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人教版八年级数学上册重难考点专题06全等三角形单元过关(培优版)特训(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题06全等三角形单元过关(培优版)特训(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，若△ABE≌△ACF，且AB=8，AE=3，则EC的长为（ ）
A．2B．3C．5D．2.5
2．（2022秋·山东聊城·八年级校联考阶段练习）如图，∠B=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF，需添加的条件不能是（ ）
A．∠A=∠DB．BC=EFC．AC=DFD．∠ACB=∠F
3．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，AE=AC，连接AD，若BC=8，则BD+DE等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．（2023春·全国·八年级阶段练习）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点(格点上)，这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有( )个(不含△ABC)
A．28B．29C．30D．31
6．（2023秋·八年级单元测试）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值（ ）
A．等于3B．大于3C．小于3D．无法确定
7．（2023·全国·八年级假期作业）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=120°，则∠MAB的度数为（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
8．（2022秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（ ）
①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE
A．①②B．③⑤C．①③④D．①④⑤
9．（2022秋·山东德州·八年级校考期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°−12∠ABC；④S△APM+S△CPN>S△APC．
其中结论正确的是（ ）．（填写结论的编号）
A．①②④B．①④C．①②③D．②③④
10．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE 平分∠CAD，交 BC于点 E，过点 E 作 EF∥AC，分别交 AB、AD 于点 F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
第II卷（非选择题）
11．（2023春·七年级课时练习）如图，点E，C，F，B在一条直线上，EC=BF，AB=DE，当添加条件______时，可由“边角边”判定△ABC≌△DEF．
12．（2022春·广东茂名·八年级统考期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC=2，则PD=______．
13．（2023秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．
14．（2023秋·内蒙古包头·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=5，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF//BC交AB于点E，交AC于点F,，则△AEF的周长等于___________
15．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝_____．
16．（2022秋·广东东莞·八年级东莞市石碣袁崇焕中学校考期中）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ABC=54°，CE平分∠ACB，AD平分∠CAB，CE与AD交于点F，G为△ABC外一点，∠ACD=∠FCG，∠CBG=∠CAF，连接DG．下列结论：①△ACF≌△BCG；②∠BGC=117°；③S△ACE=S△CFD+S△BCG；④AD=DG+BG．其中结论正确的是_____________（只需要填写序号）．
17．（2022秋·河南周口·八年级统考阶段练习）如图，点A，B，D，E在同一条直线上，AD=BE，AC∥DF，BC∥EF．求证：BC=EF．
18．（2023秋·山东聊城·八年级校考阶段练习）如图，AC//EF，AC=EF，AB=ED．求证：△ABC≌△EDF．
19．（2023秋·吉林长春·八年级长春市实验中学校考期中）如图，∠ABC=∠DCB，AB=DC，AC与BD 相交于E．求证：AE=DE．
20．（2022秋·河南商丘·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，AB=BC=2CD，AB//CD，∠C=90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
21．（2023春·七年级课时练习）用尺规作图法作∠AOB的角平分线．（请填空，图上保留作图痕迹即可）
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
（1）以 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点 为圆心， 为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
22．（2023·全国·九年级专题练习）已知：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）若∠A＝120°，∠B＝20°，求∠DFC的度数．
23．（2018秋·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：DE=EF；
（2）当∠A=44°时，求∠DEF的度数；
（3）当∠A等于多少度时，△DEF成为等边三角形？试证明你的结论．
24．（2023春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明；
(3)当直线MN绕点C旋转到如图的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明．
25．（2023春·七年级单元测试）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，
①试说明△ACP≌△BPQ．
②此时，线段PC和线段PQ有怎样的关系，请说明理由．
(2)如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有△ACP和△BPQ全等，求出此时的x，t的值．
专题06 全等三角形单元过关（培优版）
考试范围：第十二章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，若△ABE≌△ACF，且AB=8，AE=3，则EC的长为（ ）
A．2B．3C．5D．2.5
【答案】C
【分析】由△ABE≌△ACF可得AB=AC, 从而利用线段的和差可得答案．
【详解】解：∵△ABE≌△ACF,AB=8，
∴AB=AC=8,
∵AE=3,
∴CE=AC−AE=8−3=5.
故选C．
【点睛】本题考查的是三角形全等的性质，线段的和差，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2022秋·山东聊城·八年级校联考阶段练习）如图，∠B=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF，需添加的条件不能是（ ）
A．∠A=∠DB．BC=EFC．AC=DFD．∠ACB=∠F
【答案】C
【分析】根据证明三角形全等的方法求解即可．
【详解】解：若添加∠A=∠D，
又∠B=∠DEF，AB=DE，
∴△ABC≌△DEFASA，
故A选项不符合题意；
若添加BC=EF，又∠B=∠DEF，AB=DE，
∴△ABC≌△DEFSAS，
故B选项不符合题意；
若添加AC=DF，
不能证明△ABC≌△DEF，
故C选项符合题意；
若添加∠ACB=∠F，
又∠B=∠DEF，AB=DE，
∴△ABC≌△DEFAAS，
故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
3．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，AE=AC，连接AD，若BC=8，则BD+DE等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】证明Rt△ACD≌Rt△AED，由全等三角形的性质得出CD=DE，则可得出答案．
【详解】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD=ADAC=AE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴CD=DE，
∴BD+DE=BD+CD=BC，
∵BC=8，
∴BD+DE=BC=8．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，得到Rt△ACD≌Rt△AED是解题的关键．
4．（2023春·全国·八年级阶段练习）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点(格点上)，这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有( )个(不含△ABC)
A．28B．29C．30D．31
【答案】D
【分析】每个3×3的正方形中可以画出8个与△ABC全等的格点三角形，图中4×4的正方形包含有4个3×3的正方形，即可求解．
【详解】解：每个3×3的正方形中可以画出8个与△ABC全等的格点三角形，
图中4×4的正方形包含有4个3×3的正方形，
∴与△ABC全等的格点三角形的个数有：4×8－1=31个．
【点睛】本题考查格点三角形的定义以及全等三角形的性质，理解格点三角形的定义是解决问题的关键．
6．（2023秋·八年级单元测试）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值（ ）
A．等于3B．大于3C．小于3D．无法确定
【答案】A
【分析】由题意过P点作PH⊥OB于H，进而利用角平分线的性质得到PH=PD=3，然后根据垂线段最短即可得到PE的最小值．
【详解】解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB于H，
∴PH＝PD＝3，
∵点E是射线OB上的一个动点，
∴点E与H点重合时，PE有最小值，最小值为3．
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的性质以及垂线段最短，注意掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7．（2023·全国·八年级假期作业）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=120°，则∠MAB的度数为（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
【答案】A
【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=12∠DAB，计算即可．
【详解】解：作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB//CD，
又∵∠ADC=120°，
∴∠DAB=180°−∠ADC=60°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，
又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=12∠DAB=30°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．（2022秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（ ）
①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE
A．①②B．③⑤C．①③④D．①④⑤
【答案】C
【分析】①根据三角形的中线直接进行判断即可；
②一般三角形一条边上的中线不一定是这条边所对的角的平分线；
③根据“SAS”直接进行判断即可；
④根据三角形全等的性质直接判定∠F＝∠DEC，根据平行线的判定方法得出结果；
⑤根据全等三角形的性质可以判定CE＝BF，不能判定CE＝AE．
【详解】解：①∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，故①正确；
②∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
③在△BDF和△CDE中BD=CD∠BDF=∠CDEDF=DE ，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
④∵△BDF≌△CDE，
∴∠F＝∠DEC，
∴BF∥CE，故④正确；
⑤∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故⑤错误；
综上分析可知，①③④正确，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，是解题的关键．
9．（2022秋·山东德州·八年级校考期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°−12∠ABC；④S△APM+S△CPN>S△APC．
其中结论正确的是（ ）．（填写结论的编号）
A．①②④B．①④C．①②③D．②③④
【答案】C
【分析】①过点P做PD⊥AC，根据AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再证明△PDC≌△PNC即可得出结论；②根据BP和CP都是角平分线，结合三角形内角和定理，即可得到∠BPC=12∠ACN−12∠ABC，再根据三角形外角性质，可以得到∠BPC=12(∠BAC+∠ABC)−12∠ABC=12∠BAC，即可得到结论；③由①可得，△PDC≌△PNC，故∠APC=12∠MPN，根据∠PMB=∠PNB=90°，所以∠MPN=180°−∠ABC，代入得∠APC=90°−12∠ABC，即可得出结论；④由①可得△PDC≌△PNC，故S△APM+S△CPN=S△APC，即可得出结论．
【详解】解：①过点P作PD⊥AC，如图，
∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE，
∴PM=PD．
∵BP是∠ABC 的平分线，PN⊥BF，
∴PM=PN，
∴PD=PN．
∵PC=PC，
∴△PDC≌△PNC(HL)，
∴∠PCD=∠PCN，故①正确；
②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCN=12∠ACN．
∵∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB，∠PCB=180°−∠PCN，
∴∠BPC=12∠ACN−12∠ABC．
∵∠ACN=∠ABC+∠BAC，
∴∠BPC=12∠BAC，故②正确；
③由①可得△PDC≌△PNC，同理又易证△PMA≌△PDA(HL)，
∴∠APC=12∠MPN，
∵∠PMB=∠PNB=90°，四边形内角和为360°，
∴∠MPN=180°−∠ABC，
∴∠APC=12∠MPN=90°−12∠ABC，故③正确；
④由①和③可得△PDC≌△PNC，△PMA≌△PDA，
∴S△PDC=S△PNC，S△PMA=S△PDA．
∵S△APC=S△PDC+S△PDA，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④错误；
综上可知正确的有：①②③．
故选C．
【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
10．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE 平分∠CAD，交 BC于点 E，过点 E 作 EF∥AC，分别交 AB、AD 于点 F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【答案】B
【分析】利用高线和同角的余角相等,三角形内角和定理即可证明①,再利用等量代换即可得到③
④均是正确的,②缺少条件无法证明.
【详解】解：由已知可知∠ADC=∠ADB=90°,
∵∠ACB＝∠BAD
∴90°-∠ACB=90°-∠BAD,即∠CAD=∠B,
∵三角形ABC的内角和=∠ACB+∠B+∠BAD+∠CAD=180°,
∴∠CAB=90°,①正确,
∵AE平分∠CAD,EF∥AC，
∴∠CAE=∠EAD=∠AEF,∠C=∠FEB=∠BAD,②错误,
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠BEA=∠BEF+∠AEF,
∴∠BAE＝∠BEA,③正确,
∵∠B=∠DAC=2∠CAE=2∠AEF,④正确,
综上正确的一共有3个,故选B.
【点睛】本题考查了三角形的综合性质,高线的性质,平行线的性质,综合性强,难度较大,利用角平分线和平行线的性质得到相等的角,再利用等量代换推导角之间的关系是解题的关键.
第II卷（非选择题）
11．（2023春·七年级课时练习）如图，点E，C，F，B在一条直线上，EC=BF，AB=DE，当添加条件______时，可由“边角边”判定△ABC≌△DEF．
【答案】∠E=∠B（答案不唯一）
【分析】用“边角边”证明两个三角形全等，已知条件给出两组边相等，因此只需要添加一组对应角相等即可．
【详解】解：∵EC=BF，
∴EF+CF=BF+CF，
∴EF=BC，
∵AB=DE，
∴用“边角边”证明ΔABC≅ΔDEF，
∴需要添加条件是：∠E=∠B．
故答案为：∠E=∠B（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，理解“边角边”定理是解题的关键．
12．（2022春·广东茂名·八年级统考期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC=2，则PD=______．
【答案】2
【分析】直接利用角平分线的性质求解即可．
【详解】∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，
∴PC=PD，
∵PC=2，
∴PD=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
13．（2023秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．
【答案】3.5
【分析】过C点作CF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到CF=CE，再证明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，证明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等线段代换，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，从而可求出DE的长．
【详解】解：过C点作CF⊥AB于F，如图，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CF=CE，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
AC=ACCF=CE，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF=AE，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠CBF=∠D，
在△CBF和△CDE中，
∠CBF=∠D∠CFB=∠CEDCF=CE，
∴△CBF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，
∵AF=AE，
∴AB+BF=AD-DE，
即11+DE=18-DE，
∴DE=3.5cm．
故答案为：3.5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．
14．（2023秋·内蒙古包头·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=5，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF//BC交AB于点E，交AC于点F,，则△AEF的周长等于___________
【答案】13
【分析】利用平行和角平分线的定义可得到∠EBD=∠EDB，所以可得ED=EB，同理可得DF=FC，所以△AEF的周长即为AB+AC，可得出答案．
【详解】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴ED=EB，
同理可证得DF=FC，
∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=8+5=13，
即△AEF的周长为13，
故答案为13．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由条件得到ED=EB，DF=FC是解题的关键．
15．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝_____．
【答案】440．
【分析】作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，利用AAS证出△AEN≌△CDM，从而得出AN＝CM，EN＝DM，设BE＝5a，用含a的式子分别表示各个线段的长度，根据三角形的面积公式即可求出a2，然后根据三角形的面积公式求面积即可．
【详解】解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，如图所示：
则∠CMD＝∠BMD＝∠ANE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴△BDM、△BAN是等腰直角三角形，
∴BM＝DM，BN＝AN，
∵AE⊥CD，
∴∠AEN+∠EAN＝∠AEN+∠DCM＝90°，
∴∠EAN＝∠DCM，
在△AEN和△CDM中，
∠ANE=∠CMD∠EAN=∠DCHAE=CD，
∴△AEN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，EN＝DM，
∴BN＝CM，
∴BM＝CN，
∴BM＝DM＝CN＝EN，
∵BE：CE＝5：6，
∴设BE＝5a，
则CE＝6a，BC＝BE+CE＝11a，BM＝DM＝CN＝EN＝12CE＝3a，AN=CM＝BC﹣BM＝8a，
∴CD2＝DM2+CM2＝（3a）2+（8a）2＝73a2，
∵S△BDE＝12BE×DM＝12×5a×3a＝75，
∴a2＝10，
∴S△ABC＝12BC×AN＝12×11a ×8a＝44 a2＝440；
故答案为：440．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和求三角形的面积，掌握构造全等三角形的方法、三角形的面积公式和方程思想是解决此题的关键．
16．（2022秋·广东东莞·八年级东莞市石碣袁崇焕中学校考期中）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ABC=54°，CE平分∠ACB，AD平分∠CAB，CE与AD交于点F，G为△ABC外一点，∠ACD=∠FCG，∠CBG=∠CAF，连接DG．下列结论：①△ACF≌△BCG；②∠BGC=117°；③S△ACE=S△CFD+S△BCG；④AD=DG+BG．其中结论正确的是_____________（只需要填写序号）．
【答案】①②④
【分析】根据条件求得∠BAC=∠ABC=54°，∠ACB=72°，∠ACE=∠BCE=36°，∠CAF=∠BAF =27°，利用ASA证明△ACF≌△BCG，再根据SAS证明△CDF≌△CDG，据此即可推断各选项的正确性．
【详解】解：在△ABC中，AC=BC，∠ABC=54°，
∴∠BAC=∠ABC=54°，∠ACB=180°-54°-54°=72°，
∵AC=BC，CE平分∠ACB，AD平分∠CAB，
∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB=36°，∠CAF=∠BAF=12∠BAC=27°，
∵∠ACD=∠FCG=72°，
∴∠BCG=∠FCG-36°=36°，
在△ACF和△BCG中，∠CAF=∠CBGAC=BC∠ACF=∠BCG=36°，
∴△ACF≌△BCG(ASA)；故①正确；
∴∠BGC=∠AFC=180°-36°-27°=117°，故②正确；
∴CF=CG，AF=BG，
在△CDF和△CDG中，CD=CD∠DCF=∠DCG=36°CF=CG，
∴△CDF≌△CDG(SAS)，
∴DF= DG，
∴AD=DF+AF=DG+BG，故④正确；
∵S△CFD+S△BCG= S△CFD+S△ACF = S△ACD，
而S△ACE不等于S△ACD，故③不正确；
综上，正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
17．（2022秋·河南周口·八年级统考阶段练习）如图，点A，B，D，E在同一条直线上，AD=BE，AC∥DF，BC∥EF．求证：BC=EF．
【答案】见解析
【分析】根据等式的性质可得AB=DE，再利用平行线的性质可得∠A=∠FDE，∠CBA=∠E，从而利用ASA证明ΔABC≅ΔDEF，然后利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】证明：∵AD=BE，
∴AD−BD=BE−BD，
∴AB=DE，
∵AC∥DF，BC∥EF，
∴∠A=∠FDE，∠CBA=∠E，
∴ΔABC≅ΔDEF（ASA），
∴BC=EF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18．（2023秋·山东聊城·八年级校考阶段练习）如图，AC//EF，AC=EF，AB=ED．求证：△ABC≌△EDF．
【答案】证明见解析．
【分析】根据平行线的性质可得∠A=∠FED，然后可利用SAS判定△ABC≅△EDF．
【详解】证明：∵AC//EF，
∴∠A=∠FED，
在△ACB和△EFD中
AC=EF∠A=∠FEBAB=ED，
∴△CAB≅△FED(SAS)．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
19．（2023秋·吉林长春·八年级长春市实验中学校考期中）如图，∠ABC=∠DCB，AB=DC，AC与BD 相交于E．求证：AE=DE．
【答案】见解析
【分析】先证明△ABC≌△DCB(SAS)得到AC=BD，∠ACB=∠DBC，再根据等角对等边得到BE=CE，从而得出结论；
【详解】证明：在△ABC 和△DCB 中
AB=DC∠ABC=∠DCBBC=BC
∴△ABC≌△DCB(SAS)
∴AC=BD，∠ACB=∠DBC
∴BE=CE
∴AC−CE=BD−BE
即：AE=DE
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（2022秋·河南商丘·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，AB=BC=2CD，AB//CD，∠C=90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
【答案】（1）见详解；（2）AE⊥BD
【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABE＋∠C＝180°，得出∠ABE＝90°＝∠C，再证出BE＝CD，由SAS证明△ABE≌△BCD即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝BD，证出∠ABF＋∠BAE＝90°，得出∠AFB＝90°，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE＋∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠C，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2BE，
∵BC＝2CD，
∴BE＝CD，
在△ABE和△BCD中{AB＝BC∠ABE＝∠CBE＝CD，
∴△ABE≌△BCD（SAS）；
（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：
由（1）得：△ABE≌△BCD，
∴AE＝BD，
∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF＋∠CBD＝90°，
∴∠ABF＋∠BAE＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴AE⊥BD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
21．（2023春·七年级课时练习）用尺规作图法作∠AOB的角平分线．（请填空，图上保留作图痕迹即可）
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
（1）以 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点 为圆心， 为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
【答案】（1）O；（2）M、N；大于12MN的长．（3）作图见解析
【分析】依据角平分线的尺规作图方法进行判断，即可得出结论．
【详解】作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
故答案为：O；M、N；大于12MN的长．
【点睛】本题主要考查了基本作图，掌握角平分线的尺规作图方法是解决问题的关键．
22．（2023·全国·九年级专题练习）已知：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）若∠A＝120°，∠B＝20°，求∠DFC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠DFC＝40°
【分析】（1）根据题意由全等三角形的性质AAS可以推出△ABC≌△DEF
（2）由（1）已知△ABC≌△DEF再根据三角形内角和，即可解答
【详解】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝EC
∴BF+FC＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
{∠A=∠D∠B=∠EBC=EF ，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）解：∵∠A＝120°，∠B＝20°，
∴∠ACB＝40°，
由（1）知△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴∠DFE＝40°，
∴∠DFC＝40°．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和三角形内角和，解题关键在于找到三角形全等的条件
23．（2018秋·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：DE=EF；
（2）当∠A=44°时，求∠DEF的度数；
（3）当∠A等于多少度时，△DEF成为等边三角形？试证明你的结论．
【答案】（1）见解析（2）∠DEF=68°；（3）当∠A等于60度时，△DEF成为等边三角形，见解析.
【分析】（1）根据AB=AC可得∠B=∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题；
（2）根据全等三角形的性质，得出∠BED=∠CFE，再根据三角形内角和定理以及平角的定义，即可求得∠DEF的度数；
（3）根据△DEF为等边三角形，以及△BDE≌△CEF，可得∠C的度数，最后根据等腰三角形ABC，求得其顶角的度数．
【详解】解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵在△BDE和△CEF中，
BD=CE∠B=∠CBE=CF，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF；
（2）当∠A=44°时，∠B=∠C=12（180°﹣44°）=68°，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠BED=∠CFE，
∵△CEF中，∠CEF+∠CFE=180°﹣68°=112°，
∴∠BED+∠CEF=112°，
∴∠DEF=180°﹣112°=68°；
（3）当∠A等于60度时，△DEF成为等边三角形．
证明：若△DEF为等边三角形，则∠DEF=60°，
∴∠BED+∠CEF=120°，
又∵△BDE≌△CEF，
∴∠BED=∠CFE，
∴△CEF中，∠CEF+∠CFE=120°，
∴∠C=180°﹣120°=60°=∠B，
∴△ABC中，∠A=180°﹣60°×2=60°．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行计算推导，解题时注意三角形的内角和等于180°．
24．（2023春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明；
(3)当直线MN绕点C旋转到如图的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)AD=BE+DE
(3)BE=AD+DE
【分析】（1）①用AAS证明△ADC≌△CEB即可；
②根据全等三角形的性质，得出AD=CE，BE=CD，进而得出DE=BE+CD；
（2）先证明△ACD≌△CBEAAS，可得AD=CE，BE=CD，进而得出AD=CD+DE=BE+DE；
（3）先证明△ACD≌△CBEAAS，可得AD=CE，BE=CD，进而得出BE=CD=CE+DE=AD+DE．
【详解】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠BCA=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
∵∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=BC ，
∴△ADC≌△CEBAAS；
②∵△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=DC+CE=BE+AD．
（2）解：AD=BE+DE．
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
∵∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=BC，
∴△ACD≌△CBEAAS，
∴AD=CE，BE=CD，
∴AD=CD+DE=BE+DE．
（3）解：BE=AD+DE．
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
∵∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=BC，
∴△ACD≌△CBEAAS，
∴AD=CE，BE=CD，
∴BE=CD=CE+DE=AD+DE．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，余角的性质．解题的关键熟练掌握三角形全等的条件，证明△ACD≌△CBE．
25．（2023春·七年级单元测试）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，
①试说明△ACP≌△BPQ．
②此时，线段PC和线段PQ有怎样的关系，请说明理由．
(2)如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有△ACP和△BPQ全等，求出此时的x，t的值．
【答案】(1)①见解析；②PC=PQ，PC⊥PQ
(2)x=2，t=1或x=207，t=74．
【分析】（1）根据题意可得∠A=∠B=90°，AP=BQ=2×1=2，求出BP=AC=5，利用SAS证明△ACP和△BPQ全等，可得∠C=∠BPQ，然后求出∠APC+∠BPQ=90°即可；
（2）分△ACP≌△BPQ和△ACP≌△BQP两种情况，分别根据全等三角形的性质得出方程解答即可．
【详解】（1）△ACP≌△BPQ，PC=PQ，PC⊥PQ．
理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∵AP=BQ=2×1=2，
∴BP=AB−AP=7−2=5，
∴BP=AC，
在△ACP和△BPQ中，AP=BQ∠A=∠BAC=BP，
∴△ACP≌△BPQSAS，
∴PC=PQ
∴∠C=∠BPQ，
∵∠C+∠APC=90°，
∴∠APC+∠BPQ=90°，
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
由AC=BP可得：5=7−2t，
∴t=1，
由AP=BQ可得：2×1=1x，
∴x=2；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
由AP=BP可得：2t=7−2t，
∴t=74，
由AC=BQ可得：5=74x，
∴x=207，
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时，x和t的值分别为：x=2，t=1或x=207，t=74．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据SAS证明△ACP和△BPQ全等解答，解决此题注意分类讨论．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，若△ABE≌△ACF，且AB=8，AE=3，则EC的长为（ ）
A．2B．3C．5D．2.5
2．（2022秋·山东聊城·八年级校联考阶段练习）如图，∠B=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF，需添加的条件不能是（ ）
A．∠A=∠DB．BC=EFC．AC=DFD．∠ACB=∠F
3．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，AE=AC，连接AD，若BC=8，则BD+DE等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．（2023春·全国·八年级阶段练习）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点(格点上)，这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有( )个(不含△ABC)
A．28B．29C．30D．31
6．（2023秋·八年级单元测试）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值（ ）
A．等于3B．大于3C．小于3D．无法确定
7．（2023·全国·八年级假期作业）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=120°，则∠MAB的度数为（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
8．（2022秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（ ）
①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE
A．①②B．③⑤C．①③④D．①④⑤
9．（2022秋·山东德州·八年级校考期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°−12∠ABC；④S△APM+S△CPN>S△APC．
其中结论正确的是（ ）．（填写结论的编号）
A．①②④B．①④C．①②③D．②③④
10．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE 平分∠CAD，交 BC于点 E，过点 E 作 EF∥AC，分别交 AB、AD 于点 F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
第II卷（非选择题）
11．（2023春·七年级课时练习）如图，点E，C，F，B在一条直线上，EC=BF，AB=DE，当添加条件______时，可由“边角边”判定△ABC≌△DEF．
12．（2022春·广东茂名·八年级统考期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC=2，则PD=______．
13．（2023秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．
14．（2023秋·内蒙古包头·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=5，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF//BC交AB于点E，交AC于点F,，则△AEF的周长等于___________
15．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝_____．
16．（2022秋·广东东莞·八年级东莞市石碣袁崇焕中学校考期中）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ABC=54°，CE平分∠ACB，AD平分∠CAB，CE与AD交于点F，G为△ABC外一点，∠ACD=∠FCG，∠CBG=∠CAF，连接DG．下列结论：①△ACF≌△BCG；②∠BGC=117°；③S△ACE=S△CFD+S△BCG；④AD=DG+BG．其中结论正确的是_____________（只需要填写序号）．
17．（2022秋·河南周口·八年级统考阶段练习）如图，点A，B，D，E在同一条直线上，AD=BE，AC∥DF，BC∥EF．求证：BC=EF．
18．（2023秋·山东聊城·八年级校考阶段练习）如图，AC//EF，AC=EF，AB=ED．求证：△ABC≌△EDF．
19．（2023秋·吉林长春·八年级长春市实验中学校考期中）如图，∠ABC=∠DCB，AB=DC，AC与BD 相交于E．求证：AE=DE．
20．（2022秋·河南商丘·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，AB=BC=2CD，AB//CD，∠C=90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
21．（2023春·七年级课时练习）用尺规作图法作∠AOB的角平分线．（请填空，图上保留作图痕迹即可）
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
（1）以 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点 为圆心， 为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
22．（2023·全国·九年级专题练习）已知：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）若∠A＝120°，∠B＝20°，求∠DFC的度数．
23．（2018秋·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：DE=EF；
（2）当∠A=44°时，求∠DEF的度数；
（3）当∠A等于多少度时，△DEF成为等边三角形？试证明你的结论．
24．（2023春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明；
(3)当直线MN绕点C旋转到如图的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明．
25．（2023春·七年级单元测试）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，
①试说明△ACP≌△BPQ．
②此时，线段PC和线段PQ有怎样的关系，请说明理由．
(2)如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有△ACP和△BPQ全等，求出此时的x，t的值．
专题06 全等三角形单元过关（培优版）
考试范围：第十二章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，若△ABE≌△ACF，且AB=8，AE=3，则EC的长为（ ）
A．2B．3C．5D．2.5
【答案】C
【分析】由△ABE≌△ACF可得AB=AC, 从而利用线段的和差可得答案．
【详解】解：∵△ABE≌△ACF,AB=8，
∴AB=AC=8,
∵AE=3,
∴CE=AC−AE=8−3=5.
故选C．
【点睛】本题考查的是三角形全等的性质，线段的和差，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2022秋·山东聊城·八年级校联考阶段练习）如图，∠B=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF，需添加的条件不能是（ ）
A．∠A=∠DB．BC=EFC．AC=DFD．∠ACB=∠F
【答案】C
【分析】根据证明三角形全等的方法求解即可．
【详解】解：若添加∠A=∠D，
又∠B=∠DEF，AB=DE，
∴△ABC≌△DEFASA，
故A选项不符合题意；
若添加BC=EF，又∠B=∠DEF，AB=DE，
∴△ABC≌△DEFSAS，
故B选项不符合题意；
若添加AC=DF，
不能证明△ABC≌△DEF，
故C选项符合题意；
若添加∠ACB=∠F，
又∠B=∠DEF，AB=DE，
∴△ABC≌△DEFAAS，
故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
3．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，AE=AC，连接AD，若BC=8，则BD+DE等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】证明Rt△ACD≌Rt△AED，由全等三角形的性质得出CD=DE，则可得出答案．
【详解】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD=ADAC=AE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴CD=DE，
∴BD+DE=BD+CD=BC，
∵BC=8，
∴BD+DE=BC=8．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，得到Rt△ACD≌Rt△AED是解题的关键．
4．（2023春·全国·八年级阶段练习）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点(格点上)，这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有( )个(不含△ABC)
A．28B．29C．30D．31
【答案】D
【分析】每个3×3的正方形中可以画出8个与△ABC全等的格点三角形，图中4×4的正方形包含有4个3×3的正方形，即可求解．
【详解】解：每个3×3的正方形中可以画出8个与△ABC全等的格点三角形，
图中4×4的正方形包含有4个3×3的正方形，
∴与△ABC全等的格点三角形的个数有：4×8－1=31个．
【点睛】本题考查格点三角形的定义以及全等三角形的性质，理解格点三角形的定义是解决问题的关键．
6．（2023秋·八年级单元测试）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值（ ）
A．等于3B．大于3C．小于3D．无法确定
【答案】A
【分析】由题意过P点作PH⊥OB于H，进而利用角平分线的性质得到PH=PD=3，然后根据垂线段最短即可得到PE的最小值．
【详解】解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB于H，
∴PH＝PD＝3，
∵点E是射线OB上的一个动点，
∴点E与H点重合时，PE有最小值，最小值为3．
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的性质以及垂线段最短，注意掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7．（2023·全国·八年级假期作业）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=120°，则∠MAB的度数为（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
【答案】A
【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=12∠DAB，计算即可．
【详解】解：作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB//CD，
又∵∠ADC=120°，
∴∠DAB=180°−∠ADC=60°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，
又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=12∠DAB=30°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．（2022秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（ ）
①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE
A．①②B．③⑤C．①③④D．①④⑤
【答案】C
【分析】①根据三角形的中线直接进行判断即可；
②一般三角形一条边上的中线不一定是这条边所对的角的平分线；
③根据“SAS”直接进行判断即可；
④根据三角形全等的性质直接判定∠F＝∠DEC，根据平行线的判定方法得出结果；
⑤根据全等三角形的性质可以判定CE＝BF，不能判定CE＝AE．
【详解】解：①∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，故①正确；
②∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
③在△BDF和△CDE中BD=CD∠BDF=∠CDEDF=DE ，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
④∵△BDF≌△CDE，
∴∠F＝∠DEC，
∴BF∥CE，故④正确；
⑤∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故⑤错误；
综上分析可知，①③④正确，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，是解题的关键．
9．（2022秋·山东德州·八年级校考期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°−12∠ABC；④S△APM+S△CPN>S△APC．
其中结论正确的是（ ）．（填写结论的编号）
A．①②④B．①④C．①②③D．②③④
【答案】C
【分析】①过点P做PD⊥AC，根据AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再证明△PDC≌△PNC即可得出结论；②根据BP和CP都是角平分线，结合三角形内角和定理，即可得到∠BPC=12∠ACN−12∠ABC，再根据三角形外角性质，可以得到∠BPC=12(∠BAC+∠ABC)−12∠ABC=12∠BAC，即可得到结论；③由①可得，△PDC≌△PNC，故∠APC=12∠MPN，根据∠PMB=∠PNB=90°，所以∠MPN=180°−∠ABC，代入得∠APC=90°−12∠ABC，即可得出结论；④由①可得△PDC≌△PNC，故S△APM+S△CPN=S△APC，即可得出结论．
【详解】解：①过点P作PD⊥AC，如图，
∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE，
∴PM=PD．
∵BP是∠ABC 的平分线，PN⊥BF，
∴PM=PN，
∴PD=PN．
∵PC=PC，
∴△PDC≌△PNC(HL)，
∴∠PCD=∠PCN，故①正确；
②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCN=12∠ACN．
∵∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB，∠PCB=180°−∠PCN，
∴∠BPC=12∠ACN−12∠ABC．
∵∠ACN=∠ABC+∠BAC，
∴∠BPC=12∠BAC，故②正确；
③由①可得△PDC≌△PNC，同理又易证△PMA≌△PDA(HL)，
∴∠APC=12∠MPN，
∵∠PMB=∠PNB=90°，四边形内角和为360°，
∴∠MPN=180°−∠ABC，
∴∠APC=12∠MPN=90°−12∠ABC，故③正确；
④由①和③可得△PDC≌△PNC，△PMA≌△PDA，
∴S△PDC=S△PNC，S△PMA=S△PDA．
∵S△APC=S△PDC+S△PDA，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④错误；
综上可知正确的有：①②③．
故选C．
【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
10．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE 平分∠CAD，交 BC于点 E，过点 E 作 EF∥AC，分别交 AB、AD 于点 F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【答案】B
【分析】利用高线和同角的余角相等,三角形内角和定理即可证明①,再利用等量代换即可得到③
④均是正确的,②缺少条件无法证明.
【详解】解：由已知可知∠ADC=∠ADB=90°,
∵∠ACB＝∠BAD
∴90°-∠ACB=90°-∠BAD,即∠CAD=∠B,
∵三角形ABC的内角和=∠ACB+∠B+∠BAD+∠CAD=180°,
∴∠CAB=90°,①正确,
∵AE平分∠CAD,EF∥AC，
∴∠CAE=∠EAD=∠AEF,∠C=∠FEB=∠BAD,②错误,
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠BEA=∠BEF+∠AEF,
∴∠BAE＝∠BEA,③正确,
∵∠B=∠DAC=2∠CAE=2∠AEF,④正确,
综上正确的一共有3个,故选B.
【点睛】本题考查了三角形的综合性质,高线的性质,平行线的性质,综合性强,难度较大,利用角平分线和平行线的性质得到相等的角,再利用等量代换推导角之间的关系是解题的关键.
第II卷（非选择题）
11．（2023春·七年级课时练习）如图，点E，C，F，B在一条直线上，EC=BF，AB=DE，当添加条件______时，可由“边角边”判定△ABC≌△DEF．
【答案】∠E=∠B（答案不唯一）
【分析】用“边角边”证明两个三角形全等，已知条件给出两组边相等，因此只需要添加一组对应角相等即可．
【详解】解：∵EC=BF，
∴EF+CF=BF+CF，
∴EF=BC，
∵AB=DE，
∴用“边角边”证明ΔABC≅ΔDEF，
∴需要添加条件是：∠E=∠B．
故答案为：∠E=∠B（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，理解“边角边”定理是解题的关键．
12．（2022春·广东茂名·八年级统考期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC=2，则PD=______．
【答案】2
【分析】直接利用角平分线的性质求解即可．
【详解】∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，
∴PC=PD，
∵PC=2，
∴PD=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
13．（2023秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．
【答案】3.5
【分析】过C点作CF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到CF=CE，再证明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，证明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等线段代换，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，从而可求出DE的长．
【详解】解：过C点作CF⊥AB于F，如图，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CF=CE，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
AC=ACCF=CE，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF=AE，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠CBF=∠D，
在△CBF和△CDE中，
∠CBF=∠D∠CFB=∠CEDCF=CE，
∴△CBF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，
∵AF=AE，
∴AB+BF=AD-DE，
即11+DE=18-DE，
∴DE=3.5cm．
故答案为：3.5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．
14．（2023秋·内蒙古包头·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=5，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF//BC交AB于点E，交AC于点F,，则△AEF的周长等于___________
【答案】13
【分析】利用平行和角平分线的定义可得到∠EBD=∠EDB，所以可得ED=EB，同理可得DF=FC，所以△AEF的周长即为AB+AC，可得出答案．
【详解】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴ED=EB，
同理可证得DF=FC，
∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=8+5=13，
即△AEF的周长为13，
故答案为13．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由条件得到ED=EB，DF=FC是解题的关键．
15．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝_____．
【答案】440．
【分析】作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，利用AAS证出△AEN≌△CDM，从而得出AN＝CM，EN＝DM，设BE＝5a，用含a的式子分别表示各个线段的长度，根据三角形的面积公式即可求出a2，然后根据三角形的面积公式求面积即可．
【详解】解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，如图所示：
则∠CMD＝∠BMD＝∠ANE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴△BDM、△BAN是等腰直角三角形，
∴BM＝DM，BN＝AN，
∵AE⊥CD，
∴∠AEN+∠EAN＝∠AEN+∠DCM＝90°，
∴∠EAN＝∠DCM，
在△AEN和△CDM中，
∠ANE=∠CMD∠EAN=∠DCHAE=CD，
∴△AEN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，EN＝DM，
∴BN＝CM，
∴BM＝CN，
∴BM＝DM＝CN＝EN，
∵BE：CE＝5：6，
∴设BE＝5a，
则CE＝6a，BC＝BE+CE＝11a，BM＝DM＝CN＝EN＝12CE＝3a，AN=CM＝BC﹣BM＝8a，
∴CD2＝DM2+CM2＝（3a）2+（8a）2＝73a2，
∵S△BDE＝12BE×DM＝12×5a×3a＝75，
∴a2＝10，
∴S△ABC＝12BC×AN＝12×11a ×8a＝44 a2＝440；
故答案为：440．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和求三角形的面积，掌握构造全等三角形的方法、三角形的面积公式和方程思想是解决此题的关键．
16．（2022秋·广东东莞·八年级东莞市石碣袁崇焕中学校考期中）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ABC=54°，CE平分∠ACB，AD平分∠CAB，CE与AD交于点F，G为△ABC外一点，∠ACD=∠FCG，∠CBG=∠CAF，连接DG．下列结论：①△ACF≌△BCG；②∠BGC=117°；③S△ACE=S△CFD+S△BCG；④AD=DG+BG．其中结论正确的是_____________（只需要填写序号）．
【答案】①②④
【分析】根据条件求得∠BAC=∠ABC=54°，∠ACB=72°，∠ACE=∠BCE=36°，∠CAF=∠BAF =27°，利用ASA证明△ACF≌△BCG，再根据SAS证明△CDF≌△CDG，据此即可推断各选项的正确性．
【详解】解：在△ABC中，AC=BC，∠ABC=54°，
∴∠BAC=∠ABC=54°，∠ACB=180°-54°-54°=72°，
∵AC=BC，CE平分∠ACB，AD平分∠CAB，
∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB=36°，∠CAF=∠BAF=12∠BAC=27°，
∵∠ACD=∠FCG=72°，
∴∠BCG=∠FCG-36°=36°，
在△ACF和△BCG中，∠CAF=∠CBGAC=BC∠ACF=∠BCG=36°，
∴△ACF≌△BCG(ASA)；故①正确；
∴∠BGC=∠AFC=180°-36°-27°=117°，故②正确；
∴CF=CG，AF=BG，
在△CDF和△CDG中，CD=CD∠DCF=∠DCG=36°CF=CG，
∴△CDF≌△CDG(SAS)，
∴DF= DG，
∴AD=DF+AF=DG+BG，故④正确；
∵S△CFD+S△BCG= S△CFD+S△ACF = S△ACD，
而S△ACE不等于S△ACD，故③不正确；
综上，正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
17．（2022秋·河南周口·八年级统考阶段练习）如图，点A，B，D，E在同一条直线上，AD=BE，AC∥DF，BC∥EF．求证：BC=EF．
【答案】见解析
【分析】根据等式的性质可得AB=DE，再利用平行线的性质可得∠A=∠FDE，∠CBA=∠E，从而利用ASA证明ΔABC≅ΔDEF，然后利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】证明：∵AD=BE，
∴AD−BD=BE−BD，
∴AB=DE，
∵AC∥DF，BC∥EF，
∴∠A=∠FDE，∠CBA=∠E，
∴ΔABC≅ΔDEF（ASA），
∴BC=EF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18．（2023秋·山东聊城·八年级校考阶段练习）如图，AC//EF，AC=EF，AB=ED．求证：△ABC≌△EDF．
【答案】证明见解析．
【分析】根据平行线的性质可得∠A=∠FED，然后可利用SAS判定△ABC≅△EDF．
【详解】证明：∵AC//EF，
∴∠A=∠FED，
在△ACB和△EFD中
AC=EF∠A=∠FEBAB=ED，
∴△CAB≅△FED(SAS)．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
19．（2023秋·吉林长春·八年级长春市实验中学校考期中）如图，∠ABC=∠DCB，AB=DC，AC与BD 相交于E．求证：AE=DE．
【答案】见解析
【分析】先证明△ABC≌△DCB(SAS)得到AC=BD，∠ACB=∠DBC，再根据等角对等边得到BE=CE，从而得出结论；
【详解】证明：在△ABC 和△DCB 中
AB=DC∠ABC=∠DCBBC=BC
∴△ABC≌△DCB(SAS)
∴AC=BD，∠ACB=∠DBC
∴BE=CE
∴AC−CE=BD−BE
即：AE=DE
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（2022秋·河南商丘·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，AB=BC=2CD，AB//CD，∠C=90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；
【答案】（1）见详解；（2）AE⊥BD
【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABE＋∠C＝180°，得出∠ABE＝90°＝∠C，再证出BE＝CD，由SAS证明△ABE≌△BCD即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝BD，证出∠ABF＋∠BAE＝90°，得出∠AFB＝90°，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE＋∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠C，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2BE，
∵BC＝2CD，
∴BE＝CD，
在△ABE和△BCD中{AB＝BC∠ABE＝∠CBE＝CD，
∴△ABE≌△BCD（SAS）；
（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：
由（1）得：△ABE≌△BCD，
∴AE＝BD，
∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF＋∠CBD＝90°，
∴∠ABF＋∠BAE＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴AE⊥BD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
21．（2023春·七年级课时练习）用尺规作图法作∠AOB的角平分线．（请填空，图上保留作图痕迹即可）
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
（1）以 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点 为圆心， 为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
【答案】（1）O；（2）M、N；大于12MN的长．（3）作图见解析
【分析】依据角平分线的尺规作图方法进行判断，即可得出结论．
【详解】作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
故答案为：O；M、N；大于12MN的长．
【点睛】本题主要考查了基本作图，掌握角平分线的尺规作图方法是解决问题的关键．
22．（2023·全国·九年级专题练习）已知：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）若∠A＝120°，∠B＝20°，求∠DFC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠DFC＝40°
【分析】（1）根据题意由全等三角形的性质AAS可以推出△ABC≌△DEF
（2）由（1）已知△ABC≌△DEF再根据三角形内角和，即可解答
【详解】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝EC
∴BF+FC＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
{∠A=∠D∠B=∠EBC=EF ，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）解：∵∠A＝120°，∠B＝20°，
∴∠ACB＝40°，
由（1）知△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴∠DFE＝40°，
∴∠DFC＝40°．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和三角形内角和，解题关键在于找到三角形全等的条件
23．（2018秋·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：DE=EF；
（2）当∠A=44°时，求∠DEF的度数；
（3）当∠A等于多少度时，△DEF成为等边三角形？试证明你的结论．
【答案】（1）见解析（2）∠DEF=68°；（3）当∠A等于60度时，△DEF成为等边三角形，见解析.
【分析】（1）根据AB=AC可得∠B=∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题；
（2）根据全等三角形的性质，得出∠BED=∠CFE，再根据三角形内角和定理以及平角的定义，即可求得∠DEF的度数；
（3）根据△DEF为等边三角形，以及△BDE≌△CEF，可得∠C的度数，最后根据等腰三角形ABC，求得其顶角的度数．
【详解】解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵在△BDE和△CEF中，
BD=CE∠B=∠CBE=CF，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF；
（2）当∠A=44°时，∠B=∠C=12（180°﹣44°）=68°，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠BED=∠CFE，
∵△CEF中，∠CEF+∠CFE=180°﹣68°=112°，
∴∠BED+∠CEF=112°，
∴∠DEF=180°﹣112°=68°；
（3）当∠A等于60度时，△DEF成为等边三角形．
证明：若△DEF为等边三角形，则∠DEF=60°，
∴∠BED+∠CEF=120°，
又∵△BDE≌△CEF，
∴∠BED=∠CFE，
∴△CEF中，∠CEF+∠CFE=120°，
∴∠C=180°﹣120°=60°=∠B，
∴△ABC中，∠A=180°﹣60°×2=60°．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行计算推导，解题时注意三角形的内角和等于180°．
24．（2023春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明；
(3)当直线MN绕点C旋转到如图的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)AD=BE+DE
(3)BE=AD+DE
【分析】（1）①用AAS证明△ADC≌△CEB即可；
②根据全等三角形的性质，得出AD=CE，BE=CD，进而得出DE=BE+CD；
（2）先证明△ACD≌△CBEAAS，可得AD=CE，BE=CD，进而得出AD=CD+DE=BE+DE；
（3）先证明△ACD≌△CBEAAS，可得AD=CE，BE=CD，进而得出BE=CD=CE+DE=AD+DE．
【详解】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠BCA=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
∵∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=BC ，
∴△ADC≌△CEBAAS；
②∵△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=DC+CE=BE+AD．
（2）解：AD=BE+DE．
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
∵∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=BC，
∴△ACD≌△CBEAAS，
∴AD=CE，BE=CD，
∴AD=CD+DE=BE+DE．
（3）解：BE=AD+DE．
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
∵∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=BC，
∴△ACD≌△CBEAAS，
∴AD=CE，BE=CD，
∴BE=CD=CE+DE=AD+DE．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，余角的性质．解题的关键熟练掌握三角形全等的条件，证明△ACD≌△CBE．
25．（2023春·七年级单元测试）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，
①试说明△ACP≌△BPQ．
②此时，线段PC和线段PQ有怎样的关系，请说明理由．
(2)如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有△ACP和△BPQ全等，求出此时的x，t的值．
【答案】(1)①见解析；②PC=PQ，PC⊥PQ
(2)x=2，t=1或x=207，t=74．
【分析】（1）根据题意可得∠A=∠B=90°，AP=BQ=2×1=2，求出BP=AC=5，利用SAS证明△ACP和△BPQ全等，可得∠C=∠BPQ，然后求出∠APC+∠BPQ=90°即可；
（2）分△ACP≌△BPQ和△ACP≌△BQP两种情况，分别根据全等三角形的性质得出方程解答即可．
【详解】（1）△ACP≌△BPQ，PC=PQ，PC⊥PQ．
理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∵AP=BQ=2×1=2，
∴BP=AB−AP=7−2=5，
∴BP=AC，
在△ACP和△BPQ中，AP=BQ∠A=∠BAC=BP，
∴△ACP≌△BPQSAS，
∴PC=PQ
∴∠C=∠BPQ，
∵∠C+∠APC=90°，
∴∠APC+∠BPQ=90°，
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
由AC=BP可得：5=7−2t，
∴t=1，
由AP=BQ可得：2×1=1x，
∴x=2；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
由AP=BP可得：2t=7−2t，
∴t=74，
由AC=BQ可得：5=74x，
∴x=207，
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时，x和t的值分别为：x=2，t=1或x=207，t=74．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据SAS证明△ACP和△BPQ全等解答，解决此题注意分类讨论．
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一、单选题
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