还剩86页未读，
继续阅读
所属成套资源：人教版八年级数学上册重难考点专练特训(原卷版+解析)
成套系列资料，整套一键下载
人教版八年级数学上册重难考点专题04角平分线的性质(知识串讲+7大考点)特训(原卷版+解析)
展开
这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题04角平分线的性质(知识串讲+7大考点)特训(原卷版+解析)，共89页。
知识串讲
（一）角平分线的性质
（1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
（二）角平分线的判定
（1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：
∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
考点训练
考点1：尺规作图——角平分线
典例1：（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=120°．请用尺规作图法在BC上求作一点D，使得∠ADC=100°．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式1】（2022秋·江苏·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BA延长线上一点，E为AC的中点．
(1)利用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不要求写作法）；
①作∠DAC的平分线AP；②连接BE并延长交AP于点F．
(2)猜想AF与BC位置和数量的关系，并说明理由．
【变式2】（2023·广东汕尾·校考二模）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
．
(1)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系，并证明你的结论．
【变式3】（2022秋·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=70°,∠ACB=60°,∠ACB的平分线交AB于点D．
(1)尺规作图：作∠ABC的平分线BO交CD于点O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求∠BOD的度数．
考点2：角平分线的性质应用——证明线段
典例2：（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，在ΔABC中，∠C=90°，DE⊥AB，于点E，AD平分∠CAB，点F在AC上，BD=DF．求证：BE=FC．
【变式1】（2023秋·河南安阳·八年级校考期中）如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点O，BD＝CE．
(1)求证：BE＝CD；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
【变式2】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝12CD．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．
（1）求∠BGC的度数．
（2）求证：GD＝GE．
考点3：角平分线性质应用——和差关系
典例3：（2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD．求证：
(1)DE平分∠ADC；
(2)AD＝AB+CD．
【变式1】（2023春·广东广州·七年级广州市天河区汇景实验学校校考期中）已知，如图，∠ABC=∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3，求证：∠1+∠4=180°
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：∵ BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）
∴ ∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC．（_______________）
∵ ∠ABC=∠ADC（_______________）
∴ ∠1=∠2（等量代换）
∵ ∠1=∠3（已知）
∴ ∠2=∠_______．（_______________）
∴ AB//CD（_______________）
∴ ∠1+∠4=180°（_______________）
【变式2】（2023秋·四川南充·八年级四川省南充市白塔中学校考期中）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD＝CD＋AB．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
考点4：角平分线性质应用——面积问题
典例4：（2023春·陕西西安·八年级西安行知中学校联考期中）如图，P为△ABC外角∠CBM,∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC，垂足分别为D，E，F．
(1)求证：PE=PF．
(2)若四边形ABPC的面积为20，且PD=4，求AB+AC的长．
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B=180°．
(1)若AB=12,AD=8，则AF= ．
(2)若△ABC的面积是24，△ADC的面积是16，则△BEC的面积等于 ．
【变式2】（2023秋·吉林·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC=4，AB=14．回答问题：
(1)P到AB的距离PD长为______，△PDB的周长为______；
(2)求△APB的面积．
【变式3】（2023春·湖南岳阳·八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是84cm2，AB=15cm，AC=13cm，求DE的长．
考点5：角平分线的判定
典例5：（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）如图，DE⊥AB交AB延长线于E，DF⊥AC于F，BD=CD，BE=CF．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)直接写出AB+AC与AE之间的数量关系．
【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
(1)求证：AE=CD；
(2)求证：AE⊥CD；
(3)连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有 ．
【变式3】（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE=CF．求证：∠DPA=∠DPC．
考点6：角平分线性质与判定综合
典例6：（2022秋·山东日照·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB的平分线.
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）四边形ABCD中，AB∥CD，DE平分∠ADC．
(1)如图1，若∠ABE=90°，E是BC的中点，求证：AE平分∠BAD；
(2)如图2，若AE平分∠BAD，求证：E是BC的中点；
(3)在（2）的条件下，若AE=8，DE=6，求四边形ABCD的面积．
【变式2】（2022秋·福建厦门·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AM平分∠BAD交BC于点M，M为BC的中点，连接DM．求证：
(1)DM平分∠ADC；
(2)AD=AB+CD．
【变式3】（2022秋·重庆璧山·八年级校联考期中）如图，△ABC中，点D在边AC延长线上，∠ACB=100°，∠BAC的平分线交BD于点E，过点E作EM⊥AD，垂足为M，且∠CEM=50°
(1)求∠BCE的度数．
(2)求证：BE平分∠CBF．
考点7：角平分线性质的实际应用
典例7：（2022秋·江苏南京·八年级南京市竹山中学校考阶段练习）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交．
求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【变式1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）根据图片回答下列问题．
(1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．
(2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．
【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC．
(1)请用尺规作图．在△ABC内部找一点P，使得点P到AB、BC、AC的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）；
(2)若△ABC的周长为14cm，面积为212cm2，求点P到AC的距离．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．
同步过关
一、单选题
1．（2022秋·全国·八年级期末）在△ABC内一点P到三边的距离相等，则点P一定是△ABC（ ）
A．三条角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点D．三条中线的交点
2．（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=2，BC=4，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，OC平分∠AOB，D是OC上一点，DE⊥OB于点E，若DE＝7，则点D到OA的距离为（ ）
A．7B．11C．14D．21
4．（2023秋·福建南平·八年级校考期中）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝9，则点D到斜边AB的距离为（ ）
A．7B．8C．9D．10
5．（2023秋·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BD=5cm，则点D到边AC的距离DE的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．5.5cmD．6cm
6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝32，则△BCE的面积等于（ ）
A．3B．154C．4D．92
7．（2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点D．三条中线交点
8．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，DE=2，AB=4，则AC的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=55°，∠C=35°，则∠ADE=（ ）
A．50°B．55°C．60°D．62.5°
10．（2022秋·北京·八年级北京交通大学附属中学校考期中）如图，∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，下列结论不一定正确的是（ ）
A．CM=CNB．OM=ONC．ON=CMD．∠MCO=∠NCO
11．（2022·八年级单元测试）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图，ΔABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得SΔABH=SΔBCH，则凉亭H是（ ）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
12．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）如图，OP平分∠AOB，点E为OA上一点，OE＝4，点P到OB的距离是2，则△POE的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
13．（2023秋·山东济宁·八年级统考期中）已知，如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③∠DOB=50°；④点A在∠DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
15．（2022秋·山东德州·八年级校考期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°−12∠ABC；④S△APM+S△CPN>S△APC．
其中结论正确的是（ ）．（填写结论的编号）
A．①②④B．①④C．①②③D．②③④
二、填空题
16．（2022秋·云南昆明·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．若AC=5，DE=2，则AD的长为________．
17．（2022·广西贵港·统考三模）如图，AB//CD，AE平分∠CAB交CD于点E,若∠C=50°，则∠AED＝__________．
18．（2022秋·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知：如图，D是BC上一点，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝4，若S△ABD=m，则S△ADC＝_____（用m的代数式表示）．
19．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，BO平分∠ABC,OD⊥BC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD=5，则OE的最小值为_______．
20．（2023秋·广西南宁·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,∠CAB的平分线AD交BC于点D．若AD=6，则点D到AB边的距离是_______．
21．（2022秋·内蒙古呼和浩特·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE= 3 ，则BC=________．
22．（2023春·全国·七年级专题练习）已知点A（−3+a,2a+9）在第二象限角平分线上，则a的值是___．
23．（2023秋·湖北咸宁·八年级校考期中）如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OM＝3，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是_____．
24．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，﹣a＋8），则a＝_____．
25．（2023春·八年级单元测试）如图，△ABC与△BDE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于点F，连接FB．给出下面四个结论：① AE=CD； ②∠AFC=60°； ③BF平分∠EBD； ④FB平分∠EFD.其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题
26．（2023春·山西·七年级校联考期末）如图，已知△ABC的高AD，∠BAC的平分线AE，∠B=26°，∠AED=41°，求∠CAD的度数．
27．（2023秋·八年级课时练习）如图，BE=CF，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
28．（2023春·河北廊坊·八年级校考期末）校园的一角如图所示，其中线段AB，BC，CD表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域中找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相等．请在图中找出点P．（用尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹）
29．（2022秋·吉林·八年级校考期中）把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由．
30．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,过点D作DE∥AB交AC于点E.
(1)求证：AE=DE
(2)若∠C=100°, ∠B=40°,求∠AED的度数
31．（2023春·广西贵港·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．求证：
(1)CF=EB；
(2)AB=AF+2BE．
32．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作∠BAC的平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若CD=3，AB=10，则△ABD的面积为_________．
33．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20．
（1）如图1，若AB＝AC，求AC的长；
（2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长．
34．（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：FA平分∠BFE．
35．（2022春·湖南长沙·七年级校考期末）（1）如图1，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFC的度数；
（2）如图2，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=42°，
①求∠CAB的度数；
②求∠CAP的度数．
专题04 角平分线的性质
考点类型
知识串讲
（一）角平分线的性质
（1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
（二）角平分线的判定
（1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：
∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
考点训练
考点1：尺规作图——角平分线
典例1：（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=120°．请用尺规作图法在BC上求作一点D，使得∠ADC=100°．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】∠BAD=∠ADC−∠B=100°−40°=60°，求得∠BAD=12∠BAC，故点D在∠BAC的角平分线上，按尺规作图即可．
【详解】解：∵∠BAD=∠ADC−∠B=100°−40°=60°
∴∠BAD=12∠BAC
∴点D是∠BAC的角平分线与BC的交点，
如图所示，作∠BAC的角平分线，与BC的交于点D，点D即为所求．
【点睛】本题考查尺规作图作角平分线，熟练掌握角平分线的尺规作图方法是解题的关键，难点是分析所给条件证明点D在∠BAC的角平分线．
【变式1】（2022秋·江苏·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BA延长线上一点，E为AC的中点．
(1)利用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不要求写作法）；
①作∠DAC的平分线AP；②连接BE并延长交AP于点F．
(2)猜想AF与BC位置和数量的关系，并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)AF∥BC且AF=BC；理由见解析
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法按要求作图即可；
（2）求出∠FAE=∠C，利用ASA证明△AEF≌△CEB，根据全等三角形的性质可得结论．
【详解】（1）如图
①
②
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，即∠C=12∠DAC，
∵AF平分∠DAC，
∴∠FAE=12∠DAC，
∴∠FAE=∠C，
又∵AE=CE，∠AEF=∠CEB，
∴△AEF≌△CEBASA，
∴AF=BC．
【点睛】本题考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线定义，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键．
【变式2】（2023·广东汕尾·校考二模）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
．
(1)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)DE∥AC
【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作∠BDC的平分线DE即可；
（2）先根据角平分线的定义得出∠BDE=∠CDE，再利用三角形外角的性质得出∠BDC=∠A+∠ACD，结合∠ACD=∠A可得出∠BDE=∠A，最后利用平行线的判定即可得出
【详解】（1）解：如图，DE为所作；
；
（2）解：DE∥AC．
理由如下：
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠CDE，
又∠BDC=∠A+∠ACD，
∴∠BDE+∠CDE=∠A+∠ACD，
∵∠ACD=∠A，
∴∠BDE=∠A，
∴DE∥AC．
【点睛】本题考查了基本作图—作已知角的平分线，平行线的判定，三角形外角的性质，掌握平行线的判定是解题的关键.
【变式3】（2022秋·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=70°,∠ACB=60°,∠ACB的平分线交AB于点D．
(1)尺规作图：作∠ABC的平分线BO交CD于点O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求∠BOD的度数．
【答案】(1)见解析
(2)55°
【分析】（1）根据角平分线的作法即可作∠ABC的平分线BO交CD于点O；
（2）根据内角和定理求出∠ABC，再根据角平分线定义求出∠OCB，∠OBC，再利用外角的性质求解．
【详解】（1）解：如图，BO即为所求；
（2）∵∠BAC=70°，∠ACB=60°，
∴∠ABC=180°−70°−60°=50°，
∵CD平分∠ACB，BO平分∠ABC，
∴∠OCB=12∠ACB=30°，∠OBC=12∠ABC=25°，
∴∠BOD=∠OCB+∠OBC=30°+25°=55°．
【点睛】本题考查了作图−基本作图，三角形内角和定理和外角的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
考点2：角平分线的性质应用——证明线段
典例2：（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，在ΔABC中，∠C=90°，DE⊥AB，于点E，AD平分∠CAB，点F在AC上，BD=DF．求证：BE=FC．
【答案】证明见详解
【分析】根据角平分线的性质可知DE=DC，再证明ΔDEB≅ΔDCF，即可证明BE=FC．
【详解】证明：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC，∠C=∠DEB=90°，
∴在RtΔDEB和RtΔDCF中，
∵DE=DCBD=DF，
∴ΔDEB≅ΔDCFHL，
∴BE=FC．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、角平分线的性质，根据角平分线的性质得出DE=DC是解答本题的关键．
【变式1】（2023秋·河南安阳·八年级校考期中）如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点O，BD＝CE．
(1)求证：BE＝CD；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)点O在∠BAC的平分线上，理由见解析
【分析】（1）由三角形的高得∠BEC=∠CDB=90°，由对顶角得∠BOD=∠COE，结合BD=CE，可证得ΔBOD≅ΔCOE，从而得到OD=OE，OB=OC，则有OD+OC=OE+OB，即CD=BE；
（2）连接AO，由三角形的高可得∠ADC=∠AEB=90°，结合（1）中的BE=CD，公共角∠BAE=∠CAD，可证得ΔADC≅ΔAEB，从而得AD=AE，易证得ΔADO≅ΔAEO，有∠DAO=∠EAO，从而得证．
（1）
证明：∵BE、CD是ΔABC的高，且相交于点O，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
在ΔBDO和ΔCEO中，∠CDB=∠BEC=90°∠BOD=∠COEBD=CE，
∴ΔBOD≅ΔCOE(AAS)，
∴OD=OE，OB=OC，
∴OD+OC=OE+OB，
即CD=BE；
（2）
解：点O在∠BAC的平分线上，理由如下：
连接AO，如图所示：
∵BE、CD是ΔABC的高，且相交于点O，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∵由（1）得BE=CD，
∴在ΔABE和ΔACD中，∠ADC=∠AEB=90°∠CAD=∠BAECD=BE，
∴ΔACD≅ΔABE(AAS)，
∴AD=AE，
∵由（1）得OD=OE，
∴在ΔAOD和ΔAOE中，AD=AE∠ADC=∠AEB=90°OD=OE，
∴ΔAOD≅ΔAOE(SAS)，
∴∠DAO=∠EAO，
∴点O在∠BAC的平分线上．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是结合图形分析清楚题中的条件与图中的条件，特别是图中的公共角与公共边．
【变式2】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝12CD．
【答案】见解析
【分析】分别延长BE、CA交于点F，首先结合题意推出△CFE≌△CBE，从而得到BE＝EF＝12BF，然后证明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD，即可得出结论．
【详解】证明：分别延长BE、CA交于点F，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠FEC＝90°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE＝∠BCE．
在△CFE与△CBE中，
∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，
∴△CFE≌△CBE，
∴BE＝EF＝12BF．
在△CFE与△CAD中，
∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝ 90°，
∴∠F＝∠ADC．
在△BFA与△CDA中，
∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，
∴△BFA≌△CDA，
∴BF＝CD．
∴BE＝12CD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造辅助线，并且准确判定全等三角形是解题关键．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．
（1）求∠BGC的度数．
（2）求证：GD＝GE．
【答案】（1）120°；（2）见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义，结合三角形内角和定理可得出∠GBC＋∠GCB，进一步求得∠BGC；
（2）连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN＝GM＝GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM＝180°−60°＝120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB＝120°，即∠EGD＝120°，∴∠EGN＝∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE＝GM．
【详解】解：（1）∵∠A＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°−60°＝120°，
∵∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G，
∴∠GBC＋∠GCB＝12∠ABC＋12∠ACB＝12（∠ABC＋∠ACB）＝60°，
∴∠BGC＝180°−（∠GBC＋∠GCB）＝120°；
（2）连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．
∵∠A＝60°，
∴∠ACB＋∠ABC＝120°，
∵CD，BE是角平分线，
∴∠BCG＋∠CBG＝120°÷2＝60°，
∴∠CGB＝∠EGD＝120°，
∵G是∠ACB平分线上一点，
∴GN＝GF，
同理，GF＝GM，
∴GN＝GM，
∴AG是∠CAB的平分线，
∴∠GAM＝∠GAN＝30°，
∴∠NGM＝∠NGA＋∠AGM＝60°＋60°＝120°，
∴∠EGD＝∠NGM＝120°，
∴∠EGN＝∠DGM，
又∵GN＝GM，
在Rt△EGN≌Rt△DGM，
∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），
∴GE＝GD．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及角平分线的性质，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键．
考点3：角平分线性质应用——和差关系
典例3：（2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD．求证：
(1)DE平分∠ADC；
(2)AD＝AB+CD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由角平分线的性质得到EB＝EF，等量代换得到EF＝EC，利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，再根据全等三角形的性质即可得解；
（2）由（1）得出FD＝CD，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，得到AF＝AB，再根据线段的和差即可得解．
【详解】（1）证明：如下图，过E作EF⊥AD于F，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴EB＝EF，
∵点E是BC的中点，
∴EB＝EC，
∴EF＝EC，
∵DC⊥BC，EF⊥AD，
∴∠EFD＝∠ECD＝90°，
在Rt△EFD和Rt△ECD中，
EF=ECED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD（HL），
∴∠FDE＝∠CDE，
∴DE平分∠ADC；
（2）解：由（1）知，Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴FD＝CD，
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
EF=EBAE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL），
∴AF＝AB，
∵AD＝AF+FD，
∴AD＝AB+CD．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解决问题的关键．
【变式1】（2023春·广东广州·七年级广州市天河区汇景实验学校校考期中）已知，如图，∠ABC=∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3，求证：∠1+∠4=180°
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：∵ BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）
∴ ∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC．（_______________）
∵ ∠ABC=∠ADC（_______________）
∴ ∠1=∠2（等量代换）
∵ ∠1=∠3（已知）
∴ ∠2=∠_______．（_______________）
∴ AB//CD（_______________）
∴ ∠1+∠4=180°（_______________）
【答案】见解析
【分析】首先根据角平分线定义可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC，根据等式的性质可得∠1=∠2，再由条件∠1=∠3可得∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠1+∠4=180°．
【详解】解：证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴ ∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC．（角平分线的定义），
∵∠ABC=∠ADC（已知），
∴∠1=∠2（等量代换），
∵∠1=∠3（已知），
∴∠2=∠3（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠1+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：角平分线的定义；已知；等量代换；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质以及角平分线的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
【变式2】（2023秋·四川南充·八年级四川省南充市白塔中学校考期中）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD＝CD＋AB．
【答案】证明见解析
【分析】过M作ME⊥AD于E，根据垂直定义和角平分线性质得出∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，根据全等三角形性质，推导得△MCD≌△MED，根据全等得出CD＝DE，同理得AE＝AB，即可得出答案．
【详解】如图，过M作ME⊥AD于E，
∵∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，
∴∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝EM，
∴∠CDM=∠EDM∠C=∠DEMCM=EM，
∴△MCD≌△MED（AAS），
∴CD＝DE，
∵∠BAM=∠EAM∠B=∠AEMBM=EM
∴△ABM≌△AEM（AAS），
∴AE＝AB，
∴AD＝AE＋DE＝CD＋AB．
【点睛】本题考查了角平分线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形的性质，从而完成求解．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
【答案】见详解．
【分析】根据PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再证Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可．
【详解】解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
CD=CECM=CN，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和是解题关键．
考点4：角平分线性质应用——面积问题
典例4：（2023春·陕西西安·八年级西安行知中学校联考期中）如图，P为△ABC外角∠CBM,∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC，垂足分别为D，E，F．
(1)求证：PE=PF．
(2)若四边形ABPC的面积为20，且PD=4，求AB+AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据角平分线的性质得出PD=PE,PD=PF，即可证明结论；
（2）连接AP，根据四边形ABPC的面积为20，得出S△ABP+S△ACP=20，即12AB⋅PE+12AC⋅PF=20，根据PE=PF=PD=4，得出AB+AC=10．
【详解】（1）证明：∵P为∠CBM,∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC，
∴PD=PE,PD=PF，
∴PE=PF．
（2）解：如图，连接AP，
∵四边形ABPC的面积为20，
∴S△ABP+S△ACP=20，
∴12AB⋅PE+12AC⋅PF=20，
由（1）知PE=PF=PD=4，
∴12AB⋅PD+12AC⋅PD=20，
即12PD⋅AB+AC=20，
∴2AB+AC=20，
∴AB+AC=10．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B=180°．
(1)若AB=12,AD=8，则AF= ．
(2)若△ABC的面积是24，△ADC的面积是16，则△BEC的面积等于 ．
【答案】(1)10
(2)4
【分析】（1）利用角平分线的性质可得CE=CF,∠F=∠CEB=90°，根据等角的补角相等得∠B=∠CDF，利用AAS证出Rt△BCE≌Rt△DCF，求出DF=BE，证明Rt△AFC≌Rt△AEC，推出AF=AE，由BE=DF可得AB−AE=AF−AD=AB−AF，即可得AB+AD=2AF；
（2）利用全等三角形的面积相等，设△BEC的面积为x，列出方程可得结果．
【详解】（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F
∴CE=CF,∠F=∠CEB=90°，
∵∠ADC+∠B=180°,∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠B=∠CDF，
在Rt△BCE与Rt△DCF中，
∠B=∠CDF∠CEB=∠FCE=CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(AAS)，
∴DF=BE，
在Rt△ACE与Rt△ACF中，
CE=CFAC=AC，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)，
∴AF=AE，
∴AB−AE=AF−AD=AB−AF，
∴AB+AD=2AF，
∵AB=12,AD=8，
∴AF=10，
故答案为：10．
（2）∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴S△BCE=S△DCF，
设△BEC的面积为x，
∵△ABC的面积是24，△ADC面积是16，
∴24−x=16+x,，
∴x=12×(24−16)=4．
即△BEC的面积等于4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式2】（2023秋·吉林·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC=4，AB=14．回答问题：
(1)P到AB的距离PD长为______，△PDB的周长为______；
(2)求△APB的面积．
【答案】(1)4，14
(2)△APB的面积为28
【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可得出PD=PC，可得答案；先证明△PDA≌△PCA，得出AD=AC，再求出△PDB的周长为PB+PD+BD=PB+PC+BD=AC+BD=AD+BD=AB，可得答案；
（2）由角平分线的性质可知，PD=PC=4，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵∠C=90°，AP平分∠BAC，
∴PD=PC，
∵PC=4，
∴PD=4，
∵∠PDA=∠PCA，PD=PC，AP=AP，
∴△PDA≌△PCA，
∴AD=AC，
∴△PDB的周长为PB+PD+BD=PB+PC+BD=AC+BD=AD+BD=AB，
∵AB=14，
∴△PDB的周长为14；
故答案为：4，14；
（2）解：由角平分线的性质可知，PD=PC=4，
S△PDB=12AB•PD=12×14×4=28．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
【变式3】（2023春·湖南岳阳·八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是84cm2，AB=15cm，AC=13cm，求DE的长．
【答案】DE=6cm
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD，列方程计算即可得解．
【详解】解：∵AD为∠BAC的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB×DE+12AC×DF，
∴S△ABC=12AB+AC×DE
即12×15+13×DE=84，
解得：DE=6，
∴DE=6cm．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并列出方程是解题的关键．
考点5：角平分线的判定
典例5：（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）如图，DE⊥AB交AB延长线于E，DF⊥AC于F，BD=CD，BE=CF．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)直接写出AB+AC与AE之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)AB+AC=2AE
【分析】（1）求出∠E=∠DFC=90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE=DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AE=AF，再根据BE=CF，即可求出答案．
【详解】（1）解：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFDHL，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：AB+AC=2AE．理由如下：
由（1）知AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
DE=DFAD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADFHL，
∴AE=AF，
∵BE=CF，
∴AB+AC=AE−BE+AF+CF=2AE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．
【答案】证明见解析
【分析】作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据角平分线的判定定理证明结论．
【详解】证明：作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，
∵DB平分∠ABC、DC平分∠ACH，
∴DE=DG，DF=DG，
∴DE=DF，
又DE⊥BA，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的外角平分线．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
(1)求证：AE=CD；
(2)求证：AE⊥CD；
(3)连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)②
【分析】（1）根据SAS证明△ABE≌△CBD即可得出答案；
（2）根据△ABE≌△CBD，得出∠BAE=∠BCD，利用三角形内角和定理，求出∠NMC=90°，即可得出答案；
（3）作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，根据全等三角形的性质，得出AE=CD，S△ABE=S△CDB，证明BK=BJ，根据角平分线的性质，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
AB=CB∠ABE=∠CBDBE=BD，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD．
（2）证明：∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵∠NMC=180°−∠BCD−∠CNM，∠ABC=180°−∠BAE−∠ANB，
又∠CNM=∠ANB，
∵∠ABC=90°，
∴∠NMC=90°，
∴AE⊥CD．
（3）解：结论：②
理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，如图所示：
∵△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，S△ABE=S△CDB，
∴12AE⋅BK=12CD⋅BJ，
∴BK=BJ，
∵BK⊥AE，BJ⊥CD，
∴BM平分∠AMD．
不妨设①成立，则△CBM≌△EBM，则AB=BD，显然不可能，故①错误．
故答案为：②．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质．
【变式3】（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE=CF．求证：∠DPA=∠DPC．
【答案】见解析
【分析】过D作DQ⊥AE，DG⊥CF，由S△ADE=12S▱ABCD=S△DFC，可得：AE•DQ2=DG•FC2，进而得出DQ=DG，得出PD为∠APC的角平分线，即可证明结论．
【详解】证明：过D作DQ⊥AE，DG⊥CF，连接DF和DE，如图所示：
则S△ADE=12S▱ABCD=S△DFC，
∴AE•DQ2=DG•FC2，
又∵AE=FC，
∴DQ=DG，
∴PD为∠APC的角平分线，
∴∠DPA=∠DPC（角平分线逆定理）．
【点睛】本题考查平行四边形和角平分线的性质，有一定的难度，解题的关键是准确作出辅助线，利用角平分线的性质进行证明．
考点6：角平分线性质与判定综合
典例6：（2022秋·山东日照·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB的平分线.
【答案】见解析
【分析】先过点E作EH⊥AB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EF⊥AD于点F，由平行线的性质可知EG⊥AC，由于E是BC的中点，可得出△CGE≌△BHE，故GE=EH，再根据角平分线的性质可知EF=GE，故EF=EH，进而可得出结论．
【详解】解：过点E作EH⊥AB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EF⊥AD于点F，如图所示：
∵EH⊥AB，
∴∠EHB=90°，
∵AB∥CD，
∴∠CGE=∠EHB=90°，∠GCE=∠B，
∴EG⊥DC，
∵点E是BC的中点，
∴CE=BE，
在△CGE与△BHE中∠GCE=∠BCE=EB∠CEG=∠BEH，
∴△CGE≌△BHE，
∴GE=EH，
∵DE平分∠ADC，EF⊥AD，EG⊥DC，
∴GE=EF，
∵GE=EH，
∴EF=EH，
∴AE是∠DAB的平分线．
【点睛】本题主要考查的是角平分线的判定和性质及全等三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）四边形ABCD中，AB∥CD，DE平分∠ADC．
(1)如图1，若∠ABE=90°，E是BC的中点，求证：AE平分∠BAD；
(2)如图2，若AE平分∠BAD，求证：E是BC的中点；
(3)在（2）的条件下，若AE=8，DE=6，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)48
【分析】（1）过点E作EF⊥AD，垂足为F．证明∠C=180°−∠B=90°，EF=EB，从而可得结论；
（2）如图2，延长DE,AB相交于点F．证明∠2=∠F，△AED≌△AEF(AAS)．可得DE=FE．再证明△DEC≌△FEB(ASA)．可得结论；
（3）证明S四边形ABCD=S四边形ABED+S△DEC =S△AED+S△AEF，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）证明：过点E作EF⊥AD，垂足为F．
∵AB∥DC，
∴∠B+∠C=180°．
又∵∠ABE=90°，
∴∠C=180°−∠B=90°
∴EC⊥DC,EB⊥AB
∵DE平分∠ADC，EC⊥DC，EF⊥DA，
∴EC=EF．
∵E是BC的中点，
∴EC=EB，
∴EF=EB．
又∵EF⊥AD,EB⊥AB，
∴AE平分∠BAD．
（2）证明：如图2，延长DE,AB相交于点F．
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∵AB∥CD，
∴∠1=∠F．
∴∠2=∠F．
在△AED和△AEF中，
∠2=∠F∠3=∠4AE=AE
∴△AED≌△AEF(AAS)．
∴DE=FE．
在△DEC和△FEB中，
∠1=∠FDE=FE∠5=∠6
∴△DEC≌△FEB(ASA)．
∴CE=BE．
∴E是BC的中点．
（3）解：由（2）得：△AED≌△AEF，
∴∠AED=∠AEF,S△AED=S△AEF．
∵∠AED+∠AEF=180°，
∴∠AED=∠AEF=90°．
∵△DEC≌△FEB，
∴S△DEC=S△FEB．
S四边形ABCD=S四边形ABED+S△DEC
=S四边形ABED+S△BEF
=S△AED+S△AEF
=2S△AED=2×12×AE⋅DE=2×12×8×6=48．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理与判定定理的应用，作出合适的辅助线，构建三角形全等是解本题的关键．
【变式2】（2022秋·福建厦门·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AM平分∠BAD交BC于点M，M为BC的中点，连接DM．求证：
(1)DM平分∠ADC；
(2)AD=AB+CD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）过点M作ME⊥AD于点E，由角平分线的性质得ME=MB，再证ME=MC，即可得出结论；
（2）证Rt△AME≌Rt△AMB（HL），得AE=AB，同理可证DC=DE，即可得出结论．
【详解】（1）如图，过点M作ME⊥AD于点E，
∵∠B=∠C=90°，
∴MB⊥AB，MC⊥CD，
∵AM平分∠DAB，MB⊥AB，ME⊥AD，
∴ME=MB，
又∵M为BC的中点，
∴MC=MB，
∴ME=MC，
∵MC⊥CD，ME⊥AD，
∴DM平分∠ADC；
（2）在Rt△AME和Rt△AMB中，
ME=MBAM=AM，
∴Rt△AME≌Rt△AMB（HL），
∴AE=AB，
同理可证DC=DE，
∵AD=AE+DE，
∴AD=AB+CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质和判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定与性质是解题的关键．
【变式3】（2022秋·重庆璧山·八年级校联考期中）如图，△ABC中，点D在边AC延长线上，∠ACB=100°，∠BAC的平分线交BD于点E，过点E作EM⊥AD，垂足为M，且∠CEM=50°
(1)求∠BCE的度数．
(2)求证：BE平分∠CBF．
【答案】(1)40°
(2)见解析
【分析】(1)先计算∠BCD=80°，再计算∠ECM=40°，根据∠BCE=∠BCD−∠ECM计算即可．
(2) 过点E作EH⊥BF,EN⊥BC，垂足分为H，N．证明EN=EH即可．
【详解】（1）因为∠ACB=100°，
所以∠BCD=80°．
因为EM⊥AD，垂足为M，且∠CEM=50°，
所以∠ECM=40°，
所以∠BCE=∠BCD−∠ECM=80°−40°=40°．
（2）如图，过点E作EH⊥BF,EN⊥BC，垂足分为H，N．
因为∠BAC的平分线交BD于点E，过点E作EM⊥AD，
所以EM=EH；
因为∠ECM=∠BCE，
所以EM=EN；
所以EN=EH，
所以BE平分∠CBF．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角的平分线性质和判定，熟练掌握角的平分线性质和判定是解题的关键．
考点7：角平分线性质的实际应用
典例7：（2022秋·江苏南京·八年级南京市竹山中学校考阶段练习）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交．
求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【分析】根据角平分线的性质及作法，即可作得．
【详解】解：作法如下：
1．尺规作出∠A、∠EBC、∠BCF中任意两个角的角平分线，交点即为O1点；
2．尺规作出∠A、∠ABC、∠ACB中任意两个角的角平分线，交点即为O2点．
证明：∵点O1是∠A与∠BCF平分线的交点，
∴点O1到公路AE、AF、BC的距离相等；
∵点O2是∠A与∠ABC平分线的交点，
∴点O2到公路AE、AF、BC的距离相等；
∴点O1、点O2即为所求作的点
【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的性质，熟练掌握和运用角平分线的作法及性质是解决本题的关键．
【变式1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）根据图片回答下列问题．
(1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．
(2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．
【答案】(1)=
(2)见解析
【分析】（1）根据题目挖掘条件证明△ACD≌△ABD即可
（2）在AB边上取点E，使AC=AE，证明△ACD≌△AED，利用全等对应角和∠ABD+∠ACD=180°得到∠DEB=∠B，从而推出结论
（1）
∵∠B+∠C=180°，∠B=90°
∴∠C=90°
∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠BAD
∵AD=AD
∴△ACD≌△ABD（AAS）
∴BD=CD
（2）
如图②，在AB边上取点E，使AC=AE
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠EAD
∵AD=AD，AC=AE
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴DC=DE，∠AED=∠C
∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°
∴∠DEB=∠B
∴DE=DB
∴DB=DC
【点睛】本题考查全等三角形的证明，以及角平分线常见辅助线；注意第二小题难点在于辅助线
【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC．
(1)请用尺规作图．在△ABC内部找一点P，使得点P到AB、BC、AC的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）；
(2)若△ABC的周长为14cm，面积为212cm2，求点P到AC的距离．
【答案】(1)见解析
(2)32
【分析】（1）根据题意作∠A,∠B的角平分线的交点P，即为所求；
（2）根据（1）的结论，设点P到AC的距离为d，则12×14d=212，解方程求解即可．
【详解】（1）如图，点P即为所求，
（2）设点P到AC的距离为d，
由（1）可知点P到AB、BC、AC的距离相等
则S△ABC=12AB+BC+ACd=12×14d
∴ 12×14d=212
解得：d=32
∴点P到AC的距离为32
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．
【答案】见解析
【分析】作∠AOB的角平分线OD，OD与MN的交点到∠AOB的两边OA，OB的距离相等．
【详解】如图所示：作∠AOB的平分线交MN于点P，点P即为该超市的位置．
【点睛】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
同步过关
一、单选题
1．（2022秋·全国·八年级期末）在△ABC内一点P到三边的距离相等，则点P一定是△ABC（ ）
A．三条角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点D．三条中线的交点
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答即可．
【详解】解：∵点P到△ABC的三边的距离相等，
∴点P应是△ABC三条角平分线的交点．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质；熟练掌握角的平分线的性质是解决问题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=2，BC=4，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得出DE=AD=2，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，对角线BD平分∠ABC，
∴AD=DE，
∵AD=2，
∴DE=2，
∵BC=4，
∴SΔBCD=12BC⋅DE=12×4×2=4，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
3．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，OC平分∠AOB，D是OC上一点，DE⊥OB于点E，若DE＝7，则点D到OA的距离为（ ）
A．7B．11C．14D．21
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点D作DF⊥OA于点F，
∵OC平分∠AOB，D为OC上一点，DE⊥OB于点E，DE＝7，
∴DF=DE=7，
即D到OA的距离等于7．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
4．（2023秋·福建南平·八年级校考期中）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝9，则点D到斜边AB的距离为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质解答．
【详解】解：作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=9，
故选：C．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5．（2023秋·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BD=5cm，则点D到边AC的距离DE的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．5.5cmD．6cm
【答案】B
【分析】利用角平分线的性质证得DE=BD=5cm即可求解．
【详解】解：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，AD平分∠BAC，
∴DE=BD=5cm，
即DE=BD=5cm，
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质、点到直线的距离，熟练掌握角平分线的性质定理是解答的关键．
6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝32，则△BCE的面积等于（ ）
A．3B．154C．4D．92
【答案】B
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得到EF=DE=32 ，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF＝DE＝32，
∴△BCE的面积＝12×BC×EF＝154．
故选B.
【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．（2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点D．三条中线交点
【答案】B
【分析】根据角平分线性质的逆定理即可得出答案．
【详解】解：P到三条距离相等，即PD＝PE＝PF，
连接PA、PB、PC，
∵PD＝PE，
∴PB是∠ABC的角平分线，
同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线，
故P是△ABC角平分线交点，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形角平分线的交点，掌握角平分线的性质的逆定理是解题的关键．
8．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，DE=2，AB=4，则AC的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】作DF⊥AC于F，证明DF=DE=2，由面积可得12×AB×DE+12×AC×DF=7，从而可得答案．
【详解】解：作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=2，
∴12×AB×DE+12×AC×DF=7，
∴12×4×2+12×AC×2=7，
解得AC=3，
故选：A．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形面积公式的应用，熟记角平分线的性质并灵活应用是解本题的关键．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=55°，∠C=35°，则∠ADE=（ ）
A．50°B．55°C．60°D．62.5°
【答案】A
【分析】由三角形的内角和定理可得∠BAC=90°，再利用角平分线的性质得到∠EDC=47.5°，最后利用三角形外角的性质得出结果．
【详解】解：∵∠B=55°，∠C=35°，
∴∠BAC=180°−55°−35°=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC2=45°
∵∠ADC=∠B+∠BAD=55°+45°=100°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠ADC2=100°2=50°
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和及三角形外角的性质．
10．（2022秋·北京·八年级北京交通大学附属中学校考期中）如图，∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，下列结论不一定正确的是（ ）
A．CM=CNB．OM=ONC．ON=CMD．∠MCO=∠NCO
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质可得：CM=CN，然后证明△MOC≌△NOC，即可得出OM=ON，∠MCO=∠NCO，则根据选项判断即可．
【详解】解：∵∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，CN⊥OB，
∴CM=CN，则A选项正确，不符合题意；
∵∠CMO=∠CNO=90°,CM=CN,OC=OC，
∴△MOC≌△NOC(HL)，
∴OM=ON，∠MCO=∠NCO，
故B、D选项正确，不符合题意；
不能得出ON=CM，故C选项错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
11．（2022·八年级单元测试）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图，ΔABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得SΔABH=SΔBCH，则凉亭H是（ ）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质定理可得点H在∠BAC的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得ΔABE的面积=ΔBCE的面积，ΔAHE的面积=ΔCHE的面积，然后利用等式的性质可得ΔABH的面积=ΔCBH的面积，即可解答．
【详解】解：如图：作∠BAC的平分线交BC于D，作AC的中线BE交AD于H，
∵AD平分∠BAC，点H在AD上，
∴点H到AB、AC的距离相等，
∵BE是AC边上的中线，
∴ΔABE的面积=ΔBCE的面积，ΔAHE的面积=ΔCHE的面积，
∴ΔABE的面积−ΔAHE的面积=ΔBCE的面积−ΔCHE的面积，
∴ΔABH的面积=ΔCBH的面积，
∴凉亭H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握三角形的角平分线和中线的性质是解题的关键．
12．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）如图，OP平分∠AOB，点E为OA上一点，OE＝4，点P到OB的距离是2，则△POE的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质，求出距离也就是高为2，利用三角形面积公式即可求得．
【详解】∵OP平分∠AOB，点P到OB的距离是2，
∴点P到OA的距离是2
∴S△OEP=12×4×2=4
故选：A
【点睛】此题考查了角平分线的性质，如何求三角形面积，解题的关键是利用角平分线的性质求出距离（三角形高）．
13．（2023秋·山东济宁·八年级统考期中）已知，如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．
【详解】解：∵∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，① 符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，② 符合题意；
在Rt△POD和Rt△POE中，
{OD=DEOP=OP ，
∴Rt△POD≌Rt△POE，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③ 符合题意；
∵∠DPO=∠EPO，PD⊥OA，PE⊥OB
∴在△POD和△POE中，
{∠DPO=∠EPO∠PDO=∠PEOOP=OP
∴△POD≌△POE（AAS），
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④ 符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③∠DOB=50°；④点A在∠DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定及角平分线的性质即可依次判断．
【详解】∵∠DAB=∠CAE
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC
∴∠DAC=∠EAB
∵AB=AD，AC=AE
∴△ADC≌△ABE
∴CD=BE，故①②正确；
∵△ADC≌△ABE
∴∠ADC =∠ABE
设AB与CD交于G点，
∵∠AGD =∠BGC
∴∠DOB=∠DAB=50°,故③正确；
过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点，
则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高
∵△ADC≌△ABE
∴AF=AH
∴点A在∠DOE的平分线上，④正确
故选D．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质与判定．
15．（2022秋·山东德州·八年级校考期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°−12∠ABC；④S△APM+S△CPN>S△APC．
其中结论正确的是（ ）．（填写结论的编号）
A．①②④B．①④C．①②③D．②③④
【答案】C
【分析】①过点P做PD⊥AC，根据AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再证明△PDC≌△PNC即可得出结论；②根据BP和CP都是角平分线，结合三角形内角和定理，即可得到∠BPC=12∠ACN−12∠ABC，再根据三角形外角性质，可以得到∠BPC=12(∠BAC+∠ABC)−12∠ABC=12∠BAC，即可得到结论；③由①可得，△PDC≌△PNC，故∠APC=12∠MPN，根据∠PMB=∠PNB=90°，所以∠MPN=180°−∠ABC，代入得∠APC=90°−12∠ABC，即可得出结论；④由①可得△PDC≌△PNC，故S△APM+S△CPN=S△APC，即可得出结论．
【详解】解：①过点P作PD⊥AC，如图，
∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE，
∴PM=PD．
∵BP是∠ABC 的平分线，PN⊥BF，
∴PM=PN，
∴PD=PN．
∵PC=PC，
∴△PDC≌△PNC(HL)，
∴∠PCD=∠PCN，故①正确；
②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCN=12∠ACN．
∵∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB，∠PCB=180°−∠PCN，
∴∠BPC=12∠ACN−12∠ABC．
∵∠ACN=∠ABC+∠BAC，
∴∠BPC=12∠BAC，故②正确；
③由①可得△PDC≌△PNC，同理又易证△PMA≌△PDA(HL)，
∴∠APC=12∠MPN，
∵∠PMB=∠PNB=90°，四边形内角和为360°，
∴∠MPN=180°−∠ABC，
∴∠APC=12∠MPN=90°−12∠ABC，故③正确；
④由①和③可得△PDC≌△PNC，△PMA≌△PDA，
∴S△PDC=S△PNC，S△PMA=S△PDA．
∵S△APC=S△PDC+S△PDA，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④错误；
综上可知正确的有：①②③．
故选C．
【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
二、填空题
16．（2022秋·云南昆明·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．若AC=5，DE=2，则AD的长为________．
【答案】3
【分析】根据角平分线的性质求得DE=DC=2，则可求出AD的长度
【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°
∴DE=DC=2
∴AD=AC−DC=5−2=3
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等，解题的关键是熟知性质及对应的模型．
17．（2022·广西贵港·统考三模）如图，AB//CD，AE平分∠CAB交CD于点E,若∠C=50°，则∠AED＝__________．
【答案】115°
【分析】根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠C＋∠CAB＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠CAB＝180°−50°＝130°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＋∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°−65°＝115°，
故答案为115°．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和平行线性质的应用.
18．（2022秋·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知：如图，D是BC上一点，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝4，若S△ABD=m，则S△ADC＝_____（用m的代数式表示）．
【答案】45m/0.8m
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得DE=DF，从而得到SΔADC:SΔADB=AC:AB，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∴SΔADC:SΔADB=12⋅AC⋅DF:12⋅AB⋅DE=AC:AB
∵AB＝5，AC＝4，S△ABD=m，
∴SΔADC:m=4:5，
∴SΔADC=45m．
故答案为：45m
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
19．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，BO平分∠ABC,OD⊥BC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD=5，则OE的最小值为_______．
【答案】5
【分析】根据角平分线的性质即可求出．
【详解】解：当OE⊥AB时，OE最小，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OD=5，
∴OD=OE=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
20．（2023秋·广西南宁·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,∠CAB的平分线AD交BC于点D．若AD=6，则点D到AB边的距离是_______．
【答案】3
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质定理，可得CD=DE，又由∠B=30°，可得∠CAD=30°，从而得到CD=12AD=3 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，∠ACB=90°，
∴CD=DE，
∵∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∴∠CAD=30°，
∵AD=6，
∴CD=12AD=3 ，
∴DE=3，即点D到AB边的距离是3．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
21．（2022秋·内蒙古呼和浩特·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE= 3 ，则BC=________．
【答案】33
【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．
【详解】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE= 3 ，
又∵直角△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2 3 ，
∴BC=CD+BD= 3 +2 3 =3 3 ．
故答案为：3 3 ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
22．（2023春·全国·七年级专题练习）已知点A（−3+a,2a+9）在第二象限角平分线上，则a的值是___．
【答案】-2
【分析】根据点A在角平分线上可知，点A到两个坐标的距离是相等的；第二象限的点，横坐标小于0，纵坐标大于0，综合可得A点的横纵坐标之和为0，据此列方程即可求解．
【详解】∵点A(-3+a,2a+9)在第二象限的角平分线上，
∴-3+a+2a+9＝0，
∴a＝−2．
故答案为：−2．
【点睛】此题是坐标与图形性质的题，主要考查了象限角平分线上点的特点，解本题的关键是掌握了象限角平分线上点的特点．
23．（2023秋·湖北咸宁·八年级校考期中）如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OM＝3，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是_____．
【答案】MP≥1.5
【分析】作MH⊥OB于H，根据含30°角的直角三角形的性质求出EM，根据角平分线的性质解答．
【详解】作MH⊥OB于H，
∵M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，
∴∠AOM＝30°，又ME⊥OA，
∵OM=3，
∴EM＝1.5，
∵M是∠AOB平分线上一点，ME⊥OA，MH⊥OB，
∴MH＝ME＝1.5，
则MP≥1.5，
故答案为：MP≥1.5.
【点睛】本题考查的是角平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等；30°角所对的直角边等于斜边的一半．
24．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，﹣a＋8），则a＝_____．
【答案】2
【分析】根据尺规作图可知，点C在∠AOB角平分线上，所以C点的横坐标和纵坐标相等，即可以求出a的值．
【详解】解：根据题目尺规作图可知，交点C是∠AOB角平分线上的一点，
∵点C在第一象限，
∴点C的横坐标和纵坐标都是正数且横坐标等于纵坐标，即3a=-a+8，
得a=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线尺规作图，角平分线的性质，以及平面直角坐标系的知识，结合直角坐标系的知识列方程求解是解答本题的关键．
25．（2023春·八年级单元测试）如图，△ABC与△BDE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于点F，连接FB．给出下面四个结论：① AE=CD； ②∠AFC=60°； ③BF平分∠EBD； ④FB平分∠EFD.其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①②④
【分析】证明△ABE≌△CBD SAS，根据全等三角形的性质即可判断①，设BC,AF交于点G，根据三角形的外角的性质得出∠GFC=∠ABC=60°，即可判断②，过点B，分别作AF,CD的垂线，垂足分别为M,N，证明△AMB≌△CNBAAS，根据角平分线的判定得出④正确，而判断③的条件不够，进而即可求解．
【详解】解：∵△ABC与△BDE都为等边三角形，
∴BA=BC,BE=BD,∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠ABC−∠EBC=∠EBD−∠EBC,即∠ABE=∠CBD,
∴△ABE≌△CBD SAS，
∴AE=CD，故①正确；
如图，设BC,AF交于点G，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠DCB=∠EAB，
∵∠CGA=∠GAB+∠ABC=∠GCF+∠GFC
∴∠GFC=∠ABC=60°，
即∠AFC=60°，故②正确；
如图所示，过点B，分别作AF,CD的垂线，垂足分别为M,N，
∴∠AMB=∠CNB=90°，
又AB=CB,∠BCN=∠BAM，
∴△AMB≌△CNBAAS
∴BM=BN，
又BM⊥AF,BN⊥FD，
∴FB平分∠AFD，故④正确，
若BF平分∠EBD，则BF⊥ED，根据已知条件不能得到，
故③不正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题
26．（2023春·山西·七年级校联考期末）如图，已知△ABC的高AD，∠BAC的平分线AE，∠B=26°，∠AED=41°，求∠CAD的度数．
【答案】34°
【分析】先根据三角形外角性质计算出∠BAE=15°，再根据角平分线定义得到∠BAC=30°，接着再利用三角形外角性质得到∠ACD，再利用三角形内角和可得∠CAD．
【详解】解：∵∠B=26°，∠AED=41°，
∴∠BAE=15°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=30°，
∴∠ACD=∠BAC+∠B=56°，
∴∠CAD=90°−∠ACD=90°−56°=34°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理：三角形内角和是180°，合理使用三角形外角性质计算角度及掌握角平分线性质是解题关键．
27．（2023秋·八年级课时练习）如图，BE=CF，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
【答案】证明见解析
【分析】先根据全等三角形的判定定理得出Rt△BDE≌Rt△CDF，进而得出DE=DF，由角平分线的判定即可得证．
【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴Rt△BDE与Rt△CDF都是直角三角形，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDFHL，
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线．
【点睛】本题考查角平分线的判定及全等三角形的判定与性质，掌握到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
28．（2023春·河北廊坊·八年级校考期末）校园的一角如图所示，其中线段AB，BC，CD表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域中找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相等．请在图中找出点P．（用尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹）
【答案】图见解析．
【分析】由点P到三面围墙的距离都相等，所以P是∠ABC,∠BCD的角平分线的交点，作出两个角的角平分线的交点即可．
【详解】解：分别作∠ABC,∠BCD的角平分线，如图，
∴交点P即为所求．
【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图．
29．（2022秋·吉林·八年级校考期中）把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由．
【答案】见解析
【分析】过点M作ME⊥AB于点E，根据题意可得根据题意得：∠BAD=30°，∠BAC=60°，∠C=90°，从而得到∠CAD=∠BAD，再根据角平分线的性质定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，
根据题意得：∠BAD=30°，∠BAC=60°，∠C=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠CAD=∠BAD，
∵ME⊥AB，
∴∠AEM=90°，
∴CM=EM，
即MC的长度就等于点M到AB的距离．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
30．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,过点D作DE∥AB交AC于点E.
(1)求证：AE=DE
(2)若∠C=100°, ∠B=40°,求∠AED的度数
【答案】(1)见解析
(2)∠AED=140°
【分析】（1）根据角平分线性质可得∠BAD=∠CAD,由DE∥AB,根据平行线的性质得∠BAD=∠ADE,得到∠CAD=∠ADE,即可得到结论．
（2）根据三角形的内角和可求出∠BAC=40°,由DE∥AB,根据平行线的性质即可得出结果．
【详解】（1）∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD,
∵DE∥AB,
∴∠BAD=∠ADE,
∴∠CAD=∠ADE,
∴AE=DE.
（2）∵∠C=100°,∠B=40°,
∴∠BAC=40°,
∵DE∥AB,
∴∠AED+∠BAC=180°,
∴∠AED=140°.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键．
31．（2023春·广西贵港·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．求证：
(1)CF=EB；
(2)AB=AF+2BE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得DE=DC．再根据Rt△CDF≌Rt△EBDHL，得CF=EB；
（2）利用角平分线性质证明Rt△ADC≌Rt△ADEHL，得到AC=AE，再将线段AC进行转化．
【详解】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=DC，
在Rt△CDF和Rt△EBD中，
BD=DFDC=DE，
∴Rt△CDF≌Rt△EBDHL，
∴CF=EB；
（2）证明：在Rt△ADC与Rt△ADE中，
CD=DEAD=AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADEHL，
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+BE=AF+CF+BE=AF+2BE．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
32．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作∠BAC的平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若CD=3，AB=10，则△ABD的面积为_________．
【答案】（1）见解析；（2）15
【分析】（1）根据基本作图-作角平分线的方法作出图形即可．
（2）过点D作DE⊥AB于E．证明DE=DC=3，再利用三角形的面积公式可得结论．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）过点D作DE⊥AB于E．
∵∠ACB=90°，AD平分∠BAC，CD=3，AB=10，
∴DE=DC=3，
∴SΔABD=12⋅AB⋅DE=12×10×3=15
【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
33．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20．
（1）如图1，若AB＝AC，求AC的长；
（2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长．
【答案】（1）203；（2）253
【分析】（1）作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DF＝DE，根据三角形的面积公式列式计算即可；
（2）同（1）的方法计算．
【详解】解：（1）如图1，作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝3，
由题意得，12×AB×3＋12×AC×3＝20，
解得，AC＝AB＝203；
（2）如图2，作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝3，
由题意得，12×5×3＋12×AC×3＝20，
解得，AC＝253．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
34．（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：FA平分∠BFE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据SAS证明结论即可；
（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．
由△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，
∵12⋅BD⋅AM=12⋅CE⋅AN，
∴AM＝AN，
∴点A在∠BFE平分线上，
∴FA平分∠BFE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明．
35．（2022春·湖南长沙·七年级校考期末）（1）如图1，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFC的度数；
（2）如图2，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=42°，
①求∠CAB的度数；
②求∠CAP的度数．
【答案】（1）120°；（2）①84°；②48°
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠FBC=12∠ABC，∠FCB=12∠ACB，再根据三角形内角和定理求出即可；
（2）①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠PCD=∠BPC+∠PCB，根据角平分线的定义可得∠PCD=12∠ACD，∠PBC=12∠ABC，然后整理得到∠PCD=42°+12∠ABC，再代入数据计算即可得解；
②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，根据角平分线的性质与判定可得AP平分∠CAE，再根据角平分线的定义可求解．
【详解】解：（1）∵∠ABC=40°，∠A=60°，
∴∠ACB=80°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠FBC=12∠ABC=20°，∠FCB=12∠ACB=40°，
∴∠BFC=180°−（∠FBC+∠FCB）=120°；
（2）①在△ABC中，∠ACD=∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD=∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD=12∠ACD，∠PBC=12∠ABC，
∴∠PCD=∠BPC+∠PBC=42°+12∠ABC，
∴12∠ACD=12∠ABC+42°，
∴∠ACD−∠ABC=84°，
∴∠BAC=∠ACD−∠ABC=84°，
即∠CAB=84°．
②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
∴PE=PG，PF=PG，
∴PE=PF，
∴AP平分∠CAE，
∴∠CAP=12∠CAE=12×（180°−84°）=48°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．本题也考查了三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义．
知识串讲
（一）角平分线的性质
（1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
（二）角平分线的判定
（1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：
∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
考点训练
考点1：尺规作图——角平分线
典例1：（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=120°．请用尺规作图法在BC上求作一点D，使得∠ADC=100°．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式1】（2022秋·江苏·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BA延长线上一点，E为AC的中点．
(1)利用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不要求写作法）；
①作∠DAC的平分线AP；②连接BE并延长交AP于点F．
(2)猜想AF与BC位置和数量的关系，并说明理由．
【变式2】（2023·广东汕尾·校考二模）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
．
(1)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系，并证明你的结论．
【变式3】（2022秋·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=70°,∠ACB=60°,∠ACB的平分线交AB于点D．
(1)尺规作图：作∠ABC的平分线BO交CD于点O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求∠BOD的度数．
考点2：角平分线的性质应用——证明线段
典例2：（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，在ΔABC中，∠C=90°，DE⊥AB，于点E，AD平分∠CAB，点F在AC上，BD=DF．求证：BE=FC．
【变式1】（2023秋·河南安阳·八年级校考期中）如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点O，BD＝CE．
(1)求证：BE＝CD；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
【变式2】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝12CD．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．
（1）求∠BGC的度数．
（2）求证：GD＝GE．
考点3：角平分线性质应用——和差关系
典例3：（2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD．求证：
(1)DE平分∠ADC；
(2)AD＝AB+CD．
【变式1】（2023春·广东广州·七年级广州市天河区汇景实验学校校考期中）已知，如图，∠ABC=∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3，求证：∠1+∠4=180°
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：∵ BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）
∴ ∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC．（_______________）
∵ ∠ABC=∠ADC（_______________）
∴ ∠1=∠2（等量代换）
∵ ∠1=∠3（已知）
∴ ∠2=∠_______．（_______________）
∴ AB//CD（_______________）
∴ ∠1+∠4=180°（_______________）
【变式2】（2023秋·四川南充·八年级四川省南充市白塔中学校考期中）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD＝CD＋AB．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
考点4：角平分线性质应用——面积问题
典例4：（2023春·陕西西安·八年级西安行知中学校联考期中）如图，P为△ABC外角∠CBM,∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC，垂足分别为D，E，F．
(1)求证：PE=PF．
(2)若四边形ABPC的面积为20，且PD=4，求AB+AC的长．
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B=180°．
(1)若AB=12,AD=8，则AF= ．
(2)若△ABC的面积是24，△ADC的面积是16，则△BEC的面积等于 ．
【变式2】（2023秋·吉林·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC=4，AB=14．回答问题：
(1)P到AB的距离PD长为______，△PDB的周长为______；
(2)求△APB的面积．
【变式3】（2023春·湖南岳阳·八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是84cm2，AB=15cm，AC=13cm，求DE的长．
考点5：角平分线的判定
典例5：（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）如图，DE⊥AB交AB延长线于E，DF⊥AC于F，BD=CD，BE=CF．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)直接写出AB+AC与AE之间的数量关系．
【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
(1)求证：AE=CD；
(2)求证：AE⊥CD；
(3)连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有 ．
【变式3】（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE=CF．求证：∠DPA=∠DPC．
考点6：角平分线性质与判定综合
典例6：（2022秋·山东日照·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB的平分线.
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）四边形ABCD中，AB∥CD，DE平分∠ADC．
(1)如图1，若∠ABE=90°，E是BC的中点，求证：AE平分∠BAD；
(2)如图2，若AE平分∠BAD，求证：E是BC的中点；
(3)在（2）的条件下，若AE=8，DE=6，求四边形ABCD的面积．
【变式2】（2022秋·福建厦门·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AM平分∠BAD交BC于点M，M为BC的中点，连接DM．求证：
(1)DM平分∠ADC；
(2)AD=AB+CD．
【变式3】（2022秋·重庆璧山·八年级校联考期中）如图，△ABC中，点D在边AC延长线上，∠ACB=100°，∠BAC的平分线交BD于点E，过点E作EM⊥AD，垂足为M，且∠CEM=50°
(1)求∠BCE的度数．
(2)求证：BE平分∠CBF．
考点7：角平分线性质的实际应用
典例7：（2022秋·江苏南京·八年级南京市竹山中学校考阶段练习）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交．
求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【变式1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）根据图片回答下列问题．
(1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．
(2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．
【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC．
(1)请用尺规作图．在△ABC内部找一点P，使得点P到AB、BC、AC的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）；
(2)若△ABC的周长为14cm，面积为212cm2，求点P到AC的距离．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．
同步过关
一、单选题
1．（2022秋·全国·八年级期末）在△ABC内一点P到三边的距离相等，则点P一定是△ABC（ ）
A．三条角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点D．三条中线的交点
2．（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=2，BC=4，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，OC平分∠AOB，D是OC上一点，DE⊥OB于点E，若DE＝7，则点D到OA的距离为（ ）
A．7B．11C．14D．21
4．（2023秋·福建南平·八年级校考期中）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝9，则点D到斜边AB的距离为（ ）
A．7B．8C．9D．10
5．（2023秋·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BD=5cm，则点D到边AC的距离DE的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．5.5cmD．6cm
6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝32，则△BCE的面积等于（ ）
A．3B．154C．4D．92
7．（2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点D．三条中线交点
8．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，DE=2，AB=4，则AC的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=55°，∠C=35°，则∠ADE=（ ）
A．50°B．55°C．60°D．62.5°
10．（2022秋·北京·八年级北京交通大学附属中学校考期中）如图，∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，下列结论不一定正确的是（ ）
A．CM=CNB．OM=ONC．ON=CMD．∠MCO=∠NCO
11．（2022·八年级单元测试）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图，ΔABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得SΔABH=SΔBCH，则凉亭H是（ ）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
12．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）如图，OP平分∠AOB，点E为OA上一点，OE＝4，点P到OB的距离是2，则△POE的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
13．（2023秋·山东济宁·八年级统考期中）已知，如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③∠DOB=50°；④点A在∠DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
15．（2022秋·山东德州·八年级校考期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°−12∠ABC；④S△APM+S△CPN>S△APC．
其中结论正确的是（ ）．（填写结论的编号）
A．①②④B．①④C．①②③D．②③④
二、填空题
16．（2022秋·云南昆明·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．若AC=5，DE=2，则AD的长为________．
17．（2022·广西贵港·统考三模）如图，AB//CD，AE平分∠CAB交CD于点E,若∠C=50°，则∠AED＝__________．
18．（2022秋·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知：如图，D是BC上一点，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝4，若S△ABD=m，则S△ADC＝_____（用m的代数式表示）．
19．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，BO平分∠ABC,OD⊥BC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD=5，则OE的最小值为_______．
20．（2023秋·广西南宁·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,∠CAB的平分线AD交BC于点D．若AD=6，则点D到AB边的距离是_______．
21．（2022秋·内蒙古呼和浩特·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE= 3 ，则BC=________．
22．（2023春·全国·七年级专题练习）已知点A（−3+a,2a+9）在第二象限角平分线上，则a的值是___．
23．（2023秋·湖北咸宁·八年级校考期中）如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OM＝3，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是_____．
24．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，﹣a＋8），则a＝_____．
25．（2023春·八年级单元测试）如图，△ABC与△BDE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于点F，连接FB．给出下面四个结论：① AE=CD； ②∠AFC=60°； ③BF平分∠EBD； ④FB平分∠EFD.其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题
26．（2023春·山西·七年级校联考期末）如图，已知△ABC的高AD，∠BAC的平分线AE，∠B=26°，∠AED=41°，求∠CAD的度数．
27．（2023秋·八年级课时练习）如图，BE=CF，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
28．（2023春·河北廊坊·八年级校考期末）校园的一角如图所示，其中线段AB，BC，CD表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域中找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相等．请在图中找出点P．（用尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹）
29．（2022秋·吉林·八年级校考期中）把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由．
30．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,过点D作DE∥AB交AC于点E.
(1)求证：AE=DE
(2)若∠C=100°, ∠B=40°,求∠AED的度数
31．（2023春·广西贵港·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．求证：
(1)CF=EB；
(2)AB=AF+2BE．
32．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作∠BAC的平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若CD=3，AB=10，则△ABD的面积为_________．
33．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20．
（1）如图1，若AB＝AC，求AC的长；
（2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长．
34．（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：FA平分∠BFE．
35．（2022春·湖南长沙·七年级校考期末）（1）如图1，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFC的度数；
（2）如图2，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=42°，
①求∠CAB的度数；
②求∠CAP的度数．
专题04 角平分线的性质
考点类型
知识串讲
（一）角平分线的性质
（1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
（二）角平分线的判定
（1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：
∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
考点训练
考点1：尺规作图——角平分线
典例1：（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=120°．请用尺规作图法在BC上求作一点D，使得∠ADC=100°．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】∠BAD=∠ADC−∠B=100°−40°=60°，求得∠BAD=12∠BAC，故点D在∠BAC的角平分线上，按尺规作图即可．
【详解】解：∵∠BAD=∠ADC−∠B=100°−40°=60°
∴∠BAD=12∠BAC
∴点D是∠BAC的角平分线与BC的交点，
如图所示，作∠BAC的角平分线，与BC的交于点D，点D即为所求．
【点睛】本题考查尺规作图作角平分线，熟练掌握角平分线的尺规作图方法是解题的关键，难点是分析所给条件证明点D在∠BAC的角平分线．
【变式1】（2022秋·江苏·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BA延长线上一点，E为AC的中点．
(1)利用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不要求写作法）；
①作∠DAC的平分线AP；②连接BE并延长交AP于点F．
(2)猜想AF与BC位置和数量的关系，并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)AF∥BC且AF=BC；理由见解析
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法按要求作图即可；
（2）求出∠FAE=∠C，利用ASA证明△AEF≌△CEB，根据全等三角形的性质可得结论．
【详解】（1）如图
①
②
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，即∠C=12∠DAC，
∵AF平分∠DAC，
∴∠FAE=12∠DAC，
∴∠FAE=∠C，
又∵AE=CE，∠AEF=∠CEB，
∴△AEF≌△CEBASA，
∴AF=BC．
【点睛】本题考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线定义，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键．
【变式2】（2023·广东汕尾·校考二模）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
．
(1)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)DE∥AC
【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作∠BDC的平分线DE即可；
（2）先根据角平分线的定义得出∠BDE=∠CDE，再利用三角形外角的性质得出∠BDC=∠A+∠ACD，结合∠ACD=∠A可得出∠BDE=∠A，最后利用平行线的判定即可得出
【详解】（1）解：如图，DE为所作；
；
（2）解：DE∥AC．
理由如下：
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠CDE，
又∠BDC=∠A+∠ACD，
∴∠BDE+∠CDE=∠A+∠ACD，
∵∠ACD=∠A，
∴∠BDE=∠A，
∴DE∥AC．
【点睛】本题考查了基本作图—作已知角的平分线，平行线的判定，三角形外角的性质，掌握平行线的判定是解题的关键.
【变式3】（2022秋·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=70°,∠ACB=60°,∠ACB的平分线交AB于点D．
(1)尺规作图：作∠ABC的平分线BO交CD于点O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求∠BOD的度数．
【答案】(1)见解析
(2)55°
【分析】（1）根据角平分线的作法即可作∠ABC的平分线BO交CD于点O；
（2）根据内角和定理求出∠ABC，再根据角平分线定义求出∠OCB，∠OBC，再利用外角的性质求解．
【详解】（1）解：如图，BO即为所求；
（2）∵∠BAC=70°，∠ACB=60°，
∴∠ABC=180°−70°−60°=50°，
∵CD平分∠ACB，BO平分∠ABC，
∴∠OCB=12∠ACB=30°，∠OBC=12∠ABC=25°，
∴∠BOD=∠OCB+∠OBC=30°+25°=55°．
【点睛】本题考查了作图−基本作图，三角形内角和定理和外角的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
考点2：角平分线的性质应用——证明线段
典例2：（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，在ΔABC中，∠C=90°，DE⊥AB，于点E，AD平分∠CAB，点F在AC上，BD=DF．求证：BE=FC．
【答案】证明见详解
【分析】根据角平分线的性质可知DE=DC，再证明ΔDEB≅ΔDCF，即可证明BE=FC．
【详解】证明：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC，∠C=∠DEB=90°，
∴在RtΔDEB和RtΔDCF中，
∵DE=DCBD=DF，
∴ΔDEB≅ΔDCFHL，
∴BE=FC．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、角平分线的性质，根据角平分线的性质得出DE=DC是解答本题的关键．
【变式1】（2023秋·河南安阳·八年级校考期中）如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点O，BD＝CE．
(1)求证：BE＝CD；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)点O在∠BAC的平分线上，理由见解析
【分析】（1）由三角形的高得∠BEC=∠CDB=90°，由对顶角得∠BOD=∠COE，结合BD=CE，可证得ΔBOD≅ΔCOE，从而得到OD=OE，OB=OC，则有OD+OC=OE+OB，即CD=BE；
（2）连接AO，由三角形的高可得∠ADC=∠AEB=90°，结合（1）中的BE=CD，公共角∠BAE=∠CAD，可证得ΔADC≅ΔAEB，从而得AD=AE，易证得ΔADO≅ΔAEO，有∠DAO=∠EAO，从而得证．
（1）
证明：∵BE、CD是ΔABC的高，且相交于点O，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
在ΔBDO和ΔCEO中，∠CDB=∠BEC=90°∠BOD=∠COEBD=CE，
∴ΔBOD≅ΔCOE(AAS)，
∴OD=OE，OB=OC，
∴OD+OC=OE+OB，
即CD=BE；
（2）
解：点O在∠BAC的平分线上，理由如下：
连接AO，如图所示：
∵BE、CD是ΔABC的高，且相交于点O，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∵由（1）得BE=CD，
∴在ΔABE和ΔACD中，∠ADC=∠AEB=90°∠CAD=∠BAECD=BE，
∴ΔACD≅ΔABE(AAS)，
∴AD=AE，
∵由（1）得OD=OE，
∴在ΔAOD和ΔAOE中，AD=AE∠ADC=∠AEB=90°OD=OE，
∴ΔAOD≅ΔAOE(SAS)，
∴∠DAO=∠EAO，
∴点O在∠BAC的平分线上．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是结合图形分析清楚题中的条件与图中的条件，特别是图中的公共角与公共边．
【变式2】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝12CD．
【答案】见解析
【分析】分别延长BE、CA交于点F，首先结合题意推出△CFE≌△CBE，从而得到BE＝EF＝12BF，然后证明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD，即可得出结论．
【详解】证明：分别延长BE、CA交于点F，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠FEC＝90°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE＝∠BCE．
在△CFE与△CBE中，
∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，
∴△CFE≌△CBE，
∴BE＝EF＝12BF．
在△CFE与△CAD中，
∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝ 90°，
∴∠F＝∠ADC．
在△BFA与△CDA中，
∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，
∴△BFA≌△CDA，
∴BF＝CD．
∴BE＝12CD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造辅助线，并且准确判定全等三角形是解题关键．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．
（1）求∠BGC的度数．
（2）求证：GD＝GE．
【答案】（1）120°；（2）见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义，结合三角形内角和定理可得出∠GBC＋∠GCB，进一步求得∠BGC；
（2）连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN＝GM＝GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM＝180°−60°＝120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB＝120°，即∠EGD＝120°，∴∠EGN＝∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE＝GM．
【详解】解：（1）∵∠A＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°−60°＝120°，
∵∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G，
∴∠GBC＋∠GCB＝12∠ABC＋12∠ACB＝12（∠ABC＋∠ACB）＝60°，
∴∠BGC＝180°−（∠GBC＋∠GCB）＝120°；
（2）连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．
∵∠A＝60°，
∴∠ACB＋∠ABC＝120°，
∵CD，BE是角平分线，
∴∠BCG＋∠CBG＝120°÷2＝60°，
∴∠CGB＝∠EGD＝120°，
∵G是∠ACB平分线上一点，
∴GN＝GF，
同理，GF＝GM，
∴GN＝GM，
∴AG是∠CAB的平分线，
∴∠GAM＝∠GAN＝30°，
∴∠NGM＝∠NGA＋∠AGM＝60°＋60°＝120°，
∴∠EGD＝∠NGM＝120°，
∴∠EGN＝∠DGM，
又∵GN＝GM，
在Rt△EGN≌Rt△DGM，
∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），
∴GE＝GD．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及角平分线的性质，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键．
考点3：角平分线性质应用——和差关系
典例3：（2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD．求证：
(1)DE平分∠ADC；
(2)AD＝AB+CD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由角平分线的性质得到EB＝EF，等量代换得到EF＝EC，利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，再根据全等三角形的性质即可得解；
（2）由（1）得出FD＝CD，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，得到AF＝AB，再根据线段的和差即可得解．
【详解】（1）证明：如下图，过E作EF⊥AD于F，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴EB＝EF，
∵点E是BC的中点，
∴EB＝EC，
∴EF＝EC，
∵DC⊥BC，EF⊥AD，
∴∠EFD＝∠ECD＝90°，
在Rt△EFD和Rt△ECD中，
EF=ECED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD（HL），
∴∠FDE＝∠CDE，
∴DE平分∠ADC；
（2）解：由（1）知，Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴FD＝CD，
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
EF=EBAE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL），
∴AF＝AB，
∵AD＝AF+FD，
∴AD＝AB+CD．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解决问题的关键．
【变式1】（2023春·广东广州·七年级广州市天河区汇景实验学校校考期中）已知，如图，∠ABC=∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3，求证：∠1+∠4=180°
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：∵ BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）
∴ ∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC．（_______________）
∵ ∠ABC=∠ADC（_______________）
∴ ∠1=∠2（等量代换）
∵ ∠1=∠3（已知）
∴ ∠2=∠_______．（_______________）
∴ AB//CD（_______________）
∴ ∠1+∠4=180°（_______________）
【答案】见解析
【分析】首先根据角平分线定义可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC，根据等式的性质可得∠1=∠2，再由条件∠1=∠3可得∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠1+∠4=180°．
【详解】解：证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴ ∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC．（角平分线的定义），
∵∠ABC=∠ADC（已知），
∴∠1=∠2（等量代换），
∵∠1=∠3（已知），
∴∠2=∠3（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠1+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：角平分线的定义；已知；等量代换；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质以及角平分线的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
【变式2】（2023秋·四川南充·八年级四川省南充市白塔中学校考期中）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD＝CD＋AB．
【答案】证明见解析
【分析】过M作ME⊥AD于E，根据垂直定义和角平分线性质得出∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，根据全等三角形性质，推导得△MCD≌△MED，根据全等得出CD＝DE，同理得AE＝AB，即可得出答案．
【详解】如图，过M作ME⊥AD于E，
∵∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，
∴∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝EM，
∴∠CDM=∠EDM∠C=∠DEMCM=EM，
∴△MCD≌△MED（AAS），
∴CD＝DE，
∵∠BAM=∠EAM∠B=∠AEMBM=EM
∴△ABM≌△AEM（AAS），
∴AE＝AB，
∴AD＝AE＋DE＝CD＋AB．
【点睛】本题考查了角平分线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形的性质，从而完成求解．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
【答案】见详解．
【分析】根据PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再证Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可．
【详解】解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
CD=CECM=CN，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和是解题关键．
考点4：角平分线性质应用——面积问题
典例4：（2023春·陕西西安·八年级西安行知中学校联考期中）如图，P为△ABC外角∠CBM,∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC，垂足分别为D，E，F．
(1)求证：PE=PF．
(2)若四边形ABPC的面积为20，且PD=4，求AB+AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据角平分线的性质得出PD=PE,PD=PF，即可证明结论；
（2）连接AP，根据四边形ABPC的面积为20，得出S△ABP+S△ACP=20，即12AB⋅PE+12AC⋅PF=20，根据PE=PF=PD=4，得出AB+AC=10．
【详解】（1）证明：∵P为∠CBM,∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC，
∴PD=PE,PD=PF，
∴PE=PF．
（2）解：如图，连接AP，
∵四边形ABPC的面积为20，
∴S△ABP+S△ACP=20，
∴12AB⋅PE+12AC⋅PF=20，
由（1）知PE=PF=PD=4，
∴12AB⋅PD+12AC⋅PD=20，
即12PD⋅AB+AC=20，
∴2AB+AC=20，
∴AB+AC=10．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B=180°．
(1)若AB=12,AD=8，则AF= ．
(2)若△ABC的面积是24，△ADC的面积是16，则△BEC的面积等于 ．
【答案】(1)10
(2)4
【分析】（1）利用角平分线的性质可得CE=CF,∠F=∠CEB=90°，根据等角的补角相等得∠B=∠CDF，利用AAS证出Rt△BCE≌Rt△DCF，求出DF=BE，证明Rt△AFC≌Rt△AEC，推出AF=AE，由BE=DF可得AB−AE=AF−AD=AB−AF，即可得AB+AD=2AF；
（2）利用全等三角形的面积相等，设△BEC的面积为x，列出方程可得结果．
【详解】（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F
∴CE=CF,∠F=∠CEB=90°，
∵∠ADC+∠B=180°,∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠B=∠CDF，
在Rt△BCE与Rt△DCF中，
∠B=∠CDF∠CEB=∠FCE=CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(AAS)，
∴DF=BE，
在Rt△ACE与Rt△ACF中，
CE=CFAC=AC，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)，
∴AF=AE，
∴AB−AE=AF−AD=AB−AF，
∴AB+AD=2AF，
∵AB=12,AD=8，
∴AF=10，
故答案为：10．
（2）∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴S△BCE=S△DCF，
设△BEC的面积为x，
∵△ABC的面积是24，△ADC面积是16，
∴24−x=16+x,，
∴x=12×(24−16)=4．
即△BEC的面积等于4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式2】（2023秋·吉林·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC=4，AB=14．回答问题：
(1)P到AB的距离PD长为______，△PDB的周长为______；
(2)求△APB的面积．
【答案】(1)4，14
(2)△APB的面积为28
【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可得出PD=PC，可得答案；先证明△PDA≌△PCA，得出AD=AC，再求出△PDB的周长为PB+PD+BD=PB+PC+BD=AC+BD=AD+BD=AB，可得答案；
（2）由角平分线的性质可知，PD=PC=4，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵∠C=90°，AP平分∠BAC，
∴PD=PC，
∵PC=4，
∴PD=4，
∵∠PDA=∠PCA，PD=PC，AP=AP，
∴△PDA≌△PCA，
∴AD=AC，
∴△PDB的周长为PB+PD+BD=PB+PC+BD=AC+BD=AD+BD=AB，
∵AB=14，
∴△PDB的周长为14；
故答案为：4，14；
（2）解：由角平分线的性质可知，PD=PC=4，
S△PDB=12AB•PD=12×14×4=28．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
【变式3】（2023春·湖南岳阳·八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是84cm2，AB=15cm，AC=13cm，求DE的长．
【答案】DE=6cm
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD，列方程计算即可得解．
【详解】解：∵AD为∠BAC的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB×DE+12AC×DF，
∴S△ABC=12AB+AC×DE
即12×15+13×DE=84，
解得：DE=6，
∴DE=6cm．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并列出方程是解题的关键．
考点5：角平分线的判定
典例5：（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）如图，DE⊥AB交AB延长线于E，DF⊥AC于F，BD=CD，BE=CF．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)直接写出AB+AC与AE之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)AB+AC=2AE
【分析】（1）求出∠E=∠DFC=90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE=DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AE=AF，再根据BE=CF，即可求出答案．
【详解】（1）解：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFDHL，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：AB+AC=2AE．理由如下：
由（1）知AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
DE=DFAD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADFHL，
∴AE=AF，
∵BE=CF，
∴AB+AC=AE−BE+AF+CF=2AE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．
【答案】证明见解析
【分析】作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据角平分线的判定定理证明结论．
【详解】证明：作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，
∵DB平分∠ABC、DC平分∠ACH，
∴DE=DG，DF=DG，
∴DE=DF，
又DE⊥BA，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的外角平分线．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
(1)求证：AE=CD；
(2)求证：AE⊥CD；
(3)连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)②
【分析】（1）根据SAS证明△ABE≌△CBD即可得出答案；
（2）根据△ABE≌△CBD，得出∠BAE=∠BCD，利用三角形内角和定理，求出∠NMC=90°，即可得出答案；
（3）作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，根据全等三角形的性质，得出AE=CD，S△ABE=S△CDB，证明BK=BJ，根据角平分线的性质，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
AB=CB∠ABE=∠CBDBE=BD，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD．
（2）证明：∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵∠NMC=180°−∠BCD−∠CNM，∠ABC=180°−∠BAE−∠ANB，
又∠CNM=∠ANB，
∵∠ABC=90°，
∴∠NMC=90°，
∴AE⊥CD．
（3）解：结论：②
理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，如图所示：
∵△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，S△ABE=S△CDB，
∴12AE⋅BK=12CD⋅BJ，
∴BK=BJ，
∵BK⊥AE，BJ⊥CD，
∴BM平分∠AMD．
不妨设①成立，则△CBM≌△EBM，则AB=BD，显然不可能，故①错误．
故答案为：②．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质．
【变式3】（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE=CF．求证：∠DPA=∠DPC．
【答案】见解析
【分析】过D作DQ⊥AE，DG⊥CF，由S△ADE=12S▱ABCD=S△DFC，可得：AE•DQ2=DG•FC2，进而得出DQ=DG，得出PD为∠APC的角平分线，即可证明结论．
【详解】证明：过D作DQ⊥AE，DG⊥CF，连接DF和DE，如图所示：
则S△ADE=12S▱ABCD=S△DFC，
∴AE•DQ2=DG•FC2，
又∵AE=FC，
∴DQ=DG，
∴PD为∠APC的角平分线，
∴∠DPA=∠DPC（角平分线逆定理）．
【点睛】本题考查平行四边形和角平分线的性质，有一定的难度，解题的关键是准确作出辅助线，利用角平分线的性质进行证明．
考点6：角平分线性质与判定综合
典例6：（2022秋·山东日照·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB的平分线.
【答案】见解析
【分析】先过点E作EH⊥AB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EF⊥AD于点F，由平行线的性质可知EG⊥AC，由于E是BC的中点，可得出△CGE≌△BHE，故GE=EH，再根据角平分线的性质可知EF=GE，故EF=EH，进而可得出结论．
【详解】解：过点E作EH⊥AB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EF⊥AD于点F，如图所示：
∵EH⊥AB，
∴∠EHB=90°，
∵AB∥CD，
∴∠CGE=∠EHB=90°，∠GCE=∠B，
∴EG⊥DC，
∵点E是BC的中点，
∴CE=BE，
在△CGE与△BHE中∠GCE=∠BCE=EB∠CEG=∠BEH，
∴△CGE≌△BHE，
∴GE=EH，
∵DE平分∠ADC，EF⊥AD，EG⊥DC，
∴GE=EF，
∵GE=EH，
∴EF=EH，
∴AE是∠DAB的平分线．
【点睛】本题主要考查的是角平分线的判定和性质及全等三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）四边形ABCD中，AB∥CD，DE平分∠ADC．
(1)如图1，若∠ABE=90°，E是BC的中点，求证：AE平分∠BAD；
(2)如图2，若AE平分∠BAD，求证：E是BC的中点；
(3)在（2）的条件下，若AE=8，DE=6，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)48
【分析】（1）过点E作EF⊥AD，垂足为F．证明∠C=180°−∠B=90°，EF=EB，从而可得结论；
（2）如图2，延长DE,AB相交于点F．证明∠2=∠F，△AED≌△AEF(AAS)．可得DE=FE．再证明△DEC≌△FEB(ASA)．可得结论；
（3）证明S四边形ABCD=S四边形ABED+S△DEC =S△AED+S△AEF，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）证明：过点E作EF⊥AD，垂足为F．
∵AB∥DC，
∴∠B+∠C=180°．
又∵∠ABE=90°，
∴∠C=180°−∠B=90°
∴EC⊥DC,EB⊥AB
∵DE平分∠ADC，EC⊥DC，EF⊥DA，
∴EC=EF．
∵E是BC的中点，
∴EC=EB，
∴EF=EB．
又∵EF⊥AD,EB⊥AB，
∴AE平分∠BAD．
（2）证明：如图2，延长DE,AB相交于点F．
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∵AB∥CD，
∴∠1=∠F．
∴∠2=∠F．
在△AED和△AEF中，
∠2=∠F∠3=∠4AE=AE
∴△AED≌△AEF(AAS)．
∴DE=FE．
在△DEC和△FEB中，
∠1=∠FDE=FE∠5=∠6
∴△DEC≌△FEB(ASA)．
∴CE=BE．
∴E是BC的中点．
（3）解：由（2）得：△AED≌△AEF，
∴∠AED=∠AEF,S△AED=S△AEF．
∵∠AED+∠AEF=180°，
∴∠AED=∠AEF=90°．
∵△DEC≌△FEB，
∴S△DEC=S△FEB．
S四边形ABCD=S四边形ABED+S△DEC
=S四边形ABED+S△BEF
=S△AED+S△AEF
=2S△AED=2×12×AE⋅DE=2×12×8×6=48．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理与判定定理的应用，作出合适的辅助线，构建三角形全等是解本题的关键．
【变式2】（2022秋·福建厦门·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AM平分∠BAD交BC于点M，M为BC的中点，连接DM．求证：
(1)DM平分∠ADC；
(2)AD=AB+CD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）过点M作ME⊥AD于点E，由角平分线的性质得ME=MB，再证ME=MC，即可得出结论；
（2）证Rt△AME≌Rt△AMB（HL），得AE=AB，同理可证DC=DE，即可得出结论．
【详解】（1）如图，过点M作ME⊥AD于点E，
∵∠B=∠C=90°，
∴MB⊥AB，MC⊥CD，
∵AM平分∠DAB，MB⊥AB，ME⊥AD，
∴ME=MB，
又∵M为BC的中点，
∴MC=MB，
∴ME=MC，
∵MC⊥CD，ME⊥AD，
∴DM平分∠ADC；
（2）在Rt△AME和Rt△AMB中，
ME=MBAM=AM，
∴Rt△AME≌Rt△AMB（HL），
∴AE=AB，
同理可证DC=DE，
∵AD=AE+DE，
∴AD=AB+CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质和判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定与性质是解题的关键．
【变式3】（2022秋·重庆璧山·八年级校联考期中）如图，△ABC中，点D在边AC延长线上，∠ACB=100°，∠BAC的平分线交BD于点E，过点E作EM⊥AD，垂足为M，且∠CEM=50°
(1)求∠BCE的度数．
(2)求证：BE平分∠CBF．
【答案】(1)40°
(2)见解析
【分析】(1)先计算∠BCD=80°，再计算∠ECM=40°，根据∠BCE=∠BCD−∠ECM计算即可．
(2) 过点E作EH⊥BF,EN⊥BC，垂足分为H，N．证明EN=EH即可．
【详解】（1）因为∠ACB=100°，
所以∠BCD=80°．
因为EM⊥AD，垂足为M，且∠CEM=50°，
所以∠ECM=40°，
所以∠BCE=∠BCD−∠ECM=80°−40°=40°．
（2）如图，过点E作EH⊥BF,EN⊥BC，垂足分为H，N．
因为∠BAC的平分线交BD于点E，过点E作EM⊥AD，
所以EM=EH；
因为∠ECM=∠BCE，
所以EM=EN；
所以EN=EH，
所以BE平分∠CBF．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角的平分线性质和判定，熟练掌握角的平分线性质和判定是解题的关键．
考点7：角平分线性质的实际应用
典例7：（2022秋·江苏南京·八年级南京市竹山中学校考阶段练习）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交．
求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【分析】根据角平分线的性质及作法，即可作得．
【详解】解：作法如下：
1．尺规作出∠A、∠EBC、∠BCF中任意两个角的角平分线，交点即为O1点；
2．尺规作出∠A、∠ABC、∠ACB中任意两个角的角平分线，交点即为O2点．
证明：∵点O1是∠A与∠BCF平分线的交点，
∴点O1到公路AE、AF、BC的距离相等；
∵点O2是∠A与∠ABC平分线的交点，
∴点O2到公路AE、AF、BC的距离相等；
∴点O1、点O2即为所求作的点
【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的性质，熟练掌握和运用角平分线的作法及性质是解决本题的关键．
【变式1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）根据图片回答下列问题．
(1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．
(2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．
【答案】(1)=
(2)见解析
【分析】（1）根据题目挖掘条件证明△ACD≌△ABD即可
（2）在AB边上取点E，使AC=AE，证明△ACD≌△AED，利用全等对应角和∠ABD+∠ACD=180°得到∠DEB=∠B，从而推出结论
（1）
∵∠B+∠C=180°，∠B=90°
∴∠C=90°
∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠BAD
∵AD=AD
∴△ACD≌△ABD（AAS）
∴BD=CD
（2）
如图②，在AB边上取点E，使AC=AE
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠EAD
∵AD=AD，AC=AE
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴DC=DE，∠AED=∠C
∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°
∴∠DEB=∠B
∴DE=DB
∴DB=DC
【点睛】本题考查全等三角形的证明，以及角平分线常见辅助线；注意第二小题难点在于辅助线
【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC．
(1)请用尺规作图．在△ABC内部找一点P，使得点P到AB、BC、AC的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）；
(2)若△ABC的周长为14cm，面积为212cm2，求点P到AC的距离．
【答案】(1)见解析
(2)32
【分析】（1）根据题意作∠A,∠B的角平分线的交点P，即为所求；
（2）根据（1）的结论，设点P到AC的距离为d，则12×14d=212，解方程求解即可．
【详解】（1）如图，点P即为所求，
（2）设点P到AC的距离为d，
由（1）可知点P到AB、BC、AC的距离相等
则S△ABC=12AB+BC+ACd=12×14d
∴ 12×14d=212
解得：d=32
∴点P到AC的距离为32
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．
【答案】见解析
【分析】作∠AOB的角平分线OD，OD与MN的交点到∠AOB的两边OA，OB的距离相等．
【详解】如图所示：作∠AOB的平分线交MN于点P，点P即为该超市的位置．
【点睛】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
同步过关
一、单选题
1．（2022秋·全国·八年级期末）在△ABC内一点P到三边的距离相等，则点P一定是△ABC（ ）
A．三条角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点D．三条中线的交点
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答即可．
【详解】解：∵点P到△ABC的三边的距离相等，
∴点P应是△ABC三条角平分线的交点．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质；熟练掌握角的平分线的性质是解决问题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=2，BC=4，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得出DE=AD=2，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，对角线BD平分∠ABC，
∴AD=DE，
∵AD=2，
∴DE=2，
∵BC=4，
∴SΔBCD=12BC⋅DE=12×4×2=4，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
3．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，OC平分∠AOB，D是OC上一点，DE⊥OB于点E，若DE＝7，则点D到OA的距离为（ ）
A．7B．11C．14D．21
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点D作DF⊥OA于点F，
∵OC平分∠AOB，D为OC上一点，DE⊥OB于点E，DE＝7，
∴DF=DE=7，
即D到OA的距离等于7．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
4．（2023秋·福建南平·八年级校考期中）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝9，则点D到斜边AB的距离为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质解答．
【详解】解：作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=9，
故选：C．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5．（2023秋·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BD=5cm，则点D到边AC的距离DE的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．5.5cmD．6cm
【答案】B
【分析】利用角平分线的性质证得DE=BD=5cm即可求解．
【详解】解：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，AD平分∠BAC，
∴DE=BD=5cm，
即DE=BD=5cm，
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质、点到直线的距离，熟练掌握角平分线的性质定理是解答的关键．
6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝32，则△BCE的面积等于（ ）
A．3B．154C．4D．92
【答案】B
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得到EF=DE=32 ，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF＝DE＝32，
∴△BCE的面积＝12×BC×EF＝154．
故选B.
【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．（2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点D．三条中线交点
【答案】B
【分析】根据角平分线性质的逆定理即可得出答案．
【详解】解：P到三条距离相等，即PD＝PE＝PF，
连接PA、PB、PC，
∵PD＝PE，
∴PB是∠ABC的角平分线，
同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线，
故P是△ABC角平分线交点，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形角平分线的交点，掌握角平分线的性质的逆定理是解题的关键．
8．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，DE=2，AB=4，则AC的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】作DF⊥AC于F，证明DF=DE=2，由面积可得12×AB×DE+12×AC×DF=7，从而可得答案．
【详解】解：作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=2，
∴12×AB×DE+12×AC×DF=7，
∴12×4×2+12×AC×2=7，
解得AC=3，
故选：A．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形面积公式的应用，熟记角平分线的性质并灵活应用是解本题的关键．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=55°，∠C=35°，则∠ADE=（ ）
A．50°B．55°C．60°D．62.5°
【答案】A
【分析】由三角形的内角和定理可得∠BAC=90°，再利用角平分线的性质得到∠EDC=47.5°，最后利用三角形外角的性质得出结果．
【详解】解：∵∠B=55°，∠C=35°，
∴∠BAC=180°−55°−35°=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC2=45°
∵∠ADC=∠B+∠BAD=55°+45°=100°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠ADC2=100°2=50°
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和及三角形外角的性质．
10．（2022秋·北京·八年级北京交通大学附属中学校考期中）如图，∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，下列结论不一定正确的是（ ）
A．CM=CNB．OM=ONC．ON=CMD．∠MCO=∠NCO
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质可得：CM=CN，然后证明△MOC≌△NOC，即可得出OM=ON，∠MCO=∠NCO，则根据选项判断即可．
【详解】解：∵∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，CN⊥OB，
∴CM=CN，则A选项正确，不符合题意；
∵∠CMO=∠CNO=90°,CM=CN,OC=OC，
∴△MOC≌△NOC(HL)，
∴OM=ON，∠MCO=∠NCO，
故B、D选项正确，不符合题意；
不能得出ON=CM，故C选项错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
11．（2022·八年级单元测试）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图，ΔABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得SΔABH=SΔBCH，则凉亭H是（ ）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质定理可得点H在∠BAC的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得ΔABE的面积=ΔBCE的面积，ΔAHE的面积=ΔCHE的面积，然后利用等式的性质可得ΔABH的面积=ΔCBH的面积，即可解答．
【详解】解：如图：作∠BAC的平分线交BC于D，作AC的中线BE交AD于H，
∵AD平分∠BAC，点H在AD上，
∴点H到AB、AC的距离相等，
∵BE是AC边上的中线，
∴ΔABE的面积=ΔBCE的面积，ΔAHE的面积=ΔCHE的面积，
∴ΔABE的面积−ΔAHE的面积=ΔBCE的面积−ΔCHE的面积，
∴ΔABH的面积=ΔCBH的面积，
∴凉亭H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握三角形的角平分线和中线的性质是解题的关键．
12．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）如图，OP平分∠AOB，点E为OA上一点，OE＝4，点P到OB的距离是2，则△POE的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质，求出距离也就是高为2，利用三角形面积公式即可求得．
【详解】∵OP平分∠AOB，点P到OB的距离是2，
∴点P到OA的距离是2
∴S△OEP=12×4×2=4
故选：A
【点睛】此题考查了角平分线的性质，如何求三角形面积，解题的关键是利用角平分线的性质求出距离（三角形高）．
13．（2023秋·山东济宁·八年级统考期中）已知，如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．
【详解】解：∵∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，① 符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，② 符合题意；
在Rt△POD和Rt△POE中，
{OD=DEOP=OP ，
∴Rt△POD≌Rt△POE，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③ 符合题意；
∵∠DPO=∠EPO，PD⊥OA，PE⊥OB
∴在△POD和△POE中，
{∠DPO=∠EPO∠PDO=∠PEOOP=OP
∴△POD≌△POE（AAS），
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④ 符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③∠DOB=50°；④点A在∠DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定及角平分线的性质即可依次判断．
【详解】∵∠DAB=∠CAE
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC
∴∠DAC=∠EAB
∵AB=AD，AC=AE
∴△ADC≌△ABE
∴CD=BE，故①②正确；
∵△ADC≌△ABE
∴∠ADC =∠ABE
设AB与CD交于G点，
∵∠AGD =∠BGC
∴∠DOB=∠DAB=50°,故③正确；
过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点，
则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高
∵△ADC≌△ABE
∴AF=AH
∴点A在∠DOE的平分线上，④正确
故选D．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质与判定．
15．（2022秋·山东德州·八年级校考期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°−12∠ABC；④S△APM+S△CPN>S△APC．
其中结论正确的是（ ）．（填写结论的编号）
A．①②④B．①④C．①②③D．②③④
【答案】C
【分析】①过点P做PD⊥AC，根据AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再证明△PDC≌△PNC即可得出结论；②根据BP和CP都是角平分线，结合三角形内角和定理，即可得到∠BPC=12∠ACN−12∠ABC，再根据三角形外角性质，可以得到∠BPC=12(∠BAC+∠ABC)−12∠ABC=12∠BAC，即可得到结论；③由①可得，△PDC≌△PNC，故∠APC=12∠MPN，根据∠PMB=∠PNB=90°，所以∠MPN=180°−∠ABC，代入得∠APC=90°−12∠ABC，即可得出结论；④由①可得△PDC≌△PNC，故S△APM+S△CPN=S△APC，即可得出结论．
【详解】解：①过点P作PD⊥AC，如图，
∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE，
∴PM=PD．
∵BP是∠ABC 的平分线，PN⊥BF，
∴PM=PN，
∴PD=PN．
∵PC=PC，
∴△PDC≌△PNC(HL)，
∴∠PCD=∠PCN，故①正确；
②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCN=12∠ACN．
∵∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB，∠PCB=180°−∠PCN，
∴∠BPC=12∠ACN−12∠ABC．
∵∠ACN=∠ABC+∠BAC，
∴∠BPC=12∠BAC，故②正确；
③由①可得△PDC≌△PNC，同理又易证△PMA≌△PDA(HL)，
∴∠APC=12∠MPN，
∵∠PMB=∠PNB=90°，四边形内角和为360°，
∴∠MPN=180°−∠ABC，
∴∠APC=12∠MPN=90°−12∠ABC，故③正确；
④由①和③可得△PDC≌△PNC，△PMA≌△PDA，
∴S△PDC=S△PNC，S△PMA=S△PDA．
∵S△APC=S△PDC+S△PDA，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④错误；
综上可知正确的有：①②③．
故选C．
【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
二、填空题
16．（2022秋·云南昆明·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．若AC=5，DE=2，则AD的长为________．
【答案】3
【分析】根据角平分线的性质求得DE=DC=2，则可求出AD的长度
【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°
∴DE=DC=2
∴AD=AC−DC=5−2=3
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等，解题的关键是熟知性质及对应的模型．
17．（2022·广西贵港·统考三模）如图，AB//CD，AE平分∠CAB交CD于点E,若∠C=50°，则∠AED＝__________．
【答案】115°
【分析】根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠C＋∠CAB＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠CAB＝180°−50°＝130°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＋∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°−65°＝115°，
故答案为115°．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和平行线性质的应用.
18．（2022秋·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知：如图，D是BC上一点，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝4，若S△ABD=m，则S△ADC＝_____（用m的代数式表示）．
【答案】45m/0.8m
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得DE=DF，从而得到SΔADC:SΔADB=AC:AB，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∴SΔADC:SΔADB=12⋅AC⋅DF:12⋅AB⋅DE=AC:AB
∵AB＝5，AC＝4，S△ABD=m，
∴SΔADC:m=4:5，
∴SΔADC=45m．
故答案为：45m
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
19．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，BO平分∠ABC,OD⊥BC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD=5，则OE的最小值为_______．
【答案】5
【分析】根据角平分线的性质即可求出．
【详解】解：当OE⊥AB时，OE最小，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OD=5，
∴OD=OE=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
20．（2023秋·广西南宁·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,∠CAB的平分线AD交BC于点D．若AD=6，则点D到AB边的距离是_______．
【答案】3
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质定理，可得CD=DE，又由∠B=30°，可得∠CAD=30°，从而得到CD=12AD=3 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，∠ACB=90°，
∴CD=DE，
∵∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∴∠CAD=30°，
∵AD=6，
∴CD=12AD=3 ，
∴DE=3，即点D到AB边的距离是3．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
21．（2022秋·内蒙古呼和浩特·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE= 3 ，则BC=________．
【答案】33
【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．
【详解】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE= 3 ，
又∵直角△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2 3 ，
∴BC=CD+BD= 3 +2 3 =3 3 ．
故答案为：3 3 ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
22．（2023春·全国·七年级专题练习）已知点A（−3+a,2a+9）在第二象限角平分线上，则a的值是___．
【答案】-2
【分析】根据点A在角平分线上可知，点A到两个坐标的距离是相等的；第二象限的点，横坐标小于0，纵坐标大于0，综合可得A点的横纵坐标之和为0，据此列方程即可求解．
【详解】∵点A(-3+a,2a+9)在第二象限的角平分线上，
∴-3+a+2a+9＝0，
∴a＝−2．
故答案为：−2．
【点睛】此题是坐标与图形性质的题，主要考查了象限角平分线上点的特点，解本题的关键是掌握了象限角平分线上点的特点．
23．（2023秋·湖北咸宁·八年级校考期中）如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OM＝3，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是_____．
【答案】MP≥1.5
【分析】作MH⊥OB于H，根据含30°角的直角三角形的性质求出EM，根据角平分线的性质解答．
【详解】作MH⊥OB于H，
∵M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，
∴∠AOM＝30°，又ME⊥OA，
∵OM=3，
∴EM＝1.5，
∵M是∠AOB平分线上一点，ME⊥OA，MH⊥OB，
∴MH＝ME＝1.5，
则MP≥1.5，
故答案为：MP≥1.5.
【点睛】本题考查的是角平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等；30°角所对的直角边等于斜边的一半．
24．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，﹣a＋8），则a＝_____．
【答案】2
【分析】根据尺规作图可知，点C在∠AOB角平分线上，所以C点的横坐标和纵坐标相等，即可以求出a的值．
【详解】解：根据题目尺规作图可知，交点C是∠AOB角平分线上的一点，
∵点C在第一象限，
∴点C的横坐标和纵坐标都是正数且横坐标等于纵坐标，即3a=-a+8，
得a=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线尺规作图，角平分线的性质，以及平面直角坐标系的知识，结合直角坐标系的知识列方程求解是解答本题的关键．
25．（2023春·八年级单元测试）如图，△ABC与△BDE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于点F，连接FB．给出下面四个结论：① AE=CD； ②∠AFC=60°； ③BF平分∠EBD； ④FB平分∠EFD.其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①②④
【分析】证明△ABE≌△CBD SAS，根据全等三角形的性质即可判断①，设BC,AF交于点G，根据三角形的外角的性质得出∠GFC=∠ABC=60°，即可判断②，过点B，分别作AF,CD的垂线，垂足分别为M,N，证明△AMB≌△CNBAAS，根据角平分线的判定得出④正确，而判断③的条件不够，进而即可求解．
【详解】解：∵△ABC与△BDE都为等边三角形，
∴BA=BC,BE=BD,∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠ABC−∠EBC=∠EBD−∠EBC,即∠ABE=∠CBD,
∴△ABE≌△CBD SAS，
∴AE=CD，故①正确；
如图，设BC,AF交于点G，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠DCB=∠EAB，
∵∠CGA=∠GAB+∠ABC=∠GCF+∠GFC
∴∠GFC=∠ABC=60°，
即∠AFC=60°，故②正确；
如图所示，过点B，分别作AF,CD的垂线，垂足分别为M,N，
∴∠AMB=∠CNB=90°，
又AB=CB,∠BCN=∠BAM，
∴△AMB≌△CNBAAS
∴BM=BN，
又BM⊥AF,BN⊥FD，
∴FB平分∠AFD，故④正确，
若BF平分∠EBD，则BF⊥ED，根据已知条件不能得到，
故③不正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题
26．（2023春·山西·七年级校联考期末）如图，已知△ABC的高AD，∠BAC的平分线AE，∠B=26°，∠AED=41°，求∠CAD的度数．
【答案】34°
【分析】先根据三角形外角性质计算出∠BAE=15°，再根据角平分线定义得到∠BAC=30°，接着再利用三角形外角性质得到∠ACD，再利用三角形内角和可得∠CAD．
【详解】解：∵∠B=26°，∠AED=41°，
∴∠BAE=15°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=30°，
∴∠ACD=∠BAC+∠B=56°，
∴∠CAD=90°−∠ACD=90°−56°=34°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理：三角形内角和是180°，合理使用三角形外角性质计算角度及掌握角平分线性质是解题关键．
27．（2023秋·八年级课时练习）如图，BE=CF，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
【答案】证明见解析
【分析】先根据全等三角形的判定定理得出Rt△BDE≌Rt△CDF，进而得出DE=DF，由角平分线的判定即可得证．
【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴Rt△BDE与Rt△CDF都是直角三角形，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDFHL，
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线．
【点睛】本题考查角平分线的判定及全等三角形的判定与性质，掌握到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
28．（2023春·河北廊坊·八年级校考期末）校园的一角如图所示，其中线段AB，BC，CD表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域中找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相等．请在图中找出点P．（用尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹）
【答案】图见解析．
【分析】由点P到三面围墙的距离都相等，所以P是∠ABC,∠BCD的角平分线的交点，作出两个角的角平分线的交点即可．
【详解】解：分别作∠ABC,∠BCD的角平分线，如图，
∴交点P即为所求．
【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图．
29．（2022秋·吉林·八年级校考期中）把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由．
【答案】见解析
【分析】过点M作ME⊥AB于点E，根据题意可得根据题意得：∠BAD=30°，∠BAC=60°，∠C=90°，从而得到∠CAD=∠BAD，再根据角平分线的性质定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，
根据题意得：∠BAD=30°，∠BAC=60°，∠C=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠CAD=∠BAD，
∵ME⊥AB，
∴∠AEM=90°，
∴CM=EM，
即MC的长度就等于点M到AB的距离．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
30．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,过点D作DE∥AB交AC于点E.
(1)求证：AE=DE
(2)若∠C=100°, ∠B=40°,求∠AED的度数
【答案】(1)见解析
(2)∠AED=140°
【分析】（1）根据角平分线性质可得∠BAD=∠CAD,由DE∥AB,根据平行线的性质得∠BAD=∠ADE,得到∠CAD=∠ADE,即可得到结论．
（2）根据三角形的内角和可求出∠BAC=40°,由DE∥AB,根据平行线的性质即可得出结果．
【详解】（1）∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD,
∵DE∥AB,
∴∠BAD=∠ADE,
∴∠CAD=∠ADE,
∴AE=DE.
（2）∵∠C=100°,∠B=40°,
∴∠BAC=40°,
∵DE∥AB,
∴∠AED+∠BAC=180°,
∴∠AED=140°.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键．
31．（2023春·广西贵港·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．求证：
(1)CF=EB；
(2)AB=AF+2BE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得DE=DC．再根据Rt△CDF≌Rt△EBDHL，得CF=EB；
（2）利用角平分线性质证明Rt△ADC≌Rt△ADEHL，得到AC=AE，再将线段AC进行转化．
【详解】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=DC，
在Rt△CDF和Rt△EBD中，
BD=DFDC=DE，
∴Rt△CDF≌Rt△EBDHL，
∴CF=EB；
（2）证明：在Rt△ADC与Rt△ADE中，
CD=DEAD=AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADEHL，
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+BE=AF+CF+BE=AF+2BE．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
32．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作∠BAC的平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若CD=3，AB=10，则△ABD的面积为_________．
【答案】（1）见解析；（2）15
【分析】（1）根据基本作图-作角平分线的方法作出图形即可．
（2）过点D作DE⊥AB于E．证明DE=DC=3，再利用三角形的面积公式可得结论．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）过点D作DE⊥AB于E．
∵∠ACB=90°，AD平分∠BAC，CD=3，AB=10，
∴DE=DC=3，
∴SΔABD=12⋅AB⋅DE=12×10×3=15
【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
33．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20．
（1）如图1，若AB＝AC，求AC的长；
（2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长．
【答案】（1）203；（2）253
【分析】（1）作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DF＝DE，根据三角形的面积公式列式计算即可；
（2）同（1）的方法计算．
【详解】解：（1）如图1，作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝3，
由题意得，12×AB×3＋12×AC×3＝20，
解得，AC＝AB＝203；
（2）如图2，作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝3，
由题意得，12×5×3＋12×AC×3＝20，
解得，AC＝253．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
34．（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：FA平分∠BFE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据SAS证明结论即可；
（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．
由△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，
∵12⋅BD⋅AM=12⋅CE⋅AN，
∴AM＝AN，
∴点A在∠BFE平分线上，
∴FA平分∠BFE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明．
35．（2022春·湖南长沙·七年级校考期末）（1）如图1，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFC的度数；
（2）如图2，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=42°，
①求∠CAB的度数；
②求∠CAP的度数．
【答案】（1）120°；（2）①84°；②48°
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠FBC=12∠ABC，∠FCB=12∠ACB，再根据三角形内角和定理求出即可；
（2）①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠PCD=∠BPC+∠PCB，根据角平分线的定义可得∠PCD=12∠ACD，∠PBC=12∠ABC，然后整理得到∠PCD=42°+12∠ABC，再代入数据计算即可得解；
②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，根据角平分线的性质与判定可得AP平分∠CAE，再根据角平分线的定义可求解．
【详解】解：（1）∵∠ABC=40°，∠A=60°，
∴∠ACB=80°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠FBC=12∠ABC=20°，∠FCB=12∠ACB=40°，
∴∠BFC=180°−（∠FBC+∠FCB）=120°；
（2）①在△ABC中，∠ACD=∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD=∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD=12∠ACD，∠PBC=12∠ABC，
∴∠PCD=∠BPC+∠PBC=42°+12∠ABC，
∴12∠ACD=12∠ABC+42°，
∴∠ACD−∠ABC=84°，
∴∠BAC=∠ACD−∠ABC=84°，
即∠CAB=84°．
②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
∴PE=PG，PF=PG，
∴PE=PF，
∴AP平分∠CAE，
∴∠CAP=12∠CAE=12×（180°−84°）=48°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．本题也考查了三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义．
相关试卷
人教版八年级数学上册重难考点专题04等边三角形(知识串讲+5大考点)特训(原卷版+解析)： 这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题04等边三角形(知识串讲+5大考点)特训(原卷版+解析)，共61页。
人教版八年级数学上册重难考点专题04因式分解(知识串讲+13大考点)特训(原卷版+解析)： 这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题04因式分解(知识串讲+13大考点)特训(原卷版+解析)，共55页。
人教版八年级数学上册重难考点专题03多边形及其内角和(知识串讲+10大考点)特训(原卷版+解析)： 这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题03多边形及其内角和(知识串讲+10大考点)特训(原卷版+解析)，共62页。试卷主要包含了边形等内容，欢迎下载使用。
