高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展36圆锥曲线与向量交汇问题(精讲+精练)学生版+解析

这是一份高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展36圆锥曲线与向量交汇问题(精讲+精练)学生版+解析，共84页。试卷主要包含了知识点梳理，向量的数量积，相应的知识储备等内容，欢迎下载使用。

一、知识点梳理
一、向量共线
运用向量的共线的相关知识，可以较容易地处理涉及三点共线、定比分点、直线等问题。在处理圆锥曲线中求相关量的取值范围、求直线的方程、求待定字母的值、证明过定点等问题时，如能恰当的运用平面向量共线的相关知识，常常能使问题较快捷的得到解决.
【一般策略】
通过适当的设点，将向量关系代数化，再根据圆锥曲线的定义以及一些性质、直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题.
二、向量的数量积
向量的数量积将一些几何知识与代数知识充分的联系在一起，它可以处理垂直、长度、三角形面积和三角函数等问题。所以在解决圆锥曲线中的一些问题时，它通常可以运用在探索点、线的存在性、求参数的取值范围和求圆锥曲线的方程等方面.
【一般策略】
在圆锥曲线问题中运用向量的数量积，往往题目中出现了向量的数量积或构造向量的数量积，通过向量的数量积的表达式、意义和运算性质，从而达到将问题简化.
三、相应的知识储备
1.共线向量定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2.数量积的运算
（1）已知非零向量，，为向量、的夹角．
(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线
二、题型精讲精练
【典例1】已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
(1)求的方程；
(2)设过点的直线与相交于，两点，且，求的面积及直线的方程．
【解析】（1）设，因为直线的斜率为，，所以，解得．
又，解得，所以椭圆的方程为．
（2）设、，由题意可设直线的方程为：，
联立，消去得，
当，所以，即或时，，，
由，得，代入上解得，即，
又
点到直线的距离，所以，
此时直线的方程为：或．
【典例2】已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.
【解析】（1）双曲线的渐近线化为，设双曲线的方程为，
即，又双曲线的右焦点，则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，，设直线的方程为，显然，
由消去整理得，显然，，
而，则
，
化简得，即，而，解得，
所以直线的方程为，即.
【题型训练-刷模拟】
1.向量共线
一、解答题
1．已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长．
2．已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的左、右焦点且经过点的最短弦长为9．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点A，B，与直线交于点P，若，且点Q满足，求的最小值．
9．经过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，且，，．求和．
4．已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．
5．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程．
6．已知双曲线的两条渐近线分别为，.
(1)求双曲线的离心率；
(2)为坐标原点，过双曲线上一点作直线分别交直线，于，两点（，分别在第一、第四象限），且，求的面积.
7．已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．
8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线在第一象限与椭圆C相交于点P，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．
9．已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点．
(1)若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；
(2)若，求的面积；
(9)设直线与直线交于点，证明：三点共线．
10．已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且.
(1)求的值；
(2)若直线与交于两点，与交于两点，在第一象限，在第四象限，且，求的值.
11．已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
12．椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．
19．已知椭圆的离心率为，点，为的左、右焦点，经过且垂直于椭圆长轴的弦长为9.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于A，B两点，与直线交于点，若，且点满足，求线段的最小值.
14．如图，正六边形的边长为2．已知双曲线的焦点为A，D，两条渐近线分别为直线．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程；
(2)过A的直线l与交于M，N两点，，若点P满足，证明：P在一条定直线上．
15．已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线与交于两点，与交于两点，且与同向.
（i）当直线绕点旋转时，判断的形状；
（ii）若，求直线的斜率.
16．已知椭圆，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4，是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，D为线段的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得，求三角形的面积．
17．已知双曲线的离心率为，经过坐标原点O的直线l与双曲线Q交于A，B两点，点位于第一象限，是双曲线Q右支上一点，，设
(1)求双曲线Q的标准方程；
(2)求证：C，D，B三点共线；
(9)若面积为，求直线l的方程．
18．过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物线的准线.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设点是圆的动点，抛物线上四点满足：，，设中点为.
（i）证明：垂直于轴；
（ii）设面积为，求的最大值.
2.向量的数量积
一、解答题
1．已知抛物线：，斜率为的直线过定点，直线交抛物线于两点，且位于轴两侧，（为坐标原点），求的值．
2．在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知抛物线上任意一点到焦点的距离比它到轴的距离大1.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的直线与曲线相交于不同的两点，求的值；
9．已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到椭圆C的一个焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线交椭圆于，两点，O为坐标原点，若，求直线的方程.
4．已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右、上顶点，是的左焦点，坐标原点到直线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.
5．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，左､右焦点分别为为原点，且，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
6．已知椭圆的上、下顶点分别为，已知点在直线：上，且椭圆的离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求的值．
7．已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且交右支于两点，点为线段的中点，点在轴上，．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若，求直线的方程．
8．已知双曲线：经过点，其中一条渐近线为.
(1)求双曲线的方程；
(2)一条过双曲线的右焦点且纵截距为的直线，交双曲线于，两点，求的值.
9．已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．
(1)求双曲线方程；
(2)若点在双曲线上，求证：；
(9)在（2）的条件下，求的面积．
10．已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.
11．已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于，两点，求的值．
12．已知双曲线的一条渐近线是，右顶点是
(1)求双曲线的方程
(2)若直线：与双曲线有两个交点、，且 是原点，求的取值范围
19．已知O为坐标原点，位于抛物线C：上，且到抛物线的准线的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点，过抛物线焦点的直线l交C于M，N两点，求的最小值以及此时直线l的方程．
14．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的范围；
(9)对于（2）中的点和，在轴上是否存在点使为等边三角形，若存在请求出的值；不存在则说明理由.
15．如图，已知抛物线，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，抛物线上的点，设直线，的斜率分别为，.

(1)求的取值范围；
(2)过点作直线的垂线，垂足为.求的最大值.
16．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆与轴正半轴的交点为点，且为等腰直角三角形．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知斜率为的直线与椭圆相切于点，点在第二象限，过椭圆的右焦点作直线的垂线，垂足为点，若，求椭圆的方程．
17．已知圆心为H的圆和定点，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
(1)求C的方程．
(2)如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求的取值范围
18．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线，分别交直线于E，F两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
19．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．点，直线：．
(1)证明：直线与椭圆相交于两点，且每一点与的连线都是椭圆的切线；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，与直线交于点，求证：．
20．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过的直线与交于两点，过的左顶点作的垂线，垂足为，求证：.
21．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，直线过与交于两点，当时，的面积为9.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知都在的右支上，设的斜率为.
①求实数的取值范围；
②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．已知离心率为的双曲线，直线与C的右支交于两点，直线l与C的两条渐近线分别交于两点，且从上至下依次为，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求的面积．
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展96 圆锥曲线与向量交汇问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、向量共线
运用向量的共线的相关知识，可以较容易地处理涉及三点共线、定比分点、直线等问题。在处理圆锥曲线中求相关量的取值范围、求直线的方程、求待定字母的值、证明过定点等问题时，如能恰当的运用平面向量共线的相关知识，常常能使问题较快捷的得到解决.
【一般策略】
通过适当的设点，将向量关系代数化，再根据圆锥曲线的定义以及一些性质、直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题.
二、向量的数量积
向量的数量积将一些几何知识与代数知识充分的联系在一起，它可以处理垂直、长度、三角形面积和三角函数等问题。所以在解决圆锥曲线中的一些问题时，它通常可以运用在探索点、线的存在性、求参数的取值范围和求圆锥曲线的方程等方面.
【一般策略】
在圆锥曲线问题中运用向量的数量积，往往题目中出现了向量的数量积或构造向量的数量积，通过向量的数量积的表达式、意义和运算性质，从而达到将问题简化.
三、相应的知识储备
1.共线向量定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2.数量积的运算
（1）已知非零向量，，为向量、的夹角．
(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线
二、题型精讲精练
【典例1】已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
(1)求的方程；
(2)设过点的直线与相交于，两点，且，求的面积及直线的方程．
【解析】（1）设，因为直线的斜率为，，所以，解得．
又，解得，所以椭圆的方程为．
（2）设、，由题意可设直线的方程为：，
联立，消去得，
当，所以，即或时，，，
由，得，代入上解得，即，
又
点到直线的距离，所以，
此时直线的方程为：或．
【典例2】已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.
【解析】（1）双曲线的渐近线化为，设双曲线的方程为，
即，又双曲线的右焦点，则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，，设直线的方程为，显然，
由消去整理得，显然，，
而，则
，
化简得，即，而，解得，
所以直线的方程为，即.
【题型训练-刷模拟】
1.向量共线
一、解答题
1．已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据距离公式可得出关于、所满足的等式，化简可得点的轨迹方程；
（2）分析可知直线直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，由可得出，将直线的方程与椭圆的方程联立，由结合韦达定理可求得的值，然后利用弦长公式可求得的值.
【详解】（1）解：因为面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，
则，整理可得，
因此，点的轨迹方程为.
（2）解：若直线与轴重合，则、为椭圆长轴的顶点，
若点、，则，，此时，不合乎题意，
若点、，同理可得，不合乎题意，
所以，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
因为，即，所以，，即，
由韦达定理可得，所以，，
，解得，
因此，
.
2．已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的左、右焦点且经过点的最短弦长为9．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点A，B，与直线交于点P，若，且点Q满足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）由通径性质、离心率和椭圆参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；
（2）讨论直线斜率，设，，，为，注意情况，联立椭圆方程应用韦达定理求，，结合、坐标表示得到，进而有求，再求坐标，应用两点距离公式得到关于的表达式求最值，注意取值条件.
【详解】（1）由题意，，解得，，所以椭圆的方程为．
（2）由（1）得，若直线的斜率为0，则为与直线无交点，不满足条件．
设直线：，若，则则不满足，所以．
设，，，
由得：，，．
因为，即，则，，
所以，解得，则，即，
直线：，联立，解得，
∴，当且仅当或时等号成立
∴的最小值为5．
9．经过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，且，，．求和．
【答案】，
【分析】设,，,，写出直线方程与抛物线方程联立方程组，消元应用韦达定理得，由向量共线的坐标表示得出的关系，消去，代入韦达定理的结论求得值，从而可得的（纵）坐标，由此求得．
【详解】根据题意可得直线方程为，即，
联立，可得，，△，
设,，,，又，
，
，，，
又，，
，
，
，
，
，又，
，
，
，又，
，，
．
故，．
4．已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为和双曲线过点，联立求解；
（2）由题意设直线方程为，令，得到M的坐标，设，根据，用k表示点Q的坐标，再根据点Q在双曲线上，代入双曲线方程求解.
【详解】（1）解：因为双曲线C：的渐近线方程为，
所以，
又因为双曲线C：过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知：，则，
由题意设直线方程为，令，得，则，
设，则，
因为，
所以，则，
解得，因为点Q在双曲线上，
所以，解得，
所以直线l的斜率为.
5．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）依题意设所求的双曲线方程为，则，再根据离心率求出，即可求出，从而得到双曲线方程；
（2）依题意可得直线的斜率存在，设，即可得到的坐标，依题意可得或，分两种情况分别求出的坐标，再根据的双曲线上，代入曲线方程，即可求出，即可得解；
【详解】（1）解：设所求的双曲线方程为（，），则，，
∴，又则，∴所求的双曲线方程为．
（2）解：∵直线l与y轴相交于M且过焦点，
∴l的斜率一定存在，则设．令得，
∵且M、Q、F共线于l，∴或
当时，，，∴，
∵Q在双曲线上，∴，∴，
当时，，代入双曲线可得：
，∴．
综上所求直线l的方程为：或．
6．已知双曲线的两条渐近线分别为，.
(1)求双曲线的离心率；
(2)为坐标原点，过双曲线上一点作直线分别交直线，于，两点（，分别在第一、第四象限），且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据渐近线方程可得，再通过离心率公式求得离心率；
（2）根据双曲线过点可得双曲线方程，由已知可设点，，再由，可得，，进而可得，设直线的倾斜角为，则，即可得，即可得的面积.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线分别为，，
所以，，
所以双曲线的离心率为；
（2）由（1）得，
则可设双曲线，
因为在双曲线上，
所以，则双曲线的方程为，
又点，分别在与上，
设，，
因为，
所以，
则，，
又，同理得，
设的倾斜角为，且，则，
所以.
【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
7．已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；
（2）不妨设，，，由可得，结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
由条件可得，即，
则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，
则，可得，
所以曲线的方程为．

（2）由（1）可知：双曲线的渐近线方程为，即，
由于且直线的斜率不等于0，
不妨设，，，
则，，
由可得，
联立方程，消去x得
则，由韦达定理可得，
由，解得，
代入可得，
解得，即，
因此直线，即.

8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线在第一象限与椭圆C相交于点P，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合双曲线方程可得，，结合双曲线和椭圆的定义即可得到，进而求解；
（2）设，，则，结合平行四边形OAED，可得，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理可得，．进而得到，从而求解.
【详解】（1）由题意，双曲线的焦点为，，
双曲线与椭圆C有相同焦点且在第一象限交点为P，
又，，．
，．
．
椭圆C的方程为．
（2）设，，则．
四边形OAED为平行四边形，
，．
点A，B，E均在椭圆C上，
，，．
，
．
．
由消去y，得．
显然．
，．
．
，
因为，所以，即，
所以，即.
．
9．已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点．
(1)若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；
(2)若，求的面积；
(9)设直线与直线交于点，证明：三点共线．
【答案】(1)
(2)
(9)证明见解析
【分析】（1）根据离心率的定义计算即可；
（2）联立直线和椭圆方程，根据弦长公式算出，用点到直线的距离公式算出三角形的高后即可；
（9）联立直线和椭圆方程，先表示出坐标，将共线问题转化成证明，结合韦达定理进行化简计算.
【详解】（1）依题意，，解得（负数舍去）.
（2）的直线经过，则直线方程为：；
，则椭圆的方程为：.
设联立直线和椭圆方程：，消去得到，
解得，则，故，于是.
依题意知，为椭圆的下顶点，即，由点到直线的距离，到的距离为：.
故
（9）设联立直线和椭圆方程：，得到，由，得到直线方程为：，令，解得，即，又，，为说明三点共线，只用证，即证：，下用作差法说明它们相等：
，而，，，于是上式变为：.
由韦达定理，，于是，故，命题得证.
10．已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且.
(1)求的值；
(2)若直线与交于两点，与交于两点，在第一象限，在第四象限，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线焦点坐标公式，结合两点间距离公式进行求解即可；
（2）将直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量共线性质进行求解即可.
【详解】（1）由抛物线的方程可知焦点的坐标为，
由抛物线的方程可知焦点的坐标为，
因为，
所以；
（2）由（1）可知两个抛物线的方程分别为，
设直线，，
根据题意结合图形可知：，且，
联立，则，
同理联立，则，
由，
所以，
即，
又因为，所以，
由，
联立，所以，
故.
【点睛】关键点睛：本题的关键是由.
11．已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由点A的坐标求得，结合双曲线的定义求得，进一步计算得出双曲线的方程即可；
（2）设直线PQ的方程为，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示求得，得到直线l的方程.
【详解】（1）由已知C：，点A的坐标为，得，
焦点，，.
所以，，故C：.
（2）设l的方程为，则，故，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.
与双曲线方程联立得：，
由已知得，，设，，
则，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知，
故存在定直线l：满足条件.
12．椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆垂直于长轴的弦长公式进行求解即可；
（2）根据直线是否存在斜率，结合平面向量的坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）因为该椭圆的离心率为，所以有，
在方程中，令，解得，
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
所以有，由可得：，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；
当直线存在斜率时，设为，所以直线的方程设为，
于是有，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有，
化简，得，
设，于是有，
因为，
所以，
代入中，得，
于是有，
化简，得，代入中，得.
【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式得到.
19．已知椭圆的离心率为，点，为的左、右焦点，经过且垂直于椭圆长轴的弦长为9.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于A，B两点，与直线交于点，若，且点满足，求线段的最小值.
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）由通径性质、离心率和椭圆参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；
（2）讨论直线斜率，设，，，为，注意情况，联立椭圆方程应用韦达定理求，，结合、坐标表示得到，进而有求，再求坐标，应用两点距离公式得到关于的表达式求最值，注意取值条件.
【详解】（1）对于方程，令，则，解得，
由题意可得，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）由（1）得，若直线的斜率为0，则为与直线无交点，不满足条件．
设直线：，若，则，则不满足，所以．
设，，，
由得：，，
所以，．
因为，即，则，，
所以，解得，则，即，
直线：，联立，解得，即，
∴，
当且仅当或时,等号成立，
∴的最小值为．

14．如图，正六边形的边长为2．已知双曲线的焦点为A，D，两条渐近线分别为直线．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程；
(2)过A的直线l与交于M，N两点，，若点P满足，证明：P在一条定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，从而得到与，结合即可求得，，从而得解；
（2）先考虑直线为轴的情况，求得此时，再考虑直线不为轴的情况，联立直线与双曲线的方程得到，再结合求得，从而得到，由此得证.
【详解】（1）依题意，以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图，
因为在正六边形中，为正三角形，，，
设双曲线的方程为，
由已知得的渐近线方程为，所以，
又焦距，所以，
又由，则，从而，
所以双曲线的方程为.
（2）依题意，设，
当直线为轴时，不失一般性，则，
又由（1）知，故，
所以，从而，
则，即，解得；
当直线不为轴时，设的方程为，由可知，
联立，消去，得，
则，，
因为，所以，
消去，得，
所以，
从而，
又也在直线上，
所以点在定直线上.
15．已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线与交于两点，与交于两点，且与同向.
（i）当直线绕点旋转时，判断的形状；
（ii）若，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)（i）为钝角三角形. （ii）
【分析】（1）通过方程可知，通过与的公共弦的长为且与的图象都关于轴对称可得计算即得；
（2）设直线方程为，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算可得继而判断三角形形状,再利用结合韦达定理计算即可可以求参.
【详解】（1）的焦点为，所以，①
又与的公共弦长为，且与都关于轴对称，所以公共点的横坐标为，
代入可得纵坐标为，
所以公共点的坐标为，
代入中可得，②
联立①②得，故的方程为.
（2）
设，
（i）设直线的方程为，
联立得，
则，
，
所以为钝角三角形.
（ii）因为与同向，且，所以，
从而，即，
所以，
联立得，
则，
所以，即，
所以直线的斜率为.
16．已知椭圆，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4，是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，D为线段的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得，求三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由面积和的坐标建立方程组待定即可；
（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，由 D为线段的中点，利用韦达定理得到，即的坐标，又，则点坐标也可用表示，根据点在椭圆上，化简得到的关系，由点线距及弦长公式求解面积，再由比例关系即可得到三角形的面积.
【详解】（1）由题意知连接E的四个顶点所得四边形的面积为，
又点在E上，得，
解得，，
故椭圆E的方程为．
（2）设直线的方程为，
由，消去得，
又，
得，设，，，则
，．
由，可得为三角形的重心，
所以，且，
，，
故由在椭圆E上，得，得，
，
又原点到直线的距离为，
所以，故．

17．已知双曲线的离心率为，经过坐标原点O的直线l与双曲线Q交于A，B两点，点位于第一象限，是双曲线Q右支上一点，，设
(1)求双曲线Q的标准方程；
(2)求证：C，D，B三点共线；
(9)若面积为，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(9)
【分析】（1）根据离心率即可求解，
（2）利用坐标运算，结合点差法以及向量共线的坐标表示即可求解，
（9）根据三角形面积公式，利用联立方程，韦达定理，代入化简即可得到关于的方程，
【详解】（1）由双曲线的离心率为，所以，解得，
所以双曲线Q的标准方程为
（2）由得,又，所以
,，
由得①，
由于，在双曲线上，所以，
相减得②
由①②得③，
由于，所以，
将③代入得，
所以，因此C，D，B三点共线
（9）设直线的方程为，
联立直线与双曲线的方程为：，
故，
所以，
直线的方程为，
联立，
所以
由于轴，，所以，
所以，
由于，代入得，令，则，化简得，由于，
所以，
因此，解得或
由于，所以，
故直线方程为
18．过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物线的准线.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设点是圆的动点，抛物线上四点满足：，，设中点为.
（i）证明：垂直于轴；
（ii）设面积为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）设直线与轴交于，由三角形相似关系可得，由此可构造方程求得的值，从而得到抛物线方程；
（2）（i）根据共线向量可知为中点，结合点在抛物线上可确定为方程的两根，由此可得韦达定理的结论；根据点纵坐标可知斜率为零，由此可得结论；
（ii）由，代入韦达定理，结合点在圆上，可化简得到，根据二次函数最值的求法可求得结果.
【详解】（1）
设直线与轴交于，则，
由圆的方程知：圆心，半径，
为圆的切线，，又，
∽，，即
，解得：，抛物线的标准方程为：.
（2）设，，，
（i）由知：为中点，且在抛物线上，即，
又，，整理可得：；
由知：为中点，且在抛物线上，
同理可得：；
是方程的两根，，，
点的纵坐标为，直线的斜率为，即垂直于轴.
（ii），，
，
在圆上，，
，
则当时，，
.
2.向量的数量积
一、解答题
1．已知抛物线：，斜率为的直线过定点，直线交抛物线于两点，且位于轴两侧，（为坐标原点），求的值．
【答案】
【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，由根与系数的关系及数量积公式建立关于的方程，即可求得答案.
【详解】由已知，设直线的方程为，
联立直线与抛物线方程可得，消得，
.
方程的判别式
，
设，
则，，
，
由已知，故，
由，得，
故，解得或（舍去）
所以.

【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
2．在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知抛物线上任意一点到焦点的距离比它到轴的距离大1.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的直线与曲线相交于不同的两点，求的值；
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用抛物线的定义求出p值即得.
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得.
【详解】（1）依题意，到抛物线焦点的距离为，则，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去x得：，显然，设，
则，，
所以.

9．已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到椭圆C的一个焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线交椭圆于，两点，O为坐标原点，若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）由椭圆的性质得出椭圆C的标准方程；
（2）联立直线和椭圆方程，由韦达定理结合得出直线的方程.
【详解】（1）∵短轴的一个顶点到椭圆C的一个焦点的距离为2，∴，
又椭圆C的离心率为，∴，故，
∴，
∴椭圆C的标准方程为.
（2）联立，整理得，
∴，，
故，
∵，∴，
解得，满足，
∴直线的方程为或.

4．已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右、上顶点，是的左焦点，坐标原点到直线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由离心率、等面积法及椭圆参数关系列方程求椭圆参数，即可得方程；
（2）讨论直线的斜率，设的方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及向量数量积的坐标表示得到关于所设参数的关系式，进而求范围.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
根据题意解得
故的方程为.
（2）由（1）知：.
当直线的斜率为0时，点为椭圆的左、右顶点，
不妨取，此时，则.
当直线的斜率不为0或与轴垂直时，设其方程为，
代入椭圆并消去得，
设，则.
而，
所以
.
因为，所以，
所以.
综上，的取值范围为.

5．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，左､右焦点分别为为原点，且，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在定点满足题意.
【分析】（1），结合，即可求解；
（2）设直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，求得，设在x轴上存在定点，对于任意的都有，由求解.
【详解】（1）由题意得，
又，.
椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为：，
令得，即，
联立，得，
所以，
则，，
若在x轴上存在定点，对于任意的都有，
则，即，
解得，
所以存在定点.
6．已知椭圆的上、下顶点分别为，已知点在直线：上，且椭圆的离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根据上下顶点的定义，结合离心率的定义，建立方程，可得答案；
（2）设，，则点满足椭圆方程，根据题意，易得、，计算即可
【详解】（1）
且点在直线：上，，
又， ，，
椭圆的标准方程为.
（2）
设，，则，且，
为线段的中点，，
，直线的方程为：，
令，得，
，为线段的中点，，
，，



7．已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且交右支于两点，点为线段的中点，点在轴上，．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）根据等轴双曲线方程即可求解渐近线方程，
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据向量数量积的几何意义将其转化为，由坐标运算即可求解.
【详解】（1）由题知，，所以双曲线的渐近线方程为．
（2）双曲线的右焦点坐标为，
由题知，直线AB的斜率不为0，设直线方程为，代入双曲线中，
化简可得：，
设,则．
则
∴线段中点的坐标为，
直线方程为．
（i）当时，点恰好为焦点，此时存在点或，使得．
此时直线方程为．
（ii）当时，令可得，可得点的坐标为，
由于所以，
由，即，也即：．
化简可得，解出，
由于直线要交双曲线右支于两点，所以，即，故舍去．
可得直线的方程为．
综上：直线方程为或或．

8．已知双曲线：经过点，其中一条渐近线为.
(1)求双曲线的方程；
(2)一条过双曲线的右焦点且纵截距为的直线，交双曲线于，两点，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程和点的坐标列式求解即可；
（2）根据双曲线方程求出焦点进而得到直线方程，与双曲线方程联立得到韦达定理的形式，根据代入韦达定理即可求解.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以①，
又因为点在双曲线上，所以②，
①②联立解得，，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）可知双曲线中，
所以右焦点坐标为，即直线的横截距为，
又因为直线的纵截距为，所以直线的方程为，即，

联立得，
设，，则，，
所以.
【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，涉及双曲线方程的求解、平面向量数量积的求解问题，求解数量积的关键是能够将所求量转化为符合韦达定理的形式，通过直线与双曲线联立得到韦达定理的结论，代入可整理出结果.
9．已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．
(1)求双曲线方程；
(2)若点在双曲线上，求证：；
(9)在（2）的条件下，求的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(9)6
【分析】（1）首先根据离心率设出双曲线方程，再代入点的坐标，即可求解；
（2）首先将点代入双曲线方程求，再根据斜率公式或是数量积公式，证明垂直；
（9）根据（1）（2）的结果，代入面积公式，即可求解.
【详解】（1）因为，
所以可设双曲线方程为．
因为过点，所以，即．
所以双曲线方程为，即
（2）由（1）可知，双曲线中，所以，不妨设，分别为双曲线的左右焦点，
则，．
方法一：，，
因为点在双曲线上，
所以，，
所以,
所以，所以．
方法二：因为，
，
所以．
因为点在双曲线上，
所以，即，
所以．

（9）的底边长，
的高，
所以．
10．已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用给定的渐近线方程设出双曲线方程，再利用待定系数法求解作答.
（2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合垂直关系的坐标表示，求解作答.
【详解】（1）双曲线的渐近线化为，设双曲线的方程为，
即，又双曲线的右焦点，则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，，设直线的方程为，显然，
由消去整理得，显然，，
而，则
，
化简得，即，而，解得，
所以直线的方程为，即.

【点睛】思路点睛：如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
11．已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于，两点，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）由题意知，取双曲线的一条渐近线，再根据点到直线的距离公式即可得到与关系式，从而求得，进而可求得的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则可得到，的坐标，进而可直接求解的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线的方程和的方程可得到关于的一元二次方程，从而可得到，，代入即可求解的值，综上，即可得到的值．
【详解】（1）由题意知，的一条渐近线方程为，即，
所以到的一条渐近线的距离为，所以，
又，解得，所以的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得，或，，
所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，得，
所以，解得，
所以，，
所以
．
综上，．
12．已知双曲线的一条渐近线是，右顶点是
(1)求双曲线的方程
(2)若直线：与双曲线有两个交点、，且 是原点，求的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用双曲线的顶点坐标以及渐近线方程即可求得双曲线方程；
（2）设点，，由可知，再将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理即可得到关于的不等式，并结合判别式大于零，即可求出的范围.
【详解】（1）由双曲线的右顶点为，则，
渐近线即，则， 故双曲线方程为．
（2）将双曲线方程和直线方程联立得，
则，即 ，解得且，
设， 则， ，
，
因为，所以，即，
解得或，
又，综合可得，的取值范围是.
19．已知O为坐标原点，位于抛物线C：上，且到抛物线的准线的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点，过抛物线焦点的直线l交C于M，N两点，求的最小值以及此时直线l的方程．
【答案】(1)
(2)19；．
【分析】（1）根据抛物线的定义计算即可；
（2）根据韦达定理及二次函数最值计算即可.
【详解】（1）根据题意可得，
又，解方程组得，，
故所求抛物线C方程，
（2）
设点，，抛物线的焦点坐标为．
当直线l的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意；
当直线l的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线l的方程为：；
联立抛物线方程可得，消去x得：，
，得，
由韦达定理得，，
易知，
故
．
所以当时，取得最小值为19．
此时直线l的方程为．
14．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的范围；
(9)对于（2）中的点和，在轴上是否存在点使为等边三角形，若存在请求出的值；不存在则说明理由.
【答案】(1)
(2)
(9)存在，
【分析】（1）设双曲线的方程，用待定系数法求出，的值；
（2）将直线方程与双曲线的方程联立，消元得到一个关于的一元二次方程，求解判别式，利用韦达定理和已知条件求出参数的取值范围即可；
（9）分和两种情况讨论，结合（2）的结论和弦长公式求出，利用点到直线的距离公式和题干条件即可求解.
【详解】（1）设双曲线的方程为，则，再由得，
故的方程为.
（2）将代入得
由直线与双曲线交于不同的两点得：
，且①
，，则，
，
又，得，，
即，解得：②，故的取值范围为.
（9）当时，点坐标为，即，
此时，点到的距离，显然不合题意；
当时，线段的中垂线方程为，
令，得，由①知，且，
由（2）知：
点到的距离，且，
即，，满足范围，
故.
15．如图，已知抛物线，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，抛物线上的点，设直线，的斜率分别为，.

(1)求的取值范围；
(2)过点作直线的垂线，垂足为.求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以点横坐标为自变量，用坐标表示，转化为函数值域求解即可；
（2）利用数量积的几何意义将转化为，再向量坐标化，转化为函数最值求解即可.
【详解】（1）直线的方程为，代入抛物线得：
，解得或，所以，
因为，
所以，，
则有，
又，则有，故的取值范围是.
（2）由（1）知，，
所以，，
，
令，，
则，
由于当时，，当时，，
故，即的最大值为.
16．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆与轴正半轴的交点为点，且为等腰直角三角形．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知斜率为的直线与椭圆相切于点，点在第二象限，过椭圆的右焦点作直线的垂线，垂足为点，若，求椭圆的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的几何性质可得出，根据、、的关系可求得椭圆的离心率的值；
（2）由题意，设直线的方程为，设切点，将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出、的等量关系，求出点的坐标，写出直线的方程，求出点的坐标，根据求出的值，即可得出椭圆的方程.
【详解】（1）解：设椭圆的半焦距为，由已知得点，
因为为等腰直角三角形，且为的中点，所以，即，
所以，有．
（2）解：由（1）知，设椭圆方程为，
因为切点在第二象限，且直线的斜率为，
设直线的方程为，设点，
因为直线与椭圆相切，联立可得，
由，可得，即，
所以，，，所以，
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
则直线的方程为，
联立，可得，即点，
又因为、，
有，，
．
所以，所以椭圆的方程为．
17．已知圆心为H的圆和定点，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
(1)求C的方程．
(2)如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由l是线段AB的中垂线得，根据椭圆定义可得答案；
（2）由直线EF与直线PQ垂直可得，①当直线PQ的斜率不存在时，直线EF的斜率为零，可取，，，，可得；②当直线PQ的斜率为零时，直线EF的斜率不存在，同理可得；③当直线PQ的斜率存在且不为零时，直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为，设直线EF的方程为，将直线PQ的方程代入曲线C的方程，令，利用韦达定理代入，根据的范围可得答案．
【详解】（1）由，得，所以圆心为，半径为4，
连接MA，由l是线段AB的中垂线，得，
所以，又，
根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，
所以，，，所求曲线C的方程为；
（2）由直线EF与直线PQ垂直，可得，
于是，
①当直线PQ的斜率不存在时，直线EF的斜率为零，
此时可不妨取，，，，
所以，
②当直线PQ的斜率为零时，直线EF的斜率不存在，同理可得，
③当直线PQ的斜率存在且不为零时，直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为，，，，，
则直线EF的方程为，
将直线PQ的方程代入曲线C的方程，并整理得，，
所以，，
于是
，
将上面的k换成，可得，
所以，
令，则，于是上式化简整理可得，
，
由，得，所以，
综合①②③可知，的取值范围为．
18．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线，分别交直线于E，F两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）设椭圆C的方程为，由两点得出椭圆C的标准方程；
（2）联立直线l与椭圆方程，由直线的方程得出坐标，再由韦达定理以及数量积公式，得出的范围，进而得出的最值.
【详解】（1）设椭圆C的方程为且，
因为椭圆C过点与点，所以，解得.
所以椭圆C的标准方程为.
（2）设直线，
由，得，
即，则.
直线的方程分别为.
令，则.
则，
，
所以
.
因为，所以.
即的取值范围为.
所以存在最小值，且最小值为.
【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于利用韦达定理将双变量变为单变量问题，从而由的范围，得出的取值范围.
19．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．点，直线：．
(1)证明：直线与椭圆相交于两点，且每一点与的连线都是椭圆的切线；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，与直线交于点，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知求得椭圆方程，联立直线与椭圆方程，即可证得线与椭圆相交于两点，设交点，得直线的方程为，代入椭圆方程，整理成关于的一元二次方程，即可证明的连线都是椭圆的切线；
（2）根据四点共线，要证即证，设，不妨设，则证明转化为，设直线的方程为，联立直线与直线，直线与椭圆，利用坐标关系即可证明结论.
【详解】（1）由题意可知，因此，则椭圆方程为：
因为由消去可得，，
则该方程有两个不相等的实根，所以直线与椭圆相交于两点；
设为直线与椭圆的交点，则，，
直线的方程为，即，代入椭圆方程得，
所以，
整理得，
即，所以，
故是椭圆的切线.
（2）因为四点共线，由（1）可知在线段外，在线段内，所以与的方向相同，与的方向相同，
要证，只需要，即证，
设，不妨设，
因为四点共线，所以等价于，即，
显然，
设直线的方程为，即，
由，可得；
由可得，
从而可知，
因此
，
所以结论成立.
20．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过的直线与交于两点，过的左顶点作的垂线，垂足为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程.
（2）设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由得到直线与直线垂直，利用相似三角形证得结论成立.
【详解】（1）的右焦点为，
渐近线方程为，
，
，
的方程为：；
（2）设方程为，
联立得：，
，
，
设，则，，
，
，
，
直线与直线垂直，
在中，
，
，
即.

21．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，直线过与交于两点，当时，的面积为9.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知都在的右支上，设的斜率为.
①求实数的取值范围；
②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)①②不存在，理由见解析
【分析】（1）由已知条件可得，然后利用勾股定理结合双曲线的定义，及的面积可求出，再由离心率可求出，从而可求得双曲线的方程，
（2）①设直线，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合判别式可求出实数的取值范围；②假设存在实数，使为锐角，则，所以，再结合前面的式子化简计算即可得结论.
【详解】（1）因为，所以.
则，所以，
的面积.
又的离心率为，所以.
所以双曲线的方程为.
（2）①根据题意，则直线，
由，得，
由，得恒成立.
设，则，
因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点，
所以，即，
所以，解得.
②假设存在实数，使为锐角，所以，即，
因为，
所以，
由①得，
即解得，
与矛盾，故不存在.

22．已知离心率为的双曲线，直线与C的右支交于两点，直线l与C的两条渐近线分别交于两点，且从上至下依次为，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1），根据双曲线离心率表示出的关系，可得双曲线渐近线方程，记，进而可求得的坐标表达式，联立可得根与系数关系式，从而推出与的中点均为同一个点P，结合，推出是线段的两个四等分点，即可求得，从而，即可求得，可得答案；
（2）利用（1）的结论，可求得，利用三角形面积公式结合数量积的运算，将面积化为，结合向量的坐标运算，即可求得答案.
【详解】（1）设，设的中点为，
记，则直线即，
因为双曲线的离心率为，所以，故，
于是双曲线的渐近线为．
联立,解得,即，
同理由,解得,即，于是．
联立,消去x，得．
即,需满足，
由韦达定理，得，
所以，，说明与的中点均为同一个点P，
所以，关于点P对称，关于点P对称，所以，
因为，所以是线段的两个四等分点，
故P点纵坐标为，所以，
于是，即，结合，
解得，满足，则，
故所求双曲线方程为．
（2）由（1）可知，，
于是．
设，则
，
代入，
得，
故的面积为．
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
的关系
(当且仅当时等号成立)
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
的关系
(当且仅当时等号成立)