初中数学北师大版（2024）九年级上册3 正方形的性质与判定课堂检测

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【知识点一】正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
【要点说明】既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
【知识点二】正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
【要点说明】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.
【知识点三】正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
【知识点四】特殊平行四边形之间的关系
【知识点四】顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
【要点说明】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】正方形性质与判定的理解
【例1】（2024·广东江门·模拟预测）下列条件不能判定正方形的是（ ）．
A．对角线互相垂直的梯形B．对角线互相垂直且相等的平行四边形
C．对角线相等的菱形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形
【变式1】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）矩形和正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直平分
C．对角线互相垂直平分且相等D．对角线平分一组对角
【变式2】（23-24八年级下·北京延庆·期末）学习了正方形之后，老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？
甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；
乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；
丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直；
丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．
上述四名同学的说法中，正确的是（ ）
A．甲、乙B．甲、丙C．乙、丙、丁D．甲、乙、丁
【题型2】利用正方形的性质求值或证明
【例2】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形，P是对角线上任意一点，过点P作于点M，于点N．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若E是上一点，且，写出的度数．

【变式1】（23-24八年级下·重庆江津·期末）如图，在正方形中，点、分别为边、上的点，连接、，平分，若．当时，则的度数为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正方形的边长为4，点E是的中点，垂直平分且分别交、于点H、G，则的长为 ．
【题型3】证明或添加条件证明四边形为正方形
【例3】（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接．
(1)当时，求证：；
(2)当，且时，求证：四边形是正方形．
【变式1】（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，在中，对角线相交于点O，则下列判断正确的有（ ）
①若，，则是正方形；
②若，则是正方形；
③若，，则是正方形；
④若，则是菱形；
⑤若，则是菱形
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式2】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是菱形内的一点，连接，，平分，，．请判断四边形是正方形吗？并说明理由．

【题型4】利用正方形的性质与判定证明或求角度
【例4】（21-22八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若AB=AD，求∠ADE的度数．
【变式1】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（ ）
A．22.5°B．25°C．30°D．不能确定
【变式2】（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，．若点P满足，且，则 ．

【题型5】利用正方形的性质与判定证明或求线段长
【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知菱形，E、F是对角线所在直线上的两点，且，连接．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求菱形的周长．

【变式1】（22-23九年级上·重庆大渡口·阶段练习）如图，点E是正方形对角线上一点，过E作交于F，连接，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023·湖南娄底·一模）如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为 ．
【题型6】中点四边形
【例6】已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
(1)四边形的形状是________，并证明你的结论．
(2)当四边形的对角线满足________条件时，四边形是矩形．
(3)在教材课本中你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？________
【变式1】（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形中，分别是的中点．下列结论：
①四边形是平行四边形；
②当时，四边形是菱形；
③当时，四边形是矩形．
其中所有正确结论的序号是（ ）．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【变式2】（23-24八年级下·北京顺义·期末）如图，在矩形中，点，，，分别为，，，的中点．若，，则四边形的周长为 ．
1、直通中考
【例1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（ ）

A．B．C．D．
【例2】（2024·天津·中考真题）如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接．
（1）线段的长为 ；
（2）若为的中点，则线段的长为 ．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级下·北京顺义·期末）在正方形中，点在边上，点在边上，，连接，．
(1)求证：；
(2)在边取点，使得，过点作交于点，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【例2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在正方形中，点P在上，连接，过点B作于点E，过点D作于点F．
(1)求证：．
(2)如图2，延长至点G，使，连结，．
①探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
②连结，若，求的长．