DE∥BC，由三角形的内角和定理可求得∠B的度数，再结合CD⊥AB，从而可得∠BCD的度数，利用DE∥BC求解即可．
【详解】（1）解：∵ CD⊥AB，EF⊥CD ，
∴∠BDC=∠FGC=90° ，
∴AB∥EF ，
∴∠ADE=∠DEF ，
又∵∠ADE=∠EFC ，
∴∠DEF=∠EFC ，
∴DE∥BC；
（2）∵∠A+∠ACB+∠B=180°且∠A=60°，∠ACB=72°，
∴∠B=48°，
∵∠BDC=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠BCD=42°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠BCD=42°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
19．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=100°，∠D=140°．
(1)当∠B=∠BCD时，求∠B的度数．
(2)∠BCD的平分线交AB于点E，当CE∥AD时，求∠B的度数．
【答案】(1)60°
(2)40°
【分析】（1）根据四边形的内角和是360°，可得∠B+∠BCD=120°，再由∠B=∠BCD即可求出结果；
（2）根据AD∥ED可得∠BEC=100°，∠ECD=40°，再利用EC平分∠BCD，可求∠BCE=40°，最后根据三角形的内角和即可求出结果．
【详解】（1）解：∵∠A=100°，∠D=140°，
∴∠A+∠D=240°，
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠B+∠BCD=360°−240°=120°，
又∵∠B=∠BCD，
∴2∠B=120°，
∴∠B=60°．
（2）解：∵EC平分∠BCD，
∴∠BCE=∠ECD，
又∵EC∥AD，∠A=100°，∠D=140°，
∴∠A=∠BEC=100°，∠D+∠ECD=180°，
∴∠ECD=180°−140°=40°，
∴∠BCE=∠ECD=40°，
∴∠B=180°−∠BEC−∠BCE=180°−100°−40°=40°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、四边形和三角形的内角和及角平分线的定义，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解决问题的关键．
20．（2023秋·河南驻马店·八年级校联考期中）（1）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A=42°，求∠BOC的度数；
（2）把（1）中∠A=42°这个条件去掉，试探索∠BOC和∠A之间有怎样的数量关系．
【答案】（1）111°（2）证明见解析
【详解】试题分析：（1）先求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，求出∠1+∠2的度数，根据三角形内角和定理求出∠BOC即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，然后用∠A表示出∠1+∠2，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得出结论．
解：（1）∵∠A=42°，
∴∠1+∠2=180°﹣∠A=138°，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，
∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）==69°，
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣69°=111°；
（2）∠BOC=90°+∠A，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，
∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A），
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180=90．
考点：三角形内角和定理．
21．（2023秋·四川广安·八年级统考期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
(1)若∠B=35°，∠E=25°，求∠CAE的度数；
(2)证明：∠BAC=∠B+2∠E．
【答案】(1)95°
(2)见解析
【分析】（1）由三角形的外角性质可求得∠DCE=60°，再由角平分线的定义可得∠ACE=60°，利用三角形的内角和定理即可求∠CAE的度数；
（2）由三角形的外角性质可得∠DCE=∠B+∠E，∠BAC=∠E+∠ACE，再由角平分线的定义得∠ACE=∠DCE，从而可求解．
【详解】（1）解：∵∠DCE是△BCE的外角，∠B=35°，∠E=25°，
∴∠DCE=∠B+∠E=60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE=60°，
∴∠CAE=180°−∠ACE−∠E=95°；
（2）证明：∵∠DCE是△BCE的外角，∠BAC是△ACE的外角，
∴∠DCE=∠B+∠E，∠BAC=∠E+∠ACE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE，
∴∠BAC=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
22．（2022春·全国·七年级假期作业）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．
（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠C＝70°，∠2＝80°，∠4＝65°，求∠FGD的度数．
【答案】（1）DE//BC，理由见解析；（2）35°.
【分析】（1）根据平行线的判定可得AB//EF，从而得出∠ADE＝∠3，利用等量代换可得∠ADE＝∠B，即可判断DE与BC的位置关系；
（2）根据平行线的性质求出∠A，再根据三角形的内角和定理求出∠B，结合已知条件求出∠1，再利用三角形内角和定理即可求∠FGD的度数．
【详解】解：（1）DE//BC，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°，
∴AB//EF，
∴∠ADE＝∠3，
∵∠B＝∠3，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE//BC；
（2）∵AB//EF，
∴∠A＝∠4＝65°，
∵∠C＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝45°，
∵∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，
∴∠FGD＝180°﹣∠1﹣∠B＝180°﹣100°﹣45°＝35°
答：∠FGD的度数为35°．
【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质和三角形内角和定理，掌握平行线的判定及性质和三角形内角和定理是解决此题的关键．
23．（2023秋·全国·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．
（1）若∠B = 50°，∠C = 72°，求∠EAD的度数；
（2）若∠B、∠C的度数未知，求证：∠EAD =12（∠C－∠B）．
【答案】（1）∠EAD=11°；（2）证明见解析
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠EAC，根据垂直的定义可得∠ADC=90°，从而求出∠DAC，即可得出结论；
（2）利用三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠EAC，根据垂直的定义可得∠ADC=90°，从而求出∠DAC，即可证出结论．
【详解】解：（1）∵∠B = 50°，∠C = 72°，
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=58°
∵AE平分∠BAC．
∴∠EAC=12∠BAC=29°
∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∴∠DAC=180°－∠ADC－∠C=18°
∴∠EAD=∠EAC－∠DAC=11°
证明：（2）∵∠BAC＋∠B＋∠C=180°
∴∠BAC=180°－∠B－∠C
∵AE平分∠BAC．
∴∠EAC=12∠BAC=12（180°－∠B－∠C）=90°－12∠B－12∠C
∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∴∠DAC=180°－∠ADC－∠C=90°－∠C
∴∠EAD=∠EAC－∠DAC
=（90°－12∠B－12∠C）－（90°－∠C）
=12（∠C－∠B）．
【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理的应用和角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题关键．
24．（2023春·江苏无锡·七年级江苏省天一中学校考期中）【概念认识】在四边形ABCD中，∠A=∠B，如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足∠DPC=∠A，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．
【初步思考】
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”，若DA∥CP，DP∥CB，则∠DPC的度数为 °；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点P在四边形ABCD内部且是四边形ABCD的“映角点”，延长CP交边AB于点E，求证：∠ADP=∠CEB．
【综合运用】在四边形ABCD中，∠A=∠B=α，点P是四边形ABCD的“映角点”，DE、CF分别平分∠ADP、∠BCP，当DE和CF所在直线相交于点Q时，请直接写出∠CQD与α满足的关系式．
【答案】【初步思考】（1）60；（2）见解析；【综合运用】当0°<α<60°时，∠CQD=90°−32α；当60<α<180°时，∠CQD=32α−90°．
【分析】[初步思考]（1）根据题意可知∠A=∠B=∠DPC，若DA∥CP，DP∥CB，可以得到∠A=∠B=∠DPC=∠ADP=∠PCB，∠DPB是△ADP的外角，则∠DPC+∠CPB=2∠A，则∠DPC的度数可求；
（2）四边形ADPE中，∠ADP+∠AEP=180°，而∠CEB+∠AEP=180°，所以∠ADP=∠CEB；
[综合运用]当0°<α<60°时，当60<α<180°时，分别作出图形，根据题意作出图形都可以求出∠COD与α的关系．
【详解】[初步思考]（1）解：根据题意可知∠A=∠B=∠DPC，
∵ DA∥CP，
∴∠DPC=∠ADP，
∵ DP∥CB，
∴∠DPC=∠PCB，
∴∠A=∠B=∠DPC=∠ADP=∠PCB，
∵∠DPB是△ADP的外角，
∴∠DPC+∠CPB=2∠A，
∴∠A=∠CPB，
∴∠B=∠CPB=∠PCB=60°，
故答案为：60．
（2）∵点P是四边形ABCD的“映角点”，
∴∠A=∠DPC，
又∠DPC+∠DPE=180°，
∴∠A+∠DPE=180°，
在四边形AEPD中，∠A+∠DPE+∠AEP+∠ADP=360°
∴∠AEP+∠ADP=180°，
又∠AEP+∠CEB=180°
∴∠ADP=∠CEB．
[综合运用]当0°<α<60°时，∠CQD=90°−32α；当60<α<180°时，∠CQD=32α−90°．
如图，
∠A=∠B=∠DPC=α，
由（2）可知∠ADP=∠CGB，
设∠ADP=∠CGB=x，∠DPC=y，
∴∠GCF=12180°−α−x
∴∠QFE=180°−x−∠GCF
=90°+12α−12x
∠QEF=∠A+∠ADE=α+12x
∠Q=180°−∠QEF−∠QFE
=180°−90°+12α−12x−α+12x
=90°−12α；
∴当0°<α<60°时，∠CQD=90°−32α；
如图，
∠A=∠B=∠DPC=α，
由(2)可知，∠ADP=∠CEB，
设∠ADP=∠CEB=x，∠DPE=y，
∴∠ECQ= 12 (180°−x−α)，
则α+y=180°，
12 x+y+ 12 (180°−x−α)+∠Q=180°，
∴∠Q= 32 α−90°，
∵ 32 α−90°>0°，
∴60°<α<180°，
∴∠Q= 32 α−90°(60°<α<180°)．
∴当60<α<180°时，∠CQD=32α−90°．
【点睛】本题考查了三角形的内角与外角，角平分线的定义，解题的关键是熟练运用三角形外角的性质．
25．（2023秋·福建泉州·七年级校联考期末）如图，直线a，b被EF所截，点A是EF上一点，点B是直线a上的点，∠ABE的平分线BC交直线b于点C，点D是BC上的一点，连接FD，∠DFE＝2∠DFC＝2α，∠BEF＝3α，∠BDF＝β．
(1)求证：a∥b；
(2)求∠ABE的大小（用含α、β的式子表示）；
(3)若∠BAF∠BDF＝52，判断∠ABE与∠EFC的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)2β−2α；
(3)∠ABE∠EFC=23，见解析
【分析】（1）计算∠EFC的度数，得到∠EFC＝∠BEF，即可推出a∥b；
（2）利用外角的性质求出∠BCF的度数，根据平行线的性质求出∠CBE的度数，再利用角平分线的性质求出∠ABE的大小；
（3）根据∠BAF∠BDF＝52，∠BDF＝β，求出∠BAF=52β，理由三角形外角性质得到∠BAF=∠ABE+∠AEB，得到2β−2α+3α=52α，求出β=2α，计算出∠ABE，即可得到∠ABE与∠EFC的关系．
（1）
证明：∵∠DFE＝2∠DFC＝2α，
∴∠EFC＝3α，
∵∠BEF＝3α，
∴∠EFC＝∠BEF，
∴a∥b；
（2）
解：∵∠DFE＝2∠DFC＝2α，
∴∠DFC＝α，
∵∠BDF＝β，
∴∠BCF=β−α，
∵a∥b，
∴∠CBE=∠BCF=β−α，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABE=2∠CBE=2β−2α；
（3）
解：∠ABE∠EFC=23，理由：
∵∠BAF∠BDF＝52，∠BDF＝β，
∴∠BAF=52β，
∵∠BAF=∠ABE+∠AEB，
∴2β−2α+3α=52α，
得β=2α，
∴∠ABE=2β−2α=2α，
∵∠EFC＝3α，
∴∠ABE∠EFC=23．
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质，熟记平行线的判定定理推出a∥b是解题的关键．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
正多边形的边数
3
4
5
6
α的度数




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一、单选题
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二、填空题
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三、解答题
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3
4
5
6
α的度数