人教版八年级数学上册重难考点微专题01全等三角形的九大模型通关专练特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点微专题01全等三角形的九大模型通关专练特训(原卷版+解析)，共66页。试卷主要包含了平移模型，对称模型，不共点旋转模型，多垂直模型，手拉手模型，倍长中线模型，截长补短模型，平行线+中线模型等内容，欢迎下载使用。
1．（2023·陕西西安·交大附中分校校考三模）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B=∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．并写出证明过程．
2．（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期中）如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，请在下列四个等式中，①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．选出两个作为条件，推出△ABC≌△DEF．并予以证明．（写出一种即可）
已知：______，______．
求证：△ABC≌△DEF．
3．（2022秋·广东韶关·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF．老师说：还添加一个条件就可使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言：
甲：添加BE＝CF，
乙：添加AC∥DF，
丙：添加∠A＝∠D．
(1)甲、乙、丙三个同学的说法正确的是 ；
(2)请你从正确的说法中，选取一种给予证明．
4．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
二、对称模型
5．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，点A、D在线段BC的两侧，且∠A=∠D=90°．试添加一个条件，使△ABC≌△DBC．并写出证明过程．
6．（2022秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．找出图中的全等三角形，并选一对证明它们全等．
7．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）已知：如图，AC、BD交于点O，AB=CD，请你再添加一个条件（不再添加其他辅助线，不再标注或使用其他字母），使OB=OC，并给出证明．
8．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，AB=AC．现给出下列条件：①∠B=∠C；②BE=CD；AE=AD，请你选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使得△ABE≌△ACD，并证明．
三、不共点旋转模型
9．（2021秋·河南许昌·八年级校考期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，请你在下列条件①∠B=∠E；②∠ACB=∠DFE；③AB=DE；④AC∥DF中，选择一个条件证明：∠A=∠D，你选的条件的序号是________．
证明：
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC和△DEF中，点C、E、B、F在同一条直线上，且AB=DE，AC=DF，CE=FB．求证：△ABC≌△DEF．
11．（2022秋·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，从①AF∥DE，②AF=DE中选择一个作为补充条件，另一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．
你选的补充条件是 ，结论是 ．(填序号)
12．（2022秋·八年级单元测试）如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，∠A=∠E．请你添加一个条件，证明：AC=EF．
(1)你添加的条件是_____________；
(2)请你写出证明过程．
四、多垂直模型（含一线三等角）
13．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．
(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABE为等腰直角三角形，∠ABE=90°，BC=BD．
(1)求证：△ABC≌△EBD；
(2)求证：AF⊥DE
15．（2022秋·山东德州·八年级校考期中）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．
（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．
（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．
16．（2023秋·湖南张家界·八年级统考期末）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A,BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D,E．求证：DE=BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由．
五、手拉手模型
17．（2022·广东深圳·校考一模）如图，以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连接BE、CF．
(1)求证：△FAC≌△BAE；
(2)图中△BAE可以通过一次变换得到△FAC，请你说出变换过程．
18．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
(1)求证：△AEB≌△ADC；
(2)连接DE，若∠ADC=110°，求∠BED的度数．
19．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）如图1，等边△ABC与等边△DCP的顶点B，C，P三点在一条直线上，连接AP交BD于E点，连EC．
(1)求证：AP=BD；
(2)求证：EC平分∠BEP；
(3)设AE=a，DE=b，CE=c，若BP=4CP，直接写出a，b，c之间满足的数量关系．
20．（2020秋·辽宁抚顺·九年级校考期中）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系．
(2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明； 若不成立，说明理由．
六、倍长中线模型
21．（2023春·广东深圳·七年级深圳市宝安中学（集团）校考期中）【向题情境】
课外数学兴趣小组活动时，老师提出了如下何题：
如图①，△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是__________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．SSA
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是__________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】
(3)如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．若EF=5，EC=3，求线段BF的长．
【拓展提升】
(4)如图③，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB,AC于点E，F．求证：BE+CF>EF．
22．（2022秋·湖北武汉·八年级校联考期中）规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，回答下列问题：
(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．
(2)取BD的中点P，连接OP，请证明AC=2OP．
23．（2022秋·湖北荆门·八年级校考阶段练习）在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E是BC的中点，过E作EF∥AD交CA延长线于P，交AB于F，求证：
(1)△APF是等腰三角形；
(2)BF=CP
(3)若AB=12，AC=8，试求出PA的长．
24．（2022春·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）已知：如图，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B．求证：AE=BC．
七、截长补短模型
25．（2023秋·广西南宁·八年级校考期末）已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．
(1)求∠AFC的度数；
(2)若AD=6，CE=4，求AC的长．
26．（2022春·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图，已知△ABC为等边三角形，D为直线BC上一点，ED＝EC，求证：AE＋AC＝CD．
27．（2022秋·重庆江北·八年级统考期末）在等边ΔABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M、N，点D为ΔABC外一点，且∠MDN=60∘，∠BDC=120∘，BD=CD
(1)如图1，点M、N在边AB、AC上，∠BDN=90∘，BM=3，求CN的长；
(2)如图2，点M、N在边AB、AC上，∠BDN≠90∘．试猜想BM，CN，MN之间的数量关系，并加以证明；
28．（2020秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，△ABC中，AB=AC，点D为△ABC外一点，且∠BDC=∠BAC，AM⊥CD于M，求证：BD+DM=CM．
八、平行线+中线模型
29．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．
求让：MD=ME
30．（2022秋·江苏·八年级专题练习） P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
31．（2022秋·八年级课时练习）如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，
(1)求证：DP=DQ；
(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．
32．（2022秋·八年级课时练习）读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且
∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD
分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．
图(1):延长DE到F使得EF=DE
图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F
图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.
九、角平分线+垂直模型
33．（2022秋·八年级课时练习）已知，如图ΔABC中，AB=AC，∠A=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点E，∠BDC=90°，
求证：CE=2BD.

34．（2022秋·八年级课时练习）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断△BEG的形状，并说明理由．
微专题01 全等三角形的九大模型通关专练
一、平移模型
1．（2023·陕西西安·交大附中分校校考三模）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B=∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．并写出证明过程．
【答案】添加条件AB=ED，证明见解析（答案不唯一）
【分析】根据题意可得∠B=∠D，∠BAC=∠DEF=90°，根据全等三角形的判定定理可知只需要添加一条对应边相等即可，由此求解即可．
【详解】解：添加条件AB=ED，证明如下：
在Rt△ABC和Rt△EDF中，
∠B=∠DAB=ED∠BAC=∠DEF=90°，
∴Rt△ABC≌Rt△EDFASA．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL等等．
2．（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期中）如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，请在下列四个等式中，①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．选出两个作为条件，推出△ABC≌△DEF．并予以证明．（写出一种即可）
已知：______，______．
求证：△ABC≌△DEF．
【答案】①，④或②，③或②，④；证明见解析
【分析】根据题意选取2个条件，根据全等三角形的判定，即可求解．
【详解】已知：①④
证明如下：
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中
AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF．
∴△ABC≌△DEF．
已知∶ ②③
证明如下：
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中
∠ACB＝∠F，∠A＝∠D，BC＝EF．
∴△ABC≌△DEF．
已知∶②④
证明如下：
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中
AC＝DF，∠ACB＝∠F，BC＝EF．
∴△ABC≌△DEF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2022秋·广东韶关·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF．老师说：还添加一个条件就可使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言：
甲：添加BE＝CF，
乙：添加AC∥DF，
丙：添加∠A＝∠D．
(1)甲、乙、丙三个同学的说法正确的是 ；
(2)请你从正确的说法中，选取一种给予证明．
【答案】(1)甲、丙
(2)选甲的做法，证明见解析
【分析】（1）通过（2），即可得出答案；
（2）利用全等三角形的判定方法：SSS、SAS，对甲、丙两个同学的说法分别进行分析，即可得出结论．
【详解】（1）解：说法正确的是：甲、丙，
（2）选甲的做法，
证明：∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
选丙的做法，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠A=∠DAC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定定理．
4．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
【答案】(1)①，SSS
(2)见解析
【分析】(1)根据SSS即可证明△ABC≌∆DEF，即可解决问题；
(2)根据全等三角形的性质可得可得∠A=∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．
【详解】（1）解：在△ABC和△DEF中，
AC=DFAB=DEBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，
选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分）
故答案为：①，SSS；
（2）证明：∵△ABC≌△DEF．
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE．
【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
二、对称模型
5．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，点A、D在线段BC的两侧，且∠A=∠D=90°．试添加一个条件，使△ABC≌△DBC．并写出证明过程．
【答案】答案不唯一，见解析
【分析】根据题意可知BC=BC，∠A=∠D=90°，再利用AAS定理判定△ABC≌△DBC即可．
【详解】解：添加的条件：∠ABC=∠DBC，证明如下：
在△ABC和△DBC中，∠A=∠D∠ABC=∠DBCBC=BC，
∴△ABC≌△DBCAAS．
（答案不唯一）
若是AB=DB（或AC=DC），则判定△ABC≌△DBC的理由是HL，
若是∠ACB=∠DCB，则判定△ABC≌△DBC的理由是AAS．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（2022秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．找出图中的全等三角形，并选一对证明它们全等．
【答案】△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，证明见解析
【分析】由已知条件可分别根据三角形全等的判定定理SSS证得△ABD≌△ACD；根据SAS证得△ABE≌△ACE；根据SSS证得△BDE≌△CDE．
【详解】解：图中的全等三角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE；
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACDSSS；
∴∠BAE=∠CAE，
∵AE=AE，∠BAE=∠CAE，AB=AC，
∴△ABE≌△ACESAS；
∴BE=CE，
∵BE=CE，BD=DC，DE=DE，
∴△BDE≌△CDESSS．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏．
7．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）已知：如图，AC、BD交于点O，AB=CD，请你再添加一个条件（不再添加其他辅助线，不再标注或使用其他字母），使OB=OC，并给出证明．
【答案】AC=DB或∠ABC=∠DCB或∠A=∠D或∠ABO=∠DCO
【分析】要证明OB=OC，根据等腰三角形的中等角对等边，也可以根据三角形全等，对应边相等即可A．
【详解】证明：方法一∵AB=CD，BC=CB，若AC=DB，
∴△ABC≌△DCB(SSS)，
∴∠ACB=∠DBC，
∴△BCO中，OB=OC；
方法二：∵AB=CD，BC=CB，若∠ABC=∠DCB，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
∴∠ACB=∠DBC，
∴△BCO中，OB=OC；
方法三：∵AB=CD，∠AOB=∠DOC，若∠A=∠D，
∴△ABO≌△DCO(AAS)，
∴OB=OC；
方法四：∵AB=CD，∠AOB=∠DOC，若∠ABO=∠DCO，
∴△ABO≌△DCO(AAS)，
∴OB=OC
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
8．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，AB=AC．现给出下列条件：①∠B=∠C；②BE=CD；AE=AD，请你选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使得△ABE≌△ACD，并证明．
【答案】见解析
【分析】添加∠B=∠C，由AAS证明△ABE≌△ACD即可．
【详解】解：添加∠B=∠C，使得△ABE≌△ACD，
证明：在△ABE和△ACD中，
∠B=∠C∠A=∠AAB=AC，
∴△ABE≌△ACDAAS．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
三、不共点旋转模型
9．（2021秋·河南许昌·八年级校考期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，请你在下列条件①∠B=∠E；②∠ACB=∠DFE；③AB=DE；④AC∥DF中，选择一个条件证明：∠A=∠D，你选的条件的序号是________．
证明：
【答案】②，证明见解析
【分析】由全等三角形的判定方法即可得出△ABC≌△DEF，即可得出∠A=∠D．
【详解】解：选②∠ACB=∠DFE（答案不唯一）
证明：∵BF=CE，
∴BF+CF=CE+CF，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AC=DF∠ACB=∠DFEBC=EF，
∴△ABC≌△DEFSAS；
∴∠A=∠D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC和△DEF中，点C、E、B、F在同一条直线上，且AB=DE，AC=DF，CE=FB．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】见解析
【分析】根据SSS证明△ABC≌△DEF即可．
【详解】证明：∵BF=CE，
∴BF+BE=CE+BE，即BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEFSSS．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用所学知识证明是解决本题的关键．
11．（2022秋·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，从①AF∥DE，②AF=DE中选择一个作为补充条件，另一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．
你选的补充条件是 ，结论是 ．(填序号)
【答案】①，②；过程见解析
【分析】根据AB∥CD可知∠B=∠C，结合AB=CD，再添加AF=DE， 不能证明三角形全等，所以添加条件①，证明∠CED=∠AFB，利用AAS证明△ABF≌△DCE，可得出结论②，即可求解．
【详解】解：你选的补充条件是①，结论是②，理由如下，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵AF∥DE，
∴∠CED=∠AFB，
在△ABF与△DCE中，
∠B=∠C∠AFB=∠CEDAB=CD，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AF=DE．
故答案为：①，②．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
12．（2022秋·八年级单元测试）如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，∠A=∠E．请你添加一个条件，证明：AC=EF．
(1)你添加的条件是_____________；
(2)请你写出证明过程．
【答案】(1)∠C=∠F（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】（1）可以添加∠C=∠F，即可；
（2）根据AD=EB，可得AB=ED，再利用角角边证得△ABC≅△EDF，即可求证．
（1）
解∶添加的条件是∠C=∠F
故答案为：∠C=∠F（答案不唯一）；
（2）
证明：∵AD=EB
∴AD−BD=EB−BD，
即AB=ED．
在△ABC与△EDF中
∠C=∠F∠A=∠EAB=ED
∴△ABC≌△EDFAAS
∴AC=EF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
四、多垂直模型（含一线三等角）
13．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．
(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
【答案】(1)DE=BD−CE，证明见解析；
(2)DE=BD+CE，DE=BD−CE，DE=CE−BD．
【分析】（1）利用条件证明△ABD≌△CAE， 再结合线段的和差可得出结论；
（2）根据图，可得BD、DE、CE存在3种不同的数量关系；
【详解】（1）证明：如图2，
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
∠BDA=∠CBA∠ABD=∠CABAB=CA，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AE−AD，
∴DE=BD−CE．
（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在3种不同的数量关系：DE=BD+CE，DE=BD−CE，DE=CE−BD．
如图1时，DE=BD+CE，
如图2时，DE=BD−CE，
如图3时，DE=CE−BD，（证明同理）
【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABE为等腰直角三角形，∠ABE=90°，BC=BD．
(1)求证：△ABC≌△EBD；
(2)求证：AF⊥DE
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可．
（2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可．
【详解】（1）证明：△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∵∠ABE=90°，
∴∠EBD=90°，
∴∠ABE=∠EBD，
在△ABC与△BDE中，
AB=BE∠ABE=∠DBEBC=BD，
∴△ABC≌△EBDSAS
（2）证明：∵△ABC≌△EBD，
∴∠BAC=∠BED，
∵∠BED+∠D=90°，
∴∠BAC+∠D=90°，
∴∠AFD=90°，
∴∠AFE=90°，
∴AF⊥DE．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质的运用，能够熟练运用判定定理及性质是解题关键．
15．（2022秋·山东德州·八年级校考期中）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．
（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．
（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．
【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．
【分析】(1) ∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，根据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，可得答案；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，同（1）中的方法，可证△ABC≌△CED，可得答案；
（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD面积为12且CD的长为6，可得AE＝4，进而可得CE=2，同（1）中证法，可得△ACE≌△CBF，由全等三角形的性质可求得答案．
【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D，
在△ABC和△CED中，
∠B=∠E∠ACB=∠DAC=CD，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，
∴BE＝BC+CE＝7；
故答案为：7；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图：
∵DE⊥BC，CD⊥AC，
∴∠E＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，
在△ABC和△CED中，
∠ABC=∠E∠ACB=∠CDEAC=CD，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝ED＝4，
∴S△BCD＝12BC•DE＝8；
（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图：
∵△ACD面积为12且CD的长为6，
∴12×6•AE＝12，
∴AE＝4，
∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝4，
∴CE＝CD﹣DE＝2，
∵∠ABC＝∠CAB＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
∠AEC=∠F∠ACE=∠CBFAC=CB，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴BF＝CE＝2，
∴S△BCD＝12CD•BF＝6．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，属于类比探究类的题目，掌握模型思想，准确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．（2023秋·湖南张家界·八年级统考期末）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A,BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D,E．求证：DE=BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE=BD+CE，证明见解析
【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；
【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下：
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
∠ABD＝∠CAE∠ADB＝∠CEA＝90°AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2）DE=BD+CE，理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
∠ABD＝∠CAE∠ADB＝∠CEAAB＝AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
五、手拉手模型
17．（2022·广东深圳·校考一模）如图，以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连接BE、CF．
(1)求证：△FAC≌△BAE；
(2)图中△BAE可以通过一次变换得到△FAC，请你说出变换过程．
【答案】(1)见解析
(2)△FAC和△BAE可以通过旋转而相互得到，△BAE以点A为旋转中心，顺时针旋转90°得到△FAC
【分析】（1）通过正方形的性质得到等角和等边，然后判断全等即可；
（2）根据旋转的定义直接解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ACDE和四边形ABGF是正方形，
∴AF=AB，AC=AE，∠BAF=∠CAE=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠FAC=∠BAE，
在△FAC和△BAE中，
AF=AB∠FAC=∠BAEAC=AE，
∴△FAC≌△BAESAS；
（2）解：△FAC和△BAE可以通过旋转而相互得到，△BAE以点A为旋转中心，顺时针旋转90°得到△FAC．
【点睛】此题考查正方形的性质和全等三角形、旋转性质，解题关键是找准全等三角形判定条件来证明全等．
18．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
(1)求证：△AEB≌△ADC；
(2)连接DE，若∠ADC=110°，求∠BED的度数．
【答案】(1)见解析
(2)50°
【分析】（1）由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△AEB≌△ADC可得答案；
（2）由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由△AEB≌△ADC，得到∠AEB=∠ADC=110°，再利用∠BED=∠AEB−∠AED即可得解．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE=60°，AE=AD．
∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB=∠DAC．
在△EAB和△DAC中，
AB=AC∠EAB=∠DACAE=AD，
∴△AEB≌△ADCSAS．
（2）解：如图，

∵∠DAE=60°，AE=AD，
∴△EAD为等边三角形．
∴∠AED=60°，
∵△AEB≌△ADC，
∴∠AEB=∠ADC=110°．
∴∠BED=∠AEB−∠AED=50°．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键．
19．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）如图1，等边△ABC与等边△DCP的顶点B，C，P三点在一条直线上，连接AP交BD于E点，连EC．
(1)求证：AP=BD；
(2)求证：EC平分∠BEP；
(3)设AE=a，DE=b，CE=c，若BP=4CP，直接写出a，b，c之间满足的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)a−3b=2c
【分析】（1）由题意结合等边三角形的性质，可得，∠BCD=∠BCA+∠ACD=120°，∠ACP=∠DCP+∠ACD=120°，即∠BCD=∠ACP，再证△BCD≌△ACP，即可证得AP=BD；
（2）过点C作CM⊥BD交BD于点M，过点C作CN⊥AP交AP于点N，由△BCD≌△ACP，根据全等三角形对应边上的高相等，可得，CM=CN，再由角平分线的判定可得，EC平分∠BEP；
（3）过点C作CM⊥BD交BD于点M，过点C作CN⊥AP交AP于点N，在EB上截取一点F，使得AE=EF，在EP上截取一点G，使得ED=EG，连接AF，DG，先证△BAF≌△CAE，推导得BE=BF+EF=CE+AE=c+a，同法可证，EP=EG+GP=ED+CE=b+c，最后根据三角形面积关系，得出BE=3PE，则可得到答案．
【详解】（1）证明：∵等边△ABC与等边△DCP的顶点B，C，P三点在一条直线上，
∴∠ACB=∠DCP=60°，∠BCP=180°，
∴∠ACD=180°−∠DCP−∠ACB=60°，
∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=120°，
∠ACP=∠DCP+∠ACD=120°，
∴∠BCD=∠ACP，
∵等边△ABC，等边△DCP，
∴BC=AC，DC=PC，
在△BCD与△ACP中，
∵BC=AC∠BCD=∠ACPCD=CP，
∴△BCD≌△ACPSAS，
∴AP=BD．
（2）证明：如图1，过点C作CM⊥BD交BD于点M，过点C作CN⊥AP交AP于点N，
∵（1）中已证△BCD≌△ACP，
又∵CM⊥BD，CN⊥AP，
∴CM=CN，
∵CM⊥BD，CN⊥AP，
∴EC平分∠BEP．
（3）a−3b=2c，理由如下：
如图2，过点C作CM⊥BD交BD于点M，过点C作CN⊥AP交AP于点N，在EB上截取一点F，使得AE=EF，在EP上截取一点G，使得ED=EG，连接AF，DG，
∵△BCD≌△ACP，
∴∠BDC=∠APC，
∵∠DBC+∠BDC=∠DCP，
又∵等边△DCP，
∴∠DCP=60°，
∴∠DBC+∠BDC=60°，
∵∠BDC=∠APC，
∴∠DBC+∠APC=60°，
即∠AEB=60°，
∵AE=EF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠FAE=60°，AF=AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，BA=CA，
∴∠BAC−∠FAC=∠FAE−∠FAC，
即∠BAF=∠CAE，
在△BAF与△CAE中，
∵BA=CA∠BAF=∠CAEAF=AE，
∴△BAF≌△CAESAS，
∴BF=CE．
∵AE=EF=a，CE=c，
∴BE=BF+EF=CE+AE=c+a，
同法可证，EP=EG+GP=ED+CE=b+c，
∵BP=4CP，
∴BC=3CP．
∵CM⊥BD，CN⊥AP，
∴S△BECS△ECP=12×BE×CM12×PE×CN=BCCP=3，
∵（2）中已证CM=CN，
∴BEPE=3，
∴c+a=3b+c，
即a−3b=2c．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质应用，三角形面积关系等，综合性强，难度较大．
20．（2020秋·辽宁抚顺·九年级校考期中）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系．
(2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明； 若不成立，说明理由．
【答案】(1)BD和CE的数量关系是相等，位置关系是互相垂直，理由见详解；
(2)成立，理由见详解．
【分析】（1）由题意易得AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE，则有∠BAD=∠CAE，然后可证△ABD≌△ACE，进而问题可求解；
（2）如图，然后根据（1）中的证明过程可进行求解．
(1)
解：BD⊥CE且BD=CE，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
由旋转的性质可得：∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC =90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，
∴BD⊥CE；
(2)
解：（1）中结论仍成立，理由如下：
由题意可得如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
由旋转的性质可得：∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，
∴BD⊥CE．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
六、倍长中线模型
21．（2023春·广东深圳·七年级深圳市宝安中学（集团）校考期中）【向题情境】
课外数学兴趣小组活动时，老师提出了如下何题：
如图①，△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是__________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．SSA
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是__________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】
(3)如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．若EF=5，EC=3，求线段BF的长．
【拓展提升】
(4)如图③，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB,AC于点E，F．求证：BE+CF>EF．
【答案】(1)B
(2)2