人教版八年级数学上册重难考点微专题02角平分线的相关模型通关专练特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点微专题02角平分线的相关模型通关专练特训(原卷版+解析)，共48页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023·山东淄博·统考一模）如图，点F是△ABC的内心，连接BF，CF，若∠BFC=112°，则∠A=（ ）
A．44°B．45°C．50°D．55°
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
3．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC的三条内角平分线相交于点I，三边的垂直平分线相交于点O．若∠BOC＝148°，则∠BIC＝（ ）
A．120°B．125°C．127°D．132°
4．（2022春·广东揭阳·七年级校考期中）如图，直线EF∥MN，点A，B分别是EF，MN上的动点，点G在MN上，∠ACB=m°，∠AGB和∠CBN的角平分线交于点D，若∠D=50°，则m的值为（ ）
A．70B．74C．76D．80
5．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB=2BFB．∠ACE=12∠ACBC．AE=BED．CD⊥BE
6．（2023秋·四川遂宁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点E、F分别在BA、BC的延长线上，∠EAC、∠ABC、∠ACF的平分线相交于点D．对于以下结论：①AD∥BC；②AD=AC；③∠ADC=∠ACB；④∠ADB与∠ADC互余．其中一定正确结论的个数为（ ）
A．4B．1C．2D．3
7．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期末）如图，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD=4，DE=7，则线段EC的长为（ ）
A．3B．4C．3.5D．2
8．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠A=60°,∠ABC=80°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（ ）
A．10°B．12°C．15°D．18°
9．（2023春·广西贵港·八年级校考阶段练习）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线……，若∠A＝α，则∠A2022为（ ）°．
A．α2022B．α22022C．α2023D．α22023
10．（2023春·八年级课时练习）如图，若点A在y轴上，点B在x轴上， ∠OAB的平分线交△OAB外角∠OBD的平分线于点C，则∠C的度数是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
11．（2022秋·浙江·八年级义乌市绣湖中学教育集团校联考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角与内角∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点，若∠BOC＝110°，则∠D＝（ ）度．
A．15°B．20°C．25°D．30°
12．（2023秋·天津红桥·八年级期中）如图在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，则∠DAE等于（ ）
A．70°B．35°C．15°D．20°
13．（2023春·江苏·七年级期中）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④∠BDC+∠ABC＝90°．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．（2022·河北·九年级专题练习）对于题目：如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=76°,∠C=64°，求∠DAE的度数．下面是打乱了的解题过程：①∵∠DAE=∠EAC−∠DAC−38°−26°=12°；②∠CAD=90°− ∠C=90°−64°=26°；③∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠CAB =12×76°=38°；④∵AD⊥BC，∠ADC=90°，则下列排序正确的是（ ）．
A．③④②①B．④②①③C．③②④①D．③①④②
15．（2022·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AD是高，CF是中线，BE是角平分线，BE交AD于G，交CF于H，下列说法正确的是（ ）
①∠AEG=∠AGE；②BH=CH；③∠EAG=2∠EBC；④S△ACF=S△BCF
A．①③B．①②③C．①③④D．②③④
二、填空题
16．（2023春·江苏·七年级期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线．已知∠BAC=80°，∠C=38°，则∠DAE=__．
17．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，BE是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，若 ∠A=70°，则∠E=____．
18．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，点O为△ABC的内心，∠A=70°，则∠BOC的度数为________．
19．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，O是△ABC外一点，OB，OC分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF，若∠A＝n°，则∠BOC＝_________（用含n的代数式表示）
20．（2023春·全国·七年级专题练习）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 _____．
21．（2023春·江苏·七年级期中）如图，在△ABC中，BO是∠ABC的角平分线，CO是∠ACD的角平分线，BO1是∠OBC的角平分线，CO1是∠OCD的角平分线，若∠A=α，则∠O1=______．
22．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，△ABC中，∠A=m，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的角平分线相交于A1点，则∠A1的大小是__，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2点，依此类推，∠A2015BC与∠A2015CD的角平分线相交于A2016点，则∠A2016的大小是_____．
23．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABC中，∠BDC＝90°，BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，若∠A＝40°，则∠F＝__°．
24．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图：在△ABC中，∠B=58∘，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_______．
25．（2023春·上海松江·七年级校考期中）如图，直线EF分别与直线AB、CD相交于点M、N，且∠1=∠2，MO、NO分别平分∠BMF和EMD，则ΔMON为________三角形
三、解答题
26．（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAE和∠BOE的度数．
27．（2023春·江苏·七年级期中）如图，ΔABC中，∠ACB>∠ABC，点O是ΔABC的内角平分线的交点，AO的延长线交BC于点D，OE⊥BC于点E．
(1)若∠BAC=90°，
①求∠BOC的度数；
②如果∠DOE=15°，求∠EOC的度数．
(2)设∠OBC=α,∠OCB=β，求∠DOE（用α、β表示）．
28．（2023春·江苏扬州·七年级高邮市城北中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分 ∠BAC，∠B=80°，∠C=30°．
(1)求∠BAE的度数；
(2)∠DAE的度数；
(3)探究：小明认为：不需要知道∠B和∠C度数，如果只知道∠B−∠C=50°，其他条件不变，也能得出∠DAE度数，你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
29．（2023·山东青岛·统考一模）【阅读理解】
三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于180°．
如图②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°，点D是AB延长线上一点．由平角的定义可得∠ABC+∠CBD=180°，所以∠CBD=∠A+∠C．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步应用】
如图③，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，
（1）若∠A=60°，∠CBD=110°，则∠ACB=______°；
（2）若∠A=60°，∠CBD=110°，则∠CBD+∠BCE=______°；
（3）若∠A=m°，则∠CBD+∠BCE=______°．
【拓展延伸】
如图④，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，
（4）若∠A=60°，分别作∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，则∠BOC=______°；
（5）若∠A=60°，分别作∠CBD和∠BCE的三等分线交于点O，且∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13∠BCE，则∠BOC=______°；
（6）若∠A=m°，分别作∠CBD和∠BCE的n等分线交于点O，且∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n∠BCE，则∠BOC=______°．
30．（2022春·吉林长春·七年级统考期末）模型认识：我们学过三角形的内角和等于180°，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．
如图①，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．
解决问题：
(1)若∠ABC=40°，∠ACB=80°，则∠BPC=______；（直接写出答案）
(2)若∠BAC=100°，求出∠BPC的度数；
拓展延伸：
(3)如图②，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，直接写出∠BPC与∠A+∠D的数量关系．
31．（2023春·江苏·七年级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D．若∠A=50°，试求∠BDC的度数．
（2）如图2，点P是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线的交点，试探究∠P与∠A之间的数量关系．
（3）如图3，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E．若∠A=64°，则∠BEC=______．
32．（2023春·山西·七年级校联考期末）综合与探究：小新在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图1，如果∠A=80°，求∠BPC的度数．
（2）在（1）的条件下，如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，求∠Q的度数．
（3）如图3，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，是否存在一个内角等于另一个内角的2倍，若存在，请直接写出∠A的度数；若不存在，请说明理由．
微专题02 角平分线的相关模型通关专练
一、单选题
1．（2023·山东淄博·统考一模）如图，点F是△ABC的内心，连接BF，CF，若∠BFC=112°，则∠A=（ ）
A．44°B．45°C．50°D．55°
【答案】A
【分析】根据三角形内心的定义得到BF、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，再利用三角形的内角和定理即可得到∠A的度数．
【详解】解：∵点F是△ABC的内心，
∴BF、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠FBC=12∠ABC，∠FCB=12∠ACB,
∵∠BFC=112°，
∴∠FBC+∠FCB=180°−∠BFC=180°−112°=68°，
∴12∠ABC+∠ACB=68°，
∴∠ABC+∠ACB=136°，
∴∠A=180°−∠ABC+∠ACB=44°，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义，角平分线的定义，三角形的内角定理，掌握三角形内心的定义是解题的关键．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义和平角定义可得∠OCD＝∠ACO＋∠ACD＝90°，根据外角的性质可得∠BOC=∠OCD+∠D，继而即可求解．
【详解】解：∵CO平分∠ACB，CD平分∠ABC的外角，
∴∠ACO=12∠ACB，∠ACD=12∠ACF，
∵∠ACB+∠ACF=180°，
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12∠ACB+∠ACF=90°，
∴∠BOC=∠OCD+∠D，
∴∠D=∠BOC−∠OCD=130°−90°=40°，
故选择C．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平角定义，三角形的外角性质，解题的关键是根据角平分线定义和平角定义可得∠OCD＝90°，根据外角的性质求得∠BOC=∠OCD+∠D．
3．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC的三条内角平分线相交于点I，三边的垂直平分线相交于点O．若∠BOC＝148°，则∠BIC＝（ ）
A．120°B．125°C．127°D．132°
【答案】C
【分析】连接OA，根据点O为各边中垂线的交点，可得∠BAC=74°，再根据△ABC的三条内角平分线相交于点I，即可求解．
【详解】
解：连接OA
∵点O为各边中垂线的交点
∴OB=OC=OA
∴∠CBO=∠BCO，∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO
又∵∠BOC=148°
∴∠OBC=∠OCB=16°
∠BAC=∠BAO+∠CAO
=12∠BAO+∠ABO+∠CAO+∠ACO
=12180°−∠OBC−∠OCB
=74°
∵△ABC的三条内角平分线相交于点I
∴∠BIC=180°−(∠IBC+∠ICB)
=180°−12(180°−∠BAC)
=127°
故选：C．
【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线性质和角平分线性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．
4．（2022春·广东揭阳·七年级校考期中）如图，直线EF∥MN，点A，B分别是EF，MN上的动点，点G在MN上，∠ACB=m°，∠AGB和∠CBN的角平分线交于点D，若∠D=50°，则m的值为（ ）
A．70B．74C．76D．80
【答案】D
【分析】先由平行线的性质得到∠ACB=∠5+∠1+∠2，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值．
【详解】解：过点C作CH∥MN，
∵CH∥MN
∴∠6=∠5，∠7=∠1+∠2，
∵∠ACB=∠6+∠7，
∴∠ACB=∠5+∠1+∠2，
∵∠D=50°，
∴∠1+∠5+∠3=180°−50°=130°，
由题意可得GD为∠AGB的角平分线，BD为∠CBN的角平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴m°=∠1+∠2+∠5=2∠1+∠5，∠4=180°−∠5+∠3=180°−180°−∠1−∠D=∠1+∠D=∠1+50°，
∴∠3=∠4=∠1+50°，
∴∠1+∠5+∠3=∠1+∠5+∠1+50°=2∠1+∠5+50°=m°+50°，
∴m°+50°=130°，
∴m=80．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB=2BFB．∠ACE=12∠ACBC．AE=BED．CD⊥BE
【答案】C
【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
【详解】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥AB，∠ACE＝12∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握它们的定义和性质是解题的关键．
6．（2023秋·四川遂宁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点E、F分别在BA、BC的延长线上，∠EAC、∠ABC、∠ACF的平分线相交于点D．对于以下结论：①AD∥BC；②AD=AC；③∠ADC=∠ACB；④∠ADB与∠ADC互余．其中一定正确结论的个数为（ ）
A．4B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】由等边对等角可得∠ABC=∠ACB，外角的性质可知∠ABC+∠ACB=∠EAC，可得∠ABC=12∠EAC，由角平分线可知∠EAD=12∠EAC，可得∠EAD=∠ABC，根据平行线的判定可得AD∥BC，故①正确；由角平分线可知∠ACD=∠FCD=12∠ACF，由平行线的性质可知∠ADC=∠FCD，所以∠ADC=∠ACD，等角对等边可得AD=AC，故②正确；因为∠ACD=12∠ACF，所以∠ACF=2∠ADC，结合∠ACB+∠ACF=180°，得∠ACB+2∠ADC=180°，故③错误；由平行线的性质可知∠ADB=∠DBF，由角平分线可知∠ABD=∠DBF=12∠ABC，即可证明∠ADB=12∠ACB，结合∠ACD=12∠ACF和∠ACB+∠ACF=180°，可得∠ADB+∠ADC=90°，故④正确，即可得出答案．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠ABC+∠ACB=∠EAC，
∴∠ABC=∠ACB=12∠EAC，
∵AD是∠EAC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD=12∠EAC，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确，符合题意；
∵CD是∠ACF的角平分线，
∴∠ACD=∠FCD=12∠ACF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠FCD，
∴∠ADC=∠ACD，
∴AD=AC，故②正确，符合题意；
∵∠ADC=∠ACD=12∠ACF，
∴∠ACF=2∠ADC，
又∵∠ACB+∠ACF=180°，
∴∠ACB+2∠ADC=180°，故③错误，不符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBF，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBF=12∠ABC，
∴∠ADB=12∠ABC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ADB=12∠ACB，
∵∠ACB+∠ACF=180°，
∴2∠ADB+2∠ADC=180°，
∴∠ADB+∠ADC=90°，故④正确，符合题意，
综上：①②④正确，共3个，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定和性质、三角形的外角的性质，熟知角平分线的定义、平行线的判定和性质是解答本题的关键．
7．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期末）如图，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD=4，DE=7，则线段EC的长为（ ）
A．3B．4C．3.5D．2
【答案】A
【分析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．判断出∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，判断出∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠ECF，即BD=DF，FE=CE，然后利用等量代换即可求出线段CE的长．
【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠ECF，
∴BD=DF=4，FE=CE，
∴CE=DE−DF=7−4=3．
故选：A．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质的理解和掌握，关键利用两直线平行内错角相等．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠A=60°,∠ABC=80°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（ ）
A．10°B．12°C．15°D．18°
【答案】A
【分析】利用角平分线的定义可求出∠ABE的度数，在△ABD中，利用三角形内角和定理可求出∠ABD的度数，再结合∠DBE=∠ABE−∠ABD，即可求出∠DBE的度数．
【详解】解：
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=12×80°=40°．
∵BD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°．
在△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°，
∴∠ABD=180°−∠ADB−∠A=180°−90°−60°=30°，
∴∠DBE=∠ABE−∠ABD=40°−30°=10°，
∴∠DBE的度数为10°
故选A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．
9．（2023春·广西贵港·八年级校考阶段练习）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线……，若∠A＝α，则∠A2022为（ ）°．
A．α2022B．α22022C．α2023D．α22023
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BD=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形外角性质可得12∠ABC+∠A=12∠ABC+∠A1，化简可得∠A1=12∠A，进一步找出其中规律，即可求出∠A2022的度数．
【详解】解：∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，
∴∠ABA1=∠CBA1=12∠ABC，∠ACA1=∠DCA1=12∠ACD，
∵∠A=α，
∴∠ACD=∠ABC+∠A=2∠CBA1+∠A①，∠DCA1=∠A1+∠CBA1②，
②×2得：2∠DCA1=2∠A1+2∠CBA1，
∴∠ACD=2∠A1+2∠CBA1③，
由①和③得：2∠A1=∠A，
∵∠A=α，
∴∠A1=12∠A=12∠α，
同理∴∠A2=12∠A1=14∠A=122α，
∠A3=12∠A2=18∠A=123α，
…
∴∠A2022=122022α=α22022，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出∠A1，∠A2，∠A3与∠A的规律是解题的关键．
10．（2023春·八年级课时练习）如图，若点A在y轴上，点B在x轴上， ∠OAB的平分线交△OAB外角∠OBD的平分线于点C，则∠C的度数是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】如下图所示，根据三角形角平分线定义，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，得出∠3−∠1=45°，然后再根据三角形的外角性质得出∠C．
【详解】解：如图所示，
∵ ∠OAB的平分线交ΔOAB外角∠OBD的平分线于点C，
∴∠OAB=2∠1，∠OBD=2∠3，
∵∠AOB=90°，∠OBD=∠AOB+∠OAB，
∴2∠3=90°+2∠1
∴∠3−∠1=45°，
∵∠3=∠1+∠C，
∴∠C=∠3−∠1=45°；
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的角平分线的定义、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形两锐角互余与三角形外角的性质是解此题的关键．
11．（2022秋·浙江·八年级义乌市绣湖中学教育集团校联考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角与内角∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点，若∠BOC＝110°，则∠D＝（ ）度．
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义有∠ACO=12∠ACB，∠ACD=12∠ACF，得∠OCD=90°，再根据外角的性质即可求解．
【详解】解：∵CO平分∠ABC，CD平分∠ABC的外角
∴∠ACO=12∠ACB，∠ACD=12∠ACF
∵∠ACB+∠ACF=180°
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12（∠ACB+∠ACF）=90°
∴∠BOC=∠OCD+∠D
∴∠D=110°－90°=20°
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形角平分线定义，三角形外角的应用，熟知三角形的外角性质是解答此题的关键．
12．（2023秋·天津红桥·八年级期中）如图在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，则∠DAE等于（ ）
A．70°B．35°C．15°D．20°
【答案】C
【分析】先求出∠BAC的度数，再根据角平分线和直角三角形的性质分别求出∠CAE和∠CAD的度数，然后可求出∠DAE的度数．
【详解】解：∵∠B=40°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°−40°−70°=70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=35°．
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=90°−70°=20°，
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=35°−20°=15°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查角平分线的定义和直角三角形锐角互余，关键是根据角平分线的定义和互余计算．
13．（2023春·江苏·七年级期中）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④∠BDC+∠ABC＝90°．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】利用AD平分∠EAC，推出∠EAD=∠CAD，结合等腰三角形的性质及三角形的外角性质判断①正确；根据AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，得到∠ABC=2∠DBC，由此判断②正确；根据两直线平行，内错角相等可得∠ADC=∠DCF，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义整理可得∠ADC=90°﹣∠ABD，判断出③正确；根据三角形外角的性质证得∠BAC=2∠BDC，再根据三角形内角和性质求出∠BDC+12∠ABC＝90°，判断出④错误．
【详解】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD=∠CAD=∠ABC=∠ACB，
∴AD∥BC，故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，故②正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，
∵CD是∠ACF的平分线，
∴∠ADC=12∠ACF=12（∠ABC+∠BAC）=12（180°﹣∠ACB）=12（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABD，故③正确；
∵∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，
∴∠ABC+∠BAC=2（∠DBC+∠BDC），
∴∠BAC=2∠BDC，
∵∠BAC+2∠ABC=180°，
∴∠BDC+∠ABC＝90°，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，熟记各性质并综合分析，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
14．（2022·河北·九年级专题练习）对于题目：如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=76°,∠C=64°，求∠DAE的度数．下面是打乱了的解题过程：①∵∠DAE=∠EAC−∠DAC−38°−26°=12°；②∠CAD=90°− ∠C=90°−64°=26°；③∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠CAB =12×76°=38°；④∵AD⊥BC，∠ADC=90°，则下列排序正确的是（ ）．
A．③④②①B．④②①③C．③②④①D．③①④②
【答案】A
【分析】根据角平分线、直角三角形的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵AE平分∠BAC
∴∠CAE=12∠CAB =12×76°=38°
∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∴∠CAD=90°− ∠C=90°−64°=26°
∴∠DAE=∠EAC−∠DAC−38°−26°=12°
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．
15．（2022·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AD是高，CF是中线，BE是角平分线，BE交AD于G，交CF于H，下列说法正确的是（ ）
①∠AEG=∠AGE；②BH=CH；③∠EAG=2∠EBC；④S△ACF=S△BCF
A．①③B．①②③C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】①根据∠CAB=90°，AD是高，可得∠AEG=90°−∠ABE，∠DGB=90°−∠DBG，又因为BE是角平分线，可得∠ABE=∠DBE，故能得到∠AEG=∠DGB，再根据对顶角相等，即可求证该说法正确；
②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC，故该说法错误；
③∠EAG+∠DAB=90°，∠DBA+∠DAB=90°，可得∠EAG=∠DBA，因为∠DBA=2∠EBC，故能得到该说法正确；
④根据中线平分面积，可得该说法正确．
【详解】解：①∵∠CAB=90°，AD是高，
∴∠AEG=90°−∠ABE，∠DGB=90°−∠DBG，
∵BE是角平分线，
∴∠ABE=∠DBE，
∴∠AEG=∠DGB，
∵∠DGB=∠AGE，
∴∠AEG=∠AGE，故该说法正确；
②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC，故该说法错误；
③∵∠EAG+∠DAB=90°，∠DBA+∠DAB=90°，
∴∠EAG=∠DBA，
∵∠DBA=2∠EBC，
∴∠EAG=2∠EBC，故该说法正确；
④根据中线平分面积，可得S△ACF=S△BCF，故该说法正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的高，中线，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握各线的特点和性质．
二、填空题
16．（2023春·江苏·七年级期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线．已知∠BAC=80°，∠C=38°，则∠DAE=__．
【答案】12°
【分析】根据AD是△ABC的高线，得∠CDA=90°，根据直角三角形两锐角互余与∠C=38°，得∠CAD=50°， 根据角平分线定义与∠BAC=80°，得∠CAE=40°，即可得答案．
【详解】∵AD是△ABC的高线，
∴∠CDA=90°，
∵∠C=38°，
∴∠CAD=90°−∠C=52°，
∵∠BAC=80°， AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=12∠BAC=40°，
∴∠DAE=∠CAD−∠CAE=52°−40°=12°，
故答案为：12°．
【点睛】本题主要考查了三角形的高线，角平分线，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角关系，角平分线定义的计算．
17．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，BE是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，若 ∠A=70°，则∠E=____．
【答案】35°/35度
【分析】根据三角形外角的性质结合角平分线的定义进行求解即可．
【详解】解：∵BE是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC，∠ACE=∠DCE=12∠ACD，
∴∠E=∠ECD−∠EBC
=12∠ACD−12∠ABC
=12(∠A+∠ABC)−12∠ABC
=12∠A+12∠ABC−12∠ABC
=12∠A，
∵∠A=70°，
∴∠E=12∠A=12×70°=35°，
故答案为：35°．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
18．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，点O为△ABC的内心，∠A=70°，则∠BOC的度数为________．
【答案】125°/125度
【分析】利用内心的性质得出∠ABO=∠CBO=12∠ABC，∠ACO=∠BCO=12∠ACB，进而利用三角形内角和定理得出∠OBC+∠OCB，进而求出答案．
【详解】解：∵O是△ABC的内心，
∴∠ABO=∠CBO=12∠ABC，∠ACO=∠BCO=12∠ACB，
∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−70°=110°，
∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+∠ACB=55°，
∴∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB=125°．
故答案为125°．
【点睛】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，正确得出∠OBC+∠OCB=55°是解题关键．
19．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，O是△ABC外一点，OB，OC分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF，若∠A＝n°，则∠BOC＝_________（用含n的代数式表示）
【答案】90°−12n°
【分析】先根据三角形的内角和表示出∠COB，然后利用BO，CO分别平分∠CBE，∠BCF，和三角形外角和内角关系就可以表示出∠BOC．
【详解】∵∠COB=180°-（∠OBC+∠OCB），
而BO，CO分别平分∠CBE，∠BCF，
∴∠OBC＝12n°+12∠ACB，∠OCB＝12n°+12∠ABC．
∴∠COB=180°－[n°+12(180°−n°)]＝90°−12n°．
故答案为：90°−12n°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解题的关键．
20．（2023春·全国·七年级专题练习）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 _____．
【答案】130°
【分析】由三角形的外角性质可得∠BAC+∠ABC＝100°，再由角平分线的定义得∠1=12∠BAC，∠3=12∠ABC，从而可求得∠1+∠3＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，
∴∠BAC+∠ABC＝100°，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠1=12∠BAC，∠3=12∠ABC，
∴∠1+∠3=12（∠BAC+∠ABC）＝50°，
∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．
故答案为：130°．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
21．（2023春·江苏·七年级期中）如图，在△ABC中，BO是∠ABC的角平分线，CO是∠ACD的角平分线，BO1是∠OBC的角平分线，CO1是∠OCD的角平分线，若∠A=α，则∠O1=______．
【答案】14α
【分析】根据角平分线的定义得到∠CBO=12∠ABC，∠OCD=12∠ACD，再根据外角的性质得到∠O=∠OCD−∠CBO=12∠A=12α，同理得到∠O1=∠DCO1−∠CBO1，逐步代入计算可得结果．
【详解】解：∵BO是∠ABC的角平分线，
∴∠CBO=12∠ABC，
∵CO是∠ACD的角平分线，
∴∠OCD=12∠ACD，
∴∠O=∠OCD−∠CBO
=12∠ACD−12∠ABC
=12∠ACD−∠ABC
=12∠A
=12α
∵BO1是∠OBC的角平分线，CO1是∠OCD的角平分线，
∴∠CBO1=12∠CBO，∠DCO1=12∠OCD，
∴∠O1=∠DCO1−∠CBO1
=12∠OCD−12∠CBO
=12∠OCD−∠CBO
=12∠O
=14α
故答案为：14α
【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，同时考查了角平分线的定义．解答的关键是掌握外角和内角的关系．
22．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，△ABC中，∠A=m，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的角平分线相交于A1点，则∠A1的大小是__，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2点，依此类推，∠A2015BC与∠A2015CD的角平分线相交于A2016点，则∠A2016的大小是_____．
【答案】 m2 m22016
【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1=12∠A，进而可求∠A1，由于∠A1=12∠A，∠A2=12∠A1=122∠A，…，以此类推可知∠A2016=122016∠A．
【详解】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CA=12∠ACD，
∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
即12∠ACD=∠A1+12∠ABC，
∴∠A1=12(∠ACD−∠ABC)，
∵∠A+∠ABC=∠ACD，
∴∠A=∠ACD−∠ABC，
∴∠A1=12∠A=m2，
同法可得：∠A2=12∠A1=122∠A，
…
以此类推∠A2016=122016∠A=m22016．
故答案为：m2，m22016．
【点睛】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=12∠A，并能找出规律．
23．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABC中，∠BDC＝90°，BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，若∠A＝40°，则∠F＝__°．
【答案】52.5．
【分析】利用三角形内角和、角平分线的性质求出∠FBC+∠FCB的度数，问题即可解决．
【详解】解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°，
∵BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，
∴∠FBD+∠FCD＝34×50°＝37.5°，
∴∠FBC+∠FCB＝37.5°+90°＝127.5°，
∴∠F＝180°﹣127.5°＝52.5°，
故答案为52.5．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，关键是熟练掌握这些基本知识，这是基本的题型．
24．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图：在△ABC中，∠B=58∘，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_______．
【答案】61∘
【分析】根据三角形内角和定理得∠BAC+∠BCA=122∘，由三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，可知∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠FAC，再根据三角形的外角性质可得∠DAC=∠B+∠BCA，∠FCA=∠B+∠BAC，再将这些式子代入∠EAC+∠ECA，进而求得∠EAC+∠ECA=∠B+12∠BCA+∠BAC，代入数据即可求出∠EAC+∠ECA=119∘，最后根据三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵ ∠B=58∘，
∴ ∠BAC+∠BCA=180∘−∠B=180∘−58∘=122∘，
∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴ ∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠FAC，
∵ ∠DAC=∠B+∠BCA，∠FCA=∠B+∠BAC，
∴ ∠EAC+∠ECA=12∠DAC+12∠FCA=12∠B+∠BCA+12∠B+∠BAC=∠B+12∠BCA+∠BAC，
∵ ∠B=58∘，∠B+∠BAC+∠BCA=180∘，
∴ ∠BAC+∠BCA=180∘−58∘=122∘，
∴ ∠EAC+∠ECA=58∘+12×122∘=119∘，
∵ ∠E+∠EAC+∠ECA=180∘，
∴ ∠AEC=180∘−119∘=61∘．
故答案为：61∘．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义，准确地运用三角形内角和定理是解题的关键．
25．（2023春·上海松江·七年级校考期中）如图，直线EF分别与直线AB、CD相交于点M、N，且∠1=∠2，MO、NO分别平分∠BMF和EMD，则ΔMON为________三角形
【答案】直角．
【分析】根据∠1=∠2证明AB∥CD，得到∠BMF+∠END=180∘，再根据角平分线的性质推出∠O=90∘，由此得到答案.
【详解】ΔMON是直角三角形.
理由：∵∠1=∠2，∠2=∠END，
∴∠1=∠END，
∴AB//CD，
∴∠BMF+∠END=180∘，
∵MO、NO分别平分∠BMF和EMD，
∴∠3+∠4=12（∠BMF+∠END）=90∘，
∴∠O=90∘，
∴ΔMON是直角三角形.
故答案为：直角.
【点睛】此题考查平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；平行线的性质定理：两直线平行，同旁内角互补；角平分线的性质，两锐角互余的三角形是直角三角形.
三、解答题
26．（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAE和∠BOE的度数．
【答案】∠DAE=5°，∠BOE=55°
【分析】根据直角三角形的性质求出∠DAC=20°，根据三角形的内角和求出∠ABC=60°；根据角平分线的定义求出∠BAE=25°，∠ABF=30°，燃弧利用角的和差可求∠DAE，利用三角形外角的性质可求∠BOE．．
【详解】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°．
在Rt△ADC中，∠DAC=90°−∠C=90°−70°=20°．
在△ABC中，∠ABC=180°−∠BAC−∠C
=180°−50°−70°=60°．
∵AE,BF是角平分线．
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=12×50°=25°
∠ABF=12∠ABC=12×60°=30°．
∴∠DAE=∠CAE−∠DAC=25°−20°=5°．
在△AOB中，∠BOE=∠BAO+∠ABO=25°+30°=55°．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形内角和定理、角平分线定义．数形结合是解答本题的关键．
27．（2023春·江苏·七年级期中）如图，ΔABC中，∠ACB>∠ABC，点O是ΔABC的内角平分线的交点，AO的延长线交BC于点D，OE⊥BC于点E．
(1)若∠BAC=90°，
①求∠BOC的度数；
②如果∠DOE=15°，求∠EOC的度数．
(2)设∠OBC=α,∠OCB=β，求∠DOE（用α、β表示）．
【答案】(1)①135°；②60°；
(2)β−α．
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余与角平分的定义即可求得∠BOC的度数；然后根据三角形内角和定理与角平分线定义，可得∠BOD=∠EOC，从而得解；
（2）由（1）得∠BOD=∠COE，由∠COE=90°−β与三角形内角和定理，可得答案．
【详解】（1）解：①∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BO平分∠ABC，OC平分ACB，
∴∠OBC=12∠ABC,∠OCD=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=45°，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=135°；
②∵O是ΔABC的三内角平分线的交点，
∴∠ABO=12∠ABC,∠BAO=12∠BAC,∠OCB=12∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ABC=180°−∠ACB，
∴∠BOD=∠BAO+∠ABO
=12(∠BAC+∠ABC)
=12(180°−∠ACB)
=90°−12∠ACB，
∵∠OEC=90°,∠OCB=12∠ACB，
∴∠EOC=90°−12∠ACB，
∴∠BOD=∠EOC=12(135°−15°)=60°；
（2）解：由（1）知：∠BOD=∠COE，
∵∠OCB=β，
∴∠COE=90°−β，
∴∠DOE=180°−∠OBC−∠OCB−∠BOD−∠COE
=180°−α−β−(90°−β)−(90°−β)
=β−α．
∴∠DOE=β−α．
【点睛】此题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质和角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形内角和定理以及角平分定义是解答此题的关键．
28．（2023春·江苏扬州·七年级高邮市城北中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分 ∠BAC，∠B=80°，∠C=30°．
(1)求∠BAE的度数；
(2)∠DAE的度数；
(3)探究：小明认为：不需要知道∠B和∠C度数，如果只知道∠B−∠C=50°，其他条件不变，也能得出∠DAE度数，你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】(1)∠BAE的度数为35°
(2)∠DAE的度数为25°
(3)∠DAE度数为25°，可以，求解过程见解析
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠BAC，再利用角平分线定义求∠BAE；
（2）先求出∠BAD，就可知道∠DAE的度数；
（3）用∠B,∠C表示∠DAE即可．
【详解】（1）∵∠B=80°,∠C=30°，
∴∠BAC=180°−80°−30°=70°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=35°，
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°−90°−80°=10°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=35°−10°=25°，
（3）可以．
∵∠BAC=180°−∠B−∠C，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12(180°−∠B−∠C)=90°−12∠B−12∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°−90°−∠B=90°−∠B，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD
=90°−12∠B−12∠C−(90°−∠B)
=12∠B−12∠C=12(∠B−∠C)
=12×50°=25°．
【点睛】本题考查了三角形角平分线定义，三角形的高，以及三角形的内角和定理，熟练运用角平分线定义和三角形的内角和定理是解答本题的关键．
29．（2023·山东青岛·统考一模）【阅读理解】
三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于180°．
如图②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°，点D是AB延长线上一点．由平角的定义可得∠ABC+∠CBD=180°，所以∠CBD=∠A+∠C．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步应用】
如图③，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，
（1）若∠A=60°，∠CBD=110°，则∠ACB=______°；
（2）若∠A=60°，∠CBD=110°，则∠CBD+∠BCE=______°；
（3）若∠A=m°，则∠CBD+∠BCE=______°．
【拓展延伸】
如图④，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，
（4）若∠A=60°，分别作∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，则∠BOC=______°；
（5）若∠A=60°，分别作∠CBD和∠BCE的三等分线交于点O，且∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13∠BCE，则∠BOC=______°；
（6）若∠A=m°，分别作∠CBD和∠BCE的n等分线交于点O，且∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n∠BCE，则∠BOC=______°．
【答案】（1）50；（2）240；（3）m+180；（4）60；（5）100；（6）180−mn−180n．
【分析】（1）根据三角形外角的性质求解即可；
（2）根据三角形外角的性质结合三角形内角和定理求解即可；
（3）由（2）同理求解即可；
（4）根据角平分线的定义可得出∠CBO=12∠CBD，∠BCO=12∠BCE，即可求出∠CBO+∠BCO=12∠CBD+∠BCE，再结合（2）即得出∠CBO+∠BCO=120°，最后由三角形内角和定理求解即可；
（5）由∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13∠BCE，即可求出∠CBO+∠BCO=13∠CBD+∠BCE，再结合（2）即得出∠CBO+∠BCO=80°，最后由三角形内角和定理求解即可；
（6）由∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n∠BCE，即可求出∠CBO+∠BCO=1n∠CBD+∠BCE，结合（3）可知∠CBO+∠BCO=1nm+180°，最后由三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）由三角形外角的性质可得出∠ACB=∠CBD−∠A=110°−60°=50°．
故答案为：50；
（2）∵∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ABC+∠A+∠ACB．
∵∠A=60°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°，
∴∠CBD+∠BCE=240°．
故答案为：240；
（3）由（2）同理可得∠CBD+∠BCE=∠A+∠ABC+∠A+∠ACB．
∵∠A=m°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°，
∴∠CBD+∠BCE=m°+180°=m+180°
故答案为：m+180；
（4）∵∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，
∴∠CBO=12∠CBD，∠BCO=12∠BCE，
∴∠CBO+∠BCO=12∠CBD+12∠BCE=12∠CBD+∠BCE．
由（2）可知∠CBD+∠BCE=240°，
∴∠CBO+∠BCO=120°，
∴∠BOC=180°−∠CBO+∠BCO=60°．
故答案为：60；
（5）∵∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13∠BCE，
∴∠CBO+∠BCO=13∠CBD+13∠BCE=13∠CBD+∠BCE．
由（2）可知∠CBD+∠BCE=240°，
∴∠CBO+∠BCO=80°，
∴∠BOC=180°−∠CBO+∠BCO=100°．
故答案为：100；
（6）∵∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n∠BCE，
∴∠CBO+∠BCO=1n∠CBD+1n∠BCE=1n∠CBD+∠BCE．
由（3）可知∠CBD+∠BCE=m+180°，
∴∠CBO+∠BCO=1nm+180°，
∴∠BOC=180°−1nm+180°=180−mn−180n°．
故答案为：180−mn−180n．
【点睛】本题考查三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，角平分线的定义和角的n等分点的定义．利用数形结合的思想是解题关键．
30．（2022春·吉林长春·七年级统考期末）模型认识：我们学过三角形的内角和等于180°，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．
如图①，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．
解决问题：
(1)若∠ABC=40°，∠ACB=80°，则∠BPC=______；（直接写出答案）
(2)若∠BAC=100°，求出∠BPC的度数；
拓展延伸：
(3)如图②，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，直接写出∠BPC与∠A+∠D的数量关系．
【答案】(1)120°
(2)140°
(3)∠BPC=12∠A+∠D
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数；
（2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数；
（3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系．
（1）
解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠PBC=12∠ABC=12×40°=20°，∠PCB=12∠ACB=12×80°=40°．
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°；
故答案为：120°；
（2）
∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB．
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-12（180°-∠BAC）=90°+ 12∠BAC，
∵∠BAC=100°，
∴∠BPC=90°+12∠BAC=90°+12×100°=140°；
（3）
∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠DCB．
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- 12（360°-∠A-∠D）=12（∠A+∠D）．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．
31．（2023春·江苏·七年级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D．若∠A=50°，试求∠BDC的度数．
（2）如图2，点P是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线的交点，试探究∠P与∠A之间的数量关系．
（3）如图3，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E．若∠A=64°，则∠BEC=______．
【答案】（1）115°；（2）90°-12∠A；（3）32°
【分析】（1）先利用角平分线的定义可得∠BDC=180°−12(∠ABC+∠ACB)=90°+12∠A,从而可得答案；
（2）先利用角平分线的定义证明∠PBC=12∠EBC,∠PCB=12∠BCF, 再结合三角形的内角和定理可得∠P=180°−12(∠EBC+∠BCF), 利用三角形的外角的性质证明∠EBC+∠FCB=∠A+180°, 从而可得答案；
（3）由BE,CE分别平分∠ABC,∠ACM, 可得∠EBC=12∠ABC,∠ECM=12∠ACM, 由三角形的外角的性质可得∠ECM=∠EBC+∠E,∠ACM=∠ABC+∠A, 从而可得答案.
【详解】解：（1）∵ △ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠DBC=12∠ABC,∠DCB=12∠ACB,
∴∠BDC=180°−(∠DBC+∠DCB)=180°−12(∠ABC+∠ACB)
=180°−12(180°−∠A)=90°+12∠A,
∵ ∠A=50°
∴∠BDC=90°+12×25°=115°.
（2）∵ 点P是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线的交点，
∴∠PBC=12∠EBC,∠PCB=12∠BCF,
∴∠P=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−12(∠EBC+∠BCF),
∵∠EBC+∠FCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+180°,
∴P=180°−12(∠A+180°)=90°−12∠A,
（3）∵BE,CE分别平分∠ABC,∠ACM,
∴∠EBC=12∠ABC,∠ECM=12∠ACM,
∵∠ECM=∠EBC+∠E,∠ACM=∠ABC+∠A,
∴2∠ECM=2∠EBC+2∠E,2∠ECM=2∠EBC+∠A,
∴∠A=2∠E.
∵∠A=64°,
∴∠E=32°.
故答案是：32°．
【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握“三角形的角平分线的定义与三角形的外角的性质”是解本题的关键.
32．（2023春·山西·七年级校联考期末）综合与探究：小新在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图1，如果∠A=80°，求∠BPC的度数．
（2）在（1）的条件下，如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，求∠Q的度数．
（3）如图3，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，是否存在一个内角等于另一个内角的2倍，若存在，请直接写出∠A的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）130°；（2）50°；（3）存在，90°或60°或120°
【分析】（1）根据三角形内角和的性质求得∠ABC+∠ACB的度数，即可求解；
（2）根据角平分线、三角形内角和以及平角的性质求得∠QBC+∠QCB与∠A的关系，即可求解；
（3）根据角平分线的性质可以求得∠E=12∠A、∠EBQ=90°，根据题意分四种情况（∠EBQ=2∠E、∠EBQ=2∠Q、∠Q=2∠E、∠E=2∠Q）分别讨论求解．
【详解】解：（1）∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°．
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P=180°−12(∠ABC+∠ACB)=180°−12×100°=130°．
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB=12(∠MBC+∠NCB)
=12360°−∠ABC−∠ACB
=12180°+∠A
=90°+12∠A，
∴∠Q=180°−90°+12∠A=90°−12∠A=50°．
（3）存在，∠A的度数为60°或90°或120°
如图，延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E．
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E=12∠A．
∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+12∠MBC=90°，
如果在△BQE中存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ=2∠E=90°，
则∠A=2∠E=90°；
②∠EBQ=2∠Q=90°，
则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，
则90°−12∠A=∠A，解得∠A=60°
④∠E=2∠Q，
则12∠A=290°−12∠A，
解得∠A=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°
【点睛】此题考查了角平分线的有关性质，涉及了三角形内角和、平角等性质，熟练掌握相关基本性质，找到角之间的关系是解题的关键．