(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第2章第09讲2.5.1直线与圆的位置关系(学生版+解析)

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第09讲 2.5.1直线与圆的位置关系知识点01：直线与圆的位置关系1、直线与圆的三种位置关系2、判断直线与圆的位置关系的两种方法2.1几何法（优先推荐）2.2代数法直线：；圆联立消去“”得到关于“”的一元二次函数①直线与圆相交②直线与圆相切③直线与圆相离【即学即练1】（多选）（23-24高二上·广东肇庆·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（    ）A． B．  C． D．    知识点02：直线与圆相交记直线被圆截得的弦长为的常用方法1、几何法（优先推荐）①弦心距（圆心到直线的距离）②弦长公式：2、代数法直线：；圆联立消去“”得到关于“”的一元二次函数弦长公式：【即学即练2】（23-24高二·全国·课后作业）圆截直线所得的弦长等于（    ）A． B． C．1 D．5知识点03：直线与圆相切1、圆的切线条数①过圆外一点，可以作圆的两条切线②过圆上一点，可以作圆的一条切线③过圆内一点，不能作圆的切线2、过一点的圆的切线方程（）①点在圆上步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点）②点在圆外记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出（注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为）3、切线长公式记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；【即学即练3】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ）A．3 B． C． D．知识点四：圆上点到直线的最大（小）距离设圆心到直线的距离为，圆的半径为①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；【即学即练4】（23-24高二上·福建三明·期末）圆上动点到直线的距离的最小值为（    ）A． B． C． D．题型01判断直线与圆的位置关系 【典例1】（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．1或2【典例2】（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定【变式1】（23-24高二下·安徽宿州·期中）已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【变式2】（23-24高二下·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关题型02由直线与圆的位置关系求参数 【典例1】（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ）A． B． C． D．或【典例2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知直线与圆相交，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【典例3】（2024高二·江苏·专题练习）若直线与圆：有一个公共点，则实数等于 .【变式1】（2024·江西吉安·模拟预测）已知圆与直线有公共点，则整数的值为（    ）A． B． C．1 D．2【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知圆，，，则“直线AB与圆C有公共点”的充要条件是（    ）A． B． C． D．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知圆：，直线：，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是（    ）A． B． C． D．题型03直线与圆相交问题 【典例1】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知圆是圆上的两点，点，且，则的值为（    ）A． B．7 C． D．8【典例2】（23-24高二上·重庆·期末）已知圆过二次函数与坐标轴的所有交点．(1)求圆的标准方程；(2)过点的直线与圆交于两点，为坐标原点，且，求．【变式1】（23-24高三上·浙江·期中）已知圆：，过点的直线与圆相交于，两点，当面积最大时，直线的斜率为 .（写出一个即可）【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知圆上存在两点关于直线对称．(1)求实数的值；(2)若直线与圆交于两点，（为坐标原点），求圆的标准方程．题型04求切线方程 【典例1】（23-24高三下·福建·开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ．【典例3】（2024·山西·模拟预测）写出一个过点且与圆相切的直线方程 ．【典例4】（23-24高二上·广东茂名·期末）已知点在圆上，直线平分圆.(1)求圆的标准方程；(2)求过点且与圆相切的直线方程.【变式1】（23-24高二上·河南许昌·期末）直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为（    ）A． B．C． D．或【变式2】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，则直线l的方程为 .【变式3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）过点P作圆的切线，求切线的方程【变式4】（23-24高二上·四川德阳·期末）已知圆经过三点.(1)求圆的方程；(2)求过点且与圆相切的直线的方程.题型05切线长（切点弦）问题 【典例1】（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ）A． B．2 C． D．【典例2】（2024·新疆·二模）从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ）A． B．1 C． D．【典例3】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ）A． B． C． D．【典例4】（23-24高二上·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点A，B的直线方程为 ．【变式1】（2024高三·全国·专题练习）若从圆（x－1）2＋（y－1）2＝1外一点P（2，3）向这个圆引一条切线，则切线长为（　　）A．1 B． C． D．2【变式2】（2024·四川宜宾·二模）已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（　　）A． B． C． D．1【变式3】（2024·全国·模拟预测）是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为 ．【变式4】（23-24高二上·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ．题型06已知切线求参数 【典例1】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ）A．或 B．1或C．或3 D．或【典例2】（2023·陕西宝鸡·一模）已知直线与圆相切，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【典例3】（23-24高一·全国·课后作业）知点，直线及圆.(1)求过点的圆的切线方程；(2)若直线与圆相切，求实数a的值．【变式1】（多选）（23-24高二上·广东珠海·期末）已知直线与圆相切，则实数的值可能为（    ）A． B．8 C． D．18【变式2】（23-24高二上·天津宁河·期末）若直线与圆相切，则实数的值为 .【变式3】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是 .题型07圆的弦长与中点弦问题 【典例1】（23-24高二下·河南驻马店·阶段练习）已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）直线截圆所得弦长的最小值为（    ）A． B． C． D．【典例3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为 ．【变式1】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）直线，被圆截得最短弦的长为（    ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（    ）A．2 B．4 C． D．【变式3】（23-24高二下·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为 .题型08已知圆的弦长求方程或参数【典例1】（2024·贵州黔东南·二模）直线与圆交于，两点，若，则（    ）A．2 B．1 C． D．【典例2】（2024·湖南娄底·一模）已知圆，过点的动直线与圆相交于两点时，直线的方程为（    ）A． B．C．或 D．或.【典例3】（2024·天津武清·模拟预测）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 .【典例4】（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）已知半径大于1的圆与轴，轴均相切，圆心在第一象限，点在圆上．(1)求圆的方程；(2)过坐标原点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程．【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ）A． B． C．4 D．【变式2】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ）A． B． C． D．1【变式3】（23-24高三下·重庆九龙坡·阶段练习）若直线与圆相交所得的弦长为，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【变式4】（2024·安徽合肥·模拟预测）过的直线被曲线所截得的线段长度为，则直线的方程为 .题型09圆内接三角形面积 【典例1】（23-24高二下·河南·阶段练习）过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（    ）A．26 B． C．13 D．【典例2】（2024·北京西城·三模）若直线与交于，两点，则面积的最大值为 ，写出满足“面积最大”的的一个值 .【典例3】（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线：与圆：交于两点，且.(1)求实数的值；(2)若点为直线：上的动点，求的面积.【变式1】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）巳知直线与直线分别过定点A，B，且交于点P，则面积的最大值是（    ）A．5 B．8 C．10 D．16【变式2】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的最大值是 .【变式3】（2024·全国·模拟预测）直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则 ；的面积为 ．题型10直线与圆的实际应用 【典例1】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在气象台正西方向300 km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心250 km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？说明理由．如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？(精确到1min)，（参考数据：【典例2】（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．  (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；(2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围．【典例3】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知圆，点．(1)若线段AB的中垂线与圆O相切，求实数a的值；(2)过直线AB上的点P引圆O的两条切线切点为M，N，若，则称点P为“好点”．若直线AB上有且只有两个“好点”，求实数a的取值范围．【变式1】（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C.(1)求圆C的方程.(2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由.【变式2】（23-24高二上·重庆云阳·阶段练习）如图，已知一艘海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.(1)求外籍船航行路径所在的直线方程；(2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？【变式3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心为圆心，半径为400km的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km的速度做匀速直线运动：(1)运输车将在无人区经历多少小时？(2)若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？题型11直线与圆中的定点定值问题【典例1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆C过点，，.(1)求圆C的标准方程；(2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M，N，点P为直线上的动点，直线PM，PN与圆C的另一个交点分别为E，F（EF与MN不重合），证明：直线EF过定点.【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过作两条斜率分别为，的直线，交曲线于，两点，且，求证：直线过定点．【典例3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为．(1)求圆的方程；(2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值．【变式1】（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）平面直角坐标系中，圆M经过点，，.(1)求圆M的标准方程；(2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值；②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程.【变式2】（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆O：x2＋y2＝4与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点．(1)若kAM＝2，kAN＝－，求△AMN的面积；(2)若直线MN过点（1，0），求证：kAM·kAN为定值，并求此定值．【变式3】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知点A，B是圆上的动点，且，直线PA，PB为圆的切线，当点A，B变动时，点P的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点，斜率为k的直线与曲线交于点M，N，点Q为曲线上纵坐标最大的点，求证：直线MQ，NQ的斜率之和为定值．题型12根据直线与圆位置关系求距离最值【典例1】（23-24高二下·山西吕梁·阶段练习）已知P是圆上一动点，则点P到直线的距离的取值范围为（    ）A． B．C． D．【典例2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（    ）A． B． C． D．【典例3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（    ）A． B． C． D．【变式1】（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（    ）A．2 B．3 C．4 D．6【变式2】（23-24高二上·北京·期中）已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【变式3】（2024·河南·模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线是直线族的包络线，则上的点到直线的最小距离为 .题型13直线与圆综合问题【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知圆，过圆外一点引圆的两条切线，切点分别为，且.(1)求圆的标准方程；(2)若直线l的横截距为，纵截距为，直线l被圆C截得的弦长为，求的最小值．【典例2】（23-24高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且(1)求圆的标准方程；(2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程；(3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程.【典例3】（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知点，动点P满足，(1)求动点P的轨迹方程；(2)设动点P的轨迹为曲线C，若直线l过点，且曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程．【变式1】（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知圆C：．(1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程；(2)若，圆C与x轴相交于M，N两点，且M的横坐标小于N的横坐标．过点M作一条直线与圆O：相交于两点A，B，若，求a的值．半径为（    ）A．2 B．4 C． D．82．（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则（    ）A． B．2 C． D．43．（23-24高二下·江西·阶段练习）以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（    ）A． B．C． D．4．（23-24高三上·贵州黔东南·开学考试）若直线与圆只有一个公共点，则（    ）A． B．1 C．0 D．25．（23-24高二上·上海·期末）已知圆，当圆心C到直线的距离最大时，实数的值是（    ）A． B． C．－3 D．36．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（    ）A． B． C． D．7．（23-24高二上·陕西汉中·阶段练习）直线截圆所得的弦长为，则的值为（    ）A．－1 B．1C．3 D．－38．（2024·山东菏泽·模拟预测）过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（    ）A．或 B．或 C．或 D．或二、多选题9．（2024高三·全国·专题练习）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则的面积可能为（    ）A． B． C． D．10．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知圆：，则下列说法正确的有（    ）A．圆关于直线对称的圆的方程为B．直线被圆截得的弦长为C．若圆上有四个点到直线的距离等于，则的取值范围是D．若点是圆上的动点，则的取值范围是三、填空题11．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）直线与圆：交于，两点，若，则 .12．（2024·天津·二模）设直线和圆相交于两点.若，则实数 .四、解答题13．（23-24高二上·山东日照·期末）已知直线：与垂直，且经过点.(1)求的一般式方程；(2)若与圆：相交于两点，求.14．（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：(1)求过点且与圆相切的直线方程；(2)求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程.B能力提升 1．（2024·广东·模拟预测）过圆外一点做圆的切线，切点为，若，则的最大值为（    ）A． B． C． D．82．（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，求的最小值为 .3．（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上.是圆外的点，过点的直线交圆于两点.(1)求圆的方程；(2)若点的坐标为，探究：无论的位置如何变化，是否恒为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.4．（23-24高二上·广东广州·期中）圆．(1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程；(2)已知，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得．若存在，求出实数a，若不存在，请说明理由．C新定义题型1．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）对于半径为的及一个正方形给出如下定义：若上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称是该正方形的“等距圆”。如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为（2，4），顶点、在轴上，且点在点的左侧.（1）当时，已知两点，，则可以成为正方形的“等距圆”的圆心的是________；（2）如图2，在正方形所在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为（6，2），顶点，在轴上，且点在点的上方.若同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与所在直线相切，求圆心的坐标；（3）在（2）的条件下，将正方形绕着点旋转一周，在旋转的过程中，线段上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，写出的取值范围.（不必说明理由）课程标准学习目标①理解与掌握直线与圆的位置关系的判定方法的代数法与几何法。②会求与圆有关的直线方程与圆的方程。③会根据直线与圆的位置关系求坐标、长度、面积、周长等。④会求待定参数并能解决与之相关的综合问题。通过本节课的学习，会判断直线与圆的位置关系，会求切线方程、弦长及弦所在的直线方程，会根据直线与圆的位置求待定参数及圆的方程，能解决与直线、圆有关的综合问题. 直线与圆的位置关系的图象直线与圆的位置关系相交相切相离图象位置关系相交相切相离判定方法；。圆心到直线的距离：。圆与直线相交。；。圆心到直线的距离：。圆与直线相切。；。圆心到直线的距离：。圆与直线相离。第09讲 2.5.1直线与圆的位置关系知识点01：直线与圆的位置关系1、直线与圆的三种位置关系2、判断直线与圆的位置关系的两种方法2.1几何法（优先推荐）2.2代数法直线：；圆联立消去“”得到关于“”的一元二次函数①直线与圆相交②直线与圆相切③直线与圆相离【即学即练1】（多选）（23-24高二上·广东肇庆·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（    ）A． B．  C． D．    【答案】ABD【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系即可得解.【详解】直线过定点，显然点在圆内，因此直线与圆必相交，C错误；而直线表示平面内过点的除直线外的任意直线，因此选项ABD都可能.故选：ABD知识点02：直线与圆相交记直线被圆截得的弦长为的常用方法1、几何法（优先推荐）①弦心距（圆心到直线的距离）②弦长公式：2、代数法直线：；圆联立消去“”得到关于“”的一元二次函数弦长公式：【即学即练2】（23-24高二·全国·课后作业）圆截直线所得的弦长等于（    ）A． B． C．1 D．5【答案】A【分析】方法一，先求出圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，方法二，将直线方程与圆的方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系结合弦长公式可求得答案【详解】方法一  圆的方程可化为，则圆的半径，圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为．方法二 设直线与圆相交于点，．由，得，则，，所以．故选：A【点睛】方法点睛： 圆的弦长的求法（1）几何法．设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则．（2）代数法．设直线与圆相交于点，，由，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式得出结果．知识点03：直线与圆相切1、圆的切线条数①过圆外一点，可以作圆的两条切线②过圆上一点，可以作圆的一条切线③过圆内一点，不能作圆的切线2、过一点的圆的切线方程（）①点在圆上步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点）②点在圆外记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出（注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为）3、切线长公式记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；【即学即练3】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】先求得圆的圆心坐标和半径，再利用切线长定理即可求得的值.【详解】因为圆，所以圆的圆心为，半径为，因为与圆相切，切点为B，所以，则，因为，所以.故选：B.知识点四：圆上点到直线的最大（小）距离设圆心到直线的距离为，圆的半径为①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；【即学即练4】（23-24高二上·福建三明·期末）圆上动点到直线的距离的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由即可求解.【详解】∵圆，∴圆心，半径，∴圆心到直线的距离，∴圆上的点到直线的距离最小值为，故选：A.题型01判断直线与圆的位置关系 【典例1】（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】C【分析】根据已知直线与圆的方程，得到直线过定点，结合点与圆的位置关系，即可判定.【详解】由直线，可得直线过定点，又由圆：，可得点在圆C上，因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.故选：C.【典例2】（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定【答案】C【分析】根据题意可得直线表示过定点，且除去的直线，点在圆上，可判断直线与圆相交.【详解】因为直线，即，当时，，解得，所以直线表示过定点，且除去的直线，将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上，所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意，所以直线与圆相交.故选：C.【变式1】（23-24高二下·安徽宿州·期中）已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【分析】求出直线过的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与圆的位置关系.【详解】由直线，可得，所以直线过定点，又，所以点在圆内部，所以直线与圆相交.故选：A.【变式2】（23-24高二下·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关【答案】A【分析】利用圆心到直线的距离与半径的比较即可判断位置关系.【详解】因为圆的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以直线与圆的位置关系是相交.故选：A题型02由直线与圆的位置关系求参数 【典例1】（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ）A． B． C． D．或【答案】D【分析】由已知可得，可求，根据直线和圆相切，可求实数的值.【详解】因为直线与圆相切，所以，解得，由直线和圆相切，所以或，解得或，故实数的值为或.故选：D.【典例2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知直线与圆相交，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得圆心到直线的距离，再结合点到直线的距离公式计算即可.【详解】圆的圆心为，半径，因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：B.【典例3】（2024高二·江苏·专题练习）若直线与圆：有一个公共点，则实数等于 .【答案】【分析】由题意可知直线与圆相切，所以利用点到直线的距离等于半径，求出k即可.【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径为，因为直线l和圆C有一个公共点，圆心到直线的距离等于半径，所以，解得 故答案为：【变式1】（2024·江西吉安·模拟预测）已知圆与直线有公共点，则整数的值为（    ）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】求出圆心和半径，由点到直线距离得到不等式，求出答案.【详解】由题意可知圆的标准方程为，圆心为，半径，所以，得，即，可得，又，故.故选：B.【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知圆，，，则“直线AB与圆C有公共点”的充要条件是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得直线AB的方程，再设圆的半径为，其圆心到直线AB的距离为，从而可得“直线AB与圆C有公共点”的充要条件是“”，进而求解即可．【详解】由，，则直线AB的方程为，设圆的半径为，其圆心到直线AB的距离为，则“直线AB与圆C有公共点”的充要条件是“”即，解得．故选：D．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知圆：，直线：，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据直线与圆的位置关系，借助点到直线的距离公式，求出的取值范围，即直线与圆有公共点的充要条件，再确定那个是必要不充分条件.【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径为1.因为直线与圆有公共点，所以直线与圆相切或相交，所以圆心到直线的距离，解得.其必要不充分条件是把的取值范围扩大，所以选项中只有是的必要不充分条件.故选：A题型03直线与圆相交问题 【典例1】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知圆是圆上的两点，点，且，则的值为（    ）A． B．7 C． D．8【答案】B【分析】根据给定条件，设出直线的方程，与圆的方程联立，借助韦达定理及向量数量积的坐标表示求解即得.【详解】圆的圆心，半径，由，得点共线，  显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，且，由消去x得：，设，则，又，所以.故选：B【典例2】（23-24高二上·重庆·期末）已知圆过二次函数与坐标轴的所有交点．(1)求圆的标准方程；(2)过点的直线与圆交于两点，为坐标原点，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）设圆心，先求出二次函数与坐标轴的所有交点，因为圆心经过直线的垂直平分线可得，再由求出，即可求出圆的标准方程；（2）因为，所以直线过，可求出直线的方程，联立直线与圆的方程，由韦达定理等量代换解决即可.【详解】（1）令，所以，所以，令，解得：或，设，，因为直线的垂直平分线为设圆心，所以圆的圆心，则，解得：，则，所以圆的标准方程为：.（2）因为等于圆C的直径，所以直线过圆心，因为直线过点，所以直线为，所以联立方程，消去得，设，所以，.【变式1】（23-24高三上·浙江·期中）已知圆：，过点的直线与圆相交于，两点，当面积最大时，直线的斜率为 .（写出一个即可）【答案】或（答案不唯一）【分析】根据面积最大时求出圆心到直线距离，设出直线方程，求出斜率即可.【详解】已知圆的半径，如图，直线与圆相交于两点，面积，当面积最大时即，此时圆心到直线的距离，设直线的斜率为，则直线方程为， 则，解得：或.故答案为：或（答案不唯一）【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知圆上存在两点关于直线对称．(1)求实数的值；(2)若直线与圆交于两点，（为坐标原点），求圆的标准方程．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由圆上存在两点关于直线对称，得到直线过圆心，列出方程，即可求解；（2）联立方程组，由，得到，利用韦达定理和，进而求得圆的标准方程．【详解】（1）解：由圆，可化为，可得圆心，半径为，因为圆上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心，可得，解得.（2）解：联立方程组，整理得，由，解得，设，则，可得，所以，此时满足，则圆的标准方程为．题型04求切线方程 【典例1】（23-24高三下·福建·开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，点P在圆C上，由切线性质即可得出结果.【详解】由点P在圆C上，又由直线的斜率为，可得直线l的斜率为2，则直线l的方程为．故选：B．【典例2】（23-24高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ．【答案】【分析】根据题意可知点在圆上，根据垂直关系可得切线方程的斜率，即可得切线方程.【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，因为，可知点在圆上，又因为，可知切线方程的斜率，所以切线方程为，即.故答案为：.【典例3】（2024·山西·模拟预测）写出一个过点且与圆相切的直线方程 ．【答案】或（答案不唯一，写出一个即可）【分析】求出圆的圆心、半径，再考虑直线斜率存在与否分类求解即得.【详解】依题意，将圆化为标准方程可得，则圆表示以为圆心，半径的圆，当切线的斜率不存在时，过的直线正好与圆相切；当切线的斜率存在时，设切线方程为，则，解得，此时切线方程为．由于只需写出一个过点且与圆相切的直线方程，故答案为：或（答案不唯一，写出一个即可）【典例4】（23-24高二上·广东茂名·期末）已知点在圆上，直线平分圆.(1)求圆的标准方程；(2)求过点且与圆相切的直线方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由弦的中垂线过圆心，求出圆心坐标，圆上的点到圆心距离为半径，得出圆的标准方程； （2）分直线斜率存在与不存在，利用圆心到直线距离等于半径，求切线方程.【详解】（1）点在圆上，且直线平分圆，线段的中垂线过圆心，此中垂线与直线的交点即为圆心，线段的中点坐标为，斜率，则线段的中垂线方程为：，即，由，解得，即圆心坐标为，圆'C的半径，所以圆的标准方程为.（2）过点且与圆相切的直线，①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切，②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为，有，解得，可得切线方程为，整理为，由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.【变式1】（23-24高二上·河南许昌·期末）直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为（    ）A． B．C． D．或【答案】D【分析】设出切线斜率，分类讨论推出斜率一定存在，在利用圆心到直线的距离和半径相等列出方程求解参数，最后得到方程即可.【详解】设斜率为，圆心到直线的距离为，当不存在时，直线方程为，此时与圆不相切，故排除，即直线斜率一定存在，设直线方程为，化简得，由题意得，可得，解得或，即切线方程为或，显然D正确.故选：D【变式2】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，则直线l的方程为 .【答案】【分析】根据题意知，点在圆上，若直线与圆相切，则直线与直线垂直，即可求出直线的斜率，根据点斜式直线方程即可求出直线的方程.【详解】由圆的方程知：，即，将代入方程可知，点在圆上，且，所以，因为直线与圆相切，所以直线与直线垂直，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即.故答案为：【变式3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）过点P作圆的切线，求切线的方程【答案】【分析】由圆的方程求出圆心和半径，通过计算得到点在圆上，根据切线几何性质进而可得切线的方程.【详解】，即，则其圆心，半径，将点代入圆的方程可得，则点在圆上，则，直线的方程为，则，则切线方程为.【变式4】（23-24高二上·四川德阳·期末）已知圆经过三点.(1)求圆的方程；(2)求过点且与圆相切的直线的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解； （2）根据直线的斜率是否存在，分两种情况讨论，由直线与圆的位置关系列式求解．【详解】（1）设圆C的方程为，则有，得，即圆C的方程为.（2）由（1）知圆心，半径.当直线的斜率存在时，设其方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径，得，解得，则直线的方程为；当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意，从而所求直线的方程为或.题型05切线长（切点弦）问题 【典例1】（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根据已知条件，求得，由此可知时，取得最小值，由此即可求解.【详解】 由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为，设点到圆心的距离为，则有，所以，所以取最小值时，取得最小值，因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离，所以，故的最小值为.故选：B【典例2】（2024·新疆·二模）从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】先求出圆心和半径，再将切线长的最小转化为直线上的点与圆心的距离最小来求解即可.【详解】圆化为，圆心为，半径为1，直线上的点向圆引切线，设切点为，则，要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小，由点到直线的距离公式可得，.所以切线长的最小值为.故选：B.【典例3】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求以及切线长，再根据等面积法即可得结果.【详解】圆，即，易知，圆C的半径，所以切线长．所以四边形的面积为．所以根据等面积法知：，所以．故选：B．【典例4】（23-24高二上·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点A，B的直线方程为 ．【答案】 【分析】利用切线长公式求出切线长度；求出以为直径的圆的方程，两圆相减得到AB直线方程【详解】圆，则圆心，半径，在中，，，，．以为直径的圆的方程，即以为圆心，以为半径的圆的方程为：，又圆，两圆方程相减可得．故答案为：；【变式1】（2024高三·全国·专题练习）若从圆（x－1）2＋（y－1）2＝1外一点P（2，3）向这个圆引一条切线，则切线长为（　　）A．1 B． C． D．2【答案】D【详解】解析：圆心坐标为O（1，1），半径r＝1，OP＝.因为圆心、切点、点O构成直角三角形，所以切线长为＝2【变式2】（2024·四川宜宾·二模）已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（　　）A． B． C． D．1【答案】D【分析】由题意可得，则当取得最小值时，线段长度的最小，利用点到直线的距离公式求出的最小值即可得解.【详解】圆的圆心，半径，由题意可得，则，则当取得最小值时，线段长度的最小，，所以.故选：D.【变式3】（2024·全国·模拟预测）是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为 ．【答案】【分析】由题意结合等面积法可知，由此可知只需求的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解.【详解】因为，所以，当的长最小时，弦长最小，而的最小值为圆心（即原点）到直线的距离，所以，所以．故答案为：.【变式4】（23-24高二上·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ．【答案】【分析】数形结合，利用，即可解题.【详解】  由图可知，其中一条切线为轴，切点为坐标原点．因为,，则，所以直线的方程为．故答案为：.题型06已知切线求参数 【典例1】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ）A．或 B．1或C．或3 D．或【答案】C【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得.【详解】由圆心为，半径为，即，则，解得或.故选：C.【典例2】（2023·陕西宝鸡·一模）已知直线与圆相切，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据直线与圆相切，整理等式，根据运算性质，可得答案.【详解】由圆的方程，则其圆心为，半径为，由直线方程，整理可得，则，整理可得，由配方法可得，，，由，则，即，解得.故选：C.【典例3】（23-24高一·全国·课后作业）知点，直线及圆.(1)求过点的圆的切线方程；(2)若直线与圆相切，求实数a的值．【答案】(1)或；(2)或【分析】（1）分斜率不存在与斜率存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求解即可；（2）利用圆心到直线的距离等于半径求解即可；【详解】（1）当直线的斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切；当直线的斜率存在时，设直线为，即，因为直线与圆相切，所以，解得，所以直线方程为，所以过点的圆的切线方程为或；（2）因为直线与圆相切，所以，解得或【变式1】（多选）（23-24高二上·广东珠海·期末）已知直线与圆相切，则实数的值可能为（    ）A． B．8 C． D．18【答案】AB【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于半径列方程来求得的值.【详解】圆的圆心为，半径为.由于直线与圆相切，所以，解得或.故选：AB【变式2】（23-24高二上·天津宁河·期末）若直线与圆相切，则实数的值为 .【答案】3【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，根据直线与圆相切，结合点线距离公式列方程求参数.【详解】由可化为且，所以圆心为，半径为，由直线与圆相切，则，可得.故答案为：3【变式3】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是 .【答案】【分析】根据直线过定点，以及直线与圆的位置关系，结合图象，即可求解.【详解】由题意，直线可化为，可得直线过定点，将曲线化为，可得曲线表示以原点为圆心，半径为1，且位于轴上方的半圆，如图所示，  当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，此时，当直线过点时，此时直线与曲线相切，直线与曲线只有一个交点，由得，即，曲线与直线有两个交点，结合图形，可得，即实数的取值范围是.故答案为：.题型07圆的弦长与中点弦问题 【典例1】（23-24高二下·河南驻马店·阶段练习）已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直线恒过的定点，由几何法可知当时，最小，用勾股定理求出。【详解】将l的方程转化为，令解得，即过定点，当时，圆心到直线的距离最大值为，此时取得最小值,根据勾股定理：.故选：A【典例2】（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）直线截圆所得弦长的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先判断直线所过的定点，再根据点与圆的位置关系，以及弦长公式，即可求解.【详解】直线化简为，联立，得，所以直线恒过定点，点满足，所以点在圆内，所以当点是弦的中点时，此时弦长最短，圆心和定点的距离为1，所以最短弦长为.故选：B【典例3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为 ．【答案】【分析】首先求出直线过定点，判断点在圆内，当直线时直线与圆相交的弦长最短，再由弦长公式计算可得.【详解】直线，则，令，解得，所以动直线恒过点，又圆的圆心为，半径，所以，所以点在圆内，所以当直线时直线与圆相交的弦长最短，最短弦长为.故答案为：【变式1】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）直线，被圆截得最短弦的长为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得直线所过定点，然后根据圆的几何性质求得最短弦长.【详解】直线，即，由，解得，设，由于，所以在圆内，圆的圆心为，半径，如图：当时，最短，，所以弦长的最小值为.故选：C【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】将圆的一般方程化为标准方程，可得直线过圆心,从而可求解.【详解】圆的标准方程为,直线过圆心,所以直线被圆所截得的弦长等于直径长度4.故选:B．【变式3】（23-24高二下·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为 .【答案】2【分析】根据圆的弦长的几何法求解.【详解】根据题意，圆的圆心，，则圆心到直线的距离，所以弦长为.故答案为：2题型08已知圆的弦长求方程或参数【典例1】（2024·贵州黔东南·二模）直线与圆交于，两点，若，则（    ）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，由弦长可知直线过圆心，代入方程求出.【详解】圆，则圆的标准方程为，所以圆心，半径，，故直线过圆心，所以，解得.故选：C.【典例2】（2024·湖南娄底·一模）已知圆，过点的动直线与圆相交于两点时，直线的方程为（    ）A． B．C．或 D．或.【答案】C【分析】考虑直线与轴垂直和不垂直两种情况，斜率不存在时，满足要求，斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线距离公式得到方程，求出答案.【详解】当直线与轴垂直时，易知直线的方程为，中令得，解得，故此时，符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，又，，解得，则直线的方程为，即，综上可知直线的方程为或.故选：C.【典例3】（2024·天津武清·模拟预测）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 .【答案】【分析】利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可.【详解】根据题意，圆，即，其圆心为，半径，若，则圆心到直线即的距离，又由圆心到直线的距离，则有，解可得：.故答案为：.【典例4】（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）已知半径大于1的圆与轴，轴均相切，圆心在第一象限，点在圆上．(1)求圆的方程；(2)过坐标原点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据题意可设 ，则圆C的方程为，将带入圆C方程，求得a，即可得出答案；（2）可设直线l的方程为，根据，可得圆心C到直线l的距离，再根据点到直线的距离公式求得k，即可得解.【详解】（1）由题意得，圆心到x轴与到y轴的距离相等，设，则圆C的方程为，将带入圆C方程，得，整理得，解得，或，因为圆C半径大于1，即，所以，所以圆的方程为；（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，因为，所以圆心C到直线的距离，所以，整理得，解得，或，所以直线的方程为或  【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】求得圆心坐标为，半径为，由弦长公式可解得.【详解】易知圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，又，解得.故选：B.【变式2】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】先判断直线经过定点，且定点在圆内，要使弦长最短，只需使，计算即得.【详解】由得，圆心坐标是，半径是直线：过定点，且在圆内，当时，直线被圆截得的弦长最短，由解得.故选:B.【变式3】（23-24高三下·重庆九龙坡·阶段练习）若直线与圆相交所得的弦长为，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理得，，解得.故选：B.【变式4】（2024·安徽合肥·模拟预测）过的直线被曲线所截得的线段长度为，则直线的方程为 .【答案】或【分析】根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案.【详解】由曲线知，该曲线为圆 且圆心为，半径为.当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为.根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即圆心到直线的距离为，当直线截圆所得线段长度时根据垂径定理可得，，解得 此时直线方程为.故答案为：或.题型09圆内接三角形面积 【典例1】（23-24高二下·河南·阶段练习）过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（    ）A．26 B． C．13 D．【答案】C【分析】由已知可得，圆C的半径为，AB是圆C的一条直径，当时，面积取得最大值，代入数据求面积即可.【详解】圆化成标准方程为，  圆C的半径为，O在圆C上，因为，所以AB是圆C的一条直径．当时，面积取得最大值，则最大值为．故选：C.【典例2】（2024·北京西城·三模）若直线与交于，两点，则面积的最大值为 ，写出满足“面积最大”的的一个值 .【答案】 2 1（均可）【分析】求出圆心到直线的距离，则，再由基本不等式求出面积最大值，以及此时的值.【详解】直线，则，令，解得，所以直线恒过点，的圆心为，半径，显然点在上，圆心到直线的距离，，则，当且仅当，即时取等号，即，解得或.故答案为：；（均可）【典例3】（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线：与圆：交于两点，且.(1)求实数的值；(2)若点为直线：上的动点，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由弦与半径构成的三角形中根据角度得半径与圆心的直线的距离的关系，进而可求；（2）计算两平行直线间的距离，结合三角形面积公式即可求解.【详解】（1）圆可化为，所以圆心，半径，则圆心到直线的距离因为，所以，又，所以，所以，所以，解得，又因为，所以.（2）由（1）知，圆，所以圆心到直线的距离为，所以.又，所以的高为，所以.【变式1】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）巳知直线与直线分别过定点A，B，且交于点P，则面积的最大值是（    ）A．5 B．8 C．10 D．16【答案】B【分析】根据直线垂直的判定说明，结合两直线所过的定点确定的轨迹，进而求面积的最大值.【详解】由，即，由过定点，过定点，所以在以为直径的圆上，且，要使面积最大，离最远即可，故面积的最大值是.故选：B【变式2】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的最大值是 .【答案】【分析】依题设出直线方程，计算中边上的高，利用直线过定点求出的范围，列出的面积表达式，利用二次函数的图象特点求出在 的范围上的面积最大值.【详解】  如图，过点的直线不过圆心，所以该直线的斜率存在，设直线方程为，即，所以圆心到该直线的距离为易得当时，，当直线经过圆心时，，故，又因，故.因时，可知函数单调递增，故.即面积的最大值是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系产生的面积的最值问题,属于较难题.解题的关键是在求得圆心到直线的距离表达式后，对距离的范围的界定，这需要看出含参的直线经过的定点，以及经过圆内定点的直线与圆产生的最短，最长弦情况的理解，借此求得参数范围，将面积转化为求二次函数在给定区间上的最值问题.【变式3】（2024·全国·模拟预测）直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则 ；的面积为 ．【答案】 /【分析】先由由圆心到直线的距离与半径求得弦长，法一，由两角和的正弦求得，再求得，由面积公式可得的面积；法二，设切线方程，由直线与圆相切求切线方程，联立直线与圆的方程求切点的坐标，由点到直线的距离与弦长求的面积即可.【详解】圆是以为圆心，为半径的圆，，设圆心到直线的距离为，则，所以．法一：由直线，与轴交于点，则．则在中，在中，，，所以，．过点作的垂线交于点，在中，，所以，所以．法二： 令过点且与圆相切的直线为，可得，解得或．因为点为轴上方切点，所以直线的方程为，联立直线与圆的方程解得所以，则点到直线的距离，所以．题型10直线与圆的实际应用 【典例1】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在气象台正西方向300 km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心250 km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？说明理由．如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？(精确到1min)，（参考数据：【答案】大约120分钟后气象台所在地开始受到台风影响，持续时间约为分钟.【分析】首先计算点到直线的距离，再和比较大小，即可判断是否有影响，再根据题意，转化为以点为圆心，半径为的的圆与直线相交问题，结合几何关系，即可求解.【详解】设台风中心的起点为，以为台风经过的路径所在的直线，过点作于点，在中，，，，，所以气象台所在地会受到台风的影响；  设以为圆心，以为半径的圆与直线交于两点，即以点开始受影响，到点结束影响，在中，，，在中，，，所以气象台受影响的时间为，在，，，，，所以大约120分钟后气象台所在地开始受到台风影响，持续时间约为分钟.【典例2】（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．  (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；(2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1），有，化简并整理即可求解.（2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可.【详解】（1）根据已知条件设且，，由，有，，，，整理有，它是以为圆心，8为半径的圆．所以曲线的方程为：．（2）  ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，所以直线截距式方程为，化为一般式方程为，根据题意，且，解得，所以综上可知的取值范围为．【典例3】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知圆，点．(1)若线段AB的中垂线与圆O相切，求实数a的值；(2)过直线AB上的点P引圆O的两条切线切点为M，N，若，则称点P为“好点”．若直线AB上有且只有两个“好点”，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求线段AB的中垂线方程，再利用直线与圆相切求a的值；（2）先求直线AB的方程，设点P的坐标，利用圆心到直线距离求实数a的取值范围．【详解】（1）因为，所以AB中点坐标为，直线AB斜率为，所以线段AB的中垂线斜率为1，则线段AB的中垂线方程为，即，因为圆与相切，所以，所以.（2）由（1）知直线AB方程为，设，圆心到直线AB的距离为，如图所示，当时，有最大值，当，此时，若直线AB上有且只有两个“好点P”满足，则的最大值应大于，所以，解得.【变式1】（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C.(1)求圆C的方程.(2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由.【答案】(1)；（或）(2)小次车会进入安全预警区，理由见解析【分析】（1）设圆的一般方程用待定系数法将三个点代入求解.（2）根据题意写出小汽车行驶轨迹的直线方程，求出圆心到直线的距离与半径做比较并判断直线与圆的位置关系，从而得到答案.【详解】（1）由题意得,,设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点,所以解得所以圆C的方程为；（或）（2）圆C化成标准方程为,圆心为C,半径,因圆C到直线的距离.所以直线与圆C相交,即小次车会进入安全预警区.【变式2】（23-24高二上·重庆云阳·阶段练习）如图，已知一艘海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.(1)求外籍船航行路径所在的直线方程；(2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？【答案】(1)；(2)能， 小时.【分析】（1）首先以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立平面直角坐标系，再利用截距式求解直线方程即可；（2）利用直线与圆的位置关系和弦长公式即可得到答案.【详解】（1）以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立平面直角坐标系，如图所示:则 ， 则直线，即，外籍船航行路径所在的直线方程为: ;（2）点到直线的距离，所以外籍轮船能被海监船监测到；检测路线的长度，则检测时间，所以外籍轮船被监测到的持续时间为小时.【变式3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心为圆心，半径为400km的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km的速度做匀速直线运动：(1)运输车将在无人区经历多少小时？(2)若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？【答案】(1)5小时(2)800km【分析】（1）根据题意，以火山口的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，结合点到直线的距离公式求得弦长，即可得到结果；（2）根据题意，由直线与圆相切，即可得到结果.【详解】（1）以火山口的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，记运输车从出发，点处开始进入无人区，到处离开无人区，则圆方程为，由运输车沿北偏西60°方向运动，可得直线的斜率，则，即，因为到的距离为,则，所以经历时长为小时.（2）设运输车至少应离火山口出发才安全，此时运输车的行驶直线刚好与圆相切，且直线方程为，即，则到直线的距离，解得，即运输车至少应离火山口出发才安全.题型11直线与圆中的定点定值问题【典例1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆C过点，，.(1)求圆C的标准方程；(2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M，N，点P为直线上的动点，直线PM，PN与圆C的另一个交点分别为E，F（EF与MN不重合），证明：直线EF过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设圆C的方程为，将已知三点代入求出即可；（2）设点，，，易得，根据E，F在圆C上，得出的关系式，当EF斜率存在时设直线EF的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再代入的关系式，求出之间的关系即可得解.【详解】（1）设圆C的方程为，则，解得，所以圆C的方程为，故圆C的标准方程为；（2），所以直线，点，，设点，，，所以，，所以，又，，所以又E，F在圆C上，所以，，消去，可得①，当EF斜率存在时设直线EF的方程为，联立，消元y可得，则，可代入①，得，解得或，当时，直线恒过，当，直线恒过，此时EF与MN重合，舍去，直线斜率不存在时，，即，解得或（舍去），综上：直线EF过点成立.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过作两条斜率分别为，的直线，交曲线于，两点，且，求证：直线过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意可得：，，即点的轨迹为以为直径的圆，从而得到曲线的方程；（2）讨论当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立，结合韦达定理可得：，，化简，可得，从而得到，得到直线过定点，当直线斜率不存在时，设直线：，可得，可得，从而得到直线过定点，得证.【详解】（1）因为是弦的中点，所以，即，所以点的轨迹为以为直径的圆，所以曲线的方程为.（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入，得.设，，则，是方程的两解，则，，，根据根与系数的关系，得，即.若，则直线过点，舍去；所以，即，直线的方程为，故直线过定点.当直线斜率不存在时，设直线：，与曲线的方程联立，可得，，则，解得，故直线的方程为，恒过点.综上，直线过定点.【典例3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为．(1)求圆的方程；(2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值．【答案】(1)或(2)(3)证明见解析【分析】（1）设圆心为，设圆的半径为，根据圆的几何性质可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程；（2）利用圆的几何性质得，利用数量积的坐标运算求得动点的轨迹方程；（3）设直线与直线交于点，通过斜率关系得，利用几何关系得，从而，利用点到直线的距离公式及两点距离公式求解即可.【详解】（1）解：设圆心为，设圆的半径为，圆心到轴的距离为，且圆轴弦长为，则，①且有②，联立①②可得或，所以，圆的方程为或.（2）解：因为半径小于，则圆的方程为，由圆的几何性质得即，所以，设，则，所以，即的轨迹方程是.（3）解：设直线与直线交于点，由、可知直线的斜率是，  因为直线的斜率为，则，则，，所以，，因此，，又E到的距离，，所以，，故恒为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【变式1】（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）平面直角坐标系中，圆M经过点，，.(1)求圆M的标准方程；(2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值；②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程.【答案】(1)(2)①S的最大值为7；②证明见解析，点N在定直线上.【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出，即可得解；（2）①设直线的方程为，分和两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出，再根据即可得出答案；②设，联立，利用韦达定理求得，求出直线OP，BQ的方程，联立求出交点坐标即可得出结论.【详解】（1）解：设圆M的方程为，则，解得，所以圆M的标准方程为；（2）设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，①若，则直线斜率不存在，则，，则，若，则直线得方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，则，当且仅当，即时，取等号，综上所述，因为，所以S的最大值为7；②设，联立，消得，则，直线的方程为，直线的方程为，联立，解得，则，所以，所以点N在定直线上.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.【变式2】（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆O：x2＋y2＝4与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点．(1)若kAM＝2，kAN＝－，求△AMN的面积；(2)若直线MN过点（1，0），求证：kAM·kAN为定值，并求此定值．【答案】(1)(2)证明见解析，－.【详解】解：（1） （解法1）根据题意，圆O：x2＋y2＝4的圆心为（0，0），半径为2，A（－2，0）.若kAM＝2，则直线AM的方程为y－0＝2（x＋2），即y＝2x＋4；kAN＝－，直线AN的方程y－0＝－（x＋2），即y＝－x－1.由题知kAM·kAN＝－1，所以AM⊥AN，所以MN为圆O的直径，所以圆心到直线AM的距离d＝＝，则AM＝2＝.又由中位线定理知，AN＝2d，即AN＝，则△AMN的面积S＝×AM×AN＝××＝.（解法2）若kAM＝2，则直线AM的方程为y－0＝2（x＋2），即y＝2x＋4.由得M（－，）.同理得N（，－）.由题知kAM·kAN＝－1，所以AM⊥AN，所以S＝×AM×AN＝××＝.（2） 设M（x1，y1），N（x2，y2）.① 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝k（x－1）（k≠0），代入圆的方程中有x2＋k2（x－1）2－4＝0，整理得（1＋k2）x2－2k2x＋k2－4＝0，则有x1＋x2＝，x1x2＝，此时kAM·kAN＝×＝＝＝k2×＝－；② 当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x＝1，代入圆的方程可得M（1，），N（1，－），此时kAM·kAN＝×＝－.综上，kAM·kAN为定值，且此定值为－.【考查意图】圆中的斜率积为定值问题【变式3】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知点A，B是圆上的动点，且，直线PA，PB为圆的切线，当点A，B变动时，点P的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点，斜率为k的直线与曲线交于点M，N，点Q为曲线上纵坐标最大的点，求证：直线MQ，NQ的斜率之和为定值．【答案】(1)(2)证明见详解【分析】（1）设，根据题意得出，再根据两点间距离公式即得.（2）联立，利用韦达定理，代入斜率公式整理即得.【详解】（1）设，在中，PB为圆的切线，所以，，所以，得，即，所以曲线的方程：（2）由点Q为曲线上纵坐标最大的点，所以，设，，斜率为k的直线方程为：，由，得，得，，所以 ，         而，，所以，即直线MQ，NQ的斜率之和为定值为【点睛】直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程、弦长、弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，利用几何性质列方程(组)，不等式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决.题型12根据直线与圆位置关系求距离最值【典例1】（23-24高二下·山西吕梁·阶段练习）已知P是圆上一动点，则点P到直线的距离的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，得到过定点，得到点在圆上，且，结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】因为直线，可化为，由，解得，所以l过定点，又因为点在圆上，且，又由圆，可得圆心为，半径，当时，点P到的距离最大，最大距离为，此时，所以直线的斜率为1，此时无解，故直线l不存在，所以距离；当直线与圆O相交时，点P到l的距离最小，最小距离为0，故点P到的距离的取值范围为.故选：D.【典例2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可知直线，分别过定点，，且两直线垂直，点的轨迹是以为直径的圆，点到直线的距离的最大值即为圆心到直线的距离与半径的和.【详解】由已知直线，分别过定点，，当时，：，：，交点为，当时，直线的斜率为，直线的斜率为，斜率的乘积为，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心坐标为，半径，所以圆的方程为，不包括点，点满足该方程，圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的最大值为.故选：.【典例3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断与的位置关系，可知两直线交点轨迹为圆，然后挖去点，转化为圆心到直线的距离求解即可.【详解】由两直线垂直的判断条件，可知，所以直线与始终垂直，又由条件可得直线恒过定点，直线恒过定点，所以两直线的交点是在以线段为直径的圆上，所以该圆的圆心坐标为，半径为，圆上点是过定点且斜率不存在的直线与过定点且斜率为0的直线的交点，故挖去点.圆心到直线的距离，所以，与的交点到直线的距离的最大值和最小值分别为和，又到直线的距离为，应舍去，所以取值集合是.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用直线垂直的性质与过定点的知识，判断得两直线的交点是在以线段为直径的圆上，从而得解.【变式1】（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（    ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】由直线方程得到其过定点，而可看成单位圆上的一点，故可将求点到直线之距转化为求圆心到直线之距，要使距离最大，需使直线，此时最大距离即圆心到点的距离再加上半径即得.【详解】由直线 整理得，可知直线经过定点，而由知，点可看成圆上的动点，于是求点 到直线 的距离最值可通过求圆心到直线的距离得到.  如图知当直线与圆相交时， 到直线 的距离最小值为，要使点到直线距离最大，需使圆心到直线距离最大，又因直线过定点，故当且仅当时距离最大，（若直线与不垂直，则过点作直线的垂线段长必定比短）此时，故点到直线距离的最大值为，即的最大值与最小值之差为.故选：D.【变式2】（23-24高二上·北京·期中）已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】首先求出圆心到直线的距离，再减去半径，即可求解.【详解】圆的圆心为，半径为1，圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为.故选：C.【变式3】（2024·河南·模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线是直线族的包络线，则上的点到直线的最小距离为 .【答案】/【分析】将切线方程转化为关于的方程为.根据一个解对应一条切线可知该方程仅有一解，利用可得曲线的方程，结合直线与圆的位置关系即可求解.【详解】曲线上任一点对应的切线方程为，将其整理为关于的方程为.由题意知，一个解对应一条切线，即关于的方程仅有一解，所以，整理，得，即曲线的方程为，故上的点到直线的最小距离为.故答案为：题型13直线与圆综合问题【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知圆，过圆外一点引圆的两条切线，切点分别为，且.(1)求圆的标准方程；(2)若直线l的横截距为，纵截距为，直线l被圆C截得的弦长为，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据相切可得四边形为正方形，即可利用求解半径，（2）根据圆的弦长公式可得可得，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）∵与圆相切，且，∴ 四边形为正方形，∴，即，∴ 圆的标准方程为.  （2）∵ 直线被圆截的弦长为,∴ 圆心到直线的距离为，又直线的横截距为，纵截距为则直线的方程可设为，即，∴，即，由，得，解得或，∵，∴，故，当且仅当时取得“＝”，∴的最小值为【典例2】（23-24高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且(1)求圆的标准方程；(2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程；(3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程.【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）设圆心，，由距离公式求出，即可得到圆的方程；（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可；（3）取圆关于轴的对称的圆，可知直线与圆相切，根据切线结合点到直线的距离公式运算求解.【详解】（1）设圆心，，由于，所以，所以，即圆心的坐标为，则圆的方程为；（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，圆心到直线的距离，此时满足直线和圆相切；若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，即，平方得，即，此时直线的方程为，即，所以直线的方程为或；（3）取圆关于轴的对称的圆，即圆心，半径，可知直线与圆相切，若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，不合题意；所以直线的斜率存在，设为，则，即，则，整理得，解得或，所以直线的方程为或.【典例3】（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知点，动点P满足，(1)求动点P的轨迹方程；(2)设动点P的轨迹为曲线C，若直线l过点，且曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）直接根据条件列式，化简整理可得曲线的方程，进而判断曲线类型；（2）分为两种情况讨论：若直线的斜率不存在，直接验证即可；若直线的斜率存在，设直线的方程为，由弦长可得圆心到直线的距离，列出方程可求得，从而得出答案.【详解】（1）由题知，设点，由，则，所以，即，整理得，所以曲线是圆心为，半径等于的圆，故曲线的方程为：.（2）如图，若直线的斜率不存在，则直线的方程为：，与的交点坐标为，此时弦长等于，满足题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为：，曲线截所得弦长等于，所以，解得：，圆心到直线的距离，所以，解得，则直线的方程为：，即综上，直线的方程为：或.【变式1】（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知圆C：．(1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程；(2)若，圆C与x轴相交于M，N两点，且M的横坐标小于N的横坐标．过点M作一条直线与圆O：相交于两点A，B，若，求a的值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据圆与轴相切，即可根据判别式求解，（2）联立直线与圆的方程，结合两点斜率公式即可化简求解.【详解】（1）由得，因为圆与轴相切，所以，解得或4，故所求圆C的方程为或．（2）令得，解得或，而，即，．设，，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，由得，，，又，即NA，NB的斜率互为相反数，，即，整理得所以，即，解得．当直线AB与x轴垂直时，仍然满足，即NA，NB的斜率互为相反数．综上所述，．【变式2】（2024高二·全国）､是已知圆的两条互相垂直的半径，延长至点P，延长至点Q.使得，.(1)若直线OP和OQ的斜率都存在，试确定直线OP和OQ的斜率的乘积是否为一个常数？(2)试确定是否为一个常数？(3)设.试确定是否存在两个定点､，使，的斜率的乘积为一个常数？【答案】(1)是常数(2)是常数(3)存在【分析】（1）根据即可得出结论；（2）根据，可得，再根据结合数量积的运算律即可得解；（3）设，先求出点的轨迹方程，进而可得出结论.【详解】（1）∵，且OP，OQ的斜率都存在，∴OP和OQ的斜率的乘积为常数；（2）∵，故，∴，所以为常数；（3）设，∵，∴，∵，所以，即，故M点为圆上一点，所以当，为圆上一直径的两端点时，，当的斜率都存在时，的斜率之积为常数，这样的定点有很多.【变式3】（23-24高二上·北京·期中）已知圆为过点且斜率为的直线.(1)若与圆相切，求直线的方程；(2)若与圆相交于不同的两点，是否存在常数，使得向量与共线？若存在，求的值：若不存在，请说明理由.【答案】(1)或(2)不存在，理由见解析【分析】（1）确定圆的圆心和半径，设出直线方程，利用直线与圆相切，建立方程，即可求解；（2）将直线方程和圆的方程联立，根据根的判别式求出的范围，利用韦达定理及向量与共线即可求解.【详解】（1）圆，所以圆心为，过且斜率为的直线方程为，即，与圆相切，则圆心到直线的距离，解得：或，故切线方程为或；（2）设， 联立直线与圆消去得，直线与圆交于两个不同的点，，即，解得，由韦达定理得，则，则，而，，，若与共线，则，即， 即解得，因为，故没有符合题意的常数，使得向量与共线.A夯实基础 B能力提升 C新定义题型A夯实基础 一、单选题1．（23-24高二下·河南·阶段练习）若直线与圆相切，则圆的半径为（    ）A．2 B．4 C． D．8【答案】C【分析】由圆心到直线的距离等于半径列方程即可得解.【详解】依题意，，解得（负值舍），所以圆的半径为.故选:C.2．（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则（    ）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】由圆的标准方程作出圆的图形，易得切点坐标，利用两点之间距离公式计算即得.【详解】  如图，由圆可得x轴，y轴，即是过点O的切线，所以切点为，，故．故选：C.3．（23-24高二下·江西·阶段练习）以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出交点，得到圆心坐标，由点到直线距离得到半径，从而得到圆的方程.【详解】联立方程组，解得，即所求圆的圆心坐标为，所以圆心到直线的距离，故所求圆的方程为．故选：A4．（23-24高三上·贵州黔东南·开学考试）若直线与圆只有一个公共点，则（    ）A． B．1 C．0 D．2【答案】C【分析】根据给定条件，可得直线与圆相切，再借助点到直线距离公式计算即得.【详解】依题意，直线与圆相切，而圆的圆心，半径为1，因此，解得，所以.故选：C5．（23-24高二上·上海·期末）已知圆，当圆心C到直线的距离最大时，实数的值是（    ）A． B． C．－3 D．3【答案】B【分析】圆心，半径，直线恒过定点，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，由斜率公式求得的斜率，再由垂直关系可得答案．【详解】因为圆的方程为：，化为标准方程得：，所以圆心为，半径，直线恒过定点，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，由斜率公式得直线的斜率为：，由垂直关系的斜率公式得：，解得，故选：B．6．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，根据点到直线的距离公式建立方程，解之即可求解.【详解】由题意知，，又圆上恰有3个点到l的距离为1，所以圆心到直线的距离等于半径减去1，则圆心到直线l的距离为，解得.故选：D.7．（23-24高二上·陕西汉中·阶段练习）直线截圆所得的弦长为，则的值为（    ）A．－1 B．1C．3 D．－3【答案】B【分析】利用圆的性质计算即可.【详解】易知圆心为，半径，而直线截圆所得的弦长为等于直径，故直线过圆心，所以有.故选：B8．（2024·山东菏泽·模拟预测）过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（    ）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】根据给定条件，利用切线长定理。结合两点间距离公式列式求解即得.【详解】圆的圆心，半径，连接，依题意，，则，于是，整理得，所以或.故选：D二、多选题9．（2024高三·全国·专题练习）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则的面积可能为（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】设点C到直线AB的距离为d，在由弦长公式，由求解.【详解】解：设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得，则，因为点C到直线AB的距离为，设，则，在上递增，则，故选：AB.10．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知圆：，则下列说法正确的有（    ）A．圆关于直线对称的圆的方程为B．直线被圆截得的弦长为C．若圆上有四个点到直线的距离等于，则的取值范围是D．若点是圆上的动点，则的取值范围是【答案】AC【分析】把圆化成标准方程，得到圆心坐标和半径，利用圆的几何性质，解决对称问题，弦长问题，点到直线距离和取值范围.【详解】圆：，化成标准方程为，圆心坐标为，半径为.圆关于直线对称的圆，圆心坐标为，半径为，圆的方程为，A选项正确；圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为，B选项错误；若圆上有四个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离小于，即，解得，即的取值范围是，C选项正确；若点是圆上的动点，满足，则，由圆心坐标和半径可知，，则，所以的取值范围是，D选项错误.故选：AC三、填空题11．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）直线与圆：交于，两点，若，则 .【答案】【分析】设出，坐标，根据数量积关系与勾股定理即可求解.【详解】设、，线段的中点坐标为，则，且∴，即.∵，两点在圆上，∴，，又∵，∴.∴.故答案为：.12．（2024·天津·二模）设直线和圆相交于两点.若，则实数 .【答案】【分析】由于，可知圆心到直线的距离，进而可得解.【详解】  如图所示，由已知，即，可得，半径，又，所以，即为等腰直角三角形，所以圆心到直线得距离，即，且，解得：；故答案为：.四、解答题13．（23-24高二上·山东日照·期末）已知直线：与垂直，且经过点.(1)求的一般式方程；(2)若与圆：相交于两点，求.【答案】(1)(2)8【分析】（1）由直线的方程和垂直关系可得的斜率为，由点斜式方程整理可得结果；（2）求出圆心C到直线的距离为，再由圆的弦长公式即可求得.【详解】（1）由直线：，可得斜率，因为，所以直线的斜率为，又因为直线过点，所以直线的方程为，即.（2）由圆C：，可得圆心，半径，则圆心C到直线：的距离为，又由圆的弦长公式可得弦长14．（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：(1)求过点且与圆相切的直线方程；(2)求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）先设出方程，然后将相切条件转化为距离条件，再用距离公式求解；（2）先设出方程，然后将弦长条件转化为距离条件，再用距离公式求解.【详解】（1）据点可设直线方程为.圆的方程可化为，故点到所求直线的距离为，从而.所以，得.这就说明或，所以所求直线的方程为或.（2）设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，故该圆的半径为，所以该圆的方程是，即.而该圆被直线截得的弦长为，故该圆圆心到直线的距离为.所以，解得.故所求的圆的方程为或.B能力提升 1．（2024·广东·模拟预测）过圆外一点做圆的切线，切点为，若，则的最大值为（    ）A． B． C． D．8【答案】B【分析】先确定动点的轨迹，再结合基本（均值）不等式或直线与圆的位置关系求最大值.【详解】如图：依题意，，即.解法一：，当且仅当时等号成立，故的最大值为.故选：B解法二：设，由题意知直线与圆：有公共点，令，解得，故的最大值为.故选：B2．（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，求的最小值为 .【答案】【分析】根据圆的切线的几何性质可推出，可看作点到的距离的和，结合几何意义即可求得答案.【详解】由题意知的圆心为，半径，的圆心为，半径，设，则，，则，设，则，当且仅当三点共线时取等号，此时的最小值为，故答案为：3．（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上.是圆外的点，过点的直线交圆于两点.(1)求圆的方程；(2)若点的坐标为，探究：无论的位置如何变化，是否恒为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)；(2)是定值，且定值为11.【分析】（1）根据几何法联立直线方程求解圆心位置，即可求解圆的方程，（2）联立直线与圆的方程，根据点点距离，代入韦达定理化简即可求解.【详解】（1）两点的中点为，斜率为，垂直平分线的斜率为1，且垂直平分线的方程为：，联立方程解得，所以圆心为，半径为，圆的方程为：.（2）如图，若的斜率不存在，则方程为，此时与圆的交点为，此时，  若的斜率存在，设为，则直线方程为，联立方程消去整理得.设，则，，，即不论的斜率是否存在恒为定值.4．（23-24高二上·广东广州·期中）圆．(1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程；(2)已知，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得．若存在，求出实数a，若不存在，请说明理由．【答案】(1)或(2)存在；【分析】（1）从直线与圆相切时仅有一个公共点的特点，利用求得参数，即得圆的方程；（2）先求出点，，设出直线方程，与圆O方程联立，得到韦达定理，再将等价转化成、的斜率互为相反数，代入韦达定理计算即得值.【详解】（1）由得，因为圆与y轴相切，所以，解得或4，故所求圆C的方程为或．（2）令得，解得或，而，即，．假设存在实数a，设，，当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为，由得，根据韦达定理有（*），又，则、的斜率互为相反数，即，得：，于是，即，将（*）代入可得：，化简得：，解得．当直线与x轴垂直时，,显然满足，即、的斜率互为相反数．综上所述，存在，使得．C新定义题型1．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）对于半径为的及一个正方形给出如下定义：若上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称是该正方形的“等距圆”。如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为（2，4），顶点、在轴上，且点在点的左侧.（1）当时，已知两点，，则可以成为正方形的“等距圆”的圆心的是________；（2）如图2，在正方形所在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为（6，2），顶点，在轴上，且点在点的上方.若同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与所在直线相切，求圆心的坐标；（3）在（2）的条件下，将正方形绕着点旋转一周，在旋转的过程中，线段上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，写出的取值范围.（不必说明理由）【答案】（1）；（2）或；（3）或.【分析】（1）连接和，交于点，设的圆心坐标是，列出圆心到的关系式，把，代入，看是否成立即可得出结果；（2）先求出为等腰直角三角形，得到，进而得出为等腰直角三角形，设据关系列出方程，即可求出圆心的坐标；（3）连接，作于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，交的延长线于，作图，可知当时和当时，线段上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．【详解】解：（1）连接和，交于点，如图1所示：四边形是正方形，到正方形四条边距离都相等，一定通过点，设的圆心坐标是，时，，即：，把，代入，成立，可以成为正方形的“等距圆”的圆心的是，故答案为：；（2）如图2所示：同时为正方形与正方形的“等距圆”，同时过正方形的对称中心和正方形的对称中心，点在线段的垂直平分线上，，正方形的边在轴上；，正方形的边在轴上，，，，设线段的垂直平分线与轴交于点，与轴交于点，则为等腰直角三角形，轴，，，为等腰直角三角形，，，设直线的解析式为：，则，解得：，，在直线上，设，过作直线于，连结，与所在直线相切，，，解得：，，所以圆心的坐标为：，或，；（3）连接，作于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，交的延长线于，如图3所示：当时，线段上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，所在的直线为，所在的直线为，，，，，，所以当时，线段上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心；当时，线段上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，，，，所以当时，线段上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心；综上得当或时，线段上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．【点睛】本题考查的是直线与圆的综合题，解题的关键是明确题意，根据题目给出的条件，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．课程标准学习目标①理解与掌握直线与圆的位置关系的判定方法的代数法与几何法。②会求与圆有关的直线方程与圆的方程。③会根据直线与圆的位置关系求坐标、长度、面积、周长等。④会求待定参数并能解决与之相关的综合问题。通过本节课的学习，会判断直线与圆的位置关系，会求切线方程、弦长及弦所在的直线方程，会根据直线与圆的位置求待定参数及圆的方程，能解决与直线、圆有关的综合问题. 直线与圆的位置关系的图象直线与圆的位置关系相交相切相离图象位置关系相交相切相离判定方法；。圆心到直线的距离：。圆与直线相交。；。圆心到直线的距离：。圆与直线相切。；。圆心到直线的距离：。圆与直线相离。