北京市朝阳区对外经济贸易大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学检测数学模拟试卷

这是一份北京市朝阳区对外经济贸易大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学检测数学模拟试卷，共8页。
1 ．已知集合 A = {x∈ R | 3x + 2 > 0} ，B = {x∈ R | (x + 1)(x - 3) > 0} ，则 A B = ( )
A ．(−∞, −1) B ． C ． D ．(3, +∞)
2 ．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1) 上单调递增的是( )
A ．y = lg x B ． C ．y = 2|x| D ．y = tan x
3 ．已知角α 的终边经过点 ，则sin 2α = ( )
A ． B ． C ． D .
4 ．已知a = , b = ln ，c = sin ）
A ．a > b > c B ．b > c > a C ．a > c > b D ．c > a > b
5 ．在 ΔABC 中，sin B = sin 2A , c = 2a ，则( )
A ．B为直角 B ．B为钝角 C ． C 为直角 D ． C 为钝角
6. 已知f (x) 为定义在R 上的函数，f (2) = 2 ，且g(x) = f (2x) + x2 为奇函数，则 f (−2) =
A. −4 B. −2 C. 0 D. 2
7 ．设 EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 5(→),AC)和 EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 5(→),BC) 的夹角为为锐角的（ ）条件
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件.
8 ．我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，
伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角L BAC ，且 AB = AC ，
从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈D 已
滑到De 的位置，且A ，B ，De三点共线，AD, = 40cm ，B 为AD, 的 中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距 离为 24cm ，则当伞完全张开时，L BAC 的余弦值是( )
A . − B . − C ．- D . −
17 4 21 3 8
25 25 5 25
9 ．已知OO 的半径为 1，直线 PA 与OO 相切于点A，直线 PB 与OO 交于 B ，C 两点，D 为 BC
的中点，若 PO = ·2 ，则 PA. PD 的最大值为( )
A． B． C．1 + D．2 +
10. 已知函数f (x) = sin ①x + (① > 0) 在[0, 2] 上恰有 4 个不同的零点，则实数① 的取值
范围为( )
纟 纟 纟 纟
A ． 2 , ú B ． 2 , ÷ C ． p , 2 ú D ． p , 2 ÷
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11 ．函数f + ln x 的定义域为 .
12. 如图所示，规定每个小方格的边长是1，又已知向量a, b , c ，则
(a + b). c = ，a. b = .
13 ．能使命题“若 sin 2A = sin 2B ，则 △ABC 为等腰三角形”为假命题的一组 A, B 的值是
.
14 ．已知函数
① 函数f(x) 的零点个数为 .
② 若存在实数b，使得关于x 的方程f (x) = b 有三个不同的根，则实数m 的取值范围是 .
15. 已知 ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a, b, c, 则下列条件能推导出 ABC 一定为
锐角三角形的是 .
① a2 + b2 > c2 ②
③ cs2 A + cs2 B − cs2 C = 1 ④ tanA+ tan B + tan C > 0
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16 ．（本小题 13 分）
在 ABC 中，内角A, B, C 的对边分别为a, b, c ，c = 2b, sin A = 3sin B .
( Ⅰ) 求sinC ； (Ⅱ) 若 ABC 的面积为 ，求AB 边上的中线CD 的长.
17.（本小题 13 分）设函数f (x) = sin (①x +φ) ( ① > 0 ， φ < ）.若f (x)在区间 上具有单调性 再从条件① , 条件② , 条件③这三个条件中选择一
个作为已知条件，使函数f (x) 存在.
( Ⅰ )求 f (x) 的解析式；
(Ⅱ)求函数f (x) 在[−π,0]上的最大值和最小值.
条件 为奇函数；条件②： f ；条件③：f
18. （本小题 14 分）
防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用 又有蓄洪作用.北京地区 2010 年至 2019 年每年汛末（10 月 1 日）水库的蓄水量数据如下：
( Ⅰ ) 从 2010 年至 2019 年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差 的绝对值小于 1 亿立方米的概率；
( Ⅱ ) 从 2014 年至 2019 年的样本数据中随机选取两年的数据，设X 为蓄水量超过 33 亿立方 米的年份个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；
(Ⅲ) 由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明）
年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
蓄水量（亿立方米）
11.25
13.25
13.58
17.4
12.4
12.1
18.3
26.5
34.3
34.1
19 ．（本小题 15 分）已知函数 = x − alnx, g , (a∈ R) .
（1）若a = 1 ，求函数f (x) 的最小值；
（2）设函数h (x) = f (x)− g (x) ，求函数h (x) 的单调区间；
（3）若在区间[1, e] 上存在一点x0 ，使得 f (x0 ) < g (x0 ) 成立，求a 的取值范围.
20. （本小题 15 分）已知函数 = eax + x2 + x + b ，且曲线y = f (x) 在x = 0 处与x 轴
相切.
( Ⅰ )求 a, b 的值；
( Ⅱ ) 令g(x) = f '(x) ，证明：函数g(x) 在(0, +∞) 上单调递增；
(Ⅲ) 求f (x) 的极值点个数.
.
21.（本小题 15 分）
对于数列 ，定义a 设 的前n项和为SEQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 4(*),n) .
设an = ，写出a
(Ⅱ)证明：“对任意n∈ N* ，有SEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(*),n) = an+1 − a1 ”的充要条件是“对任意n∈ N* ，有|an+1 − an | = 1 ”；
(Ⅲ) 已知首项为 0，项数为m +1(m ≥ 2) 的数列{an } 满足：
①对任意1≤ n ≤ m 且n ∈ N* ，有an+1 − an ∈ = am .
求所有满足条件的数列{an } 的个数.