人教版八年级数学上册重难考点专题06整式乘法与因式分解单元过关(培优版)特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题06整式乘法与因式分解单元过关(培优版)特训(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，用阴影表示等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．（2022秋·福建福州·八年级校考阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A．x16÷x4=x4B．（a2）5=a10
C．2a2+3a2=5a4D．b3⋅b3=2b3
2．（2023春·福建泉州·九年级统考学业考试）下列计算中，正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a8C．a2+a3＝a5D．a8÷a2＝a4
3．（2023·福建福州·八年级校联考期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．xy3=xy3B．a+a=a2C．b2⋅b3=b5D．y33=y6
4．（2023·福建福州·八年级统考期中）若2x2+m与2x2+3的乘积中不含x的二次项，则m的值为（ ）
A．﹣3B．3C．0D．1
5．（2023春·七年级课时练习）x15÷x3等于（ ）
A．x5B．x45C．x12D．x18
6．（2023春·七年级单元测试）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足【 】
A．a=52bB．a=3bC．a=72bD．a=4b
7．（2023·七年级统考课时练习）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2
C．x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1）D．x2+y2=（x﹣y）2+2x
8．（2023·福建泉州·八年级校联考期中）已知25x2+kxy+4y2是一个完全平方展开式，那么k的值是( )
A．20B．10C．±20D．±10
9．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，这是一种数值转换机的运算程序．若输入的数x=5，则经过2022次运行后，输出的数是（ ）
A．1B．2C．4D．5
10．（2023·福建厦门·八年级统考期末）下列四个多项式，可能是2x2＋mx－3 (m是整数)的因式的是
A．x－2B．2x＋3C．x＋4D．2x2－1
第II卷（非选择题）
11．（2023·福建·模拟预测）把3a2−6a+3因式分解的结果是 ．
12．（2023·福建泉州·八年级统考期末）计算：20192+20202−2019×4040= .
13．（2023·福建泉州·八年级校考阶段练习）若M=2+122+124+128+1216+1+1，则数M的末位数字是 ．
14．（2023·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期中）先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：
4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）
=（52﹣1）×（52+1）=252﹣1=624．
请借鉴小黄的方法计算：
1+12×1+122×1+124×1+128×1+1216×1+1232×1+1264，结果是 ．
15．（2022秋·八年级课时练习）若x2+2(m−3)x+16是关于x的完全平方式，则m= ．
16．（2023·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期中）如图，边长分别为a，b(a>b)的两个正方形并排放在一起，当a−b=m， ab=n时，阴影部分的面积为 ．（用含m,n的代数式表示）
17．（2023·福建厦门·八年级厦门市华侨中学校考期中）计算：x2（x+3）﹣x（x2+2x﹣1）．
18．（2023·福建福州·八年级福建省福州则徐中学校考阶段练习）已知x2+y2＝25，x+y＝7，求xy和x﹣y的值．
19．（2023·福建泉州·八年级校考期末）（1）利用乘法公式计算：(2a+b)(b−2a)−(a−3b)2；
（2）利用乘法公式计算：201622015×2017+1．
20．（2022春·福建三明·七年级统考期中）先化简，再求值：2a+b2−2a+b2a−b÷2b，其中a=−14，b=−12．
21．（2022秋·八年级课时练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作(a,b)，如果ac=b，那么(a,b)=c，例如：因为23=8，所以(2,8)=3．
（1）根据上述规定，填空：
(3,27)=_____，(5,1)=_____；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象，3n,4n=(3,4)，小明给出了如下的证明：
设3n,4n=x，则3nx=4n，即3xn=4n，
∴3x=4，即(3,4)=x，
∴3n,4n=(3,4)
请你尝试用这种方法证明下面这个等式：(3,4)+(3,5)=(3,20)
22．（2022秋·福建泉州·八年级福建省惠安第一中学校联考期中）已知：a+b=1，ab=−154
(1)求ab2+a2b的值
(2)求a2+b2的值
(3)若a−b=k2−2，求非负数k的值
23．（2023·福建厦门·八年级厦门五缘实验学校校考期中）两个不相等的实数m，n满足m2+n2＝40．
（1）若m+n＝﹣4，求mn的值；
（2）若m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，求m+n和k的值．
24．（2022秋·福建泉州·八年级福建省南安第一中学校考阶段练习）教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：
先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x−3．
原式=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；
例如：求代数式x2+4x+6的最小值．
原式=x2+4x+4+2=(x+2)2+2．
∵(x+2)2≥0，
∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：m2−4m−5；
(2)求代数式x2−6x+12的最小值；
(3)若y=−x2+2x−3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
(4)当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2−6a−10b−6c+43=0时，判断△ABC的形状并说明理由．
25．（2022春·福建漳州·八年级校联考期中）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．
对于x2+5x+2x2+5x+3−12．
解法一：设x2+5x=y，则原式=y+2y+3−12=y2+5y−6
=y+6y−1=x2+5x+6x2+5x−1=x+2x+3x2+5x−1；
解法二：设x2+2=m，5x=n，则原式=m+nm+n+1−12=m+n2+m+n−12
=m+n+4m+n−3=x2+5x+6x2+5x−1=x+2x+3x2+5x−1．
请按照上面介绍的方法解决下列问题：
(1)因式分解：x2−4x+1x2−4x+7+9；
(2)因式分解：x+y−2xyx+y−2+xy−12；
(3)求证：多项式x+1x+2x+3x+6+x2的值一定是非负数．
专题06 整式乘法与因式分解单元过关（培优版）
考试范围：第十四章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．（2022秋·福建福州·八年级校考阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A．x16÷x4=x4B．（a2）5=a10
C．2a2+3a2=5a4D．b3⋅b3=2b3
【答案】B
【分析】选项A根据同底数幂的除法法则判断，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项B根据幂的乘方运算法则判断，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；选项C根据合并同类项法则判断，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项D根据同底数幂的乘法法则判断，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【详解】解：A.x16÷x4=x12，故本选项不合题意；
B.(a2)5=a10，故本选项符合题意；
C.2a2+3a2=5a2，故本选项不合题意；
D.b3⋅b3=b6，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
2．（2023春·福建泉州·九年级统考学业考试）下列计算中，正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a8C．a2+a3＝a5D．a8÷a2＝a4
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则及同底数幂的除法逐一计算可得．
【详解】解：A．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；
B．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
C．a2+a3，无法计算，故此选项不合题意；
D．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2023·福建福州·八年级校联考期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．xy3=xy3B．a+a=a2C．b2⋅b3=b5D．y33=y6
【答案】C
【分析】根据幂的运算、整式的加减的运算法则即可求解．
【详解】A. xy3=x3y3，故错误；
B. a+a=2a，故错误；
C. b2⋅b3=b5，正确；
D. y33=y9，故错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查整式的加减、幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
4．（2023·福建福州·八年级统考期中）若2x2+m与2x2+3的乘积中不含x的二次项，则m的值为（ ）
A．﹣3B．3C．0D．1
【答案】A
【分析】利用多项式乘以多项式法则进行计算，再结合“2x2+m与2x2+3的乘积中不含x的二次项”得出6+2m＝0，然后求解即可得出答案．
【详解】解：（2x2+m）（2x2+3）
＝4x4+6x2+2mx2+3m，
=4x4+(6+2m)x2+3m，
∵2x2+m与2x2+3的乘积中不含x的二次项，
∴6+2m＝0，
∴m＝﹣3．
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式．多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
5．（2023春·七年级课时练习）x15÷x3等于（ ）
A．x5B．x45C．x12D．x18
【答案】C
【分析】根据同底数幂的除法进行计算即可求解．
【详解】解：x15÷x3=x12
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法的运算法则是解题的关键．
6．（2023春·七年级单元测试）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足【 】
A．a=52bB．a=3bC．a=72bD．a=4b
【答案】B
【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．
【详解】如图，设左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，
右下角阴影部分的长为PC，宽为CG=a，
∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，
∴AE+a=4b+PC，即AE﹣PC=4b﹣a，
∴阴影部分面积之差S=AE⋅AF−PC⋅CG=PC+4b−a⋅3b+PC⋅a=3b−aPC+12b2−3ab．
∵S始终保持不变，
∴3b﹣a=0，即a=3b．
故选 :B．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2023·七年级统考课时练习）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2
C．x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1）D．x2+y2=（x﹣y）2+2x
【答案】C
【分析】根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可．
【详解】A、2a2-2a+1=2a（a-1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；
B、（x+y）（x-y）=x2-y2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；
C、x2-6x+5=（x-5）（x-1），是因式分解，故此选项符合题意；
D、x2+y2=（x-y）2+2xy，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】此题考查因式分解的意义，解题的关键是看是否是由一个多项式化为几个整式的乘积的形式．
8．（2023·福建泉州·八年级校联考期中）已知25x2+kxy+4y2是一个完全平方展开式，那么k的值是( )
A．20B．10C．±20D．±10
【答案】C
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据中间项为这两个数乘积二倍即可确定k的值．注意有两种情况.
【详解】解：∵25x2+kxy+4y2=（5x）2+kxy+（2y）2是一个完全平方展开式，
∴k＝±20．
故选C．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，这是一种数值转换机的运算程序．若输入的数x=5，则经过2022次运行后，输出的数是（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】C
【分析】由图示知，当输入的数x为偶数时，输出12x，当输入的数x是奇数时，输出3x+1，按此规律，求出若输入的数为5，每次输出的数的规律，判断出第2022次输出的数是多少即可．
【详解】解：若输入的数为5，
第1次输出15+1=16，
第2次输出12×16=8，
第3次输出12×8=4，
第4次输出12×4=2，
第5次输出12×2=1，
第6次输出3+1=4，
…，
故从第3次输出开始，三个一循环，
2022−2÷3=673⋅⋅⋅1
所以2022次输出的数为4；
故选：C．
【点睛】此题考查了代数式求值，找到输出数据呈周期性变化规律是解决本题的关键．
10．（2023·福建厦门·八年级统考期末）下列四个多项式，可能是2x2＋mx－3 (m是整数)的因式的是
A．x－2B．2x＋3C．x＋4D．2x2－1
【答案】B
【分析】将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.
【详解】解：根据2x2+mx-3的常数项是-3，利用十字相乘法将2x2+mx-3分解．
2x2+mx-3（m是整数）的因式的是2x+3；
故选：B.
【点睛】此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键.
第II卷（非选择题）
11．（2023·福建·模拟预测）把3a2−6a+3因式分解的结果是 ．
【答案】3a−12
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】解：3a2−6a+3
=3a2−2a+1
=3a−12．
故答案为：3a−12．
【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．灵活运用因式分解的方法是解题的关键．
12．（2023·福建泉州·八年级统考期末）计算：20192+20202−2019×4040= .
【答案】1
【分析】根据完全平方公式因式分解计算即可.
【详解】原式20192+20202−2×2019×2020=(2019-2020)2=1.
故答案为：1.
【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本题的关键．
13．（2023·福建泉州·八年级校考阶段练习）若M=2+122+124+128+1216+1+1，则数M的末位数字是 ．
【答案】6
【分析】将原式转化成M=(2−1)2+122+124+128+1216+1+1，再结合平方差公式解题即可．
【详解】M=2+122+124+128+1216+1+1
=(2−1)2+122+124+128+1216+1+1
=(22−1)22+124+128+1216+1+1
=(24−1)24+128+1216+1+1
=(28−1)28+1216+1+1
=(216−1)216+1+1
=(232−1)+1
=232
∵232的个位数是6
∴ M=2+122+124+128+1216+1+1的个位数是6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查平方差公式、尾数特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．（2023·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期中）先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：
4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）
=（52﹣1）×（52+1）=252﹣1=624．
请借鉴小黄的方法计算：
1+12×1+122×1+124×1+128×1+1216×1+1232×1+1264，结果是 ．
【答案】2−12127
【详解】试题分析：把求值的式子乘以2×1−12，进行恒等变形后，构造平方差公式求解.
解：原式=2×1−12×1+12×1+122×1+124×1+128×1+1216×1+1232×1+1264
=2×1−122×1+122×1+124×1+128×1+1216×1+1232×1+1264
=2×1−124×1+124×1+128×1+1216×1+1232×1+1264
=2×1−128×1+128×1+1216×1+1232×1+1264
=2×1−1216×1+1216×1+1232×1+1264
=2×1−1232×1+1232×1+1264
=2×1−1264×1+1264
=2×1−12128
=2−12127.
15．（2022秋·八年级课时练习）若x2+2(m−3)x+16是关于x的完全平方式，则m= ．
【答案】7或-1
【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案．
【详解】解：∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式，
∴2（m-3）=±8，
解得：m=-1或7，
故答案为-1或7．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．
16．（2023·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期中）如图，边长分别为a，b(a>b)的两个正方形并排放在一起，当a−b=m， ab=n时，阴影部分的面积为 ．（用含m,n的代数式表示）
【答案】12m2+12n
【分析】利用割补法把图形阴影部面积为：两个正方形面积减去两个三角形面积，用a、b表示出面积并化简，最后配成完全平方形式即可求解．
【详解】
解：∵两正方形面积和为：a2+b2，
三角形①面积为：12(a+b)b，
三角形②面积为：12a2，
∴S阴影=a2+b2−12(a+b)b−12a2，
整理得 S阴影=12a2−ab+b2=12a−b2+12ab，
∵当a−b=m， ab=n，
则S阴影=12m2+12n．
故答案为：12m2+12n．
【点睛】本题主要考查完全平方公式在几何图形中的应用．此类题主要是应用几何图形的面积间等量的关系，来验证完全平方公式；或者通过完全平方公式求解几何图形的面积的问题．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系,更需注意要根据所找到的规律做题．
17．（2023·福建厦门·八年级厦门市华侨中学校考期中）计算：x2（x+3）﹣x（x2+2x﹣1）．
【答案】x2+x
【分析】先根据单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项即可．
【详解】解：原式＝x3+3x2﹣x3﹣2x2+x
＝x2+x．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式和合并同类项法则，能灵活运用知识点进行化简是解此题的关键．
18．（2023·福建福州·八年级福建省福州则徐中学校考阶段练习）已知x2+y2＝25，x+y＝7，求xy和x﹣y的值．
【答案】12，±1
【分析】先根据完全平方公式求出xy的值，再根据完全平方公式求出（x﹣y）2的值，再求出答案即可.
【详解】解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∴25＝72﹣2xy，
∴xy＝12，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝25﹣2×12＝1，
∴x﹣y＝±1．
故答案为12，±1.
【点睛】本题考查完全平方公式.
19．（2023·福建泉州·八年级校考期末）（1）利用乘法公式计算：(2a+b)(b−2a)−(a−3b)2；
（2）利用乘法公式计算：201622015×2017+1．
【答案】（1）−5a2+6ab−8b2；（2）1
【分析】（1）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项即可；
（2）利用平方差化简分母即可求解．
【详解】（1）解：原式=b2−4a2−a2−6ab+9b2
=b2−4a2−a2+6ab−9b2=−5a2+6ab−8b2．
（2）解：201622015×2017+1
=20162(2016−1)×(2016+1)+1
=2016220162−1+1
=1．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键．
20．（2022春·福建三明·七年级统考期中）先化简，再求值：2a+b2−2a+b2a−b÷2b，其中a=−14，b=−12．
【答案】2a+b，-1
【分析】先根据乘法公式算乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
【详解】解：2a+b2−2a+b2a−b÷2b
＝4a2+4ab+b2−4a2+b2÷2b
＝4ab+2b2÷2b
＝2a+b，
当a=−14，b=−12时，原式＝2×（-14）＋（-12）＝-1．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
21．（2022秋·八年级课时练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作(a,b)，如果ac=b，那么(a,b)=c，例如：因为23=8，所以(2,8)=3．
（1）根据上述规定，填空：
(3,27)=_____，(5,1)=_____；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象，3n,4n=(3,4)，小明给出了如下的证明：
设3n,4n=x，则3nx=4n，即3xn=4n，
∴3x=4，即(3,4)=x，
∴3n,4n=(3,4)
请你尝试用这种方法证明下面这个等式：(3,4)+(3,5)=(3,20)
【答案】（1）3,0；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据材料给出的信息，分别计算，即可得出答案；
（2）设(3,4)=x，(3,5)=y，根据同底数幂的乘法法则即可得出答案.
【详解】（1）∵33=27，
∴(3,27)=3；
∵50=1，
∴(5,1)=0；
（2）设(3,4)=x，(3,5)=y，
则3x=4，3y=5，
∴3x+y=3x⋅3y=20．
∴(3,20)=x+y，
∴(3,4)+(3,5)=(3,20)．
【点睛】本题考查了乘方的运算、幂的乘方以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是理解题目中定义的运算法则.
22．（2022秋·福建泉州·八年级福建省惠安第一中学校联考期中）已知：a+b=1，ab=−154
(1)求ab2+a2b的值
(2)求a2+b2的值
(3)若a−b=k2−2，求非负数k的值
【答案】(1)−154
(2)172
(3)k=6
【分析】（1）将代数式ab2+a2b用提公因式法因式分解为ab(a+b)，再将a+b=1，ab=−154代入计算即可；
（2）将a2+b2变形为(a+b)2−2ab，再将a+b=1，ab=−154代入计算即可；
（3）类似的方法将(a−b)2变形为(a+b)2−4ab，代入计算后求出a−b的值，继而根据a−b=k2−2计算出符合条件的k的值即可．
【详解】（1）解： ∵a+b=1，ab=−154，
∴ab2+a2b=ab(a+b)=−154×1=−154；
（2）解：∵a+b=1，ab=−154，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab
=1−2(−154)
=1+152
=172；
（3）解：∵(a−b)2=(a+b)2−4ab
=1−4(−154)=16，
∴a−b=±4
当a−b=4时，k2−2=4，k=±6．
∵k为非负数，
∴k=6．
当a−b=−4时，k2−2=−4，k2=−2（舍去），
∴k=6．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用以及提取公因式分解因式，能够灵活应用完全平方公式是解题的关键．
23．（2023·福建厦门·八年级厦门五缘实验学校校考期中）两个不相等的实数m，n满足m2+n2＝40．
（1）若m+n＝﹣4，求mn的值；
（2）若m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，求m+n和k的值．
【答案】（1）﹣12；（2）6，2
【分析】（1）利用配方法可得m2+2mn+n2＝16，再代入m2+n2＝40即可求mn的值．
（2）根据m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，可得m2+n2﹣6（m+n）＝[（m+n）﹣3]2﹣2mn﹣9＝2k，代入m2+n2＝40，可得（m+n）2﹣2mn＝40，即k＝20﹣3（m+n），再根据m2﹣6m﹣n2+6n＝0可求m+n的值，代入即可求出k的值．
【详解】解：（1）∵m+n＝﹣4，
∴（m+n）2＝16，
m2+2mn+n2＝16，
∵m2+n2＝40，
∴40+2mn＝16，
∴mn＝﹣12；
（2）∵m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，
∴m2﹣6m+n2﹣6n＝2k，
m2+n2﹣6（m+n）＝[（m+n）﹣3]2﹣2mn﹣9＝2k，
∵m2+n2＝40，
∴（m+n）2﹣2mn＝40，
∴k＝20﹣3（m+n），
∵m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，
∴m2﹣6m﹣n2+6n＝0，则（m+n）（m﹣n）﹣6（m﹣n）＝0，
∵m、n不相等，
∴m+n＝6，
∴k＝2．
【点睛】本题考查了代数式的运算问题，掌握配方法和代入法是解题的关键．
24．（2022秋·福建泉州·八年级福建省南安第一中学校考阶段练习）教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：
先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x−3．
原式=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；
例如：求代数式x2+4x+6的最小值．
原式=x2+4x+4+2=(x+2)2+2．
∵(x+2)2≥0，
∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：m2−4m−5；
(2)求代数式x2−6x+12的最小值；
(3)若y=−x2+2x−3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
(4)当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2−6a−10b−6c+43=0时，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】(1)(m+1)(m−5)；
(2)x2−6x+12的最小值是3；
(3)1，大，-2
(4)△ABC是等腰三角形．理由见解析
【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；
（2）凑成完全平方加一个数值的形式；
（3）和（2）类似，凑成完全平方加以一个数值的形式；
（4）先因式分解，判断字母a、b、c三边的关系，再判定三角形的形状．
【详解】（1）解：m2−4m−5
=m2−4m+4−4−5
=(m−2)2−9
=(m−2+3)(m−2−3)
=(m+1)(m−5)．
故答案为：(m+1)(m−5)；
（2）解：x2−6x+12
=x2−6x+9+3
=(x−3)2+3；
∴x2−6x+12的最小值是3；
（3）解：y=−x2+2x−3
=−x2+2x−1−2
=−(x−1)2−2，
∴当x=1的时候，y有最大值-2．
故答案为：1，大，-2；
（4）解：△ABC是等腰三角形．理由如下：
a2+b2+c2−6a−10b−6c+43=0，
∴a2−6a+9+b2−10b+25+c2−6c+9=0，
∴(a−3)2+(b−5)2+(c−3)2=0，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．
a-3=0，b-5=0，c-3=0，
得，a=3，b=5，c=3．
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
25．（2022春·福建漳州·八年级校联考期中）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．
对于x2+5x+2x2+5x+3−12．
解法一：设x2+5x=y，则原式=y+2y+3−12=y2+5y−6
=y+6y−1=x2+5x+6x2+5x−1=x+2x+3x2+5x−1；
解法二：设x2+2=m，5x=n，则原式=m+nm+n+1−12=m+n2+m+n−12
=m+n+4m+n−3=x2+5x+6x2+5x−1=x+2x+3x2+5x−1．
请按照上面介绍的方法解决下列问题：
(1)因式分解：x2−4x+1x2−4x+7+9；
(2)因式分解：x+y−2xyx+y−2+xy−12；
(3)求证：多项式x+1x+2x+3x+6+x2的值一定是非负数．
【答案】(1)（1）x−24
(2)x−121−y2
(3)见解析
【分析】（1）仿照题意方法一、二求解即可；
（2）仿照题意方法二求解即可；
（3）先把多项式化成x2+7x+6x2+5x+6+x2，然后仿照题意方法二得到原式=x2+6x+62，由此即可得答案．
【详解】（1）解：解法一：设x2−4x=y，
则原式=y+1y+7+9
=y2+8y+16
=y+42
=x2−4x+42
=x−24；
方法二：设x2+1=m，−4x=n，
则原式=m+nm+n+6+9
=m+n2+6m+n+9
=m+n+32
=x2+1−4x+32
=x2−4x+42
=x−24；
（2）解：设x+y=m，xy=n，
则原式=m−2nm−2+n−12
=m2−2mn−2m+4n+n2−2n+1
=m2−2mn−2m+n−12
=m2−2mn+1+n+12
=m−n−12
=x+y−xy−12
=x−121−y2；
（3）解：x+1x+2x+3x+6+x2
=x2+7x+6x2+5x+6+x2，
设x2+6=m，x=n，
则原式=m+7nm+5n+n2
=m2+12mn+36n2
=m+6n2
=x2+6x+62，
∵x2+6x+62≥0，
∴x+1x+2x+3x+6+x2≥0，
∴多项式x+1x+2x+3x+6+x2的值一定是非负数．
【点睛】本题主要考查了因式分解，正确理解题意是解题的关键．
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