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山西省朔州市多校2024-2025学年上学期9月月考九年级数学试卷 （解析版）
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这是一份山西省朔州市多校2024-2025学年上学期9月月考九年级数学试卷 （解析版），共19页。
1．本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上．
3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑．
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义，必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．逐一判断即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，不合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、是二元二次方程，不合题意．
故选：B．
2. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握当抛物线开口向下时，离对称轴越远的点的纵坐标越小是解题的关键．
由题意可知，二次函数的图象的对称轴为直线，开口方向向下，再根据离对称轴越远的点的纵坐标越小即可得出答案．
【详解】解∶由题意可知，
二次函数的图象的对称轴为直线，开口方向向下，则离对称轴越远的点的纵坐标越小，
∵点A离对称轴最远，点B离对称轴最近，
．
故选∶C．
3. 若关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式.关于x的方程有两个实数根，据此得到，解不等式即可得到答案.
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
解得，
故选：A
4. 观察表格，估算一元二次方程的近似解：
由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可．
【详解】解：由表格可知， 当时，与时，
∴时，，
故选C．
5. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：①将方程化为一般式，然后通过移项再将常数项移至方程的右边；②将二次项系数化为，当二次项系数不是时，则在方程两边同时除以二次项系数；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；④配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．据此解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
6. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，然后把转化为代入即可．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴，
故选：B．
7. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法准确判断
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像与一元二次方程的关系；依题意，关于的方程的根即抛物线与轴的交点坐标，根据函数图像即可求解．
【详解】解：由图像知，与轴无交点，
即关于的方程的方程没有实数根，
故选：C．
8. 直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，，而抛物线对称轴位于轴右侧，则，故选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，对称轴位于轴左侧，则，故选项符合题意；
故选：．
9. 若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（ ）
A.
B. 抛物线开口向下
C. 当时，
D. 关于的方程的一个解小于
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，由二次函数与方程的关系可知，是方程的两个根，利用根与系数的关系即可判断A、B；将代入函数解析式求出对应的函数值即可判断C；利用抛物线与直线交点的情况即可判断D．熟知二次函数与方程和方程组的关系是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线开口向上，
∴选项A的说法正确，不符合题意，选项B的说法错误，符合题意；
当时，，
∴选项C的说法正确，不符合题意；
如图，
∵抛物线开口向上，对称轴直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∵直线与抛物线的交点在轴的上面，
∴关于的方程即有两个解，一个解小于，一个解大于，
∴选项D的说法正确，不符合题意．
故选：B．
10. 我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键．
根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案．
【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为16，大正方形面积为，边长为8，
∴图2，
即的几何解法，
故选：C．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是__________．
【答案】８
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根．熟练掌握一元二次方程硍的定义，分解因式，整体代入法求代数式的值，是解决问题的关键．
根据一元二次方程根的定义得到 ，得到，化为，代入计算即得．
【详解】∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：8．
12. 若m，n是一元二次方程的两个根，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值．利用一元二次方程根和系数的关系：两根之和等于，两根之积等于，先求出和的值，再整体代入到代数式计算即可求解．
【详解】解：∵若m、n是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
13. 如图，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，．则关于x的方程的解为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数图象与方程的关系．方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解．
【详解】解：∵方程的解就是一次函数（）与二次函数（）两个函数的图象交点的横坐标，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，．
∴解为；
故答案为：．
14. 为积极响应国家“双减”政策、太原市推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生3万人次，第三批公益课受益学生3.63万人次，设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设受益学生人次的平均增长率为x，根据“第一批公益课受益学生3万人次，第三批公益课受益学生3.63万人次”列出方程，即可求解．
【详解】解：设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，列方程为，
故答案为：．
15. 如图，正方形的边长为6，与x轴负半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则a的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，过B作轴于D，若与x轴负半轴的夹角为，那么；在正方形中，已知了边长，易求得对角线的长，进而可在中求得的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值．
【详解】解：如图，连接，过B作轴于D；
∵四边形是正方形，
∴．
∵与x轴负半轴的夹角为，
∴
∵正方形的边长为6，
∴；
中，，，
则；
故，
代入抛物线的解析式中，得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，求出是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程．
（1）方程化为一般形式，利用公式法解方程即可；
（2）变形后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
∴，
则，
∵，
∴，
∴
【小问2详解】
则，
，
整理得，，
∴或，
解得
17. 已知抛物线．
（1）若点在此抛物线上，求此抛物线的表达式；
（2）求出此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
(1)依据题意，由点在抛物线上，代入求出m即可得解；
(2)依据题意，由抛物线为，进而可以得解．
【小问1详解】
解∶由题意，点在抛物线上，
，
，
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解∶依据题意，抛物线为，
该抛物线的顶点为．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是3，求k的值及方程的另一个根．
【答案】（1）见解析 （2），另一个根
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根以及根与系数的关系；
（1）通过计算判别式的值得到，从而可判断方程根的情况；
（2）把代入方程可求值，根据根与系数的关系得到方程的另一个根．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
当时，，
解得，
设，另一个根为，
根据根与系数的关系可得：，
∴，
∴．
19. 已知的图象如图所示，根据图象回答下列问题．
（1）求方程的解；
（2）如果方程无实数根，求的取值范围．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据函数图象与轴的交点坐标即可求解；
（）根据函数图象即可求解；
本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，利用数形思想解答是解题的关键．
【小问1详解】
解：观察函数图象可知，图象与轴的交点坐标为，1,0，与轴的交点坐标为，
将方程变形为，
由图象可知方程的解为，，
∴方程的解为，；
【小问2详解】
解：若方程无实数根，
则由图象可得，
∴．
20. 实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．
（1）小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边 的长．
（2）小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）矩形种植园一边的长15米
（2）不能围成面积为的矩形种植园
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用和一元二次方程的应用，根据题意，列出等量关系式，然后再求解即可得出结果，理解题意是解题关键．
（1）方案1：设的长为x米，根据题意得出面积的等量关系式，然后求解即可；
（2）方案2：设的长为x米，然后确定相应面积关系式求解即可；
【小问1详解】
解：设的长为x米，
则，
解得： ．
∵ ，
∴，
∴舍去， ．
答：矩形种植园一边的长15米．
【小问2详解】
解：设的长为x米，
则 ， 化简得，
，
∴不能围成 ，
答：不能围成面积为的矩形种植园．
21. 我们有公式：．
反过来，就得到可以作为因式分解的公式：．
如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有．
例如：；；
；．
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，则原式．
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
（2）请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）否，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了十字相乘法，掌握整体思想是解题关键．
（1），故可继续分解；
（2）设，
原式可分解为；将代入可继续分解．
【小问1详解】
解：设，
则原式
故答案为：否，
【小问2详解】
解：设，
则原式，
∴
22. 解答
【答案】任务1：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%；任务2：下调后每辆汽车的售价为21万元．
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，然后根据题意可得方程，进而问题可求解；
任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为万元，根据题意得到，进而问题可求解．
【详解】解：任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为；
任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又∵要尽量让利于顾客，
∴．
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与，分别相交于点，，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数表达式；
（2）时，四边形的最大面积为，此时．
【解析】
【分析】（）根据待定系数法，将点的坐标代入，即可得到函数解析式；
（）设，可以先求出的坐标，得到的解析式为，由此设的坐标为，可以得到为 ，结合面积公式得到四边形的面积，由此求解；
本题主要考查求二次函数解析式，以及二次函数的性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【小问1详解】
把，代入得，，
解得，
∴抛物线的函数表达式；
【小问2详解】
设，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
∴或，
∴点坐标为，
∴，
设直线的函数表达式为
把坐标代入直线的函数表达式得，解得：，
∴直线的函数表达式为，
∴的坐标为，
∴，
∵轴，，
∴
∴四边形的面积，
∴时，四边形的面积为，此时，
∴．x
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
0.19
0.44
制定某品牌新能源汽车的销售方案
背景
随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放、从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升．
素材1
某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．
素材2
新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量．
素材3
中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．
问题解决
任务1
求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．
任务2
根据素材3，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
1．本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上．
3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑．
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义，必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．逐一判断即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，不合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、是二元二次方程，不合题意．
故选：B．
2. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握当抛物线开口向下时，离对称轴越远的点的纵坐标越小是解题的关键．
由题意可知，二次函数的图象的对称轴为直线，开口方向向下，再根据离对称轴越远的点的纵坐标越小即可得出答案．
【详解】解∶由题意可知，
二次函数的图象的对称轴为直线，开口方向向下，则离对称轴越远的点的纵坐标越小，
∵点A离对称轴最远，点B离对称轴最近，
．
故选∶C．
3. 若关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式.关于x的方程有两个实数根，据此得到，解不等式即可得到答案.
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
解得，
故选：A
4. 观察表格，估算一元二次方程的近似解：
由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可．
【详解】解：由表格可知， 当时，与时，
∴时，，
故选C．
5. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：①将方程化为一般式，然后通过移项再将常数项移至方程的右边；②将二次项系数化为，当二次项系数不是时，则在方程两边同时除以二次项系数；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；④配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．据此解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
6. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，然后把转化为代入即可．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴，
故选：B．
7. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法准确判断
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像与一元二次方程的关系；依题意，关于的方程的根即抛物线与轴的交点坐标，根据函数图像即可求解．
【详解】解：由图像知，与轴无交点，
即关于的方程的方程没有实数根，
故选：C．
8. 直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，，而抛物线对称轴位于轴右侧，则，故选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，对称轴位于轴左侧，则，故选项符合题意；
故选：．
9. 若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（ ）
A.
B. 抛物线开口向下
C. 当时，
D. 关于的方程的一个解小于
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，由二次函数与方程的关系可知，是方程的两个根，利用根与系数的关系即可判断A、B；将代入函数解析式求出对应的函数值即可判断C；利用抛物线与直线交点的情况即可判断D．熟知二次函数与方程和方程组的关系是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线开口向上，
∴选项A的说法正确，不符合题意，选项B的说法错误，符合题意；
当时，，
∴选项C的说法正确，不符合题意；
如图，
∵抛物线开口向上，对称轴直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∵直线与抛物线的交点在轴的上面，
∴关于的方程即有两个解，一个解小于，一个解大于，
∴选项D的说法正确，不符合题意．
故选：B．
10. 我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键．
根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案．
【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为16，大正方形面积为，边长为8，
∴图2，
即的几何解法，
故选：C．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是__________．
【答案】８
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根．熟练掌握一元二次方程硍的定义，分解因式，整体代入法求代数式的值，是解决问题的关键．
根据一元二次方程根的定义得到 ，得到，化为，代入计算即得．
【详解】∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：8．
12. 若m，n是一元二次方程的两个根，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值．利用一元二次方程根和系数的关系：两根之和等于，两根之积等于，先求出和的值，再整体代入到代数式计算即可求解．
【详解】解：∵若m、n是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
13. 如图，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，．则关于x的方程的解为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数图象与方程的关系．方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解．
【详解】解：∵方程的解就是一次函数（）与二次函数（）两个函数的图象交点的横坐标，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，．
∴解为；
故答案为：．
14. 为积极响应国家“双减”政策、太原市推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生3万人次，第三批公益课受益学生3.63万人次，设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设受益学生人次的平均增长率为x，根据“第一批公益课受益学生3万人次，第三批公益课受益学生3.63万人次”列出方程，即可求解．
【详解】解：设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，列方程为，
故答案为：．
15. 如图，正方形的边长为6，与x轴负半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则a的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，过B作轴于D，若与x轴负半轴的夹角为，那么；在正方形中，已知了边长，易求得对角线的长，进而可在中求得的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值．
【详解】解：如图，连接，过B作轴于D；
∵四边形是正方形，
∴．
∵与x轴负半轴的夹角为，
∴
∵正方形的边长为6，
∴；
中，，，
则；
故，
代入抛物线的解析式中，得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，求出是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程．
（1）方程化为一般形式，利用公式法解方程即可；
（2）变形后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
∴，
则，
∵，
∴，
∴
【小问2详解】
则，
，
整理得，，
∴或，
解得
17. 已知抛物线．
（1）若点在此抛物线上，求此抛物线的表达式；
（2）求出此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
(1)依据题意，由点在抛物线上，代入求出m即可得解；
(2)依据题意，由抛物线为，进而可以得解．
【小问1详解】
解∶由题意，点在抛物线上，
，
，
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解∶依据题意，抛物线为，
该抛物线的顶点为．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是3，求k的值及方程的另一个根．
【答案】（1）见解析 （2），另一个根
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根以及根与系数的关系；
（1）通过计算判别式的值得到，从而可判断方程根的情况；
（2）把代入方程可求值，根据根与系数的关系得到方程的另一个根．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
当时，，
解得，
设，另一个根为，
根据根与系数的关系可得：，
∴，
∴．
19. 已知的图象如图所示，根据图象回答下列问题．
（1）求方程的解；
（2）如果方程无实数根，求的取值范围．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据函数图象与轴的交点坐标即可求解；
（）根据函数图象即可求解；
本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，利用数形思想解答是解题的关键．
【小问1详解】
解：观察函数图象可知，图象与轴的交点坐标为，1,0，与轴的交点坐标为，
将方程变形为，
由图象可知方程的解为，，
∴方程的解为，；
【小问2详解】
解：若方程无实数根，
则由图象可得，
∴．
20. 实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．
（1）小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边 的长．
（2）小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）矩形种植园一边的长15米
（2）不能围成面积为的矩形种植园
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用和一元二次方程的应用，根据题意，列出等量关系式，然后再求解即可得出结果，理解题意是解题关键．
（1）方案1：设的长为x米，根据题意得出面积的等量关系式，然后求解即可；
（2）方案2：设的长为x米，然后确定相应面积关系式求解即可；
【小问1详解】
解：设的长为x米，
则，
解得： ．
∵ ，
∴，
∴舍去， ．
答：矩形种植园一边的长15米．
【小问2详解】
解：设的长为x米，
则 ， 化简得，
，
∴不能围成 ，
答：不能围成面积为的矩形种植园．
21. 我们有公式：．
反过来，就得到可以作为因式分解的公式：．
如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有．
例如：；；
；．
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，则原式．
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
（2）请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）否，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了十字相乘法，掌握整体思想是解题关键．
（1），故可继续分解；
（2）设，
原式可分解为；将代入可继续分解．
【小问1详解】
解：设，
则原式
故答案为：否，
【小问2详解】
解：设，
则原式，
∴
22. 解答
【答案】任务1：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%；任务2：下调后每辆汽车的售价为21万元．
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，然后根据题意可得方程，进而问题可求解；
任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为万元，根据题意得到，进而问题可求解．
【详解】解：任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为；
任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又∵要尽量让利于顾客，
∴．
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与，分别相交于点，，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数表达式；
（2）时，四边形的最大面积为，此时．
【解析】
【分析】（）根据待定系数法，将点的坐标代入，即可得到函数解析式；
（）设，可以先求出的坐标，得到的解析式为，由此设的坐标为，可以得到为 ，结合面积公式得到四边形的面积，由此求解；
本题主要考查求二次函数解析式，以及二次函数的性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【小问1详解】
把，代入得，，
解得，
∴抛物线的函数表达式；
【小问2详解】
设，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
∴或，
∴点坐标为，
∴，
设直线的函数表达式为
把坐标代入直线的函数表达式得，解得：，
∴直线的函数表达式为，
∴的坐标为，
∴，
∵轴，，
∴
∴四边形的面积，
∴时，四边形的面积为，此时，
∴．x
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
0.19
0.44
制定某品牌新能源汽车的销售方案
背景
随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放、从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升．
素材1
某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．
素材2
新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量．
素材3
中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．
问题解决
任务1
求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．
任务2
根据素材3，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
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